Tungvrickare

Exempel på logaritmiska uttryck. Grundläggande egenskaper hos logaritmer. Formler för logaritmer. Exempel på logaritmlösningar

Uppgift B7 ger ett uttryck som behöver förenklas. Resultatet ska vara ett vanligt nummer som kan skrivas på svarsbladet. Alla uttryck är villkorligt uppdelade i tre typer:

logaritmisk,
Demonstration,
Kombinerad.

Exponentiella och logaritmiska uttryck i sin rena form finns nästan aldrig. Det är dock viktigt att veta hur de beräknas.

I allmänhet löses problem B7 ganska enkelt och ligger inom den genomsnittliga utexaminerades makt. Bristen på tydliga algoritmer kompenseras av dess standard och enhetlighet. Du kan lära dig hur du löser sådana problem helt enkelt genom mycket träning.

Logaritmiska uttryck

De allra flesta B7-problem innehåller logaritmer i en eller annan form. Detta ämne anses traditionellt vara svårt, eftersom dess studie som regel faller på 11:e årskursen - eran av massförberedelser för slutprov. Som ett resultat har många akademiker en mycket vag uppfattning om logaritmer.

Men i denna uppgift kräver ingen djup teoretisk kunskap. Vi kommer bara att möta de enklaste uttrycken som kräver raka resonemang och som mycket väl kan bemästras självständigt. Nedan är de grundläggande formlerna du behöver veta för att hantera logaritmer:

Dessutom måste man kunna ersätta rötter och bråk med potenser med en rationell exponent, annars blir det i vissa uttryck helt enkelt inget att ta ut under logaritmens tecken. Ersättningsformler:

Uppgift. Hitta uttrycksvärden:
log 6 270 − log 6 7.5
log 5 775 − log 5 6.2

De två första uttrycken konverteras som skillnaden mellan logaritmer:
log 6 270 − log 6 7,5 = log 6 (270: 7,5) = log 6 36 = 2;
log 5 775 − log 5 6,2 = log 5 (775: 6,2) = log 5 125 = 3.

För att beräkna det tredje uttrycket måste du välja grader - både i basen och i argumentet. Låt oss först hitta den interna logaritmen:

Sedan - extern:

Konstruktioner som stock a stock b x verkar komplicerade och missförstådda för många. Under tiden är detta bara logaritmen för logaritmen, dvs. log a (log b x ). Först beräknas den inre logaritmen (sätt log b x = c ), och sedan den yttre: log a c .

exponentiella uttryck

Vi kommer att kalla ett exponentiellt uttryck vilken konstruktion som helst av formen a k , där talen a och k är godtyckliga konstanter och a > 0. Metoder för att arbeta med sådana uttryck är ganska enkla och övervägs i 8:e årskurs algebra.

Nedan är de grundläggande formlerna som du måste känna till. Tillämpningen av dessa formler i praktiken orsakar som regel inga problem.

a n a m = a n + m;
a n/a m = a n − m;
(an)m = anm;
(a b) n = a n b n;
(a:b) n = a n:b n.

Om ett komplext uttryck med krafter påträffas, och det inte är klart hur man ska närma sig det, används en universell teknik - sönderdelning till primära faktorer. Som ett resultat ersätts stora siffror i graders baser med enkla och begripliga element. Sedan återstår bara att tillämpa ovanstående formler - och problemet kommer att lösas.

Uppgift. Hitta uttrycksvärden: 7 9 3 11: 21 8 , 24 7: 3 6: 16 5 , 30 6: 6 5: 25 2 .

Lösning. Vi bryter ner alla kraftbaser i primära faktorer:
7 9 3 11: 21 8 = 7 9 3 11: (7 3) 8 = 7 9 3 11: (7 8 3 8) = 7 9 3 11: 7 8: 3 8 = 7 3 3 = 189.
24 7: 3 6: 16 5 = (3 2 3) 7: 3 6: (2 4) 5 = 3 7 2 21: 3 6: 2 20 = 3 2 = 6.
30 6: 6 5: 25 2 = (5 3 2) 6: (3 2) 5: (5 2) 2 = 5 6 3 6 2 6: 3 5: 2 5: 5 4 = 5 2 3 2 = 150 .

Kombinerade arbetsuppgifter

Om du kan formlerna löses alla exponentiella och logaritmiska uttryck bokstavligen på en rad. Men i problem B7 kan potenser och logaritmer kombineras för att bilda ganska starka kombinationer.

Avsnitt: Matematik

Typ av lektion: lektion om generalisering och systematisering av kunskap

Mål:

att uppdatera elevernas kunskaper om logaritmer och deras egenskaper som en del av en generaliserande upprepning och förberedelse inför tentamen;
att främja utvecklingen av elevers mentala aktivitet, färdigheterna att tillämpa teoretisk kunskap när de utför övningar;
att främja utvecklingen av elevers personliga egenskaper, färdigheter för självkontroll och självutvärdering av deras aktiviteter; odla flit, tålamod, uthållighet, självständighet.

Utrustning: dator, projektor, presentation (Bilaga 1), kort med läxor (du kan bifoga en fil med en uppgift i en elektronisk dagbok).

Under lektionerna

I. Organisatoriskt ögonblick. Hej, gör dig redo för lektionen.

II. Diskussion om läxor.

III. Meddelande om ämnet och syftet med lektionen. Motivering.(Bild 1) Presentation.

Vi fortsätter den generaliserande upprepningen av kursen i matematik som förberedelse för provet. Och idag i lektionen kommer vi att prata om logaritmer och deras egenskaper.

Uppgifter för beräkning av logaritmer och omvandling av logaritmiska uttryck finns med nödvändighet i styr- och mätmaterialen på både grund- och profilnivån. Därför är syftet med vår lektion att återställa idéer om innebörden av begreppet "logaritm" och uppdatera färdigheterna för att konvertera logaritmiska uttryck. Skriv ner ämnet för lektionen i dina anteckningsböcker.

IV. Kunskapsuppdatering.

1. /Oralt/ Låt oss först komma ihåg vad som kallas en logaritm. (Bild 2)

(Logaritmen för ett positivt tal b till basen a (där a > 0, a? 1) är exponenten till vilken du måste höja talet a för att få talet b)

Logga a b = n<->a n \u003d b, (a> 0, a 1, b> 0)

Så, "LOGARIFM" är "EXPONENT"!

(Bild 3) Sedan kan a n = b skrivas om som = b är den logaritmiska huvudidentiteten.

Om basen är \u003d 10, kallas logaritmen decimal och betecknas lgb.

Om en \u003d e, så kallas logaritmen naturlig och betecknas med lnb.

2. /Skrivt/ (Bild 4) Fyll i luckorna för att få rätt jämlikheter:

logga? x + Logga a ? = Logga? (?y)

logga en ? - Logga? y = Logga? (x/?)

Logga x? = pLog ? (?)

Undersökning:

ett; ett; a,y,x; x,a,a,y; p,a,x.

Dessa är egenskaper hos logaritmer. Och en annan grupp av fastigheter: (Bild 5)

Undersökning:

a,1,n,x; n,x,p,a; x,b,a,y; a,x,b; a,1,b.

V. Muntligt arbete

(Bild 6) Nr 1. Beräkna:

a B C D); e) .

Svar : a) 4; b) -2; i 2; d) 7; e) 27.

(Bild 7) Nr 2. Hitta X:

a) ; b) (Svar: a) 1/4; b) 9).

Nr 3. Är det vettigt att överväga en sådan logaritm:

a) ; b) ; v) ? (Inte)

VI. Självständigt arbete i grupp, starka studenter - konsulter. (Bild 8)

#1 Beräkna: .

#2 Förenkla:

Nej. 3. Hitta värdet på uttrycket if

#4 Förenkla uttrycket:

#5 Beräkna:

#6 Beräkna:

#7 Beräkna:

#8 Beräkna:

Efter färdigställande - verifiering och diskussion om den förberedda lösningen eller med hjälp av dokumentkamera.

VII. Att lösa en uppgift med ökad komplexitet(en stark elev är med i styrelsen, resten finns i anteckningsböcker) (Bild 9)

Hitta värdet på uttrycket:

VIII. Läxa(på kort) differentierade.(Bild 10)

Nr 1. Beräkna:

Nr 2. Hitta värdet på uttrycket:

F.F. Lysenko m.fl. Matematik. Tematiska prov åk 10 - 11. Del 1 / Rostov-on-Don: "Legion", 2008

VV Kochagin Intensiv träning. ANVÄND matematik. / M: “Eksmo”, 2008

INTERNETRESURSER:

L.V. Artamonova, matematiklärare, Moskalensky Lyceum Presentation "I logaritmernas land"
A.A. Kuksheva, MOU "Egorievskaya gymnasieskola" Presentation "Logaritmer och deras egenskaper"

Logaritmer, som alla tal, kan läggas till, subtraheras och konverteras på alla möjliga sätt. Men eftersom logaritmer inte är helt vanliga tal finns det regler här som kallas grundläggande egenskaper.

Dessa regler måste vara kända - inga allvarliga logaritmiska problem kan lösas utan dem. Dessutom är det väldigt få av dem – allt går att lära sig på en dag. Så låt oss börja.

Addition och subtraktion av logaritmer

Betrakta två logaritmer med samma bas: log a x och logga a y. Sedan kan de adderas och subtraheras, och:

logga a x+logg a y= logg a (x · y);
logga a x−logg a y= logg a (x : y).

Så summan av logaritmerna är lika med produktens logaritm, och skillnaden är logaritmen för kvoten. Observera: nyckelpunkten här är - samma grunder. Om grunderna är olika fungerar inte dessa regler!

Dessa formler hjälper dig att beräkna det logaritmiska uttrycket även när dess enskilda delar inte beaktas (se lektionen " Vad är en logaritm"). Ta en titt på exemplen och se:

log 6 4 + log 6 9.

Eftersom logaritmernas baser är desamma använder vi summaformeln:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 2 48 − log 2 3.

Baserna är desamma, vi använder skillnadsformeln:
log 2 48 - log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 3 135 − log 3 5.

Återigen, baserna är desamma, så vi har:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Som du kan se är de ursprungliga uttrycken uppbyggda av "dåliga" logaritmer, som inte betraktas separat. Men efter omvandlingar visar sig ganska normala siffror. Många tester är baserade på detta faktum. Ja, kontroll - liknande uttryck på fullt allvar (ibland - med praktiskt taget inga förändringar) erbjuds vid tentamen.

Ta bort exponenten från logaritmen

Låt oss nu komplicera uppgiften lite. Vad händer om det finns en grad i basen eller argumentet för logaritmen? Sedan kan exponenten för denna grad tas ur logaritmens tecken enligt följande regler:

Det är lätt att se att den sista regeln följer deras två första. Men det är bättre att komma ihåg det ändå - i vissa fall kommer det att minska mängden beräkningar avsevärt.

Naturligtvis är alla dessa regler vettiga om ODZ-logaritmen observeras: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Och en sak till: lär dig att tillämpa alla formler inte bara från vänster till höger, utan också vice versa, d.v.s. du kan ange siffrorna före logaritmens tecken i själva logaritmen. Detta är vad som oftast krävs.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 7 49 6 .

Låt oss bli av med graden i argumentet enligt den första formeln:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:
[Bildtext]

Observera att nämnaren är en logaritm vars bas och argument är exakta potenser: 16 = 2 4 ; 49 = 72. Vi har:

[Bildtext]

Jag tror att det sista exemplet behöver förtydligas. Var har logaritmerna tagit vägen? Fram till sista stund arbetar vi bara med nämnaren. De presenterade basen och argumentet för logaritmen som stod där i form av grader och tog ut indikatorerna - de fick en "tre våningar" bråkdel.

Låt oss nu titta på huvudfraktionen. Täljaren och nämnaren har samma nummer: log 2 7. Eftersom log 2 7 ≠ 0 kan vi minska bråket - 2/4 blir kvar i nämnaren. Enligt aritmetikens regler kan de fyra överföras till täljaren, vilket gjordes. Resultatet är svaret: 2.

Övergång till ny stiftelse

På tal om reglerna för att addera och subtrahera logaritmer, betonade jag specifikt att de bara fungerar med samma baser. Vad händer om grunderna är olika? Vad händer om de inte är exakta potenser av samma nummer?

Formler för övergång till en ny bas kommer till undsättning. Vi formulerar dem i form av ett teorem:

Låt logaritmen logga a x. Sedan för vilket nummer som helst c Så att c> 0 och c≠ 1, likheten är sann:
[Bildtext]
I synnerhet om vi sätter c = x, vi får:
[Bildtext]

Det följer av den andra formeln att det är möjligt att växla basen och argumentet för logaritmen, men i det här fallet "vänds hela uttrycket om", dvs. logaritmen är i nämnaren.

Dessa formler finns sällan i vanliga numeriska uttryck. Det är möjligt att utvärdera hur bekväma de är först när man bestämmer sig logaritmiska ekvationer och ojämlikheter.

Det finns dock uppgifter som inte alls kan lösas förutom genom att flytta till en ny stiftelse. Låt oss överväga ett par av dessa:

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 5 16 log 2 25.

Observera att argumenten för båda logaritmerna är exakta exponenter. Låt oss ta ut indikatorerna: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Låt oss nu vända den andra logaritmen:

[Bildtext]

Eftersom produkten inte ändras från permutation av faktorer multiplicerade vi lugnt fyra och två och räknade sedan ut logaritmerna.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket: log 9 100 lg 3.

Basen och argumentet för den första logaritmen är exakta potenser. Låt oss skriva ner det och bli av med indikatorerna:

[Bildtext]

Låt oss nu bli av med decimallogaritmen genom att flytta till en ny bas:

[Bildtext]

Grundläggande logaritmisk identitet

Ofta i processen för att lösa det krävs att representera ett tal som en logaritm till en given bas. I det här fallet kommer formlerna att hjälpa oss:

I det första fallet, numret n blir argumentets exponent. siffra n kan vara absolut vad som helst, eftersom det bara är värdet på logaritmen.

Den andra formeln är faktiskt en omskriven definition. Det kallas den grundläggande logaritmiska identiteten.

Ja, vad kommer att hända om antalet b höja till makten så att b i denna utsträckning ger en siffra a? Det stämmer: det här är samma nummer a. Läs det här stycket noggrant igen - många människor "hänger" på det.

Liksom de nya basomvandlingsformlerna är den grundläggande logaritmiska identiteten ibland den enda möjliga lösningen.

Uppgift. Hitta värdet på uttrycket:
[Bildtext]

Observera att log 25 64 = log 5 8 - tog bara ut kvadraten från basen och logaritmens argument. Med tanke på reglerna för att multiplicera potenser med samma bas får vi:

[Bildtext]

Om någon inte vet så var det här en riktig uppgift från provet :)

Logaritmisk enhet och logaritmisk noll

Avslutningsvis kommer jag att ge två identiteter som är svåra att kalla egenskaper – snarare är dessa konsekvenser från definitionen av logaritmen. De återfinns ständigt i problem och skapar överraskande problem även för "avancerade" elever.

logga a a= 1 är den logaritmiska enheten. Kom ihåg en gång för alla: logaritmen till valfri bas a från denna bas själv är lika med en.
logga a 1 = 0 är logaritmisk noll. Bas a kan vara vad som helst, men om argumentet är ett är logaritmen noll! eftersom a 0 = 1 är en direkt följd av definitionen.

Det är alla egenskaper. Se till att träna på att omsätta dem i praktiken! Ladda ner fuskbladet i början av lektionen, skriv ut det och lös problemen.

Acceptabelt område (ODZ) för logaritmen

Låt oss nu prata om begränsningar (ODZ - området för tillåtna värden för variabler).

Vi kommer ihåg att till exempel kvadratroten inte kan tas från negativa tal; eller om vi har ett bråk, så kan nämnaren inte vara lika med noll. Det finns liknande begränsningar för logaritmer:

Det vill säga att både argumentet och basen måste vara större än noll, och basen kan inte vara lika.

Varför är det så?

Låt oss börja enkelt: låt oss säga det. Då finns till exempel inte siffran, eftersom oavsett vilken grad vi höjer så visar det sig alltid. Dessutom finns det inte för någon. Men samtidigt kan det vara lika med vad som helst (av samma anledning - det är lika i vilken grad som helst). Därför är föremålet inte av intresse, och det kastades helt enkelt ut ur matematiken.

Vi har ett liknande problem i fallet: i någon positiv grad - detta, men det kan inte höjas till en negativ effekt alls, eftersom division med noll kommer att resultera (jag påminner dig om det).

När vi står inför problemet med att höja till en bråkdel (som representeras som en rot:. Till exempel (det vill säga), men existerar inte.

Därför är negativa skäl lättare att slänga än att bråka med dem.

Tja, eftersom basen a bara är positiv för oss, så kommer vi alltid att få ett strikt positivt tal, oavsett vilken grad vi höjer den. Så argumentet måste vara positivt. Det finns till exempel inte, eftersom det inte kommer att vara ett negativt tal i någon utsträckning (och till och med noll, därför finns det inte heller).

I problem med logaritmer är det första steget att skriva ner ODZ. Jag ska ge ett exempel:

Låt oss lösa ekvationen.

Kom ihåg definitionen: logaritmen är den potens till vilken basen måste höjas för att få ett argument. Och av villkoret är denna grad lika med: .

Vi får den vanliga andragradsekvationen: . Vi löser det med hjälp av Vieta-satsen: summan av rötterna är lika, och produkten. Lätt att hämta, det är siffror och.

Men om du direkt tar och skriver ner båda dessa siffror i svaret kan du få 0 poäng för uppgiften. Varför? Låt oss fundera på vad som händer om vi ersätter dessa rötter i den initiala ekvationen?

Detta är helt klart falskt, eftersom basen inte kan vara negativ, det vill säga roten är "tredje part".

För att undvika sådana obehagliga knep måste du skriva ner ODZ redan innan du börjar lösa ekvationen:

Sedan, efter att ha fått rötterna och, kastar vi omedelbart roten och skriver det korrekta svaret.

Exempel 1(försök att lösa det själv) :

Hitta roten till ekvationen. Om det finns flera rötter, ange den mindre i ditt svar.

Lösning:

Först av allt, låt oss skriva ODZ:

Nu kommer vi ihåg vad en logaritm är: till vilken styrka behöver du höja basen för att få ett argument? På sekunden. Det är:

Det verkar som om den mindre roten är lika. Men det är inte så: enligt ODZ är roten tredje part, det vill säga den är inte roten till denna ekvation alls. Således har ekvationen bara en rot: .

Svar: .

Grundläggande logaritmisk identitet

Kom ihåg definitionen av en logaritm i allmänna termer:

Ersätt i den andra likheten istället för logaritmen:

Denna jämlikhet kallas grundläggande logaritmisk identitet. Även om denna jämlikhet i huvudsak bara skrivs annorlunda definition av logaritmen:

Detta är kraften som du måste höja för att få.

Till exempel:

Lös följande exempel:

Exempel 2

Hitta värdet på uttrycket.

Lösning:

Kom ihåg regeln från avsnittet:, det vill säga när man höjer en grad till en makt, multipliceras indikatorerna. Låt oss tillämpa det:

Exempel 3

Bevisa det.

Lösning:

Egenskaper för logaritmer

Tyvärr är uppgifterna inte alltid så enkla - ofta måste du först förenkla uttrycket, föra det till den vanliga formen, och först då kommer det att vara möjligt att beräkna värdet. Det är lättast att göra det här med vetskapen egenskaper hos logaritmer. Så låt oss lära oss de grundläggande egenskaperna hos logaritmer. Jag kommer att bevisa var och en av dem, för vilken regel som helst är lättare att komma ihåg om du vet var den kommer ifrån.

Alla dessa egenskaper måste komma ihåg, utan dem kan de flesta problem med logaritmer inte lösas.

Och nu om alla egenskaper hos logaritmer mer i detalj.

Egenskap 1:

Bevis:

Låt då.

Vi har: , h.t.d.

Egenskap 2: Summan av logaritmer

Summan av logaritmer med samma bas är lika med produktens logaritm: .

Bevis:

Låt då. Låt då.

Exempel: Hitta värdet på uttrycket: .

Lösning: .

Formeln du just lärt dig hjälper till att förenkla summan av logaritmerna, inte skillnaden, så dessa logaritmer kan inte kombineras direkt. Men du kan göra tvärtom - "bryta" den första logaritmen i två: Och här är den utlovade förenklingen:
.
Varför behövs detta? Tja, till exempel: vad spelar det för roll?

Nu är det uppenbart att.

Nu gör det enkelt för dig själv:

Uppgifter:

Svar:

Egenskap 3: Skillnad mellan logaritmer:

Bevis:

Allt är exakt detsamma som i punkt 2:

Låt då.

Låt då. Vi har:

Exemplet från den sista punkten är nu ännu enklare:

Mer komplicerat exempel: . Gissa själv hur du bestämmer dig?

Här bör det noteras att vi inte har en enda formel om logaritmer i kvadrat. Det här är något som liknar ett uttryck - detta kan inte förenklas direkt.

Låt oss därför avvika från formlerna om logaritmer, och fundera på vilka formler vi generellt använder i matematik oftast? Ända sedan 7:an!

Detta -. Man måste vänja sig vid att de finns överallt! Och i exponentiella, och i trigonometriska och i irrationella problem, finns de. Därför måste de kommas ihåg.

Om man tittar noga på de två första termerna blir det tydligt att så är det skillnad på rutor:

Svar att kontrollera:

Förenkla dig själv.

Exempel

Svar.