Linjärt beroende och linjärt oberoende av vektorer.
Grund för vektorer. Affint koordinatsystem

Det står en vagn med choklad i aulan, och varje besökare idag kommer att få ett sött par - analytisk geometri med linjär algebra. Den här artikeln kommer att täcka två avsnitt samtidigt. högre matematik, och vi får se hur de kommer överens i ett omslag. Ta en paus, ät en Twix! ...fan, vilket gäng dumheter. Även om, okej, jag kommer inte att göra mål, i slutändan bör du ha en positiv inställning till att studera.

Linjärt beroende av vektorer, linjär vektor oberoende, basen för vektorer och andra termer har inte bara geometrisk tolkning, men framför allt den algebraiska betydelsen. Själva begreppet "vektor" ur linjär algebras synvinkel är inte alltid den "vanliga" vektorn som vi kan avbilda på ett plan eller i rymden. Du behöver inte leta långt efter bevis, försök att rita en vektor av femdimensionellt rymd . Eller vädervektorn, som jag precis gick till Gismeteo för: – temperatur och Atmosfärstryck respektive. Exemplet är naturligtvis felaktigt ur vektorrummets egenskaper, men ändå förbjuder ingen att formalisera dessa parametrar som en vektor. Höstens fläkt...

Nej, jag ska inte tråka ut dig med teori, linjära vektorrum, uppgiften är att förstå definitioner och satser. De nya termerna (linjärt beroende, oberoende, linjär kombination, bas, etc.) gäller för alla vektorer ur en algebraisk synvinkel, men geometriska exempel kommer att ges. Allt är alltså enkelt, tillgängligt och tydligt. Förutom problem med analytisk geometri kommer vi också att överväga några typiska algebraproblem. För att behärska materialet är det lämpligt att bekanta dig med lektionerna Vektorer för dummies Och Hur beräknar man determinanten?

Linjärt beroende och oberoende av planvektorer.
Planbas och affint koordinatsystem

Låt oss överväga planet på ditt datorbord (bara ett bord, nattduksbord, golv, tak, vad du än vill). Uppgiften kommer att bestå av följande åtgärder:

1) Välj plan grund. Grovt sett har en bordsskiva en längd och en bredd, så det är intuitivt att två vektorer kommer att krävas för att konstruera basen. En vektor är helt klart inte tillräckligt, tre vektorer är för mycket.

2) Baserat på den valda grunden ställ in koordinatsystem(koordinatrutnät) för att tilldela koordinater till alla objekt på tabellen.

Bli inte förvånad, först kommer förklaringarna att vara på fingrarna. Dessutom på din. Vänligen placera vänster pekfinger på kanten av bordsskivan så att han tittar på bildskärmen. Detta kommer att vara en vektor. Placera nu lillfinger höger hand på kanten av bordet på samma sätt - så att den är riktad mot bildskärmen. Detta kommer att vara en vektor. Le, du ser bra ut! Vad kan vi säga om vektorer? Datavektorer kolinjär, som betyder linjär uttryckt genom varandra:
, ja, eller vice versa: , där skiljer sig något tal från noll.

Du kan se en bild av denna åtgärd i klassen. Vektorer för dummies, där jag förklarade regeln för att multiplicera en vektor med ett tal.

Kommer dina fingrar att sätta grunden på planet för datorbordet? Uppenbarligen inte. Kolinjära vektorer färdas fram och tillbaka över ensam riktning, och ett plan har längd och bredd.

Sådana vektorer kallas linjärt beroende.

Referens: Orden "linjär", "linjär" betecknar det faktum att det i matematiska ekvationer och uttryck inte finns några kvadrater, kuber, andra potenser, logaritmer, sinus, etc. Det finns bara linjära (1:a gradens) uttryck och beroenden.

Två plana vektorer linjärt beroende om och bara om de är kolinjära.

Korsa fingrarna på bordet så att det finns någon annan vinkel mellan dem än 0 eller 180 grader. Två plana vektorerlinjär Inte beroende om och endast om de inte är kolinjära. Så grunden erhålls. Det finns ingen anledning att skämmas över att grunden visade sig vara "skev" med icke-vinkelräta vektorer av olika längd. Mycket snart kommer vi att se att inte bara en vinkel på 90 grader är lämplig för dess konstruktion, och inte bara enhetsvektorer av samma längd

Några plan vektor det enda sättet utökas enligt grunden:
, var finns reella tal. Numren kallas vektorkoordinater på denna grund.

Det sägs också att vektorpresenteras som Linjär kombination basvektorer. Det vill säga uttrycket kallas vektornedbrytningpå grundval eller Linjär kombination basvektorer.

Till exempel kan vi säga att vektorn sönderdelas längs en ortonormal grund av planet, eller så kan vi säga att den representeras som en linjär kombination av vektorer.

Låt oss formulera definition av grund formellt: Grunden för planet kallas ett par linjärt oberoende (icke-kollinjära) vektorer, , vart i några en plan vektor är en linjär kombination av basvektorer.

En väsentlig punkt i definitionen är det faktum att vektorerna är tagna i en viss ordning. Baser – det här är två helt olika grunder! Som de säger, du kan inte ersätta lillfingret på din vänstra hand i stället för lillfingret på din högra hand.

Vi har räknat ut grunden, men det räcker inte att sätta ett koordinatnät och tilldela koordinater till varje objekt på ditt datorbord. Varför räcker det inte? Vektorerna är fria och vandrar genom hela planet. Så hur tilldelar du koordinater till de där små smutsiga fläckarna på bordet som blivit över från en vild helg? Det behövs en utgångspunkt. Och ett sådant landmärke är en punkt som är bekant för alla - ursprunget till koordinater. Låt oss förstå koordinatsystemet:

Jag börjar med "skolsystemet". Redan i introduktionslektionen Vektorer för dummies Jag lyfte fram några skillnader mellan det rektangulära koordinatsystemet och den ortonormala basen. Här är standardbilden:

När de pratar om rektangulärt koordinatsystem, då menar de oftast origo, koordinataxlar och skala längs axlarna. Prova att skriva "rektangulärt koordinatsystem" i en sökmotor, så kommer du att se att många källor kommer att berätta om koordinataxlar som är bekanta från klass 5-6 och hur man ritar punkter på ett plan.

Å andra sidan verkar det som att ett rektangulärt koordinatsystem helt kan definieras i termer av en ortonormal grund. Och det är nästan sant. Formuleringen är som följer:

ursprung, Och ortonormala grunden är satt Kartesiska rektangulära plan koordinatsystem . Det vill säga det rektangulära koordinatsystemet definitivt definieras av en enda punkt och två enheter ortogonala vektorer. Det är därför du ser teckningen som jag gav ovan - in geometriska problem Ofta (men inte alltid) ritas både vektorer och koordinataxlar.

Jag tror att alla förstår att använda en punkt (ursprung) och en ortonormal grund NÅGON PUNKT på planet och NÅGON VEKTOR på planet koordinater kan tilldelas. Bildligt talat, "allt på ett plan kan numreras."

Krävs koordinatvektorer för att vara enhet? Nej, de kan ha en godtycklig längd som inte är noll. Betrakta en punkt och två ortogonala vektorer med godtycklig längd som inte är noll:

En sådan grund kallas ortogonal. Ursprunget för koordinater med vektorer definieras av ett koordinatnät, och varje punkt på planet, vilken vektor som helst har sina koordinater i en given bas. Till exempel eller. Den uppenbara olägenheten är att koordinatvektorerna i allmänhet har andra längder än enhet. Om längderna är lika med enhet, erhålls den vanliga ortonormala basen.

! Notera : i den ortogonala basen, såväl som nedan i de affina baserna för plan och rymd, anses enheter längs axlarna VILLKORLIG. Till exempel innehåller en enhet längs x-axeln 4 cm, en enhet längs ordinataxeln innehåller 2 cm. Denna information räcker för att vid behov konvertera "icke-standardiserade" koordinater till "våra vanliga centimeter".

Och den andra frågan, som faktiskt redan har besvarats, är om vinkeln mellan basvektorerna måste vara lika med 90 grader? Nej! Som definitionen säger måste basvektorerna vara endast icke-kolinjär. Följaktligen kan vinkeln vara vad som helst utom 0 och 180 grader.

En punkt på planet ringde ursprung, Och icke-kolinjär vektorer, , uppsättning affint plan koordinatsystem :

Ibland kallas ett sådant koordinatsystem sned systemet. Som exempel visar ritningen punkter och vektorer:

Som du förstår är det affina koordinatsystemet ännu mindre bekvämt att formlerna för längderna på vektorer och segment, som vi diskuterade i den andra delen av lektionen, fungerar inte i det; Vektorer för dummies, många läckra formler relaterade till skalär produkt av vektorer. Men reglerna för att lägga till vektorer och multiplicera en vektor med ett tal, formler för att dividera ett segment i denna relation, liksom några andra typer av problem som vi snart kommer att överväga är giltiga.

Och slutsatsen är att det mest bekväma specialfallet av ett affint koordinatsystem är det kartesiska rektangulära systemet. Det är därför du oftast måste träffa henne, min kära. ...Men allt i det här livet är relativt - det finns många situationer där en sned vinkel (eller någon annan, till exempel, polär) koordinatsystem. Och humanoider kanske gillar sådana system =)

Låt oss gå vidare till den praktiska delen. Alla problem i denna lektion är giltiga både för det rektangulära koordinatsystemet och för det allmänna affina fallet. Det är inget komplicerat här; allt material är tillgängligt även för en skolbarn.

Hur bestämmer man kollinearitet hos planvektorer?

Typisk sak. För två plana vektorer var kolinjära är det nödvändigt och tillräckligt att deras motsvarande koordinater är proportionella I huvudsak är detta en koordinat-för-koordinat-detaljering av det uppenbara förhållandet.

Exempel 1

a) Kontrollera om vektorerna är kolinjära .
b) Bildar vektorerna en bas? ?

Lösning:
a) Låt oss ta reda på om det finns vektorer proportionalitetskoefficient, så att jämlikheterna är uppfyllda:

Jag kommer definitivt att berätta om den "foppish" versionen av att tillämpa denna regel, som fungerar ganska bra i praktiken. Tanken är att omedelbart göra upp proportionen och se om den stämmer:

Låt oss göra en proportion från förhållandena mellan motsvarande koordinater för vektorerna:

Låt oss korta:
, sålunda är motsvarande koordinater proportionella, därför,

Förhållandet kan göras tvärtom. Detta är ett likvärdigt alternativ:

För självtest kan du använda det faktum att kolinjära vektorer uttrycks linjärt genom varandra. I det här fallet sker jämlikheterna . Deras giltighet kan enkelt verifieras genom elementära operationer med vektorer:

b) Två plana vektorer utgör en bas om de inte är kolinjära (linjärt oberoende). Vi undersöker vektorer för kollinearitet . Låt oss skapa ett system:

Av den första ekvationen följer att , av den andra ekvationen följer att , vilket betyder systemet är inkonsekvent(inga lösningar). Således är de motsvarande koordinaterna för vektorerna inte proportionella.

Slutsats: vektorerna är linjärt oberoende och utgör en bas.

En förenklad version av lösningen ser ut så här:

Låt oss göra en proportion från motsvarande koordinater för vektorerna :
, vilket innebär att dessa vektorer är linjärt oberoende och utgör en bas.

Vanligtvis avvisas inte detta alternativ av granskare, men ett problem uppstår i de fall där vissa koordinater är lika med noll. Så här: . Eller så här: . Eller så här: . Hur går man igenom proportioner här? (du kan faktiskt inte dividera med noll). Det är av denna anledning som jag kallade den förenklade lösningen "foppish".

Svar: a) , b) form.

Ett litet kreativt exempel för oberoende beslut:

Exempel 2

Vilket värde på parametern har vektorerna kommer de att vara kolinjära?

I provlösningen hittas parametern genom proportionen.

Det finns ett elegant algebraiskt sätt att kontrollera vektorer för kollinearitet. Låt oss systematisera vår kunskap och lägga till den som den femte punkten.

För två plana vektorer är följande påståenden ekvivalenta:

2) vektorerna utgör en bas;
3) vektorerna är inte kolinjära;

+ 5) determinanten som består av koordinaterna för dessa vektorer är icke-noll.

Respektive, följande motsatta påståenden är likvärdiga:
1) vektorer är linjärt beroende;
2) vektorer utgör inte en bas;
3) vektorerna är kolinjära;
4) vektorer kan uttryckas linjärt genom varandra;
+ 5) determinanten som består av koordinaterna för dessa vektorer är lika med noll.

Jag hoppas verkligen att du vid det här laget redan förstår alla termer och påståenden du har stött på.

Låt oss ta en närmare titt på den nya, femte punkten: två plana vektorer är kolinjära om och endast om determinanten som består av koordinaterna för de givna vektorerna är lika med noll:. För att tillämpa denna funktion måste du naturligtvis kunna hitta bestämningsfaktorer.

Låt oss bestämma Exempel 1 på det andra sättet:

a) Låt oss beräkna determinanten som består av vektorernas koordinater :
, vilket betyder att dessa vektorer är kolinjära.

b) Två plana vektorer utgör en bas om de inte är kolinjära (linjärt oberoende). Låt oss beräkna determinanten som består av vektorkoordinater :
, vilket betyder att vektorerna är linjärt oberoende och utgör en bas.

Svar: a) , b) form.

Det ser mycket mer kompakt och snyggare ut än en lösning med proportioner.

Med hjälp av det övervägda materialet är det möjligt att fastställa inte bara vektorernas kolinearitet, utan också att bevisa parallelliteten mellan segment och raka linjer. Låt oss överväga ett par problem med specifika geometriska former.

Exempel 3

Spetsen på en fyrhörning är givna. Bevisa att en fyrhörning är ett parallellogram.

Bevis: Det finns ingen anledning att skapa en ritning i problemet, eftersom lösningen kommer att vara rent analytisk. Låt oss komma ihåg definitionen av ett parallellogram:
Parallellogram En fyrhörning vars motsatta sidor är parallella i par kallas.

Därför är det nödvändigt att bevisa:
1) parallellitet mellan motsatta sidor och;
2) parallellitet av motsatta sidor och.

Vi bevisar:

1) Hitta vektorerna:

2) Hitta vektorerna:

Resultatet är samma vektor (”enligt skola” – lika vektorer). Kollinearitet är ganska uppenbart, men det är bättre att formalisera beslutet tydligt, med överenskommelse. Låt oss beräkna determinanten som består av vektorkoordinater:
, vilket betyder att dessa vektorer är kolinjära, och .

Slutsats: De motsatta sidorna av en fyrhörning är parallella i par, vilket betyder att det är ett parallellogram per definition. Q.E.D.

Fler bra och annorlunda figurer:

Exempel 4

Spetsen på en fyrhörning är givna. Bevisa att en fyrhörning är en trapets.

För en mer rigorös formulering av beviset är det förstås bättre att få definitionen av en trapets, men det räcker med att helt enkelt komma ihåg hur det ser ut.

Detta är en uppgift för dig att lösa på egen hand. Komplett lösning i slutet av lektionen.

Och nu är det dags att sakta flytta från planet till rymden:

Hur bestämmer man kollinearitet hos rymdvektorer?

Regeln är väldigt lika. För att två rymdvektorer ska vara kolinjära är det nödvändigt och tillräckligt att deras motsvarande koordinater är proportionella.

Exempel 5

Ta reda på om följande rymdvektorer är kolinjära:

A);
b)
V)

Lösning:
a) Låt oss kontrollera om det finns en proportionalitetskoefficient för motsvarande koordinater för vektorerna:

Systemet har ingen lösning, vilket betyder att vektorerna inte är kolinjära.

"Förenklad" formaliseras genom att kontrollera andelen. I detta fall:
– motsvarande koordinater är inte proportionella, vilket betyder att vektorerna inte är kolinjära.

Svar: vektorerna är inte kolinjära.

b-c) Dessa är punkter för oberoende beslut. Prova det på två sätt.

Det finns en metod för att kontrollera rumsliga vektorer för kollinearitet genom en tredje ordningens determinant. Denna metod behandlas i artikeln Vektorprodukt av vektorer.

I likhet med planfallet kan de övervägda verktygen användas för att studera parallelliteten mellan rumsliga segment och räta linjer.

Välkommen till andra avsnittet:

Linjärt beroende och oberoende av vektorer i tredimensionellt rum.
Rumslig bas och affint koordinatsystem

Många av mönstren som vi undersökte på planet kommer att vara giltiga för rymden. Jag försökte minimera teorianteckningarna, eftersom lejonparten av informationen redan har tuggats. Jag rekommenderar dock att du läser den inledande delen noggrant, då nya termer och begrepp dyker upp.

Nu utforskar vi tredimensionellt rymden istället för datorbordets plan. Låt oss först skapa dess grund. Någon är nu inomhus, någon är utomhus, men vi kan i alla fall inte undgå tre dimensioner: bredd, längd och höjd. Därför kommer det att ta tre för att konstruera en grund rumsliga vektorer. En eller två vektorer räcker inte, den fjärde är överflödig.

Och återigen värmer vi upp på fingrarna. Räck upp handen och sprid ut den olika sidor tumme, pek- och långfinger. Dessa kommer att vara vektorer, de tittar åt olika håll, har olika längd och har olika vinklar sinsemellan. Grattis, grunden för tredimensionellt utrymme är klar! Förresten, det finns ingen anledning att demonstrera detta för lärare, hur hårt man än vrider på fingrarna, men det går inte att undkomma definitioner =)

Låt oss sedan ställa en viktig fråga till oss själva: bildar vilka tre vektorer som helst en bas för tredimensionellt rymd? Vänligen tryck tre fingrar ordentligt på ovansidan av datorbordet. Vad hände? Tre vektorer är placerade i samma plan, och grovt sett har vi tappat en av dimensionerna - höjden. Sådana vektorer är i samma plan och det är ganska uppenbart att grunden för tredimensionellt utrymme inte skapas.

Det bör noteras att koplanära vektorer inte behöver ligga i samma plan, de kan vara i parallella plan (gör bara inte detta med fingrarna, bara Salvador Dali gjorde detta =)).

Definition: vektorer kallas i samma plan, om det finns ett plan med vilket de är parallella. Det är logiskt att lägga till här att om ett sådant plan inte existerar, så kommer vektorerna inte att vara i samma plan.

Tre koplanära vektorer är alltid linjärt beroende, det vill säga de uttrycks linjärt genom varandra. För enkelhetens skull, låt oss återigen föreställa oss att de ligger i samma plan. För det första är vektorer inte bara koplanära, de kan också vara kolinjära, sedan kan vilken vektor som helst uttryckas genom vilken vektor som helst. I det andra fallet, om till exempel vektorerna inte är kolinjära, så uttrycks den tredje vektorn genom dem på ett unikt sätt: (och varför är lätt att gissa utifrån materialen i föregående avsnitt).

Det omvända är också sant: tre icke-samplanära vektorer är alltid linjärt oberoende, det vill säga att de inte på något sätt uttrycks genom varandra. Och uppenbarligen kan bara sådana vektorer utgöra grunden för tredimensionellt rymd.

Definition: Grunden för det tredimensionella rummet kallas en trippel av linjärt oberoende (icke-samplanära) vektorer, tagna i en viss ordning, och valfri vektor av rymd det enda sättet sönderdelas över en given bas, där är vektorns koordinater i denna bas

Låt mig påminna dig om att vi också kan säga att vektorn är representerad i formen Linjär kombination basvektorer.

Konceptet med ett koordinatsystem introduceras på exakt samma sätt som för planfallet en punkt och vilka tre linjärt oberoende vektorer som helst räcker:

ursprung, Och icke-koplanär vektorer, tagna i en viss ordning, uppsättning affint koordinatsystem för tredimensionellt rymd :

Naturligtvis är koordinatnätet "snett" och obekvämt, men ändå tillåter det konstruerade koordinatsystemet oss definitivt bestämma koordinaterna för vilken vektor som helst och koordinaterna för vilken punkt som helst i rymden. I likhet med ett plan kommer vissa formler som jag redan har nämnt inte att fungera i rymdens affina koordinatsystem.

Det mest välbekanta och bekväma specialfallet av ett affint koordinatsystem, som alla gissar, är rektangulärt rymdkoordinatsystem:

En punkt i rymden kallas ursprung, Och ortonormala grunden är satt Kartesiskt rektangulärt rymdkoordinatsystem . Bekant bild:

Innan vi går vidare till praktiska uppgifter, låt oss återigen systematisera informationen:

För tre rymdvektorer är följande påståenden ekvivalenta:
1) vektorerna är linjärt oberoende;
2) vektorerna utgör en bas;
3) vektorerna är inte koplanära;
4) vektorer kan inte uttryckas linjärt genom varandra;
5) determinanten, sammansatt av koordinaterna för dessa vektorer, skiljer sig från noll.

Jag tror att de motsatta påståendena är förståeliga.

Linjärt beroende/oberoende av rymdvektorer kontrolleras traditionellt med hjälp av en determinant (punkt 5). De återstående praktiska uppgifterna kommer att vara av uttalad algebraisk karaktär. Det är dags att hänga upp geometripinnen och använda basebollträet i linjär algebra:

Tre vektorer av rymdenär koplanära om och endast om determinanten som består av koordinaterna för de givna vektorerna är lika med noll: .

Jag skulle vilja uppmärksamma en liten teknisk nyans: vektorernas koordinater kan skrivas inte bara i kolumner utan också i rader (determinantens värde kommer inte att ändras på grund av detta - se egenskaper hos determinanter). Men det är mycket bättre i kolumner, eftersom det är mer fördelaktigt för att lösa några praktiska problem.

För de läsare som lite har glömt metoderna för att beräkna bestämningsfaktorer, eller kanske har liten förståelse för dem alls, rekommenderar jag en av mina äldsta lektioner: Hur beräknar man determinanten?

Exempel 6

Kontrollera om följande vektorer utgör grunden för tredimensionellt rymd:

Lösning: Faktum är att hela lösningen handlar om att beräkna determinanten.

a) Låt oss beräkna determinanten som består av vektorkoordinater (determinanten avslöjas på första raden):

, vilket innebär att vektorerna är linjärt oberoende (inte i samma plan) och utgör grunden för tredimensionellt rymd.

Svar: dessa vektorer utgör en bas

b) Detta är en punkt för oberoende beslut. Fullständig lösning och svar i slutet av lektionen.

Det finns också kreativa uppgifter:

Exempel 7

Vid vilket värde på parametern kommer vektorerna att vara i samma plan?

Lösning: Vektorer är koplanära om och endast om determinanten som består av koordinaterna för dessa vektorer är lika med noll:

I huvudsak måste du lösa en ekvation med en determinant. Vi sveper ner på nollor som drakar på jerboas - det är bäst att öppna determinanten på den andra raden och omedelbart bli av med minusen:

Vi genomför ytterligare förenklingar och reducerar ärendet till det enklaste linjär ekvation:

Svar: kl

Det är lätt att kontrollera här, för att göra detta måste du ersätta det resulterande värdet i den ursprungliga determinanten och se till att , öppnar den igen.

Avslutningsvis, låt oss titta på en till typisk uppgift, som är mer algebraisk till sin natur och traditionellt ingår i linjär algebra. Det är så vanligt att det förtjänar ett eget ämne:

Bevisa att 3 vektorer utgör grunden för det tredimensionella rummet
och hitta koordinaterna för den fjärde vektorn i denna bas

Exempel 8

Vektorer ges. Visa att vektorer utgör en bas i det tredimensionella rummet och hitta koordinaterna för vektorn i denna bas.

Lösning: Först, låt oss ta itu med tillståndet. Som villkor ges fyra vektorer, och som du kan se har de redan koordinater på någon grund. Vad denna grund är är inte av intresse för oss. Och följande sak är av intresse: tre vektorer kan mycket väl utgöra en ny grund. Och det första steget sammanfaller helt med lösningen i exempel 6, det är nödvändigt att kontrollera om vektorerna verkligen är linjärt oberoende:

Låt oss beräkna determinanten som består av vektorkoordinater:

, vilket innebär att vektorerna är linjärt oberoende och utgör grunden för det tredimensionella rummet.

! Viktig : vektorkoordinater Nödvändigtvis Skriv ner i kolumner determinant, inte i strängar. Annars kommer det att uppstå förvirring i den ytterligare lösningsalgoritmen.

Vektorsystemet kallas linjärt beroende, om det finns siffror bland vilka minst ett skiljer sig från noll, så att likheten https://pandia.ru/text/78/624/images/image004_77.gif" width="57" height="24 src= " >.

Om denna likhet är uppfylld endast i fallet när alla , då systemet av vektorer kallas linjärt oberoende.

Sats. Vektorsystemet kommer linjärt beroende om och endast om åtminstone en av dess vektorer är en linjär kombination av de andra.

Exempel 1. Polynom är en linjär kombination av polynom https://pandia.ru/text/78/624/images/image010_46.gif" width="88 height=24" height="24">. Polynomen utgör ett linjärt oberoende system, eftersom polynomet https: //pandia.ru/text/78/624/images/image012_44.gif" width="129" height="24">.

Exempel 2. Matrissystemet, , https://pandia.ru/text/78/624/images/image016_37.gif" width="51" height="48 src="> är linjärt oberoende, eftersom en linjär kombination är lika med nollmatris endast i fallet när https://pandia.ru/text/78/624/images/image019_27.gif" width="69" height="21">, , https://pandia.ru/text /78/624 /images/image022_26.gif" width="40" height="21"> linjärt beroende.

Lösning.

Låt oss göra en linjär kombination av dessa vektorer https://pandia.ru/text/78/624/images/image023_29.gif" width="97" height="24">=0..gif" width="360" höjd=" 22">.

Genom att likställa samma koordinater för lika vektorer får vi https://pandia.ru/text/78/624/images/image027_24.gif" width="289" height="69">

Äntligen får vi

Och

Systemet har en unik trivial lösning, så en linjär kombination av dessa vektorer är lika med noll endast i det fall då alla koefficienter är lika med noll. Därför är detta vektorsystem linjärt oberoende.

Exempel 4. Vektorerna är linjärt oberoende. Hur kommer vektorsystemen att se ut?

a).;

b).?

Lösning.

a). Låt oss göra en linjär kombination och likställa den med noll

Med hjälp av egenskaperna för operationer med vektorer i linjärt rymd, skriver vi om den sista likheten i formen

Eftersom vektorerna är linjärt oberoende måste koefficienterna vid vara lika med noll, dvs..gif" width="12" height="23 src=">

Det resulterande ekvationssystemet har en unik trivial lösning .

Sedan jämställdhet (*) körs endast när https://pandia.ru/text/78/624/images/image031_26.gif" width="115 height=20" height="20"> – linjärt oberoende;

b). Låt oss skapa en jämlikhet https://pandia.ru/text/78/624/images/image039_17.gif" width="265" height="24 src="> (**)

Genom att tillämpa liknande resonemang får vi

Att lösa ekvationssystemet med Gauss-metoden får vi

eller

Det senare systemet har ett oändligt antal lösningar https://pandia.ru/text/78/624/images/image044_14.gif" width="149" height="24 src=">. Det finns alltså en icke- noll uppsättning koefficienter som håller likheten (**) . Därför systemet av vektorer – linjärt beroende.

Exempel 5 Ett system av vektorer är linjärt oberoende och ett vektorsystem är linjärt beroende..gif" width="80" height="24">.gif" width="149 height=24" height="24"> (***)

I jämställdhet (***) . Faktum är att vid , skulle systemet vara linjärt beroende.

Från relationen (***) vi får eller Låt oss beteckna .

Vi får

Problem för självständig lösning (i klassrummet)

1. Ett system som innehåller en nollvektor är linjärt beroende.

2. System som består av en vektor A, är linjärt beroende om och endast om, a=0.

3. Ett system som består av två vektorer är linjärt beroende om och endast om vektorerna är proportionella (det vill säga en av dem erhålls från den andra genom att multiplicera med ett tal).

4. Lägger man till en vektor till ett linjärt beroende system får man ett linjärt beroende system.

5. Om en vektor tas bort från ett linjärt oberoende system, är det resulterande systemet av vektorer linjärt oberoende.

6. Om systemet Sär linjärt oberoende, men blir linjärt beroende när en vektor adderas b, sedan vektorn b linjärt uttryckt genom systemvektorer S.

c). System av matriser , , i utrymmet för andra ordningens matriser.

10. Låt systemet av vektorer a,b,c vektorrymden är linjärt oberoende. Bevisa det linjära oberoendet för följande vektorsystem:

a).a+b, b, c.

b).a+https://pandia.ru/text/78/624/images/image062_13.gif" width="15" height="19">– godtyckligt antal

c).a+b, a+c, b+c.

11. Låta a,b,c– tre vektorer på planet från vilket en triangel kan bildas. Kommer dessa vektorer att vara linjärt beroende?

12. Två vektorer ges a1=(1, 2, 3, 4),a2=(0, 0, 0, 1). Hitta ytterligare två fyrdimensionella vektorer a3 ocha4 så att systemet a1,a2,a3,a4 var linjärt oberoende .

Definition 1. Ett system av vektorer kallas linjärt beroende om en av systemets vektorer kan representeras som en linjär kombination av de återstående vektorerna i systemet, och linjärt oberoende - annars.

Definition 1´. Ett system av vektorer kallas linjärt beroende om det finns tal Med 1 , Med 2 , …, Med k , inte alla lika med noll, så att den linjära kombinationen av vektorer med givna koefficienter är lika med nollvektorn: = , annars kallas systemet linjärt oberoende.

Låt oss visa att dessa definitioner är likvärdiga.

Låt definition 1 vara uppfylld, dvs. en av systemvektorerna är lika med en linjär kombination av de andra:

En linjär kombination av ett vektorsystem är lika med nollvektorn, och inte alla koefficienter i denna kombination är lika med noll, dvs. Definition 1´ är uppfylld.

Låt definition 1 hålla. En linjär kombination av ett system av vektorer är lika med , och inte alla koefficienter i kombinationen är lika med noll, till exempel vektorns koefficienter .

Vi presenterade en av systemvektorerna som en linjär kombination av de andra, d.v.s. Definition 1 är uppfylld.

Definition 2. En enhetsvektor, eller enhetsvektor, kallas n-dimensionell vektor, vilken i Den -e koordinaten är lika med ett, och resten är noll.

. (1, 0, 0, …, 0),

(0, 1, 0, …, 0),

(0, 0, 0, …, 1).

Sats 1. Olika enhetsvektorer n-dimensionellt utrymme är linjärt oberoende.

Bevis. Låt den linjära kombinationen av dessa vektorer med godtyckliga koefficienter vara lika med nollvektorn.

Av denna likhet följer att alla koefficienter är lika med noll. Vi har en motsägelse.

Varje vektor n-dimensionellt utrymme ā (A 1 , A 2 , ..., A n) kan representeras som en linjär kombination av enhetsvektorer med koefficienter lika med vektorkoordinaterna

Sats 2. Om ett vektorsystem innehåller en nollvektor är den linjärt beroende.

Bevis. Låt ett system av vektorer ges och en av vektorerna är noll, till exempel = . Sedan, med vektorerna i detta system, kan du göra en linjär kombination lika med nollvektorn, och inte alla koefficienter kommer att vara noll:

Därför är systemet linjärt beroende.

Sats 3. Om något delsystem av ett vektorsystem är linjärt beroende, så är hela systemet linjärt beroende.

Bevis. Ett system av vektorer ges. Låt oss anta att systemet är linjärt beroende, d.v.s. det finns siffror Med 1 , Med 2 , …, Med r , inte alla lika med noll, så att = . Sedan

Det visade sig att den linjära kombinationen av vektorer i hela systemet är lika med , och inte alla koefficienter för denna kombination är lika med noll. Följaktligen är vektorsystemet linjärt beroende.

Följd. Om ett system av vektorer är linjärt oberoende, så är vilket som helst av dess delsystem också linjärt oberoende.

Bevis.

Låt oss anta motsatsen, dvs. något delsystem är linjärt beroende. Det följer av satsen att hela systemet är linjärt beroende. Vi har kommit fram till en motsägelse.

Sats 4 (Steinitz sats). Om var och en av vektorerna är en linjär kombination av vektorer och m>n, då är systemet av vektorer linjärt beroende.

Följd. I något system av n-dimensionella vektorer kan det inte finnas fler än n linjärt oberoende.

Bevis. Varje n-dimensionell vektor uttrycks som en linjär kombination av n enhetsvektorer. Därför, om systemet innehåller m vektorer och m>n, då, enligt satsen, är detta system linjärt beroende.

Formens uttryck kallad linjär kombination av vektorer A 1 , A 2 ,...,A n med odds λ 1, λ 2 ,..., λ n.

Bestämning av linjärt beroende av ett vektorsystem

Vektorsystem A 1 , A 2 ,...,A n kallad linjärt beroende, om det finns en uppsättning nummer som inte är noll λ 1, λ 2 ,..., λ n, där den linjära kombinationen av vektorer λ 1 *A 1 + λ 2 *A 2 +...+λ n *A n lika med nollvektorn, det vill säga ekvationssystemet: har en lösning som inte är noll.
Uppsättning siffror λ 1, λ 2 ,..., λ n är icke-noll om minst ett av talen λ 1, λ 2 ,..., λ n skiljer sig från noll.

Bestämning av linjärt oberoende av ett vektorsystem

Vektorsystem A 1 , A 2 ,...,A n kallad linjärt oberoende, om den linjära kombinationen av dessa vektorer λ 1 *A 1 + λ 2 *A 2 +...+λ n *A n lika med nollvektorn endast för en nolluppsättning tal λ 1, λ 2 ,..., λ n , det vill säga ekvationssystemet: A 1 x 1 + A 2 x 2 +...+ A n x n = Θ har en unik nolllösning.

Exempel 29.1

Kontrollera om ett system av vektorer är linjärt beroende

Lösning:

1. Vi sammanställer ett ekvationssystem:

2. Vi löser det med Gauss-metoden. Jordanano-transformationerna av systemet ges i tabell 29.1. Vid beräkning skrivs inte systemets högra sida ner eftersom de är lika med noll och inte förändras under Jordanomvandlingar.

3. Från de tre sista raderna i tabellen skriv ner ett löst system som motsvarar det ursprungliga systemet:

4. Vi får gemensamt beslut system:

5. Efter att ha ställt in värdet på den fria variabeln x 3 =1 efter eget gottfinnande, vi får en speciell lösning som inte är noll X=(-3,2,1).

Svar: Sålunda, för en uppsättning tal som inte är noll (-3,2,1), är den linjära kombinationen av vektorer lika med nollvektorn -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Därav, vektorsystem linjärt beroende.

Egenskaper för vektorsystem

Fastighet (1)
Om ett system av vektorer är linjärt beroende, så expanderas åtminstone en av vektorerna i termer av de andra och omvänt, om åtminstone en av vektorerna i systemet expanderas i termer av de andra, då är vektorsystemet är linjärt beroende.

Fastighet (2)
Om något delsystem av vektorer är linjärt beroende, så är hela systemet linjärt beroende.

Fastighet (3)
Om ett system av vektorer är linjärt oberoende, så är vilket som helst av dess delsystem linjärt oberoende.

Fastighet (4)
Varje system av vektorer som innehåller en nollvektor är linjärt beroende.

Fastighet (5)
Ett system av m-dimensionella vektorer är alltid linjärt beroende om antalet vektorer n är större än deras dimension (n>m)

Grunden för vektorsystemet

Grunden för vektorsystemet A 1 , A 2 ,..., A n ett sådant delsystem B 1 , B 2 ,...,B r kallas(var och en av vektorerna B 1, B 2,..., B r är en av vektorerna A 1, A 2,..., A n), som uppfyller följande villkor:
1. B 1 , B 2 ,...,B r linjärt oberoende system av vektorer;
2. vilken vektor som helst A j system A 1 , A 2 ,..., A n uttrycks linjärt genom vektorerna B 1 , B 2 ,..., B r

r— Antalet vektorer som ingår i basen.

Sats 29.1 På enhetsbasis för ett system av vektorer.

Om ett system av m-dimensionella vektorer innehåller m olika enhetsvektorer E 1 E 2 ,..., E m , så utgör de basen för systemet.

Algoritm för att hitta grunden till ett system av vektorer

För att hitta grunden för systemet av vektorer A 1 , A 2 ,..., A n är det nödvändigt:

• Skapa ett motsvarande vektorsystem homogent system ekvationer A 1 x 1 + A 2 x 2 +...+ A n x n = Θ
• Ta med det här systemet

Linjärt beroende och vektoroberoende

Definitioner av linjärt beroende och oberoende vektorsystem

Definition 22

Låt oss ha ett system med n-vektorer och en uppsättning tal
, Då

(11)

kallas en linjär kombination av ett givet system av vektorer med en given uppsättning koefficienter.

Definition 23

Vektorsystem
kallas linjärt beroende om det finns en sådan uppsättning koefficienter
, varav minst en inte är lika med noll, att den linjära kombinationen av ett givet system av vektorer med denna uppsättning koefficienter är lika med nollvektorn:

Låta
, Då

Definition 24 ( genom representationen av en vektor i systemet som en linjär kombination av de andra)

Vektorsystem
kallas linjärt beroende om åtminstone en av vektorerna i detta system kan representeras som en linjär kombination av de återstående vektorerna i detta system.

Uttalande 3

Definitionerna 23 och 24 är likvärdiga.

Definition 25(via noll linjär kombination)

Vektorsystem
kallas linjärt oberoende om en linjär nollkombination av detta system endast är möjlig för alla
lika med noll.

Definition 26(på grund av omöjligheten att representera en vektor i systemet som en linjär kombination av de andra)

Vektorsystem
kallas linjärt oberoende om inte en av vektorerna i detta system inte kan representeras som en linjär kombination av andra vektorer i detta system.

Egenskaper för linjärt beroende och oberoende vektorsystem

Sats 2 (noll vektor i vektorsystemet)

Om ett vektorsystem har en nollvektor så är systemet linjärt beroende.

 Låt
, Sedan .

Vi får
, därför per definition av ett linjärt beroende system av vektorer genom en linjär nollkombination (12) systemet är linjärt beroende. 

Sats 3 (beroende delsystem i ett vektorsystem)

Om ett system av vektorer har ett linjärt beroende delsystem, så är hela systemet linjärt beroende.

 Låt
- linjärt beroende delsystem
, bland vilka minst en inte är lika med noll:

Detta betyder, per definition 23, att systemet är linjärt beroende. 

Sats 4

Varje delsystem i ett linjärt oberoende system är linjärt oberoende.

 Från motsatsen. Låt systemet vara linjärt oberoende och ha ett linjärt beroende delsystem. Men då, enligt sats 3, kommer hela systemet också att vara linjärt beroende. Motsägelse. Följaktligen kan ett delsystem i ett linjärt oberoende system inte vara linjärt beroende. 

Geometrisk betydelse av linjärt beroende och oberoende av ett system av vektorer

Sats 5

Två vektorer Och är linjärt beroende om och endast om
.

 Nödvändighet.

Och - linjärt beroende
att villkoret är uppfyllt
. Sedan
, dvs.
.

Lämplighet.

Linjärt beroende. 

Följd 5.1

Nollvektorn är kolinjär med vilken vektor som helst

Följd 5.2

För att två vektorer ska vara linjärt oberoende är det nödvändigt och tillräckligt att var inte kolinjär .

Sats 6

För att ett system med tre vektorer ska vara linjärt beroende är det nödvändigt och tillräckligt att dessa vektorer är koplanära .

 Nödvändighet.

- är linjärt beroende, därför kan en vektor representeras som en linjär kombination av de andra två.

, (13)

Var
Och
. Enligt parallellogramregeln det finns en diagonal av ett parallellogram med sidor
, men ett parallellogram är en platt figur
i samma plan
- är också koplanära.

Lämplighet.

- i samma plan. Låt oss tillämpa tre vektorer på punkt O:

C

B'

– linjärt beroende 

Följd 6.1

Nollvektorn är i samma plan som vilket vektorpar som helst.

Följd 6.2

För vektorer
var linjärt oberoende är det nödvändigt och tillräckligt att de inte är i samma plan.

Följd 6.3

Vilken vektor som helst i ett plan kan representeras som en linjär kombination av två icke-kollinjära vektorer i samma plan.

Sats 7

Alla fyra vektorer i rymden är linjärt beroende .

 Låt oss överväga fyra fall:

Låt oss rita ett plan genom vektorer, sedan ett plan genom vektorer och ett plan genom vektorer. Sedan ritar vi plan som går genom punkt D, parallella med vektorparen ; ; respektive. Vi bygger en parallellepiped längs skärningslinjerna för plan O.B. 1 D 1 C 1 ABDC.

Låt oss överväga O.B. 1 D 1 C 1 – parallellogram genom konstruktion enligt parallellogramregeln
.

Betrakta OADD 1 - ett parallellogram (från egenskapen hos en parallellepiped)
, Då

EMBED Equation.3 .

Genom sats 1
Så att . Sedan
, och per definition 24 är vektorsystemet linjärt beroende. 

Följd 7.1

Summan av tre icke-samplanära vektorer i rymden är en vektor som sammanfaller med diagonalen för en parallellepiped byggd på dessa tre vektorer applicerad på ett gemensamt ursprung, och ursprunget för summavektorn sammanfaller med det gemensamma ursprunget för dessa tre vektorer.

Följd 7.2

Om vi ​​tar 3 icke-samplanära vektorer i rymden, så kan vilken vektor som helst i detta rymd brytas upp i en linjär kombination av dessa tre vektorer.