पत्ते

नमस्ते विद्यार्थी. किसी श्रृंखला का उपयोग करके लगभग DE का कोई विशेष समाधान कैसे खोजा जाए? पंक्तियाँ। बुनियादी अवधारणाओं। अभिसरण का आवश्यक संकेत

बिजली की श्रृंखला।

शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करना संभव है।

फॉर्म के एक रैखिक अंतर समीकरण पर विचार करें:

यदि इस समीकरण के सभी गुणांक और दाएँ पक्ष को एक निश्चित अंतराल में अभिसरण में विस्तारित किया जाता है बिजली की श्रृंखला, तो शून्य बिंदु के कुछ छोटे पड़ोस में इस समीकरण का एक समाधान है जो प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है।

इस समाधान को एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:

समाधान खोजने के लिए अज्ञात स्थिरांकों को निर्धारित करना बाकी है सी मैं.

इस समस्या का समाधान हो सकता है अनिश्चित गुणांकों की तुलना की विधि. हम वांछित फ़ंक्शन के लिए लिखित अभिव्यक्ति को मूल अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं, शक्ति श्रृंखला (विभेदन, जोड़, घटाव, गुणा इत्यादि) के साथ सभी आवश्यक संचालन करते हैं।

फिर हम गुणांकों को समान डिग्री पर बराबर करते हैं एक्ससमीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों पर। परिणामस्वरूप, प्रारंभिक स्थितियों को ध्यान में रखते हुए, हमें समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है जिससे हम क्रमिक रूप से गुणांक निर्धारित करते हैं सी मैं.

ध्यान दें कि यह विधि अरेखीय अवकल समीकरणों पर भी लागू होती है।

उदाहरण।प्रारंभिक स्थितियों के साथ समीकरण का हल खोजें y(0)=1, y'(0)=0.

हम फॉर्म में समीकरण का समाधान ढूंढेंगे

हम परिणामी अभिव्यक्तियों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

यहाँ से हमें मिलता है:

………………

हम प्रतिस्थापन से प्राप्त करते हैं आरंभिक स्थितियांवांछित फ़ंक्शन और उसके पहले व्युत्पन्न के लिए अभिव्यक्तियों में:

अंततः हमें मिलता है:

श्रृंखला का उपयोग करके अवकल समीकरणों को हल करने की एक और विधि है। यह कहा जाता है अनुक्रमिक विभेदन की विधि.

आइए उसी उदाहरण को देखें. हम मैकलॉरिन श्रृंखला में अज्ञात फ़ंक्शन के विस्तार के रूप में अंतर समीकरण का समाधान ढूंढेंगे।

यदि प्रारंभिक शर्तें दी गई हैं y(0)=1, y'(0)=0मूल अंतर समीकरण में प्रतिस्थापित करें, हमें वह मिलता है

प्राप्त मूल्यों को प्रतिस्थापित करने के बाद हमें प्राप्त होता है:

फोरियर श्रेणी।

(जीन बैपटिस्ट जोसेफ फूरियर (1768 - 1830) - फ्रांसीसी गणितज्ञ)

त्रिकोणमितीय श्रृंखला.

परिभाषा।त्रिकोणमितीय श्रृंखलाफॉर्म की एक श्रृंखला कहा जाता है:

या, संक्षेप में,

वास्तविक संख्या ए आई, बी आईत्रिकोणमितीय श्रेणी के गुणांक कहलाते हैं।

यदि ऊपर प्रस्तुत प्रकार की एक श्रृंखला अभिसरण करती है, तो इसका योग अवधि 2p के साथ एक आवधिक कार्य है, क्योंकि कार्य पाप एनएक्सऔर क्योंकि एनएक्स 2पी की अवधि के साथ आवधिक कार्य भी।

त्रिकोणमितीय श्रृंखला को खंड पर समान रूप से अभिसरण होने दें [-पी; पी], और इसलिए आवधिकता के कारण किसी भी खंड पर, और इसका योग बराबर है एफ(एक्स).

आइए हम इस श्रृंखला के गुणांक निर्धारित करें।

इस समस्या को हल करने के लिए हम निम्नलिखित समानताओं का उपयोग करते हैं:

इन समानताओं की वैधता उनके अनुप्रयोग से लेकर एकीकरण तक होती है त्रिकोणमितीय सूत्र. अधिक जानकारी के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों को एकीकृत करना देखें।

क्योंकि समारोह एफ(एक्स)अंतराल पर निरंतर है [-पी; पी], तो एक अभिन्न है

यह परिणाम इसी तथ्य के फलस्वरूप प्राप्त हुआ है।

यहाँ से हमें मिलता है:

इसी प्रकार, हम किसी फ़ंक्शन के श्रृंखला विस्तार के लिए अभिव्यक्ति को पाप से गुणा करते हैं एनएक्सऔर -p से p तक की सीमा में एकीकृत करें।

हम पाते हैं:

गुणांक के लिए अभिव्यक्ति एक 0गुणांक व्यक्त करने का एक विशेष मामला है एक.

इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)- अवधि 2पी का कोई भी आवधिक कार्य, अंतराल पर निरंतर [-पी; पी] या इस खंड पर पहली तरह के असंततता बिंदुओं की एक सीमित संख्या होने पर, फिर गुणांक

मौजूद हैं और बुलाए गए हैं फूरियर गुणांकसमारोह के लिए एफ(एक्स).

परिभाषा।फूरियर के पाससमारोह के लिए एफ(एक्स)त्रिकोणमितीय श्रृंखला कहलाती है जिसके गुणांक फूरियर गुणांक होते हैं। यदि किसी फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला एफ(एक्स)निरंतरता के सभी बिंदुओं पर इसमें अभिसरण होता है, तो हम कहते हैं कि फ़ंक्शन एफ(एक्स)फूरियर श्रृंखला में विस्तारित होता है।

फूरियर श्रृंखला में विघटनशीलता के पर्याप्त संकेत।

प्रमेय. (डिरिचलेट प्रमेय) यदि फ़ंक्शन f(x) की अवधि 2p और खंड पर है

[-पी;पी] निरंतर है या इसमें पहली तरह के असंततता बिंदुओं और खंड की एक सीमित संख्या है

[-p;p] को खंडों की एक सीमित संख्या में विभाजित किया जा सकता है ताकि उनमें से प्रत्येक के अंदर फ़ंक्शन f(x) मोनोटोनिक हो, फिर फ़ंक्शन f(x) के लिए फूरियर श्रृंखला x के सभी मानों के लिए अभिसरण हो, और फ़ंक्शन f(x) की निरंतरता के बिंदुओं पर इसका योग f(x) के बराबर है, और असंततता के बिंदुओं पर इसका योग बराबर है, यानी। बाएँ और दाएँ सीमा मानों का अंकगणितीय माध्य। इस मामले में, फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला फ़ंक्शन f(x) की निरंतरता के अंतराल से संबंधित किसी भी खंड पर समान रूप से परिवर्तित होती है।

एक फलन f(x) जिसके लिए डिरिक्लेट के प्रमेय की शर्तें संतुष्ट होती हैं, कहलाता है टुकड़े-टुकड़े एकरसखंड पर [-पी;पी]।

प्रमेय. यदि फ़ंक्शन f(x) की अवधि 2p है, इसके अलावा, f(x) और इसका व्युत्पन्न f'(x) - निरंतर कार्यअंतराल पर [-पी;पी] या इस अंतराल पर पहली तरह के असंतोष के बिंदुओं की एक सीमित संख्या है, तो फ़ंक्शन एफ (एक्स) की फूरियर श्रृंखला एक्स के सभी मानों के लिए और के बिंदुओं पर अभिसरण करती है निरंतरता इसका योग f(x) के बराबर है, और असंततता के बिंदुओं पर यह बराबर है। इस मामले में, फ़ंक्शन f(x) की फूरियर श्रृंखला फ़ंक्शन f(x) के निरंतरता अंतराल से संबंधित किसी भी खंड पर समान रूप से परिवर्तित होती है।

एक फ़ंक्शन जो इस प्रमेय की शर्तों को पूरा करता है उसे कहा जाता है टुकड़ों में - चिकनाखंड पर [-पी;पी]।

एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन का फूरियर श्रृंखला विस्तार।

एक गैर-आवधिक फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करने की समस्या, सिद्धांत रूप में, एक आवधिक फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करने से अलग नहीं है।

आइए फ़ंक्शन कहते हैं एफ(एक्स)एक अंतराल पर दिया गया है और इस अंतराल पर टुकड़े-टुकड़े एकरस है। एक मनमाने ढंग से आवधिक टुकड़े-टुकड़े मोनोटोनिक फ़ंक्शन पर विचार करें एफ 1 (एक्स)अवधि के साथ 2T ³ ib-aï, खंड पर फ़ंक्शन f(x) के साथ मेल खाता है।

ए - 2टी ए बी ए+2टी ए + 4टी एक्स

तो समारोह एफ(एक्स)जोड़ा गया है। अब समारोह एफ 1 (एक्स)फूरियर श्रृंखला में विस्तारित होता है। खंड के सभी बिंदुओं पर इस श्रृंखला का योग फ़ंक्शन के साथ मेल खाता है एफ(एक्स),वे। हम मान सकते हैं कि फ़ंक्शन एफ(एक्स)खंड पर फूरियर श्रृंखला में विस्तारित किया गया।

इस प्रकार, यदि फ़ंक्शन f(x) 2p के बराबर अंतराल पर दिया गया है, तो यह एक आवधिक फ़ंक्शन के श्रृंखला विस्तार से अलग नहीं है। यदि जिस खंड पर फ़ंक्शन दिया गया है वह 2p से कम है, तो फ़ंक्शन को अंतराल (बी, ए + 2पी) तक बढ़ाया जाता है ताकि फूरियर श्रृंखला में विस्तार की शर्तें संरक्षित रहें।

आम तौर पर, इस मामले में, लंबाई 2p के एक खंड (अंतराल) पर दिए गए फ़ंक्शन की निरंतरता को अनंत तरीकों से निष्पादित किया जा सकता है, इसलिए परिणामी श्रृंखला के योग अलग-अलग होंगे, लेकिन वे दिए गए के साथ मेल खाएंगे खंड पर फ़ंक्शन f(x)।

सम और विषम कार्यों के लिए फूरियर श्रृंखला।

आइए हम सम और विषम फलनों के निम्नलिखित गुणों पर ध्यान दें:

2) दो सम और विषम फलनों का गुणनफल एक सम फलन होता है।

3) सम और विषम फलनों का गुणनफल एक विषम फलन होता है।

सम और विषम फलनों की परिभाषा के आधार पर इन गुणों की वैधता आसानी से सिद्ध की जा सकती है।

यदि f(x) 2p अवधि के साथ एक सम आवर्त फलन है, जो फूरियर श्रृंखला में विस्तार की शर्तों को संतुष्ट करता है, तो हम लिख सकते हैं:

इस प्रकार, एक सम फलन के लिए फूरियर श्रृंखला लिखी गई है:

इसी प्रकार, हम एक विषम फ़ंक्शन के लिए फूरियर श्रृंखला विस्तार प्राप्त करते हैं:

उदाहरण।अंतराल [-p;p] पर अवधि T = 2p के साथ एक फूरियर श्रृंखला में एक आवधिक फ़ंक्शन का विस्तार करें।

दिया गया फ़ंक्शन विषम है, इसलिए, हम फूरियर गुणांक को इस रूप में देखते हैं:

परिभाषा।कार्यों की ऑर्थोगोनल प्रणाली पर फूरियर श्रृंखला j 1 (x), j 2 (x), …,jn(x) को इस प्रकार की श्रृंखला कहा जाता है:

जिनके गुणांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं:

कहाँ एफ(एक्स)= कार्यों की ऑर्थोगोनल प्रणाली के साथ एक खंड पर समान रूप से अभिसरण करने वाली श्रृंखला का योग है। एफ(एक्स) –कोई भी फ़ंक्शन जो निरंतर है या खंड पर पहली तरह के असंततता बिंदुओं की एक सीमित संख्या है।

कार्यों की एक ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली के मामले में, गुणांक निर्धारित किए जाते हैं:

कंप्यूटर संस्करण का उपयोग करते समय " उच्च गणित पाठ्यक्रम"ऐसा प्रोग्राम चलाना संभव है जो एक मनमाने फ़ंक्शन को फूरियर श्रृंखला में विस्तारित करता है।

टेलर श्रृंखला. मैकलॉरिन श्रृंखला

मान लीजिए कि एक फलन एक बिंदु के पड़ोस में अनंत बार अवकलनीय है, अर्थात। किसी भी क्रम का व्युत्पन्न है। किसी बिंदु पर किसी फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला एक शक्ति श्रृंखला है

श्रृंखला के विशेष मामले में (1.8) को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

सवाल उठता है: किन मामलों में किसी फ़ंक्शन के लिए टेलर श्रृंखला एक बिंदु के पड़ोस में अनंत बार विभेदित होती है जो फ़ंक्शन के साथ मेल खाती है?

ऐसे मामले हो सकते हैं जब किसी फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला अभिसरण करती है, लेकिन इसका योग बराबर नहीं होता है

आइए हम किसी फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला के इस फ़ंक्शन में अभिसरण के लिए पर्याप्त शर्त प्रस्तुत करें।

प्रमेय 1.4: यदि किसी अंतराल में किसी फ़ंक्शन में किसी भी क्रम के व्युत्पन्न होते हैं और वे सभी एक ही संख्या द्वारा निरपेक्ष मान में सीमित होते हैं, अर्थात। तब इस फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला इस अंतराल में से किसी के लिए अभिसरण होती है, अर्थात। समानता है

यह निर्धारित करने के लिए कि क्या यह समानता अभिसरण अंतराल के सिरों पर है, अलग-अलग अध्ययन की आवश्यकता है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि किसी फ़ंक्शन को पावर श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, तो यह श्रृंखला इस फ़ंक्शन की टेलर (मैकलॉरिन) श्रृंखला है, और यह विस्तार अद्वितीय है।

विभेदक समीकरण

साधारण अंतर समीकरणकिसी तर्क फ़ंक्शन के nवें क्रम को प्रपत्र का संबंध कहा जाता है

इसके तर्कों का एक दिया गया कार्य कहां है।

गणितीय समीकरणों के इस वर्ग के नाम में, "अंतर" शब्द इस बात पर जोर देता है कि उनमें व्युत्पन्न (विभेदीकरण के परिणामस्वरूप बनने वाले कार्य) शामिल हैं; शब्द "साधारण" इंगित करता है कि वांछित फ़ंक्शन केवल एक वास्तविक तर्क पर निर्भर करता है।

एक साधारण अंतर समीकरण में वांछित फ़ंक्शन और उसके किसी भी व्युत्पन्न का तर्क स्पष्ट रूप से शामिल नहीं हो सकता है, लेकिन उच्चतम व्युत्पन्न को nवें क्रम समीकरण में शामिल किया जाना चाहिए।

उदाहरण के लिए,

ए) - प्रथम क्रम समीकरण;

बी) - तीसरे क्रम का समीकरण।

सामान्य अंतर समीकरण लिखते समय, अंतर के संदर्भ में डेरिवेटिव के लिए नोटेशन का अक्सर उपयोग किया जाता है:

बी) - दूसरे क्रम का समीकरण;

डी) - एक प्रथम-क्रम समीकरण, जो समतुल्य रूप से विभाजित करने के बाद निम्नलिखित समीकरण बनाता है:

किसी फ़ंक्शन को साधारण अवकल समीकरण का समाधान कहा जाता है, यदि इसे इसमें प्रतिस्थापित करने पर यह एक पहचान में बदल जाता है।

किसी एक विधि या किसी अन्य विधि द्वारा, उदाहरण के लिए, चयन करके, एक फ़ंक्शन ढूंढना जो समीकरण को संतुष्ट करता है, इसका मतलब इसे हल करना नहीं है। एक साधारण अंतर समीकरण को हल करने का मतलब उन सभी कार्यों को ढूंढना है जो समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर एक पहचान बनाते हैं। समीकरण (1.10) के लिए, ऐसे कार्यों का एक परिवार मनमाना स्थिरांक का उपयोग करके बनाया जाता है और इसे nवें क्रम के साधारण अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है, और स्थिरांक की संख्या समीकरण के क्रम के साथ मेल खाती है: सामान्य समाधान नहीं हो सकता है इस मामले में, समाधान को आमतौर पर समीकरण (1.10) का सामान्य समाकलन कहा जाता है।

सामान्य समाधान या सामान्य अभिन्न में सभी मनमाने स्थिरांकों को कुछ स्वीकार्य मान निर्दिष्ट करके, हम एक निश्चित फ़ंक्शन प्राप्त करते हैं जिसमें अब मनमाना स्थिरांक नहीं होते हैं। इस फलन को समीकरण (1.10) का आंशिक समाधान या आंशिक समाकलन कहा जाता है। मनमाना स्थिरांक और इसलिए एक विशेष समाधान के मूल्यों को खोजने के लिए, समीकरण (1.10) की विभिन्न अतिरिक्त शर्तों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, तथाकथित प्रारंभिक शर्तों को यहां निर्दिष्ट किया जा सकता है:

प्रारंभिक स्थितियों (1.11) के दाईं ओर फ़ंक्शन और डेरिवेटिव के संख्यात्मक मान दिए गए हैं, और, कुल गणनाप्रारंभिक स्थितियाँ परिभाषित मनमाना स्थिरांक की संख्या के बराबर है।

प्रारंभिक स्थितियों के आधार पर समीकरण (1.10) का एक विशेष समाधान खोजने की समस्या को कॉची समस्या कहा जाता है।

श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करना

सामान्य स्थिति में, प्रथम-क्रम साधारण अंतर समीकरण (ओडीई) को एकीकृत करके इसका सटीक समाधान खोजना असंभव है। इसके अलावा, यह ODE प्रणाली के लिए संभव नहीं है। इसी परिस्थिति के कारण सृष्टि का निर्माण हुआ बड़ी संख्या में ODE और उनके सिस्टम को हल करने के लिए अनुमानित तरीके। अनुमानित विधियों के बीच, तीन समूहों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: विश्लेषणात्मक, ग्राफिकल और संख्यात्मक। बेशक, ऐसा वर्गीकरण कुछ हद तक मनमाना है। उदाहरण के लिए, यूलर की टूटी हुई रेखाओं की ग्राफिकल विधि एक अंतर समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करने के तरीकों में से एक को रेखांकित करती है।

पावर श्रृंखला का उपयोग करके ओडीई को एकीकृत करना एक अनुमानित विश्लेषणात्मक विधि है, जो आमतौर पर कम से कम दूसरे क्रम के रैखिक समीकरणों पर लागू होती है। सरलता के लिए, हम स्वयं को चर गुणांकों के साथ एक रैखिक सजातीय दूसरे क्रम वाले ODE पर विचार करने तक सीमित रखते हैं

ध्यान दें: फ़ंक्शंस की एक विस्तृत श्रेणी को फ़ॉर्म में दर्शाया जा सकता है

कुछ स्थिरांक कहाँ हैं. इस अभिव्यक्ति को शक्ति श्रृंखला कहा जाता है।

आइए मान लें कि फ़ंक्शंस को अंतराल में अभिसरण श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है:

निम्नलिखित प्रमेय मान्य है (प्रमाण को छोड़कर, हम केवल इसका सूत्रीकरण प्रस्तुत करते हैं)।

प्रमेय 1.5: यदि फ़ंक्शंस का रूप (1.13) है, तो ODE (1.12) के किसी भी समाधान को एक शक्ति श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है:

यह प्रमेय न केवल शक्ति श्रृंखला के रूप में समाधान का प्रतिनिधित्व करना संभव बनाता है, बल्कि, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह श्रृंखला के अभिसरण (1.14) को उचित ठहराता है। सरलता के लिए, हम (1.13) और (1.14) डालते हैं और फॉर्म में ODE (1.12) का समाधान ढूंढते हैं

(1.15) को (1.12) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समानता प्राप्त होती है

(1.16) को पूरा करने के लिए यह आवश्यक है कि प्रत्येक डिग्री के लिए गुणांक शून्य के बराबर हो।

इस स्थिति से हमें रैखिक की एक अनंत प्रणाली प्राप्त होती है बीजगणितीय समीकरण

जिससे कोई क्रमिक रूप से पता लगा सकता है कि क्या कोई मान निर्धारित करता है और (ओडीई (1.12) के लिए कॉची समस्या के मामले में, वे प्रारंभिक स्थितियों में शामिल हैं)।

यदि फलन तर्कसंगत हैं, अर्थात्

जहां बहुपद हैं, तो उन बिंदुओं के आसपास जहां या तो शक्ति श्रृंखला के रूप में कोई समाधान मौजूद नहीं हो सकता है, और यदि यह मौजूद है, तो यह बिंदु को छोड़कर हर जगह भिन्न हो सकता है, यह परिस्थिति एल. यूलर को ज्ञात थी। जिन्होंने प्रथम-क्रम समीकरण पर विचार किया

यह समीकरण शक्ति श्रृंखला से संतुष्ट होता है

हालाँकि, यह देखना मुश्किल नहीं है कि यह श्रृंखला किसी के लिए भी भिन्न है

अपसारी शक्ति श्रृंखला के रूप में ODE के समाधान को औपचारिक कहा जाता है।

कजाकिस्तान गणराज्य के शिक्षा और विज्ञान मंत्रालय

उत्तर कजाकिस्तान राज्य विश्वविद्यालय

उन्हें। एम. कोज़ीबायेवा

सूचना प्रौद्योगिकी संकाय

गणित विभाग

कोर्सवर्क संरक्षित

"___________" की रेटिंग के साथ

"___"___________ वर्ष 2013

सिर विभाग____________

ए. ताडज़िगिटोव

गणित में पाठ्यक्रम कार्य

"विभेदक समीकरणों का एकीकरण

पावर श्रृंखला का उपयोग करना"

प्रमुख: वलीवा एम.बी. ____________

पेट्रोपावलोव्स्क 2013

अनुकूलन

बेरिलगेन कुर्स्तिक ज़ुमिस्ता क़तरलारमेन ज़ेन डिफरेंशियल्स टेंडेमेलरमेन बेलेनिस्टी थ्योरीलिक सुरक्तर करास्टिरिलगन। डिफरेंशियल्स еңdemенің इंटीग्रलдауынн мысалDERы zhңne manңағаз қаторлARDың каѩмімін ка पर्याप्तрылған।

टिप्पणी

इस में पाठ्यक्रम कार्यश्रृंखला और अंतर समीकरणों से संबंधित सैद्धांतिक मुद्दों पर विचार किया जाता है। घात श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने के उदाहरणों पर विचार किया जाता है।

दिए गए कार्य को सैद्धांतिक प्रश्न माना जाता है जो श्रृंखला और अंतर समीकरणों से संबंधित हैं। पावर श्रृंखला का उपयोग करके एकीकरण आंशिक अंतर समीकरणों के उदाहरण माने जाते हैं।

परिचय

श्रृंखला और विभेदक समीकरणों से संबंधित बुनियादी अवधारणाएँ

1 पंक्तियाँ. बुनियादी अवधारणाओं। अभिसरण का आवश्यक संकेत

2 शक्ति श्रृंखला. शक्ति श्रृंखला के गुण

3 टेलर पंक्ति. मैकलॉरिन श्रृंखला

4 विभेदक समीकरण

5 श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करना

विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने में पावर श्रृंखला का उपयोग करने के उदाहरण

1 हवादार समीकरण

2 बेसेल समीकरण

3 एकीकरण उदाहरण

मेपल में एकीकरण के 4 उदाहरण

निष्कर्ष

परिचय

शब्द "डिफरेंशियल इक्वेशन" लीबनिज़ (1676, प्रकाशित 1684) से आया है। विभेदक समीकरणों पर शोध की शुरुआत लीबनिज़ और न्यूटन के समय से हुई, जिनके कार्यों में ऐसे समीकरणों की ओर ले जाने वाली पहली समस्याओं का अध्ययन किया गया था। लीबनिज़, न्यूटन, भाइयों जे. और आई. बर्नौली ने साधारण अंतर समीकरणों को एकीकृत करने के लिए तरीके विकसित किए। एक सार्वभौमिक विधि के रूप में, अंतर समीकरणों के अभिन्नों को शक्ति श्रृंखला में विस्तारित करने का उपयोग किया गया था।

आजकल, उच्च-शक्ति कंप्यूटिंग उपकरणों के आगमन से जुड़े विज्ञान में कम्प्यूटेशनल तरीकों के व्यापक परिचय के लिए गणित की विभिन्न शाखाओं और विशेष रूप से, सामान्य अंतर समीकरणों के सिद्धांत के अनुभागों के महत्व के पुनर्मूल्यांकन की आवश्यकता होती है। वर्तमान में, विभेदक समीकरणों के समाधानों के गुणात्मक अनुसंधान के तरीकों के साथ-साथ समाधानों की अनुमानित खोज के तरीकों का महत्व बढ़ गया है।

कई विभेदक समीकरणों के समाधान प्राथमिक कार्यों या चतुर्भुजों में व्यक्त नहीं किए जाते हैं। इन मामलों में, अंतर समीकरणों को एकीकृत करने के लिए अनुमानित तरीकों का उपयोग किया जाता है। ऐसी ही एक विधि समीकरण के समाधान को घात श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना है; इस श्रृंखला के पदों की परिमित संख्या का योग लगभग वांछित समाधान के बराबर होगा। यह चुने गए शोध विषय की प्रासंगिकता निर्धारित करता है।

इस कार्य का उद्देश्य: विभेदक समीकरणों के एकीकरण में शक्ति श्रृंखला पद्धति का उपयोग दिखाना।

अध्ययन का उद्देश्य पावर श्रृंखला विधि का उपयोग करके अंतर समीकरणों को एकीकृत करने की प्रक्रिया है।

अध्ययन का विषय घात श्रृंखला द्वारा विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने के रूप, तरीके और साधन हैं।

लक्ष्य के अनुसार इस कार्य के मुख्य उद्देश्य तैयार किये जा सकते हैं:

श्रृंखला और अवकल समीकरणों से संबंधित बुनियादी अवधारणाओं की समीक्षा करें।

घात श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने की विधि का विश्लेषण करें।

विभिन्न समस्याओं को हल करने के लिए शक्ति श्रृंखला विधि लागू करें।

कार्य की संरचना: शीर्षक पृष्ठ, कार्य असाइनमेंट प्रपत्र, सार, सामग्री, परिचय, मुख्य भाग, निष्कर्ष, संदर्भों की सूची।

कार्य के मुख्य भाग में दो अध्याय हैं। पहला अध्याय श्रृंखला, शक्ति श्रृंखला, टेलर श्रृंखला और अंतर समीकरणों की अवधारणाओं को प्रकट करता है। दूसरे अध्याय में, शक्ति श्रृंखला द्वारा अंतर समीकरणों के एकीकरण के उदाहरणों पर विचार किया गया है।

कार्य के सैद्धांतिक भाग का अध्ययन करने के लिए, प्रयुक्त साहित्य की सूची में इंगित शैक्षिक साहित्य और पत्रिकाओं की सामग्री का उपयोग किया गया था।

कार्य की मात्रा: 26 पृष्ठ।

1. श्रृंखला और विभेदक समीकरणों से संबंधित बुनियादी अवधारणाएँ

1.1 पंक्तियाँ। बुनियादी अवधारणाओं। अभिसरण का आवश्यक संकेत

गणितीय अनुप्रयोगों में, साथ ही अर्थशास्त्र, सांख्यिकी और अन्य क्षेत्रों में कुछ समस्याओं को हल करने में, अनंत संख्या वाले शब्दों पर विचार किया जाता है। यहां हम ऐसी परिभाषा देंगे कि ऐसी राशियों का क्या मतलब है।

मान लीजिए कि एक अनंत संख्या अनुक्रम दिया गया है। एक संख्या श्रृंखला या बस एक श्रृंखला रूप की एक अभिव्यक्ति (योग) है

,(1.1)

संख्याओं को श्रृंखला के सदस्य कहा जाता है - सामान्य या नौवाँ पदपंक्ति।

श्रृंखला (1.1) को परिभाषित करने के लिए, श्रृंखला के nवें पद की संख्या द्वारा गणना करने के प्राकृतिक तर्क के कार्य को निर्दिष्ट करना पर्याप्त है

उदाहरण 1.1. होने देना । पंक्ति

(1.2)

हार्मोनिक श्रृंखला कहलाती है।

श्रृंखला के पदों (1.1) से हम बनाते हैं संख्या क्रमआंशिक मात्रा कहाँ - श्रृंखला के पहले पदों का योग, जिसे nवाँ आंशिक योग कहा जाता है, अर्थात।

(1.3)

संख्या क्रम संख्या में असीमित वृद्धि के साथ यह हो सकता है:

) एक सीमित सीमा है;

) की कोई परिमित सीमा नहीं है (सीमा मौजूद नहीं है या अनंत के बराबर है)।

श्रृंखला (1.1) को अभिसरण कहा जाता है यदि इसके आंशिक योगों के अनुक्रम (1.3) की एक सीमित सीमा है, अर्थात।

इस स्थिति में, संख्या को श्रृंखला का योग (1.1) कहा जाता है और लिखा जाता है

श्रृंखला (1.1) को अपसारी कहा जाता है यदि इसके आंशिक योगों के अनुक्रम की कोई सीमित सीमा नहीं है। अपसारी श्रृंखला के लिए कोई राशि निर्दिष्ट नहीं की गई है।

इस प्रकार, एक अभिसरण श्रृंखला (1.1) का योग ज्ञात करने की समस्या इसके आंशिक योगों के अनुक्रम की सीमा की गणना करने के बराबर है।

प्रमेय का प्रमाण इस तथ्य से मिलता है कि , और अगर

तो, S श्रृंखला (1.1) का योग है

शर्त (1.4) श्रृंखला के अभिसरण के लिए एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त शर्त नहीं है। अर्थात्, यदि श्रृंखला का सामान्य पद शून्य हो जाता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि श्रृंखला अभिसरण करती है। उदाहरण के लिए, हार्मोनिक श्रृंखला के लिए (1.2)

हालाँकि, यह अलग हो जाता है।

उपफल (किसी शृंखला के विचलन का पर्याप्त संकेत): यदि शृंखला का उभयनिष्ठ पद शून्य की ओर प्रवृत्त नहीं होता है, तो यह शृंखला विसरित हो जाती है।

उदाहरण 1.2. अभिसरण के लिए श्रृंखला का परीक्षण करें

इस शृंखला के लिए इसलिए, यह शृंखला अलग हो जाती है।

1.1 1.2 पावर श्रृंखला। शक्ति श्रृंखला के गुण

पावर श्रृंखला कार्यात्मक श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

एक शक्ति श्रृंखला प्रपत्र की एक कार्यात्मक श्रृंखला है

यहां स्थिर वास्तविक संख्याएं हैं जिन्हें शक्ति श्रृंखला गुणांक कहा जाता है;

कुछ स्थिर संख्या;

एक वेरिएबल जो वास्तविक संख्याओं के सेट से मान लेता है।

जब शक्ति श्रृंखला (1.5) का रूप ले लेती है

(1.6)

घात श्रेणी (1.5) अंतर की घातों में एक श्रृंखला कहलाती है; श्रेणी (1.6) घातों में एक श्रृंखला कहलाती है, यदि किसी चर को कोई मान दिया जाता है, तो घात श्रेणी (1.5) (या (1.6)) एक संख्यात्मक में बदल जाती है। श्रृंखला जो अभिसरण या विचलन कर सकती है।

किसी शक्ति श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र उन मानों का समूह है जिन पर शक्ति श्रृंखला अभिसरण करती है।

प्रमेय 1.2 (एबेल का प्रमेय): यदि शक्ति श्रृंखला (1.6) अभिसरण करती है तो यह असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी मूल्यों के लिए बिल्कुल अभिसरण करती है, लेकिन यदि श्रृंखला (1.6) विचलन करती है तो यह असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करती है

एबेल का प्रमेय एक शक्ति श्रृंखला के अभिसरण क्षेत्र की संरचना का स्पष्ट विचार देता है।

प्रमेय 1.3: शक्ति श्रृंखला (1.6) के अभिसरण का क्षेत्र निम्नलिखित अंतरालों में से एक के साथ मेल खाता है:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

कुछ गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या कहां है या

संख्या को अभिसरण की त्रिज्या कहा जाता है, अंतराल को शक्ति श्रृंखला (1.6) के अभिसरण का अंतराल कहा जाता है।

यदि तब अभिसरण अंतराल संपूर्ण संख्या रेखा का प्रतिनिधित्व करता है

यदि तब अभिसरण का अंतराल बिंदु तक घट जाता है

नोट: यदि शक्ति श्रृंखला (1.2) के लिए अभिसरण अंतराल है, तो - शक्ति श्रृंखला के लिए अभिसरण अंतराल (1.5)।

प्रमेय 1.3 से यह पता चलता है कि शक्ति श्रृंखला (1.6) के अभिसरण के क्षेत्र को व्यावहारिक रूप से खोजने के लिए, इसके अभिसरण की त्रिज्या को खोजने और अभिसरण अंतराल के अंत में इस श्रृंखला के अभिसरण के प्रश्न को स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है, अर्थात। पर और

किसी शक्ति श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या निम्नलिखित सूत्रों में से किसी एक का उपयोग करके पाई जा सकती है:

डी'अलेम्बर्ट का सूत्र:

कॉची सूत्र:

उदाहरण 1.3. शक्ति श्रृंखला के अभिसरण त्रिज्या, अभिसरण अंतराल और अभिसरण क्षेत्र का पता लगाएं

आइए सूत्र का उपयोग करके इस श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ज्ञात करें

हमारे मामले में

परिणामस्वरूप, इस श्रृंखला के अभिसरण अंतराल का रूप है

आइए हम अभिसरण अंतराल के अंत में श्रृंखला के अभिसरण का अध्ययन करें।

जो एक हार्मोनिक श्रृंखला की तरह विचलन करता है।

जब शक्ति श्रृंखला एक संख्या श्रृंखला में बदल जाती है

यह एक प्रत्यावर्ती श्रृंखला है, जिसके पदों का निरपेक्ष मान घटता जाता है

अतः लीबनिज़ की कसौटी के अनुसार यह संख्या श्रृंखला अभिसरित हो जाती है।

इस प्रकार, अंतराल किसी दी गई शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र है।

शक्ति श्रृंखला (1.6) अभिसरण अंतराल में परिभाषित एक फ़ंक्शन है, अर्थात।

यहां फ़ंक्शन के कुछ गुण दिए गए हैं:

संपत्ति 1. अभिसरण अंतराल से संबंधित किसी भी खंड पर फ़ंक्शन निरंतर है

गुण 2. फलन अंतराल पर अवकलनीय है और इसका व्युत्पन्न श्रृंखला (1.6) के पद-दर-अवधि विभेदन द्वारा पाया जा सकता है, अर्थात।

सभी के लिए

संपत्ति 3. सभी के लिए एक फ़ंक्शन का अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग श्रृंखला (1.6) के शब्द-दर-अवधि एकीकरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात।

सभी के लिए

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी शक्ति श्रृंखला के पद-दर-अवधि विभेदन और एकीकरण के साथ, इसके अभिसरण की त्रिज्या नहीं बदलती है, लेकिन अंतराल के अंत में इसका अभिसरण बदल सकता है।

उपरोक्त गुण पावर श्रृंखला (1.5) के लिए भी मान्य हैं।

उदाहरण 1.4. शक्ति श्रृंखला पर विचार करें

इस श्रृंखला का अभिसरण क्षेत्र, जैसा कि उदाहरण 1.3 में दिखाया गया है, अंतराल है

आइए हम इस श्रृंखला को पद दर पद अलग करें:

(1.7)

आइए हम अभिसरण अंतराल के अंत में इस श्रृंखला के व्यवहार का अध्ययन करें।

यह संख्या श्रृंखला अलग हो जाती है क्योंकि आवश्यक अभिसरण मानदंड पूरा नहीं होता है

जो अस्तित्व में नहीं है.

जब घात श्रृंखला (1.7) एक संख्या श्रृंखला में बदल जाती है

जो आवश्यक अभिसरण मानदंड पूरा नहीं होने के कारण भी अलग हो जाता है।

नतीजतन, मूल शक्ति श्रृंखला के शब्द-दर-अवधि विभेदन द्वारा प्राप्त शक्ति श्रृंखला के अभिसरण का क्षेत्र बदल गया है और अंतराल के साथ मेल खाता है।

1.3 टेलर श्रृंखला। मैकलॉरिन श्रृंखला

(1.8)

श्रृंखला के विशेष मामले में (1.8) को मैकलॉरिन श्रृंखला कहा जाता है:

प्रमेय 1.4: यदि अंतराल में किसी फ़ंक्शन में किसी भी क्रम के डेरिवेटिव होते हैं और वे सभी पूर्ण मान में एक ही संख्या तक सीमित होते हैं, यानी। तब इस फ़ंक्शन की टेलर श्रृंखला इस अंतराल में से किसी के लिए अभिसरण होती है वे। समानता है

1.4 विभेदक समीकरण

किसी तर्क फ़ंक्शन के लिए nवें क्रम का एक साधारण अंतर समीकरण प्रपत्र का एक संबंध है

इसके तर्कों का एक दिया गया कार्य कहां है।

उदाहरण के लिए,

ए) - प्रथम क्रम समीकरण;

बी) - तीसरे क्रम का समीकरण.

में) - दूसरे क्रम का समीकरण;

जी) - एक प्रथम-क्रम समीकरण, जो समतुल्य रूप से विभाजित करने के बाद, निम्नलिखित समीकरण बनाता है:

प्रारंभिक स्थितियों (1.11) के दाईं ओर फ़ंक्शन और डेरिवेटिव के संख्यात्मक मान निर्दिष्ट हैं, और प्रारंभिक स्थितियों की कुल संख्या परिभाषित मनमाना स्थिरांक की संख्या के बराबर है।

1.5 श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करना

सामान्य स्थिति में, प्रथम-क्रम साधारण अंतर समीकरण (ओडीई) को एकीकृत करके इसका सटीक समाधान खोजना असंभव है। इसके अलावा, यह ODE प्रणाली के लिए संभव नहीं है। इस परिस्थिति के कारण ODE और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए बड़ी संख्या में अनुमानित तरीकों का निर्माण हुआ। अनुमानित विधियों के बीच, तीन समूहों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: विश्लेषणात्मक, ग्राफिकल और संख्यात्मक। बेशक, ऐसा वर्गीकरण कुछ हद तक मनमाना है। उदाहरण के लिए, यूलर की टूटी हुई रेखाओं की ग्राफिकल विधि एक अंतर समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करने के तरीकों में से एक को रेखांकित करती है।

(1.12)

ध्यान दें: फ़ंक्शंस की एक विस्तृत श्रेणी को फ़ॉर्म में दर्शाया जा सकता है

कुछ स्थिरांक कहाँ हैं. इस अभिव्यक्ति को शक्ति श्रृंखला कहा जाता है।

(1.14)

(1.15)

(1.15) को (1.12) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समानता प्राप्त होती है

इस स्थिति से हमें रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक अनंत प्रणाली प्राप्त होती है

जिससे कोई क्रमिक रूप से पता लगा सकता है कि क्या कोई मान निर्धारित करता है और (ओडीई (1.12) के लिए कॉची समस्या के मामले में) उन्हें प्रारंभिक स्थितियों में शामिल किया गया है ).

यदि फलन तर्कसंगत हैं, अर्थात्

यह समीकरण शक्ति श्रृंखला से संतुष्ट होता है

हालाँकि, यह देखना मुश्किल नहीं है कि यह श्रृंखला किसी के लिए भी भिन्न है

अपसारी शक्ति श्रृंखला के रूप में ODE के समाधान को औपचारिक कहा जाता है।

2. विभेदक समीकरणों को एकीकृत करते समय पावर श्रृंखला का उपयोग करने के उदाहरण

हवादार समीकरण

वायु समीकरण का समाधान

हम एक शक्ति श्रृंखला (1.15) के रूप में खोजेंगे। तब समानता (1.16) का रूप ले लेगी

के लिए गुणांक बराबर है इसलिए, गुणांक के शून्य के बराबर होने से, हम पाते हैं कि के लिए गुणांक बराबर है यहाँ से

इस सूत्र से हमें प्राप्त होता है

इसी प्रकार हम पाते हैं

संभावनाएँ अनिश्चित बनी हुई हैं। समाधान की मूलभूत प्रणाली खोजने के लिए, हम पहले सेट करते हैं और फिर इसके विपरीत. पहले मामले में हमारे पास है

और दूसरे में

प्रमेय 1.5 के आधार पर, ये श्रृंखलाएँ संख्या रेखा पर हर जगह अभिसरण होती हैं

फ़ंक्शंस को वायु फ़ंक्शंस कहा जाता है। बड़े मूल्यों के लिए, इन कार्यों के स्पर्शोन्मुख व्यवहार को सूत्रों द्वारा वर्णित किया गया है

इन फ़ंक्शंस के ग्राफ़ चित्र 1 में दिखाए गए हैं।

चित्र 1

असीमित वृद्धि के साथ, एयरी समीकरण के किसी भी समाधान के शून्य बिना किसी सीमा के एक-दूसरे के करीब आते हैं, जो इन समाधानों के स्पर्शोन्मुख प्रतिनिधित्व से स्पष्ट है, लेकिन अभिसरण शक्ति के रूप में एयरी कार्यों के प्रतिनिधित्व से बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है। शृंखला। इसका तात्पर्य यह है कि एक श्रृंखला का उपयोग करके ODE का समाधान खोजने की विधि, आम तौर पर, हल करने में बहुत कम उपयोग की होती है लागू समस्याएँ, और श्रृंखला के रूप में समाधान का प्रतिनिधित्व ही परिणामी समाधान के गुणात्मक गुणों का विश्लेषण करना कठिन बना देता है।

2.1 बेसेल समीकरण

परिवर्तनशील गुणांकों के साथ रैखिक अवकल समीकरण, जिसका रूप होता है

बेसेल समीकरण कहा जाता है।

हम सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला के रूप में समीकरण (2.1) का समाधान ढूंढेंगे, अर्थात। स्टेपी श्रृंखला पर कुछ डिग्री के उत्पाद:

(2.2)

एक सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला को समीकरण (2.1) में प्रतिस्थापित करने और समीकरण के बाईं ओर प्रत्येक शक्ति के लिए गुणांक को शून्य के बराबर करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है

यह मानते हुए कि इस प्रणाली से हम पाते हैं, फिर प्रणाली के दूसरे समीकरण से हम पाते हैं और 3,5,7,... मान देने वाले समीकरण से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि सम संख्याओं वाले गुणांकों के लिए हम व्यंजक प्राप्त करते हैं

पाए गए गुणांकों को श्रृंखला (2.2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समाधान प्राप्त होता है

जहां गुणांक मनमाना रहता है.

सभी गुणांकों के लिए समान रूप से केवल उस स्थिति में निर्धारित किया जाता है जब यह पूर्णांक के बराबर नहीं होता है। फिर पिछले समाधान में मान को इसके साथ प्रतिस्थापित करके समाधान प्राप्त किया जा सकता है:

परिणामी शक्ति श्रृंखला सभी मूल्यों के लिए अभिसरण करती है, जिसे डी'अलेम्बर्ट के परीक्षण के आधार पर आसानी से स्थापित किया जाता है। समाधान और रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, क्योंकि उनका अनुपात स्थिर नहीं है।

समाधान को एक स्थिरांक से गुणा किया गया प्रथम प्रकार के क्रम का बेसेल फ़ंक्शन (या बेलनाकार फ़ंक्शन) कहा जाता है और इसे प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है समाधान दर्शाया जाता है

स्थिरांक की आम तौर पर स्वीकृत पसंद में गामा फ़ंक्शन शामिल होता है, जो अनुचित अभिन्न द्वारा निर्धारित होता है:

इस तरह, सामान्य निर्णयसमीकरण (2.1) जब पूर्णांक के बराबर नहीं होता है, तो उसका रूप होता है और मनमाने स्थिरांक होते हैं।

2.2 एकीकरण उदाहरण

ऐसे मामलों में जहां समीकरण को प्रारंभिक स्थिति के तहत कॉची समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है, टेलर श्रृंखला का उपयोग करके समाधान मांगा जा सकता है:

जहां एक और व्युत्पन्न पाया जाता है क्रमिक विभेदनमूल समीकरण और विभेदन के परिणाम में मूल्यों और अन्य सभी बाद के व्युत्पन्नों के स्थान पर प्रतिस्थापित करना। इसी प्रकार, टेलर श्रृंखला का उपयोग करके उच्च क्रम समीकरणों को एकीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण 2.1. विस्तार के पहले छह गैर-शून्य पदों को लेकर टेलर श्रृंखला का उपयोग करके समीकरण को लगभग एकीकृत करें।

प्रारंभिक स्थितियों के समीकरण से हम पाते हैं इस समीकरण को विभेदित करने पर, हम क्रमिक रूप से प्राप्त करते हैं

विश्वास करना और अर्थों का प्रयोग करना हम लगातार पाते हैं कि आवश्यक समाधान का स्वरूप है

उदाहरण 2.2. विस्तार के पहले चार (गैर-शून्य) पद ज्ञात कीजिए। और

पाए गए मानों को श्रृंखला (2.3) में प्रतिस्थापित करते हुए, हम निर्दिष्ट सटीकता के साथ वांछित समाधान प्राप्त करते हैं:

2.3 मेपल में एकीकरण के उदाहरण

मेपल में अंतर समीकरणों के विश्लेषणात्मक समाधान खोजने के लिए, dsolve(eq,var,options) कमांड का उपयोग करें, जहां eq अंतर समीकरण है, var अज्ञात फ़ंक्शन हैं, विकल्प पैरामीटर हैं। पैरामीटर किसी समस्या को हल करने के लिए एक विधि का संकेत दे सकते हैं, उदाहरण के लिए, डिफ़ॉल्ट रूप से एक विश्लेषणात्मक समाधान खोजा जाता है: प्रकार = सटीक। विभेदक समीकरण बनाते समय, अंतर कमांड का उपयोग व्युत्पन्न को दर्शाने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण को इस रूप में लिखा जाता है: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

पावर श्रृंखला के रूप में एक अंतर समीकरण का अनुमानित समाधान खोजने के लिए, dsolve कमांड में, चर के बाद पैरामीटर प्रकार = श्रृंखला (या बस श्रृंखला) निर्दिष्ट करें। अपघटन के क्रम को इंगित करने के लिए, अर्थात जिस डिग्री तक अपघटन किया जाता है उसका क्रम order:=n कमांड का उपयोग करके ऑर्डर परिभाषा डालकर dsolve कमांड से पहले होना चाहिए।

यदि किसी विभेदक समीकरण का सामान्य समाधान शक्ति श्रृंखला विस्तार के रूप में मांगा जाता है, तो पाए गए विस्तार की शक्तियों के गुणांक में शून्य और उसके डेरिवेटिव आदि पर फ़ंक्शन के अज्ञात मान शामिल होंगे। आउटपुट लाइन में प्राप्त अभिव्यक्ति का रूप मैकलॉरिन श्रृंखला में वांछित समाधान के विस्तार के समान होगा, लेकिन शक्तियों के लिए अलग-अलग गुणांक के साथ। किसी विशेष समाधान को अलग करने के लिए, प्रारंभिक शर्तों आदि को निर्दिष्ट किया जाना चाहिए, और इन प्रारंभिक स्थितियों की संख्या संबंधित अंतर समीकरण के क्रम के साथ मेल खाना चाहिए।

पावर श्रृंखला में विस्तार श्रृंखला प्रकार का है, इसलिए इस श्रृंखला के साथ आगे काम करने के लिए, इसे कन्वर्ट (%, बहुपद) कमांड का उपयोग करके बहुपद में परिवर्तित किया जाना चाहिए, और फिर rhs के साथ परिणामी अभिव्यक्ति के दाईं ओर का चयन करें ( %) आज्ञा।

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),series);

ध्यान दें: श्रृंखला के रूप में विभेदक समीकरण के समाधान का प्रकार श्रृंखला है, इसलिए ऐसे समाधान (गणना या प्लॉटिंग) के आगे उपयोग के लिए, इसे कन्वर्ट कमांड का उपयोग करके बहुपद में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

विभेदक समीकरण श्रृंखला डिग्री

> कन्वर्ट(%,बहुपद): y2:=rhs(%):

> p1:=प्लॉट(y1, x=-3..3, मोटाई=2, रंग=काला):

> p2:=प्लॉट(y2, x=-3..3, लाइनस्टाइल=3, मोटाई=2, रंग=काला):

> (प्लॉट्स) के साथ: डिस्प्ले (पी1,पी2);

चित्र 2 से पता चलता है कि पावर श्रृंखला द्वारा सटीक समाधान का सबसे अच्छा अनुमान लगभग अंतराल में प्राप्त किया जाता है

चित्र 2

निष्कर्ष

पाठ्यक्रम कार्य में निर्धारित लक्ष्य पूरी तरह से प्राप्त कर लिए गए, निम्नलिखित कार्य हल किए गए:

श्रृंखला और अवकल समीकरणों से जुड़ी बुनियादी अवधारणाओं को परिभाषित किया गया है।

घात श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने की विधि पर विचार किया जाता है।

इस विषय पर समस्याओं का समाधान कर दिया गया है.

इस पाठ्यक्रम कार्य में, छात्रों द्वारा उपयोग के लिए सामग्री का अध्ययन और व्यवस्थित किया गया है स्वयं अध्ययनघात श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों को एकीकृत करने की विधि। श्रृंखला और अवकल समीकरणों की अवधारणाओं पर विचार किया जाता है। श्रृंखला का उपयोग करके अनुमानित गणनाएँ की गईं।

इस कार्य का उपयोग तकनीकी और गणितीय विशिष्टताओं के छात्रों के लिए शिक्षण सहायता के रूप में किया जा सकता है।

कार्य के परिणाम आगे के शोध के लिए आधार के रूप में काम कर सकते हैं।

प्रयुक्त सन्दर्भों की सूची

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किसी श्रृंखला का उपयोग करके लगभग DE का कोई विशेष समाधान कैसे खोजा जाए?

श्रृंखला सिद्धांत के व्यावहारिक अनुप्रयोगों का अध्ययन जारी रखते हुए, आइए एक और सामान्य समस्या पर विचार करें, जिसका नाम आप शीर्षक में देखते हैं। और, पूरे पाठ में घास काटने की मशीन की तरह महसूस न करने के लिए, आइए तुरंत कार्य के सार को समझें। तीन प्रश्न और तीन उत्तर:

आपको क्या खोजने की आवश्यकता है? अवकल समीकरण का विशेष समाधान. पंक्तियों के बीच एक संकेत फुसफुसाता है कि अब तक कम से कम यह समझ लेना उचित है कि यह क्या है अंतर समीकरणऔर उसका समाधान क्या है.

इस समाधान की आवश्यकता कैसे है? लगभग - एक शृंखला का उपयोग करते हुए.

और तीसरा तार्किक प्रश्न: लगभग क्यों?मैंने इस प्रश्न को कक्षा में पहले ही कवर कर लिया है। यूलर और रनगे-कुट्टा विधियाँ, लेकिन दोहराव से नुकसान नहीं होगा। विशिष्टताओं का समर्थक होने के नाते, मैं सबसे सरल पर लौटूंगा अंतर समीकरण. डिफ्यूज़र पर पहले व्याख्यान के दौरान, हमें इसका सामान्य समाधान (घातांक का सेट) और प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप एक विशेष समाधान मिला। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ सबसे सामान्य रेखा है जिसे किसी चित्र में चित्रित करना आसान है।

लेकिन यह एक प्राथमिक मामला है. व्यवहार में, बहुत सारे विभेदक समीकरण हैं जिन्हें विश्लेषणात्मक रूप से सटीक रूप से हल नहीं किया जा सकता है (कम से कम वर्तमान में ज्ञात तरीकों से)। दूसरे शब्दों में, आप ऐसे समीकरण को कितना भी मोड़ें, उसे एकीकृत करना संभव नहीं होगा। और समस्या यह है एक सामान्य समाधान (एक समतल पर रेखाओं का एक परिवार) मौजूद हो सकता है. और तब कम्प्यूटेशनल गणित के तरीके बचाव में आते हैं।

आइए हमारी खुशी से मिलें!

विशिष्ट कार्यइस प्रकार तैयार किया गया है:

… , प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करते हुए, तीन के रूप में (कम अक्सर - चार या पाँच)गैर-शून्य पद टेलर श्रृंखला.

आवश्यक विशेष समाधान को प्रसिद्ध सूत्र के अनुसार इस श्रृंखला में विस्तारित किया गया है:

एकमात्र बात यह है कि यहाँ "ef" अक्षर के स्थान पर "ig" का प्रयोग किया गया है (जैसा कि होता है)।

विचार और अर्थ भी परिचित हैं: कुछ डिफ्यूज़र के लिए और कुछ शर्तों के तहत (हम सिद्धांत में नहीं जाएंगे) निर्मित शक्ति शृंखला जुटेगीवांछित विशेष समाधान के लिए. अर्थात्, श्रृंखला के जितने अधिक पदों पर हम विचार करेंगे, संबंधित बहुपद का ग्राफ उतना ही सटीक रूप से फ़ंक्शन के ग्राफ का अनुमान लगाएगा।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि उपरोक्त सबसे सरल मामलों पर लागू होता है। आइए उसी पॉटी पर बच्चों की एक साधारण पढ़ाई संचालित करें:

उदाहरण 1

अंतर समीकरण का लगभग आंशिक समाधान खोजें जो टेलर श्रृंखला के पहले चार गैर-शून्य पदों के रूप में प्रारंभिक स्थिति को संतुष्ट करता है।

समाधान: इस समस्या की स्थितियों में, इसलिए सामान्य टेलर सूत्र में तब्दील हो जाता है विशेष मामला मैकलॉरिन श्रृंखला का विस्तार:

थोड़ा आगे देखते हुए, मैं कहूंगा कि व्यावहारिक कार्यों में यह अधिक कॉम्पैक्ट श्रृंखला अधिक सामान्य है।

दोनों कार्य सूत्रों को अपनी संदर्भ पुस्तिका में दर्ज करें।

आइये अर्थ समझते हैं. समाधान के चरणों को क्रमांकित करना सुविधाजनक है:

0) चरण शून्य पर, हम मान लिखते हैं, जो हमेशा स्थिति से ज्ञात होता है। नोटबुक में, बिंदुओं के अंतिम परिणामों पर गोला लगाने की सलाह दी जाती है ताकि वे स्पष्ट रूप से दिखाई दें और समाधान में खो न जाएं। तकनीकी कारणों से, मेरे लिए उन्हें बोल्ड में उजागर करना अधिक सुविधाजनक है। अलावा, ध्यान दें कि यह मान शून्य नहीं है! आख़िरकार, स्थिति के लिए चार खोजने की आवश्यकता है शून्येतरश्रृंखला के सदस्य.

1) आइए गणना करें। ऐसा करने के लिए, ज्ञात मान को मूल समीकरण के दाईं ओर "y" के बजाय प्रतिस्थापित करें:

2) आइए गणना करें। पहले हम ढूंढते हैं दूसरा व्युत्पन्न:

हम पिछले पैराग्राफ में पाए गए मान को दाईं ओर प्रतिस्थापित करते हैं:

हमारे पास पहले से ही तीन गैर-शून्य विस्तार शर्तें हैं, हमें एक और की आवश्यकता है:

उदाहरण 2

अवकल समीकरण का लगभग आंशिक समाधान खोजें , टेलर श्रृंखला के पहले तीन गैर-शून्य पदों के रूप में प्रारंभिक शर्त को संतुष्ट करता है।

समाधानएक मानक वाक्यांश से शुरू होता है:

इस समस्या में, इसलिए:

अब हम क्रमिक रूप से मान ज्ञात करते हैं - जब तक कि तीन प्राप्त न हो जाएं शून्येतरपरिणाम। यदि आप भाग्यशाली हैं, तो वे शून्य से भिन्न होंगे - यह न्यूनतम कार्य मात्रा वाला एक आदर्श मामला है।

आइए समाधान बिंदुओं में कटौती करें:

0) शर्त के अनुसार। यहाँ पहली सफलता है.

1) आइए गणना करें। सबसे पहले, आइए पहले व्युत्पन्न के संबंध में मूल समीकरण को हल करें, अर्थात, हम व्यक्त करते हैं . आइए ज्ञात मानों को दाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

हमें एक स्टीयरिंग व्हील मिला और यह अच्छा नहीं है, क्योंकि हम इसमें रुचि रखते हैं शून्येतरअर्थ. हालाँकि, शून्य - वही परिणाम, जिसे हम किसी अन्य तरीके से घेरना या हाइलाइट करना नहीं भूलते।

2) दूसरा व्युत्पन्न खोजें और ज्ञात मानों को दाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

दूसरा है "शून्य नहीं"।

3) दूसरे व्युत्पन्न का व्युत्पन्न खोजें:

सामान्य तौर पर, यह कार्य कुछ हद तक शलजम की कहानी की याद दिलाता है, जब दादा, दादी और पोती मदद के लिए बग, बिल्ली आदि को बुलाते हैं। और वास्तव में, प्रत्येक आगामी व्युत्पन्न को उसके "पूर्ववर्तियों" के माध्यम से व्यक्त किया जाता है।

आइए ज्ञात मानों को दाईं ओर प्रतिस्थापित करें:

तीसरा गैर-शून्य मान. उन्होंने शलजम बाहर निकाला।

हमारे सूत्र में सावधानीपूर्वक और सावधानी से "बोल्ड" संख्याओं को प्रतिस्थापित करें:

उत्तर: विशेष समाधान का वांछित अनुमानित विस्तार:

विचारित उदाहरण में, दूसरे स्थान पर केवल एक शून्य था, और यह इतना बुरा नहीं है। सामान्य तौर पर, शून्य आप जितनी चाहें उतनी संख्या में और कहीं भी हो सकते हैं। मैं दोहराता हूं, उन्हें गैर-शून्य परिणामों के साथ उजागर करना बहुत महत्वपूर्ण है, ताकि अंतिम चरण में प्रतिस्थापन में भ्रमित न हों।

यहाँ आप जाएँ - बैगेल पहले स्थान पर है:

उदाहरण 3

टेलर श्रृंखला के पहले तीन गैर-शून्य पदों के रूप में प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप अंतर समीकरण का लगभग आंशिक समाधान खोजें।

पाठ के अंत में किसी कार्य का एक अनुमानित उदाहरण। एल्गोरिदम के बिंदुओं को क्रमांकित नहीं किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, चरणों के बीच खाली रेखाएं छोड़कर), लेकिन मेरा सुझाव है कि शुरुआती लोग एक सख्त टेम्पलेट का पालन करें।

विचाराधीन कार्य पर अधिक ध्यान देने की आवश्यकता है - यदि आप किसी भी कदम पर गलती करते हैं, तो बाकी सब भी गलत होगा! इसलिए, आपका स्पष्ट दिमाग घड़ी की कल की तरह काम करना चाहिए। अफ़सोस, ऐसा नहीं है अभिन्नया डिफ्यूज़र, जिन्हें थकान की स्थिति में भी विश्वसनीय रूप से हल किया जा सकता है, क्योंकि वे एक प्रभावी जांच करने की अनुमति देते हैं।

व्यवहार में यह बहुत अधिक सामान्य है मैकलॉरिन श्रृंखला का विस्तार:

उदाहरण 4

समाधान: सिद्धांत रूप में, आप तुरंत लिख सकते हैं मैकलॉरिन विस्तार, लेकिन सामान्य मामले के साथ समस्या को औपचारिक रूप देना शुरू करना अधिक अकादमिक है:

प्रारंभिक स्थिति के तहत एक अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान के विस्तार का रूप है:

इस मामले में, इसलिए:

0) शर्त के अनुसार।

खैर आप क्या कर सकते हैं... आशा करते हैं कि शून्य कम हों।

1) आइए गणना करें। पहला व्युत्पन्न उपयोग के लिए पहले से ही तैयार है। आइए मानों को प्रतिस्थापित करें:

2) आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें:

और आइए इसमें स्थानापन्न करें:

चीजें अच्छी हो गईं!

3) खोजें . मैं इसे विस्तार से लिखूंगा:

ध्यान दें कि सामान्य बीजगणितीय नियम डेरिवेटिव पर लागू होते हैं: अंतिम चरण में समान शब्द लाना और उत्पाद को घात के रूप में लिखना: (ibid.)।

आइए कड़ी मेहनत से हासिल की गई हर चीज़ को प्रतिस्थापित करें:

तीन गैर-शून्य मान पैदा होते हैं।

हम मैकलॉरिन सूत्र में "बोल्ड" संख्याओं को प्रतिस्थापित करते हैं, जिससे विशेष समाधान का अनुमानित विस्तार प्राप्त होता है:

उत्तर:

के लिए स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 5

घात श्रृंखला के पहले तीन गैर-शून्य पदों के योग के रूप में दी गई प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप अंतर समीकरण का लगभग एक विशेष समाधान प्रस्तुत करें।

पाठ के अंत में एक अनुमानित डिज़ाइन नमूना।

जैसा कि आप देख सकते हैं, समस्या आंशिक विस्तार के साथ है मैकलॉरिन श्रृंखलासामान्य मामले से भी अधिक कठिन निकला। विचाराधीन कार्य की जटिलता, जैसा कि हमने अभी देखा, अपघटन में नहीं, बल्कि विभेदीकरण की कठिनाइयों में निहित है। इसके अलावा, कभी-कभी आपको 5-6 डेरिवेटिव (या इससे भी अधिक) ढूंढने पड़ते हैं, जिससे त्रुटि का खतरा बढ़ जाता है। और पाठ के अंत में, मैं बढ़ी हुई जटिलता के कुछ कार्य प्रस्तुत करता हूँ:

उदाहरण 6

मैकलॉरिन श्रृंखला में एक विशेष समाधान के विस्तार का उपयोग करके अंतर समीकरण को लगभग हल करें, खुद को श्रृंखला के पहले तीन गैर-शून्य शब्दों तक सीमित रखें।

समाधान: हमारे पास दूसरे क्रम का डिफ्यूज़र है, लेकिन यह व्यावहारिक रूप से मामले को नहीं बदलता है। शर्त के अनुसार, हमें तुरंत मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करने के लिए कहा जाता है, जिसे हम उपयोग करने से नहीं चूकेंगे। आइए परिचित विस्तार को लिखें, शायद और अधिक शर्तों को लेते हुए:

एल्गोरिथ्म बिल्कुल वैसा ही काम करता है:

0)- शर्त के अनुसार।

1)- शर्त के अनुसार.

2) आइए दूसरे व्युत्पन्न के संबंध में मूल समीकरण को हल करें:।

और आइए प्रतिस्थापित करें:

पहला गैर-शून्य मान

डेरिवेटिव पर क्लिक करें और प्रतिस्थापन करें:

आइए स्थानापन्न करें और:

आइए स्थानापन्न करें:

दूसरा गैर-शून्य मान.

5) - जिस तरह से हम समान डेरिवेटिव प्रस्तुत करते हैं।

आइए स्थानापन्न करें:

अंत में। हालाँकि, यह और भी बुरा हो सकता है।

इस प्रकार, वांछित विशेष समाधान का अनुमानित विस्तार है:

बेलारूस गणराज्य का शिक्षा मंत्रालय

शैक्षिक संस्था

"मोगिलेव्स्की स्टेट यूनिवर्सिटीए.ए. के नाम पर रखा गया कुलेशोवा"

MAiVT विभाग

श्रृंखला का उपयोग करके अवकल समीकरणों का समाधान बनाना

पाठ्यक्रम कार्य

द्वारा पूरा किया गया: तृतीय वर्ष समूह बी का छात्र

भौतिकी और गणित संकाय

युस्काएवा एलेक्जेंड्रा मराटोवना

वैज्ञानिक सलाहकार:

मोरोज़ोव निकोले पोर्फिरिविच

मोगिलेव, 2010

परिचय

1. उच्च कोटि के विभेदक समीकरण

1.1. nवें क्रम के रैखिक अवकल समीकरण की अवधारणा

2. श्रृंखला का उपयोग करके अवकल समीकरणों का एकीकरण

2.1. शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों का एकीकरण।

2.2. सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों का एकीकरण।

3. अंतर समीकरणों को एकीकृत करते समय सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला का उपयोग करने के विशेष मामले।

3.1. बेसेल का समीकरण.

3.2. हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण या गाऊसी समीकरण।

4. व्यवहार में श्रृंखला का उपयोग करके साधारण अंतर समीकरणों को एकीकृत करने की विधि का अनुप्रयोग।

निष्कर्ष

साहित्य

परिचय

सामान्य स्थिति में, प्रथम-क्रम साधारण अवकल समीकरण को एकीकृत करके उसका सटीक समाधान खोजना असंभव है। इसके अलावा, यह सामान्य अंतर समीकरणों की प्रणाली के लिए संभव नहीं है। इस परिस्थिति ने साधारण अंतर समीकरणों और उनकी प्रणालियों को हल करने के लिए बड़ी संख्या में अनुमानित तरीकों का निर्माण किया। अनुमानित विधियों के बीच, तीन समूहों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है: विश्लेषणात्मक, ग्राफिकल और संख्यात्मक। बेशक, ऐसा वर्गीकरण कुछ हद तक मनमाना है। उदाहरण के लिए, यूलर की टूटी हुई रेखाओं की ग्राफिकल विधि एक अंतर समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करने के तरीकों में से एक को रेखांकित करती है।

घात श्रृंखला का उपयोग करके साधारण अंतर समीकरणों का एकीकरण एक अनुमानित विश्लेषणात्मक विधि है, जो आमतौर पर कम से कम दूसरे क्रम के रैखिक समीकरणों पर लागू होती है।

अंतर समीकरणों पर पाठ्यक्रम में विश्लेषणात्मक तरीके पाए जाते हैं। प्रथम-क्रम समीकरणों (वियोज्य चर, सजातीय, रैखिक, आदि) के साथ-साथ कुछ प्रकार के उच्च-क्रम समीकरणों (उदाहरण के लिए, निरंतर गुणांक वाले रैखिक) के लिए, सूत्रों के रूप में समाधान प्राप्त करना संभव है विश्लेषणात्मक परिवर्तनों के माध्यम से।

कार्य का उद्देश्य अनुमानित विश्लेषणात्मक तरीकों में से एक का विश्लेषण करना है, जैसे श्रृंखला का उपयोग करके सामान्य अंतर समीकरणों का एकीकरण, और अंतर समीकरणों को हल करने में उनका अनुप्रयोग।

उच्च क्रम विभेदक समीकरण

nवें क्रम का एक साधारण अवकल समीकरण रूप का एक संबंध है

जहां F इसके तर्कों का एक ज्ञात फ़ंक्शन है, जिसे एक निश्चित डोमेन में परिभाषित किया गया है;

एक्स - स्वतंत्र चर;

y निर्धारित किए जाने वाले चर x का एक फलन है;

y', y", ..., y (n) - फ़ंक्शन y का व्युत्पन्न।

इस मामले में, यह माना जाता है कि y (n) वास्तव में अंतर समीकरण में शामिल है। फ़ंक्शन F का कोई भी अन्य तर्क इस संबंध में स्पष्ट रूप से भाग नहीं ले सकता है।

कोई भी फ़ंक्शन जो किसी दिए गए अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है, उसे इसका समाधान या अभिन्न कहा जाता है। एक अवकल समीकरण को हल करने का अर्थ है उसके सभी समाधान खोजना। यदि आवश्यक फ़ंक्शन y के लिए एक सूत्र प्राप्त करना संभव है जो किसी दिए गए अंतर समीकरण के सभी समाधान देता है और केवल उन्हें देता है, तो हम कहते हैं कि हमने इसका सामान्य समाधान, या सामान्य अभिन्न पाया है।

nवें क्रम के अवकल समीकरण के सामान्य समाधान में n मनमाना स्थिरांक c 1, c 2,..., c n होते हैं और इसका रूप होता है।

1.1. रैखिक अवकल समीकरण की अवधारणाएन-वाँ क्रम

nवें क्रम के एक विभेदक समीकरण को रैखिक कहा जाता है यदि यह मात्राओं y, y', ..., y (n) के सेट के संबंध में पहली डिग्री का है। इस प्रकार, nवें क्रम के रैखिक अंतर समीकरण का रूप है:

जहां x के निरंतर फलन ज्ञात हैं।

इस समीकरण को अमानवीय रैखिक समीकरण या दाहिनी ओर वाला समीकरण कहा जाता है। यदि समीकरण का दाहिना पक्ष समान रूप से शून्य के बराबर है, तो रेखीय समीकरणसजातीय अवकल रैखिक समीकरण कहलाता है और इसका रूप होता है

यदि n, 2 के बराबर है, तो हमें दूसरे क्रम का एक रैखिक समीकरण प्राप्त होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जाएगा: nवें क्रम के रैखिक समीकरण की तरह, दूसरे क्रम का समीकरण सजातीय () और अमानवीय हो सकता है।

श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों का एकीकरण।

परिवर्तनीय गुणांकों के साथ पहले क्रम से ऊपर एक साधारण अंतर समीकरण के समाधान हमेशा प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किए जाते हैं, और ऐसे समीकरण का एकीकरण शायद ही कभी चतुर्भुज में कम हो जाता है।

2.1. शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों का एकीकरण।

इन समीकरणों को एकीकृत करने का सबसे आम तरीका वांछित समाधान को घात श्रृंखला के रूप में प्रस्तुत करना है। चर गुणांक वाले दूसरे क्रम के समीकरणों पर विचार करें

नोट 1। कार्यों की एक विस्तृत श्रेणी को प्रपत्र में दर्शाया जा सकता है

जहां, कुछ स्थिरांक हैं। इस अभिव्यक्ति को शक्ति श्रृंखला कहा जाता है। यदि इसके मान अंतराल (x 0 - T; x 0 + T) से किसी x के लिए फ़ंक्शन के संबंधित मानों के बराबर हैं, तो ऐसी श्रृंखला को इस अंतराल में अभिसरण कहा जाता है।

आइए मान लें कि फलन a(x), b(x) अंतराल (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, यानी पर समीकरण (2.1) के विश्लेषणात्मक फलन हैं। शक्ति श्रृंखला में विस्तारित हैं:

प्रमेय_1. यदि फ़ंक्शन a(x), b(x) का रूप (2.2) है, तो साधारण अंतर समीकरण (2.1) के किसी भी समाधान y(x) को |x - x 0 | के रूप में अभिसरण के रूप में दर्शाया जा सकता है।< Т степенного ряда:

यह प्रमेय न केवल घात श्रृंखला के रूप में समाधान का प्रतिनिधित्व करना संभव बनाता है, बल्कि सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि यह श्रृंखला के अभिसरण (2.3) को उचित ठहराता है।

ऐसे प्रतिनिधित्व के लिए एल्गोरिदम इस प्रकार है। सुविधा के लिए, आइए हम (2.2) और (2.3) में x 0 = 0 रखें और सामान्य अंतर समीकरण (2.1) का हल इस रूप में खोजें

(2.4) को (2.1) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें समानता प्राप्त होती है

(2.5) को पूरा करने के लिए यह आवश्यक है कि प्रत्येक शक्ति x का गुणांक शून्य के बराबर हो। इस स्थिति से हमें रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की एक अनंत प्रणाली प्राप्त होती है

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

रैखिक बीजगणितीय समीकरणों की परिणामी अनंत प्रणाली से, कोई क्रमिक रूप से पा सकता है, ..., यदि कोई मान निर्धारित करता है और (साधारण अंतर समीकरण (2.1) के लिए कॉची समस्या के मामले में), कोई प्रारंभिक शर्तों का परिचय दे सकता है = , =).

यदि फलन a(x), b(x) परिमेय हैं, अर्थात्। , बी , जहां बहुपद हैं, तो उन बिंदुओं के आसपास जहां या, घात श्रृंखला के रूप में एक समाधान मौजूद नहीं हो सकता है, और यदि यह मौजूद है, तो यह बिंदु x = 0 को छोड़कर हर जगह विचलन कर सकता है। यह परिस्थिति एल. यूलर को ज्ञात था, जिन्होंने पहले क्रम के समीकरण पर विचार किया था

यह समीकरण शक्ति श्रृंखला से संतुष्ट होता है

हालाँकि, यह देखना मुश्किल नहीं है कि यह श्रृंखला किसी के लिए भी भिन्न है। अपसारी शक्ति श्रृंखला के रूप में एक साधारण अंतर समीकरण का समाधान औपचारिक कहा जाता है।

एकीकरण की इस पद्धति के उपयोग का सबसे आकर्षक और समझने योग्य उदाहरण हवादार समीकरण है या

इस समीकरण के सभी समाधान x के संपूर्ण फलन हैं। फिर हम घात श्रृंखला (2.4) के रूप में वायु समीकरण का समाधान खोजेंगे। तब समानता (2.5) का रूप ले लेती है

आइए प्रत्येक शक्ति x पर गुणांक को शून्य के बराबर सेट करें। हमारे पास है

……………………………

x की शून्य डिग्री का गुणांक 2y 2 के बराबर है। परिणामस्वरूप, y 2 = 0. फिर गुणांक की समानता से शून्य तक हम = पाते हैं। गुणांक के बराबर है. यहाँ से।

इस सूत्र से हमें प्राप्त होता है

संभावनाएँ अनिश्चित बनी हुई हैं। समाधान की मूलभूत प्रणाली खोजने के लिए, हम पहले = 1, = 0 सेट करते हैं, और फिर इसके विपरीत। पहले मामले में हमारे पास है

और दूसरे में

प्रमेय_1 के आधार पर, ये श्रृंखलाएं संख्या रेखा पर हर जगह अभिसरण होती हैं।

फ़ंक्शंस को वायु फ़ंक्शंस कहा जाता है। x के बड़े मानों के लिए, इन कार्यों का स्पर्शोन्मुख व्यवहार निम्नलिखित सूत्रों द्वारा वर्णित है और।

इन फ़ंक्शंस के ग्राफ़ चित्र में दिखाए गए हैं। 2.1. हम पाते हैं कि x में असीमित वृद्धि के साथ, Airy समीकरण के किसी भी समाधान के शून्य अनिश्चित काल तक एक साथ करीब आ जाते हैं, जो इन समाधानों के स्पर्शोन्मुख प्रतिनिधित्व से भी स्पष्ट है, लेकिन Airy कार्यों के प्रतिनिधित्व से बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है। अभिसरण शक्ति श्रृंखला का रूप। इसका तात्पर्य यह है कि एक श्रृंखला का उपयोग करके एक साधारण अंतर समीकरण के समाधान की खोज करने की विधि, आम तौर पर लागू समस्याओं को हल करने में बहुत कम उपयोग की होती है, और एक श्रृंखला के रूप में समाधान का प्रतिनिधित्व करने से इसका विश्लेषण करना मुश्किल हो जाता है। परिणामी समाधान के गुणात्मक गुण।

2.2. सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके विभेदक समीकरणों का एकीकरण।

इसलिए, यदि समीकरण (2.1) में फलन a(x), b(x) परिमेय हैं, तो जिन बिंदुओं पर या समीकरण (2.1) के एकवचन बिंदु कहलाते हैं।

दूसरे क्रम के समीकरण के लिए

जिसमें a(x), b(x) अंतराल |x - x 0 | में विश्लेषणात्मक कार्य हैं< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

एकवचन बिंदु x = x 0 के आसपास, शक्ति श्रृंखला के रूप में समाधान मौजूद नहीं हो सकते हैं, इस मामले में समाधान सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला के रूप में खोजा जाना चाहिए:

जहां λ और, …, () निर्धारित किए जाने हैं।

प्रमेय_2. समीकरण (2.6) के लिए एकवचन बिंदु x = x 0 के पड़ोस में सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला (2.7) के रूप में कम से कम एक विशेष समाधान होने के लिए, यह पर्याप्त है कि इस समीकरण का रूप हो

ये अभिसरण शक्ति श्रृंखला हैं, और गुणांक एक ही समय में शून्य के बराबर नहीं हैं, क्योंकि अन्यथा बिंदु x = x 0 एक विशेष बिंदु नहीं है और दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान हैं, बिंदु x = x 0 पर होलोमोर्फिक। इसके अलावा, यदि समीकरण (2.7') के गुणांकों में शामिल श्रृंखला (2.7'') क्षेत्र में अभिसरण होती है | एक्स - एक्स 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

x > 0 के लिए समीकरण (2.6) पर विचार करें। इस समीकरण में x 0 = 0 के लिए अभिव्यक्ति (2.7) को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है

x की घातों पर गुणांकों को शून्य से बराबर करने पर, हमें समीकरणों की एक आवर्ती प्रणाली प्राप्त होती है:

……..........................……………………………………………. (2.8)

जहां संकेत दिया गया है

चूँकि, तब λ को समीकरण को संतुष्ट करना होगा

जिसे परिभाषित समीकरण कहा जाता है। आइए इस समीकरण की जड़ें बनें। यदि अंतर एक पूर्णांक नहीं है, तो किसी भी पूर्णांक k > 0 के लिए, जिसका अर्थ है कि संकेतित विधि का उपयोग करके समीकरण (2.6) के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान बनाना संभव है:

यदि अंतर एक पूर्णांक है, तो उपरोक्त विधि का उपयोग करके आप एक सामान्यीकृत श्रृंखला के रूप में एक समाधान बना सकते हैं। इस समाधान को जानकर, लिउविल-ओस्ट्रोग्रैडस्की सूत्र का उपयोग करके, आप दूसरा रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान पा सकते हैं:

इसी सूत्र से यह निष्कर्ष निकलता है कि समाधान रूप में खोजा जा सकता है

(संख्या A शून्य के बराबर हो सकती है)।

अंतर समीकरणों को एकीकृत करते समय सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला का उपयोग करने के विशेष मामले।

3.1. बेसेल का समीकरण.

बेसेल समीकरण गणित और उसके अनुप्रयोगों में सबसे महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों में से एक है। बेसेल समीकरण के समाधान, जो इसके कार्यों की मूलभूत प्रणाली बनाते हैं, प्राथमिक कार्य नहीं हैं। लेकिन उन्हें शक्ति श्रृंखला में विस्तारित किया जाता है, जिसके गुणांक की गणना काफी सरलता से की जाती है।

आइए बेसेल समीकरण पर सामान्य रूप में विचार करें:

गणितीय भौतिकी की कई समस्याएं इस समीकरण में सिमट जाती हैं।

चूँकि x को -x से बदलने पर समीकरण नहीं बदलता है, इसलिए x के गैर-नकारात्मक मानों पर विचार करना पर्याप्त है। एकमात्र विलक्षण बिंदु x=0 है। x=0 के अनुरूप परिभाषित समीकरण है,। यदि 0 है, तो परिभाषित समीकरण की दो जड़ें हैं: और। आइए हम इस समीकरण का हल एक सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला के रूप में खोजें

फिर, मूल समीकरण में y, y" और y" को प्रतिस्थापित करने पर, हमें मिलता है

इसलिए, कम करके, हमारे पास है

इस समानता को समान रूप से बनाए रखने के लिए, गुणांकों को समीकरणों को संतुष्ट करना होगा

आइए परिभाषित समीकरण λ = n के मूल के अनुरूप समाधान खोजें। अंतिम समानताओं में λ = n प्रतिस्थापित करने पर, हम देखते हैं कि हम शून्य के अलावा कोई भी संख्या ले सकते हैं, संख्या = 0, और k = 2, 3, ... के लिए हमारे पास है

इसलिए, सभी m = 0, 1, 2,… के लिए।

इस प्रकार, सभी गुणांक मिल गए हैं, जिसका अर्थ है कि समीकरण (3.1) का समाधान फॉर्म में लिखा जाएगा

आइए फ़ंक्शन का परिचय दें

यूलर का गामा फ़ंक्शन कहा जाता है। पूर्णांकों के लिए क्या और क्या पर विचार करते हुए तथा एक मनमाना अचर का चयन करते हुए इसे रूप में लिखा जाएगा

प्रथम प्रकार के nवें क्रम का बेसेल फलन कहलाता है।

बेसेल समीकरण का दूसरा विशेष समाधान, रैखिक रूप से स्वतंत्र, रूप में खोजा जा रहा है

पर निर्धारण के लिए समीकरणों का रूप है

मान लीजिए हम पाते हैं

परंपरा के अनुसार, n एक पूर्णांक नहीं है, इसलिए सम संख्याओं वाले सभी गुणांक विशिष्ट रूप से व्यक्त किए जाते हैं:

इस प्रकार,

मान लीजिए कि हम y 2 (x) को रूप में निरूपित करते हैं

इसे नकारात्मक सूचकांक के साथ पहली तरह का बेसेल फ़ंक्शन कहा जाता है।

इस प्रकार, यदि n एक पूर्णांक नहीं है, तो मूल बेसेल समीकरण के सभी समाधान बेसेल फ़ंक्शन के रैखिक संयोजन हैं और:।

3.2. हाइपरजियोमेट्रिक समीकरण या गाऊसी समीकरण।

हाइपरज्यामितीय समीकरण (या गाऊसी समीकरण) एक प्रकार का समीकरण है

जहाँ α, β, γ वास्तविक संख्याएँ हैं।

अंक समीकरण के एकल बिंदु हैं। ये दोनों नियमित हैं, क्योंकि इन बिंदुओं के पड़ोस में गॉस समीकरण के गुणांक सामान्य रूप में लिखे गए हैं

एक सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए एक बिंदु के लिए इसे सुनिश्चित करें। वास्तव में, उस पर ध्यान दे रहा हूँ

समीकरण (3.2) को इस प्रकार लिखा जा सकता है

यह समीकरण समीकरण का एक विशेष मामला है

और यहाँ, इसलिए बिंदु x=0 गॉस समीकरण का एक नियमित एकवचन बिंदु है।

आइए हम एकवचन बिंदु x=0 के आसपास गॉस समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण करें।

बिंदु x=0 के अनुरूप परिभाषित समीकरण का रूप है

इसके मूल और उनका अंतर पूर्णांक नहीं है।

इसलिए, एकवचन बिंदु x=0 के आसपास, सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला के रूप में समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण संभव है

इनमें से पहला परिभाषित समीकरण के शून्य मूल से मेल खाता है और एक साधारण शक्ति श्रृंखला है, ताकि समाधान एकवचन बिंदु x=0 के पड़ोस में होलोमोर्फिक हो। दूसरा समाधान बिंदु x=0 पर स्पष्ट रूप से गैर-होलोमोर्फिक है। आइए पहले हम परिभाषित समीकरण के शून्य मूल के अनुरूप एक विशेष समाधान बनाएं।

इसलिए, हम फॉर्म में समीकरण (3.2) के लिए एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे

(3.3) को (3.2) में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

मुक्त पद को शून्य के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है।

इसे रहने दो, फिर हम इसे प्राप्त करेंगे।

गुणांक को शून्य के बराबर करने पर, हम पाते हैं:

इसलिए, आवश्यक विशेष समाधान का रूप है:

दाईं ओर की श्रृंखला को हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला कहा जाता है, क्योंकि जब α=1, β=γ यह एक ज्यामितीय प्रगति में बदल जाती है

प्रमेय_2 के अनुसार, श्रृंखला (3.4) |x| के रूप में अभिसरण होती है<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

दूसरे विशेष समाधान का स्वरूप इस प्रकार है:

अनिर्धारित गुणांकों की विधि खोजने के बजाय, हम सूत्र का उपयोग करके गॉस समीकरण में वांछित फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करेंगे

हमें गॉस समीकरण प्राप्त होता है

जिसमें पैरामीटर α, β और γ की भूमिका और द्वारा निभाई जाती है।

इसलिए, परिभाषित समीकरण के शून्य मूल के अनुरूप इस समीकरण का एक आंशिक समाधान बनाकर और इसे (3.6) में प्रतिस्थापित करके, हम इस गॉस समीकरण का दूसरा आंशिक समाधान इस रूप में प्राप्त करते हैं:

गॉस समीकरण (3.2) का सामान्य समाधान होगा:

एकवचन बिंदु x=0 के पड़ोस में गॉस समीकरण के समाधान की निर्मित मौलिक प्रणाली का उपयोग करके, कोई भी एकवचन बिंदु x=1 के पड़ोस में इस समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली का निर्माण आसानी से कर सकता है, जो एक नियमित भी है एकवचन बिंदु.

इस उद्देश्य के लिए, हम अपनी रुचि के एकवचन बिंदु x = 1 को बिंदु t = 0 पर स्थानांतरित करेंगे और इसके साथ ही स्वतंत्र चर x = 1 के रैखिक प्रतिस्थापन का उपयोग करके एकवचन बिंदु x = 0 को बिंदु t = 1 पर स्थानांतरित करेंगे। - टी।

इस गॉस समीकरण में इस प्रतिस्थापन को करने पर, हम प्राप्त करते हैं

यह मापदंडों के साथ गाऊसी समीकरण है। इसके पड़ोस में है |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

वेरिएबल x पर लौटते हुए, यानी, t = 1 - x सेट करते हुए, हम बिंदु के आसपास मूल गॉस समीकरण के समाधान की एक मौलिक प्रणाली प्राप्त करते हैं | एक्स - 1|< 1 особой точки х = 1

क्षेत्र में गॉस समीकरण (3.2) का सामान्य समाधान होगा

व्यवहार में श्रृंखला का उपयोग करके साधारण अंतर समीकरणों को एकीकृत करने की विधि का अनुप्रयोग।

उदाहरण 1। (नंबर 691) प्रारंभिक शर्तों के साथ श्रृंखला के पहले कुछ गुणांकों की गणना करें (x 4 सहित गुणांक तक)

प्रारंभिक स्थितियों से यह पता चलता है कि अब शेष गुणांक ज्ञात करें:

उदाहरण_2. (नंबर 696) प्रारंभिक शर्तों के साथ श्रृंखला के पहले कुछ गुणांकों की गणना करें (x 4 सहित गुणांक तक)

समाधान: हम फॉर्म में समीकरण का समाधान ढूंढेंगे

हम परिणामी अभिव्यक्तियों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:

घात श्रृंखला के रूप में दाएँ पक्ष का प्रतिनिधित्व करने और समीकरण के दोनों पक्षों में x की समान घातों के लिए गुणांकों को बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं:

चूँकि शर्त के अनुसार x 4 समावेशी गुणांक तक श्रृंखला के गुणांकों की गणना करना आवश्यक है, यह गुणांकों की गणना करने के लिए पर्याप्त है।

प्रारंभिक स्थितियों से यह निष्कर्ष निकलता है कि और 2. अब आइए शेष गुणांक ज्ञात करें:

नतीजतन, समीकरण का समाधान फॉर्म में लिखा जाएगा

उदाहरण_3. (संख्या 700) समीकरण की घात श्रृंखला के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान खोजें। यदि संभव हो, तो प्रारंभिक फ़ंक्शंस का उपयोग करके परिणामी श्रृंखला का योग व्यक्त करें।

समाधान। हम एक श्रृंखला के रूप में समीकरण का समाधान ढूंढेंगे

इस श्रृंखला को दो बार विभेदित करना और इसे इस समीकरण में प्रतिस्थापित करना, हमारे पास है

आइए परिणामी समीकरण में श्रृंखला के पहले कुछ पद लिखें:

x की समान घातों पर गुणांकों को शून्य से बराबर करने पर, हमें निर्धारण के लिए समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

………………………………….

इन समीकरणों से हम पाते हैं

आइए मान लें कि तभी गुणांक शून्य से भिन्न होंगे। हमें वह मिल गया

समीकरण का एक समाधान तैयार किया गया है

हम यह मानकर दूसरा समाधान प्राप्त करते हैं, जो पाए गए समाधान से रैखिक रूप से स्वतंत्र है। तभी गुणांक शून्य से भिन्न होंगे:

श्रृंखला x के किसी भी मान का प्रतिनिधित्व और अभिसरण करती है और विश्लेषणात्मक कार्य हैं। इस प्रकार, मूल समीकरण के सभी समाधान x के सभी मानों के लिए विश्लेषणात्मक कार्य हैं। सभी समाधान सूत्र द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, जहां C 1, C 2 मनमाना स्थिरांक हैं:

चूँकि परिणामी श्रृंखला का योग प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके आसानी से व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए इसे इस प्रकार लिखा जाएगा:

उदाहरण_4. (संख्या 711) समीकरण 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0 को हल करें।

समाधान। बिंदु x = 0 इस समीकरण का एक नियमित एकवचन बिंदु है। हम परिभाषित समीकरण बनाते हैं: इसकी जड़ें λ 1 = 1/2 और λ 2 = - 1 हैं। हम मूल λ = λ 1 के अनुरूप मूल समीकरण के समाधान की तलाश करते हैं

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमारे पास है

यहां से, कम करके, हम पाते हैं

x की समान शक्तियों पर गुणांकों को बराबर करने पर, हमारे पास निर्धारण के लिए समीकरण हैं:

y 0 = 1 सेट करने पर, हम पाते हैं

इस प्रकार,

हम मूल λ = λ 2 के संगत मूल समीकरण का हल इस रूप में खोजते हैं

इस अभिव्यक्ति को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने और x की समान शक्तियों पर गुणांकों को बराबर करने पर, हम प्राप्त करते हैं या y 0 = 1 रखने पर, हम पाते हैं

हम मूल समीकरण के सामान्य समाधान को इस रूप में लिखते हैं जहां और मनमाना स्थिरांक हैं।

निष्कर्ष

पहले से अधिक घात वाले अज्ञात कार्यों और उनके व्युत्पन्न वाले समीकरणों को या कुछ अधिक जटिल तरीके से हल करना अक्सर बहुत कठिन होता है।

हाल के वर्षों में, ऐसे विभेदक समीकरणों ने अधिक से अधिक ध्यान आकर्षित किया है। चूँकि समीकरणों के समाधान अक्सर बहुत जटिल होते हैं और सरल सूत्रों का उपयोग करके प्रस्तुत करना कठिन होता है, आधुनिक सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा उनके व्यवहार के गुणात्मक विश्लेषण के लिए समर्पित है, अर्थात। उन तरीकों का विकास जो समीकरण को हल किए बिना, समग्र रूप से समाधान की प्रकृति के बारे में कुछ महत्वपूर्ण कहना संभव बनाते हैं: उदाहरण के लिए, कि वे सभी सीमित हैं, या उनकी आवधिक प्रकृति है, या एक निश्चित तरीके से निर्भर हैं गुणांक.

पाठ्यक्रम कार्य के दौरान, शक्ति और सामान्यीकृत शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके अंतर समीकरणों को एकीकृत करने की विधि का विश्लेषण किया गया।

साहित्य:

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