Tungvrickare

Fyrdimensionell kub. Cybercube - första steget in i den fjärde dimensionen Vad heter en kub med olika sidor

Tesseract är en fyrdimensionell hyperkub - en kub i fyrdimensionell rymd.
Enligt Oxford Dictionary myntades och användes ordet tesseract 1888 av Charles Howard Hinton (1853-1907) i sin bok A New Age of Thought. Senare kallade några människor samma figur för en tetrakub (grekiska τετρα - fyra) - en fyrdimensionell kub.
En vanlig tesserakt i det euklidiska fyrdimensionella rymden definieras som ett konvext skrov av punkter (±1, ±1, ±1, ±1). Med andra ord kan den representeras som följande uppsättning:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Tesserakten begränsas av åtta hyperplan x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , vars skärningspunkt med själva tesseracten definierar den 3D-ytor (som är vanliga kuber) Varje par av icke-parallella 3D-ytor skär varandra för att bilda 2D-ytor (fyrkanter), etc. Slutligen har en tesseract 8 3D-ytor, 24 2D-ytor, 32 kanter och 16 hörn.
Populär beskrivning
Låt oss försöka föreställa oss hur en hyperkub kommer att se ut utan att lämna tredimensionellt utrymme.
I ett endimensionellt "utrymme" - på en linje - väljer vi ett segment AB med längden L. På ett tvådimensionellt plan på ett avstånd L från AB ritar vi ett segment DC parallellt med det och ansluter deras ändar. Resultatet är en kvadratisk CDBA. Genom att upprepa denna operation med planet får vi en tredimensionell kub CDBAGHFE. Och genom att flytta kuben i den fjärde dimensionen (vinkelrätt mot de tre första) med ett avstånd L får vi hyperkuben CDBAGHFEKLJIOPNM.
Det endimensionella segmentet AB fungerar som sidan av den tvådimensionella kvadraten CDBA, kvadraten - som sidan av kuben CDBAGHFE, som i sin tur kommer att vara sidan av den fyrdimensionella hyperkuben. Ett rakt linjesegment har två gränspunkter, en kvadrat har fyra hörn, en kub har åtta. I en fyrdimensionell hyperkub kommer det alltså att finnas 16 hörn: 8 hörn av den ursprungliga kuben och 8 av den förskjutna i den fjärde dimensionen. Den har 32 kanter - 12 vardera ger den ursprungliga och slutliga positionen för den ursprungliga kuben, och ytterligare 8 kanter "ritar" dess åtta hörn, som har flyttats till den fjärde dimensionen. Samma resonemang kan göras för ansiktena på en hyperkub. I tvådimensionellt rum finns det bara en (kvadrat själv), en kub har 6 av dem (två ytor från den flyttade kvadraten och fyra till som beskriver dess sidor). En fyrdimensionell hyperkub har 24 kvadratiska ytor - 12 rutor av den ursprungliga kuben i två positioner och 12 rutor från dess tolv kanter.
Precis som sidorna av en kvadrat är 4 endimensionella segment och sidorna (ytorna) på en kub är 6 tvådimensionella kvadrater, så är sidorna för en "fyrdimensionell kub" (tesserakt) 8 tredimensionella kuber . Utrymmena för motsatta par av tesseraktkuber (det vill säga de tredimensionella utrymmena som dessa kuber tillhör) är parallella. I figuren är dessa kuberna: CDBAGHFE och KLJIOPNM, CDBAKLJI och GHEOPNM, EFBAMNJI och GHDCOPLK, CKIAGOME och DLJBHPNF.
På liknande sätt kan vi fortsätta vårt resonemang för hyperkuber av ett större antal dimensioner, men det är mycket mer intressant att se hur en fyrdimensionell hyperkub kommer att se ut för oss, invånare i tredimensionella rymden. För detta kommer vi att använda den redan välkända metoden för analogier.
Låt oss ta trådkuben ABCDHEFG och titta på den med ett öga från sidan av kanten. Vi kommer att se och kan rita två rutor på planet (dess när- och bortre kanter), förbundna med fyra linjer - sidokanter. På liknande sätt kommer en fyrdimensionell hyperkub i tredimensionell rymd att se ut som två kubiska "lådor" som är insatta i varandra och förbundna med åtta kanter. I det här fallet kommer själva "lådorna" - tredimensionella ytor - att projiceras på "vårt" utrymme, och linjerna som förbinder dem kommer att sträcka sig i riktning mot den fjärde axeln. Du kan också försöka föreställa dig kuben inte i projektion, utan i en rumslig bild.
Precis som en tredimensionell kub bildas av en kvadrat som förskjuts med längden på dess yta, kommer en kub som flyttas till den fjärde dimensionen att bilda en hyperkub. Den är begränsad av åtta kuber, som i perspektiv kommer att se ut som en ganska komplex figur. Den fyrdimensionella hyperkuben i sig består av ett oändligt antal kuber, precis som en tredimensionell kub kan "klippas" till ett oändligt antal platta rutor.
Genom att skära de sex ytorna på en tredimensionell kub kan du bryta ner den till en platt figur - en utveckling. Den kommer att ha en kvadrat på varje sida av det ursprungliga ansiktet plus en till - ansiktet mitt emot det. Och den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub kommer att bestå av den ursprungliga kuben, sex kuber "växer" från den, plus en till - den sista "överytan".
Egenskaperna hos en tesserakt representerar en fortsättning på egenskaperna hos geometriska figurer av lägre dimension till ett fyrdimensionellt rum.

Poäng (±1, ±1, ±1, ±1). Med andra ord kan den representeras som följande uppsättning:

Tesserakten begränsas av åtta hyperplan, vars skärning med själva tesserakten definierar dess tredimensionella ansikten (som är vanliga kuber). Varje par icke-parallella 3D-ytor skär varandra för att bilda 2D-ytor (fyrkanter) och så vidare. Slutligen har tesseracten 8 3D-ytor, 24 2D-ytor, 32 kanter och 16 hörn.

Populär beskrivning

Låt oss försöka föreställa oss hur en hyperkub kommer att se ut utan att lämna tredimensionellt utrymme.

Konstruktion av en tesseract på ett plan

Det endimensionella segmentet AB fungerar som sidan av den tvådimensionella kvadraten CDBA, kvadraten - som sidan av kuben CDBAGHFE, som i sin tur kommer att vara sidan av den fyrdimensionella hyperkuben. Ett rakt linjesegment har två gränspunkter, en kvadrat har fyra hörn, en kub har åtta. I en fyrdimensionell hyperkub kommer det alltså att finnas 16 hörn: 8 hörn av den ursprungliga kuben och 8 av den förskjutna i den fjärde dimensionen. Den har 32 kanter - 12 vardera ger den ursprungliga och slutliga positionen för den ursprungliga kuben, och ytterligare 8 kanter "ritar" dess åtta hörn, som har flyttats till den fjärde dimensionen. Samma resonemang kan göras för ansiktena på en hyperkub. I tvådimensionellt rum finns det bara en (kvadrat själv), en kub har 6 av dem (två ytor från den flyttade kvadraten och fyra till som beskriver dess sidor). En fyrdimensionell hyperkub har 24 kvadratiska ytor - 12 rutor av den ursprungliga kuben i två positioner och 12 rutor från dess tolv kanter.

Precis som sidorna av en kvadrat är 4 endimensionella segment och sidorna (ytorna) på en kub är 6 tvådimensionella kvadrater, så är sidorna för en "fyrdimensionell kub" (tesserakt) 8 tredimensionella kuber . Utrymmena för motsatta par av tesseraktkuber (det vill säga de tredimensionella utrymmena som dessa kuber tillhör) är parallella. I figuren är dessa kuberna: CDBAGHFE och KLJIOPNM, CDBAKLJI och GHEOPNM, EFBAMNJI och GHDCOPLK, CKIAGOME och DLJBHPNF.

På liknande sätt kan vi fortsätta vårt resonemang för hyperkuber av ett större antal dimensioner, men det är mycket mer intressant att se hur en fyrdimensionell hyperkub kommer att se ut för oss, invånare i tredimensionella rymden. För detta kommer vi att använda den redan välkända metoden för analogier.

Låt oss ta trådkuben ABCDHEFG och titta på den med ett öga från sidan av kanten. Vi kommer att se och kan rita två rutor på planet (dess när- och bortre kanter), förbundna med fyra linjer - sidokanter. På liknande sätt kommer en fyrdimensionell hyperkub i tredimensionell rymd att se ut som två kubiska "lådor" som är insatta i varandra och förbundna med åtta kanter. I det här fallet kommer själva "lådorna" - tredimensionella ytor - att projiceras på "vårt" utrymme, och linjerna som förbinder dem kommer att sträcka sig i riktning mot den fjärde axeln. Du kan också försöka föreställa dig kuben inte i projektion, utan i en rumslig bild.

Precis som en tredimensionell kub bildas av en kvadrat som förskjuts med längden på dess yta, kommer en kub som flyttas till den fjärde dimensionen att bilda en hyperkub. Den är begränsad av åtta kuber, som i perspektiv kommer att se ut som en ganska komplex figur. Den fyrdimensionella hyperkuben i sig består av ett oändligt antal kuber, precis som en tredimensionell kub kan "klippas" till ett oändligt antal platta rutor.

Genom att skära de sex ytorna på en tredimensionell kub kan du bryta ner den till en platt figur - en utveckling. Den kommer att ha en kvadrat på varje sida av det ursprungliga ansiktet plus en till - ansiktet mitt emot det. Och den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub kommer att bestå av den ursprungliga kuben, sex kuber "växer" från den, plus en till - den sista "överytan".

Egenskaperna hos en tesserakt representerar en fortsättning på egenskaperna hos geometriska figurer av lägre dimension till ett fyrdimensionellt rum.

Projektioner

Till tvådimensionellt rum

Denna struktur är svår att föreställa sig, men det är möjligt att projicera en tesserakt i tvådimensionella eller tredimensionella rum. Att projicera på ett plan gör det dessutom lätt att förstå platsen för en hyperkubs hörn. På så sätt är det möjligt att få bilder som inte längre speglar de rumsliga relationerna inom tesserakten, men som illustrerar vertexkopplingsstrukturen, som i följande exempel:

Den tredje bilden visar tesserakten i isometri, i förhållande till konstruktionspunkten. Denna representation är av intresse när man använder en tesseract som bas för ett topologiskt nätverk för att länka flera processorer i parallell beräkning.

Till det tredimensionella rummet

En av projektionerna av en tesserakt på det tredimensionella rummet representerar två kapslade tredimensionella kuber, vars motsvarande hörn är sammankopplade med segment. De inre och yttre kuberna har olika storlekar i det tredimensionella rummet, men i det fyrdimensionella rummet är de lika stora kuber. För att förstå likheten mellan alla tesseractkuber skapades en roterande tesseract-modell.

De sex stympade pyramiderna längs kanterna på tesserakten är bilder av lika sex kuber. Dessa kuber är dock till en tesserakt som rutor (ansikten) är till en kub. Men i själva verket kan tesserakten delas upp i ett oändligt antal kuber, precis som en kub kan delas upp i ett oändligt antal rutor, eller en kvadrat i ett oändligt antal segment.

En annan intressant projektion av tesserakten på det tredimensionella rummet är en rombisk dodekaeder med sina fyra diagonaler som förbinder par av motsatta hörn vid stora vinklar av romberna. I det här fallet projiceras 14 av tesseraktens 16 hörn i 14 hörn av den rombiska dodekaedern, och projektionerna för de återstående 2 sammanfaller i dess centrum. I en sådan projektion på det tredimensionella rummet bevaras likheten och parallelliteten mellan alla endimensionella, tvådimensionella och tredimensionella sidor.

Stereopar

Ett stereopar av en tesserakt avbildas som två projektioner på tredimensionell rymd. Den här bilden av tesserakten designades för att representera djupet som en fjärde dimension. Stereoparet betraktas så att varje öga bara ser en av dessa bilder, en stereoskopisk bild dyker upp som återger djupet av tesserakten.

Tesseract uppackning

Ytan på en tesserakt kan vikas ut till åtta kuber (liknande hur ytan på en kub kan vikas ut till sex rutor). Det finns 261 olika tesseract-designer. Utvecklingen av en tesserakt kan beräknas genom att plotta de sammankopplade vinklarna på en graf.

Tesseract i konsten

I Edwina A:s "New Abbott Plain" fungerar hyperkuben som en berättare.
I ett avsnitt av Jimmy Neutrons äventyr uppfinner "pojkegeniet" Jimmy en fyrdimensionell hyperkub som är identisk med foldboxen från romanen Glory Road (1963) av Robert Heinlein.
Robert E. Heinlein har nämnt hyperkuber i minst tre science fiction-historier. I "The House of Four Dimensions" ("The House That Teal Built") beskrev han ett hus byggt som en olindad tesserakt, och sedan, på grund av en jordbävning, "vikte sig" i den fjärde dimensionen och blev en "riktig" tesserakt .
Heinleins roman Glory Road beskriver en hyperstor låda som var större på insidan än på utsidan.
Henry Kuttners berättelse "All Tenali Borogov" beskriver en pedagogisk leksak för barn från en avlägsen framtid, liknande strukturen som en tesserakt.
I romanen av Alex Garland () används termen "tesseract" för den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub, snarare än själva hyperkuben. Detta är en metafor utformad för att visa att det kognitiva systemet måste vara bredare än det kännbara.
Handlingen i Cube 2: Hypercube kretsar kring åtta främlingar som är fångade i en "hypercube", eller nätverk av anslutna kuber.
TV-serien Andromeda använder Tesseract-generatorer som en handlingsanordning. De är främst utformade för att manipulera rum och tid.
Målning "Korsfästelsen" (Corpus Hypercubus) av Salvador Dali ().
Nextwave-serieboken skildrar ett fordon som inkluderar 5 tesseract-zoner.
I albumet Voivod Nothingface heter en av kompositionerna "In my hypercube".
I Anthony Pearces roman Route Cube kallas en av International Development Associations kretsande månar en tesserakt som har komprimerats till 3 dimensioner.
I serien "Black Hole School" i den tredje säsongen finns ett avsnitt "Tesseract". Lucas trycker på en hemlig knapp och skolan börjar "ta form som en matematisk tesserakt."
Termen "tesserakt" och dess derivata "tesserakt" finns i Madeleine L'Engles berättelse "A Wrinkle in Time."
TesseracT är namnet på ett brittiskt djent-band.
I filmserien Marvel Cinematic Universe är Tesseract ett nyckelelement, en kosmisk artefakt i form av en hyperkub.
I Robert Sheckleys berättelse "Miss Mouse and the Fourth Dimension" försöker en esoterisk författare, en bekant till författaren, se tesserakten genom att stirra i timmar på enheten han designade: en boll på ett ben med stavar instuckna i den, på vilka kuber som är monterade, klistrade över med alla möjliga esoteriska symboler. Berättelsen nämner Hintons arbete.
I filmerna The First Avenger, The Avengers. Tesseract - hela universums energi

Andra namn

Hexadecachoron Hexadecachoron)
Octochoron (engelska) Octachoron)
Tetrakub
4-kub
Hypercube (om antalet dimensioner inte anges)

Anteckningar

Litteratur

Charles H. Hinton. Fjärde dimensionen, 1904. ISBN 0-405-07953-2
Martin Gardner, Mathmatical Carnival, 1977. ISBN 0-394-72349-X
Ian Stewart, Concepts of Modern Mathematics, 1995. ISBN 0-486-28424-7

Länkar

På ryska

Transformator4D-program. Bildande av modeller av tredimensionella projektioner av fyrdimensionella objekt (inklusive Hyperkuben).
Ett program som implementerar konstruktionen av en tesseract och alla dess affina transformationer, med källkod i C++.

På engelska

Mushware Limited - tesseract output program ( Tesseract tränare, licens kompatibel med GPLv2) och ett first-person shooter i fyrdimensionellt utrymme ( Adanaxis; grafik är huvudsakligen tredimensionell; Det finns en GPL-version i OS-arkiven).

Polyedra

Korrekt
(platoniska fasta ämnen)

Ställad dodekaeder Stjärnformad icosidodekaeder Stjärnformad icosaeder Stjärnformad polyeder Stellatad oktaeder

Konvex

Arkimedeiska fasta ämnen	Kubooktaeder Icosidodecahedron Trunkerad tetraeder Trunkerad oktaeder Trunkerad icosahedron Trunkerad kub Trunkerad dodekaeder Rhombocuboctahedron Rhombicosidodecahedron Rombisk trunkerad cuboctahedron Rombisk stympad cuboctahedron Rubbisk stympad icosidodecahedron Trunkerad icosaeder Scube ncated och Cosidodecahedron Regelbundet prisma Antiprisma
Katalanska kroppar	Rombododekaeder Rombotrikontaeder Triakisthetraeder Tetrakishexahedron Pentakisdodekaeder Triakisoktaeder Triakisicosaeder Deltoidal icositetrahedron Deltoidal hexexontaeder Femkantig icositetrahedron Femkantig hexekaeder Cahedron Disdakishedron
Utan fullständig rumssymmetri	Pyramid Prisma Bipyramid Antiprisma Zonoeder Parallellepiped Rombohedron Prismatoid Trunkerad pyramid
Pentagondodecahedron Parallelohedron

Formler,
satser,
teorier

Övrig

Så fort jag kunde hålla föreläsningar efter operationen var den första frågan som studenterna ställde:

När kommer du att rita en 4-dimensionell kub för oss? Ilyas Abdulkhaevich lovade oss!

Jag minns att mina kära vänner ibland gillar en stund av matematiska pedagogiska aktiviteter. Därför kommer jag att skriva en del av min föreläsning för matematiker här. Och jag ska försöka utan att bli tråkig. Vid vissa tillfällen läser jag föreläsningen mer strikt, förstås.

Låt oss komma överens först. 4-dimensionellt, och ännu mer 5-6-7- och generellt k-dimensionellt utrymme ges inte till oss i sinnesförnimmelser.
"Vi är eländiga eftersom vi bara är tredimensionella", som min söndagsskollärare, som först berättade för mig vad en 4-dimensionell kub är, sa. Söndagsskolan var naturligtvis extremt religiös - matematisk. Den gången studerade vi hyperkuber. En vecka innan detta, matematisk induktion, en vecka efter det, cyklar Hamiltonian i grafer - följaktligen är detta 7:e klass.

Vi kan inte röra, lukta, höra eller se en 4-dimensionell kub. Vad kan vi göra med det? Vi kan föreställa oss det! Eftersom vår hjärna är mycket mer komplex än våra ögon och händer.

Så, för att förstå vad en 4-dimensionell kub är, låt oss först förstå vad som är tillgängligt för oss. Vad är en 3-dimensionell kub?

OKEJ OKEJ! Jag ber dig inte om en tydlig matematisk definition. Föreställ dig bara den enklaste och vanligaste tredimensionella kuben. Introducerad?

Bra.
För att förstå hur man generaliserar en 3-dimensionell kub till ett 4-dimensionellt utrymme, låt oss ta reda på vad en 2-dimensionell kub är. Det är så enkelt - det är en fyrkant!

En kvadrat har 2 koordinater. Kuben har tre. Kvadratiska punkter är punkter med två koordinater. Den första är från 0 till 1. Och den andra är från 0 till 1. Kubens punkter har tre koordinater. Och var och en är ett valfritt tal från 0 till 1.

Det är logiskt att föreställa sig att en 4-dimensionell kub är en sak som har 4 koordinater och allt är från 0 till 1.

/* Det är direkt logiskt att föreställa sig en 1-dimensionell kub, som inte är något annat än ett enkelt segment från 0 till 1. */

Så, vänta, hur ritar man en 4-dimensionell kub? När allt kommer omkring kan vi inte rita 4-dimensionell rymd på ett plan!
Men vi ritar inte heller 3-dimensionellt utrymme på ett plan, vi ritar det utsprång på ett 2-dimensionellt ritplan. Vi placerar den tredje koordinaten (z) i en vinkel och föreställer oss att axeln från ritplanet går "mot oss".

Nu är det helt klart hur man ritar en 4-dimensionell kub. På samma sätt som vi placerade den tredje axeln i en viss vinkel, låt oss ta den fjärde axeln och även placera den i en viss vinkel.
Och - voila! -- projektion av en 4-dimensionell kub på ett plan.

Vad? Vad är det här egentligen? Jag hör alltid viskningar från de bakre skrivborden. Låt mig förklara mer i detalj vad detta virrvarr av linjer är.
Titta först på den tredimensionella kuben. Vad har vi gjort? Vi tog kvadraten och drog den längs den tredje axeln (z). Det är som många, många pappersrutor limmade ihop i en stapel.
Det är samma sak med en 4-dimensionell kub. Låt oss kalla den fjärde axeln, för bekvämlighets skull och för science fiction, "tidsaxeln". Vi måste ta en vanlig tredimensionell kub och dra den genom tiden från tiden "nu" till tiden "om en timme."

Vi har en "nu"-kub. På bilden är den rosa.

Och nu drar vi den längs den fjärde axeln - längs tidsaxeln (jag visade den i grönt). Och vi får framtidens kub – blå.

Varje vertex av "kuben nu" lämnar ett spår i tiden - ett segment. Att koppla ihop sin nutid med sin framtid.

Kort sagt, utan någon text: vi ritade två identiska 3-dimensionella kuber och kopplade ihop motsvarande hörn.
Exakt samma sak som de gjorde med en 3-dimensionell kub (rita 2 identiska 2-dimensionella kuber och koppla ihop hörnen).

För att rita en 5-dimensionell kub måste du rita två kopior av en 4-dimensionell kub (en 4-dimensionell kub med femte koordinat 0 och en 4-dimensionell kub med femte koordinat 1) och koppla samman motsvarande hörn med kanter. Det är sant att det kommer att finnas ett sådant virrvarr av kanter på planet att det blir nästan omöjligt att förstå någonting.

När vi har föreställt oss en 4-dimensionell kub och till och med kunnat rita den kan vi utforska den på olika sätt. Kom ihåg att utforska det både i ditt sinne och från bilden.
Till exempel. En 2-dimensionell kub avgränsas på 4 sidor av 1-dimensionella kuber. Detta är logiskt: för var och en av de två koordinaterna har den både en början och ett slut.
En 3-dimensionell kub avgränsas på 6 sidor av 2-dimensionella kuber. För var och en av de tre koordinaterna har den en början och ett slut.
Det betyder att en 4-dimensionell kub måste begränsas av åtta 3-dimensionella kuber. För var och en av de 4 koordinaterna - på båda sidor. I figuren ovan ser vi tydligt 2 ansikten som begränsar det längs "tids"-koordinaten.

Här är två kuber (de är något sneda eftersom de har 2 dimensioner projicerade på planet i en vinkel), vilket begränsar vår hyperkub till vänster och höger.

Det är också lätt att märka "övre" och "nedre".

Det svåraste är att visuellt förstå var "fram" och "bak" är. Den främre börjar från framkanten av "kuben nu" och till framkanten av "framtidens kub" - den är röd. Den bakre är lila.

De är svårast att lägga märke till eftersom andra kuber är trassliga under fötterna, vilket begränsar hyperkuben vid en annan projicerad koordinat. Men observera att kuberna fortfarande är olika! Här är bilden igen, där "nuets kub" och "framtidens kub" är framhävda.

Naturligtvis är det möjligt att projicera en 4-dimensionell kub i ett 3-dimensionellt rum.
Den första möjliga rumsliga modellen är tydlig hur den ser ut: du måste ta 2 kubramar och ansluta deras motsvarande hörn med en ny kant.
Jag har inte denna modell i lager just nu. På föreläsningen visar jag eleverna en lite annorlunda 3-dimensionell modell av en 4-dimensionell kub.

Du vet hur en kub projiceras på ett plan som detta.
Det är som att vi tittar på en kub från ovan.

Närkanten är förstås stor. Och den bortre kanten ser mindre ut, vi ser den genom den närmaste.

Så här kan du projicera en 4-dimensionell kub. Kuben är större nu, vi ser framtidens kub på avstånd, så den ser mindre ut.

På andra sidan. Från ovansidan.

Direkt exakt från sidan av kanten:

Från revbenssidan:

Och den sista vinkeln, asymmetrisk. Från avsnittet "säg att jag tittade mellan hans revben."

Ja, då kan du komma på vad som helst. Till exempel, precis som det sker en utveckling av en 3-dimensionell kub till ett plan (det är som att klippa ut ett pappersark så att när det viks får du en kub), händer samma sak med utvecklingen av en 4-dimensionell kub till Plats. Det är som att skära ut en träbit så att vi genom att vika den i ett 4-dimensionellt utrymme får en tesserakt.

Du kan studera inte bara en 4-dimensionell kub, utan n-dimensionella kuber i allmänhet. Till exempel, är det sant att radien för en sfär som är omskriven runt en n-dimensionell kub är mindre än längden på kanten på denna kub? Eller här är en enklare fråga: hur många hörn har en n-dimensionell kub? Hur många kanter (1-dimensionella ytor)?

Tesseract (från antik grekiska τέσσερες ἀκτῖνες - fyra strålar) är en fyrdimensionell hyperkub - en analog till en kub i fyrdimensionell rymd.

Bilden är en projektion (perspektiv) av en fyrdimensionell kub på det tredimensionella rummet.

Enligt Oxford Dictionary myntades och användes ordet "tesseract" 1888 av Charles Howard Hinton (1853–1907) i hans bok A New Age of Thought. Senare kallade vissa samma figur för en "tetrakub".

Geometri

En vanlig tesserakt i det euklidiska fyrdimensionella rymden definieras som ett konvext skrov av punkter (±1, ±1, ±1, ±1). Med andra ord kan den representeras som följande uppsättning:

Tesserakten begränsas av åtta hyperplan, vars skärning med själva tesserakten definierar dess tredimensionella ansikten (som är vanliga kuber). Varje par icke-parallella 3D-ytor skär varandra för att bilda 2D-ytor (fyrkanter) och så vidare. Slutligen har tesseracten 8 3D-ytor, 24 2D-ytor, 32 kanter och 16 hörn.

Populär beskrivning

Låt oss försöka föreställa oss hur en hyperkub kommer att se ut utan att lämna tredimensionellt utrymme.

I ett endimensionellt "utrymme" - på en linje - väljer vi ett segment AB med längden L. På ett tvådimensionellt plan på ett avstånd L från AB ritar vi ett segment DC parallellt med det och ansluter deras ändar. Resultatet är en kvadrat ABCD. Genom att upprepa denna operation med planet får vi en tredimensionell kub ABCDHEFG. Och genom att flytta kuben i den fjärde dimensionen (vinkelrätt mot de tre första) med ett avstånd L får vi hyperkuben ABCDEFGHIJKLMNOP.
http://upload.wikimedia.org/wikipedia/ru/1/13/Construction_tesseract.PNG

Det endimensionella segmentet AB fungerar som sidan av den tvådimensionella kvadraten ABCD, kvadraten - som sidan av kuben ABCDHEFG, som i sin tur kommer att vara sidan av den fyrdimensionella hyperkuben. Ett rakt linjesegment har två gränspunkter, en kvadrat har fyra hörn och en kub har åtta. I en fyrdimensionell hyperkub kommer det alltså att finnas 16 hörn: 8 hörn av den ursprungliga kuben och 8 av den förskjutna i den fjärde dimensionen. Den har 32 kanter - 12 vardera ger den ursprungliga och slutliga positionen för den ursprungliga kuben, och ytterligare 8 kanter "ritar" dess åtta hörn, som har flyttats till den fjärde dimensionen. Samma resonemang kan göras för ansiktena på en hyperkub. I tvådimensionellt rum finns det bara en (kvadrat själv), en kub har 6 av dem (två ytor från den flyttade kvadraten och fyra till som beskriver dess sidor). En fyrdimensionell hyperkub har 24 kvadratiska ytor - 12 rutor av den ursprungliga kuben i två positioner och 12 rutor från dess tolv kanter.

Tesseract uppackning

Låt oss ta trådkuben ABCDHEFG och titta på den med ett öga från sidan av kanten. Vi kommer att se och kan rita två rutor på planet (dess när- och bortre kanter), förbundna med fyra linjer - sidokanter. På liknande sätt kommer en fyrdimensionell hyperkub i tredimensionell rymd att se ut som två kubiska "lådor" som är insatta i varandra och förbundna med åtta kanter. I det här fallet kommer själva "lådorna" - tredimensionella ansikten - att projiceras på "vårt" utrymme, och linjerna som förbinder dem kommer att sträcka sig i den fjärde dimensionen. Du kan också försöka föreställa dig kuben inte i projektion, utan i en rumslig bild.

Precis som en tredimensionell kub bildas av en kvadrat som förskjuts med längden på dess yta, kommer en kub som flyttas till den fjärde dimensionen att bilda en hyperkub. Den är begränsad av åtta kuber, som i perspektiv kommer att se ut som en ganska komplex figur. Den del som blev kvar i "vårt" utrymme är ritad med heldragna linjer, och den del som gick in i hyperrymden är ritad med prickade linjer. Den fyrdimensionella hyperkuben i sig består av ett oändligt antal kuber, precis som en tredimensionell kub kan "klippas" till ett oändligt antal platta rutor.

Genom att skära de sex ytorna på en tredimensionell kub kan du bryta ner den till en platt figur - en utveckling. Den kommer att ha en kvadrat på varje sida av det ursprungliga ansiktet, plus en till - ansiktet mitt emot det. Och den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub kommer att bestå av den ursprungliga kuben, sex kuber "växer" från den, plus en till - den sista "överytan".

Egenskaperna hos en tesserakt representerar en fortsättning på egenskaperna hos geometriska figurer av lägre dimension till ett fyrdimensionellt rum.

Projektioner

Till tvådimensionellt rum

Projektionen av en tesserakt på tredimensionella rymden representerar två kapslade tredimensionella kuber, vars motsvarande hörn är förbundna med segment. De inre och yttre kuberna har olika storlekar i det tredimensionella rummet, men i det fyrdimensionella rummet är de lika stora kuber. För att förstå likheten mellan alla tesseractkuber skapades en roterande tesseract-modell.

De sex stympade pyramiderna längs kanterna på tesserakten är bilder av lika sex kuber.
Stereopar

Tesseract i konsten

I Edwina A:s "New Abbott Plain" fungerar hyperkuben som en berättare.
I ett avsnitt av Jimmy Neutrons äventyr: "Boy Genius" uppfinner Jimmy en fyrdimensionell hyperkub som är identisk med foldboxen från Heinleins roman Glory Road från 1963.
Robert E. Heinlein har nämnt hyperkuber i minst tre science fiction-historier. I The House of Four Dimensions (The House That Teal Built) (1940) beskrev han ett hus byggt som en olindad tesserakt.
Heinleins roman Glory Road beskriver hyperstora rätter som var större på insidan än på utsidan.
Henry Kuttners berättelse "Mimsy Were the Borogoves" beskriver en pedagogisk leksak för barn från en avlägsen framtid, liknande strukturen som en tesserakt.
I romanen av Alex Garland (1999) används termen "tesseract" för den tredimensionella utvecklingen av en fyrdimensionell hyperkub, snarare än själva hyperkuben. Detta är en metafor utformad för att visa att det kognitiva systemet måste vara bredare än det kännbara.
Handlingen i Cube 2: Hypercube kretsar kring åtta främlingar som är fångade i en "hypercube", eller nätverk av anslutna kuber.
TV-serien Andromeda använder Tesseract-generatorer som en handlingsanordning. De är främst utformade för att manipulera rum och tid.
Målning "The Crucifixion" (Corpus Hypercubus) av Salvador Dali (1954)
Nextwave-serieboken skildrar ett fordon som inkluderar 5 tesseract-zoner.
I albumet Voivod Nothingface heter en av kompositionerna "In my hypercube".
I Anthony Pearces roman Route Cube kallas en av International Development Associations kretsande månar en tesserakt som har komprimerats till 3 dimensioner.
I serien "Black Hole School" i den tredje säsongen finns ett avsnitt "Tesseract". Lucas trycker på en hemlig knapp och skolan börjar ta form som en matematisk tesserakt.
Termen "tesseract" och dess härledda term "tesserate" finns i berättelsen "A Wrinkle in Time" av Madeleine L'Engle.

Utvecklingen av den mänskliga hjärnan ägde rum i tredimensionell rymd. Därför är det svårt för oss att föreställa oss utrymmen med dimensioner större än tre. Faktum är att den mänskliga hjärnan inte kan föreställa sig geometriska föremål med dimensioner större än tre. Och samtidigt kan vi enkelt föreställa oss geometriska föremål med dimensionerna inte bara tre, utan också med dimensionerna två och ett.

Skillnaden och analogin mellan endimensionella och tvådimensionella utrymmen, såväl som skillnaden och analogin mellan tvådimensionella och tredimensionella utrymmen tillåter oss att lätt öppna skärmen av mystik som stängslar av oss från utrymmen med högre dimensioner. För att förstå hur denna analogi används, överväg ett mycket enkelt fyrdimensionellt objekt - en hyperkub, det vill säga en fyrdimensionell kub. För att vara specifik, låt oss säga att vi vill lösa ett specifikt problem, nämligen att räkna antalet kvadratiska ytor av en fyrdimensionell kub. Alla ytterligare överväganden kommer att vara mycket slappa, utan några bevis, rent analogt.

För att förstå hur en hyperkub är byggd av en vanlig kub måste du först titta på hur en vanlig kub är byggd av en vanlig kvadrat. För originalitetens skull i presentationen av detta material kommer vi här att kalla en vanlig kvadrat för en SubCube (och kommer inte att förväxla den med en succubus).

För att bygga en kub från en subkub måste du förlänga subkuben i en riktning vinkelrät mot subkubens plan i riktning mot den tredje dimensionen. I det här fallet, från varje sida av den initiala subkuben kommer en subkub att växa, vilket är den tvådimensionella sidan av kuben, vilket kommer att begränsa den tredimensionella volymen av kuben på fyra sidor, två vinkelräta mot varje riktning i subkubens plan. Och längs den nya tredje axeln finns det också två subkuber som begränsar kubens tredimensionella volym. Detta är den tvådimensionella ytan där vår subkub ursprungligen låg och den tvådimensionella ytan på kuben där subkuben kom i slutet av kubens konstruktion.

Det du just har läst presenteras överdrivet detaljerat och med många förtydliganden. Och av goda skäl. Nu ska vi göra ett sådant trick, vi kommer formellt att ersätta några ord i föregående text på det här sättet:
kub -> hyperkub
underkub -> kub
plan -> volym
tredje -> fjärde
tvådimensionell -> tredimensionell
fyra -> sex
tredimensionell -> fyrdimensionell
två -> tre
plan -> rymd

Som ett resultat får vi följande meningsfulla text, som inte längre verkar alltför detaljerad.

För att bygga en hyperkub från en kub måste du sträcka ut kuben i en riktning som är vinkelrät mot kubens volym i riktning mot den fjärde dimensionen. I det här fallet kommer en kub att växa från varje sida av den ursprungliga kuben, vilket är den laterala tredimensionella ytan av hyperkuben, vilket kommer att begränsa den fyrdimensionella volymen av hyperkuben på sex sidor, tre vinkelräta mot varje riktning i kubens utrymme. Och längs den nya fjärde axeln finns det också två kuber som begränsar hyperkubens fyrdimensionella volym. Det här är den tredimensionella ytan där vår kub ursprungligen låg och den där tredimensionella ytan på hyperkuben där kuben kom i slutet av konstruktionen av hyperkuben.

Varför är vi så säkra på att vi har fått rätt beskrivning av konstruktionen av en hyperkub? Ja, för genom exakt samma formella byte av ord får vi en beskrivning av konstruktionen av en kub från en beskrivning av konstruktionen av en kvadrat. (Kolla in det själv.)

Nu är det klart att om ytterligare en tredimensionell kub skulle växa från varje sida av kuben, så bör en yta växa från varje kant av den initiala kuben. Totalt har kuben 12 kanter, vilket innebär att ytterligare 12 nya ytor (subkuber) kommer att dyka upp på de 6 kuberna som begränsar den fyrdimensionella volymen längs de tre axlarna i det tredimensionella rummet. Och det finns ytterligare två kuber kvar som begränsar denna fyrdimensionella volym underifrån och ovan längs den fjärde axeln. Var och en av dessa kuber har 6 ytor.

Totalt finner vi att hyperkuben har 12+6+6=24 kvadratiska ytor.

Följande bild visar den logiska strukturen hos en hyperkub. Det här är som en projektion av en hyperkub på tredimensionell rymd. Detta ger en tredimensionell ram av ribbor. I figuren ser du naturligtvis projektionen av denna ram på ett plan.

På denna ram är den inre kuben som den initiala kuben från vilken konstruktionen började och som begränsar den fyrdimensionella volymen av hyperkuben längs den fjärde axeln från botten. Vi sträcker denna initiala kub uppåt längs den fjärde mätaxeln och den går in i den yttre kuben. Så de yttre och inre kuberna från denna figur begränsar hyperkuben längs den fjärde mätaxeln.

Och mellan dessa två kuber kan du se ytterligare 6 nya kuber, som berör gemensamma ansikten med de två första. Dessa sex kuber band vår hyperkub längs de tre axlarna i det tredimensionella rummet. Som du kan se är de inte bara i kontakt med de två första kuberna, som är de inre och yttre kuberna på denna tredimensionella ram, utan de är också i kontakt med varandra.

Du kan räkna direkt i figuren och se till att hyperkuben verkligen har 24 ansikten. Men denna fråga uppstår. Denna hyperkubram i tredimensionellt utrymme är fylld med åtta tredimensionella kuber utan några luckor. För att göra en riktig hyperkub från denna tredimensionella projektion av en hyperkub, måste du vända denna ram ut och in så att alla 8 kuberna binder en 4-dimensionell volym.

Det är gjort så här. Vi bjuder in en invånare i det fyrdimensionella rummet att besöka oss och ber honom hjälpa oss. Han tar tag i den inre kuben i denna ram och flyttar den i riktning mot den fjärde dimensionen, som är vinkelrät mot vårt tredimensionella utrymme. I vårt tredimensionella rum uppfattar vi det som att hela den inre ramen hade försvunnit och bara den yttre kubens ram fanns kvar.

Vidare erbjuder vår fyrdimensionella assistent sin assistans på förlossningssjukhus för smärtfri förlossning, men våra gravida kvinnor är rädda av utsikten att barnet helt enkelt kommer att försvinna från magen och hamna i ett parallellt tredimensionellt rum. Därför nekas den fyrdimensionella personen artigt.

Och vi är förbryllade över frågan om några av våra kuber gick isär när vi vände ut och in på hyperkubramen. När allt kommer omkring, om några tredimensionella kuber som omger en hyperkub vidrör sina grannar på ramen med sina ansikten, kommer de också att röra med samma ansikten om den fyrdimensionella kuben vänder ramen ut och in?

Låt oss åter vända oss till analogin med rum med lägre dimensioner. Jämför bilden av hyperkubramen med projektionen av en tredimensionell kub på ett plan som visas i följande bild.

Invånarna i det tvådimensionella rymden byggde en ram på ett plan för att projicera en kub på ett plan och bjöd in oss, tredimensionella invånare, att vända denna ram ut och in. Vi tar den inre kvadratens fyra hörn och flyttar dem vinkelrätt mot planet. Tvådimensionella invånare ser det fullständiga försvinnandet av hela den inre ramen, och de är kvar med bara ramen för den yttre torget. Med en sådan operation fortsätter alla rutor som var i kontakt med sina kanter att beröra samma kanter.

Därför hoppas vi att hyperkubens logiska schema inte heller kommer att kränkas när hyperkubens ram vänds ut och in, och antalet kvadratiska ytor på hyperkuben kommer inte att öka och kommer fortfarande att vara lika med 24. Detta, naturligtvis , är inget bevis alls, utan en ren gissning i analogi.

Efter allt du har läst här kan du enkelt rita det logiska ramverket för en femdimensionell kub och beräkna antalet hörn, kanter, ytor, kuber och hyperkuber den har. Det är inte alls svårt.