Hur man löser naturliga logaritmekvationer. Logaritmisk ekvation: grundläggande formler och tekniker. Logaritm för båda sidor av ekvationen
Logaritmiska ekvationer och ojämlikheter i USE-varianter i matematik ägnas åt uppgift C3 . Varje elev bör lära sig hur man löser uppgifter C3 från Unified State Examination i matematik om han vill klara det kommande provet som "bra" eller "utmärkt". Den här artikeln ger en kort översikt över vanliga logaritmiska ekvationer och ojämlikheter, samt de viktigaste metoderna för att lösa dem.
Så låt oss ta en titt på några exempel idag. logaritmiska ekvationer och ojämlikheter, som erbjöds elever i de senaste årens USE-varianter i matematik. Men börja med sammanfattning de viktigaste teoretiska punkterna som vi behöver för att lösa dem.
logaritmisk funktion
Definition
Visa funktion
0,\, a\ne 1 \]" title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
kallad logaritmisk funktion.
Grundläggande egenskaper
Grundläggande egenskaper för den logaritmiska funktionen y= logg yxa:
Grafen för den logaritmiska funktionen är logaritmisk kurva:
Egenskaper för logaritmer
Logaritm för produkten två positiva tal är lika med summan av logaritmerna för dessa tal:
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
Logaritm av kvoten två positiva tal är lika med skillnaden mellan logaritmerna för dessa tal:
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
Om a Och b a≠ 1, sedan för valfritt tal r rättvis jämlikhet:
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
Jämlikhet logga a t= logg a s, var a > 0, a ≠ 1, t > 0, s> 0 är sant om och endast om t = s.
Om a, b, cär positiva siffror, och a Och c skiljer sig från enhet, då jämlikheten ( omvandlingsformel till den nya basen av logaritmen):
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
Sats 1. Om f(x) > 0 och g(x) > 0, sedan den logaritmiska ekvationsloggen a f(x) = log ett g(x) (var a > 0, a≠ 1) är ekvivalent med ekvationen f(x) = g(x).
Lösa logaritmiska ekvationer och ojämlikheter
Exempel 1 Lös ekvationen:
Lösning. Utbudet av acceptabla värden inkluderar endast de x, för vilket uttrycket under logaritmens tecken är större än noll. Dessa värden bestäms av följande system av ojämlikheter:
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
Med hänsyn till det faktum att
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
vi får ett intervall som bestämmer arean av tillåtna värden för denna logaritmiska ekvation:
Baserat på sats 1, vars alla villkor är uppfyllda här, går vi över till följande ekvivalenta andragradsekvation:
Endast den första roten ingår i intervallet av acceptabla värden.
Svar: x=7.
Exempel 2 Lös ekvationen:
Lösning. Intervallet av tillåtna värden för ekvationen bestäms av systemet med ojämlikheter:
ql-right-eqno">
Lösning. Intervallet av tillåtna värden för ekvationen är lätt att definiera här: x > 0.
Vi använder substitution:
Ekvationen tar formen:
Ryggbyte:
Både svar ange regionen med tillåtna värden i ekvationen, eftersom de är positiva tal.
Exempel 4 Lös ekvationen:
Lösning. Låt oss börja lösningen igen genom att bestämma intervallet av tillåtna värden för ekvationen. Det definieras av följande system av ojämlikheter:
ql-right-eqno">
Baserna för logaritmerna är desamma, så i intervallet av giltiga värden kan du gå till följande kvadratiska ekvation:
Den första roten ingår inte i ekvationens tillåtna värden, den andra ingår.
Svar: x = -1.
Exempel 5 Lös ekvationen:
Lösning. Vi kommer att leta efter lösningar i intervallet x > 0, x≠1. Låt oss omvandla ekvationen till en ekvivalent:
Både svar ligger inom ekvationens tillåtna värden.
Exempel 6 Lös ekvationen:
Lösning. Systemet av ojämlikheter som definierar ekvationens tillåtna värden, har denna gång formen:
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
Med hjälp av logaritmens egenskaper transformerar vi ekvationen till en ekvivalent ekvation inom intervallet av tillåtna värden:
Med hjälp av formeln för övergången till en ny bas av logaritmen får vi:
Endast en är inom det tillåtna intervallet. svar: x = 4.
Låt oss gå vidare till logaritmiska ojämlikheter . Det är precis vad du kommer att behöva ta itu med på provet i matematik. För att lösa ytterligare exempel behöver vi följande teorem:
Sats 2. Om f(x) > 0 och g(x) > 0, sedan:
på a> 1 logaritmisk olikhet log a f(x) > logga a g(x) är ekvivalent med en olikhet av samma betydelse: f(x) > g(x);
vid 0< a < 1 логарифмическое неравенство log a f(x) > logga a g(x) motsvarar en olikhet av motsatt betydelse: f(x) < g(x).
Exempel 7 Lös ojämlikheten:
Lösning. Låt oss börja med att definiera omfånget av acceptabla värden för ojämlikhet. Uttrycket under logaritmfunktionens tecken måste endast ha positiva värden. Detta innebär att det önskade intervallet av acceptabla värden bestäms av följande system av ojämlikheter:
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
Eftersom basen för logaritmen är ett tal mindre än ett, kommer motsvarande logaritmiska funktion att minska, och därför, enligt sats 2, kommer övergången till följande kvadratiska olikhet att vara ekvivalent:
Slutligen, med hänsyn till intervallet av tillåtna värden, får vi svar:
Exempel 8 Lös ojämlikheten:
Lösning. Låt oss börja igen med att definiera intervallet för acceptabla värden:
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
På uppsättningen av tillåtna värden för ojämlikheten utför vi likvärdiga transformationer:
Efter reduktion och övergång till en ojämlikhetsekvivalent med sats 2 får vi:
Med hänsyn till intervallet för tillåtna värden får vi slutresultatet svar:
Exempel 9 Lös den logaritmiska olikheten:
Lösning. Omfånget av acceptabla värden för ojämlikhet bestäms av följande system:
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
Det kan ses att inom intervallet av tillåtna värden är uttrycket vid basen av logaritmen alltid större än ett, och därför, enligt sats 2, kommer övergången till följande olikhet att vara ekvivalent:
Med hänsyn till intervallet av acceptabla värden får vi det slutliga svaret:
Exempel 10 Lös ojämlikheten:
Lösning.
Området för acceptabla värden av ojämlikhet bestäms av systemet med ojämlikheter:
Title="(!LANG:Renderd av QuickLaTeX.com">!}
Jag sätt. Låt oss använda formeln för övergången till en ny bas av logaritmen och gå vidare till en olikhet som är ekvivalent i området för tillåtna värden.
Med den här videon börjar jag en lång serie lektioner om logaritmiska ekvationer. Nu har du tre exempel på en gång, på grundval av vilka vi kommer att lära oss att lösa de enklaste uppgifterna, som kallas så - protozoer.
log 0,5 (3x - 1) = -3
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Låt mig påminna dig om att den enklaste logaritmiska ekvationen är följande:
log a f(x) = b
Det är viktigt att variabeln x endast finns i argumentet, dvs endast i funktionen f(x). Och talen a och b är bara siffror, och i inget fall är funktioner som innehåller variabeln x.
Grundläggande lösningsmetoder
Det finns många sätt att lösa sådana strukturer. De flesta lärare i skolan föreslår till exempel så här: Uttryck omedelbart funktionen f ( x ) med formeln f( x ) = a b. Det vill säga när du möter den enklaste konstruktionen kan du omedelbart gå vidare till lösningen utan ytterligare åtgärder och konstruktioner.
Ja, självklart kommer beslutet att visa sig vara korrekt. Men problemet med denna formel är att de flesta studenter förstår inte, var kommer det ifrån och varför just vi höjer bokstaven a till bokstaven b.
Som ett resultat av detta observerar jag ofta mycket stötande fel, när till exempel dessa bokstäver byts ut. Denna formel måste antingen förstås eller memoreras, och den andra metoden leder till fel vid de mest olämpliga och mest avgörande ögonblicken: i tentor, tester etc.
Det är därför jag föreslår alla mina elever att överge standardskolans formel och använda den andra metoden för att lösa logaritmiska ekvationer, som, som du förmodligen gissat från namnet, kallas kanonisk form.
Idén med den kanoniska formen är enkel. Låt oss titta på vår uppgift igen: till vänster har vi log a , medan bokstaven a betyder exakt siffran, och i inget fall funktionen som innehåller variabeln x. Därför är denna bokstav föremål för alla restriktioner som läggs på basen av logaritmen. nämligen:
1 ≠ a > 0
Å andra sidan, från samma ekvation, ser vi att logaritmen måste vara lika med talet b, och inga begränsningar läggs på denna bokstav, eftersom den kan ta vilket värde som helst - både positivt och negativt. Allt beror på vilka värden funktionen f(x) tar.
Och här kommer vi ihåg vår underbara regel att vilket tal b som helst kan representeras som en logaritm i basen a från a till b potens:
b = log a a b
Hur kommer man ihåg denna formel? Ja, väldigt enkelt. Låt oss skriva följande konstruktion:
b = b 1 = b log a a
Naturligtvis, i det här fallet, uppstår alla restriktioner som vi skrev ner i början. Och låt oss nu använda den grundläggande egenskapen för logaritmen och ange faktorn b som potensen av a. Vi får:
b = b 1 = b log a a = log a a b
Som ett resultat kommer den ursprungliga ekvationen att skrivas om i följande form:
log a f (x) = log a a b → f (x) = a b
Det är allt. Den nya funktionen innehåller inte längre en logaritm och löses med vanliga algebraiska tekniker.
Naturligtvis kommer någon nu att invända: varför var det nödvändigt att komma på någon form av kanonisk formel överhuvudtaget, varför utföra ytterligare två onödiga steg, om det var möjligt att omedelbart gå från den ursprungliga konstruktionen till den slutliga formeln? Ja, om så bara för att de flesta elever inte förstår var denna formel kommer ifrån och som ett resultat regelbundet gör misstag när de tillämpar den.
Men en sådan sekvens av åtgärder, som består av tre steg, låter dig lösa den ursprungliga logaritmiska ekvationen, även om du inte förstår var den slutliga formeln kommer ifrån. Förresten, denna post kallas den kanoniska formeln:
log a f(x) = log a a b
Bekvämligheten med den kanoniska formen ligger också i det faktum att den kan användas för att lösa en mycket bred klass av logaritmiska ekvationer, och inte bara de enklaste som vi överväger idag.
Lösningsexempel
Låt oss nu titta på verkliga exempel. Så låt oss bestämma:
log 0,5 (3x - 1) = -3
Låt oss skriva om det så här:
log 0,5 (3x − 1) = log 0,5 0,5 −3
Många elever har bråttom och försöker omedelbart höja siffran 0,5 till den makt som kom till oss från det ursprungliga problemet. Och faktiskt, när du redan är väl utbildad i att lösa sådana problem, kan du omedelbart utföra detta steg.
Men om du nu bara börjar studera detta ämne, är det bättre att inte rusa någonstans för att inte göra stötande misstag. Så vi har den kanoniska formen. Vi har:
3x - 1 = 0,5 -3
Detta är inte längre en logaritmisk ekvation, utan en linjär med avseende på variabeln x. För att lösa det, låt oss först ta itu med talet 0,5 i potensen −3. Observera att 0,5 är 1/2.
(1/2) −3 = (2/1) 3 = 8
Konvertera alla decimaler till bråktal när du löser en logaritmisk ekvation.
Vi skriver om och får:
3x − 1 = 8
3x=9
x=3
Allt vi fick svaret. Den första uppgiften är löst.
Andra uppgiften
Låt oss gå vidare till den andra uppgiften:
Som du kan se är denna ekvation inte längre den enklaste. Om så bara för att skillnaden är till vänster, och inte en enda logaritm i en bas.
Därför måste du på något sätt bli av med denna skillnad. I det här fallet är allt väldigt enkelt. Låt oss ta en närmare titt på baserna: till vänster är numret under roten:
Allmän rekommendation: i alla logaritmiska ekvationer, försök att bli av med radikaler, dvs från poster med rötter och gå vidare till potensfunktioner, helt enkelt för att exponenterna för dessa potenser lätt tas ut ur logaritmens tecken och, i slutändan, sådana en notation förenklar och påskyndar beräkningar avsevärt. Låt oss skriva det så här:
Nu minns vi den anmärkningsvärda egenskapen hos logaritmen: från argumentet, såväl som från basen, kan du ta ut grader. När det gäller baser händer följande:
log a k b = 1/k loga b
Med andra ord flyttas talet som stod i basens grad fram och vänds samtidigt upp, det vill säga det blir numrets reciproka. I vårt fall fanns det en grad av bas med en indikator på 1/2. Därför kan vi ta ut det som 2/1. Vi får:
5 2 log 5 x − log 5 x = 18
10 log 5 x − log 5 x = 18
Observera: i inget fall bör du bli av med logaritmer i detta steg. Tänk tillbaka på matematik i årskurs 4-5 och operationsordningen: multiplikation utförs först, och först därefter utförs addition och subtraktion. I det här fallet subtraherar vi ett av samma element från 10 element:
9 log 5 x = 18
log 5 x = 2
Nu ser vår ekvation ut som den borde. Detta är den enklaste konstruktionen, och vi löser den med den kanoniska formen:
log 5 x = log 5 5 2
x = 5 2
x=25
Det är allt. Det andra problemet är löst.
Tredje exemplet
Låt oss gå vidare till den tredje uppgiften:
lg (x + 3) = 3 + 2 lg 5
Kom ihåg följande formel:
log b = log 10 b
Om du av någon anledning blir förvirrad av att skriva lg b , när du gör alla beräkningar kan du helt enkelt skriva log 10 b . Du kan arbeta med decimallogaritmer på samma sätt som med andra: ta ut potenser, addera och representera valfritt tal som lg 10.
Det är just dessa egenskaper som vi nu kommer att använda för att lösa problemet, eftersom det inte är den enklaste som vi skrev ner i början av vår lektion.
Notera till att börja med att faktorn 2 före lg 5 kan infogas och blir en potens av bas 5. Dessutom kan den fria termen 3 också representeras som en logaritm - detta är mycket lätt att observera från vår notation.
Bedöm själv: vilket tal som helst kan representeras som log till bas 10:
3 = log 10 10 3 = log 10 3
Låt oss skriva om det ursprungliga problemet med hänsyn till de mottagna ändringarna:
lg (x − 3) = lg 1000 + lg 25
lg (x − 3) = lg 1000 25
lg (x - 3) = lg 25 000
Framför oss är återigen den kanoniska formen, och vi fick den förbi transformationsstadiet, d.v.s. den enklaste logaritmiska ekvationen kom inte upp någonstans hos oss.
Det var det jag pratade om i början av lektionen. Den kanoniska formen tillåter att lösa en bredare klass av problem än den vanliga skolformeln, som ges av de flesta skollärare.
Det är allt, vi blir av med tecknet för decimallogaritmen, och vi får en enkel linjär konstruktion:
x + 3 = 25 000
x = 24997
Allt! Problemet löst.
En notering om omfattning
Här skulle jag vilja göra en viktig anmärkning om definitionsdomänen. Nu finns det säkert elever och lärare som kommer att säga: "När vi löser uttryck med logaritmer är det absolut nödvändigt att komma ihåg att argumentet f (x) måste vara större än noll!" I detta avseende uppstår en logisk fråga: varför i inget av de övervägda problemen krävde vi att denna ojämlikhet skulle tillgodoses?
Oroa dig inte. Inga extra rötter kommer att dyka upp i dessa fall. Och det här är ett annat bra trick som låter dig snabba på lösningen. Vet bara att om variabeln x bara förekommer i problemet på ett ställe (eller snarare, i det enda argumentet för den enda logaritmen), och ingen annanstans i vårt fall förekommer variabeln x, skriv då domänen behövs inte eftersom det kommer att köras automatiskt.
Bedöm själv: i den första ekvationen fick vi att 3x - 1, d.v.s. argumentet ska vara lika med 8. Detta betyder automatiskt att 3x - 1 kommer att vara större än noll.
Med samma framgång kan vi skriva att i det andra fallet måste x vara lika med 5 2, dvs det är säkert större än noll. Och i det tredje fallet, där x + 3 = 25 000, d.v.s. återigen uppenbarligen större än noll. Omfattningen är med andra ord automatisk, men endast om x förekommer endast i argumentet för endast en logaritm.
Det är allt du behöver veta för att lösa enkla problem. Enbart denna regel, tillsammans med transformationsreglerna, gör att du kan lösa en mycket bred klass av problem.
Men låt oss vara ärliga: för att äntligen förstå denna teknik, för att lära sig hur man tillämpar den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, räcker det inte bara att titta på en videolektion. Så ladda ner alternativen just nu för oberoende lösning, som är bifogade till denna videohandledning och börjar lösa minst ett av dessa två oberoende verk.
Det tar bara några minuter. Men effekten av sådan träning kommer att vara mycket högre jämfört med om du bara tittade på den här videohandledningen.
Jag hoppas att den här lektionen hjälper dig att förstå logaritmiska ekvationer. Använd den kanoniska formen, förenkla uttryck med hjälp av reglerna för att arbeta med logaritmer - och du kommer inte att vara rädd för några uppgifter. Och det är allt jag har för idag.
Omfattningshänsyn
Låt oss nu prata om domänen för den logaritmiska funktionen, samt hur detta påverkar lösningen av logaritmiska ekvationer. Överväg en konstruktion av formen
log a f(x) = b
Ett sådant uttryck kallas det enklaste - det har bara en funktion, och talen a och b är bara siffror, och är i inget fall en funktion som beror på variabeln x. Det är löst väldigt enkelt. Du behöver bara använda formeln:
b = log a a b
Denna formel är en av logaritmens nyckelegenskaper, och när vi ersätter i vårt ursprungliga uttryck får vi följande:
log a f(x) = log a a b
f(x) = a b
Detta är redan en bekant formel från skolböckerna. Många elever kommer förmodligen att ha en fråga: eftersom funktionen f ( x ) i det ursprungliga uttrycket är under logtecknet, läggs följande begränsningar på den:
f(x) > 0
Denna begränsning är giltig eftersom logaritmen för negativa tal inte existerar. Så, kanske på grund av denna begränsning, bör du införa en kontroll för svar? Kanske måste de ersättas i källan?
Nej, i de enklaste logaritmiska ekvationerna är en extra kontroll onödig. Och det är varför. Ta en titt på vår slutliga formel:
f(x) = a b
Faktum är att talet a i alla fall är större än 0 - detta krav ställs också av logaritmen. Talet a är basen. I detta fall läggs inga begränsningar på numret b. Men detta spelar ingen roll, för oavsett i vilken grad vi höjer ett positivt tal, kommer vi fortfarande att få ett positivt tal vid utgången. Därmed uppfylls kravet f (x) > 0 automatiskt.
Det som verkligen är värt att kolla upp är omfattningen av funktionen under loggtecknet. Det kan vara ganska komplexa mönster, och i processen att lösa dem måste du definitivt följa dem. Låt oss se.
Första uppgiften:
Första steget: konvertera bråket till höger. Vi får:
Vi blir av med logaritmens tecken och får den vanliga irrationella ekvationen:
Av de erhållna rötterna är det bara den första som passar oss, eftersom den andra roten är mindre än noll. Det enda svaret kommer att vara siffran 9. Det är allt, problemet är löst. Inga ytterligare kontroller av att uttrycket under logaritmetecknet är större än 0 krävs, eftersom det inte bara är större än 0, utan enligt ekvationens villkor är det lika med 2. Därför blir kravet "större än noll" automatiskt uppfyllt.
Låt oss gå vidare till den andra uppgiften:
Allting är likadant här. Vi skriver om konstruktionen och ersätter trippeln:
Vi gör oss av med logaritmens tecken och får en irrationell ekvation:
Vi kvadrerar båda delarna, med hänsyn till begränsningarna, och vi får:
4 - 6x - x 2 = (x - 4) 2
4 - 6x - x 2 = x 2 + 8x + 16
x2 + 8x + 16 −4 + 6x + x2 = 0
2x2 + 14x + 12 = 0 |:2
x2 + 7x + 6 = 0
Vi löser den resulterande ekvationen genom diskriminanten:
D \u003d 49 - 24 \u003d 25
x 1 = -1
x 2 \u003d -6
Men x = −6 passar oss inte, för om vi ersätter detta tal i vår ojämlikhet får vi:
−6 + 4 = −2 < 0
I vårt fall krävs att den är större än 0 eller i extrema fall lika. Men x = −1 passar oss:
−1 + 4 = 3 > 0
Det enda svaret i vårt fall är x = −1. Det är hela lösningen. Låt oss gå tillbaka till början av våra beräkningar.
Huvudslutsatsen från denna lektion är att det inte är nödvändigt att kontrollera gränserna för en funktion i de enklaste logaritmiska ekvationerna. Eftersom i processen att lösa alla begränsningar exekveras automatiskt.
Detta betyder dock inte på något sätt att du kan glömma verifieringen helt och hållet. I processen att arbeta med en logaritmisk ekvation kan den mycket väl förvandlas till en irrationell, som kommer att ha sina egna begränsningar och krav på högersidan, vilket vi idag har sett i två olika exempel.
Lös gärna sådana problem och var extra försiktig om det finns en rot i argumentationen.
Logaritmiska ekvationer med olika baser
Vi fortsätter att studera logaritmiska ekvationer och analysera ytterligare två ganska intressanta knep med vilka det är på modet att lösa fler komplexa strukturer. Men först, låt oss komma ihåg hur de enklaste uppgifterna löses:
log a f(x) = b
I denna notation är a och b bara siffror, och i funktionen f (x) måste variabeln x finnas, och bara där, det vill säga x måste bara finnas i argumentet. Vi kommer att transformera sådana logaritmiska ekvationer med den kanoniska formen. För detta noterar vi det
b = log a a b
Och ett b är bara ett argument. Låt oss skriva om detta uttryck enligt följande:
log a f(x) = log a a b
Detta är precis vad vi försöker uppnå, så att både till vänster och höger finns en logaritm till basen a. I det här fallet kan vi bildligt talat stryka över tecknen på log, och ur matematikens synvinkel kan vi säga att vi helt enkelt likställer argumenten:
f(x) = a b
Som ett resultat får vi ett nytt uttryck som kommer att lösas mycket lättare. Låt oss tillämpa denna regel på våra uppgifter idag.
Så den första designen:
Först och främst noterar jag att det finns ett bråk till höger, vars nämnare är log. När du ser ett uttryck som detta är det värt att komma ihåg logaritmernas underbara egenskap:
Översatt till ryska betyder detta att vilken logaritm som helst kan representeras som en kvot av två logaritmer med valfri bas c. Naturligtvis 0< с ≠ 1.
Så: denna formel har ett underbart specialfall när variabeln c är lika med variabeln b. I det här fallet får vi en konstruktion av formen:
Det är denna konstruktion som vi observerar från tecknet till höger i vår ekvation. Låt oss ersätta denna konstruktion med log a b , vi får:
Med andra ord, i jämförelse med den ursprungliga uppgiften, har vi bytt ut argumentet och basen för logaritmen. Istället fick vi vända bråkdelen.
Vi minns att vilken grad som helst kan tas ur basen enligt följande regel:
Med andra ord tas koefficienten k, som är graden av basen, ut som en inverterad bråkdel. Låt oss ta ut det som en inverterad bråkdel:
Bråkfaktorn kan inte lämnas framför, eftersom vi i det här fallet inte kommer att kunna representera denna post som en kanonisk form (i den kanoniska formen finns det trots allt ingen ytterligare faktor framför den andra logaritmen). Låt oss därför sätta bråkdelen 1/4 i argumentet som en potens:
Nu likställer vi argumenten vars baser är desamma (och vi har verkligen samma baser), och skriver:
x + 5 = 1
x = −4
Det är allt. Vi fick svaret på den första logaritmiska ekvationen. Var uppmärksam: i det ursprungliga problemet förekommer variabeln x endast i en logg, och den finns i dess argument. Därför finns det inget behov av att kontrollera domänen, och vårt nummer x = −4 är verkligen svaret.
Låt oss nu gå vidare till det andra uttrycket:
log 56 = log 2 log 2 7 − 3 log (x + 4)
Här kommer vi, förutom de vanliga logaritmerna, att behöva arbeta med lg f (x). Hur löser man en sådan ekvation? Det kan tyckas för en oförberedd elev att detta är någon form av plåt, men i själva verket löses allt elementärt.
Titta noga på begreppet lg 2 log 2 7. Vad kan vi säga om det? Baserna och argumenten för log och lg är desamma, och detta borde ge några ledtrådar. Låt oss återigen komma ihåg hur graderna tas ut under logaritmens tecken:
log a b n = nlog a b
Med andra ord, vad som var styrkan av talet b i argumentet blir en faktor framför själva loggen. Låt oss tillämpa den här formeln på uttrycket lg 2 log 2 7. Var inte rädd för lg 2 - det här är det vanligaste uttrycket. Du kan skriva om det så här:
För honom är alla regler som gäller för någon annan logaritm giltiga. I synnerhet kan faktorn framför införas i argumentets makt. Låt oss skriva:
Mycket ofta ser eleverna inte den här åtgärden, eftersom det inte är bra att skriva in en logg under tecknet för en annan. Det är faktiskt inget brottsligt i detta. Dessutom får vi en formel som är lätt att beräkna om du kommer ihåg en viktig regel:
Denna formel kan betraktas både som en definition och som en av dess egenskaper. I vilket fall som helst, om du konverterar en logaritmisk ekvation, bör du känna till denna formel på samma sätt som representationen av valfritt tal i form av log.
Vi återgår till vår uppgift. Vi skriver om det med hänsyn till det faktum att den första termen till höger om likhetstecknet helt enkelt kommer att vara lika med lg 7. Vi har:
lg 56 = lg 7 − 3 lg (x + 4)
Låt oss flytta lg 7 till vänster, vi får:
lg 56 - lg 7 = -3 lg (x + 4)
Vi subtraherar uttrycken till vänster eftersom de har samma bas:
lg (56/7) = -3 lg (x + 4)
Låt oss nu titta närmare på ekvationen vi har. Det är praktiskt taget den kanoniska formen, men det finns en faktor −3 till höger. Låt oss lägga det i rätt lg-argument:
lg 8 = lg (x + 4) −3
Före oss är den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, så vi stryker över tecknen på lg och likställer argumenten:
(x + 4) -3 = 8
x + 4 = 0,5
Det är allt! Vi har löst den andra logaritmiska ekvationen. I det här fallet krävs inga ytterligare kontroller, eftersom i det ursprungliga problemet fanns x endast i ett argument.
Låt mig sammanfatta nyckelpunkterna i denna lektion.
Huvudformeln som studeras i alla lektioner på denna sida ägnas åt att lösa logaritmiska ekvationer är den kanoniska formen. Och låt dig inte avskräckas av det faktum att de flesta skolböcker lär dig hur du löser den här typen av problem på olika sätt. Detta verktyg fungerar mycket effektivt och låter dig lösa en mycket bredare klass av problem än de enklaste som vi studerade i början av vår lektion.
Dessutom, för att lösa logaritmiska ekvationer, kommer det att vara användbart att känna till de grundläggande egenskaperna. Nämligen:
- Formeln för att flytta till en bas och ett specialfall när vi vänder loggen (detta var mycket användbart för oss i den första uppgiften);
- Formeln för att ta in och ta ut potenser under logaritmens tecken. Här fastnar många elever och ser inte direkt att strömmen som tas ut och tas in i sig kan innehålla log f (x). Inget fel med det. Vi kan införa en logg enligt en annans tecken och samtidigt avsevärt förenkla lösningen av problemet, vilket är vad vi observerar i det andra fallet.
Avslutningsvis skulle jag vilja tillägga att det inte är nödvändigt att kontrollera omfattningen i vart och ett av dessa fall, eftersom variabeln x överallt finns i endast ett tecken på log, och samtidigt finns i dess argument. Som en konsekvens uppfylls alla domänkrav automatiskt.
Problem med variabel bas
Idag kommer vi att överväga logaritmiska ekvationer, som för många elever verkar icke-standardiserade, om inte helt olösliga. Vi talar om uttryck som inte är baserade på tal, utan på variabler och jämna funktioner. Vi kommer att lösa sådana konstruktioner med vår standardteknik, nämligen genom den kanoniska formen.
Till att börja med, låt oss komma ihåg hur de enklaste problemen löses, som är baserade på vanliga siffror. Så den enklaste konstruktionen kallas
log a f(x) = b
För att lösa sådana problem kan vi använda följande formel:
b = log a a b
Vi skriver om vårt ursprungliga uttryck och får:
log a f(x) = log a a b
Sedan sätter vi likhetstecken mellan argumenten, dvs vi skriver:
f(x) = a b
Därmed blir vi av med loggskylten och löser det vanliga problemet. I detta fall kommer rötterna som erhålls i lösningen att vara rötterna till den ursprungliga logaritmiska ekvationen. Dessutom kallas posten, när både vänster och höger är på samma logaritm med samma bas, den kanoniska formen. Det är till detta rekord som vi ska försöka minska dagens konstruktioner. Låt oss gå.
Första uppgiften:
log x − 2 (2x 2 − 13x + 18) = 1
Ersätt 1 med stock x − 2 (x − 2) 1 . Graden som vi observerar i argumentet är i själva verket talet b , som var till höger om likhetstecknet. Så låt oss skriva om vårt uttryck. Vi får:
log x - 2 (2x 2 - 13x + 18) = log x - 2 (x - 2)
Vad ser vi? Före oss är den kanoniska formen av den logaritmiska ekvationen, så vi kan säkert likställa argumenten. Vi får:
2x2 - 13x + 18 = x - 2
Men lösningen slutar inte där, eftersom denna ekvation inte är likvärdig med den ursprungliga. När allt kommer omkring består den resulterande konstruktionen av funktioner som är definierade på hela tallinjen, och våra ursprungliga logaritmer är inte definierade överallt och inte alltid.
Därför måste vi skriva ner definitionsdomänen separat. Låt oss inte bli klokare och först skriva ner alla krav:
Först måste argumentet för var och en av logaritmerna vara större än 0:
2x 2 − 13x + 18 > 0
x − 2 > 0
För det andra måste basen inte bara vara större än 0, utan också skilja sig från 1:
x − 2 ≠ 1
Som ett resultat får vi systemet:
Men var inte orolig: vid bearbetning av logaritmiska ekvationer kan ett sådant system förenklas avsevärt.
Bedöm själv: dels krävs att den andragradsfunktionen är större än noll, dels är denna andragradsfunktion likställd med ett visst linjärt uttryck, som också krävs att den är större än noll.
I det här fallet, om vi kräver att x − 2 > 0, så uppfylls automatiskt kravet 2x 2 − 13x + 18 > 0. Därför kan vi säkert stryka ut olikheten som innehåller en kvadratisk funktion. Således kommer antalet uttryck som finns i vårt system att reduceras till tre.
Naturligtvis skulle vi lika gärna kunna stryka ut den linjära olikheten, det vill säga stryka ut x - 2 > 0 och kräva att 2x 2 - 13x + 18 > 0. Men du måste erkänna att det går mycket snabbare och lättare att lösa den enklaste linjära olikheten, än kvadratisk, även om vi som ett resultat av att lösa hela detta system får samma rötter.
Försök i allmänhet att optimera beräkningar när det är möjligt. Och i fallet med logaritmiska ekvationer, stryk över de svåraste ojämlikheterna.
Låt oss skriva om vårt system:
Här finns ett sådant system med tre uttryck, varav två vi faktiskt redan har listat ut. Låt oss skriva ut andragradsekvationen separat och lösa den:
2x2 - 14x + 20 = 0
x2 − 7x + 10 = 0
Före oss finns ett reducerat kvadrattrinomium och därför kan vi använda Vieta-formlerna. Vi får:
(x − 5)(x − 2) = 0
x 1 = 5
x2 = 2
Nu, tillbaka till vårt system, finner vi att x = 2 inte passar oss, eftersom vi måste ha x strikt större än 2.
Men x \u003d 5 passar oss ganska bra: talet 5 är större än 2, och samtidigt är 5 inte lika med 3. Därför kommer den enda lösningen på detta system att vara x \u003d 5.
Allt, uppgiften är löst, inklusive att ta hänsyn till ODZ. Låt oss gå vidare till den andra ekvationen. Här väntar vi på mer intressanta och meningsfulla beräkningar:
Det första steget: såväl som förra gången tar vi all denna verksamhet till en kanonisk form. För att göra detta kan vi skriva siffran 9 enligt följande:
Basen med roten kan inte röras, men det är bättre att omvandla argumentet. Låt oss gå från roten till potensen med en rationell exponent. Låt oss skriva:
Låt mig inte skriva om hela vår stora logaritmiska ekvation, utan bara omedelbart likställa argumenten:
x 3 + 10x 2 + 31x + 30 = x 3 + 9x 2 + 27x + 27
x 2 + 4x + 3 = 0
Före oss är det återigen reducerade kvadrattrinomialet, vi kommer att använda Vieta-formlerna och skriva:
(x + 3)(x + 1) = 0
x 1 = -3
x 2 = -1
Så vi fick rötterna, men ingen garanterade oss att de skulle passa den ursprungliga logaritmiska ekvationen. När allt kommer omkring innebär logskyltar ytterligare begränsningar (här skulle vi behöva skriva ner systemet, men på grund av krångligheten i hela konstruktionen bestämde jag mig för att beräkna definitionsdomänen separat).
Först och främst, kom ihåg att argumenten måste vara större än 0, nämligen:
Dessa är de krav som definitionsdomänen ställer.
Vi noterar direkt att eftersom vi likställer de två första uttrycken av systemet med varandra, kan vi stryka ut vilket som helst av dem. Låt oss stryka över den första eftersom den ser mer hotfull ut än den andra.
Observera dessutom att lösningarna för den andra och tredje olikheten kommer att vara samma mängder (kuben för ett tal är större än noll, om detta tal i sig är större än noll; på samma sätt med roten av tredje graden - dessa olikheter är helt lika, så en av dem kan vi stryka över).
Men med den tredje ojämlikheten kommer detta inte att fungera. Låt oss bli av med tecknet på radikalen till vänster, för vilket vi höjer båda delarna till en kub. Vi får:
Så vi får följande krav:
−2 ≠ x > −3
Vilken av våra rötter: x 1 = -3 eller x 2 = -1 uppfyller dessa krav? Uppenbarligen är det bara x = −1, eftersom x = −3 inte uppfyller den första ojämlikheten (eftersom vår ojämlikhet är strikt). Totalt, för att återgå till vårt problem, får vi en rot: x = −1. Det var allt, problemet löst.
Återigen, nyckelpunkterna i denna uppgift:
- Applicera och lös gärna logaritmiska ekvationer med kanonisk form. Elever som gör en sådan post, och inte går direkt från det ursprungliga problemet till en konstruktion som log a f ( x ) = b , gör mycket färre fel än de som har bråttom någonstans och hoppar över mellansteg i beräkningar;
- Så snart en variabel bas dyker upp i logaritmen upphör problemet att vara det enklaste. Därför, när du löser det, är det nödvändigt att ta hänsyn till definitionsdomänen: argumenten måste vara större än noll, och baserna måste inte bara vara större än 0, utan de får inte heller vara lika med 1.
Du kan ställa de sista kraven på de slutliga svaren på olika sätt. Det är till exempel möjligt att lösa ett helt system som innehåller alla domänkrav. Å andra sidan kan du först lösa själva problemet och sedan komma ihåg definitionsdomänen, arbeta ut det separat i form av ett system och tillämpa det på de erhållna rötterna.
Vilket sätt du ska välja när du löser en viss logaritmisk ekvation är upp till dig. Svaret blir i alla fall detsamma.
Som du vet, när du multiplicerar uttryck med potenser, summeras deras exponenter alltid (a b * a c = a b + c). Denna matematiska lag härleddes av Arkimedes, och senare, på 800-talet, skapade matematikern Virasen en tabell med heltalsindikatorer. Det var de som tjänade för vidare upptäckt av logaritmer. Exempel på att använda denna funktion kan hittas nästan överallt där det krävs för att förenkla besvärlig multiplikation till enkel addition. Om du lägger 10 minuter på att läsa den här artikeln kommer vi att förklara för dig vad logaritmer är och hur du arbetar med dem. Enkelt och lättillgängligt språk.
Definition i matematik
Logaritmen är ett uttryck av följande form: log ab=c, det vill säga logaritmen för alla icke-negativa tal (det vill säga alla positiva) "b" med sin bas "a" anses vara potensen av "c" , till vilken basen "a" måste höjas, så att man i slutändan får värdet "b". Låt oss analysera logaritmen med hjälp av exempel, låt oss säga att det finns ett uttryck log 2 8. Hur hittar man svaret? Det är väldigt enkelt, du måste hitta en sådan grad att du får 8 från 2 till önskad grad. Efter att ha gjort några beräkningar i ditt sinne får vi siffran 3! Och med rätta, eftersom 2 i 3 potens ger talet 8 i svaret.
Variationer av logaritmer
För många elever och studenter verkar detta ämne komplicerat och obegripligt, men i själva verket är logaritmer inte så skrämmande, det viktigaste är att förstå deras allmänna betydelse och komma ihåg deras egenskaper och vissa regler. Det finns tre olika typer av logaritmiska uttryck:
- Naturlig logaritm ln a, där basen är Eulertalet (e = 2,7).
- Decimal a, där basen är 10.
- Logaritmen för valfritt tal b till basen a>1.
Var och en av dem löses på ett standardsätt, inklusive förenkling, reduktion och efterföljande reduktion till en logaritm med hjälp av logaritmiska satser. För att erhålla de korrekta värdena på logaritmer bör man komma ihåg deras egenskaper och ordningen på åtgärder i sina beslut.
Regler och vissa restriktioner
I matematik finns det flera regler-begränsningar som accepteras som ett axiom, det vill säga de är inte föremål för diskussion och är sanna. Det är till exempel omöjligt att dividera tal med noll, och det är också omöjligt att extrahera roten till en jämn grad från negativa tal. Logaritmer har också sina egna regler, efter vilka du enkelt kan lära dig hur du arbetar även med långa och rymliga logaritmiska uttryck:
- basen "a" måste alltid vara större än noll och samtidigt inte vara lika med 1, annars kommer uttrycket att förlora sin betydelse, eftersom "1" och "0" i någon grad alltid är lika med deras värden;
- om a > 0, då a b > 0, visar det sig att "c" måste vara större än noll.
Hur löser man logaritmer?
Till exempel, med tanke på uppgiften att hitta svaret på ekvationen 10 x \u003d 100. Det är väldigt enkelt, du måste välja en sådan potens genom att höja talet tio till vilket vi får 100. Detta är naturligtvis 10 2 \u003d 100.
Låt oss nu representera detta uttryck som ett logaritmiskt uttryck. Vi får log 10 100 = 2. När man löser logaritmer konvergerar praktiskt taget alla åtgärder för att hitta i vilken grad basen för logaritmen måste anges för att få ett givet tal.
För att exakt bestämma värdet av en okänd grad måste du lära dig hur man arbetar med en tabell med grader. Det ser ut så här:
Som du kan se kan vissa exponenter gissas intuitivt om du har ett tekniskt tänkesätt och kunskap om multiplikationstabellen. Större värden kommer dock att kräva en effekttabell. Det kan användas även av de som inte förstår någonting alls i komplexa matematiska ämnen. Den vänstra kolumnen innehåller siffror (bas a), den översta raden av siffror är värdet av potensen c, till vilken talet a höjs. I skärningspunkten i cellerna bestäms värdena på talen, vilket är svaret (a c =b). Låt oss ta till exempel den allra första cellen med talet 10 och kvadrera den, vi får värdet 100, som indikeras i skärningspunkten mellan våra två celler. Allt är så enkelt och lätt att även den mest verkliga humanist kommer att förstå!
Ekvationer och ojämlikheter
Det visar sig att under vissa förhållanden är exponenten logaritmen. Därför kan alla matematiska numeriska uttryck skrivas som en logaritmisk ekvation. Till exempel kan 3 4 =81 skrivas som logaritmen av 81 till bas 3, vilket är fyra (log 3 81 = 4). För negativa potenser är reglerna desamma: 2 -5 = 1/32 skriver vi som en logaritm, vi får log 2 (1/32) = -5. En av de mest fascinerande delarna av matematiken är ämnet "logaritmer". Vi kommer att överväga exempel och lösningar av ekvationer lite lägre, omedelbart efter att ha studerat deras egenskaper. Låt oss nu titta på hur ojämlikheter ser ut och hur man kan skilja dem från ekvationer.
Ett uttryck av följande form ges: log 2 (x-1) > 3 - det är en logaritmisk olikhet, eftersom det okända värdet "x" står under logaritmens tecken. Och även i uttrycket jämförs två kvantiteter: logaritmen för det önskade talet i bas två är större än talet tre.
Den viktigaste skillnaden mellan logaritmiska ekvationer och ojämlikheter är att ekvationer med logaritmer (till exempel logaritmen 2 x = √9) innebär ett eller flera specifika numeriska värden i svaret, medan vid lösning av olikheten, både intervallet av acceptabla värden och de punkter som bryter denna funktion. Som en konsekvens är svaret inte en enkel uppsättning individuella tal, som i svaret på ekvationen, utan en kontinuerlig serie eller uppsättning tal.
Grundläggande satser om logaritmer
När man löser primitiva uppgifter för att hitta värdena för logaritmen, kanske dess egenskaper inte är kända. Men när det kommer till logaritmiska ekvationer eller olikheter är det först och främst nödvändigt att tydligt förstå och tillämpa i praktiken alla de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. Vi kommer att bekanta oss med exempel på ekvationer senare, låt oss först analysera varje egenskap mer i detalj.
- Den grundläggande identiteten ser ut så här: a logaB =B. Det gäller bara om a är större än 0, inte lika med ett, och B är större än noll.
- Produktens logaritm kan representeras i följande formel: log d (s 1 * s 2) = log d s 1 + log d s 2. I detta fall är förutsättningen: d, s 1 och s 2 > 0; a≠1. Du kan ge ett bevis för denna logaritmformel, med exempel och en lösning. Låt logga som 1 = f 1 och logga som 2 = f 2 , sedan a f1 = s 1 , a f2 = s 2. Vi får att s 1 *s 2 = a f1 *a f2 = a f1+f2 (gradegenskaper ), och vidare per definition: log a (s 1 *s 2)= f 1 + f 2 = log a s1 + log som 2, vilket skulle bevisas.
- Logaritmen för kvoten ser ut så här: log a (s 1 / s 2) = log a s 1 - log a s 2.
- Satsen i form av en formel har följande form: log a q b n = n/q log a b.
Denna formel kallas "egenskapen för graden av logaritmen". Det liknar egenskaperna hos vanliga grader, och det är inte förvånande, eftersom all matematik vilar på vanliga postulat. Låt oss titta på beviset.
Låt logga a b \u003d t, visar det sig a t \u003d b. Om du höjer båda delarna till potensen m: a tn = b n ;
men eftersom a tn = (a q) nt/q = b n, därav log a q b n = (n*t)/t, då log a q b n = n/q log a b. Teoremet har bevisats.
Exempel på problem och ojämlikheter
De vanligaste typerna av logaritmproblem är exempel på ekvationer och ojämlikheter. De finns i nästan alla problemböcker, och ingår även i den obligatoriska delen av prov i matematik. För antagning till universitetet eller godkänd inträdesprov i matematik måste du veta hur man löser sådana problem korrekt.
Tyvärr finns det ingen enskild plan eller schema för att lösa och bestämma det okända värdet på logaritmen, men vissa regler kan tillämpas på varje matematisk olikhet eller logaritmisk ekvation. Först och främst bör du ta reda på om uttrycket kan förenklas eller reduceras till en allmän form. Förenkla lång logaritmiska uttryck Du kan, om du använder deras egenskaper på rätt sätt. Låt oss snart lära känna dem.
När man löser logaritmiska ekvationer är det nödvändigt att bestämma vilken typ av logaritm vi har framför oss: ett exempel på ett uttryck kan innehålla en naturlig logaritm eller en decimal.
Här är exempel ln100, ln1026. Deras lösning kokar ner till det faktum att du måste bestämma i vilken grad basen 10 kommer att vara lika med 100 respektive 1026. För lösningar av naturliga logaritmer måste man tillämpa logaritmiska identiteter eller deras egenskaper. Låt oss titta på exempel på att lösa logaritmiska problem av olika slag.
Hur man använder logaritmformler: med exempel och lösningar
Så låt oss titta på exempel på hur man använder huvudsatserna på logaritmer.
- Egenskapen för produktens logaritm kan användas i uppgifter där det är nödvändigt att sönderdela stor betydelse siffror b till enklare faktorer. Till exempel log 2 4 + log 2 128 = log 2 (4*128) = log 2 512. Svaret är 9.
- log 4 8 = log 2 2 2 3 = 3/2 log 2 2 = 1,5 - som du kan se, genom att tillämpa den fjärde egenskapen för logaritmens grad, lyckades vi vid första anblicken lösa ett komplext och olösligt uttryck. Det är bara nödvändigt att faktorisera basen och sedan ta exponentvärdena ur logaritmens tecken.
Uppgifter från tentamen
Logaritmer finns ofta i inträdesprov, särskilt många logaritmiska problem i Unified State Exam (statligt prov för alla akademiker). Vanligtvis finns dessa uppgifter inte bara i del A (den enklaste testdelen av provet), utan också i del C (de svåraste och mest omfattande uppgifterna). Provet innebär en korrekt och perfekt kunskap om ämnet "Naturliga logaritmer".
Exempel och problemlösningar är hämtade från tjänsteman ANVÄND alternativ. Låt oss se hur sådana uppgifter löses.
Givet log 2 (2x-1) = 4. Lösning:
låt oss skriva om uttrycket och förenkla det lite log 2 (2x-1) = 2 2 , enligt logaritmens definition får vi att 2x-1 = 2 4 , därför 2x = 17; x = 8,5.
- Alla logaritmer reduceras bäst till samma bas så att lösningen inte blir krånglig och förvirrande.
- Alla uttryck under logaritmens tecken indikeras som positiva, därför, när man tar ut exponenten för exponenten för uttrycket, som är under logaritmens tecken och som dess bas, måste uttrycket som finns kvar under logaritmen vara positivt.
Förberedelserna för det slutliga provet i matematik innehåller ett viktigt avsnitt - "Logarithms". Uppgifter från detta ämne ingår nödvändigtvis i provet. De senaste årens erfarenheter visar att de logaritmiska ekvationerna orsakade svårigheter för många skolbarn. Därför bör elever med olika utbildningsnivåer förstå hur man hittar rätt svar och snabbt hanterar dem.
Passera certifieringstestet framgångsrikt med hjälp av utbildningsportalen "Shkolkovo"!
Som förberedelse för det enade statlig examen gymnasieutexaminerade behöver en pålitlig källa som ger den mest fullständiga och korrekta informationen för en framgångsrik lösning av testproblem. Läroboken finns dock inte alltid till hands och att söka efter de nödvändiga reglerna och formlerna på Internet tar ofta tid.
Utbildningsportalen "Shkolkovo" låter dig förbereda dig för examen var som helst när som helst. Vår webbplats erbjuder det mest bekväma sättet att repetera och bemästra en stor mängd information om logaritmer, såväl som om en och flera okända. Börja med enkla ekvationer. Om du klarade av dem utan svårighet, gå vidare till svårare. Om du har problem med att lösa en viss ojämlikhet kan du lägga till den i dina favoriter så att du kan komma tillbaka till den senare.
Du kan hitta de nödvändiga formlerna för att slutföra uppgiften, upprepa specialfall och metoder för att beräkna roten till en standardlogaritmisk ekvation genom att titta på avsnittet "Teoretisk referens". Lärare i "Shkolkovo" samlade, systematiserade och presenterade allt material som behövs för framgångsrik leverans i den mest enkla och begripliga formen.
För att enkelt kunna hantera uppgifter av vilken komplexitet som helst kan du på vår portal bekanta dig med lösningen av några typiska logaritmiska ekvationer. För att göra detta, gå till avsnittet "Kataloger". Vi har presenterat ett stort antal exempel, inklusive de med ekvationer av profilnivån för Unified State Examination i matematik.
Elever från skolor över hela Ryssland kan använda vår portal. För att komma igång är det bara att registrera sig i systemet och börja lösa ekvationer. För att konsolidera resultaten rekommenderar vi att du återvänder till Shkolkovos webbplats dagligen.
Innan vi löser logaritmiska ekvationer, låt oss upprepa definitionen av logaritmen och de grundläggande formlerna.
Logaritm Positivt nummer b av skäl aär en indikator på i vilken grad det är nödvändigt att höja a, För att uppnå b.
I det här fallet, class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}
Låt oss vara uppmärksamma på området för tillåtna värden för logaritmen:
class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">. !}
Grundläggande logaritmisk identitet:
Grundformler för logaritmer:
(Produktens logaritm är lika med summan av logaritmerna)
(Logaritmen för kvoten är lika med skillnaden mellan logaritmerna)
(Formel för gradens logaritm)
Formeln för att flytta till en ny bas är:
Vi vet hur grafen för en logaritmisk funktion ser ut. Denna funktion är monoton. Om basen för logaritmen är större än en, ökar den logaritmiska funktionen monotont. Om basen är större än noll och mindre än ett, minskar den logaritmiska funktionen monotont. Och i alla fall tar det varje värde bara en gång. Det betyder att om logaritmerna för två tal är lika i någon bas, så är själva talen lika.
Allt detta kommer att vara användbart för oss vid lösning av logaritmiska ekvationer.
De enklaste logaritmiska ekvationerna
1. Lös ekvationen:
Logaritmernas baser är lika, själva logaritmerna är också lika, vilket betyder att talen som de är hämtade från också är lika.
Vanligtvis memorerar eleverna denna regel i en kort jargongformulering: "Låt oss släppa logaritmerna!" Naturligtvis "kasserar" vi dem inte bara så, utan genom att använda monotoniegenskapen för den logaritmiska funktionen.
Vi får:
När du löser logaritmiska ekvationer, glöm inte bort toleransintervall logaritm. Kom ihåg att uttrycket definieras med class="tex" alt="(!LANG:b> 0,\;a> 0,\;a\neq 1">.!}
Det är mycket bra om du, efter att ha hittat roten till ekvationen, bara byter in den i ekvationen. Om den vänstra eller högra sidan av ekvationen inte är meningsfull efter en sådan substitution, är talet som hittas inte roten till ekvationen och kan inte vara svaret på problemet. Det här är ett bra sätt att testa inför provet.
2. Lös ekvationen:
På vänster sida av ekvationen - logaritmen, till höger - talet 7. Genom att tillämpa den grundläggande logaritmiska identiteten representerar vi talet 7 i formuläret. Då är allt enkelt.
Svar: -124
3. Lös ekvationen:
Ser du siffran 2 framför logaritmen på höger sida av ekvationen? Nu hindrar det dig från att "släppa logaritmer." Vad kan jag göra med det så att vänster och höger sida bara är logaritmer till bas 5? Naturligtvis hjälper formeln för gradens logaritm.
4. Lös ekvationen:
Giltigt intervall: class="tex" alt="(!LANG:4-x> 0."> Значит, class="tex" alt="x > -4.">!}
Låt oss representera 2 på höger sida av ekvationen som - så att vänster och höger sida av ekvationen är logaritmer till bas 5.
Funktionen ökar monotont och vart och ett av dess värden tar exakt en gång. Logaritmer är lika, deras baser är lika. Låt oss släppa logaritmerna! Naturligtvis, class="tex" alt="(!LANG:x> -4">.!}
5. Lös ekvationen:
Vi skriver lösningen som en kedja av likvärdiga övergångar. Vi skriver ner ODZ och "tar bort" logaritmerna:
Class="tex" alt="(!LANG:\log _(8)\left (x^(2)+x \right)=\log _(8)\left (x^(2)-4 \right )\Leftrightarrow \left\(\begin(matris) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x^(2)+x=x^(2)-4 \ end(matris)\höger.\vänsterhögerpil \left\(\begin(matris) x^(2)+x> 0\\ x^(2)-4> 0\\ x=-4 \end(matris)\ höger.\Vänsterhögerpil x=-4">!}
Svar: -4.
Observera att lösningar till logaritmiska ekvationer bäst skrivs som en kedja av ekvivalenta övergångar. Detta kommer att hjälpa oss att inte glömma intervallet av giltiga värden.
6.Lös ekvationen:.
Låt oss gå från logaritmen med bas 4 (i exponenten) till logaritmen med bas 2. Vi gör detta med hjälp av baskonverteringsformeln:
Vi skriver lösningen som en kedja av likvärdiga övergångar.
Class="tex" alt="(!LANG:2^(\log _(4)\left (4x+5 \right))=9\Leftrightarrow \left\(\begin(matrix) 2^\frac(( \log _(2)\vänster (4x+5 \höger)))(2)=9\\ 4x+5> 0 \end(matris)\höger.\vänsterhögerpil \vänster\(\begin(matris) \vänster (2^(\log _(2)\vänster (4x+5 \höger)) \höger)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matris)\höger.\Vänsterhögerpil \left\(\begin(matris) \left (4x+5 \right)^(\frac(1)(2))=9\\ x> -1\frac( 1)(4) \end(matris)\höger.\vänsterhögerpil \vänster\(\begin(matris) \sqrt(4x+5)=9\\ x> -1\frac(1)(4) \end( matris)\höger.\Vänsterhögerpil \vänster\(\begin(matris) 4x+5=81\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matris)\höger.\Vänsterhögerpil \vänster\(\ börja(matris) x=19\\ x> -1\frac(1)(4) \end(matris)\höger.">!}
7. Lös ekvationen:.
Observera: variabel X både under logaritmen och i basen av logaritmen. Vi kommer ihåg att basen för logaritmen måste vara positiv och inte lika med 1.
ODZ:
class="tex" alt="(!LANG:\vänster\(\begin(matris) 12-x> 0\\ x> 0\\ x\neq 1 \end(matris)\höger.">!}
Nu kan du "ta bort" logaritmerna.
Utländsk rot, eftersom class="tex" alt="(!LANG:x> 0">.!}
8. Lös ekvationen.
ODZ-ekvation: class="tex" alt="(!LANG:x> 0">!}
Låt oss göra en ersättare. Liksom i algebraiska ekvationer gör vi en förändring av variabel när det är möjligt.
Tillbaka till variabeln X:
9. Lös ekvationen:
Uttrycket under logaritmen är alltid positivt - eftersom vi adderar 25 till ett icke-negativt värde.Uttrycket under roten på höger sida är också positivt. Innebär att, X kan vara vilket reellt tal som helst.
Vi representerar summan av logaritmerna på vänster sida som produktens logaritm. På höger sida - låt oss gå vidare till logaritmen till basen 3. Och använd formeln för gradens logaritm.
Vi förkastar logaritmer.
En sådan ekvation kallas biquadratisk. Den innehåller uttryck och . Låt oss göra en ersättare
Tillbaka till variabeln X. Vi får:
Vi har hittat alla rötter till den ursprungliga ekvationen.
Du kan också möta logaritmiska ekvationer i uppgift nr 5 i Profile Unified State Examination i matematik, och i uppgift nr 13. Och om du i uppgift nr 5 behöver lösa den enklaste ekvationen, så består lösningen i uppgift 13 av två punkter. Den andra punkten är valet av rötter på ett givet segment eller intervall.
