Sagor

Hur man löser ekvationer med hjälp av Vietas sats i matematik. Vietas sats. Lösningsexempel Vieta-metodens kvadratiska ekvation

När du studerar sätt att lösa andra ordningens ekvationer i en skolalgebrakurs, överväg egenskaperna hos de erhållna rötterna. De är nu kända som Vietas satser. Exempel på dess användning ges i den här artikeln.

Andragradsekvation

Den andra ordningens ekvation är en likhet, som visas på bilden nedan.

Här är symbolerna a, b, c några tal som kallas koefficienterna för ekvationen i fråga. För att lösa en likhet måste du hitta x-värden som gör den sann.

Observera att eftersom det maximala värdet för den potens till vilken x höjs är två, så är antalet rötter i det allmänna fallet också två.

Det finns flera sätt att lösa den här typen av jämställdhet. I den här artikeln kommer vi att överväga en av dem, som involverar användningen av den så kallade Vieta-satsen.

Uttalande av Vietas teorem

I slutet av 1500-talet märkte den berömde matematikern Francois Viet (fransman), när han analyserade egenskaperna hos rötterna till olika andragradsekvationer, att vissa kombinationer av dem uppfyller specifika samband. I synnerhet är dessa kombinationer deras produkt och summa.

Vietas teorem fastställer följande: rötterna till en andragradsekvation, när de summeras, ger förhållandet mellan de linjära och andragradskoefficienterna tagna med motsatt tecken, och när de multipliceras leder de till förhållandet mellan den fria termen och den andragradskoefficienten .

Om den allmänna formen av ekvationen skrivs som den visas på bilden i föregående avsnitt av artikeln, kan denna sats matematiskt skrivas som två likheter:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c/a.

Där r 1, r 2 är värdet av rötterna till den betraktade ekvationen.

Dessa två likheter kan användas för att lösa ett antal mycket olika matematiska problem. Användningen av Vieta-satsen i exempel med en lösning ges i följande avsnitt av artikeln.

Vietas teorem används ofta för att testa redan hittade rötter. Om du har hittat rötterna kan du använda formlerna \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) för att beräkna värdena \(p\ ) och \(q\ ). Och om de visar sig vara desamma som i den ursprungliga ekvationen, så hittas rötterna korrekt.

Låt oss till exempel använda , lösa ekvationen \(x^2+x-56=0\) och få rötterna: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Låt oss kontrollera om vi gjorde ett misstag i processen att lösa. I vårt fall \(p=1\) och \(q=-56\). Enligt Vietas sats har vi:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Båda påståendena konvergerade, vilket betyder att vi löste ekvationen korrekt.

Detta test kan göras oralt. Det tar 5 sekunder och räddar dig från dumma misstag.

Omvänd Vieta-sats

Om \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), då är \(x_1\) och \(x_2\) rötterna till andragradsekvationen \ (x^ 2+px+q=0\).

Eller på ett enkelt sätt: om du har en ekvation av formen \(x^2+px+q=0\), då genom att lösa systemet \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \ cdot x_2=q\ end(cases)\) hittar du dess rötter.

Tack vare detta teorem kan du snabbt hitta rötterna till en andragradsekvation, speciellt om dessa rötter är . Denna färdighet är viktig eftersom den sparar mycket tid.

Exempel . Lös ekvationen \(x^2-5x+6=0\).

Lösning : Med hjälp av den inversa Vieta-satsen får vi att rötterna uppfyller villkoren: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Titta på den andra ekvationen för \(x_1 \cdot x_2=6\) systemet. Till vilka två kan talet \(6\) delas upp? På \(2\) och \(3\), \(6\) och \(1\) eller \(-2\) och \(-3\), och \(-6\) och \(- 1\). Och vilket par att välja, kommer den första ekvationen i systemet att berätta: \(x_1+x_2=5\). \(2\) och \(3\) är lika, eftersom \(2+3=5\).
Svar : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Exempel . Använd inversen av Vietas teorem och hitta rötterna till andragradsekvationen:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Lösning :
a) \(x^2-15x+14=0\) - vilka faktorer sönderfaller \(14\) till? \(2\) och \(7\), \(-2\) och \(-7\), \(-1\) och \(-14\), \(1\) och \(14\ ). Vilka par av tal summerar till \(15\)? Svar: \(1\) och \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) - till vilka faktorer bryts \(-4\) ned? \(-2\) och \(2\), \(4\) och \(-1\), \(1\) och \(-4\). Vilka par av tal summerar till \(-3\)? Svar: \(1\) och \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – i vilka faktorer bryts \(20\) ned? \(4\) och \(5\), \(-4\) och \(-5\), \(2\) och \(10\), \(-2\) och \(-10\ ), \(-20\) och \(-1\), \(20\) och \(1\). Vilka par av tal summerar till \(-9\)? Svar: \(-4\) och \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) - i vilka faktorer bryts \(780\) ned? \(390\) och \(2\). Lägger de ihop till \(88\)? Nej. Vilka andra multiplikatorer har \(780\)? \(78\) och \(10\). Lägger de ihop till \(88\)? Ja. Svar: \(78\) och \(10\).

Det är inte nödvändigt att dekomponera den sista termen i alla möjliga faktorer (som i det sista exemplet). Du kan direkt kontrollera om deras summa ger \(-p\).

Viktig! Vietas sats och omvänd teorem arbeta bara med , det vill säga en vars koefficient framför \(x^2\) är lika med en. Om vi initialt har en icke-reducerad ekvation, kan vi göra den reducerad genom att helt enkelt dividera med koefficienten framför \ (x ^ 2 \).

Till exempel, låt ekvationen \(2x^2-4x-6=0\) ges och vi vill använda en av Vietas satser. Men vi kan inte, eftersom koefficienten före \(x^2\) är lika med \(2\). Låt oss bli av med det genom att dividera hela ekvationen med \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Redo. Nu kan vi använda båda satserna.

Svar på ofta ställda frågor

Fråga: Med Vietas teorem kan du lösa alla ?
Svar: Tyvärr inte. Om det inte finns heltal i ekvationen eller om ekvationen inte har några rötter alls, så hjälper inte Vietas sats. I det här fallet måste du använda diskriminerande . Som tur är har 80 % av ekvationerna i skolmattekursen heltalslösningar.

I åttan får eleverna lära sig andragradsekvationer och hur man löser dem. Samtidigt, som erfarenheten visar, använder de flesta elever bara en metod när de löser fullständiga andragradsekvationer – formeln för rötterna till en andragradsekvation. För elever med god muntlig räkneförmåga är denna metod uppenbart irrationell. Elever får ofta lösa andragradsekvationer på gymnasiet och där är det helt enkelt synd att lägga tid på att räkna ut diskriminanten. Enligt min åsikt, när man studerar andragradsekvationer, bör mer tid och uppmärksamhet ägnas åt tillämpningen av Vieta-satsen (enligt programmet för A.G. Mordkovich Algebra-8, är endast två timmar planerade för att studera ämnet "Vieta-satsen. Nedbrytning av ett kvadratiskt trinomium till linjära faktorer").

I de flesta algebraläroböcker är denna sats formulerad för en reducerad andragradsekvation och säger att om ekvationen har rötter och , då uppfyller de likheterna , . Sedan formuleras ett uttalande i motsats till Vietas teorem, och ett antal exempel erbjuds för att arbeta med detta ämne.

Låt oss ta specifika exempel och spåra lösningens logik på dem med hjälp av Vietas teorem.

Exempel 1. Lös ekvationen.

Anta att denna ekvation har rötter, nämligen och . Sedan, enligt Vietas teorem, jämlikheterna

Observera att produkten av rötterna är ett positivt tal. Så, rötterna till ekvationen har samma tecken. Och eftersom summan av rötterna också är ett positivt tal, drar vi slutsatsen att båda rötterna i ekvationen är positiva. Låt oss gå tillbaka till produkten av rötter. Antag att rötterna till ekvationen är positiva heltal. Då kan den korrekta första likheten erhållas på endast två sätt (upp till faktorordningen): eller . Låt oss kontrollera för de föreslagna sifferparen genomförbarheten av det andra påståendet i Vieta-satsen: . Således uppfyller siffrorna 2 och 3 båda likheterna, och är därför rötterna till den givna ekvationen.

Svar: 2; 3.

Vi pekar ut huvudstadierna av resonemang när vi löser den givna andragradsekvationen med hjälp av Vieta-satsen:

skriv ner påståendet om Vietas sats

(*)

bestäm tecknen för rötterna i ekvationen (Om produkten och summan av rötterna är positiva, så är båda rötterna positiva tal. Om produkten av rötterna är ett positivt tal och summan av rötterna är negativ, så är båda rötter är negativa tal. Om produkten av rötterna är ett negativt tal, då har rötterna olika tecken. Dessutom, om summan av rötterna är positiv, så är roten med en större modul ett positivt tal, och om summan av rötterna är mindre än noll, då är roten med en större modul ett negativt tal);
välj par av heltal vars produkt ger den korrekta första likheten i notationen (*);
från de hittade nummerparen, välj det par som, när det sätts in i den andra likheten i notationen (*), ger den korrekta likheten;
ange i svaret ekvationens hittade rötter.

Låt oss ge några fler exempel.

Exempel 2: Lös ekvationen .

Lösning.

Låt och vara rötterna till den givna ekvationen. Sedan genom Vietas sats Observera att produkten är positiv och summan är negativ. Så båda rötterna är negativa tal. Vi väljer par av faktorer som ger produkten av 10 (-1 och -10; -2 och -5). Det andra paret siffror summerar till -7. Så talen -2 och -5 är rötterna till denna ekvation.

Svar: -2; -5.

Exempel 3. Lös ekvationen .

Lösning.

Låt och vara rötterna till den givna ekvationen. Sedan genom Vietas teorem Observera att produkten är negativ. Så rötterna är av olika tecken. Summan av rötterna är också ett negativt tal. Därför är roten med den största modulen negativ. Vi väljer par av faktorer som ger produkten -10 (1 och -10; 2 och -5). Det andra paret siffror summerar till -3. Så talen 2 och -5 är rötterna till denna ekvation.

Svar: 2; -5.

Observera att Vieta-satsen i princip kan formuleras för den fullständiga andragradsekvationen: Om andragradsekvation har rötter och då tillfredsställer de jämlikheterna , . Tillämpningen av denna sats är dock ganska problematisk, eftersom åtminstone en av rötterna (om någon, naturligtvis) i den fullständiga andragradsekvationen är ett bråktal. Och arbetet med valet av bråk är långt och svårt. Men det finns fortfarande en väg ut.

Betrakta den fullständiga andragradsekvationen . Multiplicera båda sidor av ekvationen med den första koefficienten A och skriv ekvationen i formuläret . Vi introducerar en ny variabel och får en reducerad andragradsekvation , vars rötter och (om några) kan hittas med hjälp av Vieta-satsen. Då blir rötterna till den ursprungliga ekvationen . Observera att det är mycket lätt att skriva den reducerade hjälpekvationen: den andra koefficienten bevaras och den tredje koefficienten är lika med produkten ess. Med en viss färdighet komponerar eleverna omedelbart en hjälpekvation, hittar dess rötter med hjälp av Vieta-satsen och anger rötterna till den givna fullständiga ekvationen. Låt oss ge exempel.

Exempel 4. Lös ekvationen .

Låt oss göra en hjälpekvation och genom Vietas sats finner vi dess rötter. Så rötterna till den ursprungliga ekvationen .

Svar: .

Exempel 5. Lös ekvationen .

Hjälpekvationen har formen . Enligt Vietas teorem är dess rötter . Vi hittar rötterna till den ursprungliga ekvationen .

Svar: .

Och ett fall till när tillämpningen av Vietas teorem låter dig verbalt hitta rötterna till en komplett andragradsekvation. Det är lätt att bevisa det talet 1 är roten till ekvationen , om och endast om. Den andra roten av ekvationen hittas av Vieta-satsen och är lika med . Ytterligare ett uttalande: så att talet -1 är roten till ekvationen nödvändigt och tillräckligt för att. Då är den andra roten av ekvationen enligt Vietas sats lika med . Liknande påståenden kan formuleras för den reducerade andragradsekvationen.

Exempel 6. Lös ekvationen.

Observera att summan av ekvationens koefficienter är noll. Alltså rötterna till ekvationen .

Svar: .

Exempel 7. Lös ekvationen.

Koefficienterna för denna ekvation uppfyller egenskapen (verkligen 1-(-999)+(-1000)=0). Alltså rötterna till ekvationen .

Svar: ..

Exempel för tillämpning av Vietas sats

Uppgift 1. Lös den givna andragradsekvationen med hjälp av Vietas sats.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Uppgift 2. Lös den fullständiga andragradsekvationen genom att använda övergången till den reducerade hjälpekvationen.

1. 6. 11. 16.
2. 7. 12. 17.
3. 8. 13. 18.
4. 9. 14. 19.
5. 10. 15. 20.

Uppgift 3. Lös en andragradsekvation med hjälp av egenskapen.

En av metoderna för att lösa en andragradsekvation är tillämpningen VIETAS formler, som fick sitt namn efter FRANCOIS VIETE.

Han var en berömd advokat och tjänstgjorde på 1500-talet hos den franske kungen. På fritiden studerade han astronomi och matematik. Han etablerade ett samband mellan rötter och koefficienter för en andragradsekvation.

Fördelar med formeln:

1 . Genom att tillämpa formeln kan du snabbt hitta lösningen. Eftersom du inte behöver ange den andra koefficienten i kvadraten, subtrahera sedan 4ac från den, hitta diskriminanten, ersätt dess värde i formeln för att hitta rötterna.

2 . Utan en lösning kan du bestämma rötternas tecken, plocka upp rötternas värden.

3 . Efter att ha löst systemet med två poster är det inte svårt att hitta själva rötterna. I ovanstående andragradsekvation är summan av rötterna lika med värdet av den andra koefficienten med ett minustecken. Produkten av rötterna i ovanstående andragradsekvation är lika med värdet av den tredje koefficienten.

4 . Skriv en andragradsekvation enligt de givna rötterna, det vill säga lös det omvända problemet. Till exempel används denna metod för att lösa problem inom teoretisk mekanik.

5 . Det är bekvämt att tillämpa formeln när den inledande koefficienten är lika med en.

Brister:

1 . Formeln är inte universell.

Vietas sats årskurs 8

Formel
Om x 1 och x 2 är rötterna till den givna andragradsekvationen x 2 + px + q \u003d 0, då:

Exempel
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - rötterna till ekvationen x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Omvänd teorem

Formel
Om talen x 1 , x 2 , p, q är förbundna med villkoren:

Då är x 1 och x 2 rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

Exempel
Låt oss göra en andragradsekvation med dess rötter:

X 1 \u003d 2 -? 3 och x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Den önskade ekvationen har formen: x 2 - 4x + 1 = 0.

I denna föreläsning kommer vi att bekanta oss med de märkliga sambanden mellan rötterna till en andragradsekvation och dess koefficienter. Dessa samband upptäcktes först av den franske matematikern Francois Viet (1540-1603).

Till exempel, för ekvationen Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, utan att hitta dess rötter, kan du, med hjälp av Vieta-satsen, omedelbart säga att summan av rötterna är , och produkten av rötterna är
dvs - 2. Och för ekvationen x 2 - 6x + 8 \u003d 0 drar vi slutsatsen: summan av rötterna är 6, produkten av rötterna är 8; förresten, det är inte svårt att gissa vad rötterna är lika med: 4 och 2.
Bevis för Vietas sats. Rötterna x 1 och x 2 i andragradsekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0 hittas av formlerna

Där D \u003d b 2 - 4ac är ekvationens diskriminant. Att lägga ner dessa rötter
vi får

Nu beräknar vi produkten av rötterna x 1 och x 2 vi har

Det andra förhållandet är bevisat:
Kommentar. Vietas sats är också giltig i det fall då andragradsekvationen har en rot (det vill säga när D \u003d 0), det är bara att i det här fallet anses det att ekvationen har två identiska rötter, till vilka ovanstående relationer tillämpas .
De bevisade relationerna för den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q \u003d 0 har en särskilt enkel form. I det här fallet får vi:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
de där. summan av rötterna i den givna andragradsekvationen är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen.
Med hjälp av Vieta-satsen kan man också få andra samband mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation. Låt till exempel x 1 och x 2 vara rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q = 0. Sedan

Huvudsyftet med Vietas teorem är dock inte att det uttrycker vissa samband mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation. Mycket viktigare är det faktum att med hjälp av Vietas sats härleds en formel för faktorisering av ett kvadrattrinomial, utan vilket vi inte kommer att klara oss i framtiden.

Bevis. Vi har

Exempel 1. Faktorisera det kvadratiska trinomiet 3x 2 - 10x + 3.
Lösning. Efter att ha löst ekvationen Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, hittar vi rötterna till kvadrattrinomialet Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Med hjälp av sats 2 får vi

Det är vettigt att istället skriva Zx - 1. Då får vi äntligen Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Observera att det givna kvadrattrinomialet kan faktoriseras utan att använda sats 2, med hjälp av grupperingsmetoden:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Men, som du kan se, med denna metod beror framgång på om vi kan hitta en framgångsrik gruppering eller inte, medan med den första metoden är framgång garanterad.
Exempel 1. Minska fraktionen

Lösning. Från ekvationen 2x 2 + 5x + 2 = 0 finner vi x 1 = - 2,

Från ekvationen x2 - 4x - 12 = 0 finner vi x 1 = 6, x 2 = -2. Det är därför
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Låt oss nu minska den givna bråkdelen:

Exempel 3. Faktorisera uttryck:
a) x4 + 5x2 +6; b) 2x+-3
Lösning a) Vi introducerar en ny variabel y = x 2 . Detta kommer att tillåta oss att skriva om det givna uttrycket i form av ett kvadratiskt trinomium med avseende på variabeln y, nämligen i formen y 2 + by + 6.
Efter att ha löst ekvationen y 2 + by + 6 \u003d 0, hittar vi rötterna till kvadrattrinomialet y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Nu använder vi sats 2; vi får

y2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Det återstår att komma ihåg att y \u003d x 2, d.v.s. återgår till det givna uttrycket. Så,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Låt oss introducera en ny variabel y = . Detta gör att du kan skriva om det givna uttrycket i form av ett kvadratiskt trinomium med avseende på variabeln y, nämligen i formen 2y 2 + y - 3. Efter att ha löst ekvationen
2y 2 + y - 3 \u003d 0, vi hittar rötterna till kvadrattrinomialet 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Vidare, med hjälp av sats 2, får vi:

Det återstår att komma ihåg att y \u003d, d.v.s. återgår till det givna uttrycket. Så,

Avsnittet avslutas med några överväganden, återigen kopplade till Vieta-satsen, eller snarare, med det omvända påståendet:
om talen x 1, x 2 är sådana att x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, då är dessa tal rötterna till ekvationen
Med hjälp av detta påstående kan du lösa många andragradsekvationer muntligt, utan att använda krångliga rotformler, och även komponera andragradsekvationer med givna rötter. Låt oss ge exempel.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Här x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Det är lätt att gissa att x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Här x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Det är lätt att gissa att x 1 = -5, x 2 = -6.
Observera: om ekvationens fria term är ett positivt tal, så är båda rötterna antingen positiva eller negativa; detta är viktigt att tänka på när du väljer rötter.

3) x 2 + x - 12 = 0. Här x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Det är lätt att gissa att x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Observera: om ekvationens fria term är ett negativt tal, är rötterna olika i tecken; detta är viktigt att tänka på när du väljer rötter.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Det är lätt att se att x = 1 uppfyller ekvationen, d.v.s. x 1 \u003d 1 - roten till ekvationen. Eftersom x 1 x 2 \u003d -, och x 1 \u003d 1, får vi att x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Här x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Om du uppmärksammar det faktum att 2830 = 283. 10 och 293 \u003d 283 + 10, då blir det tydligt att x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (föreställ dig nu vilka beräkningar som skulle behöva utföras för att lösa denna andragradsekvation med standardformler).

6) Låt oss komponera en andragradsekvation så att talen x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 fungerar som dess rötter. Vanligtvis i sådana fall utgör de den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q \u003d 0.
Vi har x 1 + x 2 \u003d -p, därför 8 - 4 \u003d -p, det vill säga p \u003d -4. Vidare, x 1 x 2 = q, dvs. 8"(-4) = q, varav vi får q = -32. Så, p \u003d -4, q \u003d -32, vilket betyder att den önskade andragradsekvationen har formen x 2 -4x-32 \u003d 0.

1.	6.	11.	16.
2.	7.	12.	17.
3.	8.	13.	18.
4.	9.	14.	19.
5.	10.	15.	20.