Sagor

Muntlig lösning av andragradsekvationer och Vietas sats. Vietas sats för andragradsekvationer och andra ekvationer Tillämpning av Vietas sats

I denna föreläsning kommer vi att bekanta oss med de märkliga sambanden mellan rötterna till en andragradsekvation och dess koefficienter. Dessa samband upptäcktes först av den franske matematikern Francois Viet (1540-1603).

Till exempel, för ekvationen Зx 2 - 8x - 6 \u003d 0, utan att hitta dess rötter, kan du, med hjälp av Vieta-satsen, omedelbart säga att summan av rötterna är , och produkten av rötterna är
dvs - 2. Och för ekvationen x 2 - 6x + 8 \u003d 0 drar vi slutsatsen: summan av rötterna är 6, produkten av rötterna är 8; förresten, det är inte svårt att gissa vad rötterna är lika med: 4 och 2.
Bevis för Vietas sats. Rötterna x 1 och x 2 i andragradsekvationen ax 2 + bx + c \u003d 0 hittas av formlerna

Där D \u003d b 2 - 4ac är ekvationens diskriminant. Att lägga ner dessa rötter
vi får

Nu beräknar vi produkten av rötterna x 1 och x 2 vi har

Det andra förhållandet är bevisat:
Kommentar. Vietas sats är också giltig i det fall då andragradsekvationen har en rot (dvs när D \u003d 0), det är bara att i det här fallet anses det att ekvationen har två identiska rötter, till vilka ovanstående relationer tillämpas.
De bevisade relationerna för den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q \u003d 0 har en särskilt enkel form. I det här fallet får vi:

x 1 \u003d x 2 \u003d -p, x 1 x 2 \u003d q
de där. summan av rötterna i den givna andragradsekvationen är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med den fria termen.
Med hjälp av Vieta-satsen kan man också få andra samband mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation. Låt till exempel x 1 och x 2 vara rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q = 0. Sedan

Huvudsyftet med Vietas teorem är dock inte att det uttrycker vissa samband mellan rötter och koefficienter i en andragradsekvation. Mycket viktigare är det faktum att med hjälp av Vietas sats härleds en formel för faktorisering av ett kvadrattrinomial, utan vilket vi inte kommer att klara oss i framtiden.

Bevis. Vi har

Exempel 1. Faktorisera det kvadratiska trinomiet 3x 2 - 10x + 3.
Lösning. Efter att ha löst ekvationen Zx 2 - 10x + 3 \u003d 0, hittar vi rötterna till kvadrattrinomialet Zx 2 - 10x + 3: x 1 \u003d 3, x2 \u003d.
Med hjälp av sats 2 får vi

Det är vettigt att istället skriva Zx - 1. Då får vi äntligen Zx 2 - 10x + 3 = (x - 3) (3x - 1).
Observera att det givna kvadrattrinomialet kan faktoriseras utan att använda sats 2, med hjälp av grupperingsmetoden:

Zx 2 - 10x + 3 = Zx 2 - 9x - x + 3 =
\u003d Zx (x - 3) - (x - 3) \u003d (x - 3) (Zx - 1).

Men, som du kan se, med denna metod beror framgång på om vi kan hitta en framgångsrik gruppering eller inte, medan med den första metoden är framgång garanterad.
Exempel 1. Minska fraktion

Lösning. Från ekvationen 2x 2 + 5x + 2 = 0 finner vi x 1 = - 2,

Från ekvationen x2 - 4x - 12 = 0 finner vi x 1 = 6, x 2 = -2. Det är därför
x 2 - 4x - 12 \u003d (x - 6) (x - (- 2)) \u003d (x - 6) (x + 2).
Låt oss nu minska den givna bråkdelen:

Exempel 3. Faktorisera uttryck:
a) x4 + 5x2 +6; b) 2x+-3
Lösning a) Vi introducerar en ny variabel y = x 2 . Detta kommer att tillåta oss att skriva om det givna uttrycket i form av ett kvadratiskt trinomium med avseende på variabeln y, nämligen i formen y 2 + by + 6.
Efter att ha löst ekvationen y 2 + by + 6 \u003d 0, hittar vi rötterna till kvadrattrinomialet y 2 + 5y + 6: y 1 \u003d - 2, y 2 \u003d -3. Nu använder vi sats 2; vi får

y2 + 5y + 6 = (y + 2) (y + 3).
Det återstår att komma ihåg att y \u003d x 2, d.v.s. återgår till det givna uttrycket. Så,
x 4 + 5x 2 + 6 \u003d (x 2 + 2) (x 2 + 3).
b) Låt oss introducera en ny variabel y = . Detta gör att du kan skriva om det givna uttrycket i form av ett kvadratiskt trinomium med avseende på variabeln y, nämligen i formen 2y 2 + y - 3. Efter att ha löst ekvationen
2y 2 + y - 3 \u003d 0, vi hittar rötterna till kvadrattrinomialet 2y 2 + y - 3:
y 1 = 1, y 2 = . Vidare, med hjälp av sats 2, får vi:

Det återstår att komma ihåg att y \u003d, d.v.s. återgår till det givna uttrycket. Så,

Avsnittet avslutas med några överväganden, återigen kopplade till Vieta-satsen, eller snarare, med det omvända påståendet:
om talen x 1, x 2 är sådana att x 1 + x 2 \u003d - p, x 1 x 2 \u003d q, då är dessa tal rötterna till ekvationen
Med hjälp av detta påstående kan du lösa många andragradsekvationer muntligt, utan att använda krångliga rotformler, och även komponera andragradsekvationer med givna rötter. Låt oss ge exempel.

1) x 2 - 11x + 24 = 0. Här x 1 + x 2 = 11, x 1 x 2 = 24. Det är lätt att gissa att x 1 = 8, x 2 = 3.

2) x 2 + 11x + 30 = 0. Här x 1 + x 2 = -11, x 1 x 2 = 30. Det är lätt att gissa att x 1 = -5, x 2 = -6.
Observera: om ekvationens fria term är ett positivt tal, så är båda rötterna antingen positiva eller negativa; detta är viktigt att tänka på när du väljer rötter.

3) x 2 + x - 12 = 0. Här x 1 + x 2 = -1, x 1 x 2 = -12. Det är lätt att gissa att x 1 \u003d 3, x2 \u003d -4.
Observera: om ekvationens fria term är ett negativt tal, är rötterna olika i tecken; detta är viktigt att tänka på när du väljer rötter.

4) 5x 2 + 17x - 22 = 0. Det är lätt att se att x = 1 uppfyller ekvationen, d.v.s. x 1 \u003d 1 - roten till ekvationen. Eftersom x 1 x 2 \u003d -, och x 1 \u003d 1, får vi att x 2 \u003d -.

5) x 2 - 293x + 2830 = 0. Här x 1 + x 2 = 293, x 1 x 2 = 2830. Om du uppmärksammar det faktum att 2830 = 283. 10 och 293 \u003d 283 + 10, då blir det klart att x 1 \u003d 283, x 2 \u003d 10 (föreställ dig nu vilka beräkningar som skulle behöva utföras för att lösa denna andragradsekvation med standardformler).

6) Låt oss komponera en andragradsekvation så att talen x 1 \u003d 8, x 2 \u003d - 4 fungerar som dess rötter. Vanligtvis i sådana fall utgör de den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q \u003d 0.
Vi har x 1 + x 2 \u003d -p, därför 8 - 4 \u003d -p, det vill säga p \u003d -4. Vidare, x 1 x 2 = q, dvs. 8"(-4) = q, varav vi får q = -32. Så, p \u003d -4, q \u003d -32, vilket betyder att den önskade andragradsekvationen har formen x 2 -4x-32 \u003d 0.

Vilken komplett andragradsekvation som helst ax2 + bx + c = 0 kan komma ihåg x 2 + (b/a)x + (c/a) = 0, om vi först dividerar varje term med koefficienten a före x2. Och om vi inför ny notation (b/a) = sid och (c/a) = q, då får vi ekvationen x 2 + px + q = 0, som i matematik kallas reducerad andragradsekvation.

Rötterna till den reducerade andragradsekvationen och koefficienterna sid och q sammankopplade. Det är bekräftat Vietas sats, uppkallad efter den franske matematikern Francois Vieta, som levde i slutet av 1500-talet.

Sats. Summan av rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 + px + q = 0 lika med den andra koefficienten sid, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna - till den fria termen q.

Vi skriver dessa förhållanden i följande form:

Låta x 1 och x2 olika rötter till den reducerade ekvationen x 2 + px + q = 0. Enligt Vietas sats xl + x2 = -p och x 1 x 2 = q.

För att bevisa detta, låt oss ersätta var och en av rötterna x 1 och x 2 i ekvationen. Vi får två sanna likheter:

x 1 2 + px 1 + q = 0

x 2 2 + px 2 + q = 0

Subtrahera den andra från den första likheten. Vi får:

x 1 2 – x 2 2 + p(x 1 – x 2) = 0

Vi expanderar de två första termerna enligt formeln för skillnaden mellan kvadrater:

(x 1 - x 2)(x 1 - x 2) + p(x 1 - x 2) = 0

Tillståndet är att rötterna x 1 och x 2 är olika. Därför kan vi minska likheten med (x 1 - x 2) ≠ 0 och uttrycka p.

(xl + x 2) + p = 0;

(x 1 + x 2) = -p.

Den första jämställdheten är bevisad.

För att bevisa den andra likheten byter vi in i den första ekvationen

x 1 2 + px 1 + q \u003d 0 istället för koefficienten p, dess lika många är (x 1 + x 2):

x 1 2 - (x 1 + x 2) x 1 + q \u003d 0

Om vi transformerar vänster sida av ekvationen får vi:

x 1 2 - x 2 2 - x 1 x 2 + q \u003d 0;

x 1 x 2 = q, vilket skulle bevisas.

Vietas teorem är bra eftersom, även utan att känna till andragradsekvationens rötter kan vi beräkna deras summa och produkt .

Vietas teorem hjälper till att bestämma heltalsrötterna för den givna andragradsekvationen. Men för många elever orsakar detta svårigheter på grund av att de inte känner till en tydlig handlingsalgoritm, särskilt om ekvationens rötter har olika tecken.

Så den givna andragradsekvationen har formen x 2 + px + q \u003d 0, där x 1 och x 2 är dess rötter. Enligt Vieta-satsen x 1 + x 2 = -p och x 1 x 2 = q.

Vi kan dra följande slutsats.

Om den sista termen i ekvationen föregås av ett minustecken, så har rötterna x 1 och x 2 olika tecken. Dessutom är tecknet för den mindre roten detsamma som tecknet för den andra koefficienten i ekvationen.

Baserat på det faktum att när man lägger till tal med olika tecken, subtraheras deras moduler, och tecknet för det större talet i modul placeras framför resultatet, bör du fortsätta enligt följande:

bestämma sådana faktorer av talet q så att deras skillnad är lika med talet p;
sätt tecknet för den andra koefficienten i ekvationen framför det minsta av de erhållna talen; den andra roten kommer att ha motsatt tecken.

Låt oss titta på några exempel.

Exempel 1.

Lös ekvationen x 2 - 2x - 15 = 0.

Lösning.

Låt oss försöka lösa denna ekvation med de regler som föreslagits ovan. Då kan vi med säkerhet säga att denna ekvation kommer att ha två olika rötter, eftersom D \u003d b 2 - 4ac \u003d 4 - 4 (-15) \u003d 64\u003e 0.

Nu, från alla faktorer för talet 15 (1 och 15, 3 och 5), väljer vi de vars skillnad är lika med 2. Dessa kommer att vara siffrorna 3 och 5. Vi sätter ett minustecken framför det mindre talet , dvs. tecknet för den andra koefficienten i ekvationen. Således får vi rötterna till ekvationen x 1 \u003d -3 och x 2 \u003d 5.

Svar. x 1 = -3 och x 2 = 5.

Exempel 2.

Lös ekvationen x 2 + 5x - 6 = 0.

Lösning.

Låt oss kontrollera om denna ekvation har rötter. För att göra detta hittar vi diskriminanten:

D \u003d b 2 - 4ac \u003d 25 + 24 \u003d 49\u003e 0. Ekvationen har två olika rötter.

De möjliga faktorerna för talet 6 är 2 och 3, 6 och 1. Skillnaden är 5 för ett par av 6 och 1. I det här exemplet har koefficienten för den andra termen ett plustecken, så det mindre talet kommer att ha samma tecken. Men före den andra siffran kommer det att finnas ett minustecken.

Svar: x 1 = -6 och x 2 = 1.

Vietas sats kan också skrivas för en komplett andragradsekvation. Så om andragradsekvationen ax2 + bx + c = 0 har rötter x 1 och x 2, då uppfyller de likheterna

x 1 + x 2 = -(b/a) och x 1 x 2 = (c/a). Men tillämpningen av denna sats i den fullständiga andragradsekvationen är ganska problematisk, eftersom om det finns rötter är minst en av dem ett bråktal. Och att arbeta med valet av fraktioner är ganska svårt. Men det finns fortfarande en väg ut.

Betrakta den fullständiga andragradsekvationen ax 2 + bx + c = 0. Multiplicera dess vänstra och högra sidor med koefficienten a. Ekvationen kommer att ha formen (ax) 2 + b(ax) + ac = 0. Låt oss nu introducera en ny variabel, till exempel t = ax.

I detta fall kommer den resulterande ekvationen att förvandlas till en reducerad andragradsekvation av formen t 2 + bt + ac = 0, vars rötter t 1 och t 2 (om någon) kan bestämmas av Vieta-satsen.

I det här fallet kommer rötterna till den ursprungliga andragradsekvationen att vara

x 1 = (t 1 / a) och x 2 = ( t 2 / a).

Exempel 3.

Lös ekvationen 15x 2 - 11x + 2 = 0.

Lösning.

Vi gör en hjälpekvation. Låt oss multiplicera varje term i ekvationen med 15:

15 2 x 2 - 11 15x + 15 2 = 0.

Vi gör ändringen t = 15x. Vi har:

t 2 - 11 t + 30 = 0.

Enligt Vieta-satsen kommer rötterna till denna ekvation att vara t 1 = 5 och t 2 = 6.

Vi återgår till ersättningen t = 15x:

5 = 15x eller 6 = 15x. Alltså x 1 = 5/15 och x 2 = 6/15. Vi reducerar och får det slutgiltiga svaret: x 1 = 1/3 och x 2 = 2/5.

Svar. x 1 = 1/3 och x 2 = 2/5.

För att bemästra lösningen av andragradsekvationer med hjälp av Vietas teorem behöver eleverna öva så mycket som möjligt. Detta är precis hemligheten bakom framgång.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

Mellan andragradsekvationens rötter och koefficienter finns det förutom rotformlerna andra användbara samband som ges av Vietas sats. I den här artikeln kommer vi att ge en formulering och bevis på Vietas sats för en andragradsekvation. Därefter betraktar vi en sats omvänd till Vietas sats. Efter det kommer vi att analysera lösningarna för de mest karakteristiska exemplen. Slutligen skriver vi ner Vieta-formlerna som definierar sambandet mellan de verkliga rötterna algebraisk ekvation grad n och dess koefficienter.

Sidnavigering.

Vietas sats, formulering, bevis

Från formlerna till andragradsekvationens rötter a x 2 +b x+c=0 av formen , där D=b 2 −4 a c , relationerna x 1 +x 2 = −b/a, x 1 x 2 = c/a . Dessa resultat bekräftas Vietas sats:

Sats.

Om en x 1 och x 2 är rötterna till andragradsekvationen a x 2 +b x+c=0, då är summan av rötterna lika med förhållandet mellan koefficienterna b och a, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är lika med förhållandet mellan koefficienterna c och a, det vill säga .

Bevis.

Vi kommer att bevisa Vieta-satsen enligt följande schema: vi kommer att komponera summan och produkten av rötterna i andragradsekvationen med hjälp av de kända rotformlerna, sedan transformerar vi de resulterande uttrycken och ser till att de är lika med −b /a respektive c/a.

Låt oss börja med summan av rötterna, komponera den. Nu tar vi bråken till en gemensam nämnare, det har vi. I täljaren för det resulterande bråket , varefter : . Slutligen, efter 2, får vi . Detta bevisar den första relationen i Vietas sats för summan av rötterna i en andragradsekvation. Låt oss gå vidare till den andra.

Vi komponerar produkten av rötterna till andragradsekvationen:. Enligt regeln för multiplikation av bråk kan den sista produkten skrivas som. Nu multiplicerar vi parentesen med parentesen i täljaren, men det går snabbare att kollapsa denna produkt med formel för skillnad på kvadrater, Så . Sedan, kom ihåg, utför vi nästa övergång. Och eftersom formeln D=b 2 −4 a·c motsvarar diskriminanten i andragradsekvationen, då b 2 −4·a·c kan ersättas med den sista bråkdelen istället för D, får vi . Efter att ha öppnat parenteserna och reducerat liknande termer kommer vi fram till bråket , och dess minskning med 4·a ger . Detta bevisar det andra förhållandet i Vietas sats för produkten av rötter.

Om vi utelämnar förklaringarna kommer beviset för Vieta-satsen att ta en kortfattad form:
,
.

Det återstår bara att notera att när diskriminanten är lika med noll, har andragradsekvationen en rot. Men om vi antar att ekvationen i detta fall har två identiska rötter, så gäller även likheterna från Vieta-satsen. För D=0 är roten av andragradsekvationen , då och , och eftersom D=0 , det vill säga b 2 −4·a·c=0 , varav b 2 =4·a·c , alltså .

I praktiken används Vietas sats oftast i relation till den reducerade andragradsekvationen (med högsta koefficient a lika med 1 ) av formen x 2 +p·x+q=0 . Ibland formuleras den för andragradsekvationer av just denna typ, vilket inte begränsar generaliteten, eftersom vilken andragradsekvation som helst kan ersättas med en ekvivalent ekvation genom att dela båda dess delar med ett icke-nolltal a. Här är motsvarande formulering av Vietas teorem:

Sats.

Summan av rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 + p x + q \u003d 0 är lika med koefficienten vid x, taget med motsatt tecken, och produkten av rötterna är den fria termen, det vill säga x 1 + x 2 \u003d −p, x 1 x 2 \u003d q .

Sats invers till Vietas sats

Den andra formuleringen av Vieta-satsen, som ges i föregående stycke, indikerar att om x 1 och x 2 är rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 +p x+q=0, då är relationerna x 1 +x 2 = − p, x 1 x 2=q. Å andra sidan, av de skrivna relationerna x 1 +x 2 =−p, x 1 x 2 =q, följer att x 1 och x 2 är rötterna till andragradsekvationen x 2 +p x+q=0. Med andra ord, påståendet mot Vietas teorem är sant. Vi formulerar det i form av ett teorem och bevisar det.

Sats.

Om talen x 1 och x 2 är sådana att x 1 +x 2 =−p och x 1 x 2 =q, då är x 1 och x 2 rötterna till den reducerade andragradsekvationen x 2 +p x+q=0 .

Bevis.

Efter att ha ersatt koefficienterna p och q i ekvationen x 2 +p x+q=0 för deras uttryck genom x 1 och x 2, omvandlas den till en ekvivalent ekvation.

Vi ersätter talet x 1 istället för x i den resulterande ekvationen, vi har likheten x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 =0, som för alla x 1 och x 2 är den korrekta numeriska likheten 0=0, eftersom x 1 2 −(x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 −x 1 2 −x 2 x 1 + x 1 x 2 =0. Därför är x 1 roten till ekvationen x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, vilket betyder att x 1 är roten till ekvivalentekvationen x 2 +p x+q=0 .

Om i ekvationen x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0 ersätt talet x 2 istället för x, då får vi likheten x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 =0. Detta är den korrekta ekvationen eftersom x 2 2 −(x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 −x 1 x 2 −x 2 2 +x 1 x 2 =0. Därför är x 2 också roten till ekvationen x 2 −(x 1 + x 2) x + x 1 x 2 \u003d 0, och därav ekvationerna x 2 +p x+q=0 .

Detta fullbordar beviset för satsen i motsats till Vietas sats.

Exempel på användning av Vietas sats

Det är dags att prata om den praktiska tillämpningen av Vietas teorem och dess inversa teorem. I det här underavsnittet kommer vi att analysera lösningarna för flera av de mest typiska exemplen.

Vi börjar med att tillämpa en sats omvänd på Vietas sats. Det är bekvämt att använda det för att kontrollera om de givna två talen är rötterna till en given andragradsekvation. I det här fallet beräknas deras summa och skillnad, varefter giltigheten av relationerna kontrolleras. Om båda dessa relationer är uppfyllda, dras slutsatsen att dessa tal är rötterna till ekvationen, i kraft av satsen omvänd till Vietas sats. Om åtminstone en av relationerna inte är uppfylld, är dessa tal inte rötterna till andragradsekvationen. Detta tillvägagångssätt kan användas när man löser andragradsekvationer för att kontrollera de hittade rötterna.

Exempel.

Vilket av talparen 1) x 1 =−5, x 2 =3, eller 2) eller 3) är ett rötterpar i andragradsekvationen 4 x 2 −16 x+9=0?

Lösning.

Koefficienterna för den givna andragradsekvationen 4 x 2 −16 x+9=0 är a=4 , b=−16 , c=9 . Enligt Vietas sats måste summan av andragradsekvationens rötter vara lika med −b/a, det vill säga 16/4=4, och produkten av rötterna måste vara lika med c/a, det vill säga 9 /4.

Låt oss nu beräkna summan och produkten av siffrorna i vart och ett av de tre givna paren och jämföra dem med de just erhållna värdena.

I det första fallet har vi x 1 +x 2 =−5+3=−2 . Det resulterande värdet skiljer sig från 4, därför kan ytterligare verifiering inte utföras, men med satsen, inversen av Vietas sats, kan vi omedelbart dra slutsatsen att det första paret av tal inte är ett par rötter i en given kvadratisk ekvation .

Låt oss gå vidare till det andra fallet. Här är det första villkoret uppfyllt. Vi kontrollerar det andra villkoret: , det resulterande värdet skiljer sig från 9/4 . Därför är det andra talparet inte ett par rötter i en andragradsekvation.

Det sista fallet återstår. Här och. Båda villkoren är uppfyllda, så dessa tal x 1 och x 2 är rötterna till den givna andragradsekvationen.

Svar:

Satsen, motsatsen till Vietas sats, kan i praktiken användas för att välja rötterna till en andragradsekvation. Vanligtvis väljs heltalsrötter av de givna andragradsekvationerna med heltalskoefficienter, eftersom detta i andra fall är ganska svårt att göra. Samtidigt använder de det faktum att om summan av två tal är lika med den andra koefficienten i andragradsekvationen, taget med ett minustecken, och produkten av dessa tal är lika med den fria termen, så är dessa tal rötterna till denna andragradsekvation. Låt oss ta itu med detta med ett exempel.

Låt oss ta andragradsekvationen x 2 −5 x+6=0 . För att talen x 1 och x 2 ska vara rötterna till denna ekvation måste två likheter x 1 +x 2 \u003d 5 och x 1 x 2 \u003d 6 vara uppfyllda. Det återstår att välja sådana siffror. I det här fallet är detta ganska enkelt att göra: sådana siffror är 2 och 3, eftersom 2+3=5 och 2 3=6 . Således är 2 och 3 rötterna till denna andragradsekvation.

Theorem converse to Vieta's theorem är särskilt praktiskt för att hitta den andra roten av den reducerade andragradsekvationen när en av rötterna redan är känd eller uppenbar. I det här fallet hittas den andra roten från någon av relationerna.

Låt oss till exempel ta andragradsekvationen 512 x 2 −509 x−3=0 . Här är det lätt att se att enheten är roten till ekvationen, eftersom summan av koefficienterna för denna andragradsekvation är noll. Alltså x 1 = 1 . Den andra roten x 2 kan hittas till exempel från relationen x 1 x 2 =c/a. Vi har 1 x 2 =−3/512 , varav x 2 =−3/512 . Så vi har definierat båda rötterna till andragradsekvationen: 1 och −3/512.

Det är tydligt att valet av rötter endast är ändamålsenligt i de enklaste fallen. I andra fall, för att hitta rötterna, kan du använda formlerna för andragradsekvationens rötter genom diskriminanten.

En annan praktisk tillämpning av satsen, inversen av Vietas sats, är sammanställningen av andragradsekvationer för givna rötter x 1 och x 2. För att göra detta räcker det med att beräkna summan av rötterna, som ger koefficienten x med motsatt tecken på den givna andragradsekvationen, och produkten av rötterna, som ger den fria termen.

Exempel.

Skriv en andragradsekvation vars rötter är talen −11 och 23.

Lösning.

Beteckna x 1 =−11 och x 2 =23 . Vi beräknar summan och produkten av dessa tal: x 1 + x 2 \u003d 12 och x 1 x 2 \u003d −253. Därför är dessa tal rötterna till den givna andragradsekvationen med den andra koefficienten -12 och den fria termen -253. Det vill säga, x 2 −12·x−253=0 är den önskade ekvationen.

Svar:

x 2 −12 x−253=0 .

Vietas sats används mycket ofta för att lösa uppgifter relaterade till tecken på rötterna i andragradsekvationer. Hur är Vietas sats relaterad till tecknen på rötterna i den reducerade andragradsekvationen x 2 +p x+q=0? Här är två relevanta uttalanden:

Om den fria termen q är ett positivt tal och om andragradsekvationen har reella rötter, så är de båda positiva eller båda negativa.
Om den fria termen q är ett negativt tal och om andragradsekvationen har reella rötter, så är deras tecken olika, med andra ord, en rot är positiv och den andra är negativ.

Dessa påståenden följer av formeln x 1 x 2 =q, samt reglerna för att multiplicera positiva, negativa tal och tal med olika tecken. Betrakta exempel på deras tillämpning.

Exempel.

R är positivt. Enligt diskriminantformeln hittar vi D=(r+2) 2 −4 1 (r−1)= r 2 +4 r+4−4 r+4=r 2 +8 , värdet på uttrycket r 2 +8 är positivt för vilket reellt r som helst, alltså D>0 för vilket reellt r som helst. Därför har den ursprungliga andragradsekvationen två rötter för alla reella värden på parametern r.

Låt oss nu ta reda på när rötterna har olika tecken. Om tecknen på rötterna är olika, så är deras produkt negativ, och enligt Vieta-satsen är produkten av rötterna i den givna andragradsekvationen lika med den fria termen. Därför är vi intresserade av de värden på r för vilka den fria termen r−1 är negativ. För att hitta värdena för r som är av intresse för oss måste vi alltså lösa en linjär ojämlikhet r−1<0 , откуда находим r<1 .

Svar:

vid r<1 .

Vieta formler

Ovan talade vi om Vietas teorem för en andragradsekvation och analyserade de samband den hävdar. Men det finns formler som förbinder de verkliga rötterna och koefficienterna inte bara för andragradsekvationer, utan också för kubiska ekvationer, fyrdubbla ekvationer och i allmänhet, algebraiska ekvationer grad n. De kallas Vieta formler.

Vi skriver Vieta-formlerna för en algebraisk ekvation av grad n av formen, medan vi antar att den har n reella rötter x 1, x 2, ..., x n (bland dem kan det finnas samma):

Få Vieta formler tillåter polynomfaktoriseringssats, samt definitionen av lika polynom genom likheten av alla deras motsvarande koefficienter. Så polynomet och dess expansion till linjära faktorer av formen är lika. Genom att öppna parenteserna i den sista produkten och likställa motsvarande koefficienter får vi Vieta-formlerna.

Speciellt för n=2 har vi redan bekanta Vieta-formler för andragradsekvationen .

För en kubikekvation har Vieta-formlerna formen

Det återstår bara att notera att på vänster sida av Vieta-formlerna finns de så kallade elementära symmetriska polynom.

Bibliografi.

Algebra: lärobok för 8 celler. Allmän utbildning institutioner / [Yu. N. Makarychev, N.G. Mindyuk, K.I. Neshkov, S.B. Suvorova]; ed. S. A. Teljakovskij. - 16:e uppl. - M. : Utbildning, 2008. - 271 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-019243-9.
Mordkovich A.G. Algebra. 8: e klass. Kl 14.00 Del 1. En lärobok för studenter vid utbildningsinstitutioner / A. G. Mordkovich. - 11:e uppl., raderad. - M.: Mnemozina, 2009. - 215 s.: ill. ISBN 978-5-346-01155-2.
Algebra och början av matematisk analys. Årskurs 10: lärobok. för allmänbildning institutioner: grundläggande och profil. nivåer / [Yu. M. Kolyagin, M.V. Tkacheva, N.E. Fedorova, M.I. Shabunin]; ed. A. B. Zhizhchenko. - 3:e uppl. - M.: Upplysning, 2010.- 368 sid. : sjuk. - ISBN 978-5-09-022771-1.

En av metoderna för att lösa en andragradsekvation är tillämpningen VIETAS formler, som fick sitt namn efter FRANCOIS VIETE.

Han var en berömd advokat och tjänstgjorde på 1500-talet hos den franske kungen. På fritiden studerade han astronomi och matematik. Han etablerade ett samband mellan rötter och koefficienter för en andragradsekvation.

Fördelar med formeln:

1 . Genom att tillämpa formeln kan du snabbt hitta lösningen. Eftersom du inte behöver ange den andra koefficienten i kvadraten, subtrahera sedan 4ac från den, hitta diskriminanten, ersätt dess värde i formeln för att hitta rötterna.

2 . Utan en lösning kan du bestämma rötternas tecken, plocka upp rötternas värden.

3 . Efter att ha löst systemet med två poster är det inte svårt att hitta själva rötterna. I ovanstående andragradsekvation är summan av rötterna lika med värdet av den andra koefficienten med ett minustecken. Produkten av rötterna i ovanstående andragradsekvation är lika med värdet av den tredje koefficienten.

4 . Skriv en andragradsekvation enligt de givna rötterna, det vill säga lös det omvända problemet. Till exempel används denna metod för att lösa problem inom teoretisk mekanik.

5 . Det är bekvämt att tillämpa formeln när den inledande koefficienten är lika med en.

Brister:

1 . Formeln är inte universell.

Vietas sats årskurs 8

Formel
Om x 1 och x 2 är rötterna till den givna andragradsekvationen x 2 + px + q \u003d 0, då:

Exempel
x 1 \u003d -1; x 2 \u003d 3 - rötterna till ekvationen x 2 - 2x - 3 \u003d 0.

P = -2, q = -3.

X 1 + x 2 \u003d -1 + 3 \u003d 2 \u003d -p,

X 1 x 2 = -1 3 = -3 = q.

Omvänd teorem

Formel
Om talen x 1 , x 2 , p, q är förbundna med villkoren:

Då är x 1 och x 2 rötterna till ekvationen x 2 + px + q = 0.

Exempel
Låt oss göra en andragradsekvation med dess rötter:

X 1 \u003d 2 -? 3 och x 2 \u003d 2 +? 3 .

P \u003d x 1 + x 2 \u003d 4; p = -4; q \u003d x 1 x 2 \u003d (2 -? 3) (2 +? 3) \u003d 4 - 3 \u003d 1.

Den önskade ekvationen har formen: x 2 - 4x + 1 = 0.

2.5 Vieta-formel för polynom (ekvationer) av högre grader

Formlerna som härleds av Vieta för andragradsekvationer är också sanna för polynom av högre grader.

Låt polynomet

P(x) = a 0 x n + a 1 x n -1 + … +a n

Har n distinkta rötter x 1 , x 2 …, x n .

I det här fallet har den en faktorisering av formen:

a 0 x n + a 1 x n-1 +…+ a n = a 0 (x – x 1)(x – x 2)...(x – x n)

Låt oss dividera båda delarna av denna likhet med en 0 ≠ 0 och utöka parenteserna i den första delen. Vi får jämställdheten:

x n + ()x n -1 + ... + () = x n - (x 1 + x 2 + ... + x n) x n -1 + (x 1 x 2 + x 2 x 3 + ... + x n -1 x n)x n - 2 + … +(-1) n x 1 x 2 … x n

Men två polynom är identiskt lika om och endast om koefficienterna vid samma potenser är lika. Av detta följer att jämlikheten

x 1 + x 2 + … + x n = -

x 1 x 2 + x 2 x 3 + … + x n -1 x n =

x 1 x 2 … x n = (-1) n

Till exempel för polynom av tredje graden

a 0 x³ + a 1 x² + a 2 x + a 3

Vi har identiteter

x 1 + x 2 + x 3 = -

x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 =

x 1 x 2 x 3 = -

När det gäller andragradsekvationer kallas denna formel Vieta-formler. De vänstra delarna av dessa formler är symmetriska polynom från rötterna x 1 , x 2 ..., x n i den givna ekvationen, och de högra delarna uttrycks i termer av polynomets koefficient.

2.6 Ekvationer som kan reduceras till kvadrater (biquadratisk)

Ekvationer av fjärde graden reduceras till andragradsekvationer:

ax 4 + bx 2 + c = 0,

kallas biquadratisk, dessutom a ≠ 0.

Det räcker att sätta x 2 \u003d y i denna ekvation, därför,

ay² + by + c = 0

hitta rötterna till den resulterande andragradsekvationen

y 1,2 =

För att omedelbart hitta rötterna x 1, x 2, x 3, x 4, ersätt y med x och få

x2 =

x 1,2,3,4 = .

Om ekvationen för fjärde graden har x 1, har den också en rot x 2 \u003d -x 1,

Om har x 3, då x 4 \u003d - x 3. Summan av rötterna till en sådan ekvation är noll.

2x 4 - 9x² + 4 = 0

Vi ersätter ekvationen med formeln för rötterna till biquadratiska ekvationer:

x 1,2,3,4 = ,

att veta att x 1 \u003d -x 2, och x 3 \u003d -x 4, då:

x 3,4 =

Svar: x 1,2 \u003d ± 2; x 1,2 =

2.7 Studie av biquadratiska ekvationer

Låt oss ta den biquadratiska ekvationen

ax 4 + bx 2 + c = 0,

där a, b, c är reella tal, och a > 0. Genom att introducera en extra okänd y = x² undersöker vi rötterna till denna ekvation, och matar in resultaten i en tabell (se bilaga nr 1)

2.8 Cardano formel

Om vi använder modern symbolik, kan härledningen av Cardano-formeln se ut så här:

x =

Denna formel bestämmer rötterna till den allmänna ekvationen av tredje graden:

ax 3 + 3bx 2 + 3cx + d = 0.

Denna formel är mycket besvärlig och komplex (den innehåller flera komplexa radikaler). Det gäller inte alltid, eftersom. mycket svår att slutföra.

F ¢(x®) = 0, >0 (<0), то точка xоявляется точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же =0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка . Пример 3.22. Найти экстремумы функции f(x) ...

Lista eller välj bland 2-3 texter de mest intressanta platserna. Sålunda har vi övervägt de allmänna bestämmelserna för skapande och genomförande av valbara kurser, som kommer att beaktas vid utveckling av en valbar kurs i algebra för årskurs 9 "Kvadrikulära ekvationer och ojämlikheter med en parameter". Kapitel II. Metodik för att genomföra en valbar kurs "Kvadratiska ekvationer och ojämlikheter med en parameter" 1.1. Allmän...

Lösningar från numeriska beräkningsmetoder. För att fastställa ekvationens rötter krävs inte kunskap om teorierna för Abel, Galois, Lie-grupper etc. och användning av speciell matematisk terminologi: ringar, fält, ideal, isomorfismer, etc. För att lösa en algebraisk ekvation av n:e graden behöver du bara kunna lösa andragradsekvationer och extrahera rötter från ett komplext tal. Rötter kan bestämmas med...

Med måttenheter för fysiska storheter i MathCAD-systemet? 11. Beskriv i detalj text, grafiska och matematiska block. Föreläsning nummer 2. Problem med linjär algebra och lösning av differentialekvationer i MathCAD-miljön I linjära algebraproblem blir det nästan alltid nödvändigt att utföra olika operationer med matriser. Matrixmanöverpanelen finns på Math-panelen. ...