Vietas sats. Exempel på lösningar. Vietas sats för andragradsekvationer och andra ekvationer Lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas satsexempel

Formulering och bevis för Vietas sats för andragradsekvationer. Omvänd Vieta-sats. Vietas sats för kubikekvationer och ekvationer av godtycklig ordning.

Innehåll

Se även: Rötterna till en andragradsekvation

Kvadratisk ekvation

Vietas sats

Låt och beteckna rötterna till den reducerade andragradsekvationen
(1) .
Då är summan av rötterna lika med koefficienten vid taget med motsatt tecken. Produkten av rötterna är lika med den fria termen:
;
.

En anteckning om flera rötter

Om diskriminanten för ekvation (1) är noll, har denna ekvation en rot. Men för att undvika besvärliga formuleringar är det allmänt accepterat att i detta fall har ekvation (1) två multipla eller lika stora rötter:
.

Bevis ett

Låt oss hitta rötterna till ekvation (1). För att göra detta, tillämpa formeln för rötterna till andragradsekvationen:
;
;
.

Hitta summan av rötterna:
.

För att hitta produkten använder vi formeln:
.
Sedan

.

Teoremet har bevisats.

Bevis två

Om talen och är rötterna till andragradsekvationen (1), då
.
Vi öppnar fästena.

.
Således kommer ekvation (1) att ha formen:
.
Jämför vi med (1) finner vi:
;
.

Teoremet har bevisats.

Omvänd Vieta-sats

Låt det finnas godtyckliga siffror. Då och är rötterna till andragradsekvationen
,
Var
(2) ;
(3) .

Bevis på Vietas omvända teorem

Överväga andragradsekvation
(1) .
Vi måste bevisa att om och , då och är rötterna till ekvation (1).

Ersätt (2) och (3) i (1):
.
Vi grupperar termerna på vänster sida av ekvationen:
;
;
(4) .

Ersättare i (4):
;
.

Ersättare i (4):
;
.
Ekvationen är uppfylld. Det vill säga talet är roten till ekvation (1).

Teoremet har bevisats.

Vietas sats för den fullständiga andragradsekvationen

Betrakta nu hela andragradsekvationen
(5) ,
var , och är några siffror. Och .

Vi dividerar ekvation (5) med:
.
Det vill säga, vi har fått ovanstående ekvation
,
Var ; .

Då har Vieta-satsen för den fullständiga andragradsekvationen följande form.

Låt och beteckna rötterna till den fullständiga andragradsekvationen
.
Sedan bestäms summan och produkten av rötterna av formlerna:
;
.

Vietas sats för en kubikekvation

På liknande sätt kan vi upprätta kopplingar mellan rötterna till en kubikekvation. Tänk på kubikekvationen
(6) ,
där , , , finns några siffror. Och .
Låt oss dividera denna ekvation med:
(7) ,
Var , , .
Låt , , vara rötterna till ekvation (7) (och ekvation (6)). Sedan

.

Jämför vi med ekvation (7) finner vi:
;
;
.

Vietas sats för en n:te gradsekvation

På samma sätt kan man hitta samband mellan rötterna , , ... , , för ekvationen n:e graden
.

Vietas sats för n:e ekvationerna examen har följande form:
;
;
;

.

För att få dessa formler skriver vi ekvationen i följande form:
.
Sedan likställer vi koefficienterna vid , , , ... , och jämför den fria termen.

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner, Lan, 2009.
CENTIMETER. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: en lärobok för 8:e klass av utbildningsinstitutioner, Moskva, utbildning, 2006.

Se även:

Vietas sats (mer exakt, satsen omvänd teorem Vieta) låter dig minska tiden för att lösa andragradsekvationer. Du behöver bara veta hur du använder den. Hur lär man sig att lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas teorem? Det är lätt om man tänker lite.

Nu ska vi bara prata om lösningen av den reducerade andragradsekvationen med hjälp av Vieta-satsen Den reducerade andragradsekvationen är en ekvation där a, det vill säga koefficienten framför x², är lika med ett. Ogivna andragradsekvationer kan också lösas med hjälp av Vieta-satsen, men redan där är åtminstone en av rötterna inte ett heltal. De är svårare att gissa.

Satsen i motsats till Vietas sats säger: om talen x1 och x2 är sådana att

då är x1 och x2 rötterna till andragradsekvationen

När man löser en andragradsekvation med hjälp av Vieta-satsen är endast 4 alternativ möjliga. Om du kommer ihåg resonemangets gång kan du lära dig att hitta hela rötter väldigt snabbt.

I. Om q är ett positivt tal,

det betyder att rötterna x1 och x2 är tal med samma tecken (eftersom endast när man multiplicerar tal med samma tecken erhålls ett positivt tal).

I.a. Om -p är ett positivt tal, (respektive sid<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Om -p - ett negativt tal, (respektive p>0), då är båda rötterna negativa tal (de lade till tal med samma tecken, fick ett negativt tal).

II. Om q är ett negativt tal,

detta betyder att rötterna x1 och x2 har olika tecken (vid multiplicering av tal erhålls ett negativt tal endast när tecknen på faktorerna är olika). I det här fallet är x1 + x2 inte längre en summa, utan en skillnad (trots allt, när vi lägger till tal med olika tecken, subtraherar vi det mindre från det större modulo). Därför visar x1 + x2 hur mycket rötterna x1 och x2 skiljer sig åt, det vill säga hur mycket en rot är mer än den andra (modulo).

II.a. Om -p är ett positivt tal, (dvs sid<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Om -p är ett negativt tal, (p>0), då är den större (modulo) roten ett negativt tal.

Betrakta lösningen av andragradsekvationer enligt Vietas sats med hjälp av exempel.

Lös den givna andragradsekvationen med hjälp av Vietas sats:

Här är q=12>0, så rötterna x1 och x2 är tal med samma tecken. Deras summa är -p=7>0, så båda rötterna är positiva tal. Vi väljer heltal vars produkt är 12. Dessa är 1 och 12, 2 och 6, 3 och 4. Summan är 7 för paret 3 och 4. Därför är 3 och 4 rötterna till ekvationen.

I det här exemplet är q=16>0, vilket betyder att rötterna x1 och x2 är tal med samma tecken. Deras summa -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Här är q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, då är det större talet positivt. Så rötterna är 5 och -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

François Vieta (1540-1603) - matematiker, skapare av de berömda Vieta-formlerna

Vietas sats behövs för att snabbt lösa andragradsekvationer (i enkla termer).

Närmare bestämt t Vietas teorem - detta är summan av rötterna till denna andragradsekvation är lika med den andra koefficienten, som tas med motsatt tecken, och produkten är lika med den fria termen. Denna egenskap har en given andragradsekvation som har rötter.

Med hjälp av Vieta-satsen kan du enkelt lösa andragradsekvationer genom urval, så låt oss säga "tack" till den här matematikern med ett svärd i händerna för vår glada 7:e klass.

Bevis för Vietas sats

För att bevisa satsen kan du använda de välkända rotformlerna, tack vare vilka vi kommer att komponera summan och produkten av rötterna till andragradsekvationen. Först efter det kan vi se till att de är likvärdiga och följaktligen .

Låt oss säga att vi har en ekvation: . Denna ekvation har följande rötter: och . Låt oss bevisa att .

Enligt formlerna för rötterna till andragradsekvationen:

1. Hitta summan av rötterna:

Låt oss analysera denna ekvation, eftersom vi fick den exakt så här:

= .

Steg 1. Vi reducerar bråken till en gemensam nämnare, visar det sig:

= = .

Steg 2. Vi har en bråkdel där du behöver öppna fästena:

Vi minskar bråkdelen med 2 och får:

Vi har bevisat sambandet för summan av rötterna i en andragradsekvation med hjälp av Vietas sats.

2. Hitta produkten av rötterna:

= = = = = .

Låt oss bevisa denna ekvation:

Steg 1. Det finns en regel för att multiplicera bråk, enligt vilken vi multiplicerar denna ekvation:

Nu minns vi definitionen av kvadratroten och överväger:

= .

Steg 3. Vi minns diskriminanten i andragradsekvationen: . Därför, istället för D (diskriminant), ersätter vi i den sista bråkdelen, då får vi:

= .

Steg 4. Öppna parenteserna och lägg till liknande termer till bråk:

Steg 5. Vi minskar "4a" och får.

Så vi har bevisat sambandet för produkten av rötter enligt Vietas teorem.

VIKTIG!Om diskriminanten är noll, har andragradsekvationen bara en rot.

Sats invers till Vietas sats

Enligt satsen, inversen av Vietas sats, kan vi kontrollera om vår ekvation är rätt löst. För att förstå själva satsen måste vi överväga det mer i detalj.

Om siffrorna är:

Och då är de rötterna till andragradsekvationen.

Bevis på Vietas omvända teorem

Steg 1.Låt oss ersätta uttryck för dess koefficienter i ekvationen:

Steg 2Låt oss omvandla den vänstra sidan av ekvationen:

Steg 3. Låt oss hitta rötterna till ekvationen, och för detta använder vi egenskapen att produkten är lika med noll:

Eller . Var kommer det ifrån: eller.

Exempel med lösningar av Vietas sats

Exempel 1

Träning

Hitta summan, produkten och kvadratsumman av rötterna i en andragradsekvation utan att hitta rötterna till ekvationen.

Lösning

Steg 1. Kom ihåg den diskriminerande formeln. Vi byter ut våra siffror mot bokstäverna. Det vill säga , är ett substitut för , och . Detta innebär:

Det visar sig:

Title="Renderd av QuickLaTeX.com" height="13" width="170" style="vertical-align: -1px;">. Если дискриминант больше нуля, тогда у уравнения есть корни. По теореме Виета их сумма , а произведение . !}

Vi uttrycker summan av rötternas kvadrater genom deras summa och produkt:

Svar

7; 12; 25.

Exempel 2

Träning

Lös ekvationen. I det här fallet ska du inte använda formlerna i andragradsekvationen.

Lösning

Denna ekvation har rötter som är större än noll i termer av diskriminanten (D). Följaktligen, enligt Vieta-satsen, är summan av rötterna till denna ekvation 4, och produkten är 5. Först bestämmer vi talets divisorer, vars summa är 4. Dessa är talen "5" och "-1". Deras produkt är lika med - 5, och summan - 4. Därför, enligt satsen, motsatsen till Vietas sats, är de rötterna till denna ekvation.

Svar

OCH Exempel 4

Träning

Skriv en ekvation där varje rot är två gånger motsvarande rot i ekvationen:

Lösning

Enligt Vietas teorem är summan av rötterna i denna ekvation 12, och produkten = 7. Därför är de två rötterna positiva.

Summan av rötterna till den nya ekvationen kommer att vara lika med:

Och arbetet.

Genom en sats omvänd till Vietas sats har den nya ekvationen formen:

Svar

Resultatet blev en ekvation där varje rot är dubbelt så stor:

Så vi tittade på hur man löser en ekvation med hjälp av Vietas teorem. Det är mycket bekvämt att använda detta teorem om uppgifter löses som är förknippade med tecknen på rötterna i andragradsekvationer. Det vill säga, om den fria termen i formeln är ett positivt tal, och om det finns reella rötter i andragradsekvationen, kan båda vara antingen negativa eller positiva.

Och om den fria termen är ett negativt tal, och om det finns reella rötter i andragradsekvationen, kommer båda tecknen att vara olika. Det vill säga, om en rot är positiv, så kommer den andra roten bara att vara negativ.

Användbara källor:

1. Dorofeev G. V., Suvorova S. B., Bunimovich E. A. Algebra Grad 8: Moskva "Enlightenment", 2016 – 318 s.
2. Rubin A. G., Chulkov P. V. - lärobok Algebra Grad 8: Moskva "Balass", 2015 - 237 s.
3. Nikolsky S. M., Potopav M. K., Reshetnikov N. N., Shevkin A. V. – Algebra Grade 8: Moscow “Enlightenment”, 2014 – 300

Vietas sats, invers Vieta-formel och exempel med lösning för dummies uppdaterad: 22 november 2019 av: Vetenskapliga artiklar.Ru

I åttan får eleverna lära sig andragradsekvationer och hur man löser dem. Samtidigt, som erfarenheten visar, använder de flesta elever bara en metod när de löser fullständiga andragradsekvationer – formeln för rötterna till en andragradsekvation. För elever med god muntlig räkneförmåga är denna metod uppenbart irrationell. Elever får ofta lösa andragradsekvationer på gymnasiet och där är det helt enkelt synd att lägga tid på att räkna ut diskriminanten. Enligt min åsikt, när man studerar andragradsekvationer, bör mer tid och uppmärksamhet ägnas åt tillämpningen av Vieta-satsen (enligt programmet för A.G. Mordkovich Algebra-8, är endast två timmar planerade för att studera ämnet "Vieta-satsen. Nedbrytning av ett kvadratiskt trinomium till linjära faktorer").

I de flesta algebraläroböcker är denna sats formulerad för en reducerad andragradsekvation och säger att om ekvationen har rötter och , då uppfyller de likheterna , . Sedan formuleras ett uttalande i motsats till Vietas teorem, och ett antal exempel erbjuds för att arbeta med detta ämne.

Låt oss ta specifika exempel och spåra lösningens logik på dem med hjälp av Vietas teorem.

Exempel 1. Lös ekvationen.

Anta att denna ekvation har rötter, nämligen och . Sedan, enligt Vietas teorem, jämlikheterna

Observera att produkten av rötterna är ett positivt tal. Så, rötterna till ekvationen har samma tecken. Och eftersom summan av rötterna också är ett positivt tal, drar vi slutsatsen att båda rötterna i ekvationen är positiva. Låt oss gå tillbaka till produkten av rötter. Antag att rötterna till ekvationen är positiva heltal. Då kan den korrekta första likheten erhållas på endast två sätt (upp till faktorordningen): eller . Låt oss kontrollera för de föreslagna sifferparen genomförbarheten av det andra påståendet i Vieta-satsen: . Således uppfyller siffrorna 2 och 3 båda likheterna, och är därför rötterna till den givna ekvationen.

Svar: 2; 3.

Vi pekar ut huvudstadierna av resonemang när vi löser den givna andragradsekvationen med hjälp av Vieta-satsen:

skriv ner påståendet om Vietas sats

(*)

• bestäm tecknen på rötterna i ekvationen (Om produkten och summan av rötterna är positiva, så är båda rötterna positiva tal. Om produkten av rötterna är ett positivt tal och summan av rötterna är negativ, då båda rötterna är negativa tal. Om produkten av rötterna är ett negativt tal, har rötterna olika tecken. Dessutom, om summan av rötterna är positiv, är roten med en större modul ett positivt tal, och om summan av rötterna är mindre än noll, då är roten med en större modul ett negativt tal);
• välj par av heltal vars produkt ger den korrekta första likheten i notationen (*);
• från de hittade nummerparen, välj det par som, när det sätts in i den andra likheten i notationen (*), ger den korrekta likheten;
• ange i svaret ekvationens hittade rötter.

Låt oss ge några fler exempel.

Exempel 2: Lös ekvationen .

Lösning.

Låt och vara rötterna till den givna ekvationen. Sedan genom Vietas sats Observera att produkten är positiv och summan är negativ. Så båda rötterna är negativa tal. Vi väljer par av faktorer som ger produkten av 10 (-1 och -10; -2 och -5). Det andra paret siffror summerar till -7. Så talen -2 och -5 är rötterna till denna ekvation.

Svar: -2; -5.

Exempel 3. Lös ekvationen .

Lösning.

Låt och vara rötterna till den givna ekvationen. Sedan genom Vietas teorem Observera att produkten är negativ. Så rötterna är av olika tecken. Summan av rötterna är också ett negativt tal. Därför är roten med den största modulen negativ. Vi väljer par av faktorer som ger produkten -10 (1 och -10; 2 och -5). Det andra paret siffror summerar till -3. Så talen 2 och -5 är rötterna till denna ekvation.

Svar: 2; -5.

Observera att Vieta-satsen i princip kan formuleras för den fullständiga andragradsekvationen: om andragradsekvationen har rötter och då tillfredsställer de jämlikheterna , . Tillämpningen av denna sats är dock ganska problematisk, eftersom åtminstone en av rötterna (om någon, naturligtvis) i den fullständiga andragradsekvationen är ett bråktal. Och arbetet med valet av bråk är långt och svårt. Men det finns fortfarande en väg ut.

Betrakta den fullständiga andragradsekvationen . Multiplicera båda sidor av ekvationen med den första koefficienten A och skriv ekvationen i formuläret . Vi introducerar en ny variabel och får en reducerad andragradsekvation , vars rötter och (om några) kan hittas med hjälp av Vieta-satsen. Då blir rötterna till den ursprungliga ekvationen . Observera att det är mycket lätt att skriva den reducerade hjälpekvationen: den andra koefficienten bevaras och den tredje koefficienten är lika med produkten ess. Med en viss färdighet komponerar eleverna omedelbart en hjälpekvation, hittar dess rötter med hjälp av Vieta-satsen och anger rötterna till den givna fullständiga ekvationen. Låt oss ge exempel.

Exempel 4. Lös ekvationen .

Låt oss göra en hjälpekvation och genom Vietas sats finner vi dess rötter. Så rötterna till den ursprungliga ekvationen .

Svar: .

Exempel 5. Lös ekvationen .

Hjälpekvationen har formen . Enligt Vietas teorem är dess rötter . Vi hittar rötterna till den ursprungliga ekvationen .

Svar: .

Och ett fall till när tillämpningen av Vietas teorem låter dig verbalt hitta rötterna till en komplett andragradsekvation. Det är lätt att bevisa det talet 1 är roten till ekvationen , om och endast om. Den andra roten av ekvationen hittas av Vieta-satsen och är lika med . Ytterligare ett uttalande: så att talet -1 är roten till ekvationen nödvändigt och tillräckligt för att. Då är den andra roten av ekvationen enligt Vietas sats lika med . Liknande påståenden kan formuleras för den reducerade andragradsekvationen.

Exempel 6. Lös ekvationen.

Observera att summan av ekvationens koefficienter är noll. Alltså rötterna till ekvationen .

Svar: .

Exempel 7. Lös ekvationen.

Koefficienterna för denna ekvation uppfyller egenskapen (verkligen 1-(-999)+(-1000)=0). Alltså rötterna till ekvationen .

Svar: ..

Exempel för tillämpning av Vietas sats

Uppgift 1. Lös den givna andragradsekvationen med hjälp av Vietas sats.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Uppgift 2. Lös den fullständiga andragradsekvationen genom att använda övergången till den reducerade hjälpekvationen.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.

Uppgift 3. Lös en andragradsekvation med hjälp av egenskapen.

När du studerar sätt att lösa andra ordningens ekvationer i en skolalgebrakurs, överväg egenskaperna hos de erhållna rötterna. De är nu kända som Vietas satser. Exempel på dess användning ges i den här artikeln.

Andragradsekvation

Den andra ordningens ekvation är en likhet, som visas på bilden nedan.

Här är symbolerna a, b, c några tal som kallas koefficienterna för ekvationen i fråga. För att lösa en likhet måste du hitta x-värden som gör den sann.

Observera att eftersom det maximala värdet för den potens till vilken x höjs är två, så är antalet rötter i det allmänna fallet också två.

Det finns flera sätt att lösa den här typen av jämställdhet. I den här artikeln kommer vi att överväga en av dem, som involverar användningen av den så kallade Vieta-satsen.

Uttalande av Vietas teorem

I slutet av 1500-talet märkte den berömda matematikern Francois Viet (fransman), när han analyserade egenskaperna hos rötterna till olika andragradsekvationer, att vissa kombinationer av dem uppfyller specifika samband. I synnerhet är dessa kombinationer deras produkt och summa.

Vietas sats fastställer följande: rötterna till en andragradsekvation, när de summeras, ger förhållandet mellan de linjära och andragradskoefficienterna tagna med motsatt tecken, och när de multipliceras leder de till förhållandet mellan den fria termen och den andragradskoefficienten .

Om den allmänna formen av ekvationen skrivs som den visas på bilden i föregående avsnitt av artikeln, så kan denna sats matematiskt skrivas som två likheter:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c/a.

Där r 1, r 2 är värdet av rötterna till den betraktade ekvationen.

Dessa två likheter kan användas för att lösa ett antal mycket olika matematiska problem. Användningen av Vieta-satsen i exempel med en lösning ges i följande avsnitt av artikeln.