विभेदक समीकरण। अनुक्रमिक विभेदन विधि

साधारण अवकल समीकरण वे समीकरण होते हैं जिनमें वांछित फलन y = y (x) के एक या अधिक अवकलज होते हैं।

एफ (एक्स, वाई, वाई 1,…, वाई (एन)) = 0, जहां एक्स स्वतंत्र चर है।

डिफरेंशियल इक्वेशन का सॉल्यूशन एक ऐसा फंक्शन है, जो इसे इक्वेशन में बदलने के बाद इसे एक जीत में बदल देता है।

कुछ समाधान विधियों को अवकल समीकरणों के क्रम से जाना जाता है। कई प्रथम-क्रम समीकरणों (वियोज्य चर, सजातीय, रैखिक, आदि के साथ) के लिए, विश्लेषणात्मक परिवर्तनों द्वारा सूत्रों के रूप में एक समाधान प्राप्त करना संभव है।

ज्यादातर मामलों में, अंतर समीकरणों को हल करने के लिए अनुमानित तरीकों का उपयोग किया जाता है, जिन्हें दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है:

1) विश्लेषणात्मक तरीके जो एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के रूप में समाधान देते हैं;

2) संख्यात्मक विधियाँ जो तालिका के रूप में अनुमानित समाधान देती हैं।

आइए निम्नलिखित उदाहरणों के रूप में सूचीबद्ध विधियों पर विचार करें।

8.1 अनुक्रमिक विभेदन की विधि।

समीकरण पर विचार करें:

प्रारंभिक शर्तों के साथ, जहां - दिए गए नंबर।

मान लीजिए कि वांछित समाधान y = f (x) टेलर श्रृंखला में अंतर की शक्तियों में हल किया जा सकता है (x-x 0):

2 एन +…।

प्रारंभिक स्थितियां (8.2) हमें k = 0,1,2, ..., (n-1) के लिए y (k) (x 0) का मान देती हैं। मान y (n) (x 0) समीकरण (8.1), प्रतिस्थापन (x-x 0) और प्रारंभिक स्थितियों (8.2) का उपयोग करके पाए जाते हैं:

वाई (एन) (एक्स 0) = एफ (एक्स 0, वाई 0, वाई "0, ..., वाई 0 (एन -1))

मान y (n + 1) (x 0), y (n + 2) (x 0) ... क्रमिक रूप से विभेदित समीकरण (8.1) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं और x = x 0, y (k) (x) को प्रतिस्थापित करते हैं। 0) = y 0k (के - 0,1,2)।

उदाहरण:प्रारंभिक शर्तों y के साथ समीकरण y "" +0,1 (y ") 2 + (1 + 0,1x) y = 0 के समाधान y = y (x) के घात श्रृंखला विस्तार के पहले सात पद ज्ञात कीजिए। (0) = 1; वाई "(0) = 2.

समाधान:हम एक श्रृंखला के रूप में समीकरण के हल की तलाश कर रहे हैं:

y (x) = y (0) + y "(0) x / 1! + y" "(0) x 2 /2!+...+y (n) (0) x n / n! ...

प्रारंभिक स्थितियों से, हमारे पास y (0) = 1, y "(0) = 2 है। y" "(0) को निर्धारित करने के लिए, हम y" " के लिए इस समीकरण को हल करते हैं:

y "" (0) = - 0.1 (y ") 2 - (1 + 0.1x) y (8.3)

प्रारंभिक शर्तों का उपयोग करते हुए, हम प्राप्त करते हैं

वाई "" (0) = -0.1 * 4 - 1 * 1 = -1.4

समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों x के संबंध में अंतर करना (8.3)

y "" "= - 0.2 y" y "" - 0.1 (xy "+ y) - y",

y (4) = - 0.2 (y "y" "" + y "" 2) - 0.1 (xy "" + 2y ") - y" ",

y (5) = - 0.2 (y "y (4) + 3y" "y" "") - 0.1 (xy "" "+ 3y" ") - y" "",

y (6) = - 0.2 (y "y (5) + 4y" "y (4) + 3y" "" 2) - 0.1 (xy (4) + 4y "" "- y (4))

प्रारंभिक स्थितियों और मान y "" (0) को प्रतिस्थापित करते हुए, हम पाते हैं y "" "(0) = - 1.54;

वाई (4) (0) = - 1.224; वाई (5) (0) = 0.1768; वाई (6) (0) = - 0.7308। इस प्रकार, वांछित अनुमानित समाधान इस रूप में लिखा जाएगा: y (x) 1 + 2x - 0.7x 2 - 0.2567x 3 + 0.051x 4 + 0.00147x 5 - 0.00101x 6।

8.2 यूलर विधि

विभेदक समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों में सबसे सरल यूलर विधि है, जो वांछित फ़ंक्शन को पहली डिग्री के बहुपद के साथ बदलने पर आधारित है, अर्थात। रैखिक एक्सट्रपलेशन। हम तर्क के आसन्न बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों को खोजने के बारे में बात कर रहे हैं x उनके बीच नहीं।

आइए हम चरण h छोटा चुनें ताकि x 0 और x 1 = x 0 + h के बीच सभी x के लिए फ़ंक्शन y का मान रैखिक फ़ंक्शन से थोड़ा भिन्न हो। फिर संकेतित अंतराल पर y = y 0 + (x - x 0) y "= y 0 + (x -

फ़ंक्शन के मूल्यों को उसी तरह निर्धारित करना जारी रखते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि यूलर की विधि को सूत्रों के अनुक्रमिक निष्पादन के रूप में दर्शाया गया है:

y k = y "k h

वाई के + 1 = वाई के + y के

उदाहरण

आइए हम चरण h = 0.1 वाले खंड पर प्रारंभिक स्थिति x 0 = 0, y 0 = 0 के साथ समीकरण y "= x - y समीकरणों को यूलर विधि द्वारा हल करें।

गणना तालिका में दिखाई गई है।

कॉलम 1 और 2 में पहली पंक्ति प्रारंभिक डेटा से भरी हुई है। फिर y की गणना द्वारा की जाती है दिया गया समीकरण(कॉलम 4 में), फिर y = y "h - कॉलम (4) में।

कॉलम (5) में दिए गए समीकरण के सटीक समाधान के मूल्यों की एक तालिका है।

तालिका से पता चलता है कि x = 1 के लिए यूलर विधि की सापेक्ष त्रुटि है = ०.३७ - ०.३५ / ०.३७ * १००% ५.४%

परिष्कृत यूलर की विधि

कम्प्यूटेशनल कार्य की समान मात्रा के साथ, यह उच्च सटीकता देता है।

पहले, हमने इंटीग्रैंड को खंड के बाएं छोर पर इसके मान f (x k, y k) के बराबर एक स्थिरांक माना था। यदि हम f (x, y (x)) को प्लॉट के केंद्र में मान के बराबर मान लें तो अधिक सटीक मान प्राप्त होगा। ऐसा करने के लिए, आपको सूत्र की जगह एक डबल सेक्शन (x k-1, x k + 1) लेना होगा

y k + 1 = y k + y k पर y k + 1 = y k-1 + 2hy "k (8.5)

यह वह सूत्र है जो परिष्कृत यूलर विधि को व्यक्त करता है। लेकिन इस मामले में, आपको क्रियाओं के निम्नलिखित क्रम का पालन करना होगा:

उदाहरणतुलना के लिए, प्रारंभिक स्थितियों x 0 = 0, y 0 = 0 के साथ समान समीकरण y "= x - y पर विचार करें। परिष्कृत विधि, जैसा कि तालिका से देखा जा सकता है, x = 1 पर एक उच्च सटीकता सापेक्ष त्रुटि देता है। वाई = 0.370, और वाई 0.368।

यदि समीकरण का रूप है तो टेलर श्रृंखला में हमारे पास अंतर है आइए हम परिणामी श्रृंखला के अभिसरण की जांच करें, जिसमें हम प्रारंभिक शर्तों को प्रतिस्थापित करते हैं। श्रृंखला का उपयोग बीजगणितीय समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है। राय। इस तरह के समीकरणों का समाधान अनिश्चित गुणांक और बाद के भेदभाव की विधि द्वारा किया जाता है।

51. आवधिक कार्य। त्रिकोणमितीय। यूलर-फूरियर विधि द्वारा गुणांक का निर्धारण.

अंतराल (-П, ) पर डिरिचलेट स्थितियों को संतुष्ट करने वाली अवधि 2П के साथ एक आवधिक कार्य, फूरियर श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है:

जिसके गुणांक सूत्र द्वारा ज्ञात किए जाते हैं

फ़ंक्शन f (x) की निरंतरता के बिंदुओं पर, फूरियर श्रृंखला f () में परिवर्तित होती है, और असंततता के बिंदुओं पर, से। एक आवर्त फलन f (x) की अवधि 2l के साथ फूरियर श्रृंखला विस्तार का रूप है जहां

कार्यों की 53 ओर्थोगोनल सिस्टम। कार्यों की एक मनमानी ऑर्थोगोनल प्रणाली के लिए फूरियर श्रृंखला।परिभाषा 1. कार्यों की एक अनंत प्रणाली f 1 (x), f 2 (x) .. fn (x) (1) को अंतराल पर ऑर्थोगोनल कहा जाता है [a, b] यदि, किसी n k के लिए, समानता ( x) k (x) dx = 0 (2) यहाँ यह माना जाता है कि dx 0 मान लीजिए कि अंतराल [a, b] पर परिभाषित फलन (x) इस प्रकार है कि इसे dx 0 के फलनों में एक श्रृंखला द्वारा निरूपित किया जाता है। ऑर्थोगोनल सिस्टम (1), जो [ए, बी] पर दिए गए कार्यों में परिवर्तित होता है: एफ (एक्स) = (एक्स) (6)। आइए हम p के साथ गुणांकों को परिभाषित करें। मान लीजिए कि श्रृंखला (6) को किसी ϕ k (x) से गुणा करने के बाद प्राप्त श्रृंखला शब्द-दर-अवधि एकीकरण को स्वीकार करती है। हम समानता (6) के दोनों पक्षों को k (x) से गुणा करते हैं और a से b की सीमा के भीतर एकीकृत करते हैं। समानता (2) को ध्यान में रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं (x) k (x) dx = ck जहां से (7) к के साथ गुणांक, सूत्रों (7) द्वारा गणना की जाती है, फ़ंक्शन f (х) के संबंध में 5 फूरियर गुणांक कहलाते हैं। ऑर्थोगोनल फ़ंक्शंस की प्रणाली (1)। श्रृंखला (6) को कार्यों की प्रणाली (1) में फूरियर श्रृंखला कहा जाता है।

54. डिरिचलेट की स्थिति। फूरियर श्रृंखला में किसी फ़ंक्शन के प्रतिनिधित्व के लिए पर्याप्त शर्त।फ़ंक्शन f (x) x के मानों की कुछ श्रेणी में निश्चित और निरंतर है, यदि x 2> x 1 की स्थिति से है, तो इसे गैर-घटता (गैर-बढ़ती) कहा जाता है; f (x 2) ≥f (x 1) - गैर-घटता f (x 2) ≤ f (x 1) - गैर-बढ़ती फ़ंक्शन f (x) को एक खंड पर टुकड़ावार मोनोटोन कहा जाता है यदि इस खंड को विभाजित किया जा सकता है अंकों की एक परिमित संख्या х 1, x 2, x 3 ... .. xn -1 अंतराल में ताकि प्रत्येक अंतराल पर फ़ंक्शन एकरस हो, अर्थात या तो घटता नहीं है या बढ़ता नहीं है, यह निम्नानुसार है यह कि यदि फलन f (x) टुकड़े-टुकड़े में एक स्वर है और खंडों तक सीमित है, तो इसमें पहली तरह के विराम बिंदु हो सकते हैं। x = c = f (c-0) = f (c + 0); f (c-0) f (c + 0)। T. डिरिखलेट। यदि 2π अवधि वाला कोई फलन f (x) टुकड़ावार एकरस और परिबद्ध है एक बंद अंतराल पर x [-π; π], तो इस फ़ंक्शन पर निर्मित फूरियर श्रृंखला सभी बिंदुओं पर अभिसरण करती है, प्राप्त श्रृंखला S (x) का योग निरंतरता के बिंदुओं पर f (x) के मान के बराबर होता है यह फ़ंक्शन, फ़ंक्शन f (x) की निरंतरता के बिंदुओं पर श्रृंखला का योग फ़ंक्शन f (x) के दाईं ओर और बाईं ओर का माध्य अंकगणितीय पक्ष है S (c) = (f (c-0) ) + f (c + 0)) / 2. इस प्रमेय की शर्तों को Dirichlet शर्तें कहा जाता है।

55. एक फूरियर श्रृंखला में सम/विषम फलनों का विस्तार।

सम और विषम फलन की परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि (x) एक सम फलन है, तो वास्तव में

चूँकि, एक सम फलन की परिभाषा के अनुसार, (-x) = (x)।

इसी तरह, कोई यह साबित कर सकता है कि यदि φ (x) एक विषम फलन है, तो यदि एक विषम फलन f (x) एक फूरियर श्रृंखला में फैलता है, तो गुणनफल f (x) cos (kx) भी एक विषम फलन है, और f (एक्स) पाप (केएक्स) - यहां तक ​​कि; इसलिए, एक विषम फलन की फूरियर श्रृंखला में "केवल साइन" होता है

यदि फूरियर श्रृंखला में एक सम फलन का विस्तार किया जाता है, तो गुणनफल f (x) sin (kx) एक विषम फलन है, और f (x) cos (kx) सम है, इसलिए

यही है, एक समान फ़ंक्शन की फूरियर श्रृंखला में "केवल कोसाइन" होता है। प्राप्त सूत्र उन मामलों में फूरियर गुणांक की खोज करते समय गणना को सरल बनाना संभव बनाते हैं जहां दिए गए फ़ंक्शन सम या विषम हैं। जाहिर है, हर आवर्त फलन सम या विषम नहीं होता है।

इज़वेस्टिया

टॉम्स्क के अक्टूबर क्रांति के आदेश और एस.एम.किरोव के नाम पर पॉलीटेक्निकल संस्थान के श्रम लाल बैनर के आदेश

अनुक्रमिक विधि का आवेदन

विद्युत मशीन स्रोतों की क्षणिक प्रक्रियाओं की गणना में अंतर

आवेग

ए. वी. लूस

(विद्युत मशीनों और सामान्य विद्युत इंजीनियरिंग विभागों के वैज्ञानिक संगोष्ठी द्वारा प्रस्तुत)

आवेगों के विद्युत मशीन स्रोतों की क्षणिक प्रक्रियाएं, उदाहरण के लिए, एकल-चरण शॉक जनरेटर, वाल्व पल्स जनरेटर, आदि, आवधिक गुणांक वाले अंतर समीकरणों की प्रणालियों द्वारा वर्णित हैं, जिन्हें किसी भी परिवर्तन द्वारा समाप्त नहीं किया जा सकता है। विषमता के सामान्य मामले में विद्युत मशीनों की क्षणिक प्रक्रियाओं की जांच निरंतर फ्लक्स लिंकेज के सिद्धांत के उपयोग, अभिन्न समीकरणों के उपयोग, समाधान के अनुमानित तरीकों आदि पर आधारित होती है। आदि।

कुछ मामलों में, इलेक्ट्रिक मशीन स्पंदित ऊर्जा स्रोतों की क्षणिक प्रक्रियाओं के समीकरणों को निरंतर गुणांक वाले समीकरणों में कम किया जा सकता है, हालांकि, रोटर पर दो या दो से अधिक घुमावदार प्रणालियों के मामले पर विचार करने की आवश्यकता के लिए एक घन समीकरण या विशेषता समीकरणों को हल करने की आवश्यकता होती है जटिल गुणांक के साथ उच्च डिग्री, जो बीजीय रूप में असंभव है। ... चुंबकीय सर्किट की संतृप्ति और रोटर की गति में बदलाव को ध्यान में रखने की आवश्यकता ऐसी समस्याओं के समाधान को और जटिल बनाती है। इन मामलों में, अनुमानित समाधानों के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग सबसे स्वीकार्य है।

विभेदक समीकरणों की प्रणालियों के अनुमानित एकीकरण के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों में, अनुक्रमिक भेदभाव की विधि द्वारा शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके एकीकरण बहुत व्यापक है। यह विधि स्थिर और चर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणालियों को हल करने और गैर-रेखीय समस्याओं को हल करने के लिए दोनों पर लागू होती है। टेलर श्रृंखला में विस्तार के रूप में मांगे गए विशेष समाधान का प्रतिनिधित्व किया जाता है। विधि के अनुप्रयोग की प्रभावशीलता काफी हद तक शोधकर्ता के बारे में प्राथमिक जानकारी का उपयोग करने की क्षमता पर निर्भर करती है भौतिक प्रकृतिसमस्या का समाधान किया जाना है।

वास्तव में, यदि हम एक विद्युत मशीन स्रोत के दालों के लिए अंतर समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करते हैं, तो धाराओं को अज्ञात कार्यों के रूप में लेते हुए, यह पहले से ज्ञात है कि समाधान तेजी से दोलन कार्यों का प्रतिनिधित्व करेंगे। जाहिर है, टेलर श्रृंखला के रूप में उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए, बड़ी संख्या में शब्दों की आवश्यकता होगी, यानी समाधान बेहद बोझिल होगा। विभेदक समीकरणक्षणिक प्रक्रियाएं धाराओं के लिए नहीं, बल्कि प्रवाह-युग्मन के लिए रचना करने के लिए अधिक लाभदायक हैं। यह इस तथ्य के कारण है कि वाइंडिंग का फ्लक्स लिंकेज बदल जाता है

समय में संख्या I बहुत कम है, क्योंकि वे एक नियम के रूप में, एकान्त रूप से बदलते कार्य हैं, जिनमें से एक टेलर श्रृंखला में विस्तार के रूप में पर्याप्त रूप से सटीक प्रतिनिधित्व के लिए, केवल कुछ शर्तों की आवश्यकता होती है। फ्लक्स लिंकेज का निर्धारण करने के बाद, साधारण बीजीय समीकरणों को हल करके धाराओं का पता लगाया जाता है।

एक उदाहरण के रूप में, एक वाल्व पल्स जनरेटर की क्षणिक प्रक्रियाओं की गणना करने के लिए अनुक्रमिक विभेदन विधि के उपयोग पर विचार करें।

वाल्व जनरेटर के लोड करंट की गणना, हालांकि, चरण धाराओं के लिफाफा वक्र के अनुसार की जा सकती है, जब सिंक्रोनस जनरेटर को अचानक एक सममित तीन-चरण सक्रिय लोड पर स्विच किया जाता है। समतुल्य सममित प्रतिरोधक भार का मान R3 - 2 / sRh के अनुपात से निर्धारित होता है। इस प्रकार, लोड वर्तमान वक्र और चरण धाराओं की गणना करने के लिए, एक सममित प्रतिरोधक भार से जुड़े होने पर तुल्यकालिक जनरेटर के अंतर समीकरणों की पूरी प्रणाली को हल करना आवश्यक है।

आर्मेचर करंट का निर्धारण करते समय, बाहरी सक्रिय प्रतिरोध को स्टेटर r = R3 + rc के सक्रिय प्रतिरोध में जोड़ा जा सकता है। d, q अक्षों में तुल्यकालिक जनरेटर की क्षणिक प्रक्रियाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:

pYd = - उद - (ü ^ q -rd, (1)

р - - Uq + W6 riq के साथ, (2)

पी ^ एफ = यूएफ - आरएफआईएफ, (3)

पी ^ डीडी - - रॉडीडीसीबी (4)

पीएक्सवीडी :( = - आरडीक्यू आईओक्यू, (5)

XfXDd - X2ag | एम एक्सएडी (एक्सडीडी-एक्सएएच) टीएफ। xad (Xj - н) w

डी "डी री" डी टॉड 9

, * _ x ° q w xaq / 7)

क्यू ~ "Ä7 ™ क्यू क्यू"

XdXDd ~~ x "ad ig xad (xDd" ~ "xad) m Xad (xd Xad) -CG f ^ -D- 1 ~~" - ~ D- d "---- d" * "

XdXf X2ad हाँ xad (xf ~~ xari) m xad (xd ~ xad) w / n \ iDd = - ~ q- ^ Dd - D- Td --d - M »w)

D - XdXfXDd ^ 2x3ad - x2ad (xd + xr -f X [) d), (11)

ए "= XqXDq - X2aq। (12)

समीकरणों की प्रणाली (1 - 12) का कोई सामान्य विश्लेषणात्मक समाधान नहीं है। स्टेटर सर्किट में सक्रिय प्रतिरोधों की उपस्थिति में एक तुल्यकालिक जनरेटर की धाराओं के लिए परिकलित अनुपात प्राप्त करने का प्रयास किया गया था। हालांकि, लेखक ने स्टेटर सर्किट में सक्रिय प्रतिरोध की उपस्थिति में एक घूर्णन मशीन में अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ कुल्हाड़ियों के साथ फ्लक्स लिंकेज की स्थिरता को मानने की अक्षमता से शारीरिक रूप से संबंधित गलती की। इस त्रुटि को इंगित किया गया था, जहां रोटर पर एक घुमावदार प्रणाली के मामले के लिए एक सटीक समाधान प्राप्त किया गया था और रोटर पर दो या दो से अधिक घुमावदार प्रणालियों पर विचार करते समय पारंपरिक समाधान विधियों का उपयोग करने की असंभवता दिखाई गई थी। इसलिए, यहां माना गया उदाहरण काफी रुचि का है।

(1-5) में (6-10) को प्रतिस्थापित करने और Ud = Uq =: 0 को ध्यान में रखते हुए, हम कोश के सामान्य रूप में फ्लक्स लिंकेज के संबंध में लिखित क्षणिक प्रक्रियाओं के समीकरण प्राप्त करते हैं और:

[(x (x1) c1 - x. ^ H ^ - xa (1 (x0 (1 - x ^ H ^ _)

3 डी7 ~ (एक्सओओ (एच ^ एक्स, 1 (] एच ^)

पी ^ = बीएमआर - ^ [(एक्ससी] x0c1 - x2aa) एच * (- एक्सए (1 (एक्सओ (1 - एक्सए))<1№

हा<1 (хс! - Х^Ч^] ,

पी = --- एक्स 2 ए (1) ¥ 141 - हाय (एक्स (- एक्स ^ एच ^ .)

हायो (Xs1 - has1) (],

पी सीएचटी = ^ -¿g (xh एच ^ - xach एच ^)।

मान लीजिए कि लोड पर स्विच करने से पहले, तुल्यकालिक जनरेटर उत्तेजना प्रवाह के साथ निष्क्रिय था, तो प्रारंभिक स्थितियां 1 = 0 पर हैं।

एच ^ ओ = * गोक्सैक = एमबी ^ एच "ओ = 1 गोक्सा (बी ChTs0 - ओ, ¥ सी (0 = 0.

प्रारंभिक शर्तों को अपनाने के साथ, ^, a, ^, के समाधान को मैकलॉरिन श्रृंखला में विस्तार के रूप में दर्शाया जा सकता है

इसी तरह फ्लक्स लिंकेज के लिए Ch ^, Ch ^, Tm, Ch ^। फॉर्म (18) के समीकरणों में फ्लक्स लिंकेज के डेरिवेटिव के प्रारंभिक मूल्यों को समीकरणों (13-17) के क्रमिक विभेदन द्वारा ज्ञात प्रारंभिक स्थितियों के तहत खोजना आसान है। फ्लक्स लिंकेज और उनके डेरिवेटिव के प्रारंभिक मूल्यों को फॉर्म (18) के समीकरणों में प्रतिस्थापित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:

(3 = 1गोहस1

एक्सआरएक्स ^ - एक्स ^ \

^ = चो है1 एन

1 जीएचओपी "+2 1 ^ - 4 जी --- 7- डब्ल्यू एक्स

2 ए "(x2ochg + x2achGoch)

एक्स? 1 ग्राम (एक्सएएच (होआ - एक्सएलएस1) ®2

थानेदार ~ 1 गोल (1

1__GR (1 xyas1 (x (- खास!) S ° 2

एल X2ad वर्ष

(20) (21) (22) (23)

मैकलॉरिन श्रृंखला (19-23) में विस्तार की शेष शर्तों का अध्ययन करके,,, के लिए समाधानों का अभिसरण निर्धारित किया जा सकता है

KnNo) = - ^ एमटी पी (एन + 1) ^ (एच), (24)

जहां 0

इसी प्रकार "मोटी" के लिए, फ्लक्स के पाए गए मूल्यों के अनुसार

समीकरणों (6-10) का उपयोग करके, फ्लक्स 1r »ए को खोजना आसान है। रैखिक परिवर्तनों के सूत्रों का उपयोग करके, हम चरण धाराओं को निर्धारित करते हैं:

1a = ¡c) coe co 1 - d et co 1 (25) 1b = 1st sob 1 --- 1h e1n ^ -> (26)

"-सी = - 1 ए -> बी- (27)

वाल्व पल्स जनरेटर का लोड करंट चरण धाराओं के तात्कालिक मूल्यों के योग के रूप में पाया जाता है 1a, 1b, एक संकेत से।

विचाराधीन विधि के अनुसार, वाल्व पल्स जनरेटर की क्षणिक प्रक्रियाओं की गणना मापदंडों के साथ की गई थी:

एक्स (1 = = एक्सोस! = एचवीएच = 1.05; हेक्टेयर (1 = है, = 1; एक्स (= 1.2; आरसी = जी - !! = गोवा = = 0.02; वाईएन = 0.05 ...

अंजीर में। 1 चरण धाराओं के परिकलित वक्रों को दिखाता है \ b, c और लोड करंट c। समीकरणों की पूरी प्रणाली की जांच करते समय एवीएम एमएन -14 पर प्राप्त परिणामों के साथ विश्लेषणात्मक गणनाओं की तुलना करता है

चावल। 1. जनरेटर और लोड के बिना डिजाइन वक्र टोकोस

अच्छा अभिसरण। मैकलॉरिन श्रृंखला विस्तार (24) के शेष का अध्ययन करके समाधान के अभिसरण का अनुमान यह भी दर्शाता है कि अधिकतम गणना त्रुटि 5 - = - 7% से अधिक नहीं है।

अनुक्रमिक भेदभाव की विधि का उपयोग आवेगों के विद्युत मशीन स्रोतों की क्षणिक प्रक्रियाओं का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है, जिनमें समीकरणों में चर गुणांक होते हैं। नॉनलाइनियर डिफरेंशियल इक्वेशन द्वारा वर्णित क्षणिक प्रक्रियाओं का अध्ययन भी इस पद्धति का उपयोग करते समय मूलभूत कठिनाइयों का सामना नहीं करता है, लेकिन इस मामले में इसके आवेदन से बोझिल अभिव्यक्ति हो सकती है। विभेदक समीकरणों की प्रारंभिक प्रणाली के रूप के सही चुनाव के लिए, सभी मामलों में प्रक्रियाओं की भौतिक तस्वीर के बारे में प्राथमिक जानकारी का उपयोग करना आवश्यक है, जो समाधान को बहुत सरल करता है।

साहित्य

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2. ए.आई. अज़ियो वी। एक तुल्यकालिक मशीन की क्षणिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत की मूल बातें। गोसेनेरगोइज़्डैट, 1960।

3. चौधरी कोंकॉर्ड और ए। तुल्यकालिक मशीनें। गोसेनेरगोइज़्डैट, १९५९।

4. ई। हां काज़ोवस्की। एसी इलेक्ट्रिक मशीनों में क्षणिक प्रक्रियाएं। यूएसएसआर, 1962 की विज्ञान अकादमी का प्रकाशन गृह।

5.एलई एल्सगोल्ट्स। विभेदक समीकरण और विविधताओं की गणना। "विज्ञान", 1969।

6. जी। ए। सिपायलोव, ए। वी। लॉस, और यू। आई। रयाबचिकोव। वाल्व पल्स जनरेटर की क्षणिक प्रक्रियाओं का अनुसंधान। इज़्व. टीपीआई। यह संग्रह।

प्रमेय।

दिया गया:

यदि रिमोट कंट्रोल का दाहिना भाग, अर्थात्। समारोह , बिंदु के कुछ पड़ोस में इसके तर्कों का एक विश्लेषणात्मक कार्य है , तो मूल्यों के काफी करीब के लिए, कॉची समस्या का एक अनूठा समाधान है, जिसे एक शक्ति श्रृंखला (टेलर श्रृंखला) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

उपरोक्त कॉची समस्या पर विचार करें। हम एक बिंदु के पड़ोस में शक्तियों में टेलर श्रृंखला के रूप में n वें क्रम DE के लिए कॉची समस्या का समाधान तलाशेंगे।

श्रृंखला के गुणांक बिंदु पर गणना किए गए फ़ंक्शन के व्युत्पन्न हैं।

आइए उन्हें ढूंढते हैं:

1) प्रारंभिक स्थितियों से, हम पहले n विस्तार गुणांक निर्धारित करते हैं:

;

2) (n + 1) -th गुणांक का मान DU में मानों को प्रतिस्थापित करके निर्धारित किया जाता है:

3) बाद के सभी गुणांकों को खोजने के लिए, हम मूल DE के बाएँ और दाएँ पक्षों को क्रमिक रूप से अलग करेंगे और प्रारंभिक स्थितियों और पहले से प्राप्त सभी गुणांकों का उपयोग करके गुणांकों के मूल्यों की गणना करेंगे।

टिप्पणी।यदि अस्तित्व की शर्तें और समाधान के लिए विशिष्टता प्रमेय संतुष्ट हैं, तो प्राप्त टेलर श्रृंखला का आंशिक योग कॉची समस्या का अनुमानित समाधान होगा।

अनुक्रमिक विभेदन की विधि का एल्गोरिथ्म

1. हल y (x) को घातों में अनंत घात श्रेणी के रूप में लिखिए:

, कहां

2. प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करते हुए पहले n गुणांक (यहाँ n मूल समीकरण का क्रम है) के मान निर्धारित करें।

3. डीई से उच्चतम व्युत्पन्न व्यक्त करें। प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके प्रारंभिक बिंदु पर इसके मूल्य की गणना करें। गुणांक की गणना करें।

4. x के संबंध में मद 3 से उच्चतम अवकलज के व्यंजक में अंतर करते हुए, फलन का n + 1 अवकलज ज्ञात कीजिए। प्रारंभिक स्थितियों का उपयोग करके प्रारंभिक बिंदु पर इसके मूल्य की गणना करें और चरण 3 में गणना की गई उच्चतम व्युत्पन्न के मूल्य की गणना करें। गुणांक की गणना करें।

5. शेष गुणांकों की गणना मद 4 में वर्णित प्रक्रिया के समान ही की जाती है।