अंकगणितीय प्रगति को हल करना कैसे सीखें।  बीजगणित: अंकगणित और ज्यामितीय प्रगति। अंकगणितीय प्रगति का योग

उदाहरण के लिए, अनुक्रम \(2\); \(5\); \(8\); \(ग्यारह\); \(14\)... एक अंकगणितीय प्रगति है, क्योंकि प्रत्येक अगला तत्व पिछले एक से तीन से भिन्न होता है (तीन जोड़कर पिछले एक से प्राप्त किया जा सकता है):

इस प्रगति में, अंतर \(d\) सकारात्मक है (\(3\) के बराबर), और इसलिए प्रत्येक अगला पद पिछले से बड़ा है। ऐसी प्रगति कहलाती है की बढ़ती.

हालाँकि, \(d\) भी हो सकता है ऋणात्मक संख्या. उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति में \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... प्रगति अंतर \(d\) शून्य से छह के बराबर है।

और इस मामले में, प्रत्येक अगला तत्व पिछले वाले से छोटा होगा। इन प्रगतियों को कहा जाता है घटते.

अंकगणितीय प्रगति संकेतन

प्रगति को एक छोटे लैटिन अक्षर द्वारा दर्शाया गया है।

वे संख्याएँ जो एक क्रम बनाती हैं, कहलाती हैं सदस्यों(या तत्व)।

उन्हें अंकगणितीय प्रगति के समान अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, लेकिन क्रम में तत्व की संख्या के बराबर संख्यात्मक सूचकांक के साथ।

उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) में तत्व \(a_1=2\) शामिल हैं; \(a_2=5\); \(a_3=8\) इत्यादि।

दूसरे शब्दों में, प्रगति के लिए \(a_n = \left\(2; 5; 8; 11; 14...\right\)\)

अंकगणितीय प्रगति समस्याओं को हल करना

सिद्धांत रूप में, ऊपर प्रस्तुत जानकारी लगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या (ओजीई में पेश की गई समस्याओं सहित) को हल करने के लिए पहले से ही पर्याप्त है।

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगतिशर्तों \(b_1=7; d=4\) द्वारा दिया गया है। \(b_5\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_5=23\)

उदाहरण (ओजीई)। एक अंकगणितीय प्रगति के पहले तीन पद दिए गए हैं: \(62; 49; 36…\) इस प्रगति के पहले नकारात्मक पद का मान ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	हमें अनुक्रम के पहले तत्व दिए गए हैं और हम जानते हैं कि यह एक अंकगणितीय प्रगति है। अर्थात्, प्रत्येक तत्व अपने पड़ोसी से समान संख्या में भिन्न होता है। आइए अगले तत्व से पिछले तत्व को घटाकर पता लगाएं कि कौन सा है: \(d=49-62=-13\)।
	अब हम अपनी प्रगति को उस (पहले नकारात्मक) तत्व पर पुनर्स्थापित कर सकते हैं जिसकी हमें आवश्यकता है।
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं.

उत्तर: \(-3\)

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति के कई लगातार तत्वों को देखते हुए: \(...5; x; 10; 12.5...\) अक्षर \(x\) द्वारा निर्दिष्ट तत्व का मान ज्ञात करें।
समाधान:

	\(x\) को खोजने के लिए, हमें यह जानना होगा कि अगला तत्व पिछले वाले से कितना अलग है, दूसरे शब्दों में, प्रगति अंतर। आइए इसे दो ज्ञात पड़ोसी तत्वों से खोजें: \(d=12.5-10=2.5\).
	और अब हम जो खोज रहे हैं उसे आसानी से पा सकते हैं: \(x=5+2.5=7.5\).
	तैयार। आप उत्तर लिख सकते हैं.

उत्तर: \(7,5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति को निम्नलिखित शर्तों द्वारा परिभाषित किया गया है: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) इस प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

	हमें प्रगति के पहले छह पदों का योग ज्ञात करना होगा। लेकिन हम उनके अर्थ नहीं जानते; हमें केवल पहला तत्व दिया गया है। इसलिए, जो हमें दिया गया है उसका उपयोग करके हम पहले एक-एक करके मूल्यों की गणना करते हैं: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) और हमें आवश्यक छह तत्वों की गणना करने के बाद, हम उनका योग ज्ञात करते हैं।
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	आवश्यक राशि मिल गयी है.

उत्तर: \(S_6=9\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति में \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). इस प्रगति का अंतर ज्ञात कीजिए।
समाधान:

उत्तर: \(d=7\).

अंकगणितीय प्रगति के लिए महत्वपूर्ण सूत्र

जैसा कि आप देख सकते हैं, अंकगणितीय प्रगति पर कई समस्याओं को केवल मुख्य बात को समझकर हल किया जा सकता है - कि अंकगणितीय प्रगति संख्याओं की एक श्रृंखला है, और इस श्रृंखला में प्रत्येक बाद का तत्व पिछले एक में समान संख्या जोड़कर प्राप्त किया जाता है ( प्रगति का अंतर)।

हालाँकि, कभी-कभी ऐसी परिस्थितियाँ होती हैं जब "सिर-पर-पर" निर्णय लेना बहुत असुविधाजनक होता है। उदाहरण के लिए, कल्पना करें कि पहले उदाहरण में हमें पाँचवाँ तत्व \(b_5\) नहीं, बल्कि तीन सौ छियासीवाँ तत्व \(b_(386)\) ढूँढ़ना है। क्या हमें चार \(385\) बार जोड़ना चाहिए? या कल्पना करें कि अंतिम उदाहरण में आपको पहले तिहत्तर तत्वों का योग ज्ञात करना होगा। आप गिनते-गिनते थक जायेंगे...

इसलिए, ऐसे मामलों में वे चीजों को "सिर-पर-पर" हल नहीं करते हैं, बल्कि अंकगणितीय प्रगति के लिए प्राप्त विशेष सूत्रों का उपयोग करते हैं। और मुख्य हैं प्रगति के nवें पद का सूत्र और \(n\) प्रथम पदों के योग का सूत्र।

\(n\)वें पद का सूत्र: \(a_n=a_1+(n-1)d\), जहां \(a_1\) प्रगति का पहला पद है;
\(n\) - आवश्यक तत्व की संख्या;
\(a_n\) - संख्या \(n\) के साथ प्रगति का पद।

यह सूत्र हमें केवल पहले और प्रगति के अंतर को जानकर, तीन सौवें या दसवें तत्व को भी तुरंत ढूंढने की अनुमति देता है।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा निर्दिष्ट है: \(b_1=-159\); \(d=8.2\). \(b_(246)\) खोजें।
समाधान:

उत्तर: \(b_(246)=1850\).

पहले n पदों के योग के लिए सूत्र: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), जहां

\(a_n\) - अंतिम सारांशित पद;

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों \(a_n=3.4n-0.6\) द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। इस प्रगति के पहले \(25\) पदों का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		पहले पच्चीस पदों का योग ज्ञात करने के लिए, हमें पहले और पच्चीसवें पदों का मान जानना होगा। हमारी प्रगति nवें पद के सूत्र द्वारा उसकी संख्या के आधार पर दी गई है (अधिक विवरण के लिए, देखें)। आइए \(n\) के स्थान पर एक तत्व रखकर पहले तत्व की गणना करें।
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		आइए अब \(n\) के स्थान पर पच्चीस प्रतिस्थापित करके पच्चीसवाँ पद ज्ञात करें।
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		खैर, अब हम आवश्यक राशि की गणना आसानी से कर सकते हैं।
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		उत्तर तैयार है.

उत्तर: \(S_(25)=1090\).

पहले पदों के योग \(n\) के लिए, आप एक और सूत्र प्राप्त कर सकते हैं: आपको बस \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ की आवश्यकता है (\cdot 25\ ) \(a_n\) के बजाय इसके लिए सूत्र को प्रतिस्थापित करें \(a_n=a_1+(n-1)d\). हम पाते हैं:

पहले n पदों के योग के लिए सूत्र: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), जहां

\(S_n\) - \(n\) पहले तत्वों का आवश्यक योग;
\(a_1\) - पहला सारांशित पद;
\(d\) - प्रगति अंतर;
\(n\) - कुल तत्वों की संख्या।

उदाहरण। अंकगणितीय प्रगति के पहले \(33\)-पूर्व पदों का योग ज्ञात करें: \(17\); \(15.5\); \(14\)...
समाधान:

उत्तर: \(S_(33)=-231\).

अधिक जटिल अंकगणितीय प्रगति समस्याएं

अब आपके पास सब कुछ है आवश्यक जानकारीलगभग किसी भी अंकगणितीय प्रगति समस्या को हल करने के लिए। आइए उन समस्याओं पर विचार करके विषय को समाप्त करें जिनमें आपको न केवल सूत्र लागू करने की आवश्यकता है, बल्कि थोड़ा सोचने की भी आवश्यकता है (गणित में यह उपयोगी हो सकता है ☺)

उदाहरण (ओजीई)। प्रगति के सभी नकारात्मक पदों का योग ज्ञात करें: \(-19.3\); \(-19\); \(-18.7\)…
समाधान:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		यह कार्य पिछले वाले के समान ही है। हम उसी चीज़ को हल करना शुरू करते हैं: सबसे पहले हम \(d\) पाते हैं।
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		अब मैं योग के सूत्र में \(d\) को प्रतिस्थापित करना चाहूंगा... और यहां एक छोटी सी बारीकियां उभर कर सामने आती है - हम \(n\) को नहीं जानते हैं। दूसरे शब्दों में, हम नहीं जानते कि कितने शब्द जोड़ने की आवश्यकता होगी। कैसे पता लगाएं? हमें सोचना चाहिए। जब हम पहले सकारात्मक तत्व पर पहुंचेंगे तो हम तत्वों को जोड़ना बंद कर देंगे। यानी आपको इस तत्व की संख्या पता करनी होगी. कैसे? आइए अंकगणितीय प्रगति के किसी भी तत्व की गणना के लिए सूत्र लिखें: हमारे मामले के लिए \(a_n=a_1+(n-1)d\)।
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		हमें शून्य से बड़ा बनने के लिए \(a_n\) की आवश्यकता है। आइए जानें कि यह किस \(n\) पर होगा।
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		हम असमानता के दोनों पक्षों को \(0.3\) से विभाजित करते हैं।
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		हम संकेतों को बदलना नहीं भूलते हुए माइनस वन को स्थानांतरित करते हैं
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		आइए गणना करें...
\(n>65,333...\)		...और यह पता चला कि पहले सकारात्मक तत्व की संख्या \(66\) होगी। तदनुसार, अंतिम नकारात्मक में \(n=65\) है। बस मामले में, आइए इसकी जाँच करें।
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		इसलिए हमें पहले \(65\) तत्वों को जोड़ना होगा।
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		उत्तर तैयार है.

उत्तर: \(S_(65)=-630.5\).

उदाहरण (ओजीई)। अंकगणितीय प्रगति शर्तों द्वारा निर्दिष्ट है: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). \(26\)वें से \(42\) तत्व तक का योग ज्ञात कीजिए।
समाधान:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	इस समस्या में आपको तत्वों का योग भी ज्ञात करना होगा, लेकिन पहले से नहीं, बल्कि \(26\)वें से शुरू करना होगा। ऐसे मामले के लिए हमारे पास कोई फॉर्मूला नहीं है. कैसे निर्णय करें? यह आसान है - \(26\)वें से \(42\)वें तक का योग प्राप्त करने के लिए, आपको पहले \(1\)वें से \(42\)वें तक का योग ज्ञात करना होगा, और फिर घटाना होगा इसमें से पहले से \(25\)वें तक का योग (चित्र देखें)।
	हमारी प्रगति \(a_1=-33\), और अंतर \(d=4\) के लिए (आखिरकार, हम अगले तत्व को खोजने के लिए पिछले तत्व में चार जोड़ते हैं)। यह जानने पर, हम पहले \(42\)-y तत्वों का योग ज्ञात करते हैं।
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	अब पहले \(25\) तत्वों का योग।
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	और अंत में, हम उत्तर की गणना करते हैं।
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

उत्तर: \(एस=1683\).

अंकगणितीय प्रगति के लिए, कई और सूत्र हैं जिन पर हमने उनकी कम व्यावहारिक उपयोगिता के कारण इस लेख में विचार नहीं किया है। हालाँकि, आप उन्हें आसानी से पा सकते हैं।

संख्या अनुक्रम की अवधारणा का तात्पर्य है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या कुछ वास्तविक मूल्य से मेल खाती है। संख्याओं की ऐसी श्रृंखला या तो मनमानी हो सकती है या इसमें कुछ निश्चित गुण हो सकते हैं - एक प्रगति। बाद वाले मामले में, अनुक्रम के प्रत्येक बाद के तत्व (सदस्य) की गणना पिछले वाले का उपयोग करके की जा सकती है।

अंकगणितीय प्रगति संख्यात्मक मानों का एक क्रम है जिसमें इसके पड़ोसी सदस्य एक ही संख्या से एक दूसरे से भिन्न होते हैं (श्रृंखला के सभी तत्व, दूसरे से शुरू होकर, समान संपत्ति रखते हैं)। यह संख्या - पिछले और बाद के पदों के बीच का अंतर - स्थिर है और इसे प्रगति अंतर कहा जाता है।

प्रगति अंतर: परिभाषा

j मानों वाले अनुक्रम पर विचार करें A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j सेट से संबंधित है प्राकृतिक संख्या N. अंकगणितीय प्रगति, इसकी परिभाषा के अनुसार, एक अनुक्रम है जिसमें a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – ए(जे-1) = डी. मान d इस प्रगति का वांछित अंतर है।

डी = ए(जे) – ए(जे-1).

प्रमुखता से दिखाना:

• एक बढ़ती हुई प्रगति, जिस स्थिति में d > 0. उदाहरण: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• घटती हुई प्रगति, फिर d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

अंतर प्रगति और उसके मनमाने तत्व

यदि प्रगति के 2 मनमाने पद ज्ञात हैं (i-th, k-th), तो किसी दिए गए अनुक्रम के लिए अंतर संबंध के आधार पर निर्धारित किया जा सकता है:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, जिसका अर्थ है d = (a(i) – a(k))/(i-k).

प्रगति का अंतर और उसका पहला पद

यह अभिव्यक्ति केवल उन मामलों में अज्ञात मान निर्धारित करने में मदद करेगी जहां अनुक्रम तत्व की संख्या ज्ञात है।

प्रगति अंतर और उसका योग

किसी प्रगति का योग उसके पदों का योग होता है। इसके पहले j तत्वों के कुल मूल्य की गणना करने के लिए, उपयुक्त सूत्र का उपयोग करें:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, लेकिन तब से a(j) = a(1) + d(j – 1), फिर S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(- 1))/2)*j.

चित्रकला और कविता की तरह ही गणित का भी अपना सौंदर्य है।

रूसी वैज्ञानिक, मैकेनिक एन.ई. ज़ुकोवस्की

में बहुत सामान्य कार्य प्रवेश परीक्षागणित में अंकगणितीय प्रगति की अवधारणा से संबंधित समस्याएं हैं। ऐसी समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के गुणों का अच्छा ज्ञान होना चाहिए और उनके अनुप्रयोग में कुछ कौशल होना चाहिए।

आइए सबसे पहले अंकगणितीय प्रगति के मूल गुणों को याद करें और सबसे महत्वपूर्ण सूत्र प्रस्तुत करें, इस अवधारणा से संबंधित.

परिभाषा। संख्या क्रम, जिसमें प्रत्येक आगामी पद पिछले पद से समान संख्या में भिन्न होता है, अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है। इस मामले में संख्याप्रगति अंतर कहा जाता है।

अंकगणितीय प्रगति के लिए, निम्नलिखित सूत्र मान्य हैं:

, (1)

कहाँ । सूत्र (1) को अंकगणितीय प्रगति के सामान्य पद का सूत्र कहा जाता है, और सूत्र (2) अंकगणितीय प्रगति के मुख्य गुण का प्रतिनिधित्व करता है: प्रगति का प्रत्येक पद उसके पड़ोसी पदों के अंकगणितीय माध्य के साथ मेल खाता है।

ध्यान दें कि इस गुण के कारण ही विचाराधीन प्रगति को "अंकगणित" कहा जाता है।

उपरोक्त सूत्र (1) और (2) को इस प्रकार सामान्यीकृत किया गया है:

(3)

राशि की गणना करने के लिएपहला अंकगणितीय प्रगति के सदस्यसूत्र आमतौर पर प्रयोग किया जाता है

(5) कहां और .

यदि हम सूत्र को ध्यान में रखते हैं (1), फिर सूत्र (5) से यह अनुसरण करता है

यदि हम निरूपित करें, तो

कहाँ । चूँकि, सूत्र (7) और (8) संबंधित सूत्र (5) और (6) का सामान्यीकरण हैं।

विशेष रूप से , सूत्र (5) से यह अनुसरण करता है, क्या

अधिकांश छात्रों को अंकगणितीय प्रगति के गुण के बारे में बहुत कम जानकारी है, जिसे निम्नलिखित प्रमेय के माध्यम से तैयार किया गया है।

प्रमेय.तो अगर

सबूत।तो अगर

प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

उदाहरण के लिए , प्रमेय का उपयोग करना, ऐसा दिखाया जा सकता है

आइए "अंकगणितीय प्रगति" विषय पर समस्याओं को हल करने के विशिष्ट उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1।जाने भी दो। खोजो ।

समाधान।सूत्र (6) को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं। चूँकि तथा , तब अथवा .

उदाहरण 2.मान लीजिए कि यह तीन गुना अधिक है, और जब भागफल से विभाजित किया जाता है, तो परिणाम 2 होता है और शेषफल 8 होता है। निर्धारित करें और।

समाधान।उदाहरण की शर्तों से, समीकरणों की प्रणाली निम्नानुसार है

चूँकि , , और , तो समीकरणों की प्रणाली से (10) हम प्राप्त करते हैं

समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान है और।

उदाहरण 3.यदि और खोजें।

समाधान।सूत्र (5) के अनुसार हमारे पास या है। हालाँकि, संपत्ति (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं।

चूँकि और , तब समता से समीकरण इस प्रकार हैया ।

उदाहरण 4.खोजें यदि .

समाधान।सूत्र (5) के अनुसार हमारे पास है

हालाँकि, प्रमेय का उपयोग करके, हम लिख सकते हैं

यहां से और सूत्र (11) से हम प्राप्त करते हैं।

उदाहरण 5. दिया गया: । खोजो ।

समाधान।के बाद से। मगर इसलिए।

उदाहरण 6.चलो , और . खोजो ।

समाधान।सूत्र (9) का उपयोग करके, हम प्राप्त करते हैं। इसलिए, यदि , तब या .

चूँकि और तो यहाँ हमारे पास समीकरणों की एक प्रणाली है

जिसे हल करने पर हमें तथा प्राप्त होता है।

समीकरण का प्राकृतिक मूलहै ।

उदाहरण 7.यदि और खोजें।

समाधान।चूँकि सूत्र (3) के अनुसार हमारे पास वह है, तो समीकरणों की प्रणाली समस्या की स्थितियों का अनुसरण करती है

यदि हम अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैंसिस्टम के दूसरे समीकरण में, तो हमें मिलता है या .

जड़ों द्विघात समीकरणहैंऔर ।

आइए दो मामलों पर विचार करें।

1. तो चलो . चूँकि और , तब .

इस मामले में, सूत्र (6) के अनुसार, हमारे पास है

2. यदि , तब , और

उत्तर: और.

उदाहरण 8.यह ज्ञात है कि और. खोजो ।

समाधान।सूत्र (5) और उदाहरण की स्थिति को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं और।

इसका तात्पर्य समीकरणों की प्रणाली से है

यदि हम सिस्टम के पहले समीकरण को 2 से गुणा करें और फिर इसे दूसरे समीकरण में जोड़ें, तो हमें मिलता है

सूत्र (9) के अनुसार हमारे पास है. इस संबंध में, यह (12) से निम्नानुसार हैया ।

चूँकि और , तब .

उत्तर: ।

उदाहरण 9.यदि और खोजें।

समाधान।चूंकि , और शर्त के अनुसार , तब या .

सूत्र (5) से ज्ञात होता है, क्या । के बाद से।

इस तरह , यहां हमारे पास रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली है

यहां से हमें और मिलता है। सूत्र (8) को ध्यान में रखते हुए, हम लिखते हैं।

उदाहरण 10.प्रश्न हल करें।

समाधान।से दिया गया समीकरणउसका अनुसरण करता है। आइए मान लें कि , , और . इस मामले में ।

सूत्र (1) के अनुसार हम या लिख ​​सकते हैं।

चूँकि, तब समीकरण (13) का एकमात्र उपयुक्त मूल है।

उदाहरण 11.अधिकतम मान ज्ञात कीजिए बशर्ते कि तथा।

समाधान।चूँकि, विचाराधीन अंकगणितीय प्रगति घट रही है। इस संबंध में, अभिव्यक्ति अपना अधिकतम मान तब लेती है जब यह प्रगति के न्यूनतम सकारात्मक पद की संख्या होती है।

आइए हम सूत्र (1) और तथ्य का उपयोग करें, वह और . तब हमें वह मिलता है या .

तब से, तब से या . हालाँकि, इस असमानता मेंसबसे बड़ी प्राकृतिक संख्या, इसीलिए ।

यदि , और के मानों को सूत्र (6) में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो हमें प्राप्त होता है।

उत्तर: ।

उदाहरण 12.सभी दो अंकों वाली प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात करें, जिन्हें संख्या 6 से विभाजित करने पर 5 शेष बचता है।

समाधान।आइए हम सभी दो अंकों वाली प्राकृत संख्याओं के समुच्चय से निरूपित करें, अर्थात् . इसके बाद, हम समुच्चय के उन तत्वों (संख्याओं) से मिलकर एक उपसमुच्चय का निर्माण करेंगे, जिसे संख्या 6 से विभाजित करने पर 5 शेष बचता है।

इन्सटाल करना आसान, क्या । ज़ाहिर तौर से , सेट के तत्वएक अंकगणितीय प्रगति बनाएं, जिसमें और .

सेट की कार्डिनैलिटी (तत्वों की संख्या) स्थापित करने के लिए, हम मानते हैं कि। चूंकि और, यह सूत्र (1) या से अनुसरण करता है। सूत्र (5) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं।

समस्या समाधान के उपरोक्त उदाहरण किसी भी तरह से संपूर्ण होने का दावा नहीं कर सकते। यह लेख विश्लेषण के आधार पर लिखा गया है आधुनिक तरीकेसमाधान विशिष्ट कार्यकिसी दिए गए विषय पर. अंकगणितीय प्रगति से संबंधित समस्याओं को हल करने के तरीकों के अधिक गहन अध्ययन के लिए, अनुशंसित साहित्य की सूची का संदर्भ लेना उचित है।

1. कॉलेजों/एड के आवेदकों के लिए गणित में समस्याओं का संग्रह। एम.आई. स्कैनवी. - एम.: शांति और शिक्षा, 2013. - 608 पी।

2. सुप्रुन वी.पी. हाई स्कूल के छात्रों के लिए गणित: अतिरिक्त अनुभाग स्कूल के पाठ्यक्रम. - एम.: लेनानंद/यूआरएसएस, 2014. - 216 पी।

3. मेडिंस्की एम.एम. समस्याओं और अभ्यासों में प्रारंभिक गणित का संपूर्ण पाठ्यक्रम। पुस्तक 2: संख्या अनुक्रम और प्रगति। - एम.: एडिटस, 2015. - 208 पी।

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अंकगणितीय प्रगति का योग.

अंकगणितीय प्रगति का योग एक साधारण बात है। अर्थ और सूत्र दोनों में. लेकिन इस विषय पर सभी प्रकार के कार्य हैं। बुनियादी से लेकर काफी ठोस तक.

सबसे पहले राशि का अर्थ और सूत्र समझते हैं। और फिर हम फैसला करेंगे. आपकी अपनी खुशी के लिए।) राशि का अर्थ एक मू जितना सरल है। किसी अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के लिए, आपको बस उसके सभी पदों को सावधानीपूर्वक जोड़ना होगा। यदि ये पद कम हैं, तो आप बिना किसी सूत्र के जोड़ सकते हैं। लेकिन अगर बहुत कुछ है, या बहुत... जोड़ना कष्टप्रद है।) इस मामले में, सूत्र बचाव में आता है।

राशि का सूत्र सरल है:

आइए जानें कि सूत्र में किस प्रकार के अक्षर शामिल हैं। इससे काफी कुछ चीजें साफ हो जाएंगी.

एस एन - अंकगणितीय प्रगति का योग। अतिरिक्त परिणाम सब लोगसदस्यों, के साथ पहलाद्वारा अंतिम।क्या यह महत्वपूर्ण है। वे बिल्कुल जोड़ते हैं सभीसदस्यों को एक पंक्ति में, बिना छोड़े या छोड़े। और, ठीक है, से शुरू पहला।तीसरे और आठवें पदों का योग, या पाँचवें से बीसवें पदों का योग ज्ञात करने जैसी समस्याओं में, सूत्र का सीधा प्रयोग निराश करेगा।)

एक 1 - पहलाप्रगति का सदस्य. यहां सब कुछ स्पष्ट है, सरल है पहलापंक्ति नंबर।

एक- अंतिमप्रगति का सदस्य. शृंखला का अंतिम अंक. यह बहुत परिचित नाम नहीं है, लेकिन जब इसे राशि पर लागू किया जाए तो यह बहुत उपयुक्त है। फिर आप खुद ही देख लेंगे.

एन - अंतिम सदस्य की संख्या. यह समझना जरूरी है कि सूत्र में यह संख्या है जोड़े गए शब्दों की संख्या से मेल खाता है।

आइए अवधारणा को परिभाषित करें अंतिमसदस्य एक. पेचीदा सवाल: कौन सा सदस्य करेगा अंतिम एकयदि दिया गया अनंतअंकगणितीय प्रगति?)

आत्मविश्वास से उत्तर देने के लिए, आपको अंकगणितीय प्रगति के मूल अर्थ को समझने की आवश्यकता है और... कार्य को ध्यान से पढ़ें!)

अंकगणितीय प्रगति का योग ज्ञात करने के कार्य में, अंतिम पद हमेशा प्रकट होता है (प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से), जो सीमित होना चाहिए.अन्यथा, एक अंतिम, विशिष्ट राशि बस अस्तित्व में नहीं है.समाधान के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि प्रगति दी गई है: परिमित या अनंत। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे दिया गया है: संख्याओं की एक श्रृंखला, या nवें पद के लिए एक सूत्र।

सबसे महत्वपूर्ण बात यह समझना है कि सूत्र प्रगति के पहले पद से लेकर संख्या वाले पद तक काम करता है एन।दरअसल, सूत्र का पूरा नाम इस तरह दिखता है: अंकगणितीय प्रगति के पहले n पदों का योग।इन सबसे पहले सदस्यों की संख्या, यानी एन, केवल कार्य द्वारा निर्धारित होता है। किसी कार्य में, यह सारी बहुमूल्य जानकारी अक्सर एन्क्रिप्ट की जाती है, हाँ... लेकिन यह ठीक है, नीचे दिए गए उदाहरणों में हम इन रहस्यों को उजागर करते हैं।)

अंकगणितीय प्रगति के योग पर कार्यों के उदाहरण।

सबसे पहले, उपयोगी जानकारी:

अंकगणितीय प्रगति के योग से जुड़े कार्यों में मुख्य कठिनाई सूत्र के तत्वों के सही निर्धारण में निहित है।

कार्य लेखक असीम कल्पना के साथ इन्हीं तत्वों को एन्क्रिप्ट करते हैं।) यहां मुख्य बात डरने की नहीं है। तत्वों के सार को समझना, उन्हें समझना ही काफी है। आइए कुछ उदाहरणों को विस्तार से देखें। आइए वास्तविक GIA पर आधारित एक कार्य से शुरुआत करें।

1. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a n = 2n-3.5। इसके प्रथम 10 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

अच्छा काम। आसान।) सूत्र का उपयोग करके राशि निर्धारित करने के लिए, हमें क्या जानने की आवश्यकता है? प्रथम सदस्य एक 1, पिछला कार्यकाल एक, हाँ अंतिम सदस्य की संख्या एन।

मुझे अंतिम सदस्य का नंबर कहां मिल सकता है? एन? हाँ, वहीं, शर्त पर! यह कहता है: योग ज्ञात करो पहले 10 सदस्य.अच्छा, यह किस नंबर का होगा? अंतिम,दसवां सदस्य?) आप विश्वास नहीं करेंगे, उसका नंबर दसवां है!) इसलिए, के बजाय एकहम सूत्र में स्थानापन्न करेंगे एक 10, और इसके बजाय एन- दस। मैं दोहराता हूं, अंतिम सदस्य की संख्या सदस्यों की संख्या से मेल खाती है।

यह तय करना बाकी है एक 1और एक 10. इसकी गणना nवें पद के सूत्र का उपयोग करके आसानी से की जाती है, जो समस्या विवरण में दिया गया है। यह नहीं जानते कि यह कैसे करें? पिछले पाठ में भाग लें, इसके बिना कोई रास्ता नहीं है।

एक 1= 2 1 - 3.5 = -1.5

एक 10=2·10 - 3.5 =16.5

एस एन = एस 10.

हमने अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सूत्र के सभी तत्वों का अर्थ पता लगा लिया है। जो कुछ बचा है वह उन्हें प्रतिस्थापित करना और गिनना है:

इतना ही। उत्तर: 75.

जीआईए पर आधारित एक अन्य कार्य। थोड़ा और जटिल:

2. एक अंकगणितीय प्रगति (a n) दी गई है, जिसका अंतर 3.7 है; ए 1 =2.3. इसके प्रथम 15 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम तुरंत योग सूत्र लिखते हैं:

यह सूत्र हमें किसी भी पद का मान उसकी संख्या से ज्ञात करने की अनुमति देता है। हम एक सरल प्रतिस्थापन की तलाश में हैं:

ए 15 = 2.3 + (15-1) 3.7 = 54.1

अंकगणितीय प्रगति के योग के लिए सभी तत्वों को सूत्र में प्रतिस्थापित करना और उत्तर की गणना करना बाकी है:

उत्तर: 423.

वैसे, अगर इसके बजाय योग सूत्र में एकहम बस nवें पद के लिए सूत्र प्रतिस्थापित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

आइए हम समान सूत्र प्रस्तुत करें और अंकगणितीय प्रगति के पदों के योग के लिए एक नया सूत्र प्राप्त करें:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां इसकी आवश्यकता नहीं है नौवाँ पद एक. कुछ समस्याओं में ये फॉर्मूला बहुत मददगार है, हां... आप इस फॉर्मूले को याद रख सकते हैं. या आप इसे यहां की तरह सही समय पर आसानी से वापस ले सकते हैं। आख़िरकार, आपको योग का सूत्र और nवें पद का सूत्र हमेशा याद रखना होगा।)

अब कार्य संक्षिप्त एन्क्रिप्शन के रूप में):

3. सभी सकारात्मक का योग ज्ञात कीजिए दोहरे अंकों की संख्या, तीन के गुणज।

बहुत खूब! न तो आपका पहला सदस्य, न ही आपका आखिरी, न ही कोई प्रगति... कैसे जियें!?

आपको अपने दिमाग से सोचना होगा और स्थिति से अंकगणितीय प्रगति के योग के सभी तत्वों को बाहर निकालना होगा। हम जानते हैं कि दो अंकीय संख्याएँ क्या होती हैं। इनमें दो संख्याएँ होती हैं।) दो अंकों की संख्या क्या होगी? पहला? 10, संभवतः।) ए आखिरी बातदोहरे अंक वाली संख्या? निःसंदेह, 99! तीन अंक वाले उसका अनुसरण करेंगे...

तीन के गुणज... हम्म... ये वे संख्याएँ हैं जो यहाँ तीन से विभाज्य हैं! दस तीन से विभाज्य नहीं है, 11 विभाज्य नहीं है... 12... विभाज्य है! तो, कुछ तो उभर रहा है. आप समस्या की स्थितियों के अनुसार पहले से ही एक श्रृंखला लिख ​​सकते हैं:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

क्या यह श्रृंखला एक अंकगणितीय प्रगति होगी? निश्चित रूप से! प्रत्येक पद पिछले एक से सख्ती से तीन से भिन्न होता है। यदि आप किसी पद में 2 या 4 जोड़ते हैं, तो परिणाम कहें, अर्थात। नई संख्या अब 3 से विभाज्य नहीं है। आप तुरंत अंकगणितीय प्रगति का अंतर निर्धारित कर सकते हैं: डी = 3.यह सुविधाजनक होगा!)

इसलिए, हम कुछ प्रगति मापदंडों को सुरक्षित रूप से लिख सकते हैं:

संख्या क्या होगी? एनअंतिम सदस्य? जो कोई भी यह सोचता है कि 99, वह बुरी तरह गलत है... संख्याएँ हमेशा एक पंक्ति में चलती हैं, लेकिन हमारे सदस्य तीन से आगे निकल जाते हैं। वे मेल नहीं खाते.

यहां दो समाधान हैं. एक रास्ता अति परिश्रमी लोगों के लिए है। आप प्रगति, संख्याओं की पूरी श्रृंखला लिख ​​सकते हैं, और अपनी उंगली से सदस्यों की संख्या गिन सकते हैं।) दूसरा तरीका विचारशील लोगों के लिए है। आपको nवें पद का सूत्र याद रखना होगा। यदि हम अपनी समस्या पर सूत्र लागू करते हैं, तो हम पाते हैं कि 99 प्रगति का तीसवां पद है। वे। एन = 30.

आइए अंकगणितीय प्रगति के योग के सूत्र को देखें:

हम देखते हैं और आनंदित होते हैं।) हमने समस्या विवरण से राशि की गणना करने के लिए आवश्यक सभी चीजें निकाल लीं:

एक 1= 12.

एक 30= 99.

एस एन = एस 30.

जो कुछ बचा है वह प्रारंभिक अंकगणित है। हम संख्याओं को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं और गणना करते हैं:

उत्तर: 1665

अन्य प्रकार की लोकप्रिय पहेली:

4. एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

बीसवें से चौंतीसवें तक पदों का योग ज्ञात कीजिए।

हम राशि के लिए सूत्र देखते हैं और... हम परेशान हो जाते हैं।) सूत्र, मैं आपको याद दिला दूं, राशि की गणना करता है पहले सेसदस्य। और समस्या में आपको योग की गणना करने की आवश्यकता है बीसवीं सदी से...फॉर्मूला काम नहीं करेगा.

बेशक, आप संपूर्ण प्रगति को एक श्रृंखला में लिख सकते हैं, और 20 से 34 तक पद जोड़ सकते हैं। लेकिन... यह किसी तरह से मूर्खतापूर्ण है और इसमें लंबा समय लगता है, है ना?)

एक और अधिक सुंदर समाधान है. आइए अपनी श्रृंखला को दो भागों में विभाजित करें। पहला भाग होगा पहले कार्यकाल से उन्नीसवें तक.दूसरा हिस्सा - बीस से चौंतीस तक.यह स्पष्ट है कि यदि हम पहले भाग के पदों के योग की गणना करें एस 1-19, आइए इसे दूसरे भाग की शर्तों के योग के साथ जोड़ें एस 20-34, हमें पहले पद से चौंतीसवें तक की प्रगति का योग मिलता है एस 1-34. इस कदर:

एस 1-19 + एस 20-34 = एस 1-34

इससे हम देख सकते हैं कि योग ज्ञात कीजिए एस 20-34साधारण घटाव द्वारा किया जा सकता है

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19

दाहिनी ओर की दोनों राशियों पर विचार किया जाता है पहले सेसदस्य, यानी मानक योग सूत्र उन पर काफी लागू होता है। आएँ शुरू करें?

हम समस्या कथन से प्रगति पैरामीटर निकालते हैं:

डी = 1.5.

एक 1= -21,5.

पहले 19 और पहले 34 पदों के योग की गणना करने के लिए, हमें 19वें और 34वें पदों की आवश्यकता होगी। हम nवें पद के सूत्र का उपयोग करके उनकी गणना करते हैं, जैसा कि समस्या 2 में है:

एक 19= -21.5 +(19-1) 1.5 = 5.5

एक 34= -21.5 +(34-1) 1.5 = 28

कुछ नहीं बचा है। 34 पदों के योग में से 19 पदों का योग घटाएँ:

एस 20-34 = एस 1-34 - एस 1-19 = 110.5 - (-152) = 262.5

उत्तर: 262.5

एक महत्वपूर्ण नोट! इस समस्या के समाधान के लिए एक बेहद उपयोगी ट्रिक है। प्रत्यक्ष गणना के बजाय आपको क्या चाहिए (एस 20-34),हमने गिना कुछ ऐसा जिसकी आवश्यकता प्रतीत नहीं होती - एस 1-19।और फिर उन्होंने निश्चय किया एस 20-34, संपूर्ण परिणाम से अनावश्यक को हटा देना। इस प्रकार का "कानों से बोलना" अक्सर आपको बुरी समस्याओं में बचाता है।)

इस पाठ में हमने उन समस्याओं पर ध्यान दिया जिनके लिए अंकगणितीय प्रगति के योग का अर्थ समझना पर्याप्त है। खैर, आपको कुछ सूत्र जानने की जरूरत है।)

प्रायोगिक उपकरण:

अंकगणितीय प्रगति के योग से संबंधित किसी भी समस्या को हल करते समय, मैं इस विषय से तुरंत दो मुख्य सूत्र लिखने की सलाह देता हूं।

nवें पद के लिए सूत्र:

ये सूत्र आपको तुरंत बता देंगे कि समस्या को हल करने के लिए क्या देखना है और किस दिशा में सोचना है। मदद करता है।

और अब स्वतंत्र समाधान के लिए कार्य।

5. उन सभी दो अंकों की संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो तीन से विभाज्य नहीं हैं।

बढ़िया?) संकेत समस्या 4 के नोट में छिपा है। खैर, समस्या 3 मदद करेगी।

6. अंकगणितीय प्रगति शर्त द्वारा दी गई है: a 1 = -5.5; ए एन+1 = ए एन +0.5. इसके प्रथम 24 पदों का योग ज्ञात कीजिए।

असामान्य?) यह एक आवर्ती सूत्र है. आप इसके बारे में पिछले पाठ में पढ़ सकते हैं। लिंक को नजरअंदाज न करें, स्टेट एकेडमी ऑफ साइंसेज में अक्सर ऐसी समस्याएं पाई जाती हैं।

7. वास्या ने छुट्टियों के लिए पैसे बचाए। 4550 रूबल जितना! और मैंने अपने पसंदीदा व्यक्ति (खुद) को कुछ दिनों की खुशी देने का फैसला किया)। अपने आप को किसी भी चीज से वंचित किए बिना खूबसूरती से जिएं। पहले दिन 500 रूबल खर्च करें, और प्रत्येक अगले दिन पिछले दिन से 50 रूबल अधिक खर्च करें! जब तक पैसा ख़त्म न हो जाये. वास्या को कितने दिनों की ख़ुशी मिली?

क्या यह कठिन है?) कार्य 2 से अतिरिक्त सूत्र मदद करेगा।

उत्तर (अव्यवस्थित): 7, 3240, 6.

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आप उदाहरणों को हल करने का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। त्वरित सत्यापन के साथ परीक्षण। आइए जानें - रुचि के साथ!)

आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव से परिचित हो सकते हैं।

तो, आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:
आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं (हमारे मामले में, वे हैं)। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम कितनी संख्याएँ लिखते हैं, हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, और इसी तरह आखिरी तक, यानी हम उन्हें नंबर दे सकते हैं। यह संख्या अनुक्रम का एक उदाहरण है:

संख्या क्रम
उदाहरण के लिए, हमारे अनुक्रम के लिए:

निर्दिष्ट संख्या अनुक्रम में केवल एक संख्या के लिए विशिष्ट है। दूसरे शब्दों में, अनुक्रम में तीन दूसरी संख्याएँ नहीं हैं। दूसरी संख्या (वें संख्या की तरह) हमेशा समान होती है।
संख्या वाले अंक को अनुक्रम का वां पद कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

हमारे मामले में:

मान लीजिए कि हमारे पास एक संख्या अनुक्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और समान है।
उदाहरण के लिए:

वगैरह।
इस संख्या क्रम को अंकगणितीय प्रगति कहा जाता है।
शब्द "प्रगति" रोमन लेखक बोथियस द्वारा 6वीं शताब्दी में पेश किया गया था और इसे व्यापक अर्थ में एक अनंत संख्यात्मक अनुक्रम के रूप में समझा गया था। "अंकगणित" नाम निरंतर अनुपात के सिद्धांत से स्थानांतरित किया गया था, जिसका अध्ययन प्राचीन यूनानियों द्वारा किया गया था।

यह एक संख्या क्रम है, जिसका प्रत्येक सदस्य उसी संख्या में जोड़े गए पिछले सदस्य के बराबर है। इस संख्या को अंकगणितीय प्रगति का अंतर कहा जाता है और निर्दिष्ट किया जाता है।

यह निर्धारित करने का प्रयास करें कि कौन से संख्या क्रम अंकगणितीय प्रगति हैं और कौन से नहीं:

ए)
बी)
सी)
डी)

समझ गया? आइए हमारे उत्तरों की तुलना करें:
हैअंकगणितीय प्रगति - बी, सी।
क्या नहीं हैअंकगणितीय प्रगति - ए, डी।

आइए दी गई प्रगति () पर वापस लौटें और इसके वें पद का मान ज्ञात करने का प्रयास करें। मौजूद दोइसे खोजने का तरीका.

1. विधि

हम प्रगति संख्या को पिछले मान में तब तक जोड़ सकते हैं जब तक हम प्रगति के वें पद तक नहीं पहुंच जाते। यह अच्छा है कि हमारे पास संक्षेप में बताने के लिए बहुत कुछ नहीं है - केवल तीन मूल्य:

तो, वर्णित अंकगणितीय प्रगति का वां पद बराबर है।

2. विधि

यदि हमें प्रगति के वें पद का मान ज्ञात करना हो तो क्या होगा? योग करने में हमें एक घंटे से अधिक समय लगेगा, और यह सच नहीं है कि संख्याओं को जोड़ते समय हम गलतियाँ नहीं करेंगे।
बेशक, गणितज्ञों ने एक ऐसा तरीका खोज लिया है जिसमें अंकगणितीय प्रगति के अंतर को पिछले मान में जोड़ना आवश्यक नहीं है। खींची गई तस्वीर को करीब से देखें... निश्चित रूप से आप पहले ही एक निश्चित पैटर्न देख चुके हैं, अर्थात्:

उदाहरण के लिए, आइए देखें कि इस अंकगणितीय प्रगति के वें पद का मान क्या है:


दूसरे शब्दों में:

इस प्रकार किसी दी गई अंकगणितीय प्रगति के सदस्य का मान स्वयं ज्ञात करने का प्रयास करें।

क्या आपने गणना की? उत्तर के साथ अपने नोट्स की तुलना करें:

कृपया ध्यान दें कि आपको पिछली पद्धति के समान ही संख्या प्राप्त हुई थी, जब हमने क्रमिक रूप से अंकगणितीय प्रगति के पदों को पिछले मान में जोड़ा था।
आइए इस सूत्र को "प्रतिरूपण" करने का प्रयास करें - आइए इसे इसमें लाएं सामान्य फ़ॉर्मऔर हमें मिलता है:

अंकगणितीय प्रगति समीकरण.

अंकगणितीय प्रगति बढ़ या घट सकती है।

की बढ़ती- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक आगामी मान पिछले मान से अधिक हो।
उदाहरण के लिए:

अवरोही- प्रगति जिसमें पदों का प्रत्येक अगला मान पिछले वाले से कम है।
उदाहरण के लिए:

व्युत्पन्न सूत्र का उपयोग अंकगणितीय प्रगति के बढ़ते और घटते दोनों पदों की गणना में किया जाता है।
आइए इसे व्यवहार में जांचें।
हमें निम्नलिखित संख्याओं से युक्त एक अंकगणितीय प्रगति दी गई है: आइए देखें कि यदि हम इसकी गणना करने के लिए अपने सूत्र का उपयोग करते हैं तो इस अंकगणितीय प्रगति की वीं संख्या क्या होगी:

के बाद से:

इस प्रकार, हम आश्वस्त हैं कि सूत्र घटती और बढ़ती अंकगणितीय प्रगति दोनों में काम करता है।
इस अंकगणितीय प्रगति का वां और वां पद स्वयं खोजने का प्रयास करें।

आइए परिणामों की तुलना करें:

अंकगणितीय प्रगति संपत्ति

आइए समस्या को जटिल बनाएं - हम अंकगणितीय प्रगति का गुण प्राप्त करेंगे।
मान लीजिए कि हमें निम्नलिखित शर्त दी गई है:
- अंकगणितीय प्रगति, मान ज्ञात करें।
आसान है, आप कहते हैं और उस सूत्र के अनुसार गिनती शुरू करें जो आप पहले से जानते हैं:

चलो, आह, फिर:

एकदम सही। इससे पता चलता है कि हम पहले ढूंढते हैं, फिर उसे पहले नंबर में जोड़ते हैं और जो हम ढूंढ रहे हैं उसे प्राप्त करते हैं। यदि प्रगति को छोटे मानों द्वारा दर्शाया जाता है, तो इसमें कुछ भी जटिल नहीं है, लेकिन क्या होगा यदि हमें स्थिति में संख्याएं दी गई हैं? सहमत हूँ, गणना में गलती होने की संभावना है।
अब इस बारे में सोचें कि क्या किसी फॉर्मूले का उपयोग करके इस समस्या को एक चरण में हल करना संभव है? बिल्कुल हाँ, और यही वह है जिसे हम अभी सामने लाने का प्रयास करेंगे।

आइए हम अंकगणितीय प्रगति के आवश्यक पद को निरूपित करें, इसे खोजने का सूत्र हमें ज्ञात है - यह वही सूत्र है जिसे हमने शुरुआत में प्राप्त किया था:
, तब:

• प्रगति का पिछला पद है:
• प्रगति का अगला पद है:

आइए प्रगति की पिछली और बाद की शर्तों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

इससे पता चलता है कि प्रगति के पिछले और बाद के पदों का योग उनके बीच स्थित प्रगति पद के दोगुने मान के बराबर है। दूसरे शब्दों में, ज्ञात पिछले और क्रमिक मानों के साथ प्रगति पद का मान ज्ञात करने के लिए, आपको उन्हें जोड़ना होगा और विभाजित करना होगा।

यह सही है, हमें वही नंबर मिला है। आइए सामग्री को सुरक्षित करें। प्रगति के मूल्य की गणना स्वयं करें, यह बिल्कुल भी कठिन नहीं है।

बहुत अच्छा! आप प्रगति के बारे में लगभग सब कुछ जानते हैं! यह केवल एक सूत्र का पता लगाना बाकी है, जो कि किंवदंती के अनुसार, सभी समय के महानतम गणितज्ञों में से एक, "गणितज्ञों के राजा" - कार्ल गॉस द्वारा आसानी से निकाला गया था...

जब कार्ल गॉस 9 वर्ष के थे, तो एक शिक्षक, जो अन्य कक्षाओं में छात्रों के काम की जाँच करने में व्यस्त था, ने कक्षा में निम्नलिखित कार्य सौंपा: "से लेकर (अन्य स्रोतों के अनुसार) तक की सभी प्राकृतिक संख्याओं के योग की गणना करें।" शिक्षक के आश्चर्य की कल्पना कीजिए जब उनके एक छात्र (यह कार्ल गॉस था) ने एक मिनट बाद कार्य का सही उत्तर दिया, जबकि साहसी के अधिकांश सहपाठियों को लंबी गणना के बाद गलत परिणाम मिला...

युवा कार्ल गॉस ने एक निश्चित पैटर्न देखा जिसे आप भी आसानी से नोटिस कर सकते हैं।
मान लीजिए कि हमारे पास एक अंकगणितीय प्रगति है जिसमें -वें पद शामिल हैं: हमें अंकगणितीय प्रगति के इन पदों का योग ज्ञात करने की आवश्यकता है। निःसंदेह, हम मैन्युअल रूप से सभी मानों का योग कर सकते हैं, लेकिन क्या होगा यदि कार्य को उसके पदों का योग खोजने की आवश्यकता हो, जैसा कि गॉस ढूंढ रहा था?

आइए हम हमें दी गई प्रगति का चित्रण करें। हाइलाइट की गई संख्याओं पर करीब से नज़र डालें और उनके साथ विभिन्न गणितीय संक्रियाएँ करने का प्रयास करें।


या तुमने कोशिश की? आपने क्या नोटिस किया? सही! उनका योग बराबर है

अब बताओ, हमें दी गई प्रगति में ऐसे कुल कितने जोड़े हैं? बेशक, सभी संख्याओं का बिल्कुल आधा, यानी।
इस तथ्य के आधार पर कि अंकगणितीय प्रगति के दो पदों का योग बराबर है, और समान जोड़े बराबर हैं, हम पाते हैं कि कुल योग बराबर है:
.
इस प्रकार, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के पहले पदों के योग का सूत्र होगा:

कुछ समस्याओं में हम वें पद को नहीं जानते, लेकिन हम प्रगति के अंतर को जानते हैं। वें पद के सूत्र को योग सूत्र में प्रतिस्थापित करने का प्रयास करें।
तुम्हें क्या मिला?

बहुत अच्छा! अब आइए उस समस्या पर लौटते हैं जो कार्ल गॉस से पूछी गई थी: अपने लिए गणना करें कि वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग किसके बराबर है और वें से शुरू होने वाली संख्याओं का योग क्या है।

आपको कितना मिला?
गॉस ने पाया कि पदों का योग और पदों का योग बराबर है। क्या आपने यही निर्णय लिया है?

वास्तव में, अंकगणितीय प्रगति के पदों के योग का सूत्र तीसरी शताब्दी में प्राचीन यूनानी वैज्ञानिक डायोफैंटस द्वारा सिद्ध किया गया था, और इस पूरे समय में, बुद्धिमान लोगों ने अंकगणितीय प्रगति के गुणों का पूरा उपयोग किया।
उदाहरण के लिए, कल्पना कीजिए प्राचीन मिस्रऔर उस समय की सबसे बड़ी निर्माण परियोजना - पिरामिड का निर्माण... चित्र इसका एक पक्ष दिखाता है।

आप कहते हैं, यहाँ प्रगति कहाँ है? ध्यान से देखें और पिरामिड की दीवार की प्रत्येक पंक्ति में रेत के ब्लॉकों की संख्या में एक पैटर्न ढूंढें।


अंकगणितीय प्रगति क्यों नहीं? गणना करें कि यदि आधार पर ब्लॉक ईंटें रखी गई हैं तो एक दीवार बनाने के लिए कितने ब्लॉकों की आवश्यकता होगी। मुझे आशा है कि मॉनिटर पर अपनी उंगली घुमाते समय आप गिनती नहीं करेंगे, क्या आपको अंतिम सूत्र और अंकगणितीय प्रगति के बारे में हमने जो कुछ भी कहा था वह सब याद है?

इस मामले में, प्रगति इस तरह दिखती है:।
अंकगणितीय प्रगति अंतर.
अंकगणितीय प्रगति के पदों की संख्या.
आइए अपने डेटा को अंतिम सूत्रों में प्रतिस्थापित करें (2 तरीकों से ब्लॉकों की संख्या की गणना करें)।

विधि 1.

विधि 2.

और अब आप मॉनिटर पर गणना कर सकते हैं: प्राप्त मूल्यों की तुलना हमारे पिरामिड में मौजूद ब्लॉकों की संख्या से करें। समझ गया? शाबाश, आपने अंकगणितीय प्रगति के nवें पदों के योग में महारत हासिल कर ली है।
बेशक, आप आधार पर मौजूद ब्लॉकों से पिरामिड नहीं बना सकते, लेकिन किससे? यह गणना करने का प्रयास करें कि इस स्थिति में दीवार बनाने के लिए कितनी रेत ईंटों की आवश्यकता होगी।
क्या आप संभाल पाओगे?
सही उत्तर ब्लॉक है:

प्रशिक्षण

कार्य:

1. माशा गर्मियों के लिए आकार में आ रही है। हर दिन वह स्क्वैट्स की संख्या बढ़ा देती है। यदि माशा ने पहले प्रशिक्षण सत्र में स्क्वाट किया तो वह सप्ताह में कितनी बार स्क्वाट करेगी?
2. इसमें निहित सभी विषम संख्याओं का योग क्या है?
3. लॉग संग्रहीत करते समय, लॉगर्स उन्हें इस तरह से ढेर करते हैं कि प्रत्येक शीर्ष परत में पिछले वाले की तुलना में एक लॉग कम होता है। यदि चिनाई की नींव लकड़ियाँ हैं, तो एक चिनाई में कितने लकड़ियाँ होती हैं?

उत्तर:

1. आइए हम अंकगणितीय प्रगति के मापदंडों को परिभाषित करें। इस मामले में
   (सप्ताह = दिन).

   उत्तर:दो सप्ताह में माशा को दिन में एक बार स्क्वाट करना चाहिए।

2. पहला विषम संख्या, अंतिम संख्या.
   अंकगणितीय प्रगति अंतर.
   हालाँकि, विषम संख्याओं की संख्या आधी है, आइए अंकगणितीय प्रगति के वें पद को खोजने के लिए सूत्र का उपयोग करके इस तथ्य की जाँच करें:

   संख्याओं में विषम संख्याएँ होती हैं।
   आइए उपलब्ध डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

   उत्तर:इसमें शामिल सभी विषम संख्याओं का योग बराबर है।

3. आइए पिरामिडों के बारे में समस्या को याद करें। हमारे मामले के लिए, ए, चूंकि प्रत्येक शीर्ष परत एक लॉग से कम हो जाती है, तो कुल मिलाकर परतों का एक गुच्छा होता है, अर्थात।
   आइए डेटा को सूत्र में प्रतिस्थापित करें:

   उत्तर:चिनाई में लकड़ियाँ हैं।

आइए इसे संक्षेप में बताएं

1. - एक संख्या क्रम जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है। यह बढ़ या घट सकता है.
2. सूत्र ढूँढनाअंकगणितीय प्रगति का वां पद सूत्र द्वारा लिखा जाता है - , प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।
3. अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति- - संख्याओं की संख्या क्रम में कहां है।
4. अंकगणितीय प्रगति के पदों का योगदो तरीकों से पाया जा सकता है:
   
   , मानों की संख्या कहां है.

अंकगणितीय प्रगति। औसत स्तर

संख्या क्रम

आइए बैठें और कुछ संख्याएँ लिखना शुरू करें। उदाहरण के लिए:

आप कोई भी संख्याएँ लिख सकते हैं, और उनमें से जितनी चाहें उतनी संख्याएँ हो सकती हैं। लेकिन हम हमेशा कह सकते हैं कि कौन सा पहला है, कौन सा दूसरा है, इत्यादि, यानी, हम उन्हें क्रमांकित कर सकते हैं। यह संख्या क्रम का एक उदाहरण है.

संख्या क्रमसंख्याओं का एक समूह है, जिनमें से प्रत्येक को एक अद्वितीय संख्या दी जा सकती है।

दूसरे शब्दों में, प्रत्येक संख्या को एक निश्चित प्राकृतिक संख्या और एक अद्वितीय संख्या के साथ जोड़ा जा सकता है। और हम इस संख्या को इस सेट से किसी अन्य संख्या को निर्दिष्ट नहीं करेंगे।

संख्या वाले अंक को अनुक्रम का वां सदस्य कहा जाता है।

हम आम तौर पर पूरे अनुक्रम को कुछ अक्षर (उदाहरण के लिए) से बुलाते हैं, और इस अनुक्रम का प्रत्येक सदस्य इस सदस्य की संख्या के बराबर सूचकांक के साथ एक ही अक्षर है:।

यह बहुत सुविधाजनक है यदि अनुक्रम का वां पद किसी सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सके। उदाहरण के लिए, सूत्र

क्रम निर्धारित करता है:

और सूत्र निम्नलिखित क्रम है:

उदाहरण के लिए, एक अंकगणितीय प्रगति एक अनुक्रम है (यहां पहला पद बराबर है, और अंतर है)। या (, अंतर)।

nवें पद के लिए सूत्र

हम एक सूत्र को आवर्ती कहते हैं जिसमें, वें पद का पता लगाने के लिए, आपको पिछले या कई पिछले को जानना होगा:

उदाहरण के लिए, इस सूत्र का उपयोग करके प्रगति का वां पद खोजने के लिए, हमें पिछले नौ की गणना करनी होगी। उदाहरण के लिए, रहने दो। तब:

खैर, क्या अब यह स्पष्ट है कि सूत्र क्या है?

प्रत्येक पंक्ति में हम जोड़ते हैं, किसी संख्या से गुणा करते हैं। कौन सा? बहुत सरल: यह वर्तमान सदस्य माइनस की संख्या है:

अब और अधिक सुविधाजनक, है ना? हम जाँच:

अपने लिए तय करें:

अंकगणितीय प्रगति में, nवें पद का सूत्र ज्ञात कीजिए और सौवाँ पद ज्ञात कीजिए।

समाधान:

पहला पद बराबर है. क्या अंतर है? यहाँ क्या है:

(इसीलिए इसे अंतर कहा जाता है क्योंकि यह प्रगति के क्रमिक पदों के अंतर के बराबर है)।

तो, सूत्र:

तब सौवाँ पद इसके बराबर है:

से लेकर सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग क्या है?

किंवदंती के अनुसार, महान गणितज्ञ कार्ल गॉस ने 9 साल के लड़के के रूप में कुछ ही मिनटों में इस राशि की गणना की थी। उन्होंने देखा कि पहली और अंतिम संख्याओं का योग बराबर है, दूसरी और अंतिम संख्याओं का योग समान है, अंत से तीसरी और तीसरी का योग समान है, इत्यादि। ऐसे कुल कितने जोड़े हैं? यह सही है, सभी संख्याओं की बिल्कुल आधी संख्या, अर्थात। इसलिए,

किसी अंकगणितीय प्रगति के प्रथम पदों के योग का सामान्य सूत्र होगा:

उदाहरण:
सभी दो अंकों के गुणजों का योग ज्ञात कीजिए।

समाधान:

ऐसा पहला नंबर ये है. प्रत्येक अगली संख्या को पिछली संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार, जिन संख्याओं में हम रुचि रखते हैं वे पहले पद और अंतर के साथ एक अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं।

इस प्रगति के लिए वें पद का सूत्र:

एक प्रगति में कितने पद होते हैं, यदि वे सभी दो-अंकीय हों?

बहुत आसान: ।

प्रगति का अंतिम पद बराबर होगा। फिर योग:

उत्तर: ।

अब आप स्वयं निर्णय करें:

1. हर दिन एथलीट पिछले दिन की तुलना में अधिक मीटर दौड़ता है। यदि वह पहले दिन किमी मीटर दौड़ता है तो वह एक सप्ताह में कुल कितने किलोमीटर दौड़ेगा?
2. एक साइकिल चालक प्रतिदिन पिछले दिन की तुलना में अधिक किलोमीटर की यात्रा करता है। पहले दिन उन्होंने किमी. की यात्रा की। उसे एक किलोमीटर की दूरी तय करने में कितने दिन लगेंगे? अपनी यात्रा के अंतिम दिन में वह कितने किलोमीटर की यात्रा करेगा?
3. एक स्टोर में रेफ्रिजरेटर की कीमत हर साल समान मात्रा से घट जाती है। निर्धारित करें कि प्रत्येक वर्ष रेफ्रिजरेटर की कीमत में कितनी कमी आई है, यदि इसे रूबल के लिए बिक्री के लिए रखा गया था, छह साल बाद इसे रूबल के लिए बेचा गया था।

उत्तर:

1. यहां सबसे महत्वपूर्ण बात अंकगणितीय प्रगति को पहचानना और उसके मापदंडों को निर्धारित करना है। इस मामले में, (सप्ताह = दिन)। आपको इस प्रगति के पहले पदों का योग निर्धारित करने की आवश्यकता है:
   .
   उत्तर:
2. यहाँ यह दिया गया है: , पाया जाना चाहिए।
   जाहिर है, आपको पिछली समस्या के समान योग सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:
   .
   मानों को प्रतिस्थापित करें:

   मूल स्पष्ट रूप से फिट नहीं बैठता है, इसलिए उत्तर है।
   आइए वें पद के सूत्र का उपयोग करके अंतिम दिन में तय किए गए पथ की गणना करें:
   (किमी).
   उत्तर:

3. दिया गया: । खोजो: ।
   यह इससे आसान नहीं हो सकता:
   (रगड़ना)।
   उत्तर:

अंकगणितीय प्रगति। संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

यह एक संख्या क्रम है जिसमें आसन्न संख्याओं के बीच का अंतर समान और बराबर होता है।

अंकगणितीय प्रगति बढ़ती () और घटती () हो सकती है।

उदाहरण के लिए:

अंकगणितीय प्रगति का nवाँ पद ज्ञात करने का सूत्र

सूत्र द्वारा लिखा जाता है, जहाँ संख्याओं की संख्या क्रमानुसार होती है।

अंकगणितीय प्रगति के सदस्यों की संपत्ति

यह आपको किसी प्रगति का एक पद आसानी से ढूंढने की अनुमति देता है यदि उसके पड़ोसी पद ज्ञात हों - प्रगति में संख्याओं की संख्या कहां है।

अंकगणितीय प्रगति के पदों का योग

राशि ज्ञात करने के दो तरीके हैं:

मानों की संख्या कहां है.

मानों की संख्या कहां है.

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