मिश्रित भिन्नों का गुणन और भाग क्या है? मिश्रित संख्याओं का गुणन: नियम, उदाहरण, समाधान। एक प्राकृतिक संख्या के साथ अंशों का विभाजन
फिर हम नियम के अनुसार कार्य करते हैं: हम पहले अंश को दूसरे के विपरीत भिन्न से गुणा करते हैं (अर्थात, एक उल्टे अंश से, जिसमें अंश और हर को उलट दिया जाता है)। भिन्नों को गुणा करते समय, अंश को अंश से गुणा किया जाता है, और हर को हर से गुणा किया जाता है।
मिश्रित संख्याओं को विभाजित करने के उदाहरणों पर विचार करें।
हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में परिवर्तित करके विभाजित करना शुरू करते हैं। फिर हम परिणामी अंशों को विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले अंश को उल्टे दूसरे से गुणा करें। 20 और 25 को 5, 3 और 9 - 3 से। गलत अंश प्राप्त हुआ, इसलिए यह आवश्यक है।
हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों में बदलते हैं। इसके अलावा, भिन्नों को विभाजित करने के नियम के अनुसार, हम पहली संख्या को छोड़ देते हैं और दूसरी से प्रतिलोम संख्या से गुणा करते हैं। 15 और 25 को 5, 8 और 16 - 2 से कम करें। परिणामी गलत भिन्न से पूरे भाग का चयन करें।
हम मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों से प्रतिस्थापित करते हैं और उन्हें विभाजित करते हैं। ऐसा करने के लिए, पहले अंश को बिना किसी बदलाव के फिर से लिखें और इसे उल्टे दूसरे से गुणा करें। 18 और 36 को 18, 35 और 7 को 7 से कम करें। परिणाम एक गलत भिन्न है। इसमें से पूरा भाग चुनें।
) और हर द्वारा हर (हमें उत्पाद का हर मिलता है)।
भिन्नों को गुणा करने का सूत्र:
उदाहरण के लिए:
इससे पहले कि आप अंशों और हरों को गुणा करना शुरू करें, आपको अंश को कम करने की संभावना की जांच करने की आवश्यकता है। यदि आप भिन्न को कम कर सकते हैं, तो आपके लिए आगे की गणना करना आसान हो जाएगा।
साधारण भिन्न का भिन्न में विभाजन।
एक प्राकृतिक संख्या की भागीदारी के साथ अंशों का विभाजन।
यह उतना डरावना नहीं है जितना लगता है। जैसा कि जोड़ के मामले में होता है, एक पूर्णांक को भिन्न में परिवर्तित करें जिसमें हर में एक हो। उदाहरण के लिए:
मिश्रित भिन्नों का गुणन।
भिन्नों को गुणा करने के नियम (मिश्रित):
- मिश्रित भिन्नों को अनियमित अंशों में बदलना;
- भिन्नों के अंशों और हरों को गुणा करें;
- हम अंश को कम करते हैं;
- यदि आपको गलत भिन्न मिला है, तो गलत भिन्न को मिश्रित भिन्न में बदलें।
ध्यान दें!मिश्रित भिन्न को किसी अन्य मिश्रित भिन्न से गुणा करने के लिए, आपको पहले उन्हें अनुचित भिन्नों के रूप में लाना होगा, और फिर साधारण भिन्नों के गुणन के नियम के अनुसार गुणा करना होगा।
किसी भिन्न को प्राकृत संख्या से गुणा करने का दूसरा तरीका।
किसी साधारण भिन्न को किसी संख्या से गुणा करने की दूसरी विधि का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक हो सकता है।
ध्यान दें!किसी भिन्न को एक प्राकृत संख्या से गुणा करने के लिए, आपको भिन्न के हर को इस संख्या से विभाजित करना होगा, और अंश को अपरिवर्तित छोड़ना होगा।
उपरोक्त उदाहरण से, यह स्पष्ट है कि इस विकल्प का उपयोग करना अधिक सुविधाजनक है जब अंश के हर को एक प्राकृतिक संख्या से शेष के बिना विभाजित किया जाता है।
बहुमंजिला अंश।
हाई स्कूल में, तीन-कहानी (या अधिक) अंश अक्सर पाए जाते हैं। उदाहरण:
ऐसे भिन्न को उसके सामान्य रूप में लाने के लिए, 2 बिंदुओं से विभाजन का उपयोग किया जाता है:
ध्यान दें!भिन्नों के विभाजन में, विभाजन का क्रम बहुत महत्वपूर्ण होता है। सावधान रहें, यहां भ्रमित होना आसान है।
ध्यान दें, उदाहरण के लिए:
एक को किसी भिन्न से भाग देने पर, परिणाम वही भिन्न होगा, केवल उल्टा:
भिन्नों को गुणा और भाग करने के लिए व्यावहारिक सुझाव:
1. भिन्नात्मक अभिव्यक्तियों के साथ काम करने में सबसे महत्वपूर्ण बात सटीकता और देखभाल है। सभी गणनाओं को ध्यान से और सटीक रूप से, एकाग्रता और स्पष्टता के साथ करें। अपने दिमाग में गणनाओं में भ्रमित होने की तुलना में मसौदे में कुछ अतिरिक्त पंक्तियाँ लिखना बेहतर है।
2. विभिन्न प्रकार के भिन्नों वाले कार्यों में - साधारण भिन्नों के रूप में जाएँ।
3. सभी भिन्नों को तब तक कम करें जब तक कि घटाना असंभव न हो जाए।
4. बहु-मंजिला भिन्नात्मक व्यंजकों को 2 बिंदुओं से विभाजित करके साधारण व्यंजकों में परिवर्तित किया जाता है।
5. इकाई को मानसिक रूप से भिन्न में विभाजित करें, बस भिन्न को पलट दें।
पाठ का विषय: "मिश्रित भिन्नों का गुणा और भाग"उद्देश्य: छात्रों में मिश्रित भिन्नों के गुणन और विभाजन के नियम को लागू करने की क्षमता और कौशल विकसित करना;
छात्रों की विश्लेषणात्मक सोच का विकास, मुख्य बात को उजागर करने और सामान्यीकरण करने के लिए छात्रों की क्षमता का निर्माण।
कार्य: साधारण अंशों के गुणन और विभाजन के नियम को दोहराएं।
साधारण भिन्नों के गुणन और भाग के नियम को लागू करने की क्षमता की जाँच करें,
एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का नियम और इसके विपरीत। गलत भिन्न को मिश्रित संख्या में बदलने की क्षमता की जाँच करें और इसके विपरीत।
मिश्रित संख्याओं के गुणन और भाग के लिए एक नया नियम और कलन विधि व्युत्पन्न कीजिए।
कार्यों के निष्पादन पर नए नियम पर काम करना।
विषय परिणाम: मिश्रित अंशों के गुणन और विभाजन के लिए एल्गोरिथ्म (ज्ञापन)
मेटाविषय और व्यक्तिगत परिणाम :
नियामक ईसीडी: लक्ष्य निर्धारण; योजना, परिणाम प्राप्त करना
संज्ञानात्मक यूयूडी: सामान्य शैक्षिक, तार्किक, समस्या विवरण और समाधान
संचारी यूयूडी: जोड़े में काम करें
उपकरण: गणित पाठ्यपुस्तक ग्रेड 6
हैंडआउट।
प्रोजेक्टर।
कक्षाओं के दौरान:
I. समस्या की स्थिति और ज्ञान अद्यतन
1. भिन्नों के गुणन और विभाजन के विषय पर अध्ययन की गई सामग्री की पुनरावृत्ति के लिए बच्चों से प्रश्न करना (निष्पादन का एल्गोरिथ्म, एक अंश को एक प्राकृतिक संख्या से गुणा करने का नियम)।
2. प्रोजेक्टर पर उदाहरणों का चित्रण। सामान्य अंशों के प्रकार। कैसे एक गलत अंश से मिश्रित हो और इसके विपरीत।
3. सर्वेक्षण के अंत में, सामान्य भिन्नों के गुणन और विभाजन पर उदाहरणों सहित स्वतंत्र कार्य और मिश्रित भिन्नों के गुणन और विभाजन पर दो उदाहरण होते हैं, जहाँ बच्चों को समस्या का सामना करना पड़ता है। छात्रों के साथ जाँच के सही उत्तर प्रोजेक्टर पर दिखाई देते हैं।
4. समस्या की चर्चा। पाठ के विषय पर नेतृत्व करें।
II. ज्ञान की संयुक्त खोज।
1 / समस्या के समाधान के संस्करण को आवाज देने के लिए जोड़े में चर्चा प्रस्तावित है। चॉकबोर्ड पर संस्करण लिखें। आप कैसे जानते हैं कि कौन सा संस्करण सही है?
2 / छात्रों को प्रासंगिक विषय पर पाठ्यपुस्तक देखने के लिए आमंत्रित करें।
3 / एक परिचयात्मक रीडिंग करें, आवश्यक पैराग्राफ खोजें और मिश्रित अंशों को गुणा और विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म की रचना करने के लिए इसका अध्ययन करें। कार्य के कार्यान्वयन पर नियंत्रण।
4 / मुख्य से एक सामान्य एल्गोरिथ्म बनाने के लिए संस्करणों को सुनें। इसे प्रोजेक्टर पर प्रतिबिंबित करें और इसे मेमो के रूप में छात्रों को वितरित करें।
III.ज्ञान का स्व-अनुप्रयोग
1 / स्वतंत्र कार्य से उदाहरणों को हल करने और उन्हें हल करने के लिए प्राप्त एल्गोरिथम का उपयोग करके समस्या पर लौटें। जोड़े में जांचें। सत्यापन के लिए प्रोजेक्टर पर परिणाम दिखाएं।
2 / पाठ्यपुस्तक से एक नियत कार्य दें। निष्पादन नियंत्रण।
चतुर्थ। पाठ सारांश
पाठ की शुरुआत में उत्पन्न हुई समस्या से शुरू करें, इसे हल करने के तरीकों और परिणाम पर बात करें।
छात्र के काम का आकलन।
ग्रिह कार्य।
इस लेख में, हम विश्लेषण करेंगे मिश्रित संख्या गुणन... सबसे पहले, हम मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के नियम को आवाज देंगे और उदाहरणों को हल करते समय इस नियम के लागू होने पर विचार करेंगे। इसके बाद, आइए एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृत संख्या को गुणा करने के बारे में बात करते हैं। अंत में, हम सीखेंगे कि मिश्रित संख्या और साधारण भिन्न का गुणन कैसे किया जाता है।
पृष्ठ नेविगेशन।
मिश्रित संख्याओं का गुणन।
मिश्रित संख्याओं का गुणनसाधारण भिन्नों के गुणन में घटाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, मिश्रित संख्याओं का अनुचित अंशों में अनुवाद करना पर्याप्त है।
आइए लिखते हैं मिश्रित संख्या गुणन नियम:
- सबसे पहले, गुणा की जाने वाली मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों से बदला जाना चाहिए;
- दूसरे, आपको एक भिन्न को भिन्न से गुणा करने के नियम का उपयोग करने की आवश्यकता है।
आइए मिश्रित संख्या को मिश्रित संख्या से गुणा करते समय इस नियम को लागू करने के उदाहरणों पर विचार करें।
उदाहरण।
मिश्रित संख्याओं को गुणा करें और।
समाधान।
सबसे पहले, आइए मिश्रित संख्याओं को अनुचित भिन्नों के रूप में गुणा करने के लिए निरूपित करें: 
तथा 
... अब हम मिश्रित संख्याओं के गुणन को साधारण भिन्नों के गुणन से बदल सकते हैं: 
... भिन्नों को गुणा करने के नियम को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं 
... परिणामी अंश इरेड्यूसेबल है (रद्द करने योग्य और रद्द करने योग्य अंश देखें), लेकिन यह गलत है (सही और गलत अंश देखें), इसलिए, अंतिम उत्तर प्राप्त करने के लिए, यह पूर्णांक भाग को अनुचित अंश से अलग करने के लिए रहता है:।
आइए एक पंक्ति में संपूर्ण समाधान लिखें:।
उत्तर:
.
मिश्रित संख्याओं को गुणा करने के कौशल को समेकित करने के लिए, एक अन्य उदाहरण के हल पर विचार करें।
उदाहरण।
गुणन करें।
समाधान।
मजेदार संख्याएं और भिन्न क्रमशः 13/5 और 10/9 के बराबर हैं। फिर 
... इस स्तर पर, अंश की कमी के बारे में याद रखने का समय है: हम भिन्न में सभी संख्याओं को उनके अपघटन के साथ अभाज्य गुणनखंडों में बदल देंगे, और हम समान कारकों की कमी का प्रदर्शन करेंगे।
उत्तर:
एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृतिक संख्या का गुणन
मिश्रित संख्या को अनुचित भिन्न से बदलने के बाद, एक मिश्रित संख्या और एक प्राकृतिक संख्या का गुणनएक साधारण अंश और एक प्राकृतिक संख्या के गुणन के लिए घटाया गया।
उदाहरण।
मिश्रित संख्या और प्राकृत संख्या 45 को गुणा करें।
समाधान।
मिश्रित संख्या एक भिन्न के बराबर होती है, तो 
... हम परिणामी भिन्न में संख्याओं को उनके अपघटन द्वारा अभाज्य गुणनखंडों में प्रतिस्थापित करते हैं, एक कमी करते हैं, और फिर पूर्णांक भाग का चयन करते हैं:।
उत्तर:
कभी-कभी योग के संबंध में गुणन के वितरण गुण का उपयोग करके मिश्रित संख्या और प्राकृतिक संख्या को गुणा करना सुविधाजनक होता है। इस स्थिति में, मिश्रित संख्या और प्राकृत संख्या का गुणनफल दी गई प्राकृत संख्या द्वारा पूर्णांक भाग के गुणनफल और दी गई प्राकृत संख्या द्वारा भिन्नात्मक भाग के योग के बराबर होता है, अर्थात्, 
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उदाहरण।
उत्पाद की गणना करें।
