Allmän lösning av ett heterogent system. Homogena system av linjära ekvationer Lösning av homogena system 0
Den linjära ekvationen kallas homogen, om dess fria term är lika med noll och inhomogen annars. Ett system som består av homogena ekvationer kallas homogent och har allmän form:
Det är uppenbart att varje homogent system är konsekvent och har en noll (trivial) lösning. Därför i förhållande till homogena system linjära ekvationer man måste ofta leta efter ett svar på frågan om existensen av lösningar som inte är noll. Svaret på denna fråga kan formuleras som följande teorem.
Sats . Ett homogent system av linjära ekvationer har en lösning som inte är noll om och endast om dess rangordning är mindre än antalet okända .
Bevis: Låt oss anta att ett system vars rangordning är lika har en lösning som inte är noll. Uppenbarligen överstiger det inte. Om systemet har en unik lösning. Eftersom ett system med homogena linjära ekvationer alltid har en nolllösning, så kommer nolllösningen att vara denna unika lösning. Således är lösningar som inte är noll möjliga endast för .
Följd 1 : Ett homogent ekvationssystem, där antalet ekvationer är mindre än antalet okända, har alltid en lösning som inte är noll.
Bevis: Om ett ekvationssystem har , så överstiger inte systemets rangordning antalet ekvationer, dvs. . Således är villkoret uppfyllt och därför har systemet en lösning som inte är noll.
Följd 2 : Ett homogent ekvationssystem med okända har en lösning som inte är noll om och endast om dess determinant är noll.
Bevis: Låt oss anta att ett system av linjära homogena ekvationer, vars matris med determinanten , har en lösning som inte är noll. Sedan, enligt den beprövade satsen, och detta betyder att matrisen är singular, dvs. .
Kronecker-Capelli teorem: En SLU är konsekvent om och endast om rangordningen för systemmatrisen är lika med rangordningen för den utökade matrisen för detta system. Ett system ur kallas konsekvent om det har minst en lösning.Homogent system av linjärt algebraiska ekvationer .
Ett system av m linjära ekvationer med n variabler kallas ett system av linjära homogena ekvationer om alla fria termer är lika med 0. Ett system med linjära homogena ekvationer är alltid konsekvent, eftersom den har alltid åtminstone en nolllösning. Ett system med linjära homogena ekvationer har en lösning som inte är noll om och endast om rangordningen av dess matris av koefficienter för variabler är mindre än antalet variabler, dvs. för rang A (n. Vilken linjär kombination som helst
Lin systemlösningar. homogen. ur-ii är också en lösning på detta system.
Ett system av linjärt oberoende lösningar e1, e2,...,еk kallas fundamental om varje lösning i systemet är en linjär kombination av lösningar. Sats: om rangordningen r för matrisen av koefficienter för variablerna i ett system av linjära homogena ekvationer är mindre än antalet variabler n, så består varje fundamentalt system av lösningar till systemet av n-r lösningar. Det är därför gemensamt beslut Lin system en dag ur-th har formen: c1e1+c2e2+...+skek, där e1, e2,..., ek är vilket grundläggande system av lösningar som helst, c1, c2,...,ck är godtyckliga tal och k=n-r. Den allmänna lösningen av ett system av m linjära ekvationer med n variabler är lika med summan
av den allmänna lösningen av systemet som motsvarar den är homogen. linjära ekvationer och en godtycklig speciell lösning av detta system.
7. Linjära mellanrum. Delutrymmen. Grund, dimension. Linjärt skal. Linjärt utrymme kallas n-dimensionell, om den innehåller ett linjärt system oberoende vektorer, och alla system från Mer vektorer är linjärt beroende. Numret är uppringt dimension (antal dimensioner) linjärt utrymme och betecknas med . Med andra ord, dimensionen av ett utrymme är det maximala antalet linjärt oberoende vektorer i detta utrymme. Om ett sådant nummer finns, kallas utrymmet ändligt dimensionellt. Om för någon naturligt nummer n i rymden finns ett system som består av linjärt oberoende vektorer, då kallas ett sådant utrymme oändligt dimensionellt (skrivet: ). I det följande, om inte annat anges, kommer ändligdimensionella utrymmen att beaktas.
Grunden för ett n-dimensionellt linjärt utrymme är en ordnad samling av linjärt oberoende vektorer ( basvektorer).
Sats 8.1 om expansion av en vektor i termer av en bas. Om är basen för ett n-dimensionellt linjärt utrymme, så kan vilken vektor som helst representeras som en linjär kombination av basvektorer:
V=v1*e1+v2*e2+…+vn+en
och dessutom på det enda sättet, d.v.s. koefficienterna bestäms unikt. Med andra ord kan vilken rymdvektor som helst expanderas till en bas och dessutom på ett unikt sätt.
I själva verket är dimensionen av rymden . Systemet av vektorer är linjärt oberoende (detta är en bas). Efter att ha lagt till vilken vektor som helst till basen får vi ett linjärt beroende system (eftersom detta system består av vektorer av n-dimensionellt rymd). Med hjälp av egenskapen för 7 linjärt beroende och linjärt oberoende vektorer får vi slutsatsen av satsen.
Kaluga gren av den federala statens budgetutbildningsinstitution för högre yrkesutbildning
"Moscow State Technical University uppkallad efter N.E. Bauman"
(Kharkov filial vid Moskvas statliga tekniska universitet uppkallad efter N.E. Bauman)
Vlaykov N.D.
Lösning av homogena SLAE
Riktlinjer för att genomföra övningar
på kursen för analytisk geometri
Kaluga 2011
Lektionsmål sida 4
Lektionsplan sida 4
Nödvändig teoretisk information s.5
Praktisk del s.10
Övervaka behärskning av det material som omfattas s. 13
Läxor s.14
Antal timmar: 2
Lektionens mål:
Systematisera den förvärvade teoretiska kunskapen om typerna av SLAE och metoder för att lösa dem.
Få färdigheter i att lösa homogena SLAEs.
Lektionsplanering:
Beskriv kortfattat det teoretiska materialet.
Lös en homogen SLAE.
Hitta det grundläggande systemet av lösningar för en homogen SLAE.
Hitta en speciell lösning av en homogen SLAE.
Formulera en algoritm för att lösa en homogen SLAE.
Kontrollera dina nuvarande läxor.
Utföra verifieringsarbete.
Presentera ämnet för nästa seminarium.
Lämna in aktuella läxor.
Nödvändig teoretisk information.
Matrix rang.
Def. Rangen på en matris är det antal som är lika med den maximala ordningen bland dess minderåriga som inte är noll. Rangen på matrisen betecknas med .
Om en kvadratisk matris är icke-singular, är dess rangordning lika med dess ordning. Om en kvadratisk matris är singular, är dess rangordning mindre än dess ordning.
Rangen för en diagonal matris är lika med antalet dess diagonala element som inte är noll.
Theor. När en matris transponeras ändras inte dess rangordning, dvs. 
.
Theor. Rangen för en matris ändras inte med elementära transformationer av dess rader och kolumner.
Satsen på basis moll.
Def. Mindre 
matriser 
kallas grundläggande om två villkor är uppfyllda:
a) det är inte lika med noll;
b) dess ordning är lika med matrisens rangordning 
.
Matris 
kan ha flera minderåriga.
Matrisrader och kolumner 
, i vilken den valda grundmoln finns, kallas basic.
Theor. Satsen på basis moll. Grundläggande rader (kolumner) i matrisen 
, motsvarande någon av dess underåriga 
, är linjärt oberoende. Alla rader (kolumner) i matrisen 
, ingår inte i 
, är linjära kombinationer av basraderna (kolumnerna).
Theor. För varje matris är dess rangordning lika med det maximala antalet av dess linjärt oberoende rader (kolumner).
Beräkna rangordningen för en matris. Metod för elementära transformationer.
Med hjälp av elementära radtransformationer kan vilken matris som helst reduceras till echelonform. Rangen för en stegmatris är lika med antalet rader som inte är noll. Grunden i den är den mindre, belägen i skärningspunkten mellan rader som inte är noll med kolumnerna som motsvarar de första elementen som inte är noll från vänster i var och en av raderna.
SLAU. Grundläggande definitioner.
Def. Systemet 
(15.1)
Tal 
kallas SLAE-koefficienter. Tal 
kallas fria ekvationstermer.
SLAE-posten i formuläret (15.1) kallas koordinat.
Def. En SLAE kallas homogen if 
. Annars kallas det heterogent.
Def. En lösning på en SLAE är en uppsättning okända värden så att varje ekvation i systemet förvandlas till en identitet vid substitution. Varje specifik lösning av en SLAE kallas också dess speciella lösning.
Att lösa SLAE innebär att lösa två problem:
Ta reda på om SLAE har lösningar;
Hitta alla lösningar om de finns.
Def. En SLAE kallas joint om den har minst en lösning. Annars kallas det inkompatibelt.
Def. Om SLAE (15.1) har en lösning, och en unik, kallas den definit, och om lösningen inte är unik, kallas den obestämd.
Def. Om i ekvation (15.1) 
,SLAE kallas kvadrat.
SLAU inspelningsformulär.
Förutom koordinatformuläret (15.1) används SLAE-poster ofta i andra representationer av den.
(15.2)
Relationen kallas vektorformen för SLAE-notation.
Om vi tar produkten av matriser som grund kan SLAE (15.1) skrivas på följande sätt:
(15.3)
eller 
.
Notationen av SLAE (15.1) i formen (15.3) kallas matris.
Homogena SLAE.
Homogent system 
linjära algebraiska ekvationer med 
okända är ett system av formen
Homogena SLAE är alltid konsekventa, eftersom det alltid finns en nolllösning.
Kriterium för att det finns en lösning som inte är noll. För att en lösning som inte är noll ska existera för en homogen kvadratisk SLAE är det nödvändigt och tillräckligt att dess matris är singular.
Theor. Om kolumnerna 
,
,
…,
- lösningar av en homogen SLAE, då är vilken linjär kombination av dem också en lösning på detta system.
Följd. Om en homogen SLAE har en lösning som inte är noll, har den ett oändligt antal lösningar.
Det är naturligt att försöka hitta sådana lösningar 
,
,
…,
system så att vilken annan lösning som helst representeras som en linjär kombination av dem och dessutom på ett unikt sätt.
Def. Vilken uppsättning som helst 
linjärt oberoende kolumner 
,
,
…,
, vilka är lösningar av en homogen SLAE 
, Var 
- antalet okända, och 
- rangen på dess matris 
, kallas det grundläggande lösningssystemet för denna homogena SLAE.
När vi studerar och löser homogena system av linjära ekvationer kommer vi att fixa grundmoll i systemets matris. Basen minor kommer att motsvara baskolumner och därför bas okända. Vi kommer att kalla de återstående okända fria.
Theor. På strukturen av den allmänna lösningen av en homogen SLAE. Om 
,
,
…,
- godtyckligt grundläggande system av lösningar av en homogen SLAE 
, då kan vilken som helst av dess lösningar representeras i formuläret
Var 
,
…,
- vissa är permanenta.
Den där. den allmänna lösningen av en homogen SLAE har formen
Praktisk del.
Överväg möjliga uppsättningar av lösningar av följande typer av SLAE och deras grafiska tolkning.
;
;
.
Överväg möjligheten att lösa dessa system med Cramers formler och matrismetoden.
Förklara kärnan i Gaussmetoden.
Lös följande problem.
Exempel 1. Lös en homogen SLAE. Hitta FSR.
.
Låt oss skriva ner systemets matris och reducera den till stegvis form.
.
systemet kommer att ha oändligt många lösningar. FSR kommer att bestå av 
kolumner.
Låt oss kassera nollraderna och skriva systemet igen:
.
Vi kommer att betrakta den grundläggande mindre som i det övre vänstra hörnet. Den där. 
- grundläggande okända, och 
- fri. Låt oss uttrycka 
genom gratis 
:
;
Låt oss sätta 
.
Äntligen har vi:
- koordinera svarets form, eller
- matrisform av svaret, eller
- vektorform av svaret (vektor - kolumner är FSR-kolumner).
Algoritm för att lösa en homogen SLAE.
Hitta FSR och den allmänna lösningen för följande system:
№2.225(4.39)
. Svar: 
№2.223(2.37)
. Svar:
№2.227(2.41)
. Svar: 
Lös en homogen SLAE:
. Svar: 
Lös en homogen SLAE:
. Svar: 
Presentation av ämnet för nästa seminarium.
Lösa system av linjära inhomogena ekvationer.
Övervakning av behärskning av det material som omfattas.
Provarbete 3 - 5 minuter. 4 elever deltar med udda nummer i journalen med start från nr 10
|
Följ dessa steg:
|
Följ dessa steg:
|
|
|
Beräkna determinanten:
|
;
;
|
Följ dessa steg:
|
Följ dessa steg:
|
|
Hitta den inversa matrisen för denna:
|
Beräkna determinanten:
|
odefinierad
Läxa:
1. Lös problem:
№ 2.224, 2.226, 2.228, 2.230, 2.231, 2.232.
2. Arbeta igenom föreläsningar om följande ämnen:
System av linjära algebraiska ekvationer (SLAE). Koordinat-, matris- och vektorformer för inspelning. Kronecker-Capelli-kriterium för kompatibilitet med SLAE. Heterogena SLAE. Ett kriterium för existensen av en lösning som inte är noll av en homogen SLAE. Egenskaper för lösningar av en homogen SLAE. Grundläggande system av lösningar av en homogen SLAE, satsen om dess existens. Normalt grundläggande system av lösningar. Sats om strukturen för den allmänna lösningen av en homogen SLAE. Sats om strukturen för den allmänna lösningen av en inhomogen SLAE.
Ett system av linjära ekvationer där alla fria termer är lika med noll kallas homogen :
Varje homogent system är alltid konsekvent, eftersom det alltid har gjort det noll (trivial ) lösning. Frågan uppstår under vilka förutsättningar kommer ett homogent system att ha en icke-trivial lösning.
Sats 5.2.Ett homogent system har en icke-trivial lösning om och endast om rangordningen för den underliggande matrisen är mindre än antalet okända.
Följd. Ett kvadratiskt homogent system har en icke-trivial lösning om och endast om determinanten för systemets huvudmatris inte är lika med noll.
Exempel 5.6. Bestäm värdena för parametern l där systemet har icke-triviala lösningar, och hitta dessa lösningar:
Lösning. Detta system kommer att ha en icke-trivial lösning när determinanten för huvudmatrisen är lika med noll:
Således är systemet icke-trivialt när l=3 eller l=2. För l=3 är rankningen av systemets huvudmatris 1. Lämna då bara en ekvation och antar att y=a Och z=b, vi får x=b-a, dvs.
För l=2 är rankningen av systemets huvudmatris 2. Välj sedan minor som bas:
vi får ett förenklat system
Härifrån finner vi det x=z/4y=z/2. Troende z=4a, vi får
Uppsättningen av alla lösningar av ett homogent system har en mycket viktig linjär egenskap : om kolumner X 1 och X 2 - lösningar till ett homogent system AX = 0, sedan någon linjär kombination av dem a X 1 + b X 2 kommer också att vara en lösning på detta system. Faktiskt sedan YXA 1 = 0 Och YXA 2 = 0 , Den där A(a X 1 + b X 2) = a YXA 1 + b YXA 2 = a · 0 + b · 0 = 0. Det är på grund av denna egenskap att om ett linjärt system har mer än en lösning, så kommer det att finnas ett oändligt antal av dessa lösningar.
Linjärt oberoende kolumner E 1 , E 2 , Ek, som är lösningar av ett homogent system, kallas grundläggande system av lösningar homogent system av linjära ekvationer om den allmänna lösningen av detta system kan skrivas som en linjär kombination av dessa kolumner:
Om ett homogent system har n variabler, och rangordningen för systemets huvudmatris är lika med r, Den där k = n-r.
Exempel 5.7. Hitta det grundläggande lösningssystemet till följande linjära ekvationssystem:
Lösning. Låt oss hitta rangordningen för systemets huvudmatris:
Således bildar uppsättningen av lösningar till detta ekvationssystem ett linjärt delrum av dimension n-r= 5 - 2 = 3. Låt oss välja moll som bas
Sedan lämnar vi bara de grundläggande ekvationerna (resten kommer att vara en linjär kombination av dessa ekvationer) och de grundläggande variablerna (vi flyttar resten, de så kallade fria variablerna till höger), får vi ett förenklat ekvationssystem:
Troende x 3 = a, x 4 = b, x 5 = c, vi hittar
Troende a= 1, b = c= 0, får vi den första grundlösningen; troende b= 1, a = c= 0, får vi den andra baslösningen; troende c= 1, a = b= 0, får vi den tredje grundlösningen. Som ett resultat kommer det normala grundläggande lösningssystemet att ta formen
Med hjälp av grundsystemet kan den allmänna lösningen av ett homogent system skrivas som
X = aE 1 + vara 2 + cE 3. a
Låt oss notera några egenskaper hos lösningar till ett inhomogent system av linjära ekvationer AX=B och deras förhållande till motsvarande homogena ekvationssystem AX = 0.
Allmän lösning av ett inhomogent systemär lika med summan av den allmänna lösningen av det motsvarande homogena systemet AX = 0 och en godtycklig speciell lösning av det inhomogena systemet. Verkligen, låt Y 0 är en godtycklig speciell lösning av ett inhomogent system, dvs. AY 0 = B, Och Y- allmän lösning av ett heterogent system, dvs. AY=B. Att subtrahera den ena jämlikheten från den andra får vi
A(Å-Å 0) = 0, dvs. Å-Å 0 är den allmänna lösningen av motsvarande homogena system YXA=0. Därav, Å-Å 0 = X, eller Y=Y 0 + X. Q.E.D.
Låt det inhomogena systemet ha formen AX = B 1 + B 2 . Då kan den allmänna lösningen av ett sådant system skrivas som X = X 1 + X 2 , där AX 1 = B 1 och AX 2 = B 2. Denna egenskap uttrycker den universella egenskapen för någon linjära system(algebraisk, differentiell, funktionell, etc.). I fysiken kallas denna egenskap superpositionsprincipen, i elektro- och radioteknik - principen om överlagring. Till exempel, i teorin om linjära elektriska kretsar, kan strömmen i vilken krets som helst erhållas som den algebraiska summan av strömmarna som orsakas av varje energikälla separat.
Homogent system av linjära ekvationer AX = 0 alltid tillsammans. Den har icke-triviala (icke-noll) lösningar om r= rang A< n .
För homogena system uttrycks de grundläggande variablerna (vars koefficienter bildar den grundläggande minor) genom fria variabler genom relationer av formen:
Sedan n-r Linjärt oberoende vektorlösningar kommer att vara:
och alla andra lösningar är en linjär kombination av dem. Vektorlösningar 
bilda ett normaliserat grundsystem.
I ett linjärt utrymme bildar uppsättningen av lösningar till ett homogent system av linjära ekvationer ett underrum av dimension n-r; 
- grunden för detta delrum.
Systemet m linjära ekvationer med n okänd(eller, linjärt system
 |
Här x 1 , x 2 , …, x n a 11 , a 12 , …, en mn- systemkoefficienter - och b 1 , b 2 , … b m en iji) och okänd ( j
System (1) anropas homogenb 1 = b 2 = … = b m= 0), annars - heterogen.
System (1) anropas fyrkant, om nummer m ekvationer lika med antalet n okänd.
Lösning system (1) - set n tal c 1 , c 2 , …, c n, så att ersättningen av varje c i istället för x i till system (1) förvandlar alla dess ekvationer till identiteter.
System (1) anropas gemensam icke-fogad
Lösningar c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) och c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n olika
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
vissa osäker. Om det finns fler ekvationer än okända kallas det omdefinieras.
Lösa linjära ekvationssystem
Lösa matrisekvationer ~ Gauss-metoden
Metoder för att lösa linjära ekvationssystem är indelade i två grupper:
1. exakta metoder, som är ändliga algoritmer för att beräkna rötterna till ett system (lösa system med en invers matris, Cramers regel, Gauss metod, etc.),
2. iterativa metoder, som gör det möjligt att erhålla en lösning på systemet med en given noggrannhet genom konvergenta iterativa processer (iterationsmetod, Seidelmetod, etc.).
På grund av oundviklig avrundning är resultaten av även exakta metoder ungefärliga. Vid användning av iterativa metoder läggs dessutom metodens fel till.
Den effektiva användningen av iterativa metoder beror avsevärt på det framgångsrika valet av den initiala approximationen och processens konvergenshastighet.
Lösa matrisekvationer
Tänk på systemet n linjära algebraiska ekvationer med avseende på n okänd X 1 , X 2 , …, x n:
 .
| (15) |
Matris A, vars kolumner är koefficienterna för motsvarande okända, och raderna är koefficienterna för okända i motsvarande ekvation, kallas systemets matris; matris-kolumn b, vars element är den högra sidan av systemets ekvationer, kallas höger sida matris eller bara höger sida system. Kolumnmatris X, vars element är de okända okända, kallas systemlösning.
Om matris A- icke-särskild, det vill säga det En e är lika med 0, då har system (13), eller matrisekvationen (14) motsvarande det, en unik lösning.
I själva verket förutsatt att det A är inte lika 0 finns invers matris A-1 . Multiplicera båda sidor av ekvation (14) med matrisen A-1 vi får:
| (16) |
Formel (16) ger en lösning till ekvation (14) och den är unik.
Det är bekvämt att lösa linjära ekvationssystem med funktionen llösa.
lösa ( A, b)
Lösningsvektorn returneras x Så att Åh= b.
Argument:
A- kvadratisk, icke-singular matris.
b- en vektor som har samma antal rader som det finns rader i matrisen A .
Figur 8 visar lösningen till ett system med tre linjära ekvationer i tre okända.
Gauss metod
Gaussmetoden, även kallad den Gaussiska elimineringsmetoden, består i att systemet (13) reduceras genom sekventiell eliminering av okända till ett ekvivalent system med en triangulär matris:
I matrisnotation betyder detta att först (det direkta tillvägagångssättet för Gauss-metoden), genom elementära operationer på rader, reduceras systemets utökade matris till en stegvis form:
och sedan (omvänt mot Gauss-metoden) transformeras denna stegmatris så att i den första n kolumner får vi en enhetsmatris:
.
sist, ( n+ 1) kolumnen i denna matris innehåller lösningen till systemet (13).
I Mathcad utförs rörelserna framåt och bakåt av Gaussmetoden av funktionen rref(A).
Figur 9 visar lösningen av ett system av linjära ekvationer med Gaussmetoden, som använder följande funktioner:
rref( A)
Stegformen för matrisen returneras A.
förstärka( A, I)
Returnerar en matris som bildas av platsen A Och I sida vid sida. Matriser A Och I måste ha samma antal rader.
submatris( A, ir, jr, ic, jc)
Returnerar en submatris som består av alla element med ir Förbi jr och kolumner med ic Förbi jc. Se till att ir jr Och
ic jc, annars kommer ordningen på raderna och/eller kolumnerna att vara omvänd.
Bild 9.
Beskrivning av metoden
För ett system med n linjära ekvationer med n okända (över ett godtyckligt fält)
med determinanten för systemmatrisen Δ skild från noll, skrivs lösningen i formen
(den i:te kolumnen i systemmatrisen ersätts av en kolumn med fria termer).
I en annan form är Cramers regel formulerad enligt följande: för alla koefficienter c1, c2, ..., cn gäller följande likhet:
I denna form är Cramers formel giltig utan antagandet att Δ skiljer sig från noll, det är inte ens nödvändigt att koefficienterna för systemet är element i en integralring (systemets bestämningsfaktor kan till och med vara en divisor av noll; koefficientring). Vi kan också anta att antingen mängderna b1,b2,...,bn och x1,x2,...,xn, eller mängden c1,c2,...,cn, inte består av element i koefficientringen av systemet, men någon modul ovanför denna ring. I denna form används Cramers formel till exempel i beviset på formeln för Gram-determinanten och Nakayamas Lemma.
| 35) Kronecker-Capelli-satsen |
För att ett system med m inhomogena linjära ekvationer i n okända ska vara konsekvent, är det nödvändigt och tillräckligt att bevis på nödvändighet. Låt systemet (1.13) vara konsekvent, det vill säga det finns sådana tal X 1 =α
1 , X 2 =α
2 , …, x n = α n , Vad  (1.15) Låt oss subtrahera från den sista kolumnen i den utökade matrisen dess första kolumn, multiplicerad med α 1, den andra - med α 2, ..., n:te - multiplicerad med α n, det vill säga från den sista kolumnen i matrisen (1.14) vi bör subtrahera de vänstra sidorna av likheterna ( 1.15). Sedan får vi matrisen  vars rang inte kommer att förändras som ett resultat av elementära transformationer och . Men det är uppenbart, och därför bevis på tillräcklighet. Låt och för visshetens skull låt en moll som inte är noll av ordningen r vara placerad i det övre vänstra hörnet av matrisen:  Detta innebär att de återstående raderna i matrisen kan erhållas som linjära kombinationer första r raderna, alltså m-r linjer matriser kan representeras som summor av de första r-raderna multiplicerade med några tal. Men då är de första r-ekvationerna i systemet (1.13) oberoende, och resten är deras konsekvenser, det vill säga lösningen till systemet med de första r-ekvationerna är automatiskt en lösning på de återstående ekvationerna. Det finns två möjliga fall. 1. r=n. Då har systemet som består av de första r-ekvationerna samma antal ekvationer och okända och är konsekvent, och dess lösning är unik. 2.r |
36) visshet, osäkerhet
Systemet m linjära ekvationer med n okänd(eller, linjärt system) i linjär algebra är ett ekvationssystem av formen
 |
Här x 1 , x 2 , …, x n- okända som måste fastställas. a 11 , a 12 , …, en mn- systemkoefficienter - och b 1 , b 2 , … b m- fria medlemmar - antas vara kända. Koefficientindex ( en ij) system betecknar ekvationsnummer ( i) och okänd ( j), vid vilken denna koefficient står, respektive.
System (1) anropas homogen, om alla dess fria termer är lika med noll ( b 1 = b 2 = … = b m= 0), annars - heterogen.
System (1) anropas gemensam, om den har minst en lösning, och icke-fogad, om hon inte har en enda lösning.
Ett skarvsystem av typ (1) kan ha en eller flera lösningar.
Lösningar c 1 (1) , c 2 (1) , …, c n(1) och c 1 (2) , c 2 (2) , …, c n(2) gemensamma system av formen (1) kallas olika, om minst en av jämställdheterna kränks:
| c 1 (1) = c 1 (2) , c 2 (1) = c 2 (2) , …, c n (1) = c n (2) . |
Ett gemensamt system av formen (1) kallas vissa, om den har en unik lösning; om den har minst två olika lösningar, så kallas den osäker
37) Lösa linjära ekvationssystem med Gauss-metoden
Låt originalsystemet se ut så här
Matris A kallas systemets huvudmatris, b- kolumn med gratis medlemmar.
Sedan, enligt egenskapen för elementära transformationer över rader, kan huvudmatrisen för detta system reduceras till echelonform (samma transformationer måste tillämpas på kolumnen med fria termer):
Sedan kallas variablerna huvudvariabler. Alla andra kallas fri.
[redigera] Villkor för kompatibilitet
Ovanstående villkor för alla kan formuleras som ett nödvändigt och tillräckligt villkor för kompatibilitet:
Kom ihåg att rangordningen för ett gemensamt system är rangordningen för dess huvudmatris (eller utökade matris, eftersom de är lika).
Algoritm
Beskrivning
Algoritmen för att lösa SLAE med den Gaussiska metoden är uppdelad i två steg.
§ I det första skedet utförs den så kallade direkta flytten, när man genom elementära transformationer över raderna bringar systemet till en stegvis eller triangulär form, eller det konstateras att systemet är inkompatibelt. Nämligen, bland elementen i den första kolumnen i matrisen, välj en icke-noll, flytta den till den översta positionen genom att ordna om raderna och subtrahera den resulterande första raden från de återstående raderna efter omordningen, multiplicera den med ett värde lika med förhållandet mellan det första elementet i var och en av dessa rader och det första elementet i den första raden, och nollställer således kolumnen under den. Efter att dessa omvandlingar har slutförts stryks den första raden och den första kolumnen mentalt över och fortsätter tills en nollstorleksmatris återstår. Om det vid någon iteration inte finns något icke-noll-element bland elementen i den första kolumnen, gå till nästa kolumn och utför en liknande operation.
§ I det andra steget utförs det så kallade omvända draget, vars essens är att uttrycka alla resulterande basvariabler i termer av icke-grundläggande och konstruera ett grundläggande system av lösningar, eller, om alla variabler är basic, uttryck sedan numeriskt den enda lösningen till systemet med linjära ekvationer. Denna procedur börjar med den sista ekvationen, från vilken den motsvarande grundvariabeln uttrycks (och det finns bara en) och ersätts med de föregående ekvationerna, och så vidare, och går upp för "stegen". Varje rad motsvarar exakt en basvariabel, så vid varje steg utom det sista (överst), upprepar situationen exakt fallet med den sista raden.
Gaussisk metod kräver ordning och reda O(n 3) åtgärder.
Denna metod bygger på:
38)Kronecker-Capellis sats.
Ett system är konsekvent om och endast om rangordningen för dess huvudmatris är lika med rangordningen för dess utökade matris.
Syftet med tjänsten. Kalkylatorn online är utformad för att hitta en icke-trivial och grundläggande lösning på SLAE. Den resulterande lösningen sparas i en Word-fil (se exempel på lösning).
Instruktioner. Välj matrisdimension:
Egenskaper för system av linjära homogena ekvationer
För att systemet ska ha icke-triviala lösningar, är det nödvändigt och tillräckligt att rangordningen för dess matris är mindre än antalet okända.Sats. Ett system i fallet m=n har en icke-trivial lösning om och endast om determinanten för detta system är lika med noll.
Sats. Varje linjär kombination av lösningar till ett system är också en lösning på det systemet.
Definition. Uppsättningen av lösningar till ett system av linjära homogena ekvationer kallas grundläggande system av lösningar, om denna uppsättning består av linjärt oberoende lösningar och varje lösning till systemet är en linjär kombination av dessa lösningar.
Sats. Om rangordningen r för systemmatrisen är mindre än antalet n okända, så finns det ett grundläggande system av lösningar som består av (n-r) lösningar.
Algoritm för att lösa system av linjära homogena ekvationer
- Att hitta rangordningen för matrisen.
- Vi väljer den grundläggande minor. Vi skiljer på beroende (grundläggande) och fria okända.
- Vi stryker ut de ekvationer i systemet vars koefficienter inte ingår i basmoll, eftersom de är konsekvenser av de andra (enligt satsen om basismoll).
- Vi flyttar termerna för ekvationerna som innehåller fria okända till höger sida. Som ett resultat får vi ett system av r ekvationer med r okända, ekvivalent med den givna, vars determinant är icke-noll.
- Vi löser det resulterande systemet genom att eliminera okända. Vi hittar relationer som uttrycker beroende variabler genom fria.
- Om rangordningen för matrisen inte är lika med antalet variabler, hittar vi systemets grundläggande lösning.
- I fallet ring = n har vi en trivial lösning.
Exempel. Hitta grunden för vektorsystemet (a 1, a 2,...,a m), rangordna och uttryck vektorerna utifrån basen. Om a 1 =(0,0,1,-1) och 2 =(1,1,2,0) och 3 =(1,1,1,1) och 4 =(3,2,1 ,4), och 5 =(2,1,0,3).
Låt oss skriva ner huvudmatrisen för systemet:
Multiplicera den 3:e raden med (-3). Låt oss lägga till den 4:e raden till den 3:e:
| 0 | 0 | 1 | -1 |
| 0 | 0 | -1 | 1 |
| 0 | -1 | -2 | 1 |
| 3 | 2 | 1 | 4 |
| 2 | 1 | 0 | 3 |
Multiplicera den fjärde raden med (-2). Låt oss multiplicera den 5:e raden med (3). Låt oss lägga till den 5:e raden till den 4:e:
Låt oss lägga till den andra raden till den första:
Låt oss hitta rangordningen för matrisen.
Systemet med koefficienterna för denna matris är ekvivalent med det ursprungliga systemet och har formen:
- x 3 = - x 4
- x 2 - 2x 3 = - x 4
2x 1 + x 2 = - 3x 4
Genom att använda metoden för att eliminera okända, hittar vi en icke-trivial lösning:
Vi fick relationer som uttrycker de beroende variablerna x 1 , x 2 , x 3 genom de fria x 4 , det vill säga vi hittade en generell lösning:
x 3 = x 4
x 2 = - x 4
x 1 = - x 4
