Sagor

Ge definitionen av ekvationen för en linje på ett plan. Coolt arbete04/02/12. Låt oss granska * Vilken ekvation kallas kvadratisk? * Vilka ekvationer kallas ofullständiga andragradsekvationer? * Som. Se vad "Ekvation" är i andra ordböcker

Lösa ekvationen

Illustration av en grafisk metod för att hitta rötterna till en ekvation

Att lösa en ekvation är uppgiften att hitta sådana värden för de argument vid vilka denna jämlikhet uppnås. Ytterligare villkor (heltal, reellt, etc.) kan ställas på argumentens möjliga värden.

Att ersätta en annan rot ger ett felaktigt påstående:

Således måste den andra roten kasseras som främmande.

Typer av ekvationer

Det finns algebraiska, parametriska, transcendentala, funktionella, differentiala och andra typer av ekvationer.

Vissa ekvationsklasser har analytiska lösningar, vilket är praktiskt eftersom de inte bara ger det exakta värdet på roten, utan låter dig också skriva lösningen i form av en formel, som kan innehålla parametrar. Analytiska uttryck tillåter inte bara att beräkna rötterna, utan också att analysera deras existens och deras kvantitet beroende på parametervärdena, vilket ofta är ännu viktigare för praktisk applikation, än de specifika värdena för rötterna.

Ekvationer för vilka analytiska lösningar är kända inkluderar algebraiska ekvationer som inte är högre än den fjärde graden: linjärekvation, andragradsekvation, kubisk ekvation och fjärdegradsekvation. Algebraiska ekvationer I det allmänna fallet har ekvationer med högre grader inga analytiska lösningar, även om vissa av dem kan reduceras till ekvationer med lägre grader.

En ekvation som inkluderar transcendentala funktioner kallas transcendentala. Bland dem är analytiska lösningar kända för vissa trigonometriska ekvationer, eftersom nollorna för trigonometriska funktioner är välkända.

I det allmänna fallet, när en analytisk lösning inte kan hittas, används numeriska metoder. Numeriska metoder ger ingen exakt lösning, utan tillåter bara att man begränsar intervallet där roten ligger till ett visst förutbestämt värde.

Exempel på ekvationer

se även

Litteratur

Bekarevich, A. B. Ekvationer i en skolmatematikkurs / A. B. Bekarevich. - M., 1968.
Markushevich, L. A. Ekvationer och ojämlikheter i den slutliga upprepningen av algebrakursen gymnasium/ L. A. Markushevich, R. S. Cherkasov. / Matematik i skolan. - 2004. - Nr 1.
Kaplan Y. V. Rivnyannya. - Kiev: Radyanska skolan, 1968.
Ekvationen- artikel från Great Soviet Encyclopedia
Ekvationer// Collier's Encyclopedia. – Öppet samhälle. 2000.
Ekvationen// Encyclopedia Around the World
Ekvationen // Matematisk uppslagsverk. - M.: Sovjetiskt uppslagsverk. I. M. Vinogradov. 1977-1985.

Länkar

EqWorld - World of Mathematical Equations - innehåller omfattande information om matematiska ekvationer och ekvationssystem.

Wikimedia Foundation. 2010.

Synonymer:

Antonymer:

Khadzhimba, Raul Dzhumkovich
ES DATOR

Se vad "ekvation" är i andra ordböcker:

EKVATIONEN - (1) matematisk notation problemet med att hitta sådana värden av argumenten (se (2)) för vilka värdena för de två data (se) är lika. Argumenten som dessa funktioner beror på kallas okända, och värdena för de okända där värdena ... ... Big Polytechnic Encyclopedia

EKVATIONEN- EKVATION, ekvationer, jfr. 1. Åtgärd enligt kap. utjämna utjämna och kondition enligt 2 kap. utjämna utjämna. Lika rättigheter. Tidsekvation (översättning av sann soltid till medelsoltid, accepterad i samhället och inom vetenskapen;... ... Lexikon Ushakova

EKVATIONEN- (ekvation) Kravet att matematiska uttryck fick en viss betydelse. Till exempel skrivs en andragradsekvation som: ax2+bx+c=0. Lösningen är värdet på x vid vilket den givna ekvationen blir en identitet. I… … Ekonomisk ordbok

EKVATIONEN- en matematisk representation av problemet med att hitta värdena för argumenten för vilka värdena för två givna funktioner är lika. Argumenten som dessa funktioner beror på kallas okända, och värdena för de okända där funktionsvärdena är lika... ... Stor encyklopedisk ordbok

EKVATIONEN- EKVATION, två uttryck förbundna med ett likhetstecken; dessa uttryck involverar en eller flera variabler som kallas okända. Att lösa en ekvation innebär att hitta alla värden för de okända där den blir en identitet, eller att fastställa... Modernt uppslagsverk

1. Vilket påstående kallas en följd? Bevisa att en linje som skär en av två parallella linjer också skär den andra 2. Bevisa det

Om två linjer är parallella med en tredje linje, så är de parallella.3. Vilket teorem kallas motsatsen till denna sats Ge exempel på satser som vänder sig till dessa data parallella linjer, då är den också vinkelrät mot en annan.6.Bevisa att när två parallella linjer skär varandra med en tvärgående: a) motsvarande vinklar är lika; b) summan av ensidiga vinklar är 180°.

Snälla hjälp mig med frågor om geometri (betyg 9)! 2) Vad innebär det att dekomponera en vektor i två

till dessa vektorer. 9) Vad är radievektorn för en punkt. Bevisa att punktens koordinater är lika med motsvarande koordinater för vektorerna? 10) Härled formler för att beräkna koordinaterna för en vektor från koordinaterna för dess början och slut. 11) Härled formler för att beräkna koordinaterna för en vektor från koordinaterna för dess ändar. 12) Härled en formel för att beräkna längden på en vektor från dess koordinater. 13) Härled en formel för att beräkna avståndet mellan två punkter baserat på deras koordinater. 15) Vilken ekvation kallas denna linjes ekvation. Ge ett exempel? 16) Härled ekvationen för en cirkel med en given radie med ett centrum i en given punkt.

1) Ange och bevisa lemma om kolinjära vektorer.

3)Formulera och bevisa en sats om sönderdelningen av en vektor till två icke-kollinjära vektorer.
4) Förklara hur ett rektangulärt koordinatsystem introduceras.
5) Vad är koordinatvektorer?
6)Formulera och bevisa ett påstående om nedbrytningen av en godtycklig vektor till koordinatvektorer.
7) Vad är vektorkoordinater?
8) Formulera och bevisa reglerna för att hitta koordinaterna för summan och skillnaden av vektorer, samt produkten av en vektor och ett tal vid givna vektorkoordinater.
10) Härled formler för att beräkna koordinaterna för en vektor från koordinaterna för dess början och slut.
11) Härled formler för att beräkna koordinaterna för en vektor från koordinaterna för dess ändar.
12) Härled en formel för att beräkna längden på en vektor från dess koordinater.
13) Härled en formel för att beräkna avståndet mellan två punkter baserat på deras koordinater.
14) Ge ett exempel på en lösning geometriska problem med hjälp av koordinatmetoden.
16) Härled ekvationen för en cirkel med en given radie med ett centrum i en given punkt.
17) Skriv ekvationen för en cirkel med given radie med centrum i origo.
18) Härled ekvationen för denna linje i ett rektangulärt koordinatsystem.
19) Skriv ekvationen för linjer som går genom en given punkt M0 (X0: Y0) och parallella med koordinataxlarna.
20) Skriv ekvationen för koordinataxlarna.
21) Ge exempel på att använda ekvationerna för en cirkel och en linje när du löser geometriska problem.

Snälla, jag behöver det verkligen! Gärna med ritningar (vid behov)!

GEOMETRI 9. KLASS.

1) Ange och bevisa lemma om kolinjära vektorer.
2) Vad innebär det att dekomponera en vektor i två givna vektorer.
3)Formulera och bevisa en sats om sönderdelningen av en vektor till två icke-kollinjära vektorer.
4) Förklara hur ett rektangulärt koordinatsystem introduceras.
5) Vad är koordinatvektorer?
6)Formulera och bevisa ett påstående om nedbrytningen av en godtycklig vektor till koordinatvektorer.
7) Vad är vektorkoordinater?
8) Formulera och bevisa reglerna för att hitta koordinaterna för summan och skillnaden av vektorer, samt produkten av en vektor och ett tal vid givna vektorkoordinater.
9) Vad är radievektorn för en punkt? Bevisa att koordinaterna för en punkt är lika med motsvarande koordinater för vektorerna.
14) Ge ett exempel på att lösa ett geometriskt problem med hjälp av koordinatmetoden.
15) Vilken ekvation kallas denna linjes ekvation? Ge ett exempel.
17) Skriv ekvationen för en cirkel med given radie med centrum i origo.
18) Härled ekvationen för denna linje i ett rektangulärt koordinatsystem.
19) Skriv ekvationen för linjer som går genom en given punkt M0 (X0: Y0) och parallella med koordinataxlarna.
20) Skriv ekvationen för koordinataxlarna.
21) Ge exempel på att använda ekvationerna för en cirkel och en linje när du löser geometriska problem.

Rak linje på ett plan och i rymden.

Studerar fastigheter geometriska former att använda algebra kallas analytisk geometri , och vi kommer att använda den så kallade koordinatmetod .

En linje på ett plan definieras vanligtvis som en uppsättning punkter som har egenskaper som är unika för dem. Det faktum att x- och y-koordinaterna (talen) för en punkt som ligger på denna linje skrivs analytiskt i form av någon ekvation.

Def.1 Ekvation för en linje (ekvation för en kurva) på Oxy-planet kallas en ekvation (*), som är uppfylld av x- och y-koordinaterna för varje punkt på en given linje och inte uppfylls av koordinaterna för någon annan punkt som inte ligger på denna linje.

Av definition 1 följer att varje linje på planet motsvarar någon ekvation mellan de aktuella koordinaterna ( x,y ) punkter på denna linje och vice versa, varje ekvation motsvarar generellt sett en viss linje.

Detta ger upphov till två huvudproblem med analytisk geometri på planet.

1. En linje ges i form av en uppsättning punkter. Vi måste skapa en ekvation för denna linje.

2. Linjens ekvation ges. Det är nödvändigt att studera dess geometriska egenskaper (form och plats).

Exempel. Ljuger poängen A(-2;1) Och I (1;1) på rad 2 X +på +3=0?

Problemet med att hitta skärningspunkterna för två linjer, ges av ekvationer och, handlar om att hitta koordinater som uppfyller ekvationen för båda linjerna, dvs. att lösa ett system av två ekvationer med två okända.

Om detta system inte har några riktiga lösningar, skärs inte linjerna.

Konceptet med en linje introduceras i UCS på liknande sätt.

En linje på ett plan kan definieras av två ekvationer

Var X Och på – godtyckliga punktkoordinater M(x;y), liggande på denna linje, och t - en variabel som kallas parameter , bestämmer parametern positionen för punkten på planet.

Till exempel, om , då motsvarar värdet på parametern t=2 punkten (3;4) på planet.

Om parametern ändras, flyttas punkten på planet, vilket beskriver denna linje. Denna metod för att definiera en linje kallas parametrisk, och ekvation (5.1) är en parametrisk ekvation för linjen.

För att gå från parametriska ekvationer till en allmän ekvation (*) måste man på något sätt eliminera parametern från de två ekvationerna. Vi noterar dock att en sådan övergång inte alltid är tillrådlig och inte alltid möjlig.

En linje på ett plan kan anges vektorekvation , där t är en skalär variabel parameter. Varje parametervärde motsvarar en specifik planvektor. När du ändrar parametern kommer slutet av vektorn att beskriva en viss linje.

Vektor ekvation i DSC motsvarar två skalära ekvationer

(5.1), dvs. projektionsekvationerna på koordinataxlarna för vektorekvationen för en linje är dess

parametrisk ekvation.

Vektor ekvation och linjens parametriska ekvationer har en mekanisk betydelse. Om en punkt rör sig på ett plan, anropas de angivna ekvationerna rörelseekvationer och linjen är punktens bana, parametern t är tid.

Slutsats: varje linje på planet motsvarar en formekvation.

I det allmänna fallet motsvarar ALLA EKVATION AV EN VY en viss linje, vars egenskaper bestäms av den givna ekvationen (med undantag för att ingen geometrisk bild motsvarar en ekvation på ett plan).

Låt ett koordinatsystem på planet väljas.

Def. 5.1. Linjeekvation denna typ av ekvation kallasF(x;y) =0, vilket är uppfyllt av koordinaterna för varje punkt som ligger på denna linje, och inte uppfyllt av koordinaterna för någon punkt som inte ligger på den.

Formens ekvationF(x;y )=0 – kallas den allmänna ekvationen för en linje eller en ekvation i implicit form.

Linjen Г är således platsen för punkter som uppfyller denna ekvation Г=((x, y): F(x;y)=0).

Linjen kallas också krokig.

Mål: Betrakta konceptet med en linje på ett plan, ge exempel. Baserat på definitionen av en linje, introducera begreppet en ekvation av en linje på ett plan. Betrakta typerna av räta linjer, ge exempel och metoder för att definiera en rät linje. Stärka förmågan att översätta ekvationen för en rät linje från allmän syn in i ekvationen för en rät linje "i segment", med en vinkelkoefficient.

Ekvation för en linje på ett plan.
Ekvation för en rät linje på ett plan. Typer av ekvationer.
Metoder för att specificera en rät linje.

1. Låt x och y vara två godtyckliga variabler.

Definition: En relation av formen F(x,y)=0 kallas ekvation , om det inte är sant för några par av tal x och y.

Exempel: 2x + 7y – 1 = 0, x 2 + y 2 – 25 = 0.

Om likheten F(x,y)=0 gäller för alla x, y, så är därför F(x,y) = 0 en identitet.

Exempel: (x + y) 2 - x 2 - 2xy - y 2 = 0

De säger att talen x är 0 och y är 0 uppfylla ekvationen , om när de sätts in i denna ekvation blir det en sann likhet.

Det viktigaste konceptet för analytisk geometri är konceptet med ekvationen för en linje.

Definition: Ekvationen för en given linje är ekvationen F(x,y)=0, som uppfylls av koordinaterna för alla punkter som ligger på denna linje, och inte uppfylls av koordinaterna för någon av punkterna som inte ligger på denna linje.

Linjen som definieras av ekvationen y = f(x) kallas grafen för f(x). Variablerna x och y kallas aktuella koordinater, eftersom de är koordinaterna för en variabel punkt.

Några exempel linjedefinitioner.

1) x – y = 0 => x = y. Denna ekvation definierar en rät linje:

2) x 2 - y 2 = 0 => (x-y)(x+y) = 0 => punkter måste uppfylla antingen ekvationen x - y = 0, eller ekvationen x + y = 0, som på planet motsvarar ett par skärande räta linjer som är halveringslinjer för koordinatvinklar:

3) x 2 + y 2 = 0. Denna ekvation är uppfylld med endast en punkt O(0,0).

2. Definition: Vilken rät linje som helst på planet kan specificeras med en första ordningens ekvation

Axe + Wu + C = 0,

Dessutom är konstanterna A och B inte lika med noll samtidigt, dvs. A 2 + B 2 ¹ 0. Denna första ordningens ekvation kallas generell ekvation för en rät linje.

Beroende på värdena för konstanterna A, B och C är följande specialfall möjliga:

C = 0, A ¹ 0, B ¹ 0 – den räta linjen går genom origo

A = 0, B ¹ 0, C ¹ 0 (By + C = 0) - rät linje parallell med Ox-axeln

B = 0, A ¹ 0, C ¹ 0 (Ax + C = 0) – rät linje parallell med Oy-axeln

B = C = 0, A ¹ 0 – den räta linjen sammanfaller med Oy-axeln

A = C = 0, B ¹ 0 – den räta linjen sammanfaller med Ox-axeln

Ekvationen för en rät linje kan presenteras i olika former beroende på vilka initiala förutsättningar som helst.

Ekvation för en rät linje med en vinkelkoefficient.

Om den allmänna ekvationen för den räta linjen Ax + By + C = 0 reduceras till formen:

och beteckna , då kallas den resulterande ekvationen ekvation för en rät linje med lutning k.

Ekvation för en rät linje i segment.

Om i allmän ekvation rät linje Ах + Ву + С = 0 С ¹ 0, då, dividerat med –С, får vi: eller, där

Geometrisk betydelse koefficienter är att koefficienten Aär koordinaten för skärningspunkten för linjen med Ox-axeln, och b– koordinaten för skärningspunkten mellan den räta linjen och Oy-axeln.

Normal ekvation för en linje.

Om båda sidor av ekvationen Ax + By + C = 0 divideras med ett tal som kallas normaliserande faktor, då får vi

xcosj + ysinj - p = 0 – normalekvationen för en rät linje.

Tecknet ± för den normaliserande faktorn måste väljas så att m×С< 0.

p är längden på vinkelrät sänkt från origo till den räta linjen, och j är vinkeln som bildas av denna vinkelrät med Ox-axelns positiva riktning.

3. Ekvation av en rät linje med hjälp av en punkt och lutning.

Låt linjens vinkelkoefficient vara lika med k, linjen går genom punkten M(x 0, y 0). Då hittas den räta linjens ekvation av formeln: y – y 0 = k(x – x 0)

Ekvation för en linje som går genom två punkter.

Låt två punkter M 1 (x 1, y 1, z 1) och M 2 (x 2, y 2, z 2) ges i rymden, då är ekvationen för linjen som går genom dessa punkter:

Om någon av nämnarna är noll, ska motsvarande täljare sättas lika med noll.

På planet är ekvationen för den räta linjen skriven ovan förenklad:

om x 1 ¹ x 2 och x = x 1, om x 1 = x 2.

Bråket = k kallas backe hetero.

Låt ett kartesiskt rektangulärt koordinatsystem Oxy och någon linje L ges på -planet.

Definition. Ekvationen F(x;y)=0 (1) kallad linjeekvationenL(relativt ett givet koordinatsystem), om denna ekvation är uppfylld av x- och y-koordinaterna för någon punkt som ligger på linjen L, och inte av x- och y-koordinaterna för någon punkt som inte ligger på linjen L.

Den där. linje på ett planär platsen för punkter (M(x;y)) vars koordinater uppfyller ekvation (1).

Ekvation (1) definierar L-linjen.

Exempel. En cirkels ekvation.

Cirkel– en uppsättning punkter på samma avstånd från en given punkt M 0 (x 0,y 0).

Punkt M 0 (x 0,y 0) – cirkelns mitt.

För varje punkt M(x;y) som ligger på cirkeln, avståndet MM 0 =R (R=const)

MM 0 ==R

(x-x 0 ) 2 +(oooh 0 ) 2 =R 2 –(2) – ekvation av en cirkel med radien R med centrum i punkten M 0 (x 0,y 0).

Parametrisk ekvation för en linje.

Låt x- och y-koordinaterna för punkterna på linjen L uttryckas med parametern t:

(3) – parametrisk ekvation för linjen i DSC

där funktionerna (t) och (t) är kontinuerliga med avseende på parametern t (i ett visst variationsområde för denna parameter).

Exklusive parametern t från ekvation (3) får vi ekvation (1).

Låt oss betrakta linje L som den väg som korsas av en materiell punkt som kontinuerligt rör sig enligt en viss lag. Låt variabeln t representera tid räknad från något initialt ögonblick. Då representerar specifikationen av rörelselagen specifikationen av koordinaterna x och y för den rörliga punkten som några kontinuerliga funktioner x=(t) och y=(t) för tiden t.

Exempel. Låt oss härleda en parametrisk ekvation för en cirkel med radien r>0 med centrum i origo. Låt M(x,y) vara en godtycklig punkt i denna cirkel, och t vara vinkeln mellan radievektorn och Ox-axeln, räknat moturs.

Då x=r cos x y=r sin t. (4)

Ekvationerna (4) är parametriska ekvationer för den aktuella cirkeln. Parametern t kan ta vilket värde som helst, men för att punkten M(x,y) ska gå runt cirkeln en gång begränsas intervallet för parameterändringen till halvsegmentet 0t2.

Genom att kvadrera och addera ekvationerna (4) får vi den allmänna ekvationen för en cirkel (2).

2. Polärt koordinatsystem (psc).

Låt oss välja L-axeln ( polära axeln) och bestäm punkten för denna axel O ( Pol). Varje punkt på planet är unikt definierad polära koordinaterρ och φ, där

ρ – polär radie, lika med avståndet från punkt M till pol O (ρ≥0);

φ – hörn mellan vektorriktningen OM och L-axeln ( polär vinkel). M(ρ ; φ )

Linjeekvation i UCS kan skrivas:

ρ=f(φ) (5) explicit ekvation för linjen i UCS

F=(ρ; φ) (6) implicit linjeekvation i UCS

Förhållandet mellan kartesiska och polära koordinater för en punkt.

(x;y) (ρ ; φ ) Från triangel OMA:

tan φ=(återställning av vinkelnφ enligt det kändatangent producerasmed hänsyn till vilken kvadrantpunkt M är belägen).(ρ ; φ )(x;y). x=ρcosφ,y=ρsinφ

Exempel . Hitta de polära koordinaterna för punkterna M(3;4) och P(1;-1).

För M:=5, φ=arctg (4/3). För P: ρ=; φ=Π+arctg(-1)=3Π/4.

Klassificering av plana linjer.

Definition 1. Linjen kallas algebraisk, om i något kartesiskt rektangulärt koordinatsystem, om det definieras av ekvationen F(x;y)=0 (1), där funktionen F(x;y) är ett algebraiskt polynom.

Definition 2. Varje icke-algebraisk linje kallas transcendentala.

Definition 3. Den algebraiska linjen kallas orderlinjen, om i något kartesiskt rektangulärt koordinatsystem denna linje bestäms av ekvation (1), där funktionen F(x;y) är ett algebraiskt polynom av n:te graden.

Således är en linje av n:te ordningen en linje som definieras i något kartesiskt rektangulärt system av en algebraisk ekvation av grad n med två okända.

Följande teorem bidrar till att fastställa riktigheten av definitionerna 1,2,3.

Sats(dokument på s. 107). Om en linje i något kartesiskt rektangulärt koordinatsystem bestäms av en algebraisk ekvation av grad n, så bestäms denna linje i något annat kartesiskt rektangulärt koordinatsystem av en algebraisk ekvation av samma grad n.