रबर के कंगन

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में कम करने योग्य बहुपद। परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में एक बहुपद का विस्तार। परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में बहुपद

कोई भी सम्मिश्र संख्या समतल पर एक बिंदु निर्दिष्ट करती है। तर्क एक जटिल तल पर स्थित होंगे, फ़ंक्शन मान दूसरे जटिल तल पर स्थित होंगे।

F(z) एक जटिल चर का जटिल कार्य है। एक जटिल चर के जटिल कार्यों के बीच, निरंतर कार्यों का वर्ग सामने आता है।

डेफ़: एक जटिल चर के एक जटिल कार्य को निरंतर कहा जाता है यदि, जैसे कि, .+

ज्यामितीय अर्थ इस प्रकार है:

जटिल तल में एक वृत्त निर्दिष्ट करता है, जिसका केंद्र बिंदु z0 और त्रिज्या है< . Аналогично в другой комплексной плоскости неравенство задает круг с радиусом меньше .

प्रमेय 1: बहुपद f(z)जोड़ें। जटिल तल में किसी भी बिंदु पर C(z) सतत है।

उपफल: सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में एक बहुपद का मापांक एक सतत फलन है।

प्रमेय 2: - जटिल गुणांक वाले बहुपदों की एक अंगूठी, फिर ऐसे मान।

प्रमेय 3. (बहुपद के मापांक में असीमित वृद्धि के बारे में):

बीजगणित का मौलिक प्रमेय:

सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में किसी भी बहुपद, जिसका घात 0 नहीं है, का सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में कम से कम एक मूल होता है।

(हम प्रमाण में निम्नलिखित कथनों का उपयोग करेंगे):

डी.: 1. यदि a n =0, तो z=0, f(z) का मूल है।

2. यदि n 0 है, तो प्रमेय 3 के अनुसार, असमानता जटिल तल में एक क्षेत्र को परिभाषित करती है जो त्रिज्या S के वृत्त के बाहर स्थित है। इस क्षेत्र में कोई जड़ें नहीं हैं, क्योंकि इसलिए, बहुपद f(z) के मूलों को क्षेत्र के अंदर खोजा जाना चाहिए।

आइये T1 से विचार करें. इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि f(z) सतत है। वीयरस्ट्रैस के प्रमेय के अनुसार, यह किसी बंद क्षेत्र में किसी बिंदु पर अपने न्यूनतम तक पहुँच जाता है, अर्थात। . आइए हम दिखाएं कि बिंदु एक न्यूनतम बिंदु है। क्योंकि 0 ई, तो, क्योंकि f-ii के मान के क्षेत्र E के बाहर, तो z 0 संपूर्ण जटिल तल पर न्यूनतम बिंदु है। आइये दिखाते हैं कि f(z 0)=0. आइए मान लें कि यह मामला नहीं है, तो डी'अलेम्बर्ट के लेम्मा द्वारा, हमें एक विरोधाभास मिलता है, क्योंकि z 0 न्यूनतम बिंदु.

बीजगणितीय समापन:

डेफ़: एक फ़ील्ड P को बीजगणितीय रूप से बंद कहा जाता है यदि इस फ़ील्ड पर कम से कम एक जड़ हो।

प्रमेय: सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है। (डी-बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है)।

तर्कसंगत और वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद नहीं हैं।

विघटनशीलता:

प्रमेय: 1 से ऊपर की घात वाली जटिल संख्याओं के क्षेत्र में किसी भी बहुपद को रैखिक कारकों के उत्पाद में विघटित किया जा सकता है।

उपफल 1. सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में घात n वाले बहुपद में बिल्कुल n मूल होते हैं।

अगला 2: 1 से अधिक घात वाली सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में कोई भी बहुपद हमेशा कम करने योग्य होता है।

डेफ़: बहुलता C\R की संख्या, अर्थात। a+bi रूप की संख्याएँ, जहाँ b 0 के बराबर नहीं है, काल्पनिक कहलाती हैं।

2. एक क्षेत्र पर बहुपद। दो बहुपदों की जीसीडी और यूक्लिडियन एल्गोरिथम। एक बहुपद का अघुलनशील कारकों के उत्पाद में अपघटन और इसकी विशिष्टता।

हार।अज्ञात में बहुपद (बहुपद)। एक्समैदान के ऊपर आरबुलाया पूर्णांक गैर-नकारात्मक घातों का बीजगणितीय योग एक्स, क्षेत्र से कुछ गुणांक के साथ लिया गया आर.

aiÎP या कहां है

बहुपद कहलाते हैं बराबर, यदि उनके गुणांक अज्ञात की संगत शक्तियों के लिए समान हैं।

बहुपद की घात कहलाती है।अज्ञात सूचक का सबसे बड़ा मान, जिसका गुणांक शून्य से भिन्न है।

संकेतक: N(f(x))=n

एक क्षेत्र में सभी बहुपदों का समुच्चय आरद्वारा चिह्नित: पी[x].

घात शून्य के बहुपद क्षेत्र तत्वों से मेल खाते हैं आर, शून्य से भिन्न एक शून्य बहुपद है, इसकी डिग्री अनिश्चित है।

बहुपदों पर संक्रियाएँ.

1. जोड़.

मान लीजिए n³s, तो , N(f(x)+g(x))=n=max(n,s)।

<पी[एक्स],+>

जोड़ प्रचालन संभव है और विशिष्टता फ़ील्ड तत्वों को जोड़ने की विशिष्टता से आती है
संबद्धता
शून्य तत्व
दिए गए के विपरीत बहुपद
क्रमपरिवर्तनशीलता

- एबेलियन समूह

2. गुणन.

बीजगणितीय संरचना की खोज<पी[एक्स],*>

ऑपरेशन संभव है, क्योंकि फ़ील्ड में गुणन संक्रिया निष्पादित की जाती है। विशिष्टता क्षेत्र में संचालन की स्पष्टता से आती है आर.
संबद्धता
इकाई बहुपद
केवल शून्य डिग्री तक के बहुपद व्युत्क्रमणीय होते हैं

<पी[एक्स],*>- पहचान तत्व के साथ अर्धसमूह (मैनॉइड)

वितरणात्मक कानून संतुष्ट हैं, इसलिए,<पी[एक्स],+,*>पहचान के साथ एक क्रमविनिमेय वलय है।

बहुपदों की विभाज्यता

ओडीए:बहुपद एफ(एक्स), एफ(एक्स)ओपी[एक्स], पी- क्षेत्र एक बहुपद द्वारा विभाज्य है g(x), g(x)≠0, g(x)OP[x],यदि ऐसा कोई बहुपद मौजूद है h(x)OP[x], वह f(x)=g(x)h(x)

विभाज्यता गुण:

उदाहरण:, एक कॉलम से विभाजित करें gcd =( एक्स+3)

शेषफल के साथ विभाजन प्रमेय:किसी भी बहुपद के लिए f (एक्स), जी(एक्स)ओपी[एक्स],केवल एक बहुपद है क्यू(एक्स) और आर(एक्स)ऐसा है कि f(x)=g(x)q(x)+r(x), N(r(x)) या आर(एक्स)=0.

दस्तावेज़ विचार: हम अस्तित्व में दो मामलों पर विचार करते हैं एन डिग्री जी(एक्स))और f को विभाजित करें (एक्स)जी पर (एक्स). दस्तावेज़ की विशिष्टता विरोधाभासी है.

ओडीए:एफ (x) और g(x), f(x), g(x)OP[x], h(x)OP[x]जीसीडी एफ कहा जाता है (एक्स) और जी(एक्स)अगर

यूक्लिड का एल्गोरिदम

आइए क्रमिक विभाजन की प्रक्रिया को लिखें

f(x)=g(x)q 1 (x)+r 1 (x) (1)

जी(एक्स)= आर 1 (एक्स) क्यू 2 (एक्स)+आर 2 (एक्स) (2)

आर 1 (एक्स)= आर 2 (एक्स) क्यू 3 (एक्स)+आर 3 (एक्स) (3), आदि।

r k-2 (x)= r k-1 (x) q k (x)+r k (x) (k)

r k-1 (x)= r k (x) q k+1 (x) (k+1)

GCD(f(x),g(x))=d(x)=r k (x)

यह विचार प्रमाण है: हम दिखाते हैं कि 1 ) एफ(एक्स):(पूरी तरह) डी(एक्स) और जी(एक्स):(पूरी तरह से) डी(एक्स); 2) एफ(एक्स):(पूरी तरह से) एच(एक्स) और जी(एक्स):(पूरी तरह) एच(एक्स)हम वो दिखाते हैं डी(एक्स):(पूरी तरह) एच(एक्स).

जीसीडी का रैखिक प्रतिनिधित्व

टी: यदि डी(एक्स) - बहुपदों की जीसीडी एफ (एक्स) और जी(एक्स), तो वहाँ बहुपद v मौजूद हैं (एक्स) और यू(एक्स)ओपी[एक्स],क्या f(x)u(x)+g(x)v(x)=d(x).

डेफ़: f(x) और g(x)OP[x]हमेशा उभयनिष्ठ भाजक होते हैं, अर्थात् घात शून्य के बहुपद, जो क्षेत्र P से मेल खाते हैं, यदि कोई अन्य उभयनिष्ठ भाजक नहीं है, तो f(x) और g(x) सहअभाज्य हैं। (पद का नाम: (f(x),g(x))=1)

टी:एफ (एक्स) और जी(एक्स) अपेक्षाकृत प्रमुख i.i.t.k हैं। ऐसे बहुपद v(x) और u(x)ОP[x] मौजूद हैं f(x)u(x)+g(x)v(x)=1.

सहअभाज्य बहुपदों के गुण

(f(x),g(x))=1, (f(x),q(x))=1, फिर (f(x),g(x)*q(x))=1

f(x)*g(x):(पूरी तरह से)h(x) और (f(x),g(x))=1, फिर g(x):(पूरी तरह से) h(x)

f(x):(पूरी तरह से)g(x), f(x):(पूरी तरह से)h(x) और ( g(x),h(x))=1, फिर f(x):(पूरी तरह से) g(x)*h(x)

ओडीए:बहुपद f(x), f(x)OP[x] कहलाता है दिया गयाफ़ील्ड P पर, यदि इसे उन कारकों में विघटित किया जा सकता है जिनकी डिग्री 0 से अधिक और डिग्री f(x) से कम है, यानी।

एफ (x)=f 1 (x)f 2 (x), जहां डिग्री एफ 1 और एफ 2 >0,

बहुपदों की न्यूनता उस क्षेत्र पर निर्भर करती है जिस पर उन पर विचार किया जाता है। एक बहुपद क्षेत्र Q पर अघुलनशील है (एक बहुपद जिसे कम डिग्री के कारकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है), और क्षेत्र R पर कम करने योग्य है।

अघुलनशील बहुपदों के गुण:

घात शून्य का बहुपद किसी भी क्षेत्र पर कम करने योग्य होता है

यदि एक बहुपद एफ(एक्स) क्षेत्र के ऊपर कम करने योग्य नहीं आर, फिर बहुपद a एफ(एक्स) क्षेत्र के ऊपर भी कम करने योग्य नहीं है आर.

मान लीजिए बहुपद f (एक्स)और पी(एक्स) मैदान के ऊपर आर, और पी(एक्स) - एक क्षेत्र पर अप्रासंगिक आर, तो मामले संभव हैं

1) बहुपद एफ (एक्स)और पी(एक्स) अपेक्षाकृत प्रमुख हैं

2) एफ(एक्स):(पूरी तरह से) पी(एक्स)

एक फ़ील्ड F को बीजगणितीय रूप से बंद कहा जाता है यदि F पर सकारात्मक डिग्री वाले किसी बहुपद का मूल F में हो।
प्रमेय 5.1 (बहुपद बीजगणित का मौलिक प्रमेय)।सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है।
परिणाम 5 .1.1. ऊपर साथकेवल प्रथम श्रेणी के अघुलनशील बहुपद होते हैं।
परिणाम 5.1.2. बहुपद एन-th डिग्री ऊपर साथयह है एनजटिल जड़ें.
प्रमेय 5.2. यदि एक बहुपद का एक जटिल मूल है एफवास्तविक गुणांकों के साथ, तो सम्मिश्र संयुग्म संख्या भी एक मूल है एफ.
परिणाम 5 .2.1. ऊपर आरकेवल पहली या दूसरी डिग्री के अघुलनशील बहुपद होते हैं।
परिणाम 5.2.2. एक बहुपद की काल्पनिक जड़ें आरजटिल संयुग्मों के जोड़े में विघटित हो जाते हैं।
उदाहरण 5.1. अप्रासंगिक कारकों में कारक खत्म साथऔर ऊपर दिए गए आरबहुपद एक्स 4 + 4.
समाधान। हमारे पास है
एक्स 4 + 4 =एक्स 4 + 4एक्स 2 + 4 – 4एक्स 2 = (एक्स 2 + 2) 2 – 4एक्स 2 = (एक्स 2 – 2एक्स+ 2)(एक्स 2 + 2एक्स+ 2) –
विस्तार खत्म आर. सामान्य तरीके से कोष्ठकों में दूसरी डिग्री के बहुपदों की जटिल जड़ों को खोजने के बाद, हम एक विस्तार प्राप्त करते हैं साथ:
एक्स 4 + 4 = (एक्स – 1 – मैं) (एक्स – 1 + मैं) (एक्स + 1 – मैं) (एक्स + 1 + मैं).
उदाहरण 5.2. मूल 2 और 1 + वाले वास्तविक गुणांक वाले सबसे छोटी डिग्री वाले बहुपद की रचना करें मैं.
समाधान। उपफल 5.2.2 के अनुसार, बहुपद के मूल 2, 1- होने चाहिए। मैं और 1+ मैं. इसके गुणांक विएटा के सूत्रों का उपयोग करके पाए जा सकते हैं:
 1 = 2 + (1 – मैं) + (1 +मैं) = 4;
 2 = 2(1 – मैं) + 2(1 + मैं) + (1 – मैं)(1 + मैं) = 6;
 3 = 2(1 – मैं)(1 + मैं) = 4.
यहाँ से एफ =एक्स 3 – 4एक्स 2 + 6एक्स– 4.
व्यायाम.
5.1. अप्रासंगिक कारकों में कारक खत्म साथऔर ऊपर दिए गए आरबहुपद:
ए) एक्स 3 – 6एक्स 2 + 11एक्स – 6;
बी) एक्स 4 – 10एक्स 2 + 1.
5.2. दोहरे मूल 1 और सरल मूल 1 - 2 वाले वास्तविक गुणांकों के साथ सबसे छोटी डिग्री के बहुपद का निर्माण करें मैं.
6. परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में बहुपद
प्रमेय 6.1 (ईसेनस्टीन मानदंड)। होने देना एफ = ए 0 + ए 1 एक्स + ...+ ए एन एक्स एन- पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद। यदि ऐसी कोई अभाज्य संख्या है पी, क्या ए 0 , ए 1 , … , ए एन-1 से विभाजित किया गया है पी, ए एनसे विभाज्य नहीं है पी,ए 0 से विभाज्य नहीं है पी 2, फिर एफ परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में कम करने योग्य नहीं।
व्यायाम 6.1. अप्रासंगिकता को सिद्ध करें क्यूबहुपद:
ए) एफ= 2एक्स 5 + 3एक्स 4 – 9एक्स 3 – 6एक्स+3;बी) एफ= 5एक्स 4 + 6एक्स 3 – 18एक्स 2 – 12एक्स + 54.
प्रमेय 6.2. होने देना - एक अपरिवर्तनीय भिन्न जो बहुपद का मूल है एफ = ए 0 + ए 1 एक्स + … + ए एन एक्स एनपूर्णांक गुणांक के साथ. तब
ए 0  पी, ए एन  क्यू;
एफ(1)  पी क्यू,एफ(–1)  पी+क्यू.

यह प्रमेय हमें पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के तर्कसंगत मूल खोजने की समस्या को हल करने की अनुमति देता है। ऐसा करने के लिए, हम मुक्त पद के सभी भाजक और अग्रणी गुणांक निर्धारित करते हैं और उनसे सभी प्रकार के अपरिवर्तनीय भिन्नों का निर्माण करते हैं। इन भिन्नों में सभी तर्कसंगत जड़ें समाहित हैं। उन्हें निर्धारित करने के लिए, आप हॉर्नर की योजना का उपयोग कर सकते हैं। इसमें अनावश्यक गणनाओं से बचने के लिए हम प्रमेय 6.2 के कथन 2) का उपयोग करते हैं।
उदाहरण 6.1. एक बहुपद के परिमेय मूल ज्ञात कीजिए
एफ = 2एक्स 4 + 7एक्स 3 + 3एक्स 2 – 15एक्स– 18.
समाधान। हम उन सभी भिन्नों को लिखते हैं जिनके अंश पी - भाजक 18 और हर हैं क्यू- डिवाइडर 2:
1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.
हम हॉर्नर की योजना के अनुसार उनकी जाँच करते हैं:

एक टिप्पणी

एफ(1) = –21  पी क्यू

एफ(–1) = –3  पी+क्यू

एक्स 1 = –2

एक्स 2 = 3/2

जड़ ढूँढना एक्स 1 = -2 और बहुपद को विभाजित करने पर एक्स+2, हमें एक नए मुक्त पद -9 के साथ एक बहुपद मिलता है (इसके गुणांक रेखांकित हैं)। शेष मूलों के अंश इस संख्या के विभाजक होने चाहिए, और जो भिन्न इस शर्त को पूरा नहीं करते उन्हें सूची से बाहर किया जा सकता है। शेष पूर्णांक मानों को बाहर रखा गया है क्योंकि वे शर्त को पूरा नहीं करते हैं एफ(1)पी – क्यू या एफ(–1)पी + क्यू. उदाहरण के लिए, 3 के लिए हमारे पास है पी = 3, क्यू= 1, और शर्त पूरी नहीं हुई एफ(1) = –21पी – क्यू(साथ ही दूसरी शर्त)।
इसी प्रकार, जड़ को खोजना एक्स 2 = 3/2, हमें 3 के नए मुक्त पद और 1 के अग्रणी गुणांक के साथ एक बहुपद मिला (जब मूल भिन्नात्मक हो, तो परिणामी बहुपद के गुणांक कम किए जाने चाहिए)। सूची में से कोई भी शेष संख्या अब इसका मूल नहीं हो सकती है, और परिमेय मूलों की सूची समाप्त हो गई है।
पाई गई जड़ों की बहुलता के लिए जाँच की जानी चाहिए।
यदि हल करने की प्रक्रिया में हम दूसरी डिग्री के बहुपद पर पहुँचे, और भिन्नों की सूची अभी तक समाप्त नहीं हुई है, तो शेष मूलों को वर्ग त्रिपद के मूलों के रूप में सामान्य सूत्रों का उपयोग करके पाया जा सकता है।
व्यायाम 6.2. बहुपद के परिमेय मूल ज्ञात कीजिए

ए) एक्स 3 – 6एक्स 2 + 15एक्स– 14;
बी) एक्स 5 – 7एक्स 3 – 12एक्स 2 + 6एक्स+ 36;
दो पर एक्स 4 – 11एक्स 3 + 23एक्स 2 – 24एक्स+ 12;
घ) 4 एक्स 4 – 7एक्स 2 – 5एक्स– 1.

दशमलव संख्या प्रणाली में संख्याओं को गुणा और विभाजित करने के लिए एल्गोरिदम
औसत और सीमांत हानियों का मूल्य और नमूनों की आवश्यक संख्या
पीटर स्कार्गा की पुस्तक "अबाउट द यूनिटी ऑफ द चर्च ऑफ गॉड" 1577(?) आर पर पुष्टि। - ओस्ट्रोज़्की का पहला विवादास्पद बयान।
प्रश्न संख्या 1. ब्लास्ट फर्नेस में नमी का वाष्पीकरण और कार्बोनेट का अपघटन। कार्बोनेट अपघटन की ऊष्मप्रवैगिकी।
हम शून्य गुणांक वाले दोनों बहुपदों में सभी लुप्त घातों (और/या मुक्त पदों) को बिना अंतराल के लिखते हैं।

पूर्णांकों के वलय पर बने बहुपद को कहा जाता है प्राचीन, यदि इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है। तर्कसंगत गुणांक वाले एक बहुपद को विशिष्ट रूप से एक सकारात्मक तर्कसंगत संख्या के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे कहा जाता है सामग्रीबहुपद, और आदिम बहुपद। आदिम बहुपदों का गुणनफल एक आदिम बहुपद है। इस तथ्य से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में न्यूनीकरणीय है, तो यह पूर्णांकों के वलय पर न्यूनीकरणीय है। इस प्रकार, परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में एक बहुपद को अपरिवर्तनीय गुणनखंडों में विभाजित करने की समस्या पूर्णांकों के वलय पर एक समान समस्या में बदल जाती है।

पूर्णांक गुणांक और सामग्री 1 के साथ एक बहुपद होने दें, और इसकी तर्कसंगत जड़ होने दें। आइए एक बहुपद के मूल की एक अपरिवर्तनीय भिन्न के रूप में कल्पना करें। बहुपद एफ(एक्स) को आदिम बहुपदों के उत्पाद के रूप में दर्शाया गया है। इस तरह,

A. अंश भाजक है,

बी. भाजक - भाजक

C. किसी भी पूर्णांक के लिए कअर्थ एफ(क) - एक पूर्णांक जो बिना किसी शेषफल के विभाज्य है ( बीके-ए).

सूचीबद्ध गुण हमें एक बहुपद की तर्कसंगत जड़ों को खोजने की समस्या को एक सीमित खोज तक कम करने की अनुमति देते हैं। बहुपद विस्तार में एक समान दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है एफक्रोनकर विधि का उपयोग करके तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र में अपरिवर्तनीय कारकों को। यदि एक बहुपद एफ(एक्स) डिग्री एनदिए गए हैं, तो कारकों में से एक की डिग्री इससे अधिक नहीं है एन/2. आइए हम इस कारक को निरूपित करें जी(एक्स). चूँकि बहुपदों के सभी गुणांक पूर्णांक होते हैं, तो किसी भी पूर्णांक के लिए एअर्थ एफ(ए) शेषफल के बिना विभाज्य है जी(ए). आइए चुनें एम= 1+एन/2 विशिष्ट पूर्णांक एमैं, मैं=1,…,एम. संख्याओं के लिए जी(ए i) संभावनाओं की एक सीमित संख्या होती है (किसी भी गैर-शून्य संख्या के भाजक की संख्या सीमित होती है), इसलिए बहुपदों की एक सीमित संख्या होती है जो भाजक हो सकते हैं एफ(एक्स). संपूर्ण खोज करने के बाद, हम या तो बहुपद की अपरिवर्तनीयता दिखाएंगे, या इसे दो बहुपदों के उत्पाद में विस्तारित करेंगे। हम संकेतित योजना को प्रत्येक कारक पर तब तक लागू करते हैं जब तक कि सभी कारक अघुलनशील बहुपद नहीं बन जाते।

परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में कुछ बहुपदों की अपरिवर्तनीयता को एक सरल आइज़ेंस्टीन मानदंड का उपयोग करके स्थापित किया जा सकता है।

होने देना एफ(एक्स) पूर्णांकों के वलय पर एक बहुपद है। यदि कोई अभाज्य संख्या है पी, क्या

I. बहुपद के सभी गुणांक एफ(एक्स), उच्चतम डिग्री के लिए गुणांक के अलावा, में विभाजित हैं पी

द्वितीय. उच्चतम डिग्री के लिए गुणांक विभाज्य नहीं है पी

तृतीय. स्वतंत्र सदस्य को विभाजित नहीं किया गया है

फिर बहुपद एफ(एक्स) परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में अप्रासंगिक है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ईसेनस्टीन मानदंड बहुपदों की अपरिवर्तनीयता के लिए पर्याप्त शर्तें प्रदान करता है, लेकिन आवश्यक नहीं। अतः बहुपद तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र में अप्रासंगिक है, लेकिन आइज़ेंस्टीन मानदंड को पूरा नहीं करता है।

आइज़ेंस्टीन की कसौटी के अनुसार बहुपद, अपरिवर्तनीय है। परिणामस्वरूप, परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में घात का एक अपरिवर्तनीय बहुपद होता है एन, कहाँ एन 1 से बड़ी कोई प्राकृत संख्या।

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में, एक चर के किसी भी अप्रासंगिक बहुपद की घात 1 या 2 होती है, और घात 2 के बहुपद का क्षेत्र R पर अप्रासंगिक होता है यदि और केवल यदि इसमें एक नकारात्मक विभेदक हो, उदाहरण के लिए, एक बहुपद क्षेत्र R पर अप्रासंगिक होता है। वास्तविक संख्याओं का क्षेत्र क्योंकि इसका विभेदक ऋणात्मक है।

ईसेनस्टीन मानदंड एक बहुपद की अपरिवर्तनीयता के लिए एक परीक्षण है, जिसका नाम जर्मन गणितज्ञ फर्डिनेंड ईसेनस्टीन के नाम पर रखा गया है। (पारंपरिक) नाम के बावजूद, यह वास्तव में एक संकेत है, अर्थात, एक पर्याप्त शर्त - लेकिन बिल्कुल भी आवश्यक नहीं है, जैसा कि कोई "मानदंड" शब्द के गणितीय अर्थ के आधार पर मान सकता है।

प्रमेय (ईसेनस्टीन मानदंड)। मान लीजिए कि भाज्य वलय R पर एक बहुपद है ( एन>0), और कुछ अघुलनशील तत्व के लिए पीनिम्नलिखित शर्तें पूरी होती हैं:

से विभाज्य नहीं है पी,

द्वारा विभाजित पी, किसी के लिए भी मैंसे 0 पहले एन- 1,

से विभाज्य नहीं है.

तब बहुपद अप्रासंगिक हो जाता है एफनिजी रिंग फ़ील्ड आर.

परिणाम।बीजगणितीय संख्याओं के किसी भी क्षेत्र में किसी भी पूर्व निर्धारित डिग्री का एक अपरिवर्तनीय बहुपद मौजूद होता है; उदाहरण के लिए, एक बहुपद जहाँ एन>1 और पीЇ कुछ अभाज्य संख्या.

आइए इस मानदंड के अनुप्रयोग के उदाहरणों पर विचार करें जब R पूर्णांकों का एक वलय है और F परिमेय संख्याओं का एक क्षेत्र है।

उदाहरण:

Q पर बहुपद अपरिवर्तनीय है।

एक वृत्त का विभाजन बहुपद अपरिवर्तनीय है। वास्तव में, यदि यह कम करने योग्य है, तो हम बहुपद को भी कम करते हैं, और चूँकि इसके सभी गुणांक, पहले वाले को छोड़कर, द्विपद हैं, अर्थात, वे विभाज्य हैं पी, और अंतिम गुणांक `आमीन पीऔर इसके अलावा, यह धारणा के विपरीत, आइज़ेंस्टीन की कसौटी से विभाज्य नहीं है।

निम्नलिखित पाँच बहुपद अघुलनशील बहुपदों के कुछ प्राथमिक गुण प्रदर्शित करते हैं:

पूर्णांकों के वलय Z के ऊपर, पहले दो बहुपद न्यूनीकरणीय हैं, अंतिम दो अप्रासंगिक हैं। (तीसरा पूर्णांकों पर बिल्कुल भी बहुपद नहीं है)।

परिमेय संख्याओं के क्षेत्र Q पर, पहले तीन बहुपद न्यूनीकरणीय हैं, अन्य दो अप्रासंगिक हैं।

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र R पर, पहले चार बहुपद न्यूनीकरणीय हैं, लेकिन अप्रासंगिक हैं। वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में, वास्तविक मूलों के बिना रैखिक बहुपद और द्विघात बहुपद अघुलनशील होते हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में बहुपद के विस्तार का रूप होता है। इस विस्तार में दोनों कारक अपरिवर्तनीय बहुपद हैं।

सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र C पर, सभी पाँच बहुपद न्यूनीकरणीय हैं। वास्तव में, C पर प्रत्येक गैर-स्थिर बहुपद को इस रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है:

कहाँ एन- बहुपद की डिग्री, ए- अग्रणी गुणांक, - बहुपद की जड़ें। इसलिए, C पर एकमात्र अपरिवर्तनीय बहुपद रैखिक बहुपद (बीजगणित का मौलिक प्रमेय) हैं।

अघुलनशील बहुपद- एक बहुपद जिसे गैरतुच्छ बहुपदों में विघटित नहीं किया जा सकता। अघुलनशील बहुपद बहुपद वलय के अघुलनशील तत्व हैं।

किसी क्षेत्र पर एक अप्रासंगिक बहुपद एक बहुपद है किसी क्षेत्र पर चरों की संख्या रिंग का एक सरल तत्व है , यानी, एक उत्पाद के रूप में प्रतिनिधित्व नहीं किया जा सकता है, जहां और स्थिरांक के अलावा अन्य गुणांक वाले बहुपद हैं।

फ़ील्ड F पर एक बहुपद f को इरेड्यूसबल (सरल) कहा जाता है यदि इसकी एक सकारात्मक डिग्री है और इसमें कोई गैर-तुच्छ भाजक नहीं है (यानी, कोई भी भाजक या तो इसके साथ जुड़ा हुआ है या एक के साथ)

वाक्य 1

होने देना आर– अपरिवर्तनीय और ए- वलय F[x] का कोई भी बहुपद। तो कोई आरविभाजित ए, या आरऔर ए- परस्पर सरल.

वाक्य 2

होने देना एफ∈ F[x], और घात f = 1, जिसका अर्थ है कि f एक अपरिवर्तनीय बहुपद है।

उदाहरण के लिए: 1. क्षेत्र Q पर एक बहुपद x+1 लीजिए। इसकी डिग्री 1 है, जिसका अर्थ है कि यह अपरिवर्तनीय है।

2. x2 +1 – अपरिवर्तनीय, क्योंकि कोई जड़ नहीं है

एसएलयू. सिस्टम समाधान. सहकारी, असहयोगी, निश्चित और अनिश्चित व्यवस्थाएँ। समतुल्य प्रणालियाँ

चर x1,...xn के साथ फ़ील्ड F पर रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली फॉर्म की एक प्रणाली है

ए 11 एक्स 1 +… + ए 1nएक्स एन= बी 1

………………………..

ए एम1एक्स 1 +… + ए एम.एन.एक्स एन= बी एम

जहाँ एक इंद्रकुमार,बी मैं∈ एफ, एम समीकरणों की संख्या है, और एन अज्ञात की संख्या है। संक्षेप में, इस प्रणाली को इस प्रकार लिखा जा सकता है: ai1x1 +… + a मेंएक्स एन= बी मैं (मैं = 1,…म.)

यह SLE n मुक्त चर x वाली एक शर्त है 1,….хn.

एसएलएन को असंगत (कोई समाधान नहीं) और संगत (निश्चित और अनिश्चित) में विभाजित किया गया है। किसी प्रकार की सुसंगत प्रणाली को निश्चित कहा जाता है यदि उसका कोई अद्वितीय समाधान हो; यदि इसके कम से कम दो अलग-अलग समाधान हैं, तो इसे अनिश्चित कहा जाता है।

उदाहरण के लिए: Q फ़ील्ड के ऊपर

x + y = 2 - असंगत प्रणाली

x – y = 0 - संयुक्त निश्चित (x, y = ½)

2x + 2y = 2 - संयुक्त अनिश्चितकालीन

दो एल.यू. सिस्टम समतुल्य हैं यदि इन प्रणालियों के समाधानों के सेट मेल खाते हैं, अर्थात, एक प्रणाली का कोई भी समाधान एक साथ दूसरे का समाधान है। इसके समतुल्य एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है:

1. किसी एक समीकरण को इस समीकरण से गुणा करके किसी गैर-शून्य संख्या से प्रतिस्थापित करना।

2. इस समीकरण के योग वाले एक समीकरण को सिस्टम के दूसरे समीकरण से बदलना।

एसएलई का समाधान गाऊसी विधि द्वारा किया जाता है।

45* रैखिक समीकरणों (एसएलयू) की प्रणालियों का प्राथमिक परिवर्तन। गॉस विधि.

हार।S.L.U n-xia के प्राथमिक परिवर्तन निम्नलिखित परिवर्तन हैं:

1. सिस्टम के समीकरणों की प्रणाली में से किसी एक को क्षेत्र के गैर-शून्य तत्व से गुणा करना।

2. सिस्टम के समीकरणों में से एक में एक और समीकरण जोड़ने पर फ़ील्ड तत्व से गुणा किया जाता है।

3. गैर-शून्य समीकरण 0*x1+0*x2+…+0*xn=0 के सिस्टम में परिवर्धन या सिस्टम से बहिष्करण

4. उलटते समीकरण

सुझावमान लीजिए कि एक सीमित संख्या का उपयोग करके सिस्टम (**) या सिस्टम (*) प्राप्त किया जाता है। मौलिक परिवर्तन. फिर सिस्टम (**)~ सिस्टम (*)। (बिना दस्तावेज के)

डिप्टीरैखिक समीकरणों की प्रणाली लिखते समय, हम मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करेंगे।

ए11 ए12…ए1एन बी1

a21 a22 ... a2n b2

………………….... …

Am1 am2 ... amn вn

उदाहरण: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 1 0 1 x1=1

0 1 2 x2=2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 -1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

गॉस विधि

सुझावमान लीजिए सिस्टम (*) है

(ए) यदि सभी मुक्त पद 0 के बराबर हैं तो सभी वीके=0 कई समाधान = एफ एन

(बी) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (कोई समाधान नहीं)

2. सभी aij=0 नहीं

(ए) यदि सिस्टम में 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0 के रूप का समीकरण है

(बी) यदि ऐसे कोई समीकरण नहीं हैं b1. आइए गैर-शून्य समीकरणों को खत्म करें। आइए सबसे छोटा सूचकांक i1 ढूंढें, जैसे कि सभी गुणांक xij=0 पर नहीं हैं।

0……0……….. …. शून्य वाला दूसरा स्तंभ i1 है।

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1. समीकरणों को पुनर्व्यवस्थित करके हम a1i1 = 0 प्राप्त करेंगे

0 ..... 0... a1i1 = 0 .... .... (1). :=(असाइनमेंट) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1

A2i1........... .... 0... 0…1…. .... 0…. 0..1….. ….. ( कदम रखा

0…. 0… а2i1… 0…..0..0… …. आव्यूह)

0 ........... 0 .... अमि1.. ... ................................... .... ……………………….

0 ….0 ..अमि1… 0……0…………0 ….

चरणों की एक सीमित संख्या के बाद, हम प्राप्त करते हैं या तो सिस्टम में फॉर्म का एक समीकरण होता है 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0या

0……0 1………….. एल1 “फॉरवर्ड गॉसियन स्ट्रोक” 0....0 1...0..0 .....0........0.... .. “रिवर्स स्ट्रोक

0......0 0......1... एल2 0....0 0...1.........0.... . ....0.... ..गॉस"

0 .......00.......0....1 एल2 0....0 0......0........1... . ....0.... ..

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 लाख 0....0 0.......0....... ..0....0.......1 ..

हम वेरिएबल्स xi1, ...... xik को मुख्य कहेंगे, बाकी स्वतंत्र हैं।

k=n => c-a परिभाषित

क सी-एक अपरिभाषित. निःशुल्क चरों को व्युत्पन्न मान दिए जा सकते हैं, और मुख्य चरों के मानों की गणना की जा सकती है।

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2

						एक टिप्पणी
						एफ(1) = –21  पी क्यू
						एफ(–1) = –3  पी+क्यू

						एक्स 1 = –2


						एक्स 2 = 3/2