Vietas sats för andragradsekvationer och andra ekvationer. Vietas sats. Exempel på användning av Lös andragradsekvationer vieta formel

En av metoderna för att lösa en andragradsekvation är tillämpningen VIETAS formler, som fick sitt namn efter FRANCOIS VIETE.

Han var en berömd advokat och tjänstgjorde på 1500-talet hos den franske kungen. På fritiden studerade han astronomi och matematik. Han etablerade ett samband mellan rötter och koefficienter för en andragradsekvation.

Fördelar med formeln:

1 . Genom att tillämpa formeln kan du snabbt hitta lösningen. Eftersom du inte behöver ange den andra koefficienten i kvadraten, subtrahera sedan 4ac från den, hitta diskriminanten, ersätt dess värde i formeln för att hitta rötterna.

2 . Utan en lösning kan du bestämma rötternas tecken, plocka upp rötternas värden.

3 . Efter att ha löst systemet med två poster är det inte svårt att hitta själva rötterna. I ovanstående andragradsekvation är summan av rötterna lika med värdet av den andra koefficienten med ett minustecken. Produkten av rötterna i ovanstående andragradsekvation är lika med värdet av den tredje koefficienten.

4 . Skriv en andragradsekvation enligt de givna rötterna, det vill säga lös det omvända problemet. Till exempel används denna metod för att lösa problem inom teoretisk mekanik.

5 . Det är bekvämt att tillämpa formeln när den inledande koefficienten är lika med en.

Brister:

1 . Formeln är inte universell.

Vietas sats årskurs 8

Formel
Om x 1 och x 2 är rötterna till den givna andragradsekvationen x 2 + px + q \u003d 0, då:

Exempel
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - rötterna till ekvationen x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Omvänd teorem

Formel
Om talen x 1 , x 2 , p, q är förbundna med villkoren:

Då är x 1 och x 2 rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

Exempel
Låt oss göra en andragradsekvation med dess rötter:

X 1 \u003d 2 -? 3 och x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Den önskade ekvationen har formen: x 2 - 4x + 1 = 0.

Formulering och bevis för Vietas sats för andragradsekvationer. Omvänd Vieta-sats. Vietas sats för kubikekvationer och ekvationer av godtycklig ordning.

Innehåll

Se även: Rötterna till en andragradsekvation

Kvadratisk ekvation

Vietas sats

Låt och beteckna rötterna till den reducerade andragradsekvationen
(1) .
Då är summan av rötterna lika med koefficienten vid taget med motsatt tecken. Produkten av rötterna är lika med den fria termen:
;
.

En anteckning om flera rötter

Om diskriminanten för ekvation (1) är noll, har denna ekvation en rot. Men för att undvika besvärliga formuleringar är det allmänt accepterat att i detta fall har ekvation (1) två multipla eller lika stora rötter:
.

Bevis ett

Låt oss hitta rötterna till ekvation (1). För att göra detta, tillämpa formeln för rötterna till andragradsekvationen:
;
;
.

Hitta summan av rötterna:
.

För att hitta produkten använder vi formeln:
.
Sedan

.

Teoremet har bevisats.

Bevis två

Om talen och är rötterna till andragradsekvationen (1), då
.
Vi öppnar fästena.

.
Således kommer ekvation (1) att ha formen:
.
Jämför vi med (1) finner vi:
;
.

Teoremet har bevisats.

Omvänd Vieta-sats

Låt det finnas godtyckliga siffror. Då och är rötterna till andragradsekvationen
,
var
(2) ;
(3) .

Bevis på Vietas omvända teorem

Tänk på andragradsekvationen
(1) .
Vi måste bevisa att om och , då och är rötterna till ekvation (1).

Ersätt (2) och (3) i (1):
.
Vi grupperar termerna på vänster sida av ekvationen:
;
;
(4) .

Ersättare i (4):
;
.

Ersättare i (4):
;
.
Ekvationen är uppfylld. Det vill säga talet är roten till ekvation (1).

Teoremet har bevisats.

Vietas sats för den fullständiga andragradsekvationen

Betrakta nu hela andragradsekvationen
(5) ,
var , och är några siffror. Och .

Vi dividerar ekvation (5) med:
.
Det vill säga, vi har fått ovanstående ekvation
,
var ; .

Då har Vieta-satsen för den fullständiga andragradsekvationen följande form.

Låt och beteckna rötterna till den fullständiga andragradsekvationen
.
Sedan bestäms summan och produkten av rötterna av formlerna:
;
.

Vietas sats för en kubikekvation

På liknande sätt kan vi upprätta kopplingar mellan rötterna till en kubikekvation. Tänk på kubikekvationen
(6) ,
där , , , finns några siffror. Och .
Låt oss dividera denna ekvation med:
(7) ,
var , , .
Låt , , vara rötterna till ekvation (7) (och ekvation (6)). Sedan

.

Jämför vi med ekvation (7) finner vi:
;
;
.

Vietas sats för en n:te gradsekvation

På samma sätt kan man hitta samband mellan rötterna , , ... , , för ekvationen för n:e graden
.

Vietas sats för en n:te gradensekvation har följande form:
;
;
;

.

För att få dessa formler skriver vi ekvationen i följande form:
.
Sedan likställer vi koefficienterna vid , , , ... , och jämför den fria termen.

Referenser:
I. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbok i matematik för ingenjörer och studenter vid högre utbildningsinstitutioner, Lan, 2009.
CENTIMETER. Nikolsky, M.K. Potapov et al., Algebra: en lärobok för 8:e klass av utbildningsinstitutioner, Moskva, utbildning, 2006.

Se även:

I denna föreläsning kommer vi att bekanta oss med de märkliga sambanden mellan rötterna till en andragradsekvation och dess koefficienter. Dessa samband upptäcktes först av den franske matematikern Francois Viet (1540-1603).

Till exempel, för ekvationen Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, utan att hitta dess rötter, kan du, med hjälp av Vieta-satsen, omedelbart säga att summan av rötterna är , och produkten av rötterna är
dvs - 2. Och för ekvationen x 2 - 6x + 8 \u003d 0 drar vi slutsatsen: summan av rötterna är 6, produkten av rötterna är 8; förresten, det är inte svårt att gissa vad rötterna är lika med: 4 och 2.
Bevis för Vietas sats. Rötterna x 1 och x 2 i andragradsekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0 hittas av formlerna

Där D \u003d b 2 - 4ac är ekvationens diskriminant. Att lägga ner dessa rötter
vi får

Nu beräknar vi produkten av rötterna x 1 och x 2 vi har

Det andra förhållandet är bevisat:
Kommentar. Vietas sats är också giltig i det fall då andragradsekvationen har en rot (det vill säga när D \u003d 0), det är bara att i det här fallet anses det att ekvationen har två identiska rötter, till vilka ovanstående relationer tillämpas .
De bevisade relationerna för den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q \u003d 0 har en särskilt enkel form. I det här fallet får vi:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
de där. summan av rötterna i den givna andragradsekvationen är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen.
Med hjälp av Vieta-satsen kan man också få andra samband mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation. Låt till exempel x 1 och x 2 vara rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q = 0. Sedan

Huvudsyftet med Vietas teorem är dock inte att det uttrycker vissa samband mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation. Mycket viktigare är det faktum att med hjälp av Vietas sats härleds en formel för faktorisering av ett kvadrattrinomial, utan vilket vi inte kommer att klara oss i framtiden.

Bevis. Vi har

Exempel 1. Faktorisera det kvadratiska trinomiet 3x 2 - 10x + 3.
Beslut. Efter att ha löst ekvationen Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, hittar vi rötterna till kvadrattrinomialet Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Med hjälp av sats 2 får vi

Det är vettigt att istället skriva Zx - 1. Då får vi äntligen Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Observera att det givna kvadrattrinomialet kan faktoriseras utan att använda sats 2, med hjälp av grupperingsmetoden:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Men, som du kan se, med denna metod beror framgång på om vi kan hitta en framgångsrik gruppering eller inte, medan med den första metoden är framgång garanterad.
Exempel 1. Minska fraktion

Beslut. Från ekvationen 2x 2 + 5x + 2 = 0 finner vi x 1 = - 2,

Från ekvationen x2 - 4x - 12 = 0 finner vi x 1 = 6, x 2 = -2. Det är därför
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Låt oss nu minska den givna bråkdelen:

Exempel 3. Faktorisera uttryck:
a) x4 + 5x2 +6; b) 2x+-3
Lösning a) Vi introducerar en ny variabel y = x 2 . Detta kommer att tillåta oss att skriva om det givna uttrycket i form av ett kvadratiskt trinomium med avseende på variabeln y, nämligen i formen y 2 + by + 6.
Efter att ha löst ekvationen y 2 + by + 6 \u003d 0, hittar vi rötterna till kvadrattrinomialet y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Nu använder vi sats 2; vi får

y2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Det återstår att komma ihåg att y \u003d x 2, d.v.s. återgår till det givna uttrycket. Så,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Låt oss introducera en ny variabel y = . Detta gör att du kan skriva om det givna uttrycket i form av ett kvadratiskt trinomium med avseende på variabeln y, nämligen i formen 2y 2 + y - 3. Efter att ha löst ekvationen
2y 2 + y - 3 \u003d 0, vi hittar rötterna till kvadrattrinomialet 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Vidare, med hjälp av sats 2, får vi:

Det återstår att komma ihåg att y \u003d, d.v.s. återgår till det givna uttrycket. Så,

Avsnittet avslutas med några överväganden, återigen kopplade till Vieta-satsen, eller snarare, med det omvända påståendet:
om talen x 1, x 2 är sådana att x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, då är dessa tal rötterna till ekvationen
Med hjälp av detta påstående kan du lösa många andragradsekvationer muntligt, utan att använda krångliga rotformler, och även komponera andragradsekvationer med givna rötter. Låt oss ge exempel.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Här x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Det är lätt att gissa att x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Här x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Det är lätt att gissa att x 1 = -5, x 2 = -6.
Observera: om ekvationens fria term är ett positivt tal, så är båda rötterna antingen positiva eller negativa; detta är viktigt att tänka på när du väljer rötter.

3) x 2 + x - 12 = 0. Här x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Det är lätt att gissa att x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Observera: om ekvationens fria term är ett negativt tal, är rötterna olika i tecken; detta är viktigt att tänka på när du väljer rötter.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Det är lätt att se att x = 1 uppfyller ekvationen, d.v.s. x 1 \u003d 1 - roten till ekvationen. Eftersom x 1 x 2 \u003d -, och x 1 \u003d 1, får vi att x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Här x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Om du uppmärksammar det faktum att 2830 = 283. 10 och 293 \u003d 283 + 10, då blir det tydligt att x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (föreställ dig nu vilka beräkningar som skulle behöva utföras för att lösa denna andragradsekvation med standardformler).

6) Låt oss komponera en andragradsekvation så att talen x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 fungerar som dess rötter. Vanligtvis i sådana fall utgör de den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q \u003d 0.
Vi har x 1 + x 2 \u003d -p, därför 8 - 4 \u003d -p, det vill säga p \u003d -4. Vidare, x 1 x 2 = q, dvs. 8"(-4) = q, varav vi får q = -32. Så, p \u003d -4, q \u003d -32, vilket betyder att den önskade andragradsekvationen har formen x 2 -4x-32 \u003d 0.

Låt oss först formulera själva satsen: Låt oss säga att vi har en reducerad andragradsekvation av formen x^2+b*x + c = 0. Låt oss säga att denna ekvation innehåller rötter x1 och x2. Sedan, enligt satsen, är följande påståenden tillåtna:

1) Summan av rötterna x1 och x2 blir lika med det negativa värdet av koefficienten b.

2) Produkten av just dessa rötter ger oss koefficienten c.

Men vad är ovanstående ekvation?

En reducerad andragradsekvation är en andragradsekvation, koefficienten av högsta grad, som är lika med ett, d.v.s. detta är en ekvation av formen x^2 + b*x + c = 0. (och ekvationen a*x^2 + b*x + c = 0 reduceras inte). Med andra ord, för att reducera ekvationen till den reducerade formen måste vi dividera denna ekvation med koefficienten i högsta grad (a). Uppgiften är att föra denna ekvation till den reducerade formen:

3*x^2 12*x + 18 = 0;

−4*x^2 + 32*x + 16 = 0;

1,5*x^2 + 7,5*x + 3 = 0; 2*x^2 + 7*x − 11 = 0.

Vi dividerar varje ekvation med koefficienten av högsta grad, vi får:

X^2 4*x + 6 = 0; X^2 8*x - 4 = 0; X^2 + 5*x + 2 = 0;

X^2 + 3,5*x - 5,5 = 0.

Som framgår av exemplen kan även ekvationer som innehåller fraktioner reduceras till den reducerade formen.

Använder Vietas sats

X^2 5*x + 6 = 0 ⇒ x1 + x2 = − (−5) = 5; xl*x2 = 6;

vi får rötterna: x1 = 2; x2 = 3;

X^2 + 6*x + 8 = 0 ⇒ x1 + x2 = −6; xl*x2 = 8;

som ett resultat får vi rötterna: x1 = -2; x2 = -4;

X^2 + 5*x + 4 = 0 ⇒ x1 + x2 = −5; xl*x2 = 4;

vi får rötterna: x1 = −1; x2 = −4.

Betydelsen av Vietas sats

Vietas sats tillåter oss att lösa vilken som helst given andragradsekvation på nästan sekunder. Vid första anblicken verkar detta vara en ganska svår uppgift, men efter 5 10 ekvationer kan du lära dig att se rötterna direkt.

Från exemplen ovan, och med hjälp av satsen, kan du se hur du avsevärt kan förenkla lösningen av andragradsekvationer, för med denna sats kan du lösa en andragradsekvation med lite eller inga komplicerade beräkningar och beräkna diskriminanten, och som du vet , ju färre beräkningar, desto svårare är det att göra ett misstag, vilket är viktigt.

I alla exempel har vi använt denna regel baserat på två viktiga antaganden:

Ovanstående ekvation, dvs. koefficienten i högsta grad är lika med en (detta villkor är lätt att undvika. Du kan använda den oreducerade formen av ekvationen, då kommer följande påståenden x1+x2=-b/a; x1*x2=c/a att vara giltigt, men oftast är det svårare att lösa :))

När ekvationen kommer att ha två olika rötter. Vi antar att ojämlikheten är sann och att diskriminanten är strikt större än noll.

Därför kan vi komponera en generell lösningsalgoritm med hjälp av Vietas teorem.

Allmän lösningsalgoritm av Vietas sats

Vi tar andragradsekvationen till reducerad form om ekvationen ges till oss i oreducerad form. När koefficienterna i andragradsekvationen, som vi tidigare presenterade som reducerade, visade sig vara bråktal (inte decimal), så borde i det här fallet vår ekvation lösas genom diskriminanten.

Det finns också fall där att gå tillbaka till den ursprungliga ekvationen gör att vi kan arbeta med "bekväma" tal.

När du studerar sätt att lösa andra ordningens ekvationer i en skolalgebrakurs, överväg egenskaperna hos de erhållna rötterna. De är nu kända som Vietas satser. Exempel på dess användning ges i den här artikeln.

Andragradsekvation

Den andra ordningens ekvation är en likhet, som visas på bilden nedan.

Här är symbolerna a, b, c några tal som kallas koefficienterna för ekvationen i fråga. För att lösa en likhet måste du hitta x-värden som gör den sann.

Observera att eftersom det maximala värdet för den potens till vilken x höjs är två, så är antalet rötter i det allmänna fallet också två.

Det finns flera sätt att lösa den här typen av jämställdhet. I den här artikeln kommer vi att överväga en av dem, som involverar användningen av den så kallade Vieta-satsen.

Uttalande av Vietas teorem

I slutet av 1500-talet märkte den berömde matematikern Francois Viet (fransman), när han analyserade egenskaperna hos rötterna till olika andragradsekvationer, att vissa kombinationer av dem uppfyller specifika samband. I synnerhet är dessa kombinationer deras produkt och summa.

Vietas teorem fastställer följande: rötterna till en andragradsekvation, när de summeras, ger förhållandet mellan de linjära och andragradskoefficienterna tagna med motsatt tecken, och när de multipliceras leder de till förhållandet mellan den fria termen och den andragradskoefficienten .

Om den allmänna formen av ekvationen skrivs som den visas på bilden i föregående avsnitt av artikeln, kan denna sats matematiskt skrivas som två likheter:

• r 2 + r 1 \u003d -b / a;
• r 1 x r 2 \u003d c/a.

Där r 1, r 2 är värdet av rötterna till den betraktade ekvationen.

Dessa två likheter kan användas för att lösa ett antal mycket olika matematiska problem. Användningen av Vieta-satsen i exempel med en lösning ges i följande avsnitt av artikeln.