hantverk

Vietas sats för andragradsekvationer och andra ekvationer. Viets sats, invers Viets formel och exempel med lösning för dummies Viets eliminationssats

Alla fulla andragradsekvation ax2 + bx + c = 0 kan man komma ihåg x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, om vi först dividerar varje term med koefficienten a före x2. Och om vi inför ny notation (b/a) = sid och (c/a) = q, då får vi ekvationen x 2 + px + q = 0, som i matematik kallas reducerad andragradsekvation.

Rötterna till den reducerade andragradsekvationen och koefficienterna sid och q sammankopplade. Det är bekräftat Vietas sats, uppkallad efter den franske matematikern Francois Vieta, som levde i slutet av 1500-talet.

Sats. Summan av rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q = 0 lika med den andra koefficienten sid, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna - till den fria termen q.

Vi skriver dessa förhållanden i följande form:

Låta x 1 och x2 olika rötter till den reducerade ekvationen x 2 + px + q = 0. Enligt Vietas sats xl + x2 = -p och x 1 x 2 = q.

För att bevisa detta, låt oss ersätta var och en av rötterna x 1 och x 2 i ekvationen. Vi får två sanna likheter:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Subtrahera den andra från den första likheten. Vi får:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Vi expanderar de två första termerna enligt formeln för skillnaden mellan kvadrater:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Tillståndet är att rötterna x 1 och x 2 är olika. Därför kan vi minska likheten med (x 1 - x 2) ≠ 0 och uttrycka p.

(xl + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Den första jämställdheten är bevisad.

För att bevisa den andra likheten byter vi in i den första ekvationen

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 istället för koefficienten p, dess lika många är (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Om vi transformerar vänster sida av ekvationen får vi:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, vilket skulle bevisas.

Vietas teorem är bra eftersom, även utan att känna till andragradsekvationens rötter kan vi beräkna deras summa och produkt .

Vietas teorem hjälper till att bestämma heltalsrötterna för den givna andragradsekvationen. Men för många elever orsakar detta svårigheter på grund av att de inte känner till en tydlig handlingsalgoritm, särskilt om ekvationens rötter har olika tecken.

Så den givna andragradsekvationen har formen x 2 + px + q \u003d 0, där x 1 och x 2 är dess rötter. Enligt Vieta-satsen x 1 + x 2 = -p och x 1 x 2 = q.

Vi kan dra följande slutsats.

Om den sista termen i ekvationen föregås av ett minustecken, så har rötterna x 1 och x 2 olika tecken. Dessutom är tecknet för den mindre roten detsamma som tecknet för den andra koefficienten i ekvationen.

Baserat på det faktum att när man lägger till siffror med olika tecken deras moduler subtraheras, och det erhållna resultatet föregås av ett tecken på ett högre modulotal, du bör fortsätta enligt följande:

bestämma sådana faktorer av talet q så att deras skillnad är lika med talet p;
sätt tecknet för den andra koefficienten i ekvationen framför det minsta av de erhållna talen; den andra roten kommer att ha motsatt tecken.

Låt oss titta på några exempel.

Exempel 1.

Lös ekvationen x 2 - 2x - 15 = 0.

Lösning.

Låt oss försöka lösa denna ekvation med de regler som föreslagits ovan. Då kan vi med säkerhet säga att denna ekvation kommer att ha två olika rötter, eftersom D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Nu, från alla faktorer för talet 15 (1 och 15, 3 och 5), väljer vi de vars skillnad är lika med 2. Dessa kommer att vara siffrorna 3 och 5. Vi sätter ett minustecken framför det mindre talet , dvs. tecknet för den andra koefficienten i ekvationen. Således får vi rötterna till ekvationen x 1 \u003d -3 och x 2 \u003d 5.

Svar. x 1 = -3 och x 2 = 5.

Exempel 2.

Lös ekvationen x 2 + 5x - 6 = 0.

Lösning.

Låt oss kontrollera om denna ekvation har rötter. För att göra detta hittar vi diskriminanten:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ekvationen har två olika rötter.

De möjliga faktorerna för talet 6 är 2 och 3, 6 och 1. Skillnaden är 5 för ett par av 6 och 1. I det här exemplet har koefficienten för den andra termen ett plustecken, så det mindre talet kommer att ha samma tecken. Men före den andra siffran kommer det att finnas ett minustecken.

Svar: x 1 = -6 och x 2 = 1.

Vietas sats kan också skrivas för en komplett andragradsekvation. Så om andragradsekvationen ax2 + bx + c = 0 har rötter x 1 och x 2, då uppfyller de likheterna

x 1 + x 2 = -(b/a) och x 1 x 2 = (c/a). Men tillämpningen av denna sats i den fullständiga andragradsekvationen är ganska problematisk, eftersom om det finns rötter är minst en av dem ett bråktal. Och att arbeta med valet av fraktioner är ganska svårt. Men det finns fortfarande en väg ut.

Betrakta den fullständiga andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0. Multiplicera dess vänstra och högra sidor med koefficienten a. Ekvationen kommer att ha formen (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Låt oss nu introducera en ny variabel, till exempel t = ax.

I detta fall förvandlas den resulterande ekvationen till en reducerad andragradsekvation av formen t 2 + bt + ac = 0, vars rötter t 1 och t 2 (om några) kan bestämmas av Vieta-satsen.

I det här fallet kommer rötterna till den ursprungliga andragradsekvationen att vara

x 1 = (t 1 / a) och x 2 = ( t 2 / a).

Exempel 3.

Lös ekvationen 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Lösning.

Vi gör en hjälpekvation. Låt oss multiplicera varje term i ekvationen med 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Vi gör ändringen t = 15x. Vi har:

t 2 - 11 t + 30 = 0.

Enligt Vieta-satsen kommer rötterna till denna ekvation att vara t 1 = 5 och t 2 = 6.

Vi återgår till ersättningen t = 15x:

5 = 15x eller 6 = 15x. Alltså x 1 = 5/15 och x 2 = 6/15. Vi reducerar och får det slutgiltiga svaret: x 1 = 1/3 och x 2 = 2/5.

Svar. x 1 = 1/3 och x 2 = 2/5.

För att bemästra lösningen av andragradsekvationer med hjälp av Vieta-satsen måste eleverna öva så mycket som möjligt. Detta är precis hemligheten bakom framgång.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Vietas sats (mer exakt, satsen omvänd till Vietas sats) tillåter oss att minska tiden för att lösa andragradsekvationer. Du behöver bara veta hur du använder den. Hur lär man sig att lösa andragradsekvationer med hjälp av Vietas teorem? Det är lätt om man tänker lite.

Nu ska vi bara prata om lösningen av den reducerade andragradsekvationen med hjälp av Vieta-satsen Den reducerade andragradsekvationen är en ekvation där a, det vill säga koefficienten framför x², är lika med ett. Ogivna andragradsekvationer kan också lösas med hjälp av Vieta-satsen, men redan där är åtminstone en av rötterna inte ett heltal. De är svårare att gissa.

Satsen i motsats till Vietas sats säger: om talen x1 och x2 är sådana att

då är x1 och x2 rötterna till andragradsekvationen

När man löser en andragradsekvation med hjälp av Vieta-satsen är endast 4 alternativ möjliga. Om du kommer ihåg resonemangets gång kan du lära dig att hitta hela rötter väldigt snabbt.

I. Om q är ett positivt tal,

det betyder att rötterna x1 och x2 är tal med samma tecken (eftersom endast när man multiplicerar tal med samma tecken erhålls ett positivt tal).

I.a. Om -p är ett positivt tal, (respektive sid<0), то оба корня x1 и x2 — положительные числа (поскольку складывали числа одного знака и получили положительное число).

I.b. Om -p är ett negativt tal, (respektive p>0), då är båda rötterna negativa tal (de lade till tal med samma tecken, fick ett negativt tal).

II. Om q är ett negativt tal,

detta betyder att rötterna x1 och x2 har olika tecken (vid multiplicering av tal erhålls ett negativt tal endast när tecknen på faktorerna är olika). I det här fallet är x1 + x2 inte längre en summa, utan en skillnad (trots allt, när vi lägger till tal med olika tecken, subtraherar vi det mindre från det större modulo). Därför visar x1 + x2 hur mycket rötterna x1 och x2 skiljer sig åt, det vill säga hur mycket en rot är mer än den andra (modulo).

II.a. Om -p är ett positivt tal, (dvs sid<0), то больший (по модулю) корень — положительное число.

II.b. Om -p är ett negativt tal, (p>0), då är den större (modulo) roten ett negativt tal.

Betrakta lösningen av andragradsekvationer enligt Vietas sats med hjälp av exempel.

Lös den givna andragradsekvationen med hjälp av Vietas sats:

Här är q=12>0, så rötterna x1 och x2 är tal med samma tecken. Deras summa är -p=7>0, så båda rötterna är positiva tal. Vi väljer heltal vars produkt är 12. Dessa är 1 och 12, 2 och 6, 3 och 4. Summan är 7 för paret 3 och 4. Därför är 3 och 4 rötterna till ekvationen.

I det här exemplet är q=16>0, vilket betyder att rötterna x1 och x2 är tal med samma tecken. Deras summa -p=-10<0, поэтому оба корня — отрицательные числа. Подбираем числа, произведение которых равно 16. Это 1 и 16, 2 и 8, 4 и 4. Сумма 2 и 8 равна 10, а раз нужны отрицательные числа, то искомые корни — это -2 и -8.

Här är q=-15<0, что означает, что корни x1 и x2 — числа разных знаков. Поэтому 2 — это уже не их сумма, а разность, то есть числа отличаются на 2. Подбираем числа, произведение которых равно 15, отличающиеся на 2. Произведение равно 15 у 1 и 15, 3 и 5. Отличаются на 2 числа в паре 3 и 5. Поскольку -p=2>0, då är det större talet positivt. Så rötterna är 5 och -3.

q=-36<0, значит, корни x1 и x2 имеют разные знаки. Тогда 5 — это то, насколько отличаются x1 и x2 (по модулю, то есть пока что без учета знака). Среди чисел, произведение которых равно 36: 1 и 36, 2 и 18, 3 и 12, 4 и 9 — выбираем пару, в которой числа отличаются на 5. Это 4 и 9. Осталось определить их знаки. Поскольку -p=-5<0, бОльшее число имеет знак минус. Поэтому корни данного уравнения равны -9 и 4.

Nästan alla andragradsekvationer \ kan konverteras till formen \ Detta är dock möjligt om varje term initialt divideras med koefficienten \ framför \ Dessutom kan en ny notation införas:

\[(\frac (b)(a))= p\] och \[(\frac (c)(a)) = q\]

Tack vare detta kommer vi att få en ekvation \ som i matematiken kallas en reducerad andragradsekvation. Rötterna till denna ekvation och koefficienterna \ är sammankopplade, vilket bekräftas av Vieta-satsen.

Vietas teorem: Summan av rötterna i den reducerade andragradsekvationen \ är lika med den andra koefficienten \ taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är den fria termen \

För tydlighetens skull löser vi ekvationen i följande form:

Vi löser denna andragradsekvation med hjälp av de skrivna reglerna. Efter att ha analyserat de initiala uppgifterna kan vi dra slutsatsen att ekvationen kommer att ha två olika rötter, eftersom:

Nu, från alla faktorer för talet 15 (1 och 15, 3 och 5), väljer vi de vars skillnad är lika med 2. Siffrorna 3 och 5 faller under detta villkor. Vi sätter ett minustecken framför det mindre siffra. Således får vi rötterna till ekvationen \

Svar: \[ x_1= -3 och x_2 = 5\]

Var kan jag lösa ekvationen med hjälp av Vietas sats online?

Du kan lösa ekvationen på vår hemsida https: // site. Gratis onlinelösare låter dig lösa en onlineekvation av vilken komplexitet som helst på några sekunder. Allt du behöver göra är att ange dina data i lösaren. Du kan också se videoinstruktionen och lära dig hur du löser ekvationen på vår hemsida. Och om du har några frågor kan du ställa dem i vår Vkontakte-grupp http://vk.com/pocketteacher. Gå med i vår grupp, vi hjälper dig alltid.

Mellan andragradsekvationens rötter och koefficienter finns det förutom rotformlerna andra användbara samband som ges av Vietas sats. I den här artikeln kommer vi att ge en formulering och bevis på Vietas sats för en andragradsekvation. Därefter betraktar vi en sats omvänd till Vietas sats. Efter det kommer vi att analysera lösningarna för de mest karakteristiska exemplen. Slutligen skriver vi ner Vieta-formlerna som definierar sambandet mellan de verkliga rötterna algebraisk ekvation grad n och dess koefficienter.

Sidnavigering.

Vietas sats, formulering, bevis

Från formlerna till andragradsekvationens rötter a x 2 +b x+c=0 av formen , där D=b 2 −4 a c , relationerna x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Dessa resultat bekräftas Vietas sats:

Sats.

Om en x 1 och x 2 är rötterna till andragradsekvationen a x 2 +b x+c=0, då är summan av rötterna lika med förhållandet mellan koefficienterna b och a, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med förhållandet mellan koefficienterna c och a, det vill säga .

Bevis.

Vi kommer att bevisa Vieta-satsen enligt följande schema: vi kommer att komponera summan och produkten av rötterna till andragradsekvationen med hjälp av de kända rotformlerna, sedan transformerar vi de resulterande uttrycken och ser till att de är lika med −b /a respektive c/a.

Låt oss börja med summan av rötterna, komponera den. Nu tar vi bråken till en gemensam nämnare, det har vi. I täljaren för det resulterande bråket , varefter : . Slutligen, efter 2, får vi . Detta bevisar den första relationen i Vietas sats för summan av rötterna i en andragradsekvation. Låt oss gå vidare till den andra.

Vi komponerar produkten av rötterna till andragradsekvationen:. Enligt regeln för multiplikation av bråk kan den sista produkten skrivas som. Nu multiplicerar vi parentesen med parentesen i täljaren, men det går snabbare att kollapsa denna produkt med formel för skillnad på kvadrater, Alltså . Sedan, kom ihåg, utför vi nästa övergång. Och eftersom formeln D=b 2 −4 a·c motsvarar diskriminanten i andragradsekvationen, då b 2 −4·a·c kan ersättas med den sista bråkdelen istället för D, får vi . Efter att ha öppnat parenteserna och reducerat liknande termer kommer vi fram till bråket , och dess minskning med 4·a ger . Detta bevisar det andra förhållandet i Vietas sats för produkten av rötter.

Om vi utelämnar förklaringarna kommer beviset för Vieta-satsen att ta en kortfattad form:
,
.

Det återstår bara att notera att när diskriminanten är lika med noll, har andragradsekvationen en rot. Men om vi antar att ekvationen i detta fall har två identiska rötter, så gäller även likheterna från Vieta-satsen. För D=0 är roten av andragradsekvationen , då och , och eftersom D=0 , det vill säga b 2 −4·a·c=0 , varav b 2 =4·a·c , alltså .

I praktiken används Vietas sats oftast i relation till den reducerade andragradsekvationen (med högsta koefficient a lika med 1 ) av formen x 2 +p·x+q=0 . Ibland formuleras den för andragradsekvationer av just denna typ, vilket inte begränsar generaliteten, eftersom vilken andragradsekvation som helst kan ersättas med en ekvivalent ekvation genom att dela båda dess delar med ett icke-nolltal a. Här är motsvarande formulering av Vietas teorem:

Sats.

Summan av rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 + p x + q \u003d 0 är lika med koefficienten vid x, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är en fri term, det vill säga x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Sats invers till Vietas sats

Den andra formuleringen av Vieta-satsen, som ges i föregående stycke, indikerar att om x 1 och x 2 är rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 +p x+q=0, då är relationerna x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Å andra sidan, av de skrivna relationerna x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, följer att x 1 och x 2 är rötterna till andragradsekvationen x 2 +p x+q=0. Med andra ord, påståendet mot Vietas teorem är sant. Vi formulerar det i form av ett teorem och bevisar det.

Sats.

Om talen x 1 och x 2 är sådana att x 1 +x 2 =−p och x 1 x 2 =q, då är x 1 och x 2 rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 +p x+q=0 .

Bevis.

Efter att ha ersatt koefficienterna p och q i ekvationen x 2 +p x+q=0 för deras uttryck genom x 1 och x 2, omvandlas den till en ekvivalent ekvation.

Vi ersätter talet x 1 istället för x i den resulterande ekvationen, vi har likheten x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, som för alla x 1 och x 2 är den korrekta numeriska likheten 0=0, eftersom x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Därför är x 1 roten till ekvationen x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, vilket betyder att x 1 är roten till ekvivalentekvationen x 2 +p x+q=0 .

Om i ekvationen x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 ersätt talet x 2 istället för x, då får vi likheten x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Detta är den korrekta ekvationen eftersom x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Därför är x 2 också roten till ekvationen x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, och därav ekvationerna x 2 +p x+q=0 .

Detta fullbordar beviset för satsen i motsats till Vietas sats.

Exempel på användning av Vietas sats

Det är dags att prata om den praktiska tillämpningen av Vietas teorem och dess inversa teorem. I det här underavsnittet kommer vi att analysera lösningarna för flera av de mest typiska exemplen.

Vi börjar med att tillämpa en sats omvänd på Vietas sats. Det är bekvämt att använda det för att kontrollera om de givna två talen är rötterna till en given andragradsekvation. I det här fallet beräknas deras summa och skillnad, varefter giltigheten av relationerna kontrolleras. Om båda dessa relationer är uppfyllda, dras slutsatsen att dessa tal är rötterna till ekvationen, i kraft av satsen omvänd till Vietas sats. Om åtminstone en av relationerna inte är uppfylld, är dessa tal inte rötterna till andragradsekvationen. Detta tillvägagångssätt kan användas när man löser andragradsekvationer för att kontrollera de hittade rötterna.

Exempel.

Vilket av talparen 1) x 1 =−5, x 2 =3, eller 2) eller 3) är ett rötterpar i andragradsekvationen 4 x 2 −16 x+9=0?

Lösning.

Koefficienterna för den givna andragradsekvationen 4 x 2 −16 x+9=0 är a=4 , b=−16 , c=9 . Enligt Vietas sats måste summan av andragradsekvationens rötter vara lika med −b/a, det vill säga 16/4=4, och produkten av rötterna måste vara lika med c/a, det vill säga 9 /4.

Låt oss nu beräkna summan och produkten av siffrorna i vart och ett av de tre givna paren och jämföra dem med de just erhållna värdena.

I det första fallet har vi x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Det resulterande värdet skiljer sig från 4, så ytterligare verifiering kan inte utföras, men med satsen, inversen av Vietas sats, kan vi omedelbart dra slutsatsen att det första paret av tal inte är ett par rötter i en given andragradsekvation.

Låt oss gå vidare till det andra fallet. Här är det första villkoret uppfyllt. Vi kontrollerar det andra villkoret: , det resulterande värdet skiljer sig från 9/4 . Därför är det andra talparet inte ett par rötter i en andragradsekvation.

Det sista fallet återstår. Här och. Båda villkoren är uppfyllda, så dessa tal x 1 och x 2 är rötterna till den givna andragradsekvationen.

Svar:

Satsen, motsatsen till Vietas sats, kan i praktiken användas för att välja rötterna till en andragradsekvation. Vanligtvis väljs heltalsrötter av de givna andragradsekvationerna med heltalskoefficienter, eftersom detta i andra fall är ganska svårt att göra. Samtidigt använder de det faktum att om summan av två tal är lika med den andra koefficienten i andragradsekvationen, taget med ett minustecken, och produkten av dessa tal är lika med den fria termen, så är dessa tal rötterna till denna andragradsekvation. Låt oss ta itu med detta med ett exempel.

Låt oss ta andragradsekvationen x 2 −5 x+6=0 . För att talen x 1 och x 2 ska vara rötterna till denna ekvation måste två likheter x 1 +x 2 \u003d 5 och x 1 x 2 \u003d 6 vara uppfyllda. Det återstår att välja sådana siffror. I det här fallet är detta ganska enkelt att göra: sådana siffror är 2 och 3, eftersom 2+3=5 och 2 3=6 . Således är 2 och 3 rötterna till denna andragradsekvation.

Satsen, motsatsen till Vietas sats, är särskilt bekväm att tillämpa för att hitta den andra roten av den reducerade andragradsekvationen, när en av rötterna redan är känd eller uppenbar. I det här fallet hittas den andra roten från någon av relationerna.

Låt oss till exempel ta andragradsekvationen 512 x 2 −509 x−3=0 . Här är det lätt att se att enheten är roten till ekvationen, eftersom summan av koefficienterna för denna andragradsekvation är noll. Alltså x 1 = 1 . Den andra roten x 2 kan hittas till exempel från relationen x 1 x 2 =c/a. Vi har 1 x 2 =−3/512 , varav x 2 =−3/512 . Så vi har definierat båda rötterna till andragradsekvationen: 1 och −3/512.

Det är tydligt att valet av rötter endast är ändamålsenligt i de enklaste fallen. I andra fall, för att hitta rötterna, kan du använda formlerna för andragradsekvationens rötter genom diskriminanten.

En annan praktisk tillämpning av satsen, inversen av Vietas sats, är sammanställningen av andragradsekvationer för givna rötter x 1 och x 2. För att göra detta räcker det med att beräkna summan av rötterna, som ger koefficienten x med motsatt tecken på den givna andragradsekvationen, och produkten av rötterna, som ger den fria termen.

Exempel.

Skriv en andragradsekvation vars rötter är talen −11 och 23.

Lösning.

Beteckna x 1 =−11 och x 2 =23 . Vi beräknar summan och produkten av dessa tal: x 1 + x 2 \u003d 12 och x 1 x 2 \u003d −253. Därför är dessa tal rötterna till den givna andragradsekvationen med den andra koefficienten -12 och den fria termen -253. Det vill säga, x 2 −12·x−253=0 är den önskade ekvationen.

Svar:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietas sats används mycket ofta för att lösa uppgifter relaterade till tecken på rötterna i andragradsekvationer. Hur är Vietas sats relaterad till tecknen på rötterna i den reducerade andragradsekvationen x 2 +p x+q=0? Här är två relevanta uttalanden:

Om skärningspunkten q är ett positivt tal och om andragradsekvationen har reella rötter, är båda båda positiva eller båda negativa.
Om den fria termen q är ett negativt tal och om andragradsekvationen har reella rötter, så är deras tecken olika, med andra ord, en rot är positiv och den andra är negativ.

Dessa påståenden följer av formeln x 1 x 2 =q, samt reglerna för att multiplicera positiva, negativa tal och tal med olika tecken. Betrakta exempel på deras tillämpning.

Exempel.

R är positivt. Enligt diskriminantformeln hittar vi D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , värdet på uttrycket r 2 +8 är positivt för vilket reellt r som helst, alltså D>0 för vilket reellt r som helst. Därför har den ursprungliga andragradsekvationen två rötter för alla reella värden på parametern r.

Låt oss nu ta reda på när rötterna har olika tecken. Om tecknen på rötterna är olika, är deras produkt negativ, och enligt Vieta-satsen är produkten av rötterna i den givna andragradsekvationen lika med den fria termen. Därför är vi intresserade av de värden på r för vilka den fria termen r−1 är negativ. För att hitta värdena för r som är av intresse för oss måste vi alltså lösa en linjär ojämlikhet r−1<0 , откуда находим r<1 .

Svar:

vid r<1 .

Vieta formler

Ovan talade vi om Vietas teorem för en andragradsekvation och analyserade de samband den hävdar. Men det finns formler som förbinder de verkliga rötterna och koefficienterna inte bara för andragradsekvationer, utan också för kubiska ekvationer, fyrdubbla ekvationer och i allmänhet, algebraiska ekvationer grad n. De kallas Vieta formler.

Vi skriver Vieta-formlerna för en algebraisk ekvation av grad n av formen, medan vi antar att den har n reella rötter x 1, x 2, ..., x n (bland dem kan det finnas samma):

Få Vieta formler tillåter polynomfaktoriseringssats, samt definitionen av lika polynom genom likheten av alla deras motsvarande koefficienter. Så polynomet och dess expansion till linjära faktorer av formen är lika. Genom att öppna parenteserna i den sista produkten och likställa motsvarande koefficienter får vi Vieta-formlerna.

Speciellt för n=2 har vi redan bekanta Vieta-formler för andragradsekvationen .

För en kubikekvation har Vieta-formlerna formen

Det återstår bara att notera att på vänster sida av Vieta-formlerna finns de så kallade elementära symmetriska polynom.

Bibliografi.

Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e upplagan. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Kl 14.00 Del 1. En lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra och början av matematisk analys. Årskurs 10: lärobok. för allmänbildning institutioner: grundläggande och profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3:e uppl. - M.: Upplysning, 2010.- 368 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-022771-1.

När du studerar sätt att lösa andra ordningens ekvationer i en skolalgebrakurs, överväg egenskaperna hos de erhållna rötterna. De är nu kända som Vietas satser. Exempel på dess användning ges i den här artikeln.

Andragradsekvation

Den andra ordningens ekvation är en likhet, som visas på bilden nedan.

Här är symbolerna a, b, c några tal som kallas koefficienterna för ekvationen i fråga. För att lösa en likhet måste du hitta x-värden som gör den sann.

Observera att eftersom det maximala värdet för den potens till vilken x höjs är två, så är antalet rötter i det allmänna fallet också två.

Det finns flera sätt att lösa den här typen av jämställdhet. I den här artikeln kommer vi att överväga en av dem, som involverar användningen av den så kallade Vieta-satsen.

Uttalande av Vietas teorem

I slutet av 1500-talet märkte den berömde matematikern Francois Viet (fransman), när han analyserade egenskaperna hos rötterna till olika andragradsekvationer, att vissa kombinationer av dem uppfyller specifika samband. I synnerhet är dessa kombinationer deras produkt och summa.

Vietas teorem fastställer följande: rötterna till en andragradsekvation, när de summeras, ger förhållandet mellan de linjära och andragradskoefficienterna tagna med motsatt tecken, och när de multipliceras leder de till förhållandet mellan den fria termen och den andragradskoefficienten .

Om den allmänna formen av ekvationen skrivs som den visas på bilden i föregående avsnitt av artikeln, kan denna sats matematiskt skrivas som två likheter:

r 2 + r 1 \u003d -b / a;
r 1 x r 2 \u003d c/a.

Där r 1, r 2 är värdet av rötterna till den betraktade ekvationen.

Dessa två likheter kan användas för att lösa ett antal mycket olika matematiska problem. Användningen av Vieta-satsen i exempel med en lösning ges i följande avsnitt av artikeln.