Hitta området mellan raderna online. Hitta arean av figuren som begränsas av linjerna y=f(x), x=g(y). Båglängden av en platt kurva

Låt funktionen vara icke-negativ och kontinuerlig på intervallet. Sedan, enligt den geometriska betydelsen av en viss integral, området för en krökt trapets som begränsas ovanifrån av grafen för denna funktion, underifrån av axeln, från vänster och höger av raka linjer och (se fig. 2) ) beräknas med formeln

Exempel 9 Hitta arean av en figur som avgränsas av en linje och axel.

Lösning. Funktionsdiagram är en parabel vars grenar pekar nedåt. Låt oss bygga den (fig. 3). För att bestämma integrationens gränser hittar vi skärningspunkterna för linjen (parabeln) med axeln (rät linje). För att göra detta löser vi ekvationssystemet

Vi får: , var , ; Följaktligen, , .

Ris. 3

Arean av figuren hittas av formeln (5):

Om funktionen är icke-positiv och kontinuerlig på segmentet, är området för den krökta trapetsen, avgränsat underifrån av grafen för denna funktion, ovanifrån av axeln, från vänster och höger av raka linjer och , beräknas med formeln

. (6)

Om funktionen är kontinuerlig på ett segment och ändrar tecken vid ett ändligt antal punkter, är arean av den skuggade figuren (fig. 4) lika med den algebraiska summan av motsvarande bestämda integraler:

Ris. fyra

Exempel 10 Beräkna arean av figuren avgränsad av axeln och grafen för funktionen för .

Ris. 5

Lösning. Låt oss göra en ritning (Fig. 5). Det önskade området är summan av ytorna och . Låt oss hitta vart och ett av dessa områden. Först bestämmer vi gränserna för integration genom att lösa systemet Vi får , . Följaktligen:

;

.

Således är området för den skuggade figuren

(kvm enheter).

Ris. 6

Låt slutligen den kurvlinjära trapetsen avgränsas uppifrån och under av graferna för funktioner som är kontinuerliga på segmentet och ,
och till vänster och höger - rakt och (Fig. 6). Därefter beräknas dess area med formeln

. (8)

Exempel 11. Hitta arean av figuren som omges av linjerna och .

Lösning. Denna figur visas i fig. 7. Vi beräknar dess area med formeln (8). När vi löser ekvationssystemet finner vi , ; Följaktligen, , . På segmentet har vi: . Därför tar vi i formel (8) som x, och som - . Vi får:

(kvm enheter).

Mer komplexa problem med att beräkna arealer löses genom att dela figuren i icke-korsande delar och beräkna arean av hela figuren som summan av areorna för dessa delar.

Ris. 7

Exempel 12. Hitta arean av figuren som avgränsas av linjerna , , .

Lösning. Låt oss göra en ritning (fig. 8). Denna figur kan betraktas som en krökt trapets som avgränsas underifrån av axeln , från vänster och höger - av raka linjer och ovanifrån - av grafer över funktioner och . Eftersom figuren är avgränsad ovanifrån av graferna för två funktioner, för att beräkna dess area, delar vi denna raka figur i två delar (1 är abskissan för linjernas skärningspunkt och). Arean för var och en av dessa delar hittas av formeln (4):

(kvadratenheter); (kvm enheter). Följaktligen:

(kvm enheter).

Ris. åtta

X= j( på)

Ris. 9

Sammanfattningsvis noterar vi att om en krökt trapets är begränsad av raka linjer och , axeln och kontinuerlig på kurvan (fig. 9), så hittas dess area av formeln

Volymen av en revolutionskropp

Låt en kurvlinjär trapets avgränsad av en graf av en funktion kontinuerligt på ett segment, en axel, räta linjer och rotera runt axeln (Fig. 10). Sedan beräknas volymen av den resulterande rotationskroppen med formeln

. (9)

Exempel 13 Beräkna volymen av en kropp som erhålls genom att rotera runt axeln på en krökt trapets som avgränsas av en hyperbel, raka linjer och axeln.

Lösning. Låt oss göra en ritning (Fig. 11).

Av problemets tillstånd följer att . Genom formel (9) får vi

.

Ris. tio

Ris. elva

Volymen av en kropp som erhålls genom rotation runt en axel OU krökt trapets som begränsas av raka linjer y = c och y = d, axel OU och en graf av en funktion kontinuerlig på ett segment (fig. 12), bestäms av formeln

. (10)

X= j( på)

Ris. 12

Exempel 14. Beräkna volymen av en kropp som erhålls genom att rotera runt en axel OU krökt trapets som begränsas av linjer X 2 = 4på, y= 4, x = 0 (fig. 13).

Lösning. I enlighet med problemets tillstånd finner vi integrationens gränser: , . Med formel (10) får vi:

Ris. 13

Båglängden av en platt kurva

Låt kurvan ges av ekvationen, där , ligger i planet (fig. 14).

Ris. fjorton

Definition. Längden på en båge förstås som gränsen till vilken längden av en polylinje inskriven i denna båge tenderar när antalet länkar av polylinjen tenderar till oändligt, och längden på den största länken tenderar till noll.

Om funktionen och dess derivata är kontinuerliga på segmentet, beräknas kurvans båglängd med formeln

. (11)

Exempel 15. Beräkna längden på bågen av kurvan som är innesluten mellan punkterna för vilka .

Lösning. Från tillståndet för problemet vi har . Med formel (11) får vi:

.

4. Felaktiga integraler
med oändliga gränser för integration

När begreppet en bestämd integral introducerades, antogs det att följande två villkor är uppfyllda:

a) gränser för integration a och är ändliga;

b) integranden är avgränsad på segmentet .

Om åtminstone ett av dessa villkor inte är uppfyllt, anropas integralen felaktig.

Låt oss först överväga olämpliga integraler med oändliga gränser för integration.

Definition. Låt funktionen vara definierad och kontinuerlig på intervallet då och obegränsad till höger (fig. 15).

Om den felaktiga integralen konvergerar är detta område ändligt; om den felaktiga integralen divergerar, är detta område oändligt.

Ris. femton

En felaktig integral med en oändlig nedre integrationsgräns definieras på liknande sätt:

. (13)

Denna integral konvergerar om gränsen på den högra sidan av jämlikheten (13) existerar och är ändlig; annars sägs integralen vara divergent.

En felaktig integral med två oändliga gränser för integration definieras enligt följande:

, (14)

där с är vilken punkt som helst i intervallet. Integralen konvergerar endast om båda integralerna konvergerar på den högra sidan av likheten (14).

;

G) = [välj hela kvadraten i nämnaren: ] = [ersättning:

] =

Därför konvergerar den felaktiga integralen och dess värde är lika med .

Ange funktionen som du vill hitta integralen för

Kalkylatorn ger en DETALJERAD lösning av bestämda integraler.

Denna kalkylator löser den bestämda integralen av funktionen f(x) med de givna övre och nedre gränserna.

Exempel

Med användning av examen
(kvadrat och kub) och bråk

(x^2 - 1)/(x^3 + 1)

Roten ur

Sqrt(x)/(x + 1)

kubikroten

Cbrt(x)/(3*x + 2)

Använder sinus och cosinus

2*sin(x)*cos(x)

Arcsine

X*arcsin(x)

Arc cosinus

x*arccos(x)

Tillämpning av logaritmen

X*log(x, 10)

naturlig logaritm

Utställare

Tg(x)*sin(x)

Cotangens

Ctg(x)*cos(x)

Irrationella fraktioner

(sqrt(x) - 1)/sqrt(x^2 - x - 1)

Arctangens

X*arctg(x)

Bågtangens

X*arсctg(x)

Hyberbolisk sinus och cosinus

2*sh(x)*ch(x)

Hyberbolisk tangent och cotangens

ctgh(x)/tgh(x)

Hyberbolisk arcsine och arccosine

X^2*arcsinh(x)*arccosh(x)

Hyberbolisk arctangens och arccotangent

X^2*arctgh(x)*arctgh(x)

Regler för inmatning av uttryck och funktioner

Uttryck kan bestå av funktioner (notationer ges i alfabetisk ordning): absolut(x) Absolutvärde x
(modul x eller |x|) arccos(x) Funktion - bågekosinus av x arccosh(x) Arc cosinus hyperbolisk från x arcsin(x) Arcsine från x arcsinh(x) Arcsine hyperbolisk från x arctg(x) Funktion - bågetangens från x arctgh(x) Bågtangensen är hyperbolisk från x e e ett tal som är ungefär lika med 2,7 exp(x) Funktion - exponent från x(vilket är e^x) log(x) eller log(x) Naturlig logaritm av x
(För att uppnå log7(x), måste du ange log(x)/log(7) (eller till exempel för log10(x)=log(x)/log(10)) pi Siffran är "Pi", vilket är ungefär lika med 3,14 sin(x) Funktion - Sinus av x cos(x) Funktion - Cosinus av x sinh(x) Funktion - Hyperbolisk sinus av x kontanter (x) Funktion - Hyperbolisk cosinus av x sqrt(x) Funktionen är kvadratroten ur x sqr(x) eller x^2 Funktion - Fyrkant x tg(x) Funktion - Tangent från x tgh(x) Funktion - Hyperbolisk tangens av x cbrt(x) Funktionen är kubroten till x

Du kan använda följande operationer i uttryck: Riktiga nummer ange i formuläret 7.5 , inte 7,5 2*x- multiplikation 3/x- division x^3- exponentiering x + 7- tillägg x - 6- subtraktion
Andra funktioner: golv(x) Funktion - avrundning x ner (exempelgolv(4.5)==4.0) tak(x) Funktion - avrundning x upp (exempel tak(4.5)==5.0) tecken (x) Funktion - Tecken x erf(x) Felfunktion (eller sannolikhetsintegral) laplace(x) Laplace funktion

Beräkna arean av en figur Detta är kanske ett av de svåraste problemen inom områdesteorin. I skolans geometri får de lära sig att hitta områdena för geometriska grundformer som till exempel en triangel, en romb, en rektangel, en trapets, en cirkel osv. Man har dock ofta att göra med beräkningen av arean för mer komplexa figurer. Det är för att lösa sådana problem som det är mycket bekvämt att använda integralkalkyl.

Definition.

Krökt trapets någon figur G kallas, begränsad av linjerna y = f(x), y = 0, x = a och x = b, och funktionen f(x) är kontinuerlig på segmentet [a; b] och ändrar inte sitt tecken på den (Figur 1). Arean av en kurvlinjär trapets kan betecknas med S(G).

Den bestämda integralen ʃ a b f(x)dx för funktionen f(x), som är kontinuerlig och icke-negativ på segmentet [a; b], och är arean för motsvarande krökta trapets.

Det vill säga, för att hitta arean av figuren G, avgränsad av linjerna y \u003d f (x), y \u003d 0, x \u003d a och x \u003d b, är det nödvändigt att beräkna bestämd integral ʃ a b f (x) dx.

På det här sättet, S(G) = ʃ a b f(x)dx.

Om funktionen y = f(x) inte är positiv på [a; b], då kan området för den krökta trapetsen hittas med formeln S(G) = -ʃ a b f(x)dx.

Exempel 1

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna y \u003d x 3; y = 1; x = 2.

Lösning.

De givna linjerna bildar figuren ABC, som visas med en streckning ris. 2.

Den önskade arean är lika med skillnaden mellan areorna för den kurvlinjära trapetsformen DACE och kvadraten DABE.

Med formeln S = ʃ a b f(x)dx = S(b) – S(a) hittar vi gränserna för integration. För att göra detta löser vi ett system med två ekvationer:

(y \u003d x 3,
(y = 1.

Således har vi x 1 \u003d 1 - den nedre gränsen och x \u003d 2 - den övre gränsen.

Så, S = S DACE - S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx - 1 = x 4 /4| 1 2 - 1 \u003d (16 - 1) / 4 - 1 \u003d 11/4 (kvadratenheter).

Svar: 11/4 kvm. enheter

Exempel 2

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjer y \u003d √x; y = 2; x = 9.

Lösning.

De givna linjerna bildar figuren ABC, som avgränsas uppifrån av funktionens graf

y \u003d √x, och underifrån grafen för funktionen y \u003d 2. Den resulterande siffran visas genom att streckas på ris. 3.

Det önskade området är lika med S = ʃ a b (√x - 2). Låt oss hitta gränserna för integration: b = 9, för att hitta a löser vi systemet med två ekvationer:

(y = √x,
(y = 2.

Således har vi att x = 4 = a är den nedre gränsen.

Så, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√x| 4 9 - 2x| 4 9 \u003d (18 - 16/3) - (18 - 8) \u003d 2 2/3 (kvadratenheter).

Svar: S = 2 2/3 kvm. enheter

Exempel 3

Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna y \u003d x 3 - 4x; y = 0; x ≥ 0.

Lösning.

Låt oss plotta funktionen y \u003d x 3 - 4x för x ≥ 0. För att göra detta hittar vi derivatan y ':

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 vid х = ±2/√3 ≈ 1,1 är kritiska punkter.

Om vi ​​ritar de kritiska punkterna på den reella axeln och placerar derivatans tecken, får vi att funktionen minskar från noll till 2/√3 och ökar från 2/√3 till plus oändlighet. Då är x = 2/√3 minimipunkten, minimivärdet för funktionen y är min = -16/(3√3) ≈ -3.

Låt oss bestämma skärningspunkterna för grafen med koordinataxlarna:

om x \u003d 0, då y \u003d 0, vilket betyder att A (0; 0) är skärningspunkten med Oy-axeln;

om y \u003d 0, då x 3 - 4x \u003d 0 eller x (x 2 - 4) \u003d 0, eller x (x - 2) (x + 2) \u003d 0, varifrån x 1 \u003d 0, x 2 \u003d 2, x 3 \u003d -2 (ej lämplig, eftersom x ≥ 0).

Punkterna A(0; 0) och B(2; 0) är skärningspunkterna för grafen med Ox-axeln.

De givna linjerna bildar OAB-figuren, som visas med en streckning ris. fyra.

Eftersom funktionen y \u003d x 3 - 4x antar (0; 2) ett negativt värde, då

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Vi har: ʃ 0 2 (x 3 - 4x)dx = (x 4 /4 - 4x 2 /2)| 0 2 \u003d -4, varifrån S \u003d 4 kvadratmeter. enheter

Svar: S = 4 kvm. enheter

Exempel 4

Hitta området för figuren som begränsas av parabeln y \u003d 2x 2 - 2x + 1, de räta linjerna x \u003d 0, y \u003d 0 och tangenten till denna parabel i punkten med abskissan x 0 \u003d 2.

Lösning.

Först sammanställer vi ekvationen för tangenten till parabeln y \u003d 2x 2 - 2x + 1 vid punkten med abskissan x₀ \u003d 2.

Eftersom derivatan y' = 4x - 2, får vi för x 0 = 2 k = y'(2) = 6.

Hitta ordinatan för beröringspunkten: y 0 = 2 2 2 – 2 2 + 1 = 5.

Därför har tangentekvationen formen: y - 5 \u003d 6 (x - 2) eller y \u003d 6x - 7.

Låt oss bygga en figur avgränsad av linjer:

y \u003d 2x 2 - 2x + 1, y \u003d 0, x \u003d 0, y \u003d 6x - 7.

Г y \u003d 2x 2 - 2x + 1 - parabel. Skärningspunkter med koordinataxlarna: A(0; 1) - med Oy-axeln; med Ox-axeln - det finns inga skärningspunkter, eftersom ekvationen 2x 2 - 2x + 1 = 0 har inga lösningar (D< 0). Найдем вершину параболы:

x b \u003d 2/4 \u003d 1/2;

y b \u003d 1/2, det vill säga spetsen för parabelpunkten B har koordinater B (1/2; 1/2).

Så figuren vars area ska bestämmas visas genom att kläckas på ris. 5.

Vi har: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC.

Hitta koordinaterna för punkt D från villkoret:

6x - 7 = 0, dvs. x \u003d 7/6, sedan DC \u003d 2 - 7/6 \u003d 5/6.

Vi hittar arean av triangeln DBC med formeln S ADBC ​​= 1/2 · DC · BC. På det här sättet,

S ADBC ​​= 1/2 5/6 5 = 25/12 kvm. enheter

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 - 2x + 1)dx = (2x 3 /3 - 2x 2 /2 + x)| 0 2 \u003d 10/3 (kvadratenheter).

Slutligen får vi: S O A B D \u003d S OABC - S ADBC ​​​​\u003d 10/3 - 25/12 \u003d 5/4 \u003d 1 1/4 (kvadratenheter).

Svar: S = 1 1/4 kvm. enheter

Vi har gått igenom exempel hitta arean av figurer avgränsade av givna linjer. För att framgångsrikt lösa sådana problem måste du kunna bygga linjer och grafer för funktioner på ett plan, hitta linjers skärningspunkter, tillämpa en formel för att hitta området, vilket innebär förmågan och färdigheterna att beräkna vissa integraler.

webbplats, med hel eller delvis kopiering av materialet, krävs en länk till källan.

a)

Lösning.

Det första och viktigaste ögonblicket i beslutet är konstruktionen av en ritning.

Låt oss göra en ritning:

Ekvationen y=0 ställer in x-axeln;

- x=-2 och x=1 - rakt, parallellt med axeln OU;

- y \u003d x 2 +2 - en parabel vars grenar är riktade uppåt, med en vertex i punkten (0;2).

Kommentar. För att konstruera en parabel räcker det att hitta punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna, d.v.s. sätta x=0 hitta skärningspunkten med axeln OU och bestämma lämpligt andragradsekvation, hitta skärningspunkten med axeln Åh .

Spetsen på en parabel kan hittas med formlerna:

Du kan rita linjer och punkt för punkt.

På intervallet [-2;1] grafen för funktionen y=x2+2 belägen över axeln Oxe , det är därför:

Svar: S \u003d 9 kvadratenheter

När uppgiften är klar är det alltid bra att titta på ritningen och ta reda på om svaret är sant. I det här fallet, "med ögat" räknar vi antalet celler i ritningen - ja, cirka 9 kommer att skrivas, det verkar vara sant. Det är helt klart att om vi hade, säg, svaret: 20 kvadratiska enheter, då gjordes uppenbarligen ett misstag någonstans - 20 celler passar uppenbarligen inte in i figuren i fråga, högst ett dussin. Om svaret visade sig vara negativt löstes också uppgiften felaktigt.

Vad ska man göra om den kurvlinjära trapetsen är lokaliserad under axeln Åh?

b) Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer y=-e x , x=1 och koordinataxlar.

Lösning.

Låt oss göra en ritning.

Om en kurvlinjär trapets helt under axeln Åh , då kan dess area hittas med formeln:

Svar: S=(e-1) kvm enhet" 1,72 kvm enhet

Uppmärksamhet! Blanda inte ihop de två typerna av uppgifter:

1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.

2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minuset visas i den just betraktade formeln.

I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet.

Med) Hitta arean av en plan figur avgränsad av linjer y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.

Lösning.

Först måste du göra en ritning. Generellt sett är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter när vi konstruerar en ritning i områdesproblem. Låt oss hitta skärningspunkterna för parabeln och linjen. Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt.

Vi löser ekvationen:

Så den nedre gränsen för integration a=0 , den övre gränsen för integration b=3 .

Vi bygger de givna linjerna: 1. Parabel - vertex vid punkten (1;1); axelskärning Åh - poäng (0;0) och (0;2). 2. Rak linje - bisektrisen för 2:a och 4:e koordinatvinklarna. Och nu OBS! Om på intervallet [ a;b] någon kontinuerlig funktion f(x) större än eller lika med någon kontinuerlig funktion g(x), då kan området för motsvarande figur hittas med formeln: . Och det spelar ingen roll var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, utan det är viktigt vilket diagram som är HÖGRE (i förhållande till ett annat diagram), och vilket som är UNDER. I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från

Det är möjligt att konstruera linjer punkt för punkt, medan integrationens gränser upptäcks som "av sig själva". Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränserna ibland användas om till exempel grafen är tillräckligt stor, eller om den gängade konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella).

Den önskade figuren begränsas av en parabel ovanifrån och en rak linje underifrån.

På segmentet enligt motsvarande formel:

Svar: S \u003d 4,5 kvm enheter

Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer.

Lösning.

Vi hittar skärningspunkterna för de givna linjerna. För att göra detta löser vi ekvationssystemet:

För att hitta abskissorna för skärningspunkterna för de givna linjerna löser vi ekvationen:

Vi hittar: x 1 = -2, x 2 = 4.

Så dessa linjer, som är en parabel och en rät linje, skär varandra i punkter A(-2; 0), B(4; 6).

Dessa linjer bildar en stängd figur, vars yta beräknas med hjälp av formeln ovan:

Enligt Newton-Leibniz formel finner vi:

Hitta arean för ett område avgränsat av en ellips.

Lösning.

Från ellipsekvationen för I-kvadranten har vi . Härifrån får vi enligt formeln

Låt oss tillämpa ersättningen x = a synd t, dx = a cos t dt. Nya gränser för integration t = α och t = β bestäms från ekvationerna 0 = a synd t, a = a synd t. Kan sättas α = 0 och β = π /2.

Vi hittar en fjärdedel av den areal som krävs

Härifrån S = pab.

Hitta arean av en figur som avgränsas av linjery = - x 2 + x + 4 ochy = - x + 1.

Lösning.

Hitta skärningspunkterna för linjerna y = -x 2 + x + 4, y = -x+ 1, likställer linjernas ordinata: - x 2 + x + 4 = -x+ 1 eller x 2 - 2x- 3 = 0. Hitta rötterna x 1 = -1, x 2 = 3 och deras motsvarande ordinater y 1 = 2, y 2 = -2.

Med hjälp av formeln för figurarea får vi

Hitta området som omges av parabelny = x 2 + 1 och direktx + y = 3.

Lösning.

Lösning av ekvationssystemet

hitta abskissorna för skärningspunkterna x 1 = -2 och x 2 = 1.

Förutsatt y 2 = 3 - x och y 1 = x 2 + 1, baserat på formeln vi får

Beräkna området som finns inom Bernoulli-lemniscatenr 2 = a 2 cos 2 φ .

Lösning.

I det polära koordinatsystemet, området för figuren som begränsas av kurvans båge r = f(φ ) och två polära radier φ 1 = ʅ och φ 2 = ʆ , uttrycks av integralen

På grund av kurvans symmetri bestämmer vi först en fjärdedel av det önskade området

Därför är den totala ytan S = a 2 .

Beräkna båglängden för en astroidx 2/3 + y 2/3 = a 2/3 .

Lösning.

Vi skriver astroidens ekvation i formen

(x 1/3) 2 + (y 1/3) 2 = (a 1/3) 2 .

Låt oss sätta x 1/3 = a 1/3 cos t, y 1/3 = a 1/3 synd t.

Härifrån får vi de parametriska ekvationerna för astroiden

x = a för 3 t, y = a synd 3 t, (*)

där 0 ≤ t ≤ 2π .

Med tanke på kurvans symmetri (*) räcker det att hitta en fjärdedel av båglängden L motsvarande parameterändringen t från 0 till π /2.

Vi får

dx = -3a cos 2 t synd t dt, dy = 3a synd 2 t cos t dt.

Härifrån finner vi

Integrera det resulterande uttrycket i intervallet från 0 till π /2, får vi

Härifrån L = 6a.

Hitta det område som avgränsas av Arkimedes spiralr = aφ och två radievektorer som motsvarar polära vinklarφ 1 ochφ 2 (φ 1 < φ 2 ).

Lösning.

Område som begränsas av en kurva r = f(φ ) beräknas med formeln , där α och β - gränser för förändring av den polära vinkeln.

Således får vi

(*)

Av (*) följer att området som begränsas av polaraxeln och Arkimedes-spiralens första sväng ( φ 1 = 0; φ 2 = 2π ):

På liknande sätt hittar vi området som begränsas av polaxeln och Arkimedes-spiralens andra varv ( φ 1 = 2π ; φ 2 = 4π ):

Den erforderliga arean är lika med skillnaden mellan dessa områden

Beräkna volymen av en kropp som erhålls genom att rotera runt en axelOxe figur avgränsad av parabolery = x 2 ochx = y 2 .

Lösning.

Låt oss lösa ekvationssystemet

och få x 1 = 0, x 2 = 1, y 1 = 0, y 2 = 1, varifrån skärningspunkterna för kurvorna O(0; 0), B(elva). Som kan ses i figuren är den önskade volymen av rotationskroppen lika med skillnaden mellan de två volymerna som bildas genom rotation runt axeln Oxe kurvlinjära trapetser OCBA och ODBA:

Beräkna arean som begränsas av axelnOxe och sinusformy = syndx på segment: a); b) .

Lösning.

a) På segmentet, funktionen sin x bevarar tecknet, och därför med formeln , förutsatt y= synd x, vi hittar

b) På segmentet , funktion sin x byter tecken. För den korrekta lösningen av problemet är det nödvändigt att dela upp segmentet i två och [ π , 2π ], i vilka funktionen behåller sitt tecken.

Enligt teckenregeln, på segmentet [ π , 2π ] området tas med ett minustecken.

Som ett resultat är det önskade området lika med

Bestäm volymen av kroppen som begränsas av ytan som erhålls från ellipsens rotationrunt huvudaxelna .

Lösning.

Med tanke på att ellipsen är symmetrisk kring koordinataxlarna räcker det att hitta volymen som bildas av rotation runt axeln Oxe område OAB, lika med en fjärdedel av ellipsens yta, och dubbla resultatet.

Låt oss beteckna volymen av revolutionskroppen genom V x; sedan, baserat på formeln, har vi , där 0 och a- Absciss av poäng B och A. Från ellipsens ekvation finner vi . Härifrån

Således är den erforderliga volymen lika med . (När ellipsen roterar runt den lilla axeln b, kroppens volym är )

Hitta det område som avgränsas av parabolery 2 = 2 px ochx 2 = 2 py .

Lösning.

Först hittar vi koordinaterna för parabolernas skärningspunkter för att bestämma integrationsintervallet. Genom att transformera de ursprungliga ekvationerna får vi och . Genom att likställa dessa värden får vi eller x 4 - 8sid 3 x = 0.

x 4 - 8sid 3 x = x(x 3 - 8sid 3) = x(x - 2sid)(x 2 + 2px + 4sid 2) = 0.

Vi hittar rötterna till ekvationerna:

Med tanke på det faktum att poängen A skärningspunkten av parabolerna är i det första kvartalet, sedan gränserna för integration x= 0 och x = 2sid.

Det önskade området hittas av formeln