Hitta området för funktionen avgränsat av linjer online. Arean av en kurvlinjär trapets är numeriskt lika med en viss integral. Slutförandet av lösningen kan se ut så här
I den här artikeln kommer du att lära dig hur du hittar arean av en figur, begränsas av linjer använda beräkningar med integraler. För första gången möter vi formuleringen av ett sådant problem i gymnasiet, när studiet av bestämda integraler precis har avslutats och det är dags att gå vidare till geometrisk tolkning förvärvade kunskaper i praktiken.
Så vad krävs för att framgångsrikt lösa problemet med att hitta figurens område med hjälp av integraler:
- Förmåga att korrekt rita ritningar;
- Förmåga att lösa en bestämd integral med hjälp av den välkända Newton-Leibniz-formeln;
- Möjligheten att "se" en mer lönsam lösning - d.v.s. för att förstå hur det i det här eller det fallet kommer att vara mer bekvämt att genomföra integrationen? Längs x-axeln (OX) eller y-axeln (OY)?
- Tja, var utan korrekta beräkningar?) Detta inkluderar att förstå hur man löser den andra typen av integraler och korrekta numeriska beräkningar.
Algoritm för att lösa problemet med att beräkna arean av en figur avgränsad av linjer:
1. Vi bygger en ritning. Det är lämpligt att göra detta på ett papper i en bur, i stor skala. Vi undertecknar med en penna ovanför varje graf namnet på denna funktion. Signaturen av graferna görs enbart för att underlätta ytterligare beräkningar. Efter att ha mottagit grafen för den önskade figuren kommer det i de flesta fall att vara omedelbart klart vilka integrationsgränser som kommer att användas. Därmed löser vi problemet grafiskt. Det händer dock att gränsvärdena är bråkdelar eller irrationella. Därför kan du göra ytterligare beräkningar, gå till steg två.
2. Om integrationsgränserna inte är explicit inställda, så hittar vi skärningspunkterna för graferna med varandra och ser om vår grafiska lösning matchar den analytiska.
3. Därefter måste du analysera ritningen. Beroende på hur funktionsgraferna är placerade finns det olika tillvägagångssätt för att hitta arean av en figur. Överväga olika exempel för att hitta arean av en figur med hjälp av integraler.
3.1. Den mest klassiska och enklaste versionen av problemet är när du behöver hitta området för en kurvlinjär trapets. Vad är en kurvlinjär trapets? Detta är en platt figur som begränsas av x-axeln (y=0), hetero x = a, x = b och eventuell kurva kontinuerlig på intervallet från a innan b. Samtidigt är denna siffra icke-negativ och ligger inte lägre än x-axeln. I det här fallet är arean av den kurvlinjära trapetsen numeriskt lika med den bestämda integralen som beräknas med Newton-Leibniz-formeln:
Exempel 1 y = x2 - 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.
Vilka linjer definierar figuren? Vi har en parabel y = x2 - 3x + 3, som ligger ovanför axeln ÅH, det är icke-negativt, eftersom alla punkter i denna parabel är positiva. Därefter ges raka linjer x = 1 och x = 3 som löper parallellt med axeln OU, är gränslinjerna för figuren till vänster och höger. Väl y = 0, hon är x-axeln, vilket begränsar figuren underifrån. Den resulterande figuren är skuggad, som ses i figuren till vänster. I det här fallet kan du omedelbart börja lösa problemet. Före oss är ett enkelt exempel på en kurvlinjär trapets, som vi sedan löser med hjälp av Newton-Leibniz formel.
3.2. I föregående stycke 3.1 analyserades fallet när den kurvlinjära trapetsen är placerad ovanför x-axeln. Betrakta nu fallet när villkoren för problemet är desamma, förutom att funktionen ligger under x-axeln. Ett minus läggs till Newton-Leibniz standardformel. Hur man löser ett sådant problem kommer vi att överväga vidare.
Exempel 2 . Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer y=x2+6x+2, x=-4, x=-1, y=0.
I det här exemplet har vi en parabel y=x2+6x+2, som härrör från under axeln ÅH, hetero x=-4, x=-1, y=0. Här y = 0 begränsar den önskade siffran ovanifrån. Direkt x = -4 och x = -1 dessa är gränserna inom vilka den bestämda integralen kommer att beräknas. Principen för att lösa problemet med att hitta arean av figuren sammanfaller nästan helt med exempel nummer 1. Den enda skillnaden är att den givna funktionen inte är positiv och är också kontinuerlig i intervallet [-4; -1] . Vad betyder inte positivt? Som framgår av figuren har figuren som ligger inom det givna x uteslutande "negativa" koordinater, vilket är vad vi behöver se och komma ihåg när vi löser problemet. Vi letar efter området för figuren med hjälp av Newton-Leibniz-formeln, bara med ett minustecken i början.
Artikeln är inte färdig.
Vi börjar överväga den faktiska processen för att beräkna dubbelintegralen och bekanta oss med dess geometriska betydelse.
Dubbelintegralen är numeriskt lika med arean av en platt figur (integrationsregion). Detta är den enklaste formen av dubbelintegralen, när funktionen av två variabler är lika med en: .
Låt oss först överväga problemet i allmänna termer. Nu kommer du att bli förvånad över hur enkelt det verkligen är! Låt oss beräkna arean av en platt figur avgränsad av linjer. För visshetens skull antar vi att på intervallet . Arean av denna figur är numeriskt lika med:
Låt oss avbilda området på ritningen:
Låt oss välja det första sättet att kringgå området:
På det här sättet:
Och omedelbart ett viktigt tekniskt knep: itererade integraler kan betraktas separat. Först den inre integralen, sedan den yttre integralen. Denna metod rekommenderas starkt för nybörjare i ämnet tekannor.
1) Beräkna den interna integralen, medan integrationen utförs över variabeln "y":
Den obestämda integralen här är den enklaste, och då används den banala Newton-Leibniz-formeln, med den enda skillnaden att gränserna för integration är inte siffror, utan funktioner. Först ersatte vi den övre gränsen med "y" (antiderivativ funktion), sedan den nedre gränsen
2) Resultatet som erhålls i första stycket måste ersättas med den externa integralen:
En mer kompakt notation för hela lösningen ser ut så här:
Den resulterande formeln är exakt arbetsformeln för att beräkna arean av en platt figur med den "vanliga" bestämda integralen! Se lektion Beräknar arean med hjälp av en bestämd integral, där är hon vid varje tur!
Det är, problemet med att beräkna arean med hjälp av en dubbelintegral lite annorlunda från problemet med att hitta området med hjälp av en bestämd integral! Faktum är att de är en och samma!
Följaktligen bör inga svårigheter uppstå! Jag kommer inte att överväga särskilt många exempel, eftersom du faktiskt har stött på detta problem upprepade gånger.
Exempel 9
Lösning: Låt oss avbilda området på ritningen:
Låt oss välja följande ordningsföljd för regionen:
Här och nedan kommer jag inte gå in på hur man korsar ett område eftersom det första stycket var väldigt detaljerat.
På det här sättet:
Som jag redan har noterat är det bättre för nybörjare att beräkna itererade integraler separat, jag kommer att följa samma metod:
1) Först, med hjälp av Newton-Leibniz-formeln, behandlar vi den interna integralen:
2) Resultatet som erhålls i det första steget ersätts med den yttre integralen:
Punkt 2 är faktiskt att hitta arean av en platt figur med hjälp av en bestämd integral.
Svar:
Här finns en så dum och naiv uppgift.
Ett intressant exempel för oberoende lösning:
Exempel 10
Använd den dubbla integralen och beräkna arean av en plan figur som begränsas av linjerna , ,
Ett exempel på en slutlig lösning i slutet av lektionen.
I exemplen 9-10 är det mycket mer lönsamt att använda det första sättet att kringgå området, nyfikna läsare kan förresten ändra ordningen på förbifarten och beräkna ytorna på det andra sättet. Om du inte gör ett misstag kan du naturligtvis få samma områdesvärden.
Men i vissa fall är det andra sättet att kringgå området mer effektivt, och som avslutning på den unga nördens kurs, låt oss titta på ytterligare ett par exempel på detta ämne:
Exempel 11
Med hjälp av den dubbla integralen, beräkna arean av en plan figur avgränsad av linjer.
Lösning: vi ser fram emot två paraboler med en bris som ligger på sidan. Du behöver inte le, liknande saker i flera integraler stöter ofta på.
Vad är det enklaste sättet att göra en ritning?
Låt oss representera parabeln som två funktioner:
- övre gren och - nedre gren.
På liknande sätt representerar vi parabeln som de övre och nedre grenarna.
Arean av figuren beräknas med hjälp av dubbelintegralen enligt formeln:
Vad händer om vi väljer det första sättet att kringgå området? Först måste detta område delas upp i två delar. Och för det andra kommer vi att observera denna sorgliga bild: . Integraler är naturligtvis inte av en superkomplex nivå, men ... det finns ett gammalt matematiskt talesätt: den som är vän med rötterna behöver ingen kvittning.
Därför, från det missförstånd som ges i villkoret, uttrycker vi de omvända funktionerna:
De omvända funktionerna i detta exempel har fördelen att de omedelbart sätter hela parabeln utan några löv, ekollon, grenar och rötter.
Enligt den andra metoden kommer områdesövergången att vara som följer:
På det här sättet:
Som de säger, känn skillnaden.
1) Vi behandlar den interna integralen:
Vi ersätter resultatet med den yttre integralen:
Integration över variabeln "y" borde inte vara pinsamt, om det fanns en bokstav "zyu" - det skulle vara bra att integrera över den. Fast vem läste andra stycket i lektionen Hur man beräknar volymen av en rotationskropp, han upplever inte längre det minsta pinsamt med integration över "y".
Var också uppmärksam på det första steget: integranden är jämn och integrationssegmentet är symmetriskt omkring noll. Därför kan segmentet halveras, och resultatet kan fördubblas. Denna teknik kommenteras i detalj i lektionen. Effektiva metoder beräkning av en bestämd integral.
Vad ska man lägga till…. Allt!
Svar:
För att testa din integrationsteknik kan du försöka beräkna . Svaret borde vara exakt detsamma.
Exempel 12
Med hjälp av den dubbla integralen, beräkna arean av en plan figur avgränsad av linjer
Detta är ett gör-det-själv-exempel. Det är intressant att notera att om du försöker använda det första sättet att kringgå området, kommer figuren inte längre att delas upp i två, utan i tre delar! Och följaktligen får vi tre par itererade integraler. Det händer ibland.
Mästarklassen har kommit till sitt slut, och det är dags att gå vidare till stormästarnivån - Hur beräknar man dubbelintegralen? Exempel på lösningar. Jag ska försöka att inte vara så manisk i den andra artikeln =)
Önskar dig framgång!
Lösningar och svar:
Exempel 2:Lösning:
Rita ett område på ritningen:
Låt oss välja följande ordningsföljd för regionen:
På det här sättet:
Låt oss gå vidare till omvända funktioner:
På det här sättet:
Svar:
Exempel 4:Lösning:
Låt oss gå vidare till direkta funktioner:
Låt oss utföra ritningen:
Låt oss ändra ordningen för att korsa området:
Svar:
Områdesövergångsordning:
På det här sättet:
1)
2)
Svar:
I föregående avsnitt, ägnat åt analysen av den geometriska betydelsen av en bestämd integral, fick vi ett antal formler för att beräkna arean av en krökt trapets:
S (G) = ∫ a b f (x) d x för en kontinuerlig och icke-negativ funktion y = f (x) på segmentet [ a ; b] ,
S (G) = - ∫ a b f (x) d x för en kontinuerlig och icke-positiv funktion y = f (x) på segmentet [ a ; b] .
Dessa formler är tillämpliga för att lösa relativ enkla uppgifter. Faktum är att vi ofta måste arbeta med mer komplexa former. I detta avseende kommer vi att ägna det här avsnittet till analysen av algoritmer för att beräkna arean av figurer, som är begränsade av funktioner i explicit form, dvs. som y = f(x) eller x = g(y) .
SatsLåt funktionerna y = f 1 (x) och y = f 2 (x) vara definierade och kontinuerliga på segmentet [ a ; b ], och f 1 (x) ≤ f 2 (x) för något värde x från [a; b] . Sedan kommer formeln för att beräkna arean av en figur G avgränsad av linjer x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) och y \u003d f 2 (x) se ut som S ( G) \u003d ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x .
En liknande formel kommer att vara tillämplig för området för figuren som avgränsas av linjerna y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) och x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y) d y .
Bevis
Vi kommer att analysera tre fall för vilka formeln kommer att vara giltig.
I det första fallet, med hänsyn till områdets additivitetsegenskap, är summan av ytorna i den ursprungliga figuren G och den kurvlinjära trapetsen G 1 lika med arean av figuren G 2 . Det betyder att
Därför är S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x .
Vi kan utföra den sista övergången med hjälp av den definitiva integralens tredje egenskap.
I det andra fallet är likheten sann: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( x) - f 1 (x)) d x
Den grafiska illustrationen kommer att se ut så här:
Om båda funktionerna är icke-positiva får vi: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) d x . Den grafiska illustrationen kommer att se ut så här:
Låt oss gå vidare till övervägandet av det allmänna fallet när y = f 1 (x) och y = f 2 (x) skär axeln O x .
Vi kommer att beteckna skärningspunkterna som x i , i = 1 , 2 , . . . n-1. Dessa punkter bryter segmentet [a ; b] i n delar x i-1; x i, i = 1, 2, . . . , n , där α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n
Följaktligen,
S (G) = ∑ i = 1 n S (G i) = ∑ i = 1 n ∫ x i x i f 2 (x) - f 1 (x)) d x = = ∫ x 0 x n (f 2 (x) - f ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x
Vi kan göra den sista övergången genom att använda den femte egenskapen hos den bestämda integralen.
Låt oss illustrera det allmänna fallet i grafen.
Formeln S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x kan anses bevisad.
Och låt oss nu gå vidare till analysen av exempel på beräkning av arean av figurer som är begränsade av linjerna y \u003d f (x) och x \u003d g (y) .
Med tanke på något av exemplen börjar vi med att bygga en graf. Bilden kommer att tillåta oss att representera komplexa former som kombinationer av enklare former. Om det är svårt för dig att rita grafer och former på dem, kan du studera avsnittet om grundläggande elementära funktioner, geometrisk transformation av grafer av funktioner samt plottning under studiet av en funktion.
Exempel 1
Det är nödvändigt att bestämma området för figuren, som begränsas av parabeln y \u003d - x 2 + 6 x - 5 och raka linjer y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.
Lösning
Låt oss rita upp linjerna på grafen i det kartesiska koordinatsystemet.
På intervallet [ 1 ; 4] grafen för parabeln y = - x 2 + 6 x - 5 ligger ovanför den räta linjen y = - 1 3 x - 1 2 . I detta avseende, för att få ett svar, använder vi formeln som erhållits tidigare, såväl som metoden för att beräkna en bestämd integral med hjälp av Newton-Leibniz formel:
S (G) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13
Svar: S (G) = 13
Låt oss titta på ett mer komplext exempel.
Exempel 2
Det är nödvändigt att beräkna arean av figuren, som är begränsad av linjerna y = x + 2 , y = x , x = 7 .
Lösning
I det här fallet har vi bara en rät linje parallell med x-axeln. Detta är x = 7. Detta kräver att vi själva hittar den andra integrationsgränsen.
Låt oss bygga en graf och sätta på den de linjer som ges i problemets tillstånd.
Med en graf framför ögonen kan vi enkelt bestämma att den nedre gränsen för integration kommer att vara abskissan för grafens skärningspunkt med en rät linje y \u003d x och en semiparabel y \u003d x + 2. För att hitta abskissan använder vi likheterna:
y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O D G x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O D G
Det visar sig att skärningspunktens abskiss är x = 2.
Vi uppmärksammar dig på det faktum att i det allmänna exemplet i ritningen skär linjerna y = x + 2, y = x i punkten (2; 2), så sådana detaljerade beräkningar kan verka överflödiga. Vi har tillhandahållit en så detaljerad lösning här bara för att lösningen i mer komplexa fall kanske inte är så självklar. Detta innebär att det är bättre att alltid beräkna koordinaterna för skärningspunkten av linjer analytiskt.
På intervallet [ 2 ; 7 ] grafen för funktionen y = x är placerad ovanför grafen för funktionen y = x + 2 . Använd formeln för att beräkna arean:
S (G) = ∫ 2 7 (x - x + 2) d x = x 2 2 - 2 3 (x + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6
Svar: S (G) = 59 6
Exempel 3
Det är nödvändigt att beräkna arean av figuren, som begränsas av graferna för funktionerna y \u003d 1 x och y \u003d - x 2 + 4 x - 2.
Lösning
Låt oss rita linjer på grafen.
Låt oss definiera gränserna för integration. För att göra detta bestämmer vi koordinaterna för linjernas skärningspunkter genom att likställa uttrycken 1 x och - x 2 + 4 x - 2 . Förutsatt att x inte är lika med noll, blir likheten 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 ekvivalent med ekvationen i tredje graden - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 med heltalskoefficienter . Du kan uppdatera minnet av algoritmen för att lösa sådana ekvationer genom att hänvisa till avsnittet "Lösning av kubiska ekvationer".
Roten till denna ekvation är x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0.
Om uttrycket - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 divideras med binomialet x - 1, får vi: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0
Vi kan hitta de återstående rötterna från ekvationen x 2 - 3 x - 1 = 0:
x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 1 (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3 . 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3
Vi har hittat ett intervall x ∈ 1; 3 + 13 2 , där G är inneslutet ovanför den blå linjen och under den röda linjen. Detta hjälper oss att bestämma formens yta:
S (G) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - ln 1 = 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Svar: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2
Exempel 4
Det är nödvändigt att beräkna arean av figuren, som begränsas av kurvorna y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 och x-axeln.
Lösning
Låt oss lägga alla linjerna på grafen. Vi kan få grafen för funktionen y = - log 2 x + 1 från grafen y = log 2 x om vi placerar den symmetriskt kring x-axeln och flyttar den upp en enhet. Ekvationen för x-axeln y \u003d 0.
Låt oss beteckna linjernas skärningspunkter.
Som framgår av figuren skär graferna för funktionerna y \u003d x 3 och y \u003d 0 i punkten (0; 0) . Detta beror på att x \u003d 0 är den enda riktiga roten av ekvationen x 3 \u003d 0.
x = 2 är den enda roten av ekvationen - log 2 x + 1 = 0 , så graferna för funktionerna y = - log 2 x + 1 och y = 0 skär varandra i punkten (2 ; 0) .
x = 1 är den enda roten av ekvationen x 3 = - log 2 x + 1 . I detta avseende skär graferna för funktionerna y \u003d x 3 och y \u003d - log 2 x + 1 vid punkten (1; 1) . Det sista påståendet kanske inte är uppenbart, men ekvationen x 3 \u003d - log 2 x + 1 kan inte ha mer än en rot, eftersom funktionen y \u003d x 3 ökar strikt och funktionen y \u003d - log 2 x + 1 är strikt minskande.
Nästa steg innebär flera alternativ.
Alternativ nummer 1
Vi kan representera figuren G som summan av två kurvlinjära trapezoider belägna ovanför abskissaxeln, varav den första är belägen under mittlinjen på segmentet x ∈ 0; 1 , och den andra är under den röda linjen på segmentet x ∈ 1 ; 2. Det betyder att arean blir lika med S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x .
Alternativ nummer 2
Figuren G kan representeras som skillnaden mellan två figurer, varav den första är placerad ovanför x-axeln och under den blå linjen på segmentet x ∈ 0; 2 , och den andra är mellan de röda och blå linjerna på segmentet x ∈ 1 ; 2. Detta gör att vi kan hitta området så här:
S (G) = ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x
I det här fallet, för att hitta området, måste du använda en formel av formen S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Faktum är att linjerna som binder formen kan representeras som funktioner av y-argumentet.
Låt oss lösa ekvationerna y = x 3 och - log 2 x + 1 med avseende på x:
y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y
Vi får det område som krävs:
S (G) = ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) d y = - 2 1 - y ln 2 - y 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 ln 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 = - 1 ln 2 - 1 4 + 2 ln 2 = 1 ln 2 - 1 4
Svar: S (G) = 1 ln 2 - 1 4
Exempel 5
Det är nödvändigt att beräkna arean av figuren, som är begränsad av linjerna y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.
Lösning
Rita en linje på diagrammet med en röd linje, givet av funktionen y = x . Rita linjen y = - 1 2 x + 4 i blått, och markera linjen y = 2 3 x - 3 i svart.
Notera skärningspunkterna.
Hitta skärningspunkterna för graferna för funktionerna y = x och y = - 1 2 x + 4:
x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 i är lösningen till ekvationen x 2 = 4 = 2 , - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 är lösningen till ekvationen ⇒ (4 ; 2) skärningspunkt i y = x och y = - 1 2 x + 4
Hitta skärningspunkten för graferna för funktionerna y = x och y = 2 3 x - 3:
x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 Kontroll: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 är lösningen till ekvationen ⇒ (9; 3) punkt och skärningspunkt y = x och y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2 , 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 är inte en lösning på ekvationen
Hitta skärningspunkten för linjerna y = - 1 2 x + 4 och y = 2 3 x - 3:
1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 1) skärningspunkt y = - 1 2 x + 4 och y = 2 3 x - 3
Metod nummer 1
Vi representerar arean av den önskade figuren som summan av areorna för enskilda figurer.
Då är figurens yta:
S (G) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3
Metod nummer 2
Arean av den ursprungliga figuren kan representeras som summan av de två andra figurerna.
Sedan löser vi linjeekvationen för x, och först efter det tillämpar vi formeln för att beräkna arean av figuren.
y = x ⇒ x = y 2 röd linje y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 svart linje y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i i l i n i i
Så området är:
S (G) = ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 d y + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3
Som du kan se matchar värdena.
Svar: S (G) = 11 3
Resultat
För att hitta arean av en figur som är avgränsad av givna linjer måste vi rita linjer på ett plan, hitta deras skärningspunkter och tillämpa formeln för att hitta arean. I det här avsnittet har vi gått igenom de vanligaste alternativen för uppgifter.
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
a)
Lösning.
Det första och viktigaste ögonblicket i beslutet är konstruktionen av en ritning.
Låt oss göra en ritning:
Ekvationen y=0 ställer in x-axeln;
- x=-2 och x=1 - rakt, parallellt med axeln OU;
- y \u003d x 2 +2 - en parabel vars grenar är riktade uppåt, med en vertex i punkten (0;2).
Kommentar. För att konstruera en parabel räcker det att hitta punkterna för dess skärningspunkt med koordinataxlarna, d.v.s. sätta x=0 hitta skärningspunkten med axeln OU och bestämma lämpligt andragradsekvation, hitta skärningspunkten med axeln Åh .
Spetsen på en parabel kan hittas med formlerna:
Du kan rita linjer och punkt för punkt.
På intervallet [-2;1] grafen för funktionen y=x2+2 belägen över axeln Oxe , det är därför:
Svar: S \u003d 9 kvadratenheter
När uppgiften är klar är det alltid bra att titta på ritningen och ta reda på om svaret är sant. I det här fallet, "med ögat" räknar vi antalet celler i ritningen - ja, cirka 9 kommer att skrivas, det verkar vara sant. Det är helt klart att om vi hade, säg, svaret: 20 kvadratiska enheter, då gjordes uppenbarligen ett misstag någonstans - 20 celler passar uppenbarligen inte in i figuren i fråga, högst ett dussin. Om svaret visade sig vara negativt löstes också uppgiften felaktigt.
Vad ska man göra om den kurvlinjära trapetsen är lokaliserad under axeln Åh?
b) Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer y=-e x , x=1 och koordinataxlar.
Lösning.
Låt oss göra en ritning.
Om en kurvlinjär trapets helt under axeln Åh , då kan dess area hittas med formeln:
Svar: S=(e-1) kvm enhet" 1,72 kvm enhet
Uppmärksamhet! Blanda inte ihop de två typerna av uppgifter:
1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.
2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minuset visas i den just betraktade formeln.
I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet.
Med) Hitta arean av en plan figur avgränsad av linjer y \u003d 2x-x 2, y \u003d -x.
Lösning.
Först måste du göra en ritning. Generellt sett är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter när vi konstruerar en ritning i områdesproblem. Låt oss hitta skärningspunkterna för parabeln och linjen. Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt.
Vi löser ekvationen:
Så den nedre gränsen för integration a=0 , den övre gränsen för integration b=3 .
|
Vi bygger givna rader: 1. Parabel - vertex vid punkten (1;1); axelskärning Åh - poäng (0;0) och (0;2). 2. Rak linje - bisektrisen för 2:a och 4:e koordinatvinklarna. Och nu OBS! Om på segmentet [ a;b] någon kontinuerlig funktion f(x) större än eller lika med någon kontinuerlig funktion g(x), då kan området för motsvarande figur hittas med formeln: . Och det spelar ingen roll var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, utan det är viktigt vilket diagram som är HÖGRE (i förhållande till ett annat diagram), och vilket som är UNDER. I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från |
Det är möjligt att konstruera linjer punkt för punkt, medan integrationens gränser upptäcks som "av sig själva". Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränserna ibland användas om till exempel grafen är tillräckligt stor, eller om den gängade konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella).
Den önskade figuren begränsas av en parabel ovanifrån och en rak linje underifrån.
På segmentet enligt motsvarande formel:
Svar: S \u003d 4,5 kvm enheter
Varje bestämd integral (som finns) har en mycket bra geometrisk betydelse. I klassen sa jag att en bestämd integral är ett tal. Och nu är det dags att konstatera ytterligare ett användbart faktum. Ur geometrins synvinkel är den bestämda integralen AREA.
Det är, den bestämda integralen (om den finns) motsvarar geometriskt arean av någon figur. Tänk till exempel på den bestämda integralen . Integranden definierar en viss kurva på planet (den kan alltid ritas om så önskas), och den bestämda integralen i sig är numeriskt lika med arean av motsvarande kurvlinjära trapets.
Exempel 1
Detta är en typisk uppgiftsbeskrivning. Det första och viktigaste ögonblicket i beslutet är konstruktionen av en ritning. Dessutom måste ritningen byggas HÖGER.
När du bygger en ritning rekommenderar jag följande ordning: först det är bättre att konstruera alla linjer (om några) och endast efter- paraboler, hyperbler, grafer för andra funktioner. Funktionsdiagram är mer lönsamma att bygga punkt till punkt, tekniken för punktvis konstruktion finns i referensmaterialet.
Där kan du också hitta material som är mycket användbart i relation till vår lektion – hur man snabbt bygger en parabel.
I det här problemet kan lösningen se ut så här.
Låt oss rita (observera att ekvationen definierar axeln):
Jag kommer inte att kläcka en kurvlinjär trapets, det är uppenbart vilket område vi pratar om här. Lösningen fortsätter så här:
På segmentet finns grafen för funktionen över axeln, det är därför:
Svar:
För dem som har svårt att beräkna den bestämda integralen och tillämpa Newton-Leibniz formel, vänligen hänvisa till föreläsningen Definitiv integral. Exempel på lösningar.
När uppgiften är klar är det alltid bra att titta på ritningen och ta reda på om svaret är sant. I det här fallet, "med ögat" räknar vi antalet celler i ritningen - ja, cirka 9 kommer att skrivas, det verkar vara sant. Det är helt klart att om vi hade, säg, svaret: 20 kvadratenheter, så gjordes uppenbarligen ett misstag någonstans - 20 celler passar uppenbarligen inte in i figuren i fråga, högst ett dussin. Om svaret visade sig vara negativt löstes också uppgiften felaktigt.
Exempel 2
Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna , , och axeln
Detta är ett gör-det-själv-exempel. Komplett lösning och svaret i slutet av lektionen.
Vad ska man göra om den kurvlinjära trapetsen är lokaliserad under axeln?
Exempel 3
Beräkna arean av figuren avgränsad av linjer och koordinataxlar.
Lösning: Låt oss göra en ritning:
Om en kurvlinjär trapets helt under axeln, då kan dess area hittas med formeln:
I detta fall:
Uppmärksamhet! De två typerna av uppgifter bör inte förväxlas:
1) Om du blir ombedd att lösa bara en bestämd integral utan någon geometrisk betydelse, så kan den vara negativ.
2) Om du blir ombedd att hitta arean av en figur med hjälp av en bestämd integral, är arean alltid positiv! Det är därför minuset visas i den just betraktade formeln.
I praktiken är figuren oftast placerad i både det övre och nedre halvplanet, och därför går vi vidare från de enklaste skolproblemen till mer meningsfulla exempel.
Exempel 4
Hitta arean av en platt figur avgränsad av linjer, .
Lösning: Först måste du göra en ritning. Generellt sett är vi mest intresserade av linjers skärningspunkter när vi konstruerar en ritning i områdesproblem. Låt oss hitta skärningspunkterna för parabeln och linjen. Detta kan göras på två sätt. Det första sättet är analytiskt. Vi löser ekvationen:
Därför den nedre gränsen för integration, den övre gränsen för integration.
Det är bättre att inte använda denna metod om möjligt.
Det är mycket mer lönsamt och snabbare att bygga linjerna punkt för punkt, medan gränserna för integrationen upptäcks som "av sig själva". Den punktvisa konstruktionstekniken för olika diagram diskuteras i detalj i hjälpen Grafer och egenskaper hos elementära funktioner. Ändå måste den analytiska metoden för att hitta gränserna ibland användas om till exempel grafen är tillräckligt stor, eller om den gängade konstruktionen inte avslöjade gränserna för integration (de kan vara bråkdelar eller irrationella). Och vi kommer också att överväga ett sådant exempel.
Vi återgår till vår uppgift: det är mer rationellt att först konstruera en rät linje och först sedan en parabel. Låt oss göra en ritning:
Jag upprepar att med punktvis konstruktion upptäcks gränserna för integrationen oftast "automatiskt".
Och nu arbetsformeln: Om på ett segment någon kontinuerlig funktion större än eller lika med någon kontinuerlig funktion, då kan arean av motsvarande figur hittas med formeln:
Här är det inte längre nödvändigt att tänka på var figuren är placerad - ovanför axeln eller under axeln, och grovt sett, det spelar roll vilket diagram som är OVAN(i förhållande till en annan graf), och vilken är UNDER.
I exemplet under övervägande är det uppenbart att på segmentet är parabeln belägen ovanför den räta linjen, och därför är det nödvändigt att subtrahera från
Slutförandet av lösningen kan se ut så här:
Den önskade figuren begränsas av en parabel ovanifrån och en rak linje underifrån.
Svar:
Faktum är att skolformeln för arean av en kurvlinjär trapets i det nedre halvplanet (se enkelt exempel nr 3) är ett specialfall av formeln. Eftersom axeln ges av ekvationen och grafen för funktionen är placerad under axeln, så
Och nu ett par exempel för en oberoende lösning
Exempel 5
Exempel 6
Hitta arean av figuren som omges av linjerna, .
I samband med att lösa problem för att beräkna arean med hjälp av en viss integral inträffar ibland en rolig incident. Ritningen gjordes korrekt, beräkningarna var korrekta, men på grund av ouppmärksamhet ... hittade området för fel figur, det var så din lydiga tjänare skruvade ihop flera gånger. Här är ett fall från verkligheten:
Exempel 7
Beräkna arean av figuren avgränsad av linjerna , , , .
Låt oss rita först:
Figuren vars område vi behöver hitta är skuggad i blått.(titta noga på skicket - hur siffran är begränsad!). Men i praktiken, på grund av ouppmärksamhet, händer det ofta att du behöver hitta området på figuren som är skuggad i grönt!
Det här exemplet är också användbart eftersom området för figuren i det beräknas med två bestämda integraler. Verkligen:
1) På segmentet ovanför axeln finns en rät linjegraf;
2) På segmentet ovanför axeln finns en hyperbelgraf.
Det är ganska uppenbart att områdena kan (och bör) läggas till, därför:
Svar:
Exempel 8
Beräkna arean av en figur avgränsad av linjer,
Låt oss presentera ekvationerna i en "skola"-form och utföra en punkt-för-punkt-ritning:
Det framgår av ritningen att vår övre gräns är "bra": .
Men vad är den nedre gränsen? Det är tydligt att detta inte är ett heltal, men vad? Kanske ? Men var finns garantin att ritningen är gjord med perfekt noggrannhet, det kan det mycket väl visa sig. Eller rot. Tänk om vi inte plottade rätt alls?
I sådana fall måste man lägga ytterligare tid och förfina gränserna för integration analytiskt.
Låt oss hitta skärningspunkterna för linjen och parabeln.
För att göra detta löser vi ekvationen:
Följaktligen.
Den ytterligare lösningen är trivial, det viktigaste är att inte bli förvirrad i substitutioner och tecken, beräkningarna här är inte de lättaste.
På segmentet enligt motsvarande formel:
Tja, som avslutning på lektionen kommer vi att överväga två uppgifter som är svårare.
Exempel 9
Beräkna arean av figuren avgränsad av linjer, ,
Lösning: Rita denna figur på ritningen.
För punkt-för-punkt-konstruktion av en ritning är det nödvändigt att känna till utseendet på sinusoiden (och i allmänhet är det användbart att veta grafer över alla elementära funktioner), samt vissa sinusvärden, de finns i trigonometrisk tabell. I vissa fall (som i detta fall) är det tillåtet att konstruera en schematisk ritning, på vilken grafer och integrationsgränser måste visas i princip korrekt.
Det är inga problem med integrationsgränserna här, de följer direkt av villkoret: - "x" ändras från noll till "pi". Vi fattar ett ytterligare beslut:
På segmentet är grafen för funktionen placerad ovanför axeln, därför:
(1) Hur sinus och cosinus är integrerade i udda potenser kan ses i lektionen Integraler av trigonometriska funktioner. Detta är en typisk teknik, vi nyper bort en sinus.
(2) Vi använder den grundläggande trigonometriska identiteten i formuläret
(3) Låt oss ändra variabeln och sedan:
Nya omfördelningar av integration:
Vem är riktigt dålig med substitutioner, gå till lektionen Ersättningsmetod i obestämd integral. För de som inte är särskilt tydliga med ersättningsalgoritmen i en bestämd integral, besök sidan Definitiv integral. Exempel på lösningar. Exempel 5: Lösning: så:
Svar:
Notera: notera hur integralen av tangenten i kuben tas, följden av den grundläggande trigonometriska identiteten används här.
