चौथी डिग्री के उदाहरणों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें। चौथी डिग्री का समीकरण. चौथी डिग्री के द्विघात समीकरणों को हल करना
कार्डानो द्वारा घन समीकरणों को हल करने के लिए एक विधि प्रकाशित करने के तुरंत बाद, उनके छात्रों और अनुयायियों ने चौथी डिग्री के सामान्य समीकरण को घन समीकरण में कम करने के तरीके ढूंढे। आइए हम सबसे सरल विधि प्रस्तुत करें, जो एल. फेरारी से संबंधित है।
विधि प्रस्तुत करते समय, आपको निम्नलिखित प्राथमिक प्रमेयिका का उपयोग करने की आवश्यकता होगी।
लेम्मा. एक द्विघात त्रिपद को एक रैखिक द्विपद का वर्ग बनाने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि इसका विभेदक शून्य के बराबर हो।
सबूत। आवश्यकता. होने देना । फिर पर्याप्तता. चलो फिर
प्रस्तुत विधि का विचार समीकरण के बाएँ पक्ष को दो वर्गों के अंतर के रूप में प्रस्तुत करना है। फिर इसे दूसरी डिग्री के दो कारकों में विघटित किया जा सकता है, और समीकरण को हल करने से दो द्विघात समीकरण हल हो जाएंगे। लक्ष्य प्राप्त करने के लिए, आइए बाईं ओर को इस रूप में प्रस्तुत करें:
यहां y एक सहायक अज्ञात है, जिसे चुना जाना चाहिए ताकि वर्ग कोष्ठक में अभिव्यक्ति एक रैखिक द्विपद का वर्ग बन जाए। लेम्मा के आधार पर, इसके लिए शर्त को पूरा करना आवश्यक और पर्याप्त है
यह स्थिति y के संबंध में तीसरी डिग्री का एक समीकरण है। कोष्ठक खोलने के बाद इसे फॉर्म में बदल दिया जाता है
आइए इस समीकरण की जड़ों में से एक बनें। तब शर्त पूरी होगी, ऐसा ही है
कुछ k और I के लिए। मूल समीकरण रूप लेता है
प्रत्येक गुणनखंड को शून्य के बराबर करने पर, हम मूल समीकरण के चार मूल ज्ञात करेंगे।
चलिए एक और टिप्पणी करते हैं. पहले कारक की जड़ें बनें, और दूसरे की जड़ें बनें। फिर, इन समानताओं को जोड़ने पर, हमें वह मिलता है
इस प्रकार, हमने चौथी डिग्री के मूल समीकरण की जड़ों के संदर्भ में सहायक घन समीकरण की जड़ के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त की है।
उदाहरण। प्रश्न हल करें। ऊपर उल्लिखित विधि के अनुसार, हम बाईं ओर को बदलते हैं:
अब डालते हैं. गठन के बाद हमें समीकरण मिलता है
यह देखना आसान है कि इस समीकरण का एक मूल संख्या है। इसे मूल समीकरण के रूपांतरित बाएँ पक्ष में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
गुणनखंडों को शून्य के बराबर करने पर, हमें प्राप्त होता है
जहां तक चौथी डिग्री से ऊपर के समीकरणों का सवाल है, अपेक्षाकृत विशेष रूप के समीकरणों के कुछ वर्ग ज्ञात थे जो रेडिकल में बीजगणितीय समाधान की अनुमति देते थे, यानी अंकगणितीय संचालन के परिणामों और जड़ निकालने की क्रिया के रूप में। हालाँकि, डिग्री पाँच और उससे अधिक के सामान्य समीकरणों का समाधान प्रदान करने के प्रयास अंततः 19वीं शताब्दी की शुरुआत तक असफल रहे। रफ़िनी और एबेल ने यह साबित नहीं किया कि चौथी डिग्री से ऊपर के सामान्य समीकरणों के लिए इस तरह का समाधान असंभव है। अंततः, 1830 में, प्रतिभाशाली फ्रांसीसी गणितज्ञ ई. गैलोज़ विशेष रूप से रेडिकल्स में सॉल्वेबिलिटी के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थितियाँ (जिन्हें सत्यापित करना काफी कठिन है) खोजने में कामयाब रहे। दिया गया समीकरण. उसी समय, गैलोज़ ने क्रमपरिवर्तन समूहों के सिद्धांत का निर्माण और उपयोग किया, जो उनके समय के लिए नया था।
सामान्य स्थिति में, चौथे-डिग्री समीकरण का समाधान उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने के तरीकों का उपयोग करके किया जाता है, उदाहरण के लिए, फेरारी विधि या हॉर्नर योजना का उपयोग करना। लेकिन कुछ चौथी डिग्री समीकरणों का समाधान सरल है।
कई विशेष प्रकार के चतुर्थ-डिग्री समीकरण हैं, जिन्हें हल करने की विधियाँ आप नीचे सीखेंगे:
- द्विघात समीकरण $ax^4+bx^2+c=0$;
- $ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ के रूप के पारस्परिक समीकरण;
- $ax^4+b=0$ के रूप के समीकरण।
चौथी डिग्री के द्विघात समीकरणों को हल करना
द्विघात समीकरण $ax^4+bx^2+c=0$ को चर $x^2$ को एक नए से प्रतिस्थापित करके द्विघात समीकरण में बदल दिया जाता है, उदाहरण के लिए, $y$। प्रतिस्थापन के बाद, नया परिणामी समीकरण हल किया जाता है, और फिर पाए गए चर का मान समीकरण $x^2=y$ में प्रतिस्थापित किया जाता है। समाधान का परिणाम समीकरण $x^2=y$ का मूल होगा।
उदाहरण 1
समीकरण $x(x-1)(x-2)(x-3)=24$ को हल करें:
आइए बहुपद में कोष्ठकों का विस्तार करें:
$(x^2-3x)(x^2-3x+2)=24$
इस रूप में, यह स्पष्ट हो जाता है कि हम अभिव्यक्ति $y=x^2-3x$ को एक नए चर के रूप में चुन सकते हैं, आइए इसे प्रतिस्थापित करें:
$y\cdot (y+2)=24$
आइए अब दो द्विघात समीकरण $x^2-3x=-4$ और $x^2-3x=-6$ को हल करें।
पहले समीकरण की जड़ें $x_1(1,2)=4;-1$ हैं, दूसरे का कोई समाधान नहीं है।
घात 4 के व्युत्क्रम समीकरणों को हल करना
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0$ के रूप के ये समीकरण निचले क्रम के पदों के लिए अपने गुणांक के साथ उच्च डिग्री वाले बहुपदों के गुणांक को दोहराते हैं। ऐसे समीकरण को हल करने के लिए, पहले इसे $x^2$ से विभाजित करें:
$ax^4+bx^3+cx^2 +bx+ a=0|:x^2$
$ax^2+bx+c+\frac(b)(x) + \frac(a)(x^2)=0$
$a(x^2+\frac(1)(x^2))+b(x+\frac(1)(x)) + c=0$
फिर $(x+\frac(1)(x))$ को एक नए वेरिएबल से बदलें, फिर $(x^2+\frac(1)(x^2))=y^2-2$, प्रतिस्थापन के बाद हमें मिलता है निम्नलिखित द्विघात समीकरण:
$a(y^2-2)+by+c=0$
इसके बाद, हम समीकरण $x+\frac(1)(x)=y_1$ और $x+\frac(1)(x)=y_2$ के मूलों की तलाश करते हैं।
$ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ के रूप के पारस्परिक समीकरणों को हल करने के लिए एक समान विधि का उपयोग किया जाता है।
उदाहरण 2
प्रश्न हल करें:
$3x^4-2x^3-9x^2-4x+12=0$
यह समीकरण $ax^4+bx^3+cx^2 +kbx+ k^2a=0$ के रूप का एक पारस्परिक समीकरण है। इसलिए, हम पूरे समीकरण को $x^2$ से विभाजित करते हैं:
$3x^2-2x-9 \cdot \frac(2 \cdot 2)(x)+3 \cdot (\frac(2)(x))^2=0$
$3(x^2+\frac(4)(x^2))-2(x+\frac(2)(x)-9=0$
आइए अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करें $x+\frac(2)(x)$: $3(y^2-4)-2y-9=0$
आइए इस समीकरण की जड़ों की गणना करें, वे $y_1=3$ और $y_2=-\frac(7)(3)$ के बराबर हैं।
तदनुसार, अब दो समीकरणों $x+\frac(2)(x)=3$ और $x+\frac(2)(x)=-\frac(7)(3)$ को हल करना आवश्यक है। पहले समीकरण का हल $x_1=1, x_2=2$ है, दूसरे समीकरण का कोई मूल नहीं है।
इसलिए, मूल समीकरण की जड़ें $x_1=1, x_2=2$ हैं।
$ax^4+b=0$ के रूप के समीकरण
इस प्रकार के समीकरण के मूल संक्षिप्त गुणन सूत्रों का उपयोग करके पाए जाते हैं।
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = 0
सबसे पहले आपको चयन विधि का उपयोग करके एक रूट ढूंढना होगा। आमतौर पर यह मुक्त पद का विभाजक होता है। इस मामले में, संख्या के भाजक 12 हैं ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12.आइए उन्हें एक-एक करके प्रतिस्थापित करना शुरू करें:
1: 2 + 5 - 11 - 20 + 12 = -12 ⇒ संख्या 1
-1: 2 - 5 - 11 + 20 + 12 = 18 ⇒ संख्या -1 बहुपद का मूल नहीं है
2: 2 ∙ 16 + 5 ∙ 8 - 11 ∙ 4 - 20 ∙ 2 + 12 = 0 ⇒ संख्या 2 बहुपद का मूल है
हमें बहुपद का 1 मूल मिला है। बहुपद का मूल है 2, जिसका अर्थ है कि मूल बहुपद को विभाज्य होना चाहिए एक्स - 2. बहुपदों का विभाजन करने के लिए, हम हॉर्नर की योजना का उपयोग करते हैं:
| 2 | 5 | -11 | -20 | 12 | |
| 2 |
मूल बहुपद के गुणांक शीर्ष पंक्ति में प्रदर्शित होते हैं। हमें जो रूट मिला वह दूसरी पंक्ति के पहले सेल में रखा गया है 2. दूसरी पंक्ति में विभाजन से उत्पन्न बहुपद के गुणांक शामिल हैं। उनकी गणना इस प्रकार की जाती है:
| दूसरी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 2, बस इसे पहली पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर। | ||||||||||||
| 2 ∙ 2 + 5 = 9 | ||||||||||||
| 2 ∙ 9 - 11 = 7 | ||||||||||||
| 2 ∙ 7 - 20 = -6 | ||||||||||||
| 2 ∙ (-6) + 12 = 0 |
अंतिम संख्या भाग का शेष भाग है। यदि यह 0 के बराबर है, तो हमने सब कुछ सही ढंग से गणना की है।
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(2x 3 + 9x 2 + 7x - 6)
लेकिन ये अंत नहीं है. आप इसी प्रकार बहुपद का विस्तार करने का प्रयास कर सकते हैं 2x 3 + 9x 2 + 7x - 6.
फिर से हम मुक्त पद के विभाजकों के बीच एक मूल की तलाश कर रहे हैं। संख्या विभाजक -6 हैं ±1, ±2, ±3, ±6.
1: 2 + 9 + 7 - 6 = 12 ⇒ संख्या 1 बहुपद का मूल नहीं है
-1: -2 + 9 - 7 - 6 = -6 ⇒ संख्या -1 बहुपद का मूल नहीं है
2: 2 ∙ 8 + 9 ∙ 4 + 7 ∙ 2 - 6 = 60 ⇒ संख्या 2 बहुपद का मूल नहीं है
-2: 2 ∙ (-8) + 9 ∙ 4 + 7 ∙ (-2) - 6 = 0 ⇒ संख्या -2 बहुपद का मूल है
आइए पाए गए रूट को हमारी हॉर्नर योजना में लिखें और खाली कोशिकाओं को भरना शुरू करें:
| तीसरी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 2, बस इसे दूसरी पंक्ति के संबंधित सेल से ले जाकर। | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 2 + 9 = 5 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ 5 + 7 = -3 | ||||||||||||||||||
| -2 ∙ (-3) - 6 = 0 |
इस प्रकार, हमने मूल बहुपद का गुणनखंड किया:
2x 4 + 5x 3 - 11x 2 - 20x + 12 = (x - 2)(x + 2)(2x 2 + 5x - 3)
बहुपद 2x 2 + 5x - 3गुणनखंडित भी किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, आप विवेचक के माध्यम से द्विघात समीकरण को हल कर सकते हैं, या आप संख्या के विभाजकों के बीच मूल की तलाश कर सकते हैं -3. किसी भी तरह, हम इस निष्कर्ष पर पहुंचेंगे कि इस बहुपद का मूल संख्या है -3
| चौथी पंक्ति के दूसरे सेल में हम संख्या लिखते हैं 2, बस इसे तीसरी पंक्ति में संबंधित सेल से ले जाकर। | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ 2 + 5 = -1 | ||||||||||||||||||||||||
| -3 ∙ (-1) - 3 = 0 |
इस प्रकार, हमने मूल बहुपद को रैखिक गुणनखंडों में विघटित कर दिया।
डेसकार्टेस-यूलर समाधान
प्रतिस्थापन करने पर, हमें निम्नलिखित रूप में एक समीकरण प्राप्त होता है (इसे "अपूर्ण" कहा जाता है):
य 4 + पीय 2 + क्यूय + आर = 0 .जड़ों य 1 , य 2 , य 3 , यऐसे समीकरणों में से 4 निम्नलिखित अभिव्यक्तियों में से एक के बराबर हैं:
जिसमें वर्णों के संयोजन को इस प्रकार चुना जाता है कि निम्नलिखित संबंध संतुष्ट हो:
,
और जेड 1 , जेड 2 और जेड 3 घन समीकरण के मूल हैं
फेरारी का समाधान
मुख्य लेख: फेरारी विधि
आइए हम चौथी डिग्री के समीकरण को इस रूप में प्रस्तुत करें:
एएक्स 4 + बीएक्स 3 + सीएक्स 2 + डीएक्स + इ = 0,इसका समाधान निम्नलिखित भावों से पाया जा सकता है:
यदि β = 0, हल करना यू 4 + α यू 2 + γ = 0और, प्रतिस्थापन करना 
, आइए जड़ें खोजें: . 
, (कोई भी वर्गमूल चिह्न काम करेगा), (तीन जटिल मूल, जिनमें से एक काम करेगा) 
दो ± s का चिह्न समान होना चाहिए, ± t - स्वतंत्र हैं। सभी मूल खोजने के लिए, आपको हस्ताक्षरित संयोजनों के लिए x खोजने की आवश्यकता है ± s ,± t = +,+ for +,− for −,+ for −,−. दोहरी जड़ें दो बार, तिगुनी जड़ें तीन बार और चतुर्धातुक जड़ें चार बार दिखाई देंगी। जड़ों का क्रम किस घनमूल पर निर्भर करता है यूचयनित। यह सभी देखें
- चौथी डिग्री के समीकरणों के आसानी से हल किए जाने वाले प्रकार: द्विघात समीकरण, चौथी डिग्री का व्युत्क्रम समीकरण
साहित्य
- कोर्न जी., कोर्न टी. (1974) गणित की पुस्तिका।
लिंक
- फेरारी का निर्णय
विकिमीडिया फ़ाउंडेशन. 2010.
देखें अन्य शब्दकोशों में "चौथी डिग्री समीकरण" क्या है:
चौथी डिग्री समीकरण- - [एल.जी. सुमेंको। सूचना प्रौद्योगिकी पर अंग्रेजी-रूसी शब्दकोश। एम.: राज्य उद्यम टीएसएनआईआईएस, 2003।] विषय सूचान प्रौद्योगिकीसामान्यतः EN चतुर्थक समीकरण... तकनीकी अनुवादक की मार्गदर्शिका
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समीकरणों का उपयोग हमारे जीवन में व्यापक है। इनका उपयोग कई गणनाओं, संरचनाओं के निर्माण और यहां तक कि खेलों में भी किया जाता है। प्राचीन काल में मनुष्य ने समीकरणों का प्रयोग किया और तब से इनका प्रयोग बढ़ता ही गया। इस प्रकार के समीकरणों का समाधान उच्च डिग्री के समीकरणों को हल करने की सामान्य योजना के अनुसार किया जा सकता है। फेरारी पद्धति की बदौलत इस प्रकार के समीकरणों के समाधान रेडिकल में होते हैं, जो किसी को घन समीकरण के समाधान को कम करने की अनुमति देता है। हालाँकि, ज्यादातर मामलों में, एक बहुपद का गुणनखंड करके, आप जल्दी से समीकरण का समाधान पा सकते हैं।
मान लीजिए हमें चौथी डिग्री का द्विपद समीकरण दिया गया है:
आइए बहुपद का गुणनखंड करें:
हम पहले द्विघात त्रिपद की जड़ें निर्धारित करते हैं:
हम दूसरे त्रिपद की जड़ें निर्धारित करते हैं:
परिणामस्वरूप, मूल समीकरण की चार जटिल जड़ें हैं:
मैं चौथी डिग्री के समीकरणों को ऑनलाइन कहां हल कर सकता हूं?
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