Spel

10 sätt att lösa kvadrat. Metoder för att lösa andragradsekvationer. Historia om utvecklingen av andragradsekvationer

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif" height="952"> MOU "Sergievskaya Secondary School"

Kompletterad av: Sizikov Stanislav

Lärare:

Med. Sergievka, 2007

1. Introduktion. Andragradsekvationer i det antika Babylon……………….3

2. Andragradsekvationer i Diaphant…………..……………………………………….4

3. Andragradsekvationer i Indien ………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………

4. Andragradsekvationer i al-Khorezmi …………………………………………..6

5. Andragradsekvationer i Europa XIII - XYII………………………………...7

6. Om Vieta-satsen …………………………………………………………………………..9

7. Tio sätt att lösa andragradsekvationer…………………………..10

8. Slutsats …………………………………………………………………………20

9. Referenser …………………………………………………………...21

Introduktion

Kvadratisk ekvation

Andragradsekvationer är grunden på vilken algebrans majestätiska byggnad vilar. Andragradsekvationer används ofta för att lösa trigonometriska, exponentiella, logaritmiska, irrationella ekvationer. Vi vet alla hur man löser andragradsekvationer, från och med årskurs 8. Men hur uppstod och utvecklades historien om att lösa andragradsekvationer?

Andragradsekvationer i det antika Babylon

Behovet av att lösa ekvationer inte bara av den första, utan också av den andra graden, tillbaka i antiken, orsakades av behovet av att lösa problem relaterade till att hitta markområdena; jordarbeten av militär natur, samt med själva utvecklingen av astronomi och matematik. Andragradsekvationer kunde lösa omkring 2000 f.Kr. e. Babyloniernas. Med modern algebraisk notation kan vi säga att i deras kilskriftstexter, förutom ofullständiga, finns det till exempel kompletta andragradsekvationer: x2 + x = , : x2 - x = 14https://pandia.ru/text/ 78/082 /images/image005_150.gif" width="16" height="41 src=">)2 + 12 = x; Bhaskara skriver under täckmantel

x2- 64X = - 768

och för att slutföra den vänstra sidan av denna ekvation till kvadraten, lägger han till 322 på båda sidorna och får då: x2- 64x + 322 = - 768 + 1024;

(X- 32)2 = 256; X - 32 = ± 16, xt = 16, hg= 48.

Andragradsekvationer i al - Khorezmi

Al-Khwarizmis algebraiska avhandling ger en klassificering av linjära och andragradsekvationer. Författaren listar 6 typer av ekvationer, som uttrycker dem enligt följande:

1) "Kvadrater är lika med rötter", d.v.s. ax2 = in.

2) "Kvadrater är lika med tal", dvs. ah2= Med.

3) "Rötterna är lika med antalet", d.v.s. ah = s.

4) ”Kvadrater och tal är lika med rötter”, dvs. ah2+ c = in.

5) ”Kvadrater och rötter är lika med antal”, dvs. ah2+ i = s.

6) "Rötter och tal är lika med kvadrater", d.v.s. i+ c \u003d ax2. För al-Khwarizmi, som undvek användningen av negativa tal, är termerna för var och en av dessa ekvationer adderingar, inte subtraktioner. I detta fall tas uppenbarligen inte hänsyn till ekvationer som inte har positiva lösningar. Författaren anger metoder för att lösa dessa ekvationer. Hans beslut sammanfaller naturligtvis inte helt med vårt. För att inte tala om det faktum att det är rent retoriskt, det bör till exempel noteras att när man löser en ofullständig andragradsekvation av den första typen tar al-Khwarizmi, liksom alla matematiker före 1600-talet, inte hänsyn till nollan lösning, förmodligen för att det i specifika praktiska uppgifter inte spelar någon roll. När man löser fullständiga andragradsekvationer, anger al-Khwarizmi reglerna för att lösa dem med hjälp av speciella numeriska exempel, och sedan deras geometriska bevis.

Låt oss ta ett exempel.

Uppgift 14. ”Kvadraten och talet 21 är lika med 10 rötter. Hitta roten "(vilket betyder roten till ekvationen x2+ 21 = 10X).

Författarens lösning går ungefär så här: dela antalet rötter på mitten, du får 5, multiplicera 5 med sig själv, subtrahera 21 från produkten, 4 återstår Ta roten av 4, du får 2. Subtrahera 2 från 5, du få 3 kommer detta att vara den önskade roten. Eller lägg till 2 till 5, vilket ger 7, detta är också en rot.

Avhandlingen om al-Khwarizmi är den första bok som har kommit ner till oss, där klassificeringen av andragradsekvationer presenteras systematiskt och formler för deras lösning ges.

Andragradsekvationer i EuropaXIII- XVIIårhundraden

Formlerna för att lösa andragradsekvationer på modellen av al-Khwarizmi i Europa presenterades först i Abacusboken (publicerad i Rom i mitten av förra seklet, Fibonacciboken om Abacus innehåller 459 sidor), skriven i 1202 av den italienske matematikern Leonardo Fibonacci. Detta omfattande verk, som återspeglar inflytandet från matematiken från både islams länder och antikens Grekland, kännetecknas av både fullständighet och klarhet i presentationen. Författaren utvecklade självständigt några nya algebraiska exempel på problemlösning och det första i Europa närmade sig införandet av negativa siffror. Hans bok bidrog till spridningen av algebraisk kunskap inte bara i Italien, utan även i Tyskland, Frankrike och andra europeiska länder. Många uppgifter från Abacusboken gick över i nästan alla europeiska läroböcker på 1500- och 1600-talen. och delvis XVIII.

Allmän regel för att lösa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form x2+ i = s, för alla möjliga kombinationer av tecken för koefficienterna i, med formulerades i Europa först 1544. M. Stiefel.

Vieta har en allmän härledning av formeln för att lösa en andragradsekvation, men Vieta kände bara igen positiva rötter. De italienska matematikerna Tartaglia, Cardaco, Bombelli var bland de första på 1500-talet. ta hänsyn, förutom positiva, och negativa rötter. Endast under XVII-talet. tack vare arbeten av Girard, Descartes, Newton och andra vetenskapsmän tar metoden för att lösa andragradsekvationer en modern form.

Om Vietas sats

Satsen som uttrycker förhållandet mellan koefficienterna för en andragradsekvation och dess rötter, som bär namnet Vieta, formulerades av honom för första gången 1591 på följande sätt: "Om PÅ+ D, multiplicerat med MEN minus- A2, lika BD, sedan MEN lika PÅ och lika D».

För att förstå Vieta måste man komma ihåg det MEN, som vilken som helst
vokal, menad för honom okänd (vår X), vokaler
PÅ,D- koefficienter för det okända. På modern algebras språk betyder Vietas formulering ovan: om

(a+ c) x - x 2 = ab, x2 - (a+ b) x + ab = 0, xl = a, x2 = b.

Genom att uttrycka förhållandet mellan rötter och koefficienter av ekvationer med allmänna formler skrivna med symboler, etablerade Viet enhetlighet i metoderna för att lösa ekvationer. Men symboliken i Vieta är fortfarande långt ifrån sin moderna form. Han kände inte igen negativa tal och därför, när han löste ekvationer, övervägde han endast fall där alla rötter är positiva.

Tio sätt att lösa kvadratiska ekvationer

I skolkursen i matematik studeras formlerna för rötterna till andragradsekvationer, med hjälp av vilka du kan lösa vilka andragradsekvationer som helst. Det finns dock andra sätt att lösa andragradsekvationer som gör att du kan lösa många ekvationer mycket snabbt och rationellt. Det finns tio sätt att lösa andragradsekvationer. Låt oss överväga var och en av dem.

1. Faktorisering av vänster sida av ekvationen

Låt oss lösa ekvationen x2+ 10X- 24 = 0. Låt oss faktorisera vänster sida av ekvationen:

x2 + 10x - 24 = x2 + 12x - 2x - 24 =

X(x + x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Därför kan ekvationen skrivas om som:

( X + 12)(x - 2) = 0.

Eftersom produkten är noll, är åtminstone en av dess faktorer noll. Därför försvinner den vänstra sidan av ekvationen när x = 2, liksom X= - 12. Det betyder att talen 2 och - 12 är rötterna till ekvationen x2 + 10x - 24 = 0.

2. Hel kvadratisk urvalsmetod

Låt oss förklara denna metod med ett exempel.

Låt oss lösa ekvationen x2 + 6x - 7 = 0. Välj en hel kvadrat på vänster sida. För att göra detta skriver vi uttrycket x2 + 6x i följande form:

x2 + 6x = x2 + 2*x*3.

I det resulterande uttrycket är den första termen kvadraten av talet x, och den andra är dubbelprodukten av x med 3. Därför måste du lägga till 32 för att få hela kvadraten, eftersom

x2 + 2 x 3 + 32 = (x + 3)2.

Vi transformerar nu vänster sida av ekvationen

x2 + 6x - 7 = 0,

lägga till och subtrahera 32. Vi har:

x2 + 6x - 7 = x2 + 2 X 3 +– 7 = (X- \u003d (x - Z) 2 - 16 .

Således kan denna ekvation skrivas på följande sätt:

(x + = 0, dvs (x + 3)2 = 16.

Följaktligen, X+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1, eller x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7.

3. Lösning av andragradsekvationer med formeln

Multiplicera båda sidor av ekvationen

ah2+ i+ c = 0, a ≠ 0, på 4a och vi har successivt:

4a2 x2 + 4abx+ 4ac = 0,

((2ax)2 + 2 axb + b2 ) - b2 + 4ac= 0,

(2ax +b)2 = in2- 4ac,

2ax+ b= ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif" width="71" height="27">, x1,2 =

När det gäller en positiv diskriminant, d.v.s. med v2 - 4ac > 0, ekvation ah2+ i + s= 0 har två olika rötter.

Om diskriminanten är noll, dvs. v2 - 4ac = 0, sedan ekvationen ah2+ i+ Med= 0 har en enda rot, x = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif" width="14" height="62"> Dess rötter uppfyller Vieta-satsen, som, när a= 1 har formen

x1 x2 = q,

x1 + x2 = - R.

Av detta kan vi dra följande slutsatser (genom koefficienterna R och q rottecken kan förutsägas).

a) Om en gratis medlem q reducerad ekvation (1)
positiv (q> 0), då har ekvationen två identiska
med rotens tecken och det beror på den andra koefficienten R
Om en R> 0, då är båda rötterna negativa if R< 0, sedan båda
rötter är positiva.

Till exempel,

x2- 3X + 2 = 0; x1= 2 och x2 = 1, sedan q = 2 > 0 u sid = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 = 0; x 1 \u003d - 7 och x2 \u003d - 1, sedan q= 7 > 0 och R = 8 > 0.

b) Om en gratis medlem q reducerad ekvation (1)
negativ (q < 0), då har ekvationen två rötter med olika tecken, och den större roten i absolut värde kommer att vara positiv om R< 0, eller negativ om p > 0.

Till exempel,

x2 + 4x - 5 = 0; x1 \u003d - 5 och x2 \u003d 1, sedan q = - 5 < 0 и R= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 = 0; x1 = 9 och x2= - 1 eftersom q = - 9 < и R= - 8 < 0.

5. Lösning av ekvationer med metoden "överföring"

Tänk på andragradsekvationen ax2 + in+ c = 0, var a ≠ 0. Multiplicera båda dess delar med a, vi får ekvationen a2x2+abx+ ess= 0.

Låta ah = y var X=; då kommer vi till ekvationen

y2+ förbi+ ac = 0,

motsvarande denna. dess rötter y1 och y2 hitta med hjälp av Vietas sats. Äntligen får vi x1= https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif" width="24" height="43">.

Med denna metod, koefficienten a multipliceras med den fria termen, som om den "kastades" till den, vilket är anledningen till att den kallas överföringsmetod. Denna metod används när det är lätt att hitta rötterna till en ekvation med hjälp av Vietas sats och, viktigast av allt, när diskriminanten är en exakt kvadrat.

1. Lös ekvationen 2x2 - 11x + 15 = 0.

Lösning. Låt oss "överföra" koefficienten 2 till den fria termen, som ett resultat får vi ekvationen

y2 - 11 på+ 30 = 0.

Enligt Vieta-satsen är y1 = 5, y2 = 6, därav x1 = https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif" width="16 height=41" height="41" >, t e.

x1 = 2,5 x2 = 3.

Svar: 2,5; 3.

6. Egenskaper för kvadratens koefficienterekvationer

A. Låt en andragradsekvation ges

ax2 + in + c= 0, där a ≠ 0.

1. Om ett + i + med= 0 (dvs summan av ekvationens koefficienter är lika med noll), då x1 = 1, x2 = .

2. Om a - b + c= 0, ellerb = a + c, sedan x1 = - 1, X 2 = - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif" width="44 height=41" height="41">.

Svar: 1; 184">

Följande fall är möjliga:

En rät linje och en parabel kan skära varandra i två punkter, skärningspunkternas abskiss är rötterna till en andragradsekvation;

En rät linje och en parabel kan beröra (endast en gemensam punkt), det vill säga att ekvationen har en lösning;

Den räta linjen och parabeln har inga gemensamma punkter, det vill säga andragradsekvationen har inga rötter.

Exempel.

1. Låt oss grafiskt lösa ekvationen x2 - 3x - 4 = 0 (Fig. 2).

Lösning. Vi skriver ekvationen i formen x2 = 3x + 4.

Låt oss bygga en parabel y = x2 och direkt y= 3x + 4. Direkt på= 3x + 4 kan konstrueras från två punkter M(0; 4) och N(3; 13). En linje och en parabel skär varandra i två punkter A till B med abskiss x1= - 1 och x2 = 4.

Svar: x1= - 1, x, = 4.

8. Lösa andragradsekvationer med kompass och rätsida

Det grafiska sättet att lösa andragradsekvationer med hjälp av en parabel är obekvämt. Om du bygger en parabel punkt för punkt, tar det mycket tid, och graden av noggrannhet för de erhållna resultaten är låg.

Vi föreslår följande metod för att hitta rötterna till en andragradsekvation

ah2+ i+ Med= 0

med hjälp av en kompass och linjal (Fig.).

Låt oss anta att den önskade cirkeln skär abskissaxeln i punkterna B(x1; 0) och D(x2 ; 0), var x1 och x2- rötter till ekvationen ax2 + in+Med=0,
och passerar genom punkterna A(0; 1) och C(0; ) på y-axeln..gif" width="197" height="123">

Så: 1) bygg punkter https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif" width="171" height="45"> cirkeln skär OX-axeln i punkt B(x1;0 ), och D(x1 ; 0), där x1 och x2 - rötter till andragradsekvationen ax2+bx+c = 0.

2) Cirkelns radie är lika med mittens ordinata , cirkeln vidrör x-axeln i punkten B(x1; 0), där xxär roten till andragradsekvationen.

3) Cirkelns radie är mindre än ordinatan för mitten till vänster">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif" width="612" height="372">40" height="14">

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif" width="612" height="432 src=">

Varifrån efter byten och

förenklingar följer ekvationen z2+pz+q=0, och bokstaven z betyder etiketten för vilken punkt som helst på den krökta skalan.

10. Geometrisk metod för att lösa andragradsekvationer

I gamla tider, när geometri var mer utvecklad än algebra, löstes andragradsekvationer inte algebraiskt, utan geometriskt. Låt oss ge ett exempel som har blivit känt från Algebra av al-Khwarizmi.

Och fyra bifogade rutor, dvs S=x2+10x+25. Om vi ersätter x2+10x med 39 får vi S = 39 + 25 = 64, vilket betyder att sidan av kvadraten ABCD, dvs segment AB= 8. För önskad sida X den ursprungliga kvadraten vi får

Slutsats

Vi vet alla hur man löser andragradsekvationer, från skola till examen. Men i matematikkursen studeras formlerna för rötter till andragradsekvationer, med hjälp av vilka eventuella andragradsekvationer kan lösas. Men efter att ha studerat denna fråga djupare var jag övertygad om att det finns andra sätt att lösa andragradsekvationer som gör att du kan lösa många ekvationer mycket snabbt och rationellt.

Kanske är matematiken någonstans där ute i andra dimensioner, inte synlig för ögat - allt skrivs ner och vi får bara alla nya fakta från hålet med världarna? ... Gud vet; men det visar sig att om fysiker, kemister, ekonomer eller arkeologer behöver en ny modell av världens struktur, kan denna modell alltid hämtas från hyllan där matematiker lade den för trehundra år sedan, eller sättas ihop av delar som ligger på samma hylla. Kanske måste dessa delar vridas, anpassas till varandra, poleras, snabbt bearbetas ett par nya teorembussningar; men teorin om resultatet kommer inte bara att beskriva den faktiska situationen som har uppstått, utan också förutsäga konsekvenserna! ...

En märklig sak är detta sinnesspel, som alltid har rätt ...

Litteratur

1. Alimov SHA., Ilyin VA. et al, Algebra, 6-8. Provlärobok för 6-8 årskurser på gymnasiet. - M., utbildning, 1981.

2.Bradis mattetabeller för gymnasiet. Ed. 57:a. - M., Utbildning, 1990. S. 83.

3. Zlotsky - uppgifter i undervisning i matematik. Boken för läraren. - M., utbildning, 1992.

4.M., Matematik (tillägg till tidningen "Första september"), nr 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Okunev funktioner, ekvationer och ojämlikheter. En guide för läraren. - M., utbildning, 1972.

6. Solomnik B. C., Söta frågor och problem i matematik. Ed. 4:a, lägg till. - M., Higher School, 1973.

7.M., Matematik (bilaga till tidningen "Första september"), nr 40, 2000.

Recension

för arbetet med en elev i 11:e klass av MOU "Sergievskaya sekundär

grundskola"

Kopyevskaya lantliga gymnasieskola

10 sätt att lösa kvadratiska ekvationer

Chef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematiklärare

s. Kopyevo, 2007

1. Historia om utvecklingen av andragradsekvationer

1.1 Andragradsekvationer i det antika Babylon

1.2 Hur Diophantus sammanställde och löste andragradsekvationer

1.3 Andragradsekvationer i Indien

1.4 Andragradsekvationer i al-Khwarizmi

1.5 Andragradsekvationer i Europa XIII - XVII århundraden

1.6 Om Vietas sats

2. Metoder för att lösa andragradsekvationer

Slutsats

Litteratur

1. Historia om utvecklingen av andragradsekvationer

1 .1 Kvadratiska ekvationerstridigheter i det forntida Babylon

Behovet av att lösa ekvationer inte bara av den första utan också av den andra graden i forntida tider orsakades av behovet av att lösa problem relaterade till att hitta områden med land och markarbeten av militär karaktär, såväl som utvecklingen av astronomi och matematiken i sig. Andragradsekvationer kunde lösa omkring 2000 f.Kr. e. Babyloniernas.

Genom att tillämpa modern algebraisk notation kan vi säga att det i deras kilskriftstexter finns, förutom ofullständiga, sådana, till exempel, kompletta andragradsekvationer:

X 2 + X = ѕ; X 2 - X = 14,5

Regeln för att lösa dessa ekvationer, som anges i de babyloniska texterna, sammanfaller i huvudsak med den moderna, men det är inte känt hur babylonierna kom till denna regel. Nästan alla kilskriftstexter som hittills hittats ger bara problem med lösningar angivna i form av recept, utan indikation på hur de hittats.

Trots den höga utvecklingen av algebra i Babylon saknar kilskriftstexterna konceptet med ett negativt tal och allmänna metoder för att lösa andragradsekvationer.

1.2 Hur Diophantus sammanställde och löste andragradsekvationer.

Diophantus aritmetik innehåller ingen systematisk framställning av algebra, men den innehåller en systematisk serie problem, åtföljda av förklaringar och lösta genom att rita upp ekvationer av olika grader.

När man sammanställer ekvationer väljer Diophantus skickligt okända för att förenkla lösningen.

Här finns till exempel en av hans uppgifter.

Uppgift 11."Hitta två tal och veta att deras summa är 20 och deras produkt är 96"

Diophantus argumenterar enligt följande: det följer av problemets tillstånd att de önskade talen inte är lika, eftersom om de var lika, så skulle deras produkt inte vara 96, utan 100. Således kommer en av dem att vara mer än hälften av deras summa, dvs. 10+x, den andra är mindre, dvs. 10-tal. Skillnaden mellan dem 2x.

Därav ekvationen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100-tal 2 = 96

X 2 - 4 = 0 (1)

Härifrån x = 2. Ett av de önskade numren är 12 , Övrig 8 . Lösning x = -2 för Diophantus existerar inte, eftersom den grekiska matematiken bara visste positiva tal.

Om vi löser detta problem genom att välja ett av de önskade talen som det okända, kommer vi till lösningen av ekvationen

y(20 - y) = 96,

på 2 - 20 år + 96 = 0. (2)

Det är tydligt att Diophantus förenklar lösningen genom att välja halva skillnaden av de önskade talen som det okända; han lyckas reducera problemet till att lösa en ofullständig andragradsekvation (1).

1.3 Andragradsekvationer i Indien

Problem för andragradsekvationer finns redan i det astronomiska området "Aryabhattam", sammanställt 499 av den indiske matematikern och astronomen Aryabhatta. En annan indisk forskare, Brahmagupta (600-talet), beskrev den allmänna regeln för att lösa andragradsekvationer reducerade till en enda kanonisk form:

Åh 2 + bx = c, a > 0. (1)

I ekvation (1), koefficienterna, utom för a, kan också vara negativt. Brahmaguptas styre sammanfaller i huvudsak med vårt.

I det antika Indien var offentliga tävlingar för att lösa svåra problem vanliga. I en av de gamla indiska böckerna sägs följande om sådana tävlingar: "Som solen överglänser stjärnorna med sin briljans, så kommer en lärd person att överglänsa en annans ära vid offentliga möten, föreslå och lösa algebraiska problem." Uppgifterna var ofta klädda i poetisk form.

Här är ett av problemen med den berömda indiska matematikern från XII-talet. Bhaskara.

Uppgift 13.

"En fräsch flock apor och tolv i vinstockar ...

Har ätit kraft, haft kul. De började hoppa, hänga ...

Del åtta av dem i en fyrkant Hur många apor fanns det,

Ha kul på ängen. Säger du mig, i den här flocken?

Bhaskaras lösning indikerar att han kände till tvåvärdigheten hos andragradsekvationers rötter (fig. 3).

Ekvationen som motsvarar problem 13 är:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under sken av:

X 2 - 64x = -768

och för att göra den vänstra sidan av denna ekvation till en kvadrat lägger han till på båda sidorna 32 2 , får då:

X 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

X 1 = 16, X 2 = 48.

1.4 Kvadratiska ekvationeral-Khorezmi

Al-Khorezmis algebraiska avhandling ger en klassificering av linjära och andragradsekvationer. Författaren listar 6 typer av ekvationer, som uttrycker dem enligt följande:

1) "Kvadrater är lika med rötter", d.v.s. Åh 2 + med =bX.

2) "Kvadrater är lika med tal", d.v.s. Åh 2 = s.

3) "Rötterna är lika med antalet", d.v.s. ah = s.

4) "Kvadrater och tal är lika med rötter", d.v.s. Åh 2 + med =bX.

5) "Kvadrater och rötter är lika med antalet", d.v.s. Åh 2 + bx= s.

6) "Rötter och tal är lika med kvadrater", d.v.s. bx+ c = ax 2 .

För al-Khwarizmi, som undvek användningen av negativa tal, är termerna för var och en av dessa ekvationer adderingar, inte subtraktioner. I detta fall tas uppenbarligen inte hänsyn till ekvationer som inte har positiva lösningar. Författaren beskriver metoderna för att lösa dessa ekvationer med hjälp av metoderna al-jabr och al-muqabala. Hans beslut sammanfaller naturligtvis inte helt med våra. För att inte tala om det faktum att det är rent retoriskt, bör det till exempel noteras att när man löser en ofullständig andragradsekvation av den första typen

al-Khorezmi, som alla matematiker före 1600-talet, tar inte hänsyn till nolllösningen, förmodligen för att den inte spelar någon roll i specifika praktiska problem. När man löser fullständiga andragradsekvationer, anger al-Khorezmi reglerna för att lösa, och sedan geometriska bevis, med hjälp av särskilda numeriska exempel.

Uppgift 14."Kvadraten och talet 21 är lika med 10 rötter. Hitta roten" (om vi antar roten till ekvationen x 2 + 21 = 10x).

Treatise al - Khorezmi är den första bok som har kommit ner till oss, där klassificeringen av andragradsekvationer systematiskt anges och formler för deras lösning ges.

1.5 Andragradsekvationer i EuropaXIII - XVIIårhundraden

Formler för att lösa andragradsekvationer på modellen av al - Khorezmi i Europa presenterades först i "Book of the Abacus", skriven 1202 av den italienske matematikern Leonardo Fibonacci. Detta omfattande arbete, som återspeglar inflytandet från matematiken, både länderna i islam och antikens Grekland, kännetecknas av både fullständighet och klarhet i presentationen. Författaren utvecklade självständigt några nya algebraiska exempel på problemlösning och var den första i Europa som närmade sig införandet av negativa tal. Hans bok bidrog till spridningen av algebraisk kunskap inte bara i Italien, utan även i Tyskland, Frankrike och andra europeiska länder. Många uppgifter från "Abakusboken" passerade in i nästan alla europeiska läroböcker på 1500- och 1600-talen. och delvis XVIII.

Den allmänna regeln för att lösa andragradsekvationer reducerad till en enda kanonisk form:

X 2 + bx= med,

för alla möjliga kombinationer av tecken för koefficienterna b, Med formulerades i Europa först 1544 av M. Stiefel.

Vieta har en allmän härledning av formeln för att lösa en andragradsekvation, men Vieta kände bara igen positiva rötter. De italienska matematikerna Tartaglia, Cardano, Bombelli var bland de första på 1500-talet. Ta hänsyn, förutom positiva och negativa rötter. Endast under XVII-talet. Tack vare arbetet från Girard, Descartes, Newton och andra forskare får sättet att lösa andragradsekvationer ett modernt utseende.

1.6 Om Vietas sats

Satsen som uttrycker förhållandet mellan koefficienterna för en andragradsekvation och dess rötter, som bär namnet Vieta, formulerades av honom för första gången 1591 på följande sätt: "Om B + D multiplicerat med A - A 2 , lika med BD, då A lika PÅ och lika D».

För att förstå Vieta måste man komma ihåg det MEN, som vilken vokal som helst, betydde för honom det okända (vår X), vokalerna PÅ,D- koefficienter för det okända. På modern algebras språk betyder Vietas formulering ovan: om

(ett +b)x - x 2 = ab,

X 2 - (ett +b)x + ab = 0,

X 1 = a, X 2 = b.

Genom att uttrycka förhållandet mellan rötter och koefficienter av ekvationer med allmänna formler skrivna med symboler, etablerade Viet enhetlighet i metoderna för att lösa ekvationer. Samtidigt är symboliken i Vieta fortfarande långt ifrån dess moderna utseende. Han kände inte igen negativa tal, och därför övervägde han, när han löste ekvationer, endast fall där alla rötter är positiva.

2. Metoder för att lösa andragradsekvationer

Andragradsekvationer är grunden på vilken algebrans majestätiska byggnad vilar. Andragradsekvationer används ofta för att lösa trigonometriska, exponentiella, logaritmiska, irrationella och transcendentala ekvationer och ojämlikheter. Vi vet alla hur man löser andragradsekvationer från skolan (åk 8) fram till examen.

I skolkursen i matematik studeras formlerna för rötterna till andragradsekvationer, med hjälp av vilka du kan lösa vilka andragradsekvationer som helst. Samtidigt finns det andra sätt att lösa andragradsekvationer, som gör att du kan lösa många ekvationer väldigt snabbt och rationellt. Det finns tio sätt att lösa andragradsekvationer. I mitt arbete analyserade jag var och en av dem i detalj.

1. METOD : Faktorisering av vänster sida av ekvationen.

Låt oss lösa ekvationen

X 2 + 10x - 24 = 0.

Låt oss faktorisera vänster sida:

X 2 + 10x - 24 = x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Därför kan ekvationen skrivas om som:

(x + 12)(x - 2) = 0

Eftersom produkten är noll, så är åtminstone en av dess faktorer noll. Därför försvinner den vänstra sidan av ekvationen kl x = 2, samt kl x = -12. Det betyder att antalet 2 och - 12 är rötterna till ekvationen X 2 + 10x - 24 = 0.

2. METOD : Hel kvadratisk urvalsmetod.

Låt oss lösa ekvationen X 2 + 6x - 7 = 0.

Låt oss välja en hel ruta på vänster sida.

För att göra detta skriver vi uttrycket x 2 + 6x i följande form:

X 2 + 6x = x 2 + 2* x * 3.

I det resulterande uttrycket är den första termen kvadraten av talet x, och den andra är dubbelprodukten av x med 3. Därför, för att få hela kvadraten, måste du lägga till 3 2, eftersom

x 2+ 2* x * 3 + 3 2 = (x + 3) 2 .

Vi transformerar nu vänster sida av ekvationen

X 2 + 6x - 7 = 0,

lägga till och subtrahera 3 2 . Vi har:

X 2 + 6x - 7 = x 2+ 2* x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 = (x + 3) 2 - 9 - 7 = (x + 3) 2 - 16.

Således kan denna ekvation skrivas på följande sätt:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Följaktligen, x + 3 - 4 = 0, x 1 = 1, eller x + 3 = -4, x 2 = -7.

3. METOD :Lösning av andragradsekvationer med formel.

Multiplicera båda sidor av ekvationen

Åh 2 + bx + c = 0, va? 0

på 4a och successivt har vi:

4a 2 X 2 + 4abx + 4ac = 0,

((2ah) 2 + 2ax *b + b 2 ) - b 2 + 4 ac = 0,

(2ax+b) 2 = b 2 - 4ac,

2ax + b = ± vb 2 - 4ac,

2ax = - b ± v b 2 - 4ac,

Exempel.

a) Låt oss lösa ekvationen: 4x 2 + 7x + 3 = 0.

a = 4,b= 7, c = 3,D = b 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D > 0, två olika rötter;

När det gäller en positiv diskriminant, dvs. på

b 2 - 4 ac >0 , ekvationen Åh 2 + bx + c = 0 har två olika rötter.

b) Låt oss lösa ekvationen: 4x 2 - 4x + 1 = 0,

a = 4,b= - 4, c = 1,D = b 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D = 0, en rot;

Så, om diskriminanten är noll, dvs. b 2 - 4 ac = 0 , sedan ekvationen

Åh 2 + bx + c = 0 har en enda rot

i) Låt oss lösa ekvationen: 2x 2 + 3x + 4 = 0,

a = 2,b= 3, c = 4,D = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D < 0.

Denna ekvation har inga rötter.

Så om diskriminanten är negativ, dvs. b 2 - 4 ac < 0 ,

ekvationen Åh 2 + bx + c = 0 har inga rötter.

Formel (1) för rötter till andragradsekvationen Åh 2 + bx + c = 0 låter dig hitta rötterna några andragradsekvation (om någon), inklusive reducerad och ofullständig. Formel (1) uttrycks verbalt enligt följande: rötterna till en andragradsekvation är lika med en bråkdel vars täljare är lika med den andra koefficienten, taget med motsatt tecken, plus minus kvadratroten ur kvadraten av denna koefficient utan att fyrdubbla produkten av den första koefficienten med den fria termen, och nämnaren är två gånger den första koefficienten.

4. METOD: Lösning av ekvationer med hjälp av Vietas sats.

Som bekant har den givna andragradsekvationen formen

X 2 + px + c = 0. (1)

Dess rötter uppfyller Vieta-satsen, som, när a = 1 har formen

x 1 x 2 = q,

x 1 + x 2 = - sid

Av detta kan vi dra följande slutsatser (rötternas tecken kan förutsägas från koefficienterna p och q).

a) Om den sammanfattande termen q av den reducerade ekvationen (1) är positiv ( q > 0 ), då har ekvationen två rötter av samma tecken och detta är den andra koefficientens avundsjuka sid. Om en R< 0 , då är båda rötterna negativa if R< 0 , då är båda rötterna positiva.

Till exempel,

x 2 - 3 x + 2 = 0; x 1 = 2 och x 2 = 1, därför att q = 2 > 0 och sid = - 3 < 0;

x 2 + 8 x + 7 = 0; x 1 = - 7 och x 2 = - 1, därför att q = 7 > 0 och sid= 8 > 0.

b) Om en gratis medlem q av den reducerade ekvationen (1) är negativ ( q < 0 ), då har ekvationen två rötter med olika tecken, och den större roten i absolut värde kommer att vara positiv om sid < 0 , eller negativt om sid > 0 .

Till exempel,

x 2 + 4 x - 5 = 0; x 1 = - 5 och x 2 = 1, därför att q= - 5 < 0 och sid = 4 > 0;

x 2 - 8 x - 9 = 0; x 1 = 9 och x 2 = - 1, därför att q = - 9 < 0 och sid = - 8 < 0.

5. METOD: Lösa ekvationer med "överföringsmetoden".

Tänk på andragradsekvationen

Åh 2 + bx + c = 0, var a? 0.

Genom att multiplicera båda dess delar med a får vi ekvationen

a 2 X 2 + abx + ac = 0.

Låta ah = y, var x = y/a; då kommer vi till ekvationen

på 2 + förbi+ ac = 0,

motsvarande denna. dess rötter på 1 och på 2 kan hittas med hjälp av Vietas sats.

Äntligen får vi

X 1 = y 1 /a och X 1 = y 2 /a.

Med denna metod, koefficienten a multipliceras med den fria termen, som om den "kastades" till den, därför kallas den överföringsmetod. Denna metod används när det är lätt att hitta rötterna till en ekvation med hjälp av Vietas sats och, viktigast av allt, när diskriminanten är en exakt kvadrat.

Exempel.

Låt oss lösa ekvationen 2x 2 - 11x + 15 = 0.

Lösning. Låt oss "överföra" koefficienten 2 till den fria termen, som ett resultat får vi ekvationen

på 2 - 11 år + 30 = 0.

Enligt Vietas sats

på 1 = 5 X 1 = 5/2 x 1 = 2,5

på 2 = 6 x 2 = 6/2 x 2 = 3.

Svar: 2,5; 3.

6. METOD: Egenskaper för koefficienterna för en andragradsekvation.

MEN. Låt andragradsekvationen

Åh 2 + bx + c = 0, var a? 0.

1) Om, a+b+ c = 0 (dvs summan av koefficienterna är noll), sedan x 1 = 1,

X 2 = s/a.

Bevis. Dividera båda sidor av ekvationen med a? 0, får vi den reducerade andragradsekvationen

x 2 + b/ a * x + c/ a = 0.

Enligt Vietas sats

x 1 + x 2 = - b/ a,

x 1 x 2 = 1* c/ a.

Efter tillstånd en -b + c = 0, var b= a + c. På det här sättet,

x 1 + x 2 = - a+ b / a \u003d -1 - c / a,

x 1 x 2 = - 1* (-c/a),

de där. X 1 = -1 och X 2 = c/ a, vilket vi behövde bevisa.

Exempel.

1) Lös ekvationen 345x 2 - 137x - 208 = 0.

Lösning. Därför att ett +b+ c = 0 (345 - 137 - 208 = 0), sedan

X 1 = 1, X 2 = c/ a = -208/345.

Svar: 1; -208/345.

2) Lös ekvationen 132x 2 - 247x + 115 = 0.

Lösning. Därför att ett +b+ c = 0 (132 - 247 + 115 = 0), sedan

X 1 = 1, X 2 = c/ a = 115/132.

Svar: 1; 115/132.

B. Om den andra koefficienten b = 2 k är ett jämnt tal, sedan formeln för rötterna

Exempel.

Låt oss lösa ekvationen 3x2 -- 14x + 16 = 0.

Lösning. Vi har: a = 3,b= -- 14, c = 16,k = -- 7 ;

D = k 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D > 0, två olika rötter;

Svar: 2; 8/3

PÅ. Reducerad ekvation

X 2 +px+q= 0

sammanfaller med den allmänna ekvationen, i vilken a = 1, b= sid och c =q. Därför, för den reducerade andragradsekvationen, formeln för rötterna

tar formen:

Formel (3) är särskilt bekväm att använda när R-- jämnt nummer.

Exempel. Låt oss lösa ekvationen X 2 - 14x - 15 = 0.

Lösning. Vi har: X 1,2 =7±

Svar: x 1 = 15; X 2 = -1.

7. METOD: Grafisk lösning av en andragradsekvation.

Om i ekvationen

X 2 + px + q = 0

flytta den andra och tredje termen till höger sida får vi

X 2 = - px - q.

Låt oss bygga beroendegrafer y \u003d x 2 och y \u003d - px - q.

Grafen för det första beroendet är en parabel som passerar genom ursprunget. Diagram över det andra beroendet -

rak linje (fig. 1). Följande fall är möjliga:

En rät linje och en parabel kan skära varandra i två punkter, skärningspunkternas abskiss är rötterna till en andragradsekvation;

Linjen och parabeln kan beröra (endast en gemensam punkt), d.v.s. ekvationen har en lösning;

Den räta linjen och parabeln har inga gemensamma punkter, d.v.s. en andragradsekvation har inga rötter.

Exempel.

1) Låt oss lösa ekvationen grafiskt X 2 - 3x - 4 = 0(Fig. 2).

Lösning. Vi skriver ekvationen i formen X 2 = 3x + 4.

Låt oss bygga en parabel y = x 2 och direkt y = 3x + 4. direkt

y = 3x + 4 kan byggas från två punkter M (0; 4) och

N (3; 13) . En linje och en parabel skär varandra i två punkter

MEN och PÅ med abskiss X 1 = - 1 och X 2 = 4 . Svar: X 1 = - 1;

X 2 = 4.

2) Låt oss lösa ekvationen grafiskt (fig. 3) X 2 - 2x + 1 = 0.

Lösning. Vi skriver ekvationen i formen X 2 = 2x - 1.

Låt oss bygga en parabel y = x 2 och direkt y = 2x - 1.

direkt y = 2x - 1 bygga på två punkter M (0; -1)

och N(1/2; 0) . Linje och parabel skär varandra i en punkt MEN Med

abskissa x = 1. Svar:x = 1.

3) Låt oss lösa ekvationen grafiskt X 2 - 2x + 5 = 0(Fig. 4).

Lösning. Vi skriver ekvationen i formen X 2 = 5x - 5. Låt oss bygga en parabel y = x 2 och direkt y = 2x - 5. direkt y = 2x - 5 konstruera med två punkter M(0; - 5) och N(2,5; 0). Den räta linjen och parabeln har inga skärningspunkter, d.v.s. Denna ekvation har inga rötter.

Svar. Ekvationen X 2 - 2x + 5 = 0 har inga rötter.

8. METOD: Lösa andragradsekvationer med en kompass och linjaler.

Det grafiska sättet att lösa andragradsekvationer med hjälp av en parabel är obekvämt. Om du bygger en parabel punkt för punkt tar det mycket tid, och med allt detta är noggrannheten för de erhållna resultaten låg.

Jag föreslår följande metod för att hitta rötterna till en andragradsekvation Åh 2 + bx + c = 0 med hjälp av en kompass och linjal (Fig. 5).

Låt oss anta att den önskade cirkeln skär axeln

abskiss i poäng B(x 1 ; 0) och D(X 2 ; 0), var X 1 och X 2 - rötter till ekvationen Åh 2 + bx + c = 0, och passerar genom punkterna

A(0; 1) och C(0;c/ a) på y-axeln. Sedan, genom sekantsatsen, har vi OB * OD = OA * OC, var OC = OB * OD/ OA= x 1 X 2 / 1 = c/ a.

Cirkelns mittpunkt är i skärningspunkten mellan vinkelräta SF och SK, återställd vid ackordens mittpunkter AC och BD, det är därför

1) konstruera punkter (cirkelns centrum) och A(0; 1) ;

2) rita en cirkel med en radie SA;

3) abskissorna för skärningspunkterna för denna cirkel med axeln Åhär rötterna till den ursprungliga andragradsekvationen.

I det här fallet är tre fall möjliga.

1) Cirkelns radie är större än mittens ordinata (SOM > SK, eller R > a + c/2 a) , skär cirkeln x-axeln i två punkter (Fig. 6,a) B(x 1 ; 0) och D(X 2 ; 0) , var X 1 och X 2 - rötter till andragradsekvationen Åh 2 + bx + c = 0.

2) Cirkelns radie är lika med mittens ordinata (SOM = SB, ellerR = a + c/2 a) , rör cirkeln Ox-axeln (fig. 6,b) vid punkten B(x 1 ; 0) , där x 1 är roten till andragradsekvationen.

3) Cirkelns radie är mindre än mittens ordinata, cirkeln har inga gemensamma punkter med abskissaxeln (fig. 6, c), i detta fall har ekvationen ingen lösning.

Exempel.

Låt oss lösa ekvationen X 2 - 2x - 3 = 0 (Fig. 7).

Lösning. Bestäm koordinaterna för cirkelns mittpunkt med formlerna:

Låt oss rita en cirkel med radien SA, där A (0; 1).

Svar: X 1 = - 1; X 2 = 3.

9. METOD: Lösa andragradsekvationer med nomogram.

Detta är en gammal och oförtjänt bortglömd metod för att lösa andragradsekvationer, placerad på s. 83 (se Bradis V.M. Four-valued matematiska tabeller. - M., Enlightenment, 1990).

Tabell XXII. Nomogram för ekvationslösning z 2 + pz + q = 0 . Detta nomogram tillåter, utan att lösa andragradsekvationen, att bestämma ekvationens rötter genom dess koefficienter.

Nomogrammets kurvlinjära skala är uppbyggd enligt formlerna (Fig. 11):

Förutsatt OS = p,ED = qOE = a(alla i cm), från likheten mellan trianglar SAN och CDF vi får andelen

varifrån, efter substitutioner och förenklingar, ekvationen följer

z 2 + pz + q = 0,

och brevet z betyder etiketten för valfri punkt på den böjda skalan.

Exempel.

1) För ekvationen z 2 - 9 z + 8 = 0 nomogram ger rötter

z 1 = 8,0 och z 2 = 1,0 (Fig. 12).

2) Vi löser ekvationen med hjälp av nomogrammet

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Vi dividerar koefficienterna för denna ekvation med 2, vi får ekvationen

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogram ger rötter z 1 = 4 och z 2 = 0,5.

3) För ekvationen

z 2 - 25 z + 66 = 0

koefficienterna p och q är ur skala, kommer vi att utföra substitutionen z = 5 t, får vi ekvationen

t 2 - 5 t + 2,64 = 0,

som vi löser med hjälp av ett nomogram och får t 1 = 0,6 och t 2 = 4,4, var z 1 = 5 t 1 = 3,0 och z 2 = 5 t 2 = 22,0.

10. METOD: Geometriskt sätt att lösa kvadrat ekvationer.

I gamla tider, när geometri var mer utvecklad än algebra, löstes andragradsekvationer inte algebraiskt, utan geometriskt. Jag ska ge ett exempel som har blivit känt från "Algebra" av al-Khwarizmi.

Exempel.

1) Lös ekvationen X 2 + 10x = 39.

I originalet är detta problem formulerat enligt följande: "Kvadraten och tio rötter är lika med 39" (Fig. 15).

Lösning. Tänk på en kvadrat med sidan x, rektanglar är byggda på dess sidor så att den andra sidan av var och en av dem är 2,5, därför är strandens yta 2,5x. Den resulterande siffran kompletteras sedan med en ny kvadrat ABCD, och fyra lika stora rutor fylls i hörnen, sidan på var och en av dem är 2,5 och arean är 6,25.

Fyrkant S fyrkant ABCD kan representeras som summan av ytorna: den ursprungliga kvadraten X 2 , fyra rektanglar (4* 2,5x = 10x) och fyra bifogade rutor (6,25* 4 = 25) , dvs. S = X 2 + 10x + 25. Byter ut

X 2 + 10x siffra 39 , det förstår vi S = 39 + 25 = 64 , varifrån det följer att sidan av kvadraten ABCD, dvs. linjesegmentet AB = 8. För önskad sida X den ursprungliga kvadraten vi får

2) Men till exempel hur de gamla grekerna löste ekvationen på 2 + 6y - 16 = 0.

Lösning visad i fig. 16, var

på 2 + 6y = 16, eller på 2 + 6y + 9 = 16 + 9.

Lösning. Uttryck på 2 + 6 år + 9 och 16 + 9 geometriskt representerar samma kvadrat och den ursprungliga ekvationen på 2 + 6y - 16 + 9 - 9 = 0är samma ekvation. Varifrån får vi det y + 3 = ± 5, eller på 1 = 2, y 2 = - 8 (Fig. 16).

3) Lös geometriska ekvationer på 2 - 6y - 16 = 0.

Omvandling av ekvationen, vi får

på 2 - 6y = 16.

På fig. 17 hitta "bilderna" av uttrycket på 2 - 6 år, de där. från arean av en kvadrat med sidan y subtrahera två gånger arean av en kvadrat med sidan lika med 3 . Så, om uttrycket på 2 - 6 år Lägg till 9 , då får vi arean av en kvadrat med en sida på - 3 . Ersätter uttrycket på 2 - 6 år dess lika många 16,

vi får: (y - 3) 2 = 16 + 9, de där. y - 3 = ± v25 eller y - 3 = ± 5, där på 1 = 8 och på 2 = - 2.

Slutsats

Andragradsekvationer används ofta för att lösa trigonometriska, exponentiella, logaritmiska, irrationella och transcendentala ekvationer och ojämlikheter.

Samtidigt ligger värdet av andragradsekvationer inte bara i elegansen och kortheten i att lösa problem, även om detta är mycket betydelsefullt. Inte mindre viktigt är det faktum att som ett resultat av användningen av andragradsekvationer för att lösa problem, upptäcks ofta nya detaljer, intressanta generaliseringar kan göras och förbättringar göras, som föranleds av en analys av de erhållna formlerna och relationerna.

Jag skulle också vilja notera att ämnet som presenteras i det här arbetet fortfarande är lite studerat alls, de hanterar det bara inte, därför är det fyllt med mycket gömt och okänt, vilket ger en utmärkt möjlighet för vidare arbete med det .

Här bestämde jag mig för frågan om att lösa andragradsekvationer, och vad,

om det finns andra sätt att lösa dem?! Återigen, hitta vackra mönster, lite fakta, förtydliganden, gör generaliseringar, upptäck allt nytt och nytt. Men det här är frågor för framtida arbeten.

Sammanfattningsvis kan vi dra slutsatsen: andragradsekvationer spelar en stor roll i utvecklingen av matematik. Vi vet alla hur man löser andragradsekvationer från skolan (åk 8) fram till examen. Denna kunskap kan vara användbar för oss hela livet.

Eftersom dessa metoder för att lösa andragradsekvationer är lätta att använda, borde de verkligen vara av intresse för elever som är förtjusta i matematik. Mitt arbete gör det möjligt att se på de problem som matematiken ställer inför oss på ett annat sätt.

Litteratur:

1. Alimov Sh.A., Ilyin V.A. et al, Algebra, 6-8. Provlärobok för gymnasiet i årskurs 6-8. - M., utbildning, 1981.

2. Bradis V.M. Fyrsiffriga matematiska tabeller för gymnasiet Ed. 57:a. - M., Utbildning, 1990. S. 83.

3. Kruzhepov A.K., Rubanov A.T. Problembok om algebra och elementära funktioner. Lärobok för sekundära specialiserade utbildningsinstitutioner. - M., högre skola, 1969.

4. Okunev A.K. Kvadratiska funktioner, ekvationer och ojämlikheter. En guide för läraren. - M., utbildning, 1972.

5. Presman A.A. Lösa en andragradsekvation med kompass och rätsida. - M., Kvant, nr 4/72. S. 34.

6. Solomnik V.S., Milov P.I. Samling av frågor och uppgifter i matematik. Ed. - 4:a, tillägg. - M., Higher School, 1973.

7. Khudobin A.I. Samling av problem i algebra och elementära funktioner. En guide för läraren. Ed. 2:a. - M., utbildning, 1970.

Shapovalova L.A. (station Egorlykskaya, MBOU ESOSH nr 11)

1. Mordkovich A.G. Algebra.8 klass. Lärobok för läroanstalter / A.G. Mordkovich. nr 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Nr 8622 / 0790 - 260 sid.

2. Mordkovich A.G. Algebra.8 klass. Uppgiftsbok för läroanstalter / A.G. Mordkovich. nr 8622 / 0790 - M.: Mnemozina, 2013. Nr 8622 / 0790 - 270 sid.

3. Glazer G.I. Matematikens historia i skolan nr 8622 / 0790 / G.I. Glaser. nr 8622 / 0790 - M .: Utbildning, 1982. Nr 8622 / 0790 - 340 sid.

4. Gusev V.A. Matte. Referensmaterial / V.A. Gusev, A.G. Mordkovich. nr 8622 / 0790 - M .: Prosveshchenie, 1988. Nr 8622 / 0790 - 372 sid.

5. Bradis V.M. Fyrsiffriga matematiska tabeller för gymnasiet / V.M. Bradis. nr 8622 / 0790 - M .: Utbildning, 1990. Nr 8622 / 0790 - 83 sid.

6. Vietas sats. nr 8622 / 0790 - Åtkomstläge: http://phizmat.org.ua/2009-10-27-13-31-30/817-stihi-o-francua-vieta/ Vietas teorem (fjärråtkomstresurser (Internet) ) . 2016-01-20.

7. Andragradsekvationer. Nr 8622 / 0790 - Åtkomstläge: http://revolution.allbest.ru/pedagogics/00249255_0.html (resurser för fjärråtkomst (Internet)). 2016-01-20.

Ekvationsteorin intar en ledande plats inom algebra och matematik i allmänhet. Dess betydelse ligger inte bara i dess teoretiska betydelse för kunskapen om naturlagar, utan tjänar också praktiska syften. De flesta av livets problem handlar om att lösa olika typer av ekvationer, och oftare är dessa ekvationer av kvadratisk form.

Skolans läroplan tar bara hänsyn till tre sätt att lösa dem. Som förberedelse inför de kommande tentorna blev jag intresserad av andra sätt på dessa ekvationer. Därför valde jag ämnet "10 sätt att lösa kvadratiska ekvationer".

Relevansen av detta ämne ligger i det faktum att vi i lektionerna i algebra, geometri, fysik mycket ofta möter lösningen av kvadratiska ekvationer. Därför bör varje elev på ett korrekt och rationellt sätt kunna lösa andragradsekvationer, vilket också är användbart för att lösa mer komplexa problem, inklusive vid godkänt prov.

Syftet med arbetet: att studera olika sätt att lösa andragradsekvationer, att lära sig lösa andragradsekvationer.

Överväg standardmetoder och icke-standardiserade metoder för att lösa andragradsekvationer;

Identifiera de mest bekväma sätten att lösa andragradsekvationer;

Lär dig lösa andragradsekvationer på olika sätt.

Studieobjekt: andragradsekvationer.

Studieämne: sätt att lösa andragradsekvationer.

Forskningsmetoder:

Teoretisk: studie av litteratur om forskningsämnet, studie av tematiska internetresurser;

Analys av den mottagna informationen;

Jämförelse av metoder för att lösa andragradsekvationer för bekvämlighet och rationalitet.

Metoder för att lösa andragradsekvationer

En andragradsekvation är en ekvation av formen ax 2 + bx + c \u003d 0, där x är en variabel, a, b och c är några tal, medan a? 0. Roten till en sådan ekvation är värdet på variabeln som gör det kvadratiska trinomiet noll, det vill säga värdet som gör andragradsekvationen till en identitet. Koefficienterna i andragradsekvationen har sina egna namn: koefficienten a kallas den första eller senior, koefficienten b kallas den andra eller koefficienten vid x, c kallas den fria medlemmen av denna ekvation.

En komplett andragradsekvation är en vars koefficienter alla är icke-noll (a, b, c - 0).

En reducerad andragradsekvation kallas, där den ledande koefficienten är lika med en. En sådan ekvation kan erhållas genom att dividera hela uttrycket med den ledande koefficienten a: x 2 + px + q \u003d 0, p \u003d b / a, q \u003d c / a.

Ofullständiga andragradsekvationer är av tre typer:

1) ax 2 + c = 0, där c är 0;

2) ax 2 + bx = 0, där b - 0;

Inom ramen för detta arbete kommer vi att överväga metoder för att lösa enbart kompletta andragradsekvationer.

Lösa andragradsekvationer med den allmänna formeln

För att lösa andragradsekvationer används metoden att hitta rötter genom diskriminanten. Följande formel används för att hitta diskriminanten: D = b 2 - 4ac. Efter att ha hittat D använder vi formeln för att hitta rötterna till ekvationen

Det är värt att notera att om:

D > 0 - ekvationen har två rötter;

D \u003d 0 - ekvationen har en rot;

D< 0 - уравнение не имеет корней.

Ett exempel på att lösa ekvationen på detta sätt visas i fig. 1(1.1).

Ris. 1. Praktisk del

Factoring vänster sida

För att demonstrera metoden löser vi ekvationen x 2 + 10x - 24 = 0.

Låt oss faktorisera vänster sida:

x 2 + 10x - 24 = x + 12x - 2x - 24 = = x(x + 12) - 2(x + 12) = (x + 12)(x - 2).

Därför kan ekvationen skrivas om som:

(x + 12) (x - 2) = 0

Eftersom produkten är noll, så är åtminstone en av dess faktorer noll. Därför försvinner den vänstra sidan av ekvationen vid x = 2, och även vid x = -12.

Ett exempel på att lösa ekvationen på detta sätt visas i fig. 1(1.2).

Valet av den fullständiga kvadraten är en sådan identitetstransformation där det givna trinomialet representeras som (a ± b) 2 summan eller skillnaden av kvadraten av binomialet och något numeriskt eller bokstavligt uttryck.

Låt oss lösa ekvationen x 2 + 14x + 40 = 0.

Låt oss dekomponera polynomet i faktorer med hjälp av full kvadratmetoden.

För att tillämpa den första formeln måste du få uttrycket

x2 + 14x + 49 = 0.

Därför lägger vi till och subtraherar talet 9 från polynomet x 2 + 14x + 40 för att välja hela kvadraten

x 2 + 14x + 40 + 9 - 9 = 0

(x + 14x + 40 + 9) - 9 = 0

(x + 14x + 49) - 9 = 0

(x + 7) 2 - 9 = 0

Låt oss tillämpa formeln "skillnad mellan kvadrater" a2 - b2 = (a - b) (a + b)

(x + 7) 2 - 32 = 0

(x + 7 - 3)(x + 7 + 3) = 0

(x + 4)(x + 10) = 0

x + 4 = 0x + 10 = 0

x1 = - 4x2 = - 10

Svar: -4; - tio.

Ett exempel på att lösa ekvationen på detta sätt visas i fig. 1(1.3).

Lösa ekvationer med hjälp av Vietas sats

För att lösa hela andragradsekvationen enligt Vieta-satsen måste du dividera hela ekvationen med koefficienten a. För ekvationen x 2 + px + q = 0, om x1 och x2 är dess rötter, är formlerna giltiga:

Ett exempel på att lösa ekvationen på detta sätt visas i fig. 1(1.4).

Lösa ekvationer med hjälp av koefficienternas egenskaper

Om följande villkor är uppfyllt: a + c = b, då x1 = - 1; x2 = - s/a.

4x2 + 3x - 1 = 04 - 1 = 3

x1 = - 1x2 = - 1/4

Om följande villkor är uppfyllt:

a + b + c = 0, sedan xl = 1; x2 = s/a.

5x2 + 2x - 7 = 05 + 2 -7 = 0

Ett exempel på omöjligheten att lösa ekvationen på detta sätt visas i fig. 1(1,5).

Lösa ekvationer med "överföringsmetoden".

Den så kallade "överföringsmetoden" gör det möjligt att reducera lösningen av icke-reducerade och icke-transformerbara ekvationer till formen av reducerade ettor med heltalskoefficienter genom att dividera dem med den ledande ekvationskoefficienten till lösningen av ekvationer reducerade med heltal koefficienter. Det är som följer: multiplicera ekvationen ax 2 + bx + c = 0 med a.

Vi får: a 2 x2 + abx + aс = 0. Låt oss introducera en ny variabel y = ax. Vi får y 2 +by+ac = 0. Rötterna till denna ekvation är y1 och y2. Därför är x1 = y1/a; x2 = y2/a.

Ett exempel på att lösa ekvationen på detta sätt visas i fig. 1(1.6).

Låt oss lösa ekvationen x 2 - 4x - 12 = 0.

Låt oss representera det som x 2 - 4x = 12.

På fig. 2 "avbildar" uttrycket x - 4x, dvs. arean av en kvadrat med sidan x subtraheras två gånger från arean av en kvadrat med sidan 2. Så x 2 - 4x + 4 är arean av en kvadrat med sidan x - 2.

Efter att ha ersatt x 2 - 4x = 12 får vi

(x - 2)2 = 12 + 4

x - 2 = 4x - 2 = - 4

Svar: x1 = 6, x1 = - 2.

Ett exempel på att lösa ekvationen på detta sätt visas i fig. 1(1,7).

I ekvationen x 2 + px + q = 0 flyttar vi den andra och tredje termen till höger sida av ekvationen. Vi får: x 2 \u003d - px - q. Låt oss bygga grafer över funktioner

y = x 2 (parabel);

y = - qx - p (rät linje).

Det ska noteras att:

Om en linje och en parabel kan skära varandra i två punkter, är skärningspunkternas abskiss rötterna till en andragradsekvation;

Om linjen vidrör parabeln (endast en gemensam punkt), så har ekvationen en rot;

Om linjen och parabeln inte har gemensamma punkter, d.v.s. en andragradsekvation har inga rötter.

Lösa en ekvation med kompass och rätlina

Låt oss lösa ekvationen ax 2 + bx + c = 0:

1) konstruera punkter på koordinatplanet:

A(- b/2a; (a + c)/2a) är cirkelns mittpunkt och B(0; 1)

2) Rita en cirkel r = AB

3) Abskissorna för skärningspunkterna med Ox-axeln är rötterna till den ursprungliga ekvationen

Det ska noteras att:

Om cirkelns radie är större än mittens ordinata (AB > AC, eller R > (a + c) / 2a), är cirkeln.

Korsar x-axeln i två punkter K(x1; 0) och N(x2; 0), där x1 och x2 är rötterna till andragradsekvationen x2 + bx + c = 0.

Om cirkelns radie är lika med mittens ordinata (AB \u003d AC, eller R \u003d (a + c) / 2a), rör cirkeln abskissaxeln vid punkten C (x; 0), där x1 är roten till andragradsekvationen.

Om cirkelns radie är mindre än mittens ordinata (AB< AС, или R < (a + c)/2a), окружность не имеет общих точек с осью абсцисс, в этом случае уравнение не имеет решения.

Ett exempel på att lösa ekvationen på detta sätt visas i fig. 1(1,9).

Detta är ett gammalt och nu bortglömt sätt att lösa andragradsekvationer.

Nomogrammet ger värdena för de positiva rötterna av ekvationen z 2 + pz + q \u003d 0. Om ekvationen har rötter av olika tecken, då, efter att ha hittat en positiv rot från nomogrammet, är en negativ en hittas genom att subtrahera det positiva från - sid.

Ris. 6. Typ av monogram för att lösa ekvationen z 2 + pz + q = 0

I det fall då båda rötterna är negativa tar de z = - t och hittar två positiva rötter t1 från nomogrammet; t 2 ekvationer t 2 + - pt + z = 0 och sedan z1 = - t1; z 2 \u003d - t2.

Om koefficienterna p och q är ur skala, utför substitutionen z = kt och lös ekvationen med hjälp av nomogrammet

där k tas på så sätt att ojämlikheterna

Formen på monogrammet för att lösa ekvationen z 2 + pz + q = 0 kan hittas i fig. 6.

"Pros" och "nackdelar" med olika lösningar

Namnet på metoden för att lösa andragradsekvationer
Lösa andragradsekvationer med formel	Kan appliceras på alla andragradsekvationer.	Du måste lära dig formlerna.
Faktorisera vänster sida av ekvationen	Det gör det möjligt att omedelbart se rötterna till ekvationen.	Det är nödvändigt att korrekt beräkna villkoren för gruppering.
Hel kvadratisk urvalsmetod	För det minsta antalet åtgärder kan du hitta rötterna till ekvationerna	Det är nödvändigt att hitta alla termer korrekt för att välja hela kvadraten.
Lösa ekvationer med hjälp av Vietas sats	Ett ganska enkelt sätt, gör det möjligt att omedelbart se rötterna till ekvationen.	endast hela rötter kan lätt hittas.
Egenskaper för koefficienterna för en andragradsekvation	Kräver inte mycket ansträngning	Passar bara på vissa ekvationer
Lösning av ekvationer med överföringsmetod	För det minsta antalet åtgärder kan du hitta rötterna till ekvationen, den används i samband med metoden för Vietas sats.	det är lätt att bara hitta hela rötter.
Geometriskt sätt att lösa andragradsekvationer	Visuellt sätt.	liknande sättet att välja en hel ruta
Grafisk lösning av en andragradsekvation	visuellt sätt	Det kan finnas felaktigheter i schemaläggningen
Lösa andragradsekvationer med kompass och rätsida	visuellt sätt	Kanske inte är korrekt
Lösa andragradsekvationer med nomogram	Intuitivt, lätt att använda.	Det finns inte alltid ett nomogram till hands.

Slutsats

Under detta forskningsarbete har jag lyckats generalisera och systematisera det studerade materialet på det valda ämnet, att studera olika sätt att lösa andragradsekvationer, att lära mig att lösa andragradsekvationer på 10 sätt. Det bör noteras att inte alla är bekväma att lösa, men var och en av dem är intressant på sitt eget sätt. Ur min synvinkel kommer de metoder som studeras i skolan att vara de mest rationella att använda: 1.1. (enligt formeln); 1.4. (enligt Vieta-satsen); samt metod 1.5. (med hjälp av koefficienternas egenskaper).

Sammanfattningsvis kan vi dra slutsatsen: andragradsekvationer spelar en stor roll i matematik. Denna kunskap kan vara användbar för oss inte bara i skolan och på universitetet, utan även under hela livet.

Bibliografisk länk

Ulevsky S.A. TIO SÄTT ATT LÖSA KVADRATISKA EKVATIONER // Börja i naturvetenskap. - 2016. - Nr 1. - P. 75-79;
URL: http://science-start.ru/ru/article/view?id=15 (åtkomstdatum: 30/12/2019).

glida 1

glida 2

Kursmål: Bekanta dig med nya metoder för att lösa andragradsekvationer Fördjupa kunskaper om ämnet "Kvadratiska ekvationer" Utveckling av matematiska, intellektuella förmågor, forskningsförmåga Skapa förutsättningar för självförverkligande av individen

glida 3

Kursmål: Att introducera eleverna för nya sätt att lösa andragradsekvationer Att förstärka förmågan att lösa ekvationer med kända metoder Att introducera satser som tillåter att lösa ekvationer på icke-standardiserade sätt Att fortsätta bildningen av allmänna pedagogiska färdigheter, matematisk kultur Att främja bildningen av intresse för forskningsverksamhet Att skapa förutsättningar för elever att förverkliga och utveckla intresse för ämnet matematik Förbered eleverna för rätt val av profilinriktning

glida 4

Programmets innehåll Ämne 1. Introduktion. 1 timme. Definition av en andragradsekvation. Full och ofullständig kvm. ekvationer. Metoder för deras lösning. Frågande. Ämne 2. Lösning av kvm. ekvationer. Factoring metod Full kvadratisk urvalsmetod Lösning kvm. ekvationer med formler Lösning kvadrat. ekvationer efter överföringsmetod Solution sq. ekvationer med t. Vieta Solution sq. ekvationer som använder koefficienten Solution sq. ekvationer på ett grafiskt sätt Solution sq. ekvationer med kompass och linjal Lösning kvm. ekvationer på ett geometriskt sätt Lösning kvm. ekvationer som använder "nomogram"

glida 5

Lite historia ... Andragradsekvationer är grunden på vilken algebrans majestätiska byggnad vilar. Andragradsekvationer används ofta för att lösa trigonometriska, exponentiella, logaritmiska, irrationella och transcendentala ekvationer och ojämlikheter. Andragradsekvationer i det antika Babylon. Andragradsekvationer i Indien. Andragradsekvationer i al-Khorezmi. Andragradsekvationer i Europa XIII - XVII århundraden.

glida 6

Bild 7

Bild 8

Bild 9

glida 10

Den berömde franske vetenskapsmannen Francois Viet (1540-1603) var advokat till yrket. Han ägnade sin fritid åt astronomi. Astronomilektioner krävde kunskaper i trigonometri och algebra. Viet tog upp dessa vetenskaper och kom snart till slutsatsen att det var nödvändigt att förbättra dem, vilket han arbetade med under ett antal år. Tack vare hans arbete blir algebra den allmänna vetenskapen om algebraiska ekvationer baserade på bokstavlig kalkyl. Därför blev det möjligt att uttrycka egenskaperna hos ekvationer och deras rötter med allmänna formler.

glida 11

När jag gjorde arbetet uppmärksammades följande: Metoderna som jag kommer att använda: Vietas sats Koefficienternas egenskaper "överföringsmetoden" Faktorisering av vänster sida till faktorer Grafisk metod Metoderna är intressanta, men de tar mycket tid och är inte alltid bekväma. Grafisk metod Med hjälp av ett nomogram Linjaler och kompasser Val av en hel fyrkant böjer jag mig för forskarna som upptäckte dessa metoder och gav vetenskapen en drivkraft för utveckling inom ämnet "Lösa andragradsekvationer"

glida 12

Faktorisering av vänster sida av ekvationen Låt oss lösa ekvationen x2 + 10x - 24=0. Faktorer på vänster sida: x2 + 10x - 24= x2 + 12x -2x - 24= x(x + 12) - 2(x + 12)= (x + 12)(x - 2). (x + 12)(x - 2)=0 x + 12=0 eller x - 2=0 x= -12 x= 2 Svar: x1= -12, x2 = 2. Lös ekvationer: x2 - x=0 x2 + 2x=0 x2 - 81=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 3=0

glida 13

Helkvadratvalsmetod Lös ekvationen x2 + 6x - 7=0 x2 + 6x - 7=x2 + 2x3 + 32 - 32 - 7=(x-3)2 - 9- 7= (x-3)2 - 16 ( x -3)2 -16=0 (x-3)2 =16 x-3=4 eller x-3=-4 x=1 x=-7 Svar: x1=1, x2=-7. Lös ekvationer: x2 - 8x+15=0 x2 +12x +20=0 x2 + 4x + 3=0 x2 + 2x - 2=0 x2 - 6x + 8=0

glida 14

Lösning av andragradsekvationer enligt formeln Grundformler: Om b är udda, då D= b2-4ac och x 1,2=, (om D> 0) Om b är jämnt, då D1= och x1,2=, (om D >0) Lös ekvationerna: 2x2 - 5x + 2=0 6x2 + 5x +1=0 4x2 - 5x + 2=0 2x2 - 6x + 4=0 x2 - 18x +17=0 =

glida 15

Lösning av ekvationer med överföringsmetoden Låt oss lösa ekvationen ax2 +bx+c=0. Multiplicera båda sidor av ekvationen med a, vi får a2 x2 +abx+ac=0. Låt ax = y, varav x = y/a. Då U2 +köp+ac=0. Dess rötter är y1 och y2. Slutligen x1 = y1/a, x1 = y2/a. Låt oss lösa ekvationen 2x2 -11x + 15=0. Låt oss överföra koefficient 2 till den fria termen: Y2 -11y+30=0. Enligt Vieta-satsen är y1 =5 och y2 =6. x1 = 5/2 och x2 = 6/2 x1 = 2,5 och x2 = 3 Svar: x1 = 2,5, x2 = 3 Lös ekvationen: 2x2 -9x +9=0 10x2 -11x + 3=0 3x2 + 11x +6 =0 6x2 +5x - 6=0 3x2 +1x - 4=0

glida 16

Lösa ekvationer med Vietas sats Låt oss lösa ekvationen x2 +10x-24=0. Sedan x1 * x2 \u003d -24 x1 + x2 \u003d -10, sedan 24 \u003d 2 * 12, men -10 \u003d -12 + 2, sedan x1 \u003d -12 x2 \u003d 2 Svar: x1 \u003 , x2 \u003d -12. Lös ekvationer: x2 - 7x - 30 =0 x2 +2x - 15=0 x2 - 7x + 6=0 3x2 - 5x + 2=0 5x2 + 4x - 9=0

glida 17

Egenskaper för koefficienter för en andragradsekvation Om a+b+c=0, då x2 = 1, x2 = c/a 7= 0 Låt oss lösa ekvationen 2x2 + 3x +1= 0 1 + 6 - 7 = 0, så x1 =1, x2 = -7/1=-7. 2 - 3+1=0, alltså x1= - 1, x2 = -1/2 Svar: x1=1, x2 = -7. Svar: x1=-1, x2=-1/2. Lös ekvationer: 5x2 - 7x +2 =0 Lös ekvationer: 5x2 - 7x -12 =0 11x2 +25x - 36=0 11x2 +25x +14=0 345x2 -137x -208=0 3x2 +5x +2 +=0 5x - 8=0 5x2 + 4x - 1=0 5x2 + 4x - 9=0 x2 + 4x +3=0

Kopyevskaya lantliga gymnasieskola

10 sätt att lösa kvadratiska ekvationer

Chef: Patrikeeva Galina Anatolyevna,

matematiklärare

s. Kopyevo, 2007

1. Historia om utvecklingen av andragradsekvationer

1.1 Andragradsekvationer i det antika Babylon

1.2 Hur Diophantus sammanställde och löste andragradsekvationer

1.3 Andragradsekvationer i Indien

1.4 Andragradsekvationer i al-Khwarizmi

1.5 Andragradsekvationer i Europa XIII - XVII århundraden

1.6 Om Vietas sats

2. Metoder för att lösa andragradsekvationer

Slutsats

Litteratur

1. Historia om utvecklingen av andragradsekvationer

1.1 Andragradsekvationer i det antika Babylon

Genom att tillämpa modern algebraisk notation kan vi säga att det i deras kilskriftstexter finns, förutom ofullständiga, sådana, till exempel, kompletta andragradsekvationer:

X 2 + X = ¾; X 2 - X = 14,5

Trots den höga utvecklingen av algebra i Babylon saknar kilskriftstexterna konceptet med ett negativt tal och allmänna metoder för att lösa andragradsekvationer.

1.2 Hur Diophantus sammanställde och löste andragradsekvationer.

När man sammanställer ekvationer väljer Diophantus skickligt okända för att förenkla lösningen.

Här finns till exempel en av hans uppgifter.

Uppgift 11."Hitta två tal och veta att deras summa är 20 och deras produkt är 96"

Därav ekvationen:

(10 + x)(10 - x) = 96

100 - x 2 = 96

x 2 - 4 = 0 (1)

Härifrån x = 2. Ett av de önskade numren är 12 , Övrig 8 . Lösning x = -2 för Diophantus existerar inte, eftersom den grekiska matematiken bara visste positiva tal.

Om vi löser detta problem genom att välja ett av de önskade talen som det okända, kommer vi till lösningen av ekvationen

y(20 - y) = 96,

y 2 - 20y + 96 = 0. (2)

1.3 Andragradsekvationer i Indien

ah 2+bx = c, a > 0. (1)

I ekvation (1), koefficienterna, utom för a, kan också vara negativt. Brahmaguptas styre sammanfaller i huvudsak med vårt.

Här är ett av problemen med den berömda indiska matematikern från XII-talet. Bhaskara.

Uppgift 13.

"En fräsch flock apor och tolv i vinstockar ...

Har ätit kraft, haft kul. De började hoppa, hänga ...

Del åtta av dem i en fyrkant Hur många apor fanns det,

Ha kul på ängen. Säger du mig, i den här flocken?

Bhaskaras lösning indikerar att han kände till tvåvärdigheten hos andragradsekvationers rötter (fig. 3).

Ekvationen som motsvarar problem 13 är:

(x/8) 2 + 12 = x

Bhaskara skriver under sken av:

x 2 - 64x = -768

och för att göra den vänstra sidan av denna ekvation till en kvadrat lägger han till på båda sidorna 32 2 , får då:

x 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 = ± 16,

x 1 = 16, x 2 = 48.

1.4 Andragradsekvationer i al-Khorezmi

Al-Khorezmis algebraiska avhandling ger en klassificering av linjära och andragradsekvationer. Författaren listar 6 typer av ekvationer, som uttrycker dem enligt följande:

1) "Kvadrater är lika med rötter", d.v.s. ax 2 + c =bX.

2) "Kvadrater är lika med tal", d.v.s. ax 2 = s.

3) "Rötterna är lika med antalet", d.v.s. ah = s.

4) "Kvadrater och tal är lika med rötter", d.v.s. ax 2 + c =bX.

5) "Kvadrater och rötter är lika med antalet", d.v.s. ah 2+bx= s.

6) "Rötter och tal är lika med kvadrater", d.v.s.bx+ c \u003d ax 2.

Uppgift 14."Kvadraten och talet 21 är lika med 10 rötter. Hitta roten" (om vi antar roten till ekvationen x 2 + 21 = 10x).

Treatise al - Khorezmi är den första bok som har kommit ner till oss, där klassificeringen av andragradsekvationer systematiskt anges och formler för deras lösning ges.

1.5 Andragradsekvationer i EuropaXIII - XVIIårhundraden

Den allmänna regeln för att lösa andragradsekvationer reducerad till en enda kanonisk form:

x 2+bx= med,

för alla möjliga kombinationer av tecken för koefficienterna b, Med formulerades i Europa först 1544 av M. Stiefel.

1.6 Om Vietas sats

Satsen som uttrycker förhållandet mellan koefficienterna för en andragradsekvation och dess rötter, som bär namnet Vieta, formulerades av honom för första gången 1591 på följande sätt: "Om B + D multiplicerat med A - A 2 , lika med BD, då A lika PÅ och lika D».

(ett +b)x - x 2 =ab,

x 2 - (a +b)x + ab = 0,

x 1 = a, x 2 =b.

Genom att uttrycka förhållandet mellan rötter och koefficienter av ekvationer med allmänna formler skrivna med symboler, etablerade Viet enhetlighet i metoderna för att lösa ekvationer. Men symboliken i Vieta är fortfarande långt ifrån sin moderna form. Han kände inte igen negativa tal, och därför övervägde han, när han löste ekvationer, endast fall där alla rötter är positiva.

2. Metoder för att lösa andragradsekvationer

Andragradsekvationer är grunden på vilken algebrans majestätiska byggnad vilar. Andragradsekvationer används ofta för att lösa trigonometriska, exponentiella, logaritmiska, irrationella och transcendentala ekvationer och ojämlikheter. Vi vet alla hur man löser andragradsekvationer från skolan (åk 8) fram till examen.