सम्मिश्र संख्याओं वाली श्रृंखला. जटिल शब्दों वाली श्रृंखला. पावर कॉम्प्लेक्स श्रृंखला

463. असमानताओं का ज्यामितीय अर्थ क्या है: 1) पुनः z > 0; 2) मैं ज़ेड< 0 ?

2. जटिल पदों वाली श्रृंखला. जटिल संख्याओं के अनुक्रम पर विचार करें z 1 , z 2 , जेड 3 , ...,कहां जेड पी = एक्स पी + आईयू पी (पी = 1, 2, 3, ...)।लगातार संख्या सी = ए + द्विबुलाया आप LIMITदृश्यों z 1 , z 2 , जेड 3 , ..., यदि किसी मनमाने ढंग से छोटी संख्या के लिए δ>0 ऐसी एक संख्या है एन,मातलब क्या है ज़ेड पीसंख्याओं के साथ एन > एनअसमानता को संतुष्ट करें \z पी-साथ\< δ . इस मामले में वे लिखते हैं .

जटिल संख्याओं के अनुक्रम की एक सीमा के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त इस प्रकार है: संख्या सी=ए+द्विसम्मिश्र संख्याओं के अनुक्रम की सीमा है x 1 +iу 1, x 2 +iу 2, x 3 +iу 3, …अगर और केवल अगर , ।

(1)

जिसके सदस्य सम्मिश्र संख्याएँ हों, कहलाती हैं अभिसारी,अगर n वेंश्रृंखला का आंशिक योग S n at पी → ∞एक निश्चित अंतिम सीमा तक जाता है। अन्यथा, श्रृंखला (1) कहलाती है भिन्न

श्रृंखला (1) अभिसरित होती है यदि और केवल यदि वास्तविक पदों वाली श्रृंखला अभिसरित होती है

(2) श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें, यह श्रृंखला, जिसके पद एक अनंत रूप से घटती ज्यामितीय प्रगति का निर्माण करते हैं, अभिसरण करते हैं; इसलिए, जटिल पदों वाली दी गई श्रृंखला पूर्णतया अभिसरित होती है। ^

474. श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र ज्ञात कीजिए

19.4.1. जटिल पदों वाली संख्या श्रृंखला.अभिसरण की सभी बुनियादी परिभाषाएँ, अभिसरण श्रृंखला के गुण और जटिल श्रृंखला के लिए अभिसरण के संकेत वास्तविक मामले से अलग नहीं हैं।

19.4.1.1. बुनियादी परिभाषाएँ. आइए हमें सम्मिश्र संख्याओं का एक अनंत क्रम दिया जाए जेड 1 , जेड 2 , जेड 3 , …, जेड एन , ....संख्या का वास्तविक भाग जेड एन हम निरूपित करेंगे ए एन , काल्पनिक - बी एन

(वे। जेड एन = ए एन + मैं बी एन , एन = 1, 2, 3, …).

संख्या शृंखला- फॉर्म का रिकॉर्ड.

आंशिकमात्रापंक्ति: एस 1 = जेड 1 , एस 2 = जेड 1 + जेड 2 , एस 3 = जेड 1 + जेड 2 + जेड 3 , एस 4 = जेड 1 + जेड 2 + जेड 3 + जेड 4 , …,

एस एन = जेड 1 + जेड 2 + जेड 3 + … + जेड एन , …

परिभाषा।अगर कोई सीमा है एस किसी श्रृंखला के आंशिक योगों का क्रम
, जो एक उचित जटिल संख्या है, तो श्रृंखला को अभिसरण कहा जाता है; संख्या एस श्रृंखला का योग ज्ञात कीजिए और लिखिए एस = जेड 1 + जेड 2 + जेड 3 + … + जेड एन + ...या
.

आइए आंशिक योगों के वास्तविक और काल्पनिक भाग खोजें:

एस एन = जेड 1 + जेड 2 + जेड 3 + … + जेड एन = (ए 1 + मैं बी 1) + (ए 2 + मैं बी 2) + (ए 3 + मैं बी 3) + … + (ए एन + मैं बी एन ) = (ए 1 + ए 2 + ए 3 +…+ ए एन ) +

प्रतीक कहां हैं और आंशिक योग के वास्तविक और काल्पनिक भाग दर्शाए गए हैं। एक संख्या अनुक्रम तभी अभिसरण होता है जब उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों से बना अनुक्रम अभिसरण होता है। इस प्रकार, जटिल पदों वाली एक श्रृंखला अभिसरित होती है यदि और केवल तभी जब उसके वास्तविक और काल्पनिक भागों से बनी श्रृंखला अभिसरित होती है। जटिल पदों के साथ श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन करने की एक विधि इस कथन पर आधारित है।

उदाहरण।अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें .

आइए अभिव्यक्ति के कई अर्थ लिखें : तब मान समय-समय पर दोहराए जाते हैं। वास्तविक भागों की एक श्रृंखला: ; काल्पनिक भागों की श्रृंखला; दोनों श्रृंखलाएं अभिसरित होती हैं (सशर्त रूप से), इसलिए मूल श्रृंखला अभिसरण होती है।

19.4.1.2. पूर्ण अभिसरण.

परिभाषा।पंक्ति बुलाया बिल्कुल अभिसरण, यदि श्रृंखला अभिसरित होती है
, इसके सदस्यों के निरपेक्ष मूल्यों से बना है।

मनमाने शब्दों वाली संख्यात्मक वास्तविक श्रृंखला की तरह, यह साबित करना आसान है कि यदि श्रृंखला अभिसरण करती है
, तो श्रृंखला आवश्यक रूप से अभिसरण होती है (
, इसलिए श्रृंखला के वास्तविक और काल्पनिक भागों द्वारा बनाई गई श्रृंखला , बिल्कुल सहमत हूं)। यदि पंक्ति अभिसरण, और श्रृंखला
विचलन, फिर श्रृंखला सशर्त रूप से अभिसरण कहा जाता है।

पंक्ति
- गैर-नकारात्मक शब्दों वाली एक श्रृंखला, इसलिए, इसके अभिसरण का अध्ययन करने के लिए, आप सभी ज्ञात परीक्षणों (तुलना प्रमेय से अभिन्न कॉची परीक्षण तक) का उपयोग कर सकते हैं।

उदाहरण।अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें
.

आइए मॉड्यूल की एक श्रृंखला बनाएं ():
. यह श्रृंखला अभिसरण करती है (कॉची परीक्षण)।
), इसलिए मूल श्रृंखला बिल्कुल मिलती है।

19.4. 1 . 3 . अभिसरण श्रृंखला के गुण.जटिल पदों वाली अभिसरण श्रृंखला के लिए, वास्तविक पदों वाली श्रृंखला के सभी गुण मान्य हैं:

किसी शृंखला के अभिसरण का एक आवश्यक संकेत। अभिसरण श्रृंखला का सामान्य पद शून्य हो जाता है
.

यदि श्रृंखला अभिसरित होती है , तो श्रृंखला का कोई भी शेष अभिसरण हो जाता है। इसके विपरीत, यदि श्रृंखला का कोई भी शेष अभिसरण हो जाता है, तो श्रृंखला स्वयं अभिसरण हो जाती है।

यदि श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसके बाद शेषफल का योग होता हैएन -शब्द शून्य हो जाता है
.

यदि एक अभिसरण श्रृंखला के सभी पदों को एक ही संख्या से गुणा किया जाता हैसाथ , तो श्रृंखला का अभिसरण संरक्षित किया जाएगा, और योग को गुणा किया जाएगासाथ .

अभिसरण श्रृंखला (ए ) और (में ) पद दर पद जोड़ा और घटाया जा सकता है; परिणामी श्रृंखला भी अभिसरण होगी, और इसका योग बराबर है
.

यदि किसी अभिसरण श्रृंखला के पदों को मनमाने तरीके से समूहीकृत किया जाए और कोष्ठक के प्रत्येक जोड़े में पदों के योग से एक नई श्रृंखला बनाई जाए, तो यह नई श्रृंखला भी अभिसरण होगी, और इसका योग योग के बराबर होगा मूल श्रृंखला.

यदि कोई श्रृंखला पूर्ण रूप से अभिसरण करती है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि उसके शब्दों को कैसे पुनर्व्यवस्थित किया जाता है, अभिसरण संरक्षित रहता है और योग नहीं बदलता है।

यदि पंक्तियाँ (ए ) और (में ) पूरी तरह से उनके योगों में परिवर्तित हो जाते हैं
और
, तो उनका उत्पाद, शर्तों के एक मनमाने क्रम के साथ, पूर्ण रूप से अभिसरण भी करता है, और इसका योग बराबर होता है
.

प्रतीक देखें डब्ल्यू 1 + डब्ल्यू 2 +…+ डब्ल्यू एन +…= (1), कहाँ डब्ल्यू एन = यू एन + मैं· वी एन (एन = 1, 2, …) सम्मिश्र संख्याएँ (सम्मिश्र संख्याओं का क्रम) कहलाती हैं जटिल संख्याओं की श्रृंखला.

नंबर डब्ल्यू एन (एन = 1, 2, …) कहा जाता है एक संख्या के सदस्य, सदस्य डब्ल्यू एनबुलाया शृंखला का सामान्य सदस्य.

फॉर्म के नंबर एस एन = डब्ल्यू 1 + डब्ल्यू 2 +…+ डब्ल्यू एन (2) (एन = 1, 2, …) , कहा जाता है किसी शृंखला का आंशिक योग (1).

परिमित या अनंत सीमा एसदृश्यों एस एनबुलाया इस श्रृंखला का योग.

यदि सीमा एसपरिमित है, तो श्रृंखला कहलाती है संमिलित, यदि सीमा अनंत है या बिल्कुल भी अस्तित्व में नहीं है, तो श्रृंखला विभिन्न.

अगर एसश्रृंखला का योग (1), फिर लिखें
.

होने देना
, ए
. ज़ाहिर तौर से σ एन = यू 1 + यू 2 +…+ यू एन , τ एन = वी 1 + वी 2 +…+ वी एन. हम समानता को कैसे जानते हैं?
(एसबेशक) दो समानताओं के बराबर है
और
. नतीजतन, श्रृंखला (1) का अभिसरण दो वास्तविक श्रृंखलाओं के अभिसरण के बराबर है: और . इसलिए, अभिसारी संख्या श्रृंखला के मूल गुण अभिसारी जटिल श्रृंखला पर लागू होते हैं।

उदाहरण के लिए, जटिल श्रृंखला के लिए कॉची मानदंड मान्य है: श्रृंखला (1) यदि और केवल यदि किसी के लिए अभिसरण करती है

वो सबके सामनेएन > एनऔर कोई भीपी= 1, 2, ...असमानता कायम है.

यह मानदंड सीधे तौर पर किसी श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड को दर्शाता है: श्रृंखला (1) के अभिसरण के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका सामान्य पदडब्ल्यू एन → 0 .

अभिसरण श्रृंखला के निम्नलिखित गुण सत्य हैं: यदि पंक्तियाँ और उनकी रकम में जुट जाओएसऔरडी, फिर पंक्तियाँ
और
क्रमशः रकम में अभिसरण करेंएस ± डीऔर λएस .

सम्मिश्र संख्याओं की पूर्णतः अभिसारी श्रृंखला।

सम्मिश्र संख्याओं की श्रृंखला (1) कहा जाता है बिल्कुल अभिसरण, यदि श्रृंखला अभिसरित होती है
(2).

प्रमेय.

सम्मिश्र संख्याओं की प्रत्येक पूर्णतः अभिसरण श्रृंखला (1) अभिसरण करती है।

सबूत।

जाहिर है, हमारे लिए यह स्थापित करना पर्याप्त है कि श्रृंखला (1) के लिए श्रृंखला के अभिसरण के लिए कॉची मानदंड की शर्तें संतुष्ट हैं। चलो कोई भी ले लो
. श्रृंखला (1) के पूर्ण अभिसरण के कारण, श्रृंखला (2) अभिसरण होती है। इसलिए, चयनित के लिए

, वह किसी के लिए भी एन > एनऔर पी=1,2,…असमानता संतुष्ट होगी
, लेकिन

, और इससे भी अधिक असमानता संतुष्ट होगी
किसी पर एन > एनऔर पी=1,2,… नतीजतन, श्रृंखला (1) के लिए एक जटिल श्रृंखला के अभिसरण के लिए कॉची मानदंड की शर्तें संतुष्ट हैं। इसलिए श्रृंखला (1) अभिसरण करती है। प्रमेय सत्य है.

प्रमेय.

जटिल संख्याओं की एक श्रृंखला के लिए (1) पूर्णतः अभिसरण था; वास्तविक शृंखला के पूर्णतः अभिसरण के लिए यह आवश्यक और पर्याप्त है (3) और (4) ,कहांडब्ल्यू एन = यू एन + मैं· वी एन (एन = 1, 2,…).

सबूत,

निम्नलिखित स्पष्ट असमानताओं पर निर्भर करता है

(5)

आवश्यकता.मान लीजिए श्रृंखला (1) पूर्णतः अभिसरित होती है, आइए हम दिखाते हैं कि श्रृंखला (3) और (4) पूर्णतः अभिसरित होती है, अर्थात् श्रृंखला अभिसरित होती है
और
(6). श्रृंखला (1) के पूर्ण अभिसरण से यह उस श्रृंखला (2) का अनुसरण करता है
अभिसरण, फिर, असमानता (5) के बाईं ओर के आधार पर, श्रृंखला (6) अभिसरण होगी, यानी श्रृंखला (3) और (4) बिल्कुल अभिसरण होगी।

पर्याप्तता.मान लीजिए श्रृंखला (3) और (4) पूर्ण रूप से अभिसरण करती हैं, आइए हम दिखाते हैं कि श्रृंखला (1) भी पूर्ण रूप से अभिसरण करती है, अर्थात, श्रृंखला (2) अभिसरण करती है। श्रृंखला (3) और (4) के पूर्ण अभिसरण से यह पता चलता है कि श्रृंखला (6) अभिसरण करती है, इसलिए श्रृंखला भी अभिसरण करती है
. नतीजतन, असमानता (5) के दाहिनी ओर के कारण, श्रृंखला (2) अभिसरण होती है, अर्थात। श्रृंखला (1) पूर्णतः अभिसारी है।

तो, जटिल श्रृंखला (1) का पूर्ण अभिसरण वास्तविक संख्या श्रृंखला (3) और (4) के पूर्ण अभिसरण के बराबर है। इसलिए, वास्तविक पूर्णतः अभिसारी संख्या श्रृंखला के सभी मूल गुण पूर्णतः अभिसारी सम्मिश्र श्रृंखला पर लागू होते हैं। विशेष रूप से, एक बिल्कुल अभिसरण जटिल श्रृंखला के लिए, इसकी शर्तों के क्रमपरिवर्तन पर प्रमेय मान्य है, यानी। बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला में शब्दों को पुनर्व्यवस्थित करने से श्रृंखला के योग पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है. किसी जटिल श्रृंखला के पूर्ण अभिसरण को स्थापित करने के लिए, सकारात्मक श्रृंखला के अभिसरण के लिए किसी भी मानदंड का उपयोग किया जा सकता है।

कॉची का चिन्ह.

मान लीजिए श्रृंखला (1) की एक सीमा है
, तो अगरक्यू < 1 , то ряд (1) абсолютно сходится, если क्यू>1, फिर श्रृंखला (1) अलग हो जाती है.

डी'अलेम्बर्ट का चिन्ह.

यदि सम्मिश्र संख्याओं की श्रृंखला (1) के लिए एक सीमा है
, फिर कबक्यू < 1 этот ряд абсолютно сходится, а если क्यू> 1, तो श्रृंखला अलग हो जाती है।

उदाहरण।

पूर्ण अभिसरण के लिए श्रृंखला की जाँच करें
, यहाँ
.

हम ढूंढ लेंगे
. ज़ाहिर तौर से
=
=
. इसलिए, श्रृंखला बिल्कुल अभिसरण है।

बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला को गुणा किया जा सकता है। एक बिल्कुल अभिसरण श्रृंखला और एक अभिसरण श्रृंखला का उत्पाद अभिसरण करता है। दो अभिसरणों का उत्पाद भिन्न हो सकता है।

आकार: पीएक्स

पृष्ठ से दिखाना प्रारंभ करें:

प्रतिलिपि

1 8 सम्मिश्र संख्या श्रृंखला, k a, (46) रूप की सम्मिश्र संख्याओं वाली एक संख्या श्रृंखला पर विचार करें जहां (ak) दिया गया है संख्या क्रमजटिल पदों के साथ श्रृंखला (46) को अभिसरण कहा जाता है यदि इसके आंशिक योग S a k k का अनुक्रम (S) अभिसरण करता है। इस मामले में, अनुक्रम (S) की सीमा S को श्रृंखला (46) का योग कहा जाता है श्रृंखला a k को श्रृंखला का वां शेषफल कहा जाता है (46) एक अभिसरण k श्रृंखला S S r और lm r के लिए, वे ε > N, N: r< ε Для сходящегося ряда (46) необходимым и достаточным признаком его сходимости является критерий Коши: ряд (46) сходится тогда и только тогда, если ε >, एन, एन:ए< ε p k k एक आवश्यक शर्तश्रृंखला (46) का अभिसरण एक आवश्यकता है वास्तव में, श्रृंखला (46) के अभिसरण से, कॉची मानदंड के अनुसार, यह पता चलता है, कि ε >, N >, जो कि पी के लिए, यह इस प्रकार है कि एस एस< ε Если сходится ряд ak k a (47) с действительными положительными членами, то очевидно, сходится и ряд (46), который в этом случае называется абсолютно сходящимся А для ряда (47) уже можно применить признаки Даламбера и Коши: ряд (47) сходится, если, начиная с a некоторого номера N соотношение l < a, N значит, сходится абсолютно ряд (46)), если a q <, N k ; и ряд (47) сходится (а,

2 9 कार्यात्मक श्रृंखला और उनके गुण समान अभिसरण वीयरस्ट्रैस का प्रमेय जटिल विमान Z के एक डोमेन G में एकल-मूल्य वाले फ़ंक्शन ((Z)) का एक अनंत अनुक्रम परिभाषित किया गया है। फॉर्म U U (48) की अभिव्यक्ति को a कहा जाएगा कार्यात्मक श्रृंखला। श्रृंखला (48) को एक डोमेन जी में अभिसरण कहा जाता है यदि जेड जी इसकी संबंधित संख्या श्रृंखला अभिसरण करती है। यदि श्रृंखला (48) एक क्षेत्र जी में अभिसरण करती है, तो इस क्षेत्र में एकल-मूल्य वाले फ़ंक्शन को परिभाषित करना संभव है। जिसका मान क्षेत्र G के प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र G में संगत संख्या श्रृंखला (48) के योग के बराबर है। फिर G, > k () U k()< ε Заметим, что в общем случае N зависит и от ε и от Определение Если ε >, N(ε), N(ε): ε, N (ε,), N(ε,) : क्षेत्र G k U k में तुरंत निष्पादित किया गया< ε G, то ряд (48) называется равномерно сходящимся в k k Если остаток ряда обозначить r U, то тогда условие равномерной сходимости ряда (48) можем записать в виде: r < ε, N(ε), G Достаточным признаком равномерной сходимости ряда (48) является признак Вейерштрасса: Если всюду в области G члены функционального ряда (48) могут быть мажорированы членами некоторого абсолютно сходящегося числового ряда a, те

3 ए यू, जी, (49) तो श्रृंखला (48) समान रूप से अभिसरण करती है एन दरअसल, चूंकि श्रृंखला ए अभिसरण करती है, तो > (49) के आधार पर, असमानता ε, > के के एन जी में रखती है, जैसे कि ए< ε, U U a < ε при N, что и доказывает равномерную k k k k k k сходимость ряда (48) в области G Приведем некоторые теоремы о равномерно сходящихся рядах Они доказываются совершенно также, как соответствующие теоремы вещественного анализа и поэтому приведем их без доказательства Теорема 5 Если функции U непрерывны в области G, а ряд U сходится в этой области равномерно к функции, то также непрерывна в G Теорема 6 Если ряд (48) निरंतर कार्ययू डोमेन जी में समान रूप से एक फ़ंक्शन में परिवर्तित होता है, फिर डोमेन जी में पूरी तरह से झूठ बोलने वाले किसी भी टुकड़े के चिकनी वक्र पर इस फ़ंक्शन का अभिन्न अंग श्रृंखला (48) के टर्म-दर-टर्म एकीकरण द्वारा गणना की जा सकती है, फिर प्रमेय 7 यदि श्रृंखला U के पद d U d U, डोमेन G में अभिसरण करते हुए, इस डोमेन में निरंतर व्युत्पन्न होते हैं और श्रृंखला U, G में समान रूप से परिवर्तित होती है, तो इस श्रृंखला U को डोमेन G में पद दर पद विभेदित किया जा सकता है, और U U, जहां U है श्रृंखला का योग

4 फ़ंक्शन पंक्तियों के लिए व्यापक विश्लेषणएक वीयरस्ट्रैस प्रमेय है, जो हमें वास्तविक विश्लेषण से ज्ञात एक कार्यात्मक श्रृंखला के शब्द-दर-अवधि विभेदन की संभावना पर प्रमेय को महत्वपूर्ण रूप से मजबूत करने की अनुमति देता है, इसे तैयार करने और साबित करने से पहले, हम ध्यान दें कि श्रृंखला यू, समान रूप से अभिसरण कर रही है रेखा l, l से परिबद्ध फ़ंक्शन ϕ द्वारा इसके सभी पदों को गुणा करने के बाद भी समान रूप से अभिसरण बनी रहेगी, वास्तव में, असमानता ϕ () को रेखा l पर संतुष्ट होने दें< M Тогда для остатков ρ и r рядов U и U ϕ справедливо соотношение ϕ U U r < M r ρ ϕ ε и, тк N, >एन:आर< и одновременно с ним ρ < ε, то этим доказано M высказанное утверждение Если сумма данного ряда есть S, то сумма ряда, полученного после умножения на ϕ, очевидно будет ϕ S Теорема 8 (Вейерштрасса) Если члены ряда - аналитические в некоторой области G функции и этот ряд сходится в области G равномерно, то его сумма также является функцией аналитической в G, ряд можно почленно дифференцировать и полученный ряд F равномерно сходится к () F Выберем любую внутреннюю точку области G и построим круг столь малого радиуса с центром в этой точке, чтобы он целиком лежал внутри G (рис) В силу равномерной сходимости данного ряда в G, G ρ Рис он, в частности, равномерно сходится на окружности этого круга Пусть - любая точка на Умножим ряд () () () () () (5) на величину Полученный ряд

5 भी समान रूप से इसके योग () () () () () में परिवर्तित हो जाता है, क्योंकि फ़ंक्शन (5) सीमित है, क्योंकि इस सर्कल के बिंदुओं के लिए ρ सर्कल की त्रिज्या है (याद रखें: - यहां एक स्थिरांक है) फिर उपरोक्त के अनुसार, श्रृंखला (5) को पद दर पद एकीकृत किया जा सकता है: () d () d () d d π π π π कार्यों की विश्लेषणात्मकता के कारण, हम उन पर कॉची सूत्र लागू कर सकते हैं, आधार पर जिसमें से हमें ()d π, (5) प्राप्त होता है और (5) में दाईं ओर श्रृंखला का योग है और इसलिए, हम समानता π ()d प्राप्त करते हैं लेकिन फ़ंक्शन, एक समान रूप से अभिसरण का योग होगा विश्लेषणात्मक की श्रृंखला और, इसलिए, जी में निरंतर कार्य। इसका मतलब है कि दाईं ओर का अभिन्न अंग एक कॉची प्रकार का अभिन्न अंग है और इसलिए, यह एक ऐसे फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है जो आंतरिक रूप से विश्लेषणात्मक है और, विशेष रूप से, बिंदु टी पर - किसी भी बिंदु पर क्षेत्र जी, तो प्रमेय का पहला भाग सिद्ध होता है। इस श्रृंखला के पद-दर-पद विभेदन की संभावना को सिद्ध करने के लिए, श्रृंखला (5) को इसके द्वारा परिबद्ध गणना फ़ंक्शन से गुणा करना और इसे दोहराना आवश्यक है सिद्ध किया जा सकता है कि विश्लेषणात्मक कार्यों की एक श्रृंखला को अनंत बार विभेदित किया जा सकता है, जबकि हम पाते हैं कि श्रृंखला समान रूप से अभिसरण करती है, और इसका योग (k) (k) के बराबर है

फॉर्म की 6 श्रृंखला जहां पावर श्रृंखला एबेल की प्रमेय सामान्य कार्यात्मक श्रृंखला का एक बहुत ही महत्वपूर्ण मामला है पावर श्रृंखला (), (53) - कुछ जटिल संख्याएं, और - श्रृंखला के एक निश्चित बिंदु (53) संपूर्ण तल पर विश्लेषणात्मक कार्य हैं, इसलिए, इस श्रृंखला के गुणों का अध्ययन करने के लिए, पिछले पैराग्राफ के सामान्य प्रमेयों को लागू किया जा सकता है, जैसा कि उनमें स्थापित किया गया था, कई गुण अभिसरण के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए एकसमान अभिसरण का परिणाम हैं शक्ति श्रृंखला (53) में, निम्नलिखित प्रमेय आवश्यक साबित होता है। यदि शक्ति श्रृंखला (53) किसी बिंदु पर अभिसरण करती है, तो यह किसी भी बिंदु पर बिल्कुल अभिसरण करती है जो स्थिति को संतुष्ट करती है, और एक वृत्त में।< ρ, радиусом ρ, меньшим < сходится равномерно, ряд Δ Выберем произвольную точку, удовлетворяющую условию < Обозначим q сходимости ряда следовательно M >, वह एम, क्यू< В силу आवश्यक सुविधाइसके पद शून्य हो जाते हैं, इसलिए () एम एम क्यू एम, फिर, जहां क्यू< (54) Ряд справа в (54) бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем q < Тогда из (54) следует сходимость и рассматриваемого ряда

7 ρ< достаточно в силу признака Вейерштрасса (53) В круге построить сходящийся числовой ряд, можорирующий данный ряд в рассматриваемой области Очевидно, таковым является ряд ρ M, также представляющий собой сумму бесконечной ज्यामितीय अनुक्रमएकता से कम हर के साथ एबेल के प्रमेय से हम कई परिणाम प्राप्त कर सकते हैं, कुछ हद तक वास्तविक विश्लेषण में शक्ति श्रृंखला के सिद्धांत में एबेल के प्रमेय के अनुरूप। यदि शक्ति श्रृंखला (53) एक निश्चित बिंदु पर विचलन करती है। फिर यह असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदुओं पर विचलन करता है > एक बिंदु से उस बिंदु तक की दूरी की ऊपरी ऊपरी सीमा जहां श्रृंखला (53) अभिसरण होती है, को शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या कहा जाता है, और क्षेत्र<, называется кругом сходимости степенного ряда В точках границы ряд может как сходиться так и расходиться Пример Найти область сходимости ряда Δ Находим радиус сходимости по признаку Даламбера lm () и наш ряд сходится в круге < При <, те, исследуется особо В этом случае и, значит, областью абсолютной сходимости является

8 ρ< В круге любого радиуса ρ, меньшего чем радиус сходимости, степенной ряд (53) сходится равномерно 3 Внутри круга сходимости степенной ряд сходится к аналитической функции В самом деле, члены ряда u есть функции, аналитические на всей плоскости Z, ряд сходится в любой замкнутой подобласти круга сходимости Тогда по теореме Вейерштрасса сумма ряда есть аналитическая функция 4 Степенной ряд внутри круга сходимости можно почленно интегрировать и дифференцировать любое число раз, причем радиус сходимости полученных рядов равен радиусу сходимости исходного ряда 5 Коэффициенты степенного ряда (53) находятся по формулам! () () (55) Доказательство этого факта приводится методами, аналогичными методам вещественного анализа Ряд Тейлора Теорема Тейлора Нули аналитических функций Итак степенной ряд внутри круга сходимости определяет некоторую аналитическую функцию Возникает вопрос: можно ли функции, аналитической внутри некоторого круга, сопоставить степенной ряд, сходящийся в этом круге к данной функции? < Теорема 9 (Тейлора) Функция, аналитическая внутри круга, может быть представлена в этом круге сходящимся степенным рядом, причем этот ряд определен однозначно

9 वृत्त ρ ρ के अंदर एक मनमाना बिंदु चुनें< и построим окружность ρ точке радиусом < с центром в ρ (рис), содержащую точку внутри Такое построение возможно для любой точки внутри этого круга Так как < ρ, а внутри круга < Рис аналитична, то по формуле Коши имеем π ρ () d (56) Преобразуем подынтегральное выражение: (57) <, то < Так как Поэтому второй сомножитель справа в (57) можно представить как сумму степенного ряда (прогрессии), ту которая первый член есть, а знаменатель прогрессии есть Так как, те () () (58) ρ, то ряд (58) сходится равномерно по, так как он мажорируется сходящимся числовым рядом Подставляя (58) в (56) и интегрируя почленно, получаем ρ (< ρ)

10 आइए हम अंकन () d () ρ π () d () π ρ () का परिचय दें और (59) को एक चयनित बिंदु पर अभिसरण करने वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में फिर से लिखें: (59) (6) () (6 ) सूत्र (6) में पड़ोस ρ को कॉची के प्रमेय द्वारा, क्षेत्र में पड़े किसी भी बंद समोच्च द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है< и содержащим точку внутри Так как - произвольная точка данной области, то отсюда следует, что ряд (6) сходится к круге ρ < этот ряд сходится равномерно Итак, функция всюду внутри круга < аналитическая внутри круга <, причем в разлагается в этом круге в сходящийся степенной ряд Коэффициенты разложения (6) на основании формулы Коши для производных аналитической функции имеет вид () d () π ρ () ()! (6) Для доказательства единственности разложения (6) допустим, что имеет еще место формула разложения (), (6)

11 जहां एक गुणांक भी होगा<, поэтому на основании формулы (55) Ряд (6) сходящимся в круге () () (6) Тем самым единственность определения коэффициентов доказана Разложение функции, аналитической в круге! <, что совпадает с, в сходящийся степенной ряд (6), часто называется разложением Тейлора, а сам ряд (6) Рядом Тейлора Доказанная теорема устанавливает взаимнооднозначное соответствие между функцией, аналитической в окрестности некоторой точки и степенным рядом с центром в этой точке, это означает эквивалентность конкретной аналитической функции, как функции бесконечное число раз дифференцируемой и функцией, представимой в виде суммы степенного ряда G и Заметим, наконец, что, если функция является аналитической в области G - внутренняя точка, то радиус сходимости ряда Тейлора () () () этой функции не меньше расстояния от точки до! границы области G (имеется в виду ближайшее расстояние) Пример Разложить в ряд Тейлора по степеням Δ Эта функция является аналитической на всей комплексной плоскости за исключением точек, Поэтому в круге < функция может быть ± разложена в ряд Тейлора При условии < выражение рассматриваться как сумма бесконечно убывающей прогрессии может q, q < Поэтому

12 , < Пример 3 Найти разложение в ряд Тейлора в круге < Определение по формуле (6) здесь довольно затруднительно Поэтому, представим π Так как < и <, то, используя геометрическую, получаем q q, Используя показательную форму чисел и находим окончательно 4 s π (63) Тк расстояние от центра разложения до ближайших особых точек (те до границы аналитичности) есть, то радиус сходимости ряда (63) есть Рис X Y

13 4 4 3 उदाहरण<, 4 3 < Ближайшей к центру разложения особой точкой является точка, до которой расстояние равно, поэтому В заключение приведем основные разложения: e (<)!! 3! cos! 4 3 4! ; (<)! ; s () m 3 3! 5 5! m m m!! (<) ()! ; m(m)(m)! ; l 3 3 () 4 (<) Если для аналитической функции (), то точка называется нулем аналитической функции В этом случае разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки имеет вид () () тк () Если в разложении функции окрестности точки и, следовательно, разложение имеет вид, в ряд Тейлора в,

14 तो बिंदु () (), (64) को फ़ंक्शन का शून्य कहा जाता है यदि, तो शून्य को वें क्रम का सरल, या बहुलता कहा जाता है टेलर श्रृंखला के गुणांकों के सूत्रों से हम देखते हैं कि यदि बिंदु क्रम का शून्य है, तो जहां () () विस्तार (64) को फॉर्म में फिर से लिखा जा सकता है, लेकिन () () () [ () ] () ϕ, ϕ () (), () ϕ, और इस श्रृंखला का अभिसरण चक्र स्पष्ट रूप से श्रृंखला (64) के समान ही है। यह सत्य व्युत्क्रम कथन भी है जहां प्रपत्र का प्रत्येक कार्य एक पूर्णांक, ϕ () और शून्य क्रम है उदाहरण 5 अंक ± () ϕ, ϕ एक बिंदु पर विश्लेषणात्मक है, इस बिंदु पर उच्चतम क्रम के एक फ़ंक्शन के लिए, tk () () e (4) ϕ 3 4 e शून्य हैं, और (±) उदाहरण 6 फ़ंक्शन 8 s के लिए शून्य का क्रम खोजें घातों में हर का विस्तार करें: 3 3! 8 5 5! ! 5! 3! 5 5! φ

15 5 ϕ, जहां ϕ, और ϕ और फ़ंक्शन का बिंदु 3!, तो बिंदु 5! ϕ विश्लेषणात्मक है और मूल लॉरेंट श्रृंखला और इसके अभिसरण क्षेत्र के लिए 5वें क्रम का एक शून्य है लॉरेंट श्रृंखला में एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का विस्तार फॉर्म की एक श्रृंखला पर विचार करें () जहां जटिल विमान का एक निश्चित बिंदु है, (65) ) कुछ जटिल संख्याएँ हैं श्रृंखला (65) को लॉरेंट श्रृंखला कहा जाता है आइए इसके अभिसरण के क्षेत्र को स्थापित करें, हम (65) को () () (66) () के रूप में प्रस्तुत करते हैं, यह स्पष्ट है कि का क्षेत्र। श्रृंखला का अभिसरण (66) दाईं ओर के प्रत्येक पद के अभिसरण के क्षेत्रों का सामान्य हिस्सा है (66) श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र () एक निश्चित बिंदु पर केंद्र वाला एक वृत्त है त्रिज्या, और विशेष रूप से, यह शून्य या अनंत के बराबर हो सकता है, अभिसरण के चक्र के अंदर, यह श्रृंखला एक जटिल चर के कुछ विश्लेषणात्मक कार्य में परिवर्तित होती है, वे (),< (67)

16 किसी चर की श्रृंखला के अभिसरण के क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, () () डालकर, फिर यह श्रृंखला एक प्रतिस्थापन बनाने का रूप ले लेगी - एक साधारण शक्ति श्रृंखला जो अपने अभिसरण के चक्र के अंदर किसी विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन ϕ () के अंदर परिवर्तित होती है। जटिल चर मान लीजिए कि परिणामी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या r है तो ϕ,< r Возвращаясь к старой переменной и полагая ϕ () () (68), >आर इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र वृत्त आर के बाहरी क्षेत्र है, हम प्राप्त करते हैं (69) () इस प्रकार, (66) के दाईं ओर प्रत्येक शक्ति श्रृंखला अपने अभिसरण के क्षेत्र में अभिसरण करती है संबंधित विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन यदि आर<, то существует общая область сходимости этих рядов круговое кольцо r < <, в которой ряд (65) сходится к аналитической функции (), r < < (7) Так как ряды (67) и (68) являются обычными степенными рядами, то в указанной области функция обладает всеми свойствами суммы степенного ряда Это означает, что ряд Лорана сходится внутри своего кольца сходимости к некоторой функции, аналитической в данном кольце

17 यदि r >, तो श्रृंखला (67) और (68) में अभिसरण का एक सामान्य क्षेत्र नहीं है, इस प्रकार इस मामले में श्रृंखला (65) किसी भी फ़ंक्शन में कहीं भी अभिसरण नहीं करती है। ध्यान दें कि श्रृंखला श्रृंखला का एक नियमित हिस्सा है। 7), और उदाहरण 7 विस्तार - पंक्ति का मुख्य भाग (65) () ए)< < ; б) >; वी)< < называется правильной частью или в ряд Лорана в кольцах: Во всех кольцах функция регулярна (аналитична) и поэтому может быть представлена рядом Лорана (доказательство этого факта в следующем пункте) Перепишем функцию в виде а) Так как <, то второе слагаемое есть сумма убывающей геометрической прогрессии Поэтому () Здесь главная часть состоит из одного слагаемого < б) в этом случае, поэтому () 3

18 इस विस्तार में नियमित भाग का अभाव है< в) Для случая < функцию также надо привести к сходящейся геометрической прогрессии, но со знаменателем Это даст: 3 Заметим, что в главной части этого разложения присутствует одно слагаемое Возникает вопрос: можно ли функции аналитической в некотором круговом кольце, сопоставить ряд Лорана, сходящийся к этой функции в данном кольце? На этот вопрос отвечает Теорема Функция, аналитическая в круговом кольце < <, однозначно представляется в этом кольце сходящимся рядом Лорана дробь На Рис 3 Δ Зафиксируем произвольную точку внутри данного кольца и контурами окружности и с центром в, радиусы которых удовлетворяют условиям < < < < < (рис 3) Согласно формуле Коши для многосвязной области имеем π () d () выполняется неравенство q, можно представить в виде d (7) Поэтому

19 आइए हम (7) में टर्म-दर-टर्म एकीकरण करें, जो कि श्रृंखला के समान अभिसरण के कारण संभव है, हमें डी π, (7) मिलता है जहां डी π, (73) चूंकि असमानता कायम नहीं है , फिर, पिछले वाले के समान, हमारे पास (7) में इस श्रृंखला के शब्द-दर-अवधि एकीकरण के परिणामस्वरूप हमारे पास π π d d, (d के लिए), (74) होगा जहां d π (75) ) (75) में एकीकरण की दिशा बदलने पर, हम प्राप्त करते हैं

20 π () () d ()() d π, > (76) एक वृत्ताकार वलय में (73) और (76) में समाकलन की विश्लेषणात्मकता के कारण< < в соответствии с теоремой Коши значения интегралов не изменятся при произвольной деформации контуров интегрирования в области аналитичности Это позволяет объединить формулы (73) и (76): π () d (), ±, ±, (77) где - произвольный замкнутый контур, лежащий в указанном кольце и содержащий точку внутри Возвратимся теперь к формуле (7), получим где коэффициенты () (), (78) () для всех определяются однообразной формулой (77) Так как - люба точка кольца < <, то отсюда следует, что ряд (78) сходится к внутри данного кольца причем в замкнутом кольце < < ряд сходится к равномерно Доказательство единственности разложения (78) опускаем Из полученных результатов следует, что областью сходимости ряда (78) Лорана является круговое кольцо < <, на границах которого имеется хотя бы по одной особой точке аналитической функции ряд (78), к которой сходится Замечание Формула (77) для определения коэффициентов разложения в ряд Лорана (78) не всегда практически удобна Поэтому часто прибегают к разложению рациональной дроби на простейшие с использованием геометрической прогрессии, а также используют разложение в ряд Тейлора элементарные функции Приведем примеры

21 उदाहरण 8 Δ में बिंदु ()() के पड़ोस में लॉरेंट श्रृंखला (शक्ति वाले) Y का विस्तार करें, इस मामले में, हम बिंदु पर केंद्र के साथ दो गोलाकार छल्ले बनाएंगे (चित्र 4): ए) ए वृत्त "बिना केंद्र के"< < ; Рис 4 X б) внешность круга >इनमें से प्रत्येक रिंग में यह विश्लेषणात्मक है, और सीमाओं पर इसके एकवचन बिंदु हैं आइए हम इनमें से प्रत्येक क्षेत्र में फ़ंक्शन का विस्तार करें।< < ; ; [ () () () ] () < Этот ряд сходится, так как Так что ()() () () () (), ; >) यहां हमारे पास 3 है, () () () () () एक अभिसरण श्रृंखला है, क्योंकि<

22 s परिणामस्वरूप ()() () () वे, 3, 3 उदाहरण 9 बिंदु के पड़ोस में लॉरेंट श्रृंखला में फ़ंक्शन Δ का विस्तार करें हमारे पास है:, s s s cos cos s s! क्योंकि 4 () () 3 4! 3! ()5! ()(s क्योंकि)!! 5

विषय जटिल संख्या श्रृंखला, फॉर्म की जटिल संख्याओं के साथ एक संख्या श्रृंखला k ak पर विचार करें। A श्रृंखला को अभिसारी कहा जाता है यदि इसके आंशिक योग S a k k का अनुक्रम S अभिसरण करता है। इसके अलावा, अनुक्रम की सीमा S

विषय कार्यात्मक जटिल श्रृंखला परिभाषा। यदि k, N, N U k G डोमेन G में एक साथ अभिसरण करते हैं, तो श्रृंखला को एकसमान अभिसरण का पर्याप्त संकेत कहा जाता है

व्याख्यान संख्या 37. विश्लेषणात्मक कार्यों की श्रृंखला. एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का एक शक्ति श्रृंखला में विस्तार। टेलर श्रृंखला. लॉरेंट श्रृंखला.. एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का पावर श्रृंखला में विस्तार... टेलर श्रृंखला.... 3. एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन का विस्तार

मॉड्यूल विषय कार्यात्मक अनुक्रम और श्रृंखला अनुक्रम और श्रृंखला के समान अभिसरण के गुण पावर श्रृंखला व्याख्यान कार्यात्मक अनुक्रम और श्रृंखला की परिभाषाएं समान रूप से

व्याख्यान 7 टेलर और लॉरेंट श्रृंखला 7. टेलर श्रृंखला इस भाग में हम देखेंगे कि एक शक्ति श्रृंखला और एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन की अवधारणाएं एक ही वस्तु को परिभाषित करती हैं: अभिसरण की सकारात्मक त्रिज्या वाली कोई भी शक्ति श्रृंखला

गणितीय विश्लेषण अनुभाग: एक जटिल चर के कार्यों का सिद्धांत विषय: जटिल विमान में श्रृंखला व्याख्याता ओ.वी 217 9. सम्मिश्र तल में श्रृंखला 1. संख्यात्मक श्रृंखला मान लीजिए कि क्रम दिया गया है

5 पावर श्रृंखला 5 पावर श्रृंखला: परिभाषा, अभिसरण का क्षेत्र (ए + ए) + ए () + के + ए () + के ए) (, (5) जहां, ए, ए, के, ए की कार्यात्मक श्रृंखला ,k कुछ संख्याएँ हैं जिन्हें घात श्रृंखला संख्याएँ कहा जाता है

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी मॉस्को स्टेट यूनिवर्सिटी ऑफ़ जियोडेसी एंड कार्टोग्राफी (MIIGaiK) उच्च गणित संख्यात्मक पाठ्यक्रम में स्वतंत्र कार्य के लिए पद्धतिगत निर्देश और कार्य

कार्यात्मक श्रृंखला व्याख्यान 7-8 1 अभिसरण का क्षेत्र 1 फॉर्म की एक श्रृंखला यू () यू () यू () यू (), 1 2 यू () जहां कार्यों को एक निश्चित अंतराल पर परिभाषित किया जाता है, कार्यात्मक श्रृंखला कहलाती है . सभी बिंदुओं का सेट

व्याख्यान संख्या 38. अनंत पर एक विश्लेषणात्मक कार्य का व्यवहार। विशेष बातें. किसी फ़ंक्शन के अवशेष...अनंत पर एक बिंदु का पड़ोस...अनंत पर एक बिंदु के पड़ोस में लॉरेंट विस्तार.... 3.व्यवहार

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय राष्ट्रीय अनुसंधान निज़नी नोवगोरोड राज्य विश्वविद्यालय का नाम एनआई लोबचेव्स्की एनपी सेमेरिकोवा एए डबकोव एए खार्चेवा के नाम पर रखा गया है, विश्लेषणात्मक कार्यों की रैंक

बेलारूस गणराज्य के शिक्षा मंत्रालय ईई "विटेबस्क स्टेट टेक्नोलॉजिकल यूनिवर्सिटी" विषय। "पंक्तियाँ" सैद्धांतिक और व्यावहारिक गणित विभाग। Assoc द्वारा विकसित। ई.बी. डुनिना। बुनियादी

वी.वी. ज़ुक, ए.एम. कामाचकिन 1 पावर श्रृंखला। अभिसरण त्रिज्या और अभिसरण अंतराल। अभिसरण की प्रकृति. एकीकरण और विभेदीकरण. 1.1 अभिसरण की त्रिज्या और अभिसरण का अंतराल। कार्यात्मक सीमा

विषय लॉरेंट श्रृंखला और इसके अभिसरण का क्षेत्र। फॉर्म एन सी एन एन सी एन एन एन एन एन सी एन एन की एक श्रृंखला पर विचार करें जहां जटिल विमान का एक निश्चित बिंदु है, और कुछ जटिल संख्याएं हैं। सी एन इस श्रृंखला को लॉरेंट श्रृंखला कहा जाता है।

व्याख्यान संख्या 7. पावर श्रृंखला और टेलर श्रृंखला.. पावर श्रृंखला... टेलर श्रृंखला.... 4. टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला में कुछ प्राथमिक कार्यों का विस्तार.... 5 4. शक्ति श्रृंखला का अनुप्रयोग... .7 .शक्ति

गणितीय विश्लेषण अनुभाग: संख्यात्मक और कार्यात्मक श्रृंखला विषय: शक्ति श्रृंखला। किसी फ़ंक्शन का पावर श्रृंखला में विस्तार व्याख्याता रोझकोवा एस.वी. 3 34. शक्ति श्रृंखला शक्ति श्रृंखला शक्तियों की एक श्रृंखला है

4 विश्लेषणात्मक कार्यों की श्रृंखला 4. कार्यात्मक अनुक्रम मान लीजिए Ω C और f n: Ω C. कार्यों का एक क्रम (f n ) बिंदुवार एक फ़ंक्शन f: Ω C में परिवर्तित होता है यदि प्रत्येक z Ω lim n f n(z) = f(z) के लिए।

कार्यात्मक श्रृंखला कार्यात्मक श्रृंखला, इसका योग और कार्यात्मक का डोमेन मान लें कि वास्तविक या जटिल संख्याओं के डोमेन Δ में फ़ंक्शन k का एक क्रम दिया गया है (k 1) एक कार्यात्मक श्रृंखला को कहा जाता है

एसोसिएट प्रोफेसर मुसीना एमवी द्वारा तैयार व्याख्यान संख्यात्मक और कार्यात्मक श्रृंखला संख्या श्रृंखला के रूप की अभिव्यक्ति की परिभाषा: बुनियादी अवधारणाएं (), जहां संख्या श्रृंखला (या बस एक श्रृंखला) कहा जाता है संख्याएं, श्रृंखला के सदस्य (निर्भर करते हैं)

संख्या श्रृंखला संख्या अनुक्रम डीईएफ़ एक संख्या अनुक्रम प्राकृतिक संख्याओं x के सेट पर परिभाषित एक संख्यात्मक फ़ंक्शन है - अनुक्रम का एक सामान्य सदस्य x =, x =, x =, x =,

अध्याय पावर श्रृंखला ए ए () के रूप की एक श्रृंखला को पावर श्रृंखला कहा जाता है, जहां, ए, श्रृंखला के गुणांक कहलाते हैं कभी-कभी अधिक सामान्य रूप की पावर श्रृंखला पर विचार किया जाता है: ए ए (ए) ए (ए) ए(ए) (), कहां

व्याख्यान 8 श्रृंखला और एकवचन बिंदु। लॉरेंट श्रृंखला. पृथक एकवचन बिंदु. 6. श्रृंखला और एकवचन बिंदु 6.7. लॉरेंट श्रृंखला प्रमेय (पी. लॉरेंट): यदि फ़ंक्शन f() रिंग r में विश्लेषणात्मक है< a < R r R то она может быть разложена

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी संघीय राज्य शैक्षिक उच्च व्यावसायिक शिक्षा संस्थान दक्षिण संघीय विश्वविद्यालय आर. एम. गवरिलोवा, जी. एस. कोस्टेट्सकाया पद्धति

विषय 9 पावर श्रृंखला एक पावर श्रृंखला एक प्रकार की कार्यात्मक श्रृंखला है जहां संख्याएं...श्रृंखला के गुणांक हैं, और श्रृंखला का विस्तार बिंदु.,...,...आर... कहा जाता है केंद्र पावर श्रृंखला पावर श्रृंखला का सामान्य शब्द

4 फ़ंक्शन श्रृंखला 4 मूल परिभाषाएँ परिभाषा X u), u (), K, u (),K (परिभाषा अभिव्यक्ति u) + u () + K + u () + के एक सामान्य डोमेन के साथ कार्यों का एक अनंत अनुक्रम दें

व्याख्यान 3 टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला पावर श्रृंखला का अनुप्रयोग पावर श्रृंखला में कार्यों का विस्तार टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला अनुप्रयोगों के लिए, किसी दिए गए फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है, वे कार्य

व्याख्यान 6 किसी फ़ंक्शन का पावर श्रृंखला में विस्तार, विस्तार की विशिष्टता, टेलर और मैकलॉरिन श्रृंखला, कुछ प्राथमिक कार्यों की पावर श्रृंखला में विस्तार, पावर श्रृंखला का अनुप्रयोग पिछले व्याख्यानों में

धातुकर्म संकाय उच्च गणित विभाग रैंक पद्धति संबंधी निर्देश नोवोकुज़नेत्स्क 5 शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी उच्च व्यावसायिक शिक्षा के राज्य शैक्षणिक संस्थान

लॉरेंट श्रृंखला एक अधिक सामान्य प्रकार की शक्ति श्रृंखला ऐसी श्रृंखला होती है जिसमें सकारात्मक और नकारात्मक दोनों शक्तियां z z 0 होती हैं। टेलर श्रृंखला की तरह, वे विश्लेषणात्मक कार्यों के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

श्रृंखला संख्या श्रृंखला सामान्य अवधारणा परिभाषा यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या एक निश्चित कानून के अनुसार एक निश्चित संख्या से जुड़ी होती है, तो क्रमांकित संख्याओं के सेट को संख्या अनुक्रम कहा जाता है,

एस ए लाव्रेंचेंको wwwlwrecekoru व्याख्यान कार्यात्मक श्रृंखला एक कार्यात्मक श्रृंखला की अवधारणा पहले, हमने संख्या श्रृंखला का अध्ययन किया था, यानी, श्रृंखला के सदस्य संख्याएं थे, अब हम कार्यात्मक श्रृंखला के अध्ययन के लिए आगे बढ़ रहे हैं, यानी।

विषय लॉरेंट श्रृंखला और इसके अभिसरण का क्षेत्र। फॉर्म की एक श्रृंखला जहां सी (जेड जेड) एन = सी (जेड जेड) एन + एन एन एन = एन = जेड, कॉम्प्लेक्स सी एन का एक निश्चित बिंदु लॉरेंट श्रृंखला कहा जाता है। सी एन (जेड जेड) एन= - कुछ जटिल

भाषण। कार्यात्मक श्रृंखला. कार्यात्मक श्रृंखला की परिभाषा एक श्रृंखला जिसके सदस्य x के कार्य हैं, कार्यात्मक कहलाती है: u = u (x) + u + K+ u + K = x को एक निश्चित मान x देकर, हम

श्रृंखला का सिद्धांत श्रृंखला का सिद्धांत गणितीय विश्लेषण का सबसे महत्वपूर्ण घटक है और इसमें सैद्धांतिक और कई व्यावहारिक अनुप्रयोग मिलते हैं। संख्यात्मक और कार्यात्मक श्रृंखलाएं हैं।

अभिसरण परिभाषा की त्रिज्या। एक शक्ति श्रृंखला c 0 + c (t a) + c 2 (t a) 2 + + c (t a) + = c (t a), () रूप की एक कार्यात्मक श्रृंखला है जहां c 0, c, c 2,.. ., c, ... C को शक्ति गुणांक कहा जाता है

मॉस्को स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी ऑफ सिविल एविएशन वी.एम. हुसिमोव, ई.ए. ज़ुकोवा, वी.ए. उखोवा, यू.ए. अनुशासन और परीक्षण असाइनमेंट का अध्ययन करने के लिए शूरिनोव गणित मैनुअल

82 4. धारा 4. कार्यात्मक और शक्ति श्रृंखला 4.2. पाठ 3 4.2. पाठ 3 4.2.. किसी फ़ंक्शन का टेलर श्रृंखला में विस्तार परिभाषा 4.2.. मान लें कि फ़ंक्शन y = f(x) किसी पड़ोस में असीम रूप से भिन्न हो सकता है

भाषण। बिजली की श्रृंखला। हार्मोनिक विश्लेषण; श्रृंखला और फूरियर रूपांतरण। रूढ़िवादिता संपत्ति.8. सामान्य कार्यात्मक श्रृंखला 8.. कार्यों की चोरी एक श्रृंखला यू + यू + यू को कार्यात्मक कहा जाता है यदि यह

स्टार्कोव वी.एन. अभिविन्यास व्याख्यान के लिए सामग्री प्रश्न 9. शक्ति श्रृंखला परिभाषा में विश्लेषणात्मक कार्यों का विस्तार। फॉर्म की कार्यात्मक श्रृंखला (((... (..., जहां जटिल स्थिरांक (श्रृंखला के गुणांक)।

एसजीपीएस उच्च गणित विभाग मानक गणना "श्रृंखला" नोवोसिबिर्स्क 006 करने के लिए पद्धति संबंधी निर्देश कुछ सैद्धांतिक जानकारी संख्या श्रृंखला आपको देते हैं; तुम ; तुम ; ; तुम ; एक अनंत संख्या है

ई व्यवसाय. टेलर श्रृंखला. पावर श्रृंखला मैट का योग। विश्लेषण, आवेदन. गणित, तीसरा सेमेस्टर घातों में किसी फ़ंक्शन का घात श्रृंखला में विस्तार ज्ञात करें, घात श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या की गणना करें: A f()

अध्याय श्रृंखला कुछ संख्या अनुक्रम के पदों के योग का औपचारिक अंकन संख्या श्रृंखला को संख्या श्रृंखला कहा जाता है योग एस को श्रृंखला का आंशिक योग कहा जाता है यदि कोई सीमा लिम एस, एस है तो श्रृंखला

व्यावहारिक पाठ 8 अवशेष 8 अवशेष की परिभाषा 8 अवशेष की गणना 8 लघुगणक अवशेष 8 अवशेष की परिभाषा एक पृथक एकवचन अवशेष विश्लेषणात्मक में किसी फ़ंक्शन का एक पृथक एकवचन बिंदु दें

~ ~ पीकेपी एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पीकेपी कॉची-रीमैन नियमितता की अवधारणा की स्थिति पीकेपी एक जटिल संख्या की छवि और रूप पीकेपी का प्रकार: जहां दो चर का एक वास्तविक कार्य वास्तविक है

उच्च गणित के पाठ्यक्रम में गणना कार्यों के लिए पद्धतिगत निर्देश "साधारण विभेदक समीकरण श्रृंखला डबल इंटीग्रल" भाग विषय श्रृंखला सामग्री श्रृंखला संख्या श्रृंखला अभिसरण और विचलन

शिक्षा के लिए संघीय एजेंसी आर्कान्जेस्क राज्य तकनीकी विश्वविद्यालय सिविल इंजीनियरिंग संकाय रैंक स्वतंत्र कार्य के लिए असाइनमेंट पूरा करने के लिए दिशानिर्देश आर्कान्जेस्क

एक जटिल चर परिचालन कलन के कार्यों के सिद्धांत के तत्व इस विषय का अध्ययन करने के परिणामस्वरूप, छात्र को सीखना चाहिए: एक जटिल संख्या के त्रिकोणमितीय और घातांकीय रूपों को ढूंढें

गणितीय विश्लेषण भाग 3. संख्यात्मक और कार्यात्मक श्रृंखला। एकाधिक अभिन्न. क्षेत्र सिद्धांत. पाठ्यपुस्तक एन.डी. विस्क MATI-RGTU im। के.ई. त्सोल्कोव्स्की उच्च गणित गणितीय विश्लेषण विभाग

व्याख्यान 3. कटौती. अवशेषों के बारे में मुख्य प्रमेय एक अलग एकवचन बिंदु पर एक फ़ंक्शन f() का अवशेष एक जटिल संख्या है जो वृत्त के साथ सकारात्मक दिशा i में लिए गए अभिन्न f() 2 के मान के बराबर है

संख्यात्मक एवं शक्ति श्रृंखला पाठ। संख्या शृंखला. श्रृंखला का योग. अभिसरण के लक्षण.. श्रृंखला के योग की गणना करें. 6 समाधान. एक अनंत ज्यामितीय प्रगति q के पदों का योग बराबर है, जहां q प्रगति का हर है।

एस ए लावरेंचेंको wwwlawreceoru व्याख्यान टेलर श्रृंखला द्वारा कार्यों का प्रतिनिधित्व एक उपयोगी सीमा पिछले व्याख्यान में, निम्नलिखित रणनीति विकसित की गई थी: एक फ़ंक्शन श्रृंखला की प्रतिनिधित्व क्षमता के लिए पर्याप्त शर्त द्वारा

एम. वी. डिकालोवा व्यापक विश्लेषण परीक्षा के लिए प्रश्न (समूह एमएक्स-21, 215) प्रथम बोलचाल के प्रश्न 1 1. एक बिंदु पर एक जटिल चर के एक फ़ंक्शन की भिन्नता। कॉची-रीमैन (डी'अलेम्बर्ट-यूलर) स्थितियाँ।

विकल्प कार्य फ़ंक्शन के मान की गणना करें, बीजगणितीय रूप में उत्तर दें: a sh ; b l समाधान a आइए त्रिकोणमितीय ज्या और अतिपरवलयिक ज्या के बीच संबंध के लिए सूत्र का उपयोग करें: ; श-एस प्राप्त करें

व्याख्यान संख्या श्रृंखला अभिसरण के संकेत संख्या श्रृंखला अभिसरण के संकेत एक संख्या अनुक्रम + + + + की एक अनंत अभिव्यक्ति, जो एक अनंत के पदों से बनी होती है, एक संख्या श्रृंखला कहलाती है संख्याएँ,

4. कार्यात्मक श्रृंखला, अभिसरण का क्षेत्र एक कार्यात्मक श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र () तर्क मानों का सेट है जिसके लिए यह श्रृंखला अभिसरण करती है। फ़ंक्शन (2) को श्रृंखला का आंशिक योग कहा जाता है;

व्याख्यान 3 एक अदिश समीकरण के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता का प्रमेय समस्या कथन मुख्य परिणाम कॉची समस्या पर विचार करें d f () d =, () = फलन f (,) को समतल के क्षेत्र G में परिभाषित किया गया है (,

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय कज़ान राज्य वास्तुकला और निर्माण विश्वविद्यालय उच्च गणित विभाग संख्यात्मक और कार्यात्मक श्रृंखला दिशानिर्देश

(कार्यात्मक श्रृंखला शक्ति श्रृंखला अभिसरण का डोमेन अभिसरण के अंतराल को खोजने का क्रम - उदाहरण अभिसरण उदाहरणों के अंतराल की त्रिज्या) कार्यों का एक अनंत अनुक्रम दिया जाए, कार्यात्मक

एस ए लावरेंचेंको wwwlawrecekoru व्याख्यान शक्ति श्रृंखला द्वारा कार्यों का प्रतिनिधित्व परिचय शक्ति श्रृंखला द्वारा कार्यों का प्रतिनिधित्व निम्नलिखित समस्याओं को हल करने में उपयोगी है: - कार्यों का एकीकरण

ई व्यवसाय. बिजली की श्रृंखला। टेलर श्रृंखला गणित. विश्लेषण, आवेदन. गणित, तीसरा सेमेस्टर डी'अलेम्बर्ट के मानदंड का उपयोग करके शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात करें: (89 () एन एन (एन!)) पी (एन +)! n= टेलर श्रृंखला f(x)

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय, संघीय राज्य बजटीय उच्च व्यावसायिक शिक्षा संस्थान "समारा स्टेट एयरोस्पेस यूनिवर्सिटी"

रैंक. संख्या शृंखला. बुनियादी परिभाषाएँ संख्याओं का एक अनंत क्रम दिया गया है, अभिव्यक्ति (अनंत योग) a, a 2,..., a n,... a i = a + a 2 + + a n +... () i= कहलाता है। एक संख्या श्रृंखला. नंबर

कज़ान राज्य विश्वविद्यालय गणितीय सांख्यिकी विभाग संख्यात्मक श्रृंखला शैक्षिक और कार्यप्रणाली मैनुअल कज़ान 008 कज़ान विश्वविद्यालय के वैज्ञानिक और पद्धति परिषद के अनुभाग के निर्णय द्वारा प्रकाशित

रूसी संघ के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय वीए वोल्कोव इंटीग्रल फूरियर श्रृंखला शैक्षिक इलेक्ट्रॉनिक पाठ प्रकाशन विशिष्टताओं के छात्रों के लिए 4865 इलेक्ट्रॉनिक्स और भौतिक प्रतिष्ठानों का स्वचालन;

џ. संख्या श्रृंखला की अवधारणा. मान लीजिए कि संख्याओं a, a 2,..., a,... का एक क्रम दिया गया है। एक संख्या श्रृंखला अभिव्यक्ति a = a + a 2 +... + a +... (.) संख्या a है। a 2,.. ., a,... श्रृंखला के सदस्य कहलाते हैं, a

पद्धतिगत विकास टीएफकेपी जटिल संख्याओं पर समस्याओं का समाधान जटिल संख्याओं पर संचालन जटिल विमान एक जटिल संख्या को बीजगणितीय और त्रिकोणमितीय घातांक में दर्शाया जा सकता है

साइबेरियाई गणितीय जर्नल जुलाई अगस्त, 2005। खंड 46, 4 यूडीसी 517.53 फ़ंक्शन के एकल बिंदुओं से अलग किए गए गांठों पर इंटरपोलेशन अंशों के अभिसरण के लिए शर्तें ए.जी. लिपचिंस्की सार: विचार किया गया

मॉस्को ऑटोमोबाइल एंड रोड स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी (MADI) एए ज़्लेंको, एसए इज़ोटोवा, ला मालिशेवा ने गणित में स्वतंत्र कार्य के लिए पद्धति संबंधी निर्देशों को रैंक किया मॉस्को ऑटोमोबाइल एंड रोड स्टेट टेक्निकल यूनिवर्सिटी

मानक तरीकों का उपयोग करते हुए, लेकिन हम एक अन्य उदाहरण के साथ एक गतिरोध पर पहुँच गए।

कठिनाई क्या है और कहां रुकावट हो सकती है? आइए साबुन की रस्सी को एक तरफ रख दें, शांति से कारणों का विश्लेषण करें और व्यावहारिक समाधानों से परिचित हों।

सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण: अधिकांश मामलों में, किसी श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन करने के लिए, कुछ परिचित विधि का उपयोग करना आवश्यक है, लेकिन श्रृंखला का सामान्य शब्द इतनी मुश्किल भराई से भरा हुआ है कि यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि इसके साथ क्या करना है . और आप हलकों में चलते हैं: पहला संकेत काम नहीं करता है, दूसरा काम नहीं करता है, तीसरा, चौथा, पांचवां तरीका काम नहीं करता है, फिर ड्राफ्ट एक तरफ फेंक दिए जाते हैं और सब कुछ फिर से शुरू हो जाता है। यह आमतौर पर गणितीय विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों में अनुभव की कमी या अंतराल के कारण होता है। विशेषकर, यदि चल रहा हो अनुक्रम सीमाऔर सतही तौर पर अलग किया गया कार्य सीमाएँ, तो मुश्किल हो जाएगी।

दूसरे शब्दों में, कोई व्यक्ति ज्ञान या अनुभव की कमी के कारण आवश्यक निर्णय पद्धति नहीं देख पाता है।

कभी-कभी "ग्रहण" को भी दोषी ठहराया जाता है, जब, उदाहरण के लिए, किसी श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड पूरा नहीं होता है, लेकिन अज्ञानता, असावधानी या लापरवाही के कारण, यह दृष्टि से बाहर हो जाता है। और यह उस कहानी की तरह हो गया जहां एक गणित के प्रोफेसर ने जंगली आवर्ती अनुक्रमों और संख्या श्रृंखला का उपयोग करके बच्चों की समस्या को हल किया =)

सर्वोत्तम परंपराओं में, तुरंत जीवित उदाहरण: पंक्तियाँ और उनके रिश्तेदार - असहमत हैं, क्योंकि यह सिद्धांत रूप में सिद्ध हो चुका है अनुक्रम सीमा. सबसे अधिक संभावना है, पहले सेमेस्टर में वे 1-2-3 पृष्ठों के प्रमाण के लिए आपकी आत्मा को झकझोर देंगे, लेकिन अब यह ज्ञात तथ्यों का हवाला देते हुए एक श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त की विफलता को दिखाने के लिए काफी है। . प्रसिद्ध? यदि विद्यार्थी को यह नहीं पता कि nवाँ मूल एक अत्यंत शक्तिशाली चीज़ है, तो, मान लीजिए, श्रृंखला उसे अँधेरे में डाल देगा. हालाँकि समाधान दो दो की तरह है: , अर्थात्। स्पष्ट कारणों से, दोनों श्रृंखलाएँ भिन्न हैं। एक मामूली टिप्पणी "ये सीमाएँ सिद्धांत रूप में सिद्ध हो चुकी हैं" (या यहाँ तक कि इसकी अनुपस्थिति भी) परीक्षण के लिए काफी है, आखिरकार, गणनाएँ काफी भारी हैं और वे निश्चित रूप से संख्या श्रृंखला के अनुभाग से संबंधित नहीं हैं।

और निम्नलिखित उदाहरणों का अध्ययन करने के बाद, आप केवल कई समाधानों की संक्षिप्तता और पारदर्शिता पर आश्चर्यचकित होंगे:

उदाहरण 1

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान: सबसे पहले, हम निष्पादन की जाँच करते हैं अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड. यह कोई औपचारिकता नहीं है, बल्कि "थोड़े से खून-खराबे" वाले उदाहरण से निपटने का एक बेहतरीन मौका है।

"दृश्य का निरीक्षण" एक भिन्न श्रृंखला (सामान्यीकृत हार्मोनिक श्रृंखला का मामला) का सुझाव देता है, लेकिन फिर से सवाल उठता है कि अंश में लघुगणक को कैसे ध्यान में रखा जाए?

पाठ के अंत में कार्यों के अनुमानित उदाहरण।

यह असामान्य नहीं है जब आपको दो-चरण (या यहां तक ​​कि तीन-चरण) तर्क करना पड़ता है:

उदाहरण 6

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान: सबसे पहले, आइए अंश-गणक की अस्पष्टता से सावधानीपूर्वक निपटें। अनुक्रम - सीमित : . तब:

आइए हमारी श्रृंखला की तुलना श्रृंखला से करें। अभी प्राप्त दोहरी असमानता के कारण, सभी "एन" के लिए निम्नलिखित सत्य होगा:

अब श्रृंखला की तुलना अपसारी हार्मोनिक श्रृंखला से करें।

भिन्न हर कमइसलिए, भिन्न का हर अंश ही – अधिकभिन्न (यदि यह स्पष्ट नहीं है तो पहले कुछ पद लिखिए)। इस प्रकार, किसी भी "एन" के लिए:

इसका मतलब है कि, तुलना के आधार पर, श्रृंखला विचलनहार्मोनिक श्रृंखला के साथ.

यदि हम हर को थोड़ा संशोधित करें: , तो तर्क का पहला भाग समान होगा: . लेकिन किसी श्रृंखला के विचलन को सिद्ध करने के लिए, हम केवल तुलना का सीमित परीक्षण ही लागू कर सकते हैं, क्योंकि असमानता झूठी है।

अभिसरण श्रृंखला के साथ स्थिति "प्रतिबिंबित" होती है, उदाहरण के लिए, एक श्रृंखला के लिए आप दोनों तुलना मानदंडों (असमानता सत्य है) का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन एक श्रृंखला के लिए केवल सीमित मानदंड (असमानता गलत है) का उपयोग कर सकते हैं।

हम अपनी जंगली प्रकृति सफारी जारी रखते हैं, जहां सुंदर और हरे-भरे मृगों का झुंड क्षितिज पर मंडराता है:

उदाहरण 7

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान: अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड संतुष्ट है, और हम फिर से खुद से क्लासिक प्रश्न पूछते हैं: क्या करना है? हमारे सामने कुछ ऐसी चीज़ है जो एक अभिसरण श्रृंखला की याद दिलाती है, हालाँकि, यहाँ कोई स्पष्ट नियम नहीं है - ऐसे जुड़ाव अक्सर भ्रामक होते हैं।

अक्सर, लेकिन इस बार नहीं. का उपयोग करके तुलना के लिए सीमित मानदंडआइए हमारी श्रृंखला की तुलना एक अभिसरण श्रृंखला से करें। सीमा की गणना करते समय हम इसका उपयोग करते हैं अद्भुत सीमा , जबकि बहुत छोताखड़ा है:

अभिसरणसाथ में बगल में .

"तीन" से गुणा और भाग की मानक कृत्रिम तकनीक का उपयोग करने के बजाय, शुरुआत में एक अभिसरण श्रृंखला के साथ तुलना करना संभव था।
लेकिन यहां यह आरक्षण करना उचित है कि सामान्य पद का स्थिर कारक श्रृंखला के अभिसरण को प्रभावित नहीं करता है। और निम्नलिखित उदाहरण का समाधान बिल्कुल इसी शैली में डिज़ाइन किया गया है:

उदाहरण 8

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

पाठ के अंत में नमूना.

उदाहरण 9

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान: पिछले उदाहरणों में हमने साइन की सीमा का उपयोग किया था, लेकिन अब यह गुण चलन से बाहर है। उच्चतर भिन्न हर विकास क्रम, अंश की तुलना में, इसलिए, जब ज्या और संपूर्ण सामान्य पद का तर्क बहुत छोता. जैसा कि आप समझते हैं, अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त पूरी हो चुकी है, जो हमें अपने काम से भागने की अनुमति नहीं देती है।

आइए टोह लें: के अनुसार उल्लेखनीय तुल्यता , मानसिक रूप से ज्या को त्यागें और श्रृंखला प्राप्त करें। खैर, ऐसा और वैसा...

हम निर्णय लेते हैं:

आइए अध्ययनाधीन श्रृंखला की तुलना एक भिन्न श्रृंखला से करें। हम सीमित तुलना मानदंड का उपयोग करते हैं:

आइए हम अपरिमेय को समतुल्य से प्रतिस्थापित करें: at .

शून्य से भिन्न एक परिमित संख्या प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि अध्ययनाधीन श्रृंखला विचलनहार्मोनिक श्रृंखला के साथ.

उदाहरण 10

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है।

ऐसे उदाहरणों में आगे की कार्रवाइयों की योजना बनाने के लिए, मानसिक रूप से साइन, आर्कसाइन, टेंगेंट और आर्कटेंजेंट को त्यागने से बहुत मदद मिलती है। लेकिन याद रखें, यह अवसर तभी मौजूद है जब बहुत छोतातर्क, अभी कुछ समय पहले मेरी नज़र एक उत्तेजक श्रृंखला पर पड़ी:

उदाहरण 11

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें
.

समाधान: यहां आर्कटेंजेंट सीमा का उपयोग करने का कोई फायदा नहीं है, और समतुल्यता भी काम नहीं करती है। समाधान आश्चर्यजनक रूप से सरल है:


श्रृंखला का अध्ययन किया जा रहा है विचलन, क्योंकि श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड पूरा नहीं हुआ है।

दूसरा कारण"कार्य के साथ समस्या" यह है कि सामान्य सदस्य काफी परिष्कृत है, जो तकनीकी प्रकृति की कठिनाइयों का कारण बनता है। मोटे तौर पर कहें तो, यदि ऊपर चर्चा की गई श्रृंखला "कौन जानता है" की श्रेणी से संबंधित है, तो ये "कौन जानता है" की श्रेणी में आती हैं। दरअसल, इसे ही "सामान्य" अर्थ में जटिलता कहा जाता है। हर कोई सवाना के कई फैक्टोरियल, डिग्री, जड़ों और अन्य निवासियों को सही ढंग से हल नहीं कर सकता है। निःसंदेह, सबसे बड़ी समस्याएँ तथ्यात्मक हैं:

उदाहरण 12

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

फैक्टोरियल को घात तक कैसे बढ़ाया जाए? आसानी से। शक्तियों के साथ संचालन के नियम के अनुसार, उत्पाद के प्रत्येक कारक को एक शक्ति तक बढ़ाना आवश्यक है:

और, निःसंदेह, ध्यान और ध्यान फिर से डी'एलेम्बर्ट का संकेत पारंपरिक रूप से काम करता है:

इस प्रकार, अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरण.

मैं आपको अनिश्चितता दूर करने की एक तर्कसंगत तकनीक की याद दिलाता हूं: जब यह स्पष्ट हो विकास क्रमअंश और हर - कष्ट सहने और कोष्ठक खोलने की कोई आवश्यकता नहीं है।

उदाहरण 13

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

यह जानवर बहुत दुर्लभ है, लेकिन ऐसा होता है, और कैमरे के लेंस से इसे नज़रअंदाज़ करना अनुचित होगा।

दोहरे विस्मयादिबोधक चिह्न के साथ फैक्टोरियल क्या है? फैक्टोरियल सकारात्मक सम संख्याओं के उत्पाद को "वाइंड अप" करता है:

इसी प्रकार, फैक्टोरियल सकारात्मक विषम संख्याओं के उत्पाद को "वाइंड अप" करता है:

विश्लेषण करें कि और से क्या अंतर है

उदाहरण 14

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

और इस कार्य में कोशिश करें कि डिग्रियों से भ्रमित न हों, उल्लेखनीय समानताएँऔर अद्भुत सीमाएँ.

पाठ के अंत में नमूना समाधान और उत्तर।

लेकिन छात्र को न केवल बाघों द्वारा भोजन दिया जाता है - चालाक तेंदुए भी अपने शिकार का शिकार करते हैं:

उदाहरण 15

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान: अभिसरण के लिए आवश्यक मानदंड, सीमित मानदंड, और डी'अलेम्बर्ट और कॉची परीक्षण लगभग तुरंत गायब हो जाते हैं। लेकिन सबसे बुरी बात यह है कि असमानताओं का वह चिह्न जिसने हमें बार-बार मदद की है, शक्तिहीन है। वास्तव में, असमानता के कारण, एक अपसारी श्रृंखला के साथ तुलना असंभव है ग़लत - लघुगणक गुणक केवल हर को बढ़ाता है, भिन्न को कम करता है एक अंश के संबंध में. और एक और वैश्विक प्रश्न: हम शुरू में आश्वस्त क्यों हैं कि हमारी श्रृंखला आवश्यक रूप से विचलन होना चाहिए और इसकी तुलना किसी भिन्न श्रृंखला से की जानी चाहिए? अगर उसे बिल्कुल भी साथ मिल जाए तो क्या होगा?

अभिन्न विशेषता? अभिन्न अनुचित शोकपूर्ण मनोदशा उत्पन्न करता है। अब यदि केवल हमारे पास एक पंक्ति होती … तो हां। रुकना! इस तरह विचारों का जन्म होता है. हम दो चरणों में समाधान तैयार करते हैं:

1) सबसे पहले हम श्रृंखला के अभिसरण की जांच करते हैं . हम उपयोग करते हैं अभिन्न विशेषता:

इंटीग्रैंड निरंतरपर

इस प्रकार, श्रृंखला संगत अनुचित समाकलन के साथ-साथ विचलन करता है।

2) आइए अपनी श्रृंखला की तुलना अपसारी श्रृंखला से करें . हम सीमित तुलना मानदंड का उपयोग करते हैं:

शून्य से भिन्न एक परिमित संख्या प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि अध्ययनाधीन श्रृंखला विचलनएक नंबर के साथ .

और ऐसे निर्णय में कुछ भी असामान्य या रचनात्मक नहीं है - इसे इसी तरह तय किया जाना चाहिए!

मैं निम्नलिखित दो-चरणीय प्रक्रिया स्वयं तैयार करने का प्रस्ताव करता हूं:

उदाहरण 16

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

ज्यादातर मामलों में कुछ अनुभव वाला एक छात्र तुरंत देख लेता है कि कोई श्रृंखला अभिसरण करती है या विचलन करती है, लेकिन ऐसा होता है कि एक शिकारी चतुराई से खुद को झाड़ियों में छिपा लेता है:

उदाहरण 17

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान: पहली नज़र में, यह बिल्कुल स्पष्ट नहीं है कि यह श्रृंखला कैसे व्यवहार करती है। और यदि हमारे सामने कोहरा है, तो श्रृंखला के अभिसरण के लिए आवश्यक शर्त की एक कठिन जांच के साथ शुरुआत करना तर्कसंगत है। अनिश्चितता को खत्म करने के लिए, हम अनसिंकेबल का उपयोग करते हैं इसकी संयुग्मी अभिव्यक्ति द्वारा गुणा और भाग करने की विधि:

अभिसरण का आवश्यक संकेत काम नहीं आया, लेकिन इसने हमारे टैम्बोव कॉमरेड को प्रकाश में ला दिया। किए गए परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, एक समतुल्य श्रृंखला प्राप्त हुई , जो बदले में दृढ़ता से एक अभिसरण श्रृंखला जैसा दिखता है।

हम अंतिम समाधान लिखते हैं:

आइए इस श्रृंखला की तुलना एक अभिसरण श्रृंखला से करें। हम सीमित तुलना मानदंड का उपयोग करते हैं:

संयुग्मी अभिव्यक्ति द्वारा गुणा और भाग करें:

शून्य से भिन्न एक परिमित संख्या प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि अध्ययनाधीन श्रृंखला अभिसरणसाथ में बगल में .

कुछ लोगों को आश्चर्य हो सकता है कि हमारी अफ़्रीकी सफ़ारी में भेड़िये कहाँ से आये? पता नहीं। वे शायद इसे ले आये। निम्नलिखित ट्रॉफी त्वचा आपको प्राप्त करनी है:

उदाहरण 18

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

पाठ के अंत में नमूना समाधान

और अंत में, एक और विचार जो कई छात्रों को निराशा में है: क्या हमें श्रृंखला अभिसरण के लिए एक दुर्लभ परीक्षण का उपयोग नहीं करना चाहिए?? राबे का परीक्षण, एबेल का परीक्षण, गॉस का परीक्षण, डिरिचलेट का परीक्षण और अन्य अज्ञात जानवर। यह विचार काम कर रहा है, लेकिन वास्तविक उदाहरणों में इसे बहुत कम ही लागू किया जाता है। व्यक्तिगत रूप से, अभ्यास के सभी वर्षों में मैंने केवल इसका ही सहारा लिया है राबे की निशानी, जब मानक शस्त्रागार से किसी भी चीज़ ने वास्तव में मदद नहीं की। मैं अपनी चरम खोज के पाठ्यक्रम को पूरी तरह से पुन: प्रस्तुत करूंगा:

उदाहरण 19

श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें

समाधान: बिना किसी संदेह के डी'एलेम्बर्ट का संकेत। गणना के दौरान, मैं सक्रिय रूप से डिग्री के गुणों का भी उपयोग करता हूं दूसरी अद्भुत सीमा:

आपके लिए बहुत कुछ. डी'एलेम्बर्ट के संकेत ने कोई उत्तर नहीं दिया, हालाँकि इस तरह के परिणाम की कोई भविष्यवाणी नहीं की गई थी।

संदर्भ पुस्तक को खंगालने के बाद, मुझे सिद्धांत में सिद्ध एक अल्पज्ञात सीमा मिली और मैंने मजबूत रेडिकल कॉची परीक्षण लागू किया:

यहां आपके लिए दो हैं. और, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह पूरी तरह से अस्पष्ट है कि श्रृंखला अभिसरण करती है या विचलन करती है (मेरे लिए एक अत्यंत दुर्लभ स्थिति)। तुलना का आवश्यक संकेत? बहुत अधिक आशा के बिना - भले ही मैं अंश और हर की वृद्धि के क्रम को अकल्पनीय रूप से समझ लूं, फिर भी यह पुरस्कार की गारंटी नहीं देता है।

यह पूरी तरह से डेमबर है, लेकिन सबसे बुरी बात यह है कि विवाद को सुलझाने की जरूरत है। करने की जरूरत है। आख़िरकार, यह पहली बार होगा जब मैं हार मानूंगा। और फिर मुझे याद आया कि कुछ अन्य मजबूत संकेत भी प्रतीत हो रहे थे। मेरे सामने अब कोई भेड़िया, तेंदुआ या बाघ नहीं था। वह अपनी बड़ी सूंड लहराता हुआ एक विशाल हाथी था। मुझे एक ग्रेनेड लांचर उठाना था:

राबे की निशानी

एक धनात्मक संख्या श्रृंखला पर विचार करें.
अगर कोई सीमा है , वह:
ए) जब पंक्ति विचलन. इसके अलावा, परिणामी मान शून्य या नकारात्मक हो सकता है
बी) जब पंक्ति अभिसरण. विशेष रूप से, श्रृंखला पर अभिसरण होता है।
ग) कब राबे की निशानी जवाब नहीं देती.

हम एक सीमा बनाते हैं और ध्यान से और सावधानी से भिन्न को सरल बनाते हैं:


हां, हल्के शब्दों में कहें तो यह तस्वीर अप्रिय है, लेकिन अब मुझे इस बात पर आश्चर्य नहीं होता कि मदद से ऐसी सीमाएं तोड़ी जाती हैं एल हॉस्पिटल के नियम, और पहला विचार, जैसा कि बाद में पता चला, सही निकला। लेकिन सबसे पहले मैंने "सामान्य" तरीकों का उपयोग करके लगभग एक घंटे तक सीमा को घुमाया और घुमाया, लेकिन अनिश्चितता समाप्त नहीं होना चाहती थी। और जैसा कि अनुभव से पता चलता है, हलकों में चलना एक विशिष्ट संकेत है कि गलत समाधान चुना गया है।

मुझे रूसी लोक ज्ञान की ओर मुड़ना पड़ा: "यदि बाकी सब विफल हो जाए, तो निर्देश पढ़ें।" और जब मैंने फिचटेनहोल्ट्ज़ का दूसरा खंड खोला, तो मुझे बहुत खुशी हुई कि मुझे एक समान श्रृंखला का अध्ययन मिला। और फिर समाधान ने उदाहरण का अनुसरण किया।