Variationsmetod för linjära ekvationer. Lösning av linjära inhomogena differentialekvationer av högre ordningar med Lagrangian -metoden. Sociala förändringar. Stat och kyrka
Metoden för variation av godtyckliga konstanter används för att lösa inhomogen differentialekvationer... Denna lektion är avsedd för de elever som redan är mer eller mindre väl insatta i ämnet. Om du precis börjar bekanta dig med DU, d.v.s. Om du är en tekanna rekommenderar jag att du börjar med den första lektionen: Differentialekvationer av första ordningen. Exempel på lösningar... Och om du redan är klar, släng den möjliga förutfattade uppfattningen att metoden är svår. För det är enkelt.
I vilka fall tillämpas metoden för variation av godtyckliga konstanter?
1) Metoden för variation av en godtycklig konstant kan användas för att lösa linjär ojämn DE av första ordningen... Eftersom ekvationen är av första ordningen är konstanten (konstanten) också en.
2) Metoden för variation av godtyckliga konstanter används för att lösa några linjära inhomogena ekvationer av andra ordningen... Två konstanter varierar här.
Det är logiskt att anta att lektionen kommer att bestå av två stycken…. Jag skrev det här förslaget, och i 10 minuter tänkte jag smärtsamt på vilket annat smart skit att lägga till för en smidig övergång till praktiska exempel. Men av någon anledning finns det inga tankar efter semestern, även om han inte tycktes missbruka någonting. Låt oss därför gå direkt till första stycket.
Variationsmetod för en godtycklig konstant
för en linjär inhomogen första ordnings ekvation
Innan man överväger metoden för variation av en godtycklig konstant, är det lämpligt att vara bekant med artikeln Linjära differentialekvationer av första ordningen... På den lektionen tränade vi första lösningen icke-enhetlig DE i första ordningen. Låt mig påminna dig om att denna första lösning kallas ersättningsmetod eller Bernoulli -metoden(att inte förväxla med Bernoulli ekvation!!!)
Vi kommer nu att överväga andra lösningen- metod för variation av en godtycklig konstant. Jag ger bara tre exempel, och jag tar dem från ovanstående lektion. Varför så lite? För i själva verket kommer lösningen på det andra sättet att vara mycket lik lösningen på det första sättet. Enligt mina observationer används dessutom metoden för variation av godtyckliga konstanter mindre ofta än ersättningsmetoden.
Exempel 1
(Skillnad från exempel # 2 på lektionen Linjär inhomogen DE av första ordningen)
Lösning: Denna ekvation är linjär inhomogen och har en välbekant form: 
Det första steget är att lösa en enklare ekvation: 
Det vill säga att vi dumt nollar ut höger sida - istället för att skriva noll.
Ekvationen jag ringer hjälpekvation.
I det här exemplet måste du lösa följande hjälpekvation:
Före oss separerbar ekvation, vars lösning (förhoppningsvis) inte längre är svår för dig: 
Således: 
- allmän lösning av hjälpekvationen.
I det andra steget byta ut konstant av vissa än okänd funktion som beror på "x":
Därav namnet på metoden - vi varierar konstanten. Alternativt kan konstanten vara någon funktion som vi måste hitta nu.
V original- inhomogen ekvation vi kommer att ersätta:
Ersättare och 
in i ekvationen :
Kontrollmoment - de två termerna till vänster avbryts... Om detta inte händer bör du leta efter felet ovan.
Som ett resultat av ersättningen erhålls en ekvation med separerbara variabler. Separera variabler och integrera.
Vilken välsignelse, utställarna minskar också:
Lägg till den "normala" konstanten till den funna funktionen:
På sista steget kom ihåg om vår ersättare:
Funktionen har just hittats!
Så den allmänna lösningen är: 
Svar: gemensamt beslut: 
Om du skriver ut två lösningar kommer du lätt att märka att vi i båda fallen hittade samma integraler. Den enda skillnaden är i lösningsalgoritmen.
För något mer komplicerat kommer jag att kommentera det andra exemplet:
Exempel 2
Hitta den allmänna lösningen på differentialekvationen 
(Skillnad från exempel # 8 på lektionen Linjär inhomogen DE av första ordningen)
Lösning: Låt oss ta ekvationen till formen :
Låt oss nolla höger sida och lösa hjälpekvationen:
Allmän lösning på hjälpekvationen:
I den inhomogena ekvationen gör vi ersättningen:
Enligt regeln om produktdifferentiering: 
Ersättare och in i den ursprungliga inhomogena ekvationen:
De två termerna till vänster avbryts, vilket innebär att vi är på rätt väg: 
Vi integrerar med delar. En välsmakande bokstav från formeln för integration av delar har redan använts i lösningen, så vi använder till exempel bokstäverna "a" och "be":
Nu kommer vi ihåg den utförda ersättningen:
Svar: gemensamt beslut:
Och ett exempel på en gör-det-själv-lösning:
Exempel 3
Hitta en särskild lösning på en differentialekvation som motsvarar ett givet startvillkor.
,
(Skillnad från exempel # 4 på lektionen Linjär inhomogen DE av första ordningen)
Lösning:
Denna DE är linjär inhomogen. Vi använder metoden för variation av godtyckliga konstanter. Låt oss lösa hjälpekvationen:
Separera variabler och integrera: 
Gemensamt beslut: 
I den inhomogena ekvationen kommer vi att ersätta: 
Låt oss utföra substitutionen: 
Så den allmänna lösningen är: 
Låt oss hitta en särskild lösning som motsvarar det angivna initiala villkoret: 
Svar: privat lösning:
Lösningen i slutet av lektionen kan fungera som ett grovt exempel för att avsluta uppgiften.
Variationsmetod för godtyckliga konstanter
för en linjär inhomogen andra ordningens ekvation
med konstanta koefficienter
Vi hörde ofta uppfattningen att metoden för variation av godtyckliga konstanter för en andra ordnings ekvation inte är lätt. Men min gissning är följande: troligtvis verkar metoden svår för många, eftersom den inte är så vanlig. Men i verkligheten finns det inga särskilda svårigheter - beslutets gång är tydlig, transparent, begriplig. Och vacker.
För att behärska metoden är det önskvärt att kunna lösa inhomogena andra ordnings ekvationer genom att välja en särskild lösning i form av höger sida. Denna metod diskuteras i detalj i artikeln. Inhomogen DE av andra ordningen... Vi påminner om att den andra ordningens linjära inhomogena ekvation med konstanta koefficienter har formen:
Urvalsmetoden, som övervägdes i ovanstående lektion, fungerar endast i ett begränsat antal fall när polynom, exponenter, siner, cosinus är på höger sida. Men vad ska man göra när till höger, till exempel bråk, logaritm, tangent? I en sådan situation kommer metoden för variation av konstanter till undsättning.
Exempel 4
Hitta den allmänna lösningen för andra ordningens differentialekvation 
Lösning: Det finns en bråkdel på höger sida av denna ekvation, så vi kan omedelbart säga att metoden för att välja en viss lösning inte fungerar. Vi använder metoden för variation av godtyckliga konstanter.
Inget förebådar ett åskväder, början på lösningen är helt vanlig:
Hitta gemensamt beslut motsvarande homogen ekvationer: 
Låt oss komponera och lösa den karakteristiska ekvationen: 
- de konjugerade komplexa rötterna erhålls, därför är den allmänna lösningen:
Var uppmärksam på posten för den allmänna lösningen - om det finns parenteser, så utökar vi dem.
Nu gör vi nästan samma trick som för första ordningens ekvation: vi varierar konstanterna och ersätter dem med okända funktioner. Det är, allmän lösning på heterogen vi kommer att söka ekvationer i formen:
Var - än okända funktioner.
Det ser ut som en deponi för hushållsavfall, men nu ska vi sortera allt.
Derivat av funktioner fungerar som okända. Vårt mål är att hitta derivat, och de hittade derivaten måste uppfylla både den första och den andra ekvationen i systemet.
Var kommer "spelen" ifrån? Storken tar med dem. Vi tittar på den allmänna lösningen som erhållits tidigare och skriver ner:
Låt oss hitta derivaten:
Med de vänstra delarna sorterade. Vad är till höger?
Är den högra sidan av den ursprungliga ekvationen, i det här fallet:
Koefficienten är koefficienten vid det andra derivatet:
I praktiken, nästan alltid, och vårt exempel är inget undantag.
Allt är klart, nu kan du skapa ett system: 
Systemet bestäms vanligtvis med Cramers formler med en standardalgoritm. Den enda skillnaden är att vi har funktioner istället för siffror.
Låt oss hitta den viktigaste determinanten för systemet: 
Om du har glömt hur determinanten "två för två" avslöjas, se lektionen Hur beräknar man determinanten? Länken leder till skambrädan =)
Så: detta innebär att systemet har en unik lösning.
Hitta derivatet: 
Men det är inte allt, hittills har vi bara hittat derivatet.
Själva funktionen återställs genom integration:
Låt oss ta itu med den andra funktionen: 
Här lägger vi till en "normal" konstant
I slutskedet av lösningen minns vi i vilken form vi letade efter den allmänna lösningen för den inhomogena ekvationen? I ett sådant:
Funktionerna du letar efter har just hittats! 
Det återstår att utföra substitutionen och skriva ner svaret:
Svar: gemensamt beslut:
I princip kan parenteserna utökas i svaret.
Fullständig verifiering av svaret utförs enligt standardschemat, som diskuterades i lektionen Inhomogen DE av andra ordningen... Men verifieringen kommer inte att vara lätt, eftersom det är nödvändigt att hitta ganska tunga derivat och utföra en besvärlig substitution. Detta är en obehaglig funktion när du har att göra med diffusion som denna.
Exempel 5
Lös en differentialekvation genom att variera godtyckliga konstanter
Detta är ett exempel på en gör-det-själv-lösning. Faktum är att höger sida också är en bråkdel. Vi minns den trigonometriska formeln, förresten, den kommer att behöva appliceras under lösningens gång.
Metoden för variation av godtyckliga konstanter är den mest mångsidiga metoden. De kan lösa alla ekvationer som är lösta genom metoden att välja en viss lösning utifrån höger sida... Frågan uppstår, varför inte använda metoden för variation av godtyckliga konstanter där också? Svaret är uppenbart: valet av en privat lösning, som övervägdes i lektionen Inhomogena andra ordnings ekvationer, påskyndar lösningen avsevärt och förkortar skrivandet - ingen jävla med determinanter och integraler.
Tänk på två exempel med Cauchy -problemet.
Exempel 6
Hitta en särskild lösning av differentialekvationen som motsvarar de angivna initiala villkoren
, 
Lösning:Återigen bråkdel och exponent på en intressant plats.
Vi använder metoden för variation av godtyckliga konstanter.
Hitta gemensamt beslut motsvarande homogen ekvationer: 
- olika verkliga rötter erhålls, så den allmänna lösningen är:
Allmän lösning på heterogen vi söker ekvationer i formen :, där - än okända funktioner.
Låt oss komponera systemet:
I detta fall:
,
Hitta derivat: 
, 
Således: 
Vi löser systemet med Cramers formler:
, vilket innebär att systemet har en unik lösning.
Vi återställer funktionen genom att integrera:
Använd här metod för att föra en funktion under differentialtecknet.
Vi återställer den andra funktionen genom att integrera: 
En sådan integral är löst variabel ersättningsmetod:
Från själva ersättningen uttrycker vi:
Således: 
Denna integral kan hittas full kvadrat urvalsmetod, men i exemplen med skillnader föredrar jag att expandera fraktionen metod för odefinierade koefficienter:
Båda funktionerna finns:
Som ett resultat är den allmänna lösningen på den inhomogena ekvationen:
Låt oss hitta en särskild lösning som uppfyller de ursprungliga villkoren .
Tekniskt sett utförs sökningen efter en lösning på standardmetoden, vilket diskuterades i artikeln Inhomogena differentialekvationer av andra ordningen.
Vänta, nu hittar vi härledningen till den gemensamma lösningen:
Här är en sådan skam. Det är inte nödvändigt att förenkla det; det är lättare att omedelbart komponera ett ekvationssystem. Enligt de ursprungliga förutsättningarna :
Ersätt de hittade värdena för konstanterna 
till en allmän lösning:
I svaret kan logaritmerna packas lite.
Svar: privat lösning: 
Som du kan se kan svårigheter uppstå i integraler och derivat, men inte i algoritmen för metoden för variation av godtyckliga konstanter i sig. Det var inte jag som skrämde dig, det här är hela Kuznetsovs samling!
För avkoppling, ett sista, enklare exempel på en gör-det-själv-lösning:
Exempel 7
Lös Cauchy -problemet
, 
Ett exempel är enkelt, men kreativt, när du gör ett system, ta en närmare titt på det innan du bestämmer dig ;-),
Som ett resultat är den allmänna lösningen:
Låt oss hitta en särskild lösning som motsvarar de ursprungliga villkoren .
Låt oss ersätta de hittade värdena för konstanterna i den allmänna lösningen:
Svar: privat lösning:
Tänk nu på den linjära inhomogena ekvationen
. (2)
Låt y 1, y 2, .., y n vara det grundläggande systemet för lösningar och vara den allmänna lösningen för motsvarande homogena ekvation L (y) = 0. På samma sätt som för första ordningens ekvationer kommer vi att söka en lösning på ekv. (2) i formen
. (3)
Låt oss se till att det finns en lösning i denna form. För att göra detta ersätter vi funktionen i ekvationen. För att ersätta denna funktion med ekvationen hittar vi dess derivat. Det första derivatet är 
. (4)
Vid beräkning av det andra derivatet kommer fyra termer att visas på höger sida av (4), vid beräkning av det tredje derivatet kommer åtta termer att visas osv. För att underlätta ytterligare beräkningar antas därför den första termen i (4) vara noll. Med detta i åtanke är det andra derivatet 
. (5)
Av samma skäl som tidigare satte vi i (5) den första termen lika med noll. Slutligen är det n: e derivatet 
. (6)
Vi har ersatt de erhållna värdena för derivaten i den ursprungliga ekvationen 
. (7)
Den andra termen i (7) är lika med noll, eftersom funktionerna y j, j = 1,2, .., n, är lösningar av motsvarande homogena ekvation L (y) = 0. I kombination med den föregående får vi ett system med algebraiska ekvationer för att hitta funktionerna C "j (x) 
(8)
Determinanten för detta system är Wronskii -determinanten för det grundläggande systemet med lösningar y 1, y 2, .., y n för motsvarande homogena ekvation L (y) = 0 och är därför inte lika med noll. Därför finns det en unik lösning på system (8). Efter att ha hittat det får vi funktionerna C "j (x), j = 1,2, ..., n, och därför C j (x), j = 1,2, ..., n Ersätter dessa värden till (3), får vi en lösning på en linjär inhomogen ekvation.
Den beskrivna metoden kallas metoden för variation av en godtycklig konstant eller Lagrange -metoden.
Exempel # 1. Låt oss hitta den allmänna lösningen för ekvationen y "" + 4y " + 3y = 9e -3 x. Betrakta motsvarande homogena ekvation y" " + 4y" + 3y = 0. Rötterna till dess karakteristiska ekvation r 2 + 4r + 3 = 0 är lika med -1 och - 3. Därför består det grundläggande systemet med lösningar för den homogena ekvationen av funktionerna y 1 = e - x och y 2 = e -3 x. Vi söker lösningen av den inhomogena ekvationen i formen y = C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. För att hitta derivaten C "1, C" 2, komponerar vi ekvationssystemet (8)
C ′ 1 e -x + C ′ 2 e -3x = 0
-C '1 e -x -3C' 2 e -3x = 9e -3x
lösa vilka, vi hittar, Integrera de erhållna funktionerna, vi har 
Vi får äntligen
Exempel # 2. Lös linjära differentialekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter med metoden för variation av godtyckliga konstanter: 
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10 ln3
Lösning:
Denna differentialekvation avser linjära differentialekvationer med konstanta koefficienter.
Vi kommer att söka en lösning på ekvationen i formen y = e rx. För att göra detta komponerar vi den karakteristiska ekvationen för en linjär homogen differentialekvation med konstanta koefficienter:
r 2 -6 r + 8 = 0
D = (-6) 2-4 1 8 = 4
Rötter i den karakteristiska ekvationen: r 1 = 4, r 2 = 2
Följaktligen består det grundläggande lösningssystemet av funktionerna: y 1 = e 4x, y 2 = e 2x
Den allmänna lösningen för den homogena ekvationen har formen: y = C 1 e 4x + C 2 e 2x
Sök efter en särskild lösning med metoden för variation av en godtycklig konstant.
För att hitta derivaten C "i, komponerar vi ett ekvationssystem:
C ′ 1 e 4x + C ′ 2 e 2x = 0
C ′ 1 (4e 4x) + C ′ 2 (2e 2x) = 4 / (2 + e -2x)
Låt oss uttrycka C "1 från den första ekvationen:
C "1 = -c2 e -2x
och ersätt i den andra. Som ett resultat får vi:
C "1 = 2 / (e 2x + 2e 4x)
C "2 = -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Vi integrerar de erhållna funktionerna C "i:
Ci = 2ln (e -2x +2) -e -2x + C * 1
C 2 = ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2
Eftersom y = C 1 e 4x + C 2 e 2x, skriver vi de erhållna uttrycken i formen:
C 1 = (2ln (e -2x +2) -e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln (e -2x +2) -e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln (2e 2x +1) - 2x + C * 2) e 2x = e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
Således har den allmänna lösningen av differentialekvationen formen:
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 2 e 2x
eller
y = 2 e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Låt oss hitta en särskild lösning:
y (0) = 1 + 3ln3
y ’(0) = 10 ln3
Genom att ersätta x = 0 i den hittade ekvationen får vi:
y (0) = 2 ln (3) - 1 + ln (3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
Hitta det första derivatet av den resulterande allmänna lösningen:
y ’= 2e 2x (2C 1 e 2x +C 2 -2x +4 e 2x ln (e -2x +2) +ln (2e 2x +1) -2)
Om vi ersätter x = 0 får vi:
y ’(0) = 2 (2C 1 + C 2 +4 ln (3) + ln (3) -2) = 4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
Vi får ett system med två ekvationer:
3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3ln3
4C 1 + 2C 2 +10 ln (3) -4 = 10ln3
eller
C * 1 + C * 2 = 2
4C 1 + 2C 2 = 4
eller
C * 1 + C * 2 = 2
2C 1 + C 2 = 2
Varifrån: C 1 = 0, C * 2 = 2
En privat lösning kommer att skrivas som:
y = 2e 4x ln (e -2x +2) - e 2x + e 2x ln (2e 2x +1) - 2x e 2x + 2 e 2x
En metod för att lösa linjära inhomogena differentialekvationer av högre ordningar med konstanta koefficienter genom variationen i Lagrange -konstanterna övervägs. Lagrange -metoden är också tillämplig för att lösa alla linjära inhomogena ekvationer om det grundläggande systemet med lösningar på den homogena ekvationen är känt.
InnehållSe även:
Lagrange -metod (variation av konstanter)
Tänk på en linjär inhomogen differentialekvation med konstanta koefficienter av en godtycklig n: e ordning:
(1)
.
Metoden för variation av konstanten, som vi anser för första ordningsekvationen, är också tillämplig för ekvationer av högre ordning.
Lösningen utförs i två steg. I det första steget kastar vi den högra sidan och löser den homogena ekvationen. Som ett resultat får vi en lösning som innehåller n godtyckliga konstanter. I det andra steget varierar vi konstanterna. Det vill säga, vi anser att dessa konstanter är funktioner för den oberoende variabeln x och hittar formen för dessa funktioner.
Även om vi överväger ekvationer med konstanta koefficienter här, men Lagranges metod är också tillämplig för att lösa alla linjära inhomogena ekvationer... För detta måste dock det grundläggande systemet för lösningar för den homogena ekvationen vara känt.
Steg 1. Lösa den homogena ekvationen
Liksom för första ordningens ekvationer letar vi först efter en allmän lösning på den homogena ekvationen, vilket likställer den inhomogena högra sidan till noll:
(2)
.
Den allmänna lösningen på en sådan ekvation har formen:
(3)
.
Här finns godtyckliga konstanter; - n linjärt oberoende lösningar på homogen ekvation (2), som utgör ett grundläggande system för lösningar på denna ekvation.
Steg 2. Variation av konstanter - ersättning av konstanter med funktioner
I det andra steget kommer vi att ta itu med variationen av konstanter. Med andra ord kommer vi att ersätta konstanter med funktioner för den oberoende variabeln x:
.
Det vill säga, vi letar efter en lösning på den ursprungliga ekvationen (1) i följande form:
(4)
.
Om vi ersätter (4) med (1) får vi en differentialekvation för n -funktioner. Dessutom kan vi relatera dessa funktioner genom ytterligare ekvationer. Då får du n ekvationer, från vilka du kan bestämma n funktioner. Ytterligare ekvationer kan konstrueras på olika sätt. Men vi kommer att göra det så att lösningen har den enklaste formen. För detta är det under differentiering nödvändigt att likställa termerna som innehåller derivat av funktioner till noll. Låt oss visa detta.
För att ersätta den föreslagna lösningen (4) med den ursprungliga ekvationen (1) måste vi hitta derivaten av de första n -ordningarna i funktionen skrivna i formen (4). Vi differentierar (4) genom att tillämpa reglerna för differentiering av summan och produkten:
.
Låt oss gruppera medlemmarna. Först skriver vi ut termer med derivat från och sedan - termer med derivat från:
.
Låt oss införa det första villkoret för funktionerna:
(5.1)
.
Då kommer uttrycket för det första derivatet med avseende på att ha en enklare form:
(6.1)
.
Hitta det andra derivatet på samma sätt:
.
Låt oss införa det andra villkoret för funktionerna:
(5.2)
.
Sedan
(6.2)
.
Etc. I ytterligare termer sätter vi termerna som innehåller derivaten av funktionerna till noll.
Om du väljer följande ytterligare ekvationer för funktionerna:
(5.k) ,
då kommer de första derivaten med avseende på den enklaste formen:
(6.k) .
Här.
Hitta det n: a derivatet:
(6.n)
.
Ersätt den ursprungliga ekvationen (1):
(1)
;
.
Låt oss ta hänsyn till att alla funktioner uppfyller ekvation (2):
.
Då ger summan av termerna som innehåller noll. Som ett resultat får vi:
(7)
.
Som ett resultat fick vi ett system med linjära ekvationer för derivaten:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7 ′) .
När vi löser detta system hittar vi uttryck för derivaten som en funktion av x. Integrering får vi:
.
Här är konstanter som inte längre är beroende av x. Genom att ersätta (4) får vi den allmänna lösningen av den ursprungliga ekvationen.
Observera att vi aldrig har använt det faktum att koefficienterna a i är konstanta för att bestämma värdena för derivaten. Det är därför Lagranges metod är tillämplig för att lösa alla linjära inhomogena ekvationer om det grundläggande systemet med lösningar för den homogena ekvationen (2) är känt.
Exempel på
Lös ekvationerna med metoden för variation av konstanter (Lagrange).
Lösningsexempel >>>
Lösa ekvationer av högre ordning med Bernoulli-metoden
Lösning av linjära inhomogena differentialekvationer av högre ordning med konstanta koefficienter genom linjär substitution
Föreläsning 44. Linjära inhomogena ekvationer av andra ordningen. Metod för variation av godtyckliga konstanter. Linjära inhomogena ekvationer av andra ordningen med konstanta koefficienter. (speciell höger sida).
Sociala förändringar. Stat och kyrka.
Bolsjevikernas socialpolitik dikterades till stor del av deras klassstrategi. Genom ett dekret av den 10 november 1917 förstördes egendomssystemet, förrevolutionära led, titlar och utmärkelser avskaffades. Valbarheten hos domare har fastställts; sekularisering av civila stater genomfördes. Gratis utbildning och sjukvård inrättades (dekret av den 31 oktober 1918). Kvinnor fick lika rättigheter som män (dekret från 16 och 18 december 1917). Äktenskapsdekretet införde institutionen för civilt äktenskap.
Genom förordningen av folkrådet för folkkommissarierna den 20 januari 1918 separerades kyrkan från staten och från utbildningssystemet. Det mesta av kyrkans egendom har beslagtagits. Patriarken i Moskva och hela Ryssland Tikhon (vald den 5 november 1917) den 19 januari 1918 anatematiserad Sovjetmakten och efterlyste kampen mot bolsjevikerna.
Tänk på den andra ordningens linjära inhomogena ekvation
Strukturen för den allmänna lösningen av en sådan ekvation bestäms av följande sats:
Sats 1. Den allmänna lösningen för den inhomogena ekvationen (1) representeras som summan av någon särskild lösning av denna ekvation och den allmänna lösningen av motsvarande homogena ekvation
Bevis... Det är nödvändigt att bevisa att summan
är den allmänna lösningen av ekvation (1). Låt oss först bevisa att funktion (3) är en lösning på ekvation (1).
Ersätta summan i ekvation (1) istället för på, kommer att ha
Eftersom det finns en lösning på ekvation (2) är uttrycket i de första parenteserna identiskt lika med noll. Eftersom det finns en lösning på ekvation (1) är uttrycket i de andra parenteserna lika med f (x)... Därför är jämlikhet (4) en identitet. Således bevisas den första delen av satsen.
Låt oss bevisa det andra påståendet: uttryck (3) är allmän lösning av ekvation (1). Vi måste bevisa att de godtyckliga konstanter som ingår i detta uttryck kan väljas så att de första villkoren är uppfyllda:
oavsett siffror x 0, y 0 och (om bara x 0 togs från området där funktioner a 1, a 2 och f (x) kontinuerlig).
Lägg märke till vad som kan representeras i formuläret. Baserat på villkor (5) kommer vi att ha
Låt oss lösa detta system och definiera C 1 och C 2... Låt oss skriva om systemet som:
Observera att determinanten för detta system är Wronski -determinanten för funktionerna vid 1 och vid 2 vid punkten x = x 0... Eftersom dessa funktioner är linjärt oberoende av hypotes, är Vronsky -determinanten inte lika med noll; därför har system (6) en bestämd lösning C 1 och C 2, d.v.s. det finns sådana värden C 1 och C 2, för vilken formel (3) bestämmer lösningen av ekvation (1) som uppfyller de givna initiala villkoren. Q.E.D.
Låt oss vända oss till den allmänna metoden för att hitta särskilda lösningar för en inhomogen ekvation.
Låt oss skriva den allmänna lösningen för den homogena ekvationen (2)
Vi kommer att söka en särskild lösning på den inhomogena ekvationen (1) i formen (7), med tanke på C 1 och C 2 som några ännu okända funktioner från NS.
Låt oss skilja på jämlikhet (7):
Låt oss välja de funktioner som krävs C 1 och C 2 så att jämlikheten
Om detta ytterligare villkor beaktas, tar det första derivatet formen
Genom att skilja detta uttryck nu hittar vi:
Vi ersätter ekvation (1)
Uttrycken i de två första parenteserna försvinner eftersom y 1 och y 2- lösningar på en homogen ekvation. Följaktligen tar den sista jämlikheten formen
Således kommer funktion (7) att vara en lösning för inhomogen ekvation (1) om funktioner C 1 och C 2 uppfylla ekvationerna (8) och (9). Låt oss komponera ett ekvationssystem från ekvationerna (8) och (9).
Eftersom determinanten för detta system är Wronski -determinanten för linjärt oberoende lösningar y 1 och y 2 ekvation (2), då är den inte lika med noll. Därför löser vi systemet som definitiva funktioner för NS:
När vi löser detta system hittar vi var vi, som ett resultat av integrationen, får fram. Därefter ersätter vi de funna funktionerna i formeln, vi får den allmänna lösningen för den inhomogena ekvationen, där det finns godtyckliga konstanter.
