भाषण

एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप

योजना

1. सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण।

2. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय अंकन।

3.कार्रवाइयां जटिल आंकड़ेत्रिकोणमितीय रूप में।

सम्मिश्र संख्याओं का ज्यामितीय निरूपण।

क) सम्मिश्र संख्याओं को निम्नलिखित नियम के अनुसार समतल के बिंदुओं द्वारा निरूपित किया जाता है: ए + द्वि = एम ( ए ; बी ) (चित्र .1)।

चित्र 1

बी) एक जटिल संख्या को एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है जो बिंदु से शुरू होता हैहे और इस बिंदु पर अंत (चित्र 2)।

चित्र 2

उदाहरण 7. सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले प्लॉट बिंदु:1; - मैं ; - 1 + मैं ; 2 – 3 मैं (अंजीर। 3)।

चित्र तीन

सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय संकेतन।

जटिल संख्याजेड = ए + द्वि त्रिज्या वेक्टर का उपयोग करके सेट किया जा सकता है निर्देशांक के साथ( ए ; बी ) (अंजीर। 4)।

चित्र 4

परिभाषा . वेक्टर लंबाई एक सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करनाजेड , को इस संख्या का मापांक कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है याआर .

किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिएजेड इसका मॉड्यूलआर = | जेड | सूत्र द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है .

परिभाषा . वास्तविक अक्ष और सदिश की धनात्मक दिशा के बीच के कोण का परिमाण एक सम्मिश्र संख्या को निरूपित करना इस सम्मिश्र संख्या का तर्क कहलाता है और इसे निरूपित किया जाता हैए आरजी जेड याφ .

जटिल संख्या तर्कजेड = 0 अपरिभाषित जटिल संख्या तर्कजेड0 एक बहुमान मात्रा है और पद तक निर्धारित होती है2πk (के = 0; - 1; 1; - 2; 2; ...): आर्ग जेड = आर्ग जेड + 2πk , कहाँ पेआर्ग जेड - अंतराल में संलग्न तर्क का मुख्य मूल्य(-π; π] , अर्थात्-π < आर्ग जेड ≤ π (कभी-कभी तर्क का मुख्य मान अंतराल से संबंधित मान के रूप में लिया जाता है .

के लिए यह सूत्रआर =1 अक्सर Moivre सूत्र के रूप में जाना जाता है:

(क्योंकि + मैं पाप ) एन = क्योंकि (एनφ) + मैं पाप (एनφ), एन  एन .

उदाहरण 11. गणना करें(1 + मैं ) 100 .

आइए एक सम्मिश्र संख्या लिखें1 + मैं त्रिकोणमितीय रूप में।

ए = 1, बी = 1 .

क्योंकि = , पाप = , φ = .

(1 + मैं) 100 = [ (कोस + मैं पाप )] 100 = ( ) 100 (कोस 100 + मैं पाप 100) = = 2 50 (cos 25π + i sin 25π) = 2 50 (cos + i sin π) = - 2 50 .

4) किसी सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल निकालना।

किसी सम्मिश्र संख्या का वर्गमूल निकालते समयए + द्वि हमारे पास दो मामले हैं:

अगरबी > के बारे में , फिर ;

जटिल संख्या XI

§ 256. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

माना सम्मिश्र संख्या एक + द्वि वेक्टर से मेल खाता है ओए> निर्देशांक के साथ ( ए, बी ) (अंजीर देखें। 332)।

हम इस वेक्टर की लंबाई को द्वारा निरूपित करते हैं आर , और वह कोण जो यह अक्ष के साथ बनाता है एक्स , आर - पार φ ... साइन और कोसाइन की परिभाषा के अनुसार:

ए / आर = कोस φ , बी / आर = पाप φ .

इसलिए ए = आर क्योंकि φ , बी = आर पाप φ ... लेकिन इस मामले में, जटिल संख्या एक + द्वि के रूप में लिखा जा सकता है:

एक + द्वि = आर क्योंकि φ + आईआर पाप φ = आर (कोस φ + मैं पाप φ ).

जैसा कि आप जानते हैं, किसी भी सदिश की लंबाई का वर्ग उसके निर्देशांकों के वर्गों के योग के बराबर होता है। इसलिए आर 2 = ए 2 + बी 2, कहाँ से आर = a 2 + बी 2

इसलिए, कोई भी सम्मिश्र संख्या एक + द्वि के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है :

एक + द्वि = आर (कोस φ + मैं पाप φ ), (1)

जहां र = a 2 + बी 2, और कोण φ शर्त से निर्धारित होता है:

सम्मिश्र संख्याओं के लिए संकेतन के इस रूप को कहा जाता है त्रिकोणमितीय.

संख्या आर सूत्र में (1) कहा जाता है मापांकऔर कोण φ - तर्क, जटिल संख्या एक + द्वि .

यदि सम्मिश्र संख्या एक + द्वि शून्य के बराबर नहीं है, तो इसका मापांक धनात्मक होता है; अगर एक + द्वि = 0, तब ए = बी = 0 और फिर आर = 0.

किसी भी सम्मिश्र संख्या का मापांक विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है।

यदि सम्मिश्र संख्या एक + द्वि शून्य के बराबर नहीं है, तो इसका तर्क सूत्रों द्वारा निर्धारित किया जाता है (2) स्पष्ट 2 . के कोण गुणज के लिए सटीक π ... अगर एक + द्वि = 0, तब ए = बी = 0. इस मामले में आर = 0. सूत्र (1) से यह समझना आसान है कि तर्क के रूप में φ इस मामले में, आप कोई भी कोण चुन सकते हैं: आखिरकार, किसी के लिए भी φ

0 (कोस φ + मैं पाप φ ) = 0.

इसलिए, शून्य तर्क अपरिभाषित है।

जटिल संख्या मॉड्यूल आर कभी कभी निरूपित करें | जेड | और तर्क तर्क जेड ... आइए कुछ उदाहरण देखें कि त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व कैसे किया जा सकता है।

उदाहरण। एक. 1 + मैं .

मॉड्यूल खोजें आर और तर्क φ यह नंबर।

आर = √ 1 2 + 1 2 = √ 2 .

इसलिए पाप φ = 1 / 2, cos φ = 1 / 2, कहाँ से φ = π / 4 + 2एनπ .

इस तरह,

1 + मैं = √ 2 ,

कहाँ पे पी - कोई पूर्णांक। आम तौर पर, एक जटिल संख्या के तर्क के मूल्यों के अनंत सेट से, एक को चुना जाता है जो 0 और 2 . के बीच स्थित होता है π ... इस मामले में, यह मान है π / 4 . इसलिए

1 + मैं = √ 2 (कोस π / 4 + मैं पाप π / 4)

उदाहरण 2।त्रिकोणमितीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या लिखिए √ 3 - मैं ... हमारे पास है:

आर = √ 3 + 1 = 2, cos φ = 3/2, पाप φ = - 1 / 2

इसलिए, 2 . के कोण गुणज तक π , φ = 11 / 6 π ; इसलिए,

√ 3 - मैं = 2 (क्योंकि 11/6 .) π + मैं पाप 11/6 π ).

उदाहरण 3त्रिकोणमितीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या लिखिए मैं।

जटिल संख्या मैं वेक्टर से मेल खाता है ओए> अक्ष के बिंदु A पर समाप्त होता है पर कोटि 1 (अंजीर। 333) के साथ। ऐसे सदिश की लंबाई 1 है और यह भुज के साथ कोण बनाता है π / 2. इसलिए

मैं = कोस π / 2 + मैं पाप π / 2 .

उदाहरण 4.सम्मिश्र संख्या 3 को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए।

सम्मिश्र संख्या 3 सदिश से मेल खाती है ओए > एक्स एब्सिस्सा 3 (चित्र। 334)।

ऐसे सदिश की लंबाई 3 है, और यह भुज के साथ कोण बनाता है 0. इसलिए,

3 = 3 (क्योंकि 0 + मैं पाप 0),

उदाहरण 5.सम्मिश्र संख्या -5 को त्रिकोणमितीय रूप में लिखिए।

सम्मिश्र संख्या -5 वेक्टर से मेल खाती है ओए> अक्ष बिंदु पर समाप्त होना एक्स एब्सिस्सा -5 (चित्र। 335) के साथ। ऐसे सदिश की लंबाई 5 है, और यह भुज के साथ कोण बनाता है π ... इसलिए

5 = 5 (कोस .) π + मैं पाप π ).

अभ्यास

2047. इन सम्मिश्र संख्याओं को उनके मॉड्यूल और तर्कों को परिभाषित करते हुए त्रिकोणमितीय रूप में लिखें:

1) 2 + 2√3 मैं , 4) 12मैं - 5; 7).3मैं ;

2) √3 + मैं ; 5) 25; 8) -2मैं ;

3) 6 - 6मैं ; 6) - 4; 9) 3मैं - 4.

2048. समतल पर सम्मिश्र संख्याओं को निरूपित करने वाले बिंदुओं के समुच्चय को इंगित करें, मॉड्यूल r और तर्क जिनमें से शर्तें पूरी होती हैं:

1) आर = 1, φ = π / 4 ; 4) आर < 3; 7) 0 < φ < π / 6 ;

2) आर =2; 5) 2 < आर <3; 8) 0 < φ < я;

3) आर < 3; 6) φ = π / 3 ; 9) 1 < आर < 2,

10) 0 < φ < π / 2 .

2049. क्या एक सम्मिश्र संख्या का मॉड्यूल एक ही समय में संख्याएँ हो सकता है? आर तथा - आर ?

2050. क्या एक सम्मिश्र संख्या का तर्क एक ही समय में कोण हो सकता है? φ तथा - φ ?

त्रिकोणमितीय रूप में इन जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए, उनके मॉड्यूल और तर्कों को परिभाषित करना:

2051*. 1 + कोस α + मैं पाप α ... 2054*. 2 (क्योंकि 20 ° - मैं पाप 20 °)।

2052*. पाप φ + मैं क्योंकि φ ... 2055*. 3 (- क्योंकि 15° - मैं पाप 15 °)।

समतल पर किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने के लिए, आप ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं [आर, (पी), कहाँ पे जीमूल बिंदु से बिंदु की दूरी है, और (आर- वह कोण जो त्रिज्या बनाता है - इस बिंदु का सदिश अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ ओह।कोण परिवर्तन की सकारात्मक दिशा (आरवामावर्त दिशा मानी जाती है। कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक के बीच संबंध का उपयोग करना: x = r cos cf, y = r sin (p,

हमें एक सम्मिश्र संख्या लिखने का त्रिकोणमितीय रूप मिलता है

z - r (पाप (p + i sin .)

कहाँ पे जी

Xі + y2, (p एक सम्मिश्र संख्या का तर्क है, जो से पाया जाता है)

एल एक्स . पर

सूत्रों कॉस (पी --, पाप ^ 9 = - या इस तथ्य के कारण कि टीजी (पी --, (पी-आर्कटजी

ध्यान दें कि मान चुनते समय बुधअंतिम समीकरण से संकेतों को ध्यान में रखना आवश्यक है एक्स और वाई।

उदाहरण 47. त्रिकोणमितीय रूप में एक सम्मिश्र संख्या लिखिए 2 = -1 + एल / जेड /।

समाधान। एक सम्मिश्र संख्या का मापांक और तर्क खोजें:

= यज 1 + 3 = 2 . इंजेक्शन बुधसंबंधों से खोजें कॉस (पी = -, पाप (पी = -.फिर

प्राप्त कॉस (पी = -, सुप

यू / जेड जी ~

• - -। जाहिर है, बिंदु z = -1 + V3- / is
• 2 प्रति 3

दूसरी तिमाही में: (आर= 120 °

स्थानापन्न

2 आर.... कॉस - एच; पाप

सूत्र में (1) मिला 27Г

टिप्पणी। एक सम्मिश्र संख्या का तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, बल्कि एक ऐसे पद तक है जो का गुणज है 2पी.फिर के माध्यम से सीएन ^ आरनिरूपित

तर्क मान के भीतर संलग्न है (पी 0 %2 फिर

ए) ^ आर = + 2kk.

प्रसिद्ध यूलर सूत्र का उपयोग करना अर्थात्, हमें एक सम्मिश्र संख्या का घातांकीय संकेतन प्राप्त होता है।

हमारे पास है आर = आर (सह ^ (पी + आई?, एन (पी) = आर,

सम्मिश्र संख्याओं पर क्रिया

• 1. दो सम्मिश्र संख्याओं का योग r, = X] + वाई एक्स/ आप 2 - एक्स 2 + वाई 2 / सूत्र r के अनुसार निर्धारित किया जाता है! +2 2 = (x, + ^ 2) + (^ 1 + ^ 2) 'g
• 2. सम्मिश्र संख्याओं को घटाने की क्रिया को योग के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। जटिल संख्या आर = आरएक्स - आर 2,अगर जेड 2 + जेड = जेड एक्स,

सम्मिश्र संख्या 2 का अंतर है, और घ 2.तब आर = (एक्स, - एक्स 2) + (वाई, - पर 2) /.

• 3. दो सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल आर एक्स= x, + y, -z और 2 2 = एक्स 2+ U2'जी सूत्र द्वारा निर्धारित किया जाता है'
• *1*2 =(* + यू"0 (एक्स 2 .)+ टी 2 -0 = एक्स 1 एक्स 2 वाई 1 2 -1 + एक्स वाई2 " * + पास होना1 पास होना2 " ^ =

= (xx 2 ~ YY 2) + (X Y2 + X 2Y) - "-

विशेष रूप से, साल= (x + y-z) (x-y /) = x 2 + y 2.

आप जटिल संख्याओं के गुणन सूत्र घातांक और त्रिकोणमितीय रूपों में प्राप्त कर सकते हैं। हमारे पास है:

• 1^ 2 - е 1 = ) 2 ई> = ] 2 cOs ((P + cf 2) + isin
• 4. सम्मिश्र संख्याओं के विभाजन को व्युत्क्रम संक्रिया के रूप में परिभाषित किया जाता है

गुणन, अर्थात् संख्या जी--भागफल को भाग कहते हैं ! आर 2 पर,

अगर आर एक्स -1 2 ? 2 . फिर

एक्स + і _ (*і + आईयू 2 ~ 1 यू2 ) एक्स 2 + 2 (2 .) + ^ वाई 2) (2 ~ 1 वाई 2)

एक्स, एक्स 2 + / वाई, एक्स 2 - यह आप 2 . है - यह 2 y x y 2 (x x x 2 + y x y 2 .) है) + / (- एक्स, वाई 2 + एक्स 2 वाई])

2 2 एक्स 2 + यू 2

1 इ

मैं (पी जी

• - 1यू ई "(1 Fg) - I.сОї ((R -cr 1) + І- (आर-,)] >2 >2
• 5. एक सम्मिश्र संख्या को एक धनात्मक पूर्णांक घात तक बढ़ाना सबसे अच्छा होता है यदि संख्या को घातांक या त्रिकोणमितीय रूप में लिखा जाता है।

दरअसल, अगर आर = आरटी 1 तब

= (पुनः,) = आर एन ई टी = जी"(सीओ8 psr + इस तरह)।

फॉर्मूला जी " = rn (cosn (p + n (p) है) Moivre सूत्र कहा जाता है।

6. जड़ निकालना पी-एक सम्मिश्र संख्या की शक्ति को घात तक बढ़ाने के व्युत्क्रम संचालन के रूप में परिभाषित किया गया है एन, एन- 1,2,3, ... यानी। सम्मिश्र संख्या = वाई [जीजड़ कहा जाता है पी-एक सम्मिश्र संख्या की th डिग्री

घ अगर जी = आर एक्स... इस परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि जी - जी ", ए आर एक्स= एल / जी। (पी-पीएसआर एक्स,ए सीएफ-सीपी / एन, जो संख्या के लिए लिखे गए Moivre सूत्र से अनुसरण करता है = r / * + इलिपन (पी)।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, एक सम्मिश्र संख्या का तर्क विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है, लेकिन 2 . के एक पद गुणज तक है एफ।इसलिए = (पी + 2pk, और संख्या r का तर्क, पर निर्भर करता है प्रति,निरूपित (पी सेऔर बू

dem सूत्र द्वारा गणना (पी से= - +। यह स्पष्ट है कि वहाँ है पीकॉम

प्लेक्स नंबर, पी-जिसका घात 2 के बराबर हो। इन संख्याओं में एक . होता है

और एक ही मॉड्यूल के बराबर वाई [आर,और इन संख्याओं के तर्क तब प्राप्त होते हैं जब प्रति = 0, 1, पी - 1. अत: त्रिकोणमितीय रूप में मूल मैं-वें डिग्रीसूत्र द्वारा गणना:

(पी + 2kp . . बुध + 2kp

, प्रति = 0, 1, 77-1,

(पी + 2ktg

और अनुकरणीय रूप में - सूत्र के अनुसार एल [जेड - वाई [जीई एन

उदाहरण 48. सम्मिश्र संख्याओं पर बीजीय रूप में संक्रियाएँ करें:

ए) (1- / एच / 2) 3 (3 + /)

• (1 - / एल / 2) 3 (एस + /) = (1 - जेडएल / 2 / + 6/2 - 2 एल / 2 /? 3) (3 + /) =
• (1 - Zl / 2 / - 6 + 2l / 2 / DZ + /) = (- 5 - l / 2 / DZ + /) =

15-जेडएल / 2 / -5 / -एल / ​​2/2 = -15 - जेडएल / 2 / -5 / + एल / 2 = (-15 + एल / 2) - (5 + जेडएल / 2) /;

उदाहरण 49. संख्या r = Uz - / की पाँचवीं घात की रचना कीजिए।

समाधान। हम संख्या r लिखने का त्रिकोणमितीय रूप प्राप्त करते हैं।

=एल / 3 + 1 = 2, सी08 (पी --, 5ІІ7 (आर =

• (1 - 2 / X2 + /)
• (एस-,)

ओ - 2.-X2 + o

• 12+ 4/-9/
• 2 +і - 4/ - 2/ 2 2 - 3/ + 2 4 - 3/ 3 + і
• (जेड-ओ "(जेड-ओ .)

/ 2 12-51 + 3 15 - 5 /

• (3-i) + /
• 9 + 1 एस_ ±।
• 5 2 1 "

यहां से ओ--, ए आर = 2

मोइवर हमें मिलता है: मैं -2

/ ^ _ 7Г,। ?जी

• -यूएसएच-- -

• --बी / -

= - (एल / जेड + जेड) = -2।

उदाहरण 50. सभी मान ज्ञात कीजिए

हल, r = 2, और बुधसमीकरण से खोजें सोया (पी = -, जेडटी -।

यह बिंदु 1 - / d / z चौथी तिमाही में है, अर्थात। च =-. फिर

• 1 - 2
• ( (यूजी ली

हम व्यंजक से मूल के मान ज्ञात करते हैं

वी1 - / एल / एस = एल / 2

• - + 2 ए: / जी --- बी 2 के.के.
• 3 . . 3

08-1- 81П- में है

पर प्रति - 0 हमारे पास 2 0 = एल / 2 . है

आप प्रदर्शन में संख्या प्रस्तुत करके संख्या 2 के मूल का मान ज्ञात कर सकते हैं

-* प्रति/ 3 + 2 क्लोरीन

पर प्रति= 1 हमारे पास एक और मूल मान है:

• 7जी. 7जी _
• --- b27g --- b2; जी
• 3. ... एस

7जी ... ... 7जी एल-सी05- + 181पी - 6 6

• --Н -

सह? - 7G + / 5SH - Z "

एल / 3__t_

दूरभाष रूप। चूंकि आर = 2, ए बुध=, फिर r = 2e 3, और वाई [जी = वाई / 2ई 2

बीजीय रूप में लिखी गई सम्मिश्र संख्याओं पर क्रिया

सम्मिश्र संख्या z = . का बीजीय रूप(ए,बी) रूप का बीजीय व्यंजक कहलाता है

जेड = ए + द्वि.

सम्मिश्र संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाएँ जेड 1 = ए 1 + बी 1 मैंतथा जेड 2 = ए 2 + बी 2 मैंबीजीय रूप में लिखा जाता है निम्नानुसार किया जाता है।

1. सम्मिश्र संख्याओं का योग (अंतर)

जेड 1 ± z 2 = (ए 1 ± ए 2) + (बी 1 ± बी 2)मैं,

वे। जोड़ (घटाव) समान पदों की कमी के साथ बहुपदों के योग के नियम के अनुसार किया जाता है।

2. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल

जेड 1 ज़ू 2 = (ए 1 ए 2 - बी 1 बी 2) + (ए 1 बी 2 + ए 2 बी 1)मैं,

वे। गुणन बहुपदों के गुणन के सामान्य नियम के अनुसार किया जाता है, इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए कि मैं 2 = 1.

3. दो सम्मिश्र संख्याओं का विभाजन निम्नलिखित नियम के अनुसार किया जाता है:

, (जेड 2 ≠ 0),

वे। भाजक के संयुग्म द्वारा भाजक और भाजक को गुणा करके विभाजन किया जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं का घातांक निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

यह दिखाना आसान है कि

इसके उदाहरण.

1. सम्मिश्र संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जेड 1 = 2 – मैंतथा जेड 2 = – 4 + 3मैं।

जेड 1 + z 2 = (2 + (–1)मैं)+ (–4 + 3मैं) = (2 + (–4)) + ((–1) + 3) मैं = –2+2मैं।

2. सम्मिश्र संख्याओं का गुणनफल ज्ञात कीजिए जेड 1 = 2 – 3मैंतथा जेड 2 = –4 + 5मैं।

= (2 – 3मैं) ∙ (–4 + 5मैं) = 2 ∙(–4) + (-4) ∙(–3मैं)+ 2∙5मैं– 3मैं 5मैं = 7+22मैं।

3. निजी खोजें जेडविभाजन से जेड 1 = 3 - 2 ना जेड 2 = 3 – मैं।

जेड = .

4. समीकरण हल करें:, एक्सतथा आप Î आर.

(2एक्स + वाई) + (एक्स + वाई)मैं = 2 + 3मैं।

सम्मिश्र संख्याओं की समानता के कारण, हमारे पास है:

कहाँ पे एक्स =–1 , आप= 4.

5. गणना करें: मैं 2 ,मैं 3 ,मैं 4 ,मैं 5 ,मैं 6 ,मैं -1 , मैं -2 .

6. गणना करें यदि।

.

7. संख्या के व्युत्क्रम की गणना करें जेड=3-मैं.

त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याएं

जटिल विमानकार्टेशियन निर्देशांक के साथ एक विमान कहा जाता है ( एक्स, वाई) यदि प्रत्येक बिंदु निर्देशांक के साथ ( ए, बी) को एक सम्मिश्र संख्या सौंपी गई है जेड = ए + द्वि... इस मामले में, भुज अक्ष कहा जाता है वास्तविक धुरी, और कोटि अक्ष है काल्पनिक... तब प्रत्येक सम्मिश्र संख्या एक + द्विएक विमान पर ज्यामितीय रूप से एक बिंदु के रूप में दर्शाया गया है ए (ए, बी) या वेक्टर।

इसलिए, बिंदु की स्थिति ए(और, इसलिए, जटिल संख्या जेड) वेक्टर की लंबाई द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है | | = आरऔर कोण जेवेक्टर द्वारा गठित | | वास्तविक अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ। सदिश की लंबाई कहलाती है एक सम्मिश्र संख्या का मापांकऔर द्वारा निरूपित | जेड | = आरऔर कोण जेबुलाया जटिल संख्या तर्कऔर निरूपित जे = तर्क z.

यह स्पष्ट है कि | जेड| 0 और | जेड | = 0 Û जेड = 0.

अंजीर से। 2 दिखाता है।

एक जटिल संख्या का तर्क अस्पष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है, लेकिन 2 . की सटीकता के साथ पीके, केÎ जेड.

अंजीर से। 2 यह भी देखा गया है कि यदि जेड = ए + द्वितथा जे = आर्ग जेड,फिर

क्योंकि जे =पाप जे =, टीजी जे =।

अगर ज़ूआरतथा जेड> 0, तब आर्ग जेड = 0 +2पी;

अगर जेडआरतथा जेड< 0, तब आर्ग जेड = पी + 2पी;

अगर जेड = 0,आर्ग ज़ूअपरिभाषित

तर्क का मुख्य मूल्य खंड 0 . पर निर्धारित होता है £ arg z£ 2 पी,

या -पी£ आर्ग जेड £ पी.

उदाहरण:

1. सम्मिश्र संख्याओं का मापांक ज्ञात कीजिए जेड 1 = 4 – 3मैंतथा जेड 2 = –2–2मैं।

2. जटिल विमान पर शर्तों द्वारा निर्दिष्ट क्षेत्रों का निर्धारण करें:

1) | जेड | = 5; 2) | जेड| £6; 3) | जेड – (2+मैं) | £3; 4) 6 £ | जेड – मैं| £7.

समाधान और उत्तर:

1) | जेड| = 5 त्रिज्या 5 और केंद्र मूल बिंदु वाले वृत्त का समीकरण है।

2) त्रिज्या 6 का एक वृत्त मूल बिन्दु पर केन्द्रित है।

3) त्रिज्या 3 का एक वृत्त एक बिंदु . पर केंद्रित है जेड 0 = 2 + मैं.

4) त्रिज्या 6 और 7 वाले वृत्तों से घिरा एक वलय एक बिंदु . पर केंद्रित है जेड 0 = मैं.

3. संख्याओं का मॉड्यूल और तर्क खोजें: 1); 2))।

1) ; ए = 1, बी = Þ ,

जे 1 = .

2) जेड 2 = –2 – 2मैं; ए =–2, बी =-2 ,

.

नोट: मुख्य तर्क को परिभाषित करते समय जटिल तल का प्रयोग करें।

इस तरह: जेड 1 = .

2) , आर 2 = 1, जे 2 =, .

3) , आर 3 = 1, जे 3 =, .

4) , आर 4 = 1, जे 4 =, .

2.3. सम्मिश्र संख्याओं का त्रिकोणमितीय रूप

वेक्टर को जटिल विमान पर एक संख्या से निर्दिष्ट करने दें।

हम सकारात्मक अर्ध-अक्ष ऑक्स और वेक्टर के बीच के कोण को φ द्वारा निरूपित करते हैं (कोण φ को सकारात्मक माना जाता है यदि इसे वामावर्त गिना जाता है, और अन्यथा ऋणात्मक)।

हम सदिश की लंबाई को r से निरूपित करते हैं। फिर । हम भी निरूपित करते हैं

एक अशून्य सम्मिश्र संख्या z को रूप में लिखना

सम्मिश्र संख्या z का त्रिकोणमितीय रूप कहलाता है। संख्या r को सम्मिश्र संख्या z का मापांक कहा जाता है, और संख्या को इस सम्मिश्र संख्या का तर्क कहा जाता है और इसे Arg z द्वारा दर्शाया जाता है।

एक जटिल संख्या का त्रिकोणमितीय संकेतन - (यूलर का सूत्र) - एक जटिल संख्या का घातीय संकेतन:

सम्मिश्र संख्या z के अपरिमित रूप से कई तर्क हैं: यदि φ0 संख्या z का कोई तर्क है, तो अन्य सभी सूत्र द्वारा ज्ञात किए जा सकते हैं

एक सम्मिश्र संख्या के लिए, तर्क और त्रिकोणमितीय रूप परिभाषित नहीं हैं।

इस प्रकार, एक गैर-शून्य जटिल संख्या का तर्क समीकरणों की प्रणाली का कोई समाधान है:

(3)

एक सम्मिश्र संख्या z के तर्क का मान जो असमानताओं को संतुष्ट करता है, मूलधन कहलाता है और इसे arg z द्वारा दर्शाया जाता है।

Arg z और arg z किसके द्वारा संबंधित हैं?

, (4)

सूत्र (5) प्रणाली (3) का परिणाम है, इसलिए सम्मिश्र संख्या के सभी तर्क समानता (5) को संतुष्ट करते हैं, लेकिन समीकरण (5) के सभी समाधान संख्या z के तर्क नहीं हैं।

एक गैर-शून्य जटिल संख्या के तर्क का मुख्य मूल्य सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

त्रिकोणमितीय रूप में जटिल संख्याओं के गुणन और विभाजन के सूत्र इस प्रकार हैं:

. (7)

एक जटिल संख्या को एक प्राकृतिक शक्ति तक बढ़ाते समय, Moivre सूत्र का उपयोग किया जाता है:

किसी सम्मिश्र संख्या से जड़ निकालते समय, सूत्र का उपयोग किया जाता है:

, (9)

जहां के = 0, 1, 2, ..., एन -1।

समस्या 54. गणना करें कि कहाँ।

आइए एक जटिल संख्या के घातीय संकेतन में इस अभिव्यक्ति के समाधान का प्रतिनिधित्व करते हैं:।

तो अगर।

फिर , ... इसलिए, तब तथा , कहाँ पे ।

उत्तर: , पर ।

समस्या 55. त्रिकोणमितीय रूप में सम्मिश्र संख्याएँ लिखिए:

ए) ; बी); वी) ; जी) ; इ); इ) ; जी)।

चूँकि एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप है, तब:

ए) एक जटिल संख्या में:।

,

इसलिए

बी) , कहाँ पे ,

जी) , कहाँ पे ,

इ) .

जी) , ए , फिर ।

इसलिए

उत्तर: ; 4; ; ; ; ; .

समस्या 56. एक सम्मिश्र संख्या का त्रिकोणमितीय रूप ज्ञात कीजिए

.

होने देना , .

फिर , , .

चूंकि और ,, फिर, और

इसलिए, इसलिए

उत्तर: , कहाँ पे ।

समस्या 57. एक सम्मिश्र संख्या के त्रिकोणमितीय रूप का उपयोग करते हुए, संकेतित क्रियाएं करें:।

आइए संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और त्रिकोणमितीय रूप में।

1), जहां फिर

मुख्य तर्क का मान ज्ञात कीजिए:

मूल्यों को प्रतिस्थापित करें और व्यंजक में, हम प्राप्त करते हैं

2) फिर कहाँ

फिर

3) भागफल ज्ञात कीजिए

k = 0, 1, 2 सेट करने पर, हमें वांछित रूट के तीन अलग-अलग मान मिलते हैं:

तो अगर

तो अगर

तो अगर .

उत्तर: :

:

: .

समस्या 58. मान लीजिए, भिन्न सम्मिश्र संख्याएँ हैं और ... साबित करो

एक संख्या एक वास्तविक सकारात्मक संख्या है;

बी) समानता होती है:

a) हम इन सम्मिश्र संख्याओं को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करते हैं:

चूंकि ।

आइए इसका ढोंग करें। फिर

.

अंतिम व्यंजक एक धनात्मक संख्या है, क्योंकि साइन चिह्न अंतराल से संख्याएँ हैं।

संख्या के बाद से वास्तविक और सकारात्मक। वास्तव में, यदि a और b सम्मिश्र संख्याएँ हैं और वास्तविक हैं और शून्य से बड़ी हैं, तो।

इसके अलावा,

इसलिए, आवश्यक समानता साबित होती है।

समस्या 59. संख्या को बीजीय रूप में लिखिए .

आइए एक संख्या को त्रिकोणमितीय रूप में निरूपित करें, और फिर उसका बीजगणितीय रूप ज्ञात करें। हमारे पास है ... के लिये हमें सिस्टम मिलता है:

इसका तात्पर्य समानता है: .

Moivre सूत्र लागू करना:,

हम पाते हैं

दी गई संख्या का त्रिकोणमितीय रूप ज्ञात कीजिए।

अब हम इस संख्या को बीजीय रूप में लिखते हैं:

.

उत्तर: .

समस्या 60. योग ज्ञात कीजिए,

राशि पर विचार करें

Moivre सूत्र को लागू करने पर, हम पाते हैं

यह योग हर के साथ एक ज्यामितीय प्रगति के n पदों का योग है और पहला सदस्य .

इस तरह की प्रगति की शर्तों के योग के लिए सूत्र को लागू करना, हमारे पास है

अंतिम व्यंजक में काल्पनिक भाग को अलग करने पर, हम पाते हैं

वास्तविक भाग को अलग करने पर हमें निम्न सूत्र भी प्राप्त होता है:,,.

समस्या 61. राशि ज्ञात कीजिए:

ए) ; बी)।

न्यूटन के घात को बढ़ाने के सूत्र के अनुसार, हमारे पास है

Moivre सूत्र का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:

प्राप्त व्यंजकों के वास्तविक और काल्पनिक भागों की तुलना करने पर, हमें प्राप्त होता है:

तथा .

इन सूत्रों को संक्षिप्त रूप में निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

,

, संख्या a का पूर्णांक भाग कहाँ है।

समस्या 62. किसके लिए सभी को खोजें।

जहां तक ​​कि , फिर, सूत्र लागू करना

, जड़ों को निकालने के लिए, हम प्राप्त करते हैं ,

इसलिये, , ,

, .

संख्याओं के संगत बिंदु बिंदु (0; 0) (आकृति 30) पर केन्द्रित त्रिज्या 2 के एक वृत्त में अंकित एक वर्ग के शीर्षों पर स्थित होते हैं।

उत्तर: , ,

, .

समस्या 63. समीकरण हल करें , .

शर्त से; इसलिए, इस समीकरण का कोई मूल नहीं है, और इसलिए, यह एक समीकरण के बराबर है।

संख्या z इस समीकरण का मूल हो, इसके लिए यह आवश्यक है कि संख्या मूल हो nth डिग्रीनंबर 1 से।

इसलिए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि मूल समीकरण की जड़ें समानता से निर्धारित होती हैं

,

इस तरह,

,

अर्थात। ,

उत्तर: .

समस्या 64. सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय में समीकरण को हल करें।

चूँकि संख्या इस समीकरण का मूल नहीं है, इसलिए इस समीकरण के लिए समीकरण के बराबर है

यानी समीकरण।

इस समीकरण के सभी मूल सूत्र से प्राप्त होते हैं (देखिए समस्या 62):

; ; ; ; .

समस्या 65. जटिल तल पर असमानताओं को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं का समूह बनाएं: ... (समस्या हल करने की दूसरी विधि 45)

होने देना .

एक ही मॉड्यूल के साथ जटिल संख्याएं मूल पर केंद्रित सर्कल पर स्थित विमान के बिंदुओं से मेल खाती हैं, इसलिए असमानता एक खुले वलय के सभी बिंदुओं को संतुष्ट करें जो मूल और त्रिज्या पर एक सामान्य केंद्र वाले वृत्तों से बंधे हैं और (चित्र 31)। मान लीजिए कि सम्मिश्र तल का कोई बिंदु संख्या w0 के संगत है। संख्या , में एक मापांक होता है जो मापांक w0 से एक गुना छोटा होता है, और एक तर्क जो तर्क w0 से बड़ा होता है। ज्यामितीय रूप से, w1 से संबंधित बिंदु को एक समरूपता का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है जिसमें मूल केंद्र और एक गुणांक होता है, साथ ही एक कोण वामावर्त द्वारा मूल के बारे में रोटेशन। इन दो परिवर्तनों को रिंग के बिंदुओं पर लागू करने के परिणामस्वरूप (चित्र। 31), बाद वाला एक ही केंद्र और त्रिज्या 1 और 2 (चित्र। 32) के साथ वृत्तों से घिरी हुई रिंग में बदल जाता है।

परिवर्तन एक वेक्टर के समानांतर अनुवाद का उपयोग करके कार्यान्वित किया गया। एक बिंदु पर केंद्रित वलय को संकेतित सदिश की ओर ले जाने पर, हमें एक बिंदु पर केन्द्रित समान आकार का एक वलय प्राप्त होता है (चित्र 22)।

विमान के ज्यामितीय परिवर्तनों के विचार का उपयोग करते हुए प्रस्तावित विधि, विवरण में शायद कम सुविधाजनक है, लेकिन बहुत ही सुरुचिपूर्ण और प्रभावी है।

समस्या 66. ढूँढें if .

चलो, फिर और। मूल समानता रूप लेती है ... दो सम्मिश्र संख्याओं की समानता की शर्त से हम प्राप्त करते हैं, जहां से। इस तरह, ।

आइए संख्या z को त्रिकोणमितीय रूप में लिखें:

, कहाँ पे , । Moivre सूत्र के अनुसार, हम पाते हैं।

उत्तर :- 64.

समस्या 67. एक सम्मिश्र संख्या के लिए, सभी सम्मिश्र संख्याएँ ज्ञात कीजिए जैसे कि, तथा .

आइए त्रिकोणमितीय रूप में संख्या का प्रतिनिधित्व करें:

... इसलिये,। हमें जो संख्या मिलती है, वह या तो बराबर हो सकती है।

पहले मामले में , क्षण में

.

उत्तर: , .

समस्या 68. ऐसी संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए। इनमें से कोई एक नंबर दर्ज करें।

ध्यान दें कि पहले से ही समस्या के सूत्रीकरण से, कोई यह समझ सकता है कि समीकरण की जड़ों का योग स्वयं जड़ों की गणना किए बिना पाया जा सकता है। दरअसल, समीकरण की जड़ों का योग विपरीत चिह्न (सामान्यीकृत विएटा के प्रमेय) के साथ लिया गया गुणांक है, अर्थात।

छात्र, स्कूल प्रलेखन, इस अवधारणा को आत्मसात करने की डिग्री के बारे में निष्कर्ष निकालते हैं। गणितीय सोच की विशेषताओं के अध्ययन और एक जटिल संख्या की अवधारणा को बनाने की प्रक्रिया को सारांशित करें। विधियों का विवरण। डायग्नोस्टिक: स्टेज I। बातचीत एक गणित के शिक्षक से की गई जो 10वीं कक्षा में बीजगणित और ज्यामिति पढ़ाता है। बातचीत शुरू से कुछ देर बाद हुई...

अनुनाद "(!)), जिसमें मूल्यांकन भी शामिल है अपना व्यवहार... 4. स्थिति (संदेह) के बारे में आपकी समझ का आलोचनात्मक मूल्यांकन। 5. अंत में, कानूनी मनोविज्ञान की सिफारिशों का उपयोग (एक वकील द्वारा किए गए पेशेवर कार्यों के मनोवैज्ञानिक पहलुओं को ध्यान में रखते हुए - पेशेवर और मनोवैज्ञानिक तैयारी)। आइए अब कानूनी तथ्यों के मनोवैज्ञानिक विश्लेषण पर विचार करें। ...

त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का गणित और विकसित शिक्षण विधियों की प्रभावशीलता का परीक्षण। काम के चरण: 1. विषय पर एक वैकल्पिक पाठ्यक्रम का विकास: "बीजगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन का उपयोग" गणित के गहन अध्ययन के साथ कक्षाओं के छात्रों के साथ। 2. विकसित वैकल्पिक पाठ्यक्रम का संचालन करना। 3. नैदानिक ​​​​नियंत्रण का संचालन करना ...

संज्ञानात्मक कार्य केवल मौजूदा शिक्षण सहायक सामग्री के पूरक के लिए हैं और शैक्षिक प्रक्रिया के सभी पारंपरिक साधनों और तत्वों के साथ एक उपयुक्त संयोजन में होना चाहिए। गणितीय समस्याओं से सटीक मानविकी को पढ़ाने में शैक्षिक समस्याओं के बीच का अंतर केवल इस तथ्य में है कि ऐतिहासिक समस्याओं में कोई सूत्र, कठोर एल्गोरिदम आदि नहीं हैं, जो उनके समाधान को जटिल बनाते हैं। ...