Ta reda på vilken linje ekvationen definierar. Definition av en linjes ekvation, exempel på en linje på ett plan. tillstånd för parallella linjer

Det viktigaste begreppet analytisk geometri är ekvation för en linje på ett plan.

Definition. Ekvation för en linje (kurva) på ett plan Oxy kallas en ekvation som uppfyller koordinaterna x Och y varje punkt på denna linje och uppfyller inte koordinaterna för någon punkt som inte ligger på denna linje (Fig. 1).

I allmänhet kan linjeekvationen skrivas som F(x,y)=0 eller y=f(x).

Exempel. Hitta ekvationen för uppsättningen poäng på samma avstånd från punkterna A(-4;2), B(-2;-6).

Lösning. Om M(x;y)är en godtycklig punkt för den önskade linjen (fig. 2), då har vi AM=BM eller

Efter förvandlingar får vi

Uppenbarligen är detta ekvationen för en rät linje. MD- vinkelrätt återställd från mitten av segmentet AB.

Av alla linjer på planet är av särskild betydelse rak linje. Det är en graf över en linjär funktion som används i de vanligaste linjära ekonomiska och matematiska modellerna i praktiken.

Olika typer av ekvationer för en rät linje:

1) med lutning k och initial ordinata b:

y = kx + b,

var är vinkeln mellan den räta linjen och axelns positiva riktning ÅH(Fig. 3).

Speciella fall:

- linjen går igenom ursprung(fig.4):

– bisektris första och tredje, andra och fjärde koordinatvinklar:

y=+x, y=-x;

- hetero parallellt med x-axeln och hon själv OX axel(Fig. 5):

y=b, y=0;

- hetero parallellt med OY-axeln och hon själv OY axel(Fig. 6):

x=a, x=0;

2) passerar i denna riktning (med lutning) k genom den givna punkten (Fig. 7) :

.

Om i ovanstående ekvation kär ett godtyckligt tal, då definierar ekvationen bunt av raka linjer passerar genom punkten , förutom en rät linje parallell med axeln Åh.

ExempelA(3,-2):

a) i vinkel mot axeln ÅH;

b) parallellt med axeln OY.

Lösning.

men) , y-(-2)=-1(x-3) eller y=-x+1;

b) x=3.

3) passera genom två givna punkter (Fig. 8) :

.

Exempel. Skriv ekvationen för en rät linje som går genom punkterna A(-5,4), B(3,-2).

Lösning. ,

4) ekvation av en rät linje i segment (fig.9):

var a, b- segment avskurna på axlarna, respektive Oxe Och Åh.

Exempel. Skriv en ekvation för en linje som går genom en punkt A(2,-1), om denna linje skär av från den positiva halvaxeln Oj ett segment dubbelt så långt som från den positiva halvaxeln Oxe(Fig. 10).

Lösning. Efter tillstånd b=2a, då . Byt ut punktens koordinater A(2,-1):

Var a=1,5.

Äntligen får vi:

Eller y=-2x+3.

5) generell ekvation för en rät linje:

Axe+By+C=0,

var a Och b inte lika med noll samtidigt.

Några viktiga egenskaper hos raka linjer :

1) avstånd d från en punkt till en linje:

.

2) vinkeln mellan de räta linjerna och respektive:

Och .

3) tillstånd för parallella linjer:

eller .

4) tillståndet för vinkelräta linjer:

eller .

Exempel 1. Skriv en ekvation för två linjer som går genom en punkt A(5.1), varav en är parallell med linjen 3x+2y-7=0 och den andra är vinkelrät mot samma linje. Hitta avståndet mellan parallella linjer.

Lösning. Bild 11.

1) ekvationen för en parallell linje Ax+By+C=0:

från tillståndet av parallellism ;

tar proportionalitetskoefficienten lika med 1 får vi A=3, B=2;

sedan. 3x+2y+C=0;

menande FRÅN hitta genom att ersätta koordinaterna A(5,1),

3*5+2*1+C=0, var C=-17;

ekvationen för en parallell linje är 3x+2y-17=0.

2) ekvationen för en vinkelrät linje från vinkelräthet villkoret kommer att ha formen 2x-3y+C=0;

ersätter koordinaterna A(5.1), vi får 2*5-3*1+C=0, var C=-7;

ekvationen för en vinkelrät linje är 2x-3y-7=0.

3) avstånd mellan parallella linjer kan hittas som avståndet från A(5.1) innan det ges direkt 3x+2y-7=0:

.

Exempel 2. Med tanke på ekvationerna för triangelns sidor:

3x-4y+24=0 (AB), 4x+3y+32=0 (BC), 2x-y-4=0 (AC).

Skriv en ekvation för bisektrisen av en vinkel ABC.

Lösning. Hitta först koordinaterna för toppunkten I triangel:

,

var x=-8, y=0, de där. B(-8,0)(Fig. 12) .

Genom egenskapen för bisektrisen av avståndet från varje punkt M(x,y), bisektorer BD upp till sidorna AB Och Solär lika, dvs.

,

Vi får två ekvationer

x+7y+8=0, 7x-y+56=0.

Från figur 12 är lutningen för den önskade räta linjen negativ (vinkeln med Åh trubbig), därför passar den första ekvationen oss x+7y+8=0 eller y=-1/7x-8/7.

Betrakta en relation av formen F(x, y)=0 länkar variabler x Och på. Jämlikhet (1) kommer att kallas ekvation med två variabler x, y, om denna likhet inte är sant för alla par av tal X Och på. Ekvationsexempel: 2x + 3y \u003d 0, x 2 + y 2 - 25 \u003d 0,

sin x + sin y - 1 = 0.

Om (1) är sant för alla par av nummer x och y, så kallas det identitet. Identitetsexempel: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 \u003d 0, (x + y) (x - y) - x 2 + y 2 \u003d 0.

Ekvation (1) kommer att kallas ekvationen för uppsättningen av punkter (x; y), om denna ekvation är uppfylld av koordinaterna X Och på någon punkt i uppsättningen och uppfyller inte koordinaterna för någon punkt som inte tillhör denna uppsättning.

Ett viktigt begrepp inom analytisk geometri är konceptet med ekvationen för en linje. Låt ett rektangulärt koordinatsystem och någon linje α.

Definition. Ekvation (1) kallas linjeekvationen α (i det skapade koordinatsystemet), om denna ekvation är uppfylld av koordinaterna X Och på någon punkt på linjen α , och uppfyller inte koordinaterna för någon punkt som inte ligger på denna linje.

Om (1) är linjeekvationen α, då säger vi att ekvation (1) bestämmer (sätter) linje α.

Linje α kan bestämmas inte bara av en ekvation av formen (1), utan också av en formekvation

F(P, φ) = 0, som innehåller polära koordinater.

• ekvation av en rät linje med en lutning;

Låt någon rät linje, inte vinkelrät mot axeln, ges ÅH. Låt oss ringa lutningsvinkel given linje till axeln ÅH injektion α för att rotera axeln ÅH så att den positiva riktningen sammanfaller med en av den räta linjens riktningar. Tangensen för lutningsvinkeln för en rät linje till axeln ÅH kallad lutning faktor denna räta linje och betecknad med bokstaven TILL.

	K=tg a
		(1)

Vi härleder ekvationen för denna räta linje, om vi vet dess TILL och värdet i segmentet OV, som hon skär av på axeln OU.

(2)

y=kx+b

Beteckna med M"planets punkt (x; y). Om du ritar rakt BN Och NM, parallellt med axlarna, alltså r BNM - rektangulär. T. MC C BM <=>när värdena NM Och BN uppfylla villkoret: . Men NM=CM-CN=CM-OB=y-b, BN=x=> givet (1), vi förstår poängen M (x; y) C på denna linje<=>när dess koordinater uppfyller ekvationen: =>

Ekvation (2) kallas ekvation för en rät linje med en lutning. Om K=0, då är linjen parallell med axeln ÅH och dess ekvation är y = b.

• ekvation för en rät linje som går genom två punkter;

(4)

Låt två poäng ges M 1 (x 1; y 1) Och M2 (x 2; y2). Efter att ha tagit in (3) poängen M (x; y) Bakom M 2 (x 2; y 2), vi får y 2 -y 1 \u003d k (x 2 - x 1). Definiera k från den sista likheten och ersätter den med ekvation (3) får vi den önskade ekvationen för den räta linjen: . Detta är ekvationen om y 1 ≠ y 2, kan skrivas som:

Om y 1 = y 2, då har ekvationen för den önskade räta linjen formen y = y 1. I detta fall är linjen parallell med axeln ÅH. Om x 1 = x 2, sedan linjen som går genom punkterna M 1 Och M 2, parallellt med axeln OU, dess ekvation har formen x = x 1.

• ekvation för en rät linje som går genom en given punkt med en given lutning;

(3)

Axe + By + C = 0

Sats. I ett rektangulärt koordinatsystem Ohu varje rät linje ges av en ekvation av första graden:

och, omvänt, ekvation (5) för godtyckliga koefficienter A, B, C (MEN Och B ≠ 0 samtidigt) definierar någon linje i ett rektangulärt koordinatsystem Ohu.

Bevis.

Låt oss först bevisa det första påståendet. Om linjen inte är vinkelrät Åh, då bestäms det av ekvationen för första graden: y = kx + b, dvs. formens ekvation (5), där

A=k, B=-1 Och C = b. Om linjen är vinkelrät Åh, då har alla dess punkter samma abskiss som är lika med värdet α segmentet avskuret av en rak linje på axeln Åh.

Ekvationen för denna linje har formen x = α, de där. är också en förstagradsekvation av formen (5), där A \u003d 1, B \u003d 0, C \u003d - α. Detta bevisar det första påståendet.

Låt oss bevisa det omvända påståendet. Låt ekvation (5) ges, och åtminstone en av koefficienterna MEN Och B ≠ 0.

Om B ≠ 0, då kan (5) skrivas som . sluttande , får vi ekvationen y = kx + b, dvs. en ekvation av formen (2) som definierar en rät linje.

Om B = 0, då A ≠ 0 och (5) tar formen . Betecknar igenom α, vi får

x = α, dvs. ekvation för en rät linje vinkelrät Ox.

Linjer som definieras i ett rektangulärt koordinatsystem av en ekvation av första graden kallas första orderraderna.

Typ ekvation Ah + Wu + C = 0är ofullständig, dvs. en av koefficienterna är lika med noll.

1) C = 0; Ah + Wu = 0 och definierar en linje som går genom origo.

2) B = 0 (A ≠ 0); ekvationen Axe + C = 0 OU.

3) A = 0 (B ≠ 0); Wu + C = 0 och definierar en linje parallell Åh.

Ekvation (6) kallas ekvationen för en rät linje "i segment". Tal men Och bär värdena på segmenten som den räta linjen skär av på koordinataxlarna. Denna form av ekvationen är lämplig för den geometriska konstruktionen av en rät linje.

• normalekvationen för en rät linje;

Аx + Вy + С = 0 är den allmänna ekvationen för någon rät linje, och (5) x cos α + y sin α – p = 0(7)

dess normala ekvation.

Eftersom ekvationerna (5) och (7) definierar samma räta linje, då ( A 1x + B 1y + C 1 \u003d 0 Och

A 2x + B 2y + C2 = 0 => ) koefficienterna för dessa ekvationer är proportionella. Detta betyder att genom att multiplicera alla termer i ekvation (5) med någon faktor M, får vi ekvationen MA x + MB y + MS = 0, sammanfallande med ekvation (7), dvs.

MA = cos α, MB = sin α, MC = - P(8)

För att hitta M-faktorn kvadrerar vi de två första av dessa likheter och lägger till:

M 2 (A 2 + B 2) \u003d cos 2 α + sin 2 α \u003d 1

(9)

definierar en kurva i planet. Gruppen av termer kallas kvadratisk form, - linjär form. Om en kvadratisk form endast innehåller kvadrater av variabler, kallas dess form kanonisk, och vektorerna för en ortonormal grund där den kvadratiska formen har en kanonisk form kallas den kvadratiska formens huvudaxlar.
Matrisen kallas en kvadratisk matris. Här a 1 2 = a 2 1 . För att reducera matrisen B till en diagonal form är det nödvändigt att ta egenvektorerna för denna matris som bas, sedan , där λ 1 och λ 2 är egenvärdena för matrisen B.
På grundval av egenvektorer för matrisen B kommer den kvadratiska formen att ha en kanonisk form: λ 1 x 2 1 +λ 2 y 2 1 .
Denna operation motsvarar rotationen av koordinataxlarna. Sedan förskjuts origo, varigenom den linjära formen blir av.
Den kanoniska formen av kurvan av andra ordningen: λ 1 x 2 2 +λ 2 y 2 2 =a, dessutom:
a) om X1 >0; λ 2 > 0 är en ellips, i synnerhet för λ 1 = λ 2 är det en cirkel;
b) om λ 1 >0, λ 2<0 (λ 1 <0, λ 2 >0) vi har en hyperbel;
c) om λ 1 =0 eller λ 2 =0, så är kurvan en parabel och efter att ha vridit koordinataxlarna ser det ut som λ 1 x 2 1 =ax 1 +med 1 +c (här λ 2 =0). Komplementering till en hel kvadrat kommer vi att ha: λ 1 x 2 2 =b 1 y 2 .

Exempel. Givet ekvationen för kurvan 3x 2 +10xy+3y 2 -2x-14y-13=0 i koordinatsystemet (0,i,j), där i =(1,0) och j =(0,1).
1. Bestäm typen av kurva.
2. För ekvationen till den kanoniska formen och konstruera en kurva i det ursprungliga koordinatsystemet.
3. Hitta lämpliga koordinattransformationer.

Lösning. Vi för den kvadratiska formen B=3x 2 +10xy+3y 2 till huvudaxlarna, det vill säga till den kanoniska formen. Matrisen för denna kvadratiska form . Hitta egenvärdena och egenvektorerna för denna matris:

Karakteristisk ekvation:
; λ 1 \u003d -2, λ 2 \u003d 8. Typ av kvadratisk form: .
Den ursprungliga ekvationen definierar en hyperbel.
Observera att formen på den kvadratiska formen inte är unik. Du kan skriva 8x 1 2 -2y 1 2 , men typen av kurva förblir densamma - en hyperbel.
Vi hittar huvudaxlarna för den kvadratiska formen, det vill säga egenvektorerna för matrisen B. .
Egenvektor motsvarande talet λ=-2 för x 1 =1: x 1 =(1,-1).
Som en enhetsegenvektor tar vi vektorn , där är längden på vektorn x 1 .
Koordinaterna för den andra egenvektorn som motsvarar det andra egenvärdet λ=8 hittas från systemet
.
1, j 1).
Enligt formlerna (5) i punkt 4.3.3. vi går över till den nya grunden:
eller

; . (*)

Vi introducerar uttrycken x och y i den ursprungliga ekvationen och efter transformationer får vi: .
Välj hela rutor: .
Vi utför en parallell översättning av koordinataxlarna till ett nytt ursprung: , .
Om vi ​​introducerar dessa relationer i (*) och löser dessa likheter med avseende på x 2 och y 2, så får vi: , . I koordinatsystemet (0*, i 1 , j 1) har denna ekvation formen: .
För att bygga en kurva bygger vi en ny i det gamla koordinatsystemet: x 2 =0-axeln ges i det gamla koordinatsystemet av ekvationen xy-3=0, och y 2 =0-axeln av ekvationen x+ y-1=0. Ursprunget för det nya koordinatsystemet 0 * (2,-1) är skärningspunkten för dessa linjer.
För att förenkla uppfattningen kommer vi att dela upp processen att rita en graf i två steg:
1. Övergång till ett koordinatsystem med axlarna x 2 =0, y 2 =0, givet i det gamla koordinatsystemet av ekvationerna x-y-3=0 respektive x+y-1=0.

2. Konstruktion i det erhållna koordinatsystemet av grafen för funktionen.

Den slutliga versionen av diagrammet ser ut så här: Lösning: Ladda ner lösning

Uppgiften. Fastställ att var och en av följande ekvationer definierar en ellips och hitta koordinaterna för dess centrum C, halvaxlar, excentricitet, riktningsekvationer. Rita en ellips på ritningen som anger symmetriaxlarna, foci och riktlinjer.
Lösning.

§ 9. Begreppet ekvation av en linje.

Definiera en linje med hjälp av en ekvation

Likhet av formen F (x, y) = 0 kallas en ekvation med två variabler x, y, om det inte är sant för alla par av tal x, y. De säger två siffror x = x 0 , y=y 0, uppfylla någon formekvation F(x, y)=0, om när dessa siffror ersätts istället för variabler X Och på i ekvationen försvinner dess vänstra sida.

Ekvationen för en given linje (i det tilldelade koordinatsystemet) är en sådan ekvation med två variabler, som är uppfylld av koordinaterna för varje punkt som ligger på denna linje, och inte uppfylld av koordinaterna för varje punkt som inte ligger på den.

I framtiden, istället för uttrycket "med tanke på linjens ekvation F(x, y) = 0" säger vi ofta kortare: givet en linje F(x, y) = 0.

Givet ekvationerna för två linjer F(x, y) = 0 Och Ф(x, y) = Q, sedan den gemensamma lösningen av systemet

Ger alla deras skärningspunkter. Mer exakt bestämmer varje par av siffror, som är en gemensam lösning av detta system, en av skärningspunkterna.

1)X 2 +y 2 = 8, x-y = 0;

2) X 2 +y 2 -16x+4på+18 = 0, x + y= 0;

3) X 2 +y 2 -2x+4på -3 = 0, X 2 + y 2 = 25;

4) X 2 +y 2 -8x+10y+40 = 0, X 2 + y 2 = 4.

163. Poäng ges i det polära koordinatsystemet

Bestäm vilken av dessa punkter som ligger på linjen som definieras av ekvationen i polära koordinater  = 2 cos , och vilka som inte ligger på den. Vilken linje bestäms av denna ekvation? (Visa det på ritningen :)

164. På linjen som definieras av ekvationen  =
, hitta punkter vars polära vinklar är lika med följande tal: a) ,b) - , c) 0, d) . Vilken linje definieras av denna ekvation?

(Bygg den på ritningen.)

165. På linjen som definieras av ekvationen  =
, hitta punkter vars polära radier är lika med följande tal: a) 1, b) 2, c)
. Vilken linje definieras av denna ekvation? (Bygg den på ritningen.)

166. Bestäm vilka linjer som bestäms i polära koordinater med följande ekvationer (bygg dem på ritningen):

1)  = 5; 2)  = ; 3)  = ; 4)  cos  = 2; 5)  sin  = 1;

6)  = 6 cos ; 7)  = 10 sin ; 8) synd  =

Betrakta funktionen som ges av formeln (ekvationen)

Denna funktion, och därmed ekvation (11), motsvarar på planet en väldefinierad linje, som är grafen för denna funktion (se fig. 20). Det följer av definitionen av funktionsgrafen att denna linje består av de och endast de punkter i planet vars koordinater uppfyller ekvation (11).

Låt nu

Linjen, som är grafen för denna funktion, består av de och endast de punkter i planet vars koordinater uppfyller ekvation (12). Detta betyder att om en punkt ligger på den specificerade linjen, så uppfyller dess koordinater ekvation (12). Om punkten inte ligger på denna linje, så uppfyller dess koordinater inte ekvation (12).

Ekvation (12) löses med avseende på y. Betrakta en ekvation som innehåller x och y som inte är löst med avseende på y, såsom ekvationen

Låt oss visa att en linje motsvarar denna ekvation i planet, nämligen en cirkel centrerad vid koordinaternas ursprung och med en radie lika med 2. Låt oss skriva om ekvationen i formen

Dess vänstra sida är kvadraten på punktens avstånd från origo (se § 2, punkt 2, formel 3). Av likhet (14) följer att kvadraten på detta avstånd är 4.

Detta betyder att varje punkt vars koordinater uppfyller ekvation (14), och därmed ekvation (13), är belägen på ett avstånd av 2 från origo.

Platsen för sådana punkter är en cirkel centrerad vid origo och radie 2. Denna cirkel kommer att vara den linje som motsvarar ekvation (13). Koordinaterna för någon av dess punkter uppfyller uppenbarligen ekvation (13). Om punkten inte ligger på cirkeln vi hittade, kommer kvadraten på dess avstånd från origo antingen att vara större eller mindre än 4, vilket betyder att koordinaterna för en sådan punkt inte uppfyller ekvation (13).

Låt nu, i det allmänna fallet, med tanke på ekvationen

på vänster sida av vilken är ett uttryck som innehåller x och y.

Definition. Linjen som definieras av ekvation (15) är platsen för punkter i planet vars koordinater uppfyller denna ekvation.

Detta betyder att om linjen L bestäms av ekvationen, så uppfyller koordinaterna för någon punkt i L denna ekvation, och koordinaterna för någon punkt på planet som ligger utanför L uppfyller inte ekvation (15).

Ekvation (15) kallas linjeekvationen

Kommentar. Man bör inte tro att någon ekvation definierar någon linje. Till exempel definierar inte ekvationen någon linje. För alla reella värden på och y är den vänstra sidan av denna ekvation positiv, och den högra sidan är lika med noll, och därför kan denna ekvation inte uppfylla koordinaterna för någon punkt i planet

En linje kan definieras på ett plan inte bara av en ekvation som innehåller kartesiska koordinater, utan också av en ekvation i polära koordinater. Linjen som definieras av ekvationen i polära koordinater är platsen för punkter i planet vars polära koordinater uppfyller denna ekvation.

Exempel 1. Konstruera Arkimedes-spiralen vid .

Lösning. Låt oss göra en tabell för några värden för den polära vinkeln och motsvarande värden för den polära radien.

Vi bygger en punkt i det polära koordinatsystemet, som uppenbarligen sammanfaller med polen; sedan, genom att rita axeln i en vinkel mot polaxeln, konstruerar vi en punkt med en positiv koordinat på denna axel; efter det konstruerar vi på liknande sätt punkter med positiva värden för polarvinkeln och polarradien (axlarna för dessa punkter visas inte i fig. 30).

Genom att koppla ihop punkterna får vi en gren av kurvan, indikerad i fig. 30 fet linje. Vid ändring från 0 till denna gren består kurvan av ett oändligt antal varv.