Vilken formel är den matematiska representationen av Hookes lag. Generaliserade Hookes lag. Bestämning av mekaniska egenskaper hos material. Dragprov. Kompressionstest
Hookes lag brukar kallas linjära samband mellan töjningskomponenter och spänningskomponenter.
Låt oss ta en elementär rektangulär parallellepiped med ytor parallella med koordinataxlarna, laddad med normal spänning σ x, jämnt fördelat över två motsatta ytor (fig. 1). Vart i σy = σ z = τ x y = τ x z = τ yz = 0.
Upp till proportionalitetsgränsen ges den relativa töjningen av formeln
Var E— dragelasticitetsmodul. För stål E = 2*10 5 MPa, därför är deformationerna mycket små och mäts i procent eller 1 * 10 5 (i töjningsmätinstrument som mäter deformationer).
Förlängning av ett element i axelriktningen Xåtföljs av dess avsmalning i tvärriktningen, bestämt av deformationskomponenterna
Var μ - en konstant som kallas lateral kompressionsförhållande eller Poissons förhållande. För stål μ tas vanligtvis lika med 0,25-0,3.
Om elementet i fråga belastas samtidigt med normala spänningar σ x, σy, σ z, jämnt fördelat längs dess ytor, sedan läggs deformationer till
Genom att överlagra de deformationskomponenter som orsakas av var och en av de tre spänningarna får vi sambanden
Dessa samband bekräftas av många experiment. Applicerad överläggsmetod eller superpositioner att hitta de totala töjningarna och spänningarna som orsakas av flera krafter är legitimt så länge töjningarna och spänningarna är små och linjärt beroende av de applicerade krafterna. I sådana fall försummar vi små förändringar i den deformerade kroppens dimensioner och små rörelser av appliceringspunkterna för yttre krafter och baserar våra beräkningar på kroppens initiala dimensioner och initiala form.
Det bör noteras att förskjutningarnas småhet inte nödvändigtvis innebär linjäriteten i sambanden mellan krafter och deformationer. Så till exempel i en komprimerad kraft F stång belastad ytterligare med tvärkraft Räven med liten avböjning δ ytterligare en punkt uppstår M = Qδ, vilket gör problemet olinjärt. I sådana fall är det inte full avböjning linjära funktioner ansträngning och kan inte erhållas genom enkel överlagring.
Det har experimentellt fastställts att om skjuvspänningar verkar längs alla ytor av elementet, beror förvrängningen av motsvarande vinkel endast på motsvarande komponenter i skjuvspänningen.
Konstant G kallas skjuvmodulen för elasticitet eller skjuvmodul.
Det allmänna fallet med deformation av ett element på grund av verkan av tre normala och tre tangentiella spänningskomponenter på det kan erhållas med hjälp av superposition: tre skjuvdeformationer, bestämda av relationer (5.2b), överlagras på tre linjära deformationer som bestäms av uttryck ( 5.2a). Ekvationerna (5.2a) och (5.2b) bestämmer förhållandet mellan komponenterna i töjningar och spänningar och kallas generaliserade Hookes lag. Låt oss nu visa att skjuvmodulen G uttryckt i termer av dragelasticitetsmodul E och Poissons förhållande μ . För att göra detta, överväg specialfall, När σ x = σ , σy = -σ Och σ z = 0.
Låt oss skära ut elementet abcd plan parallella med axeln z och lutande i en vinkel av 45° mot axlarna X Och på(Fig. 3). Som följer av jämviktsförhållandena för element 0 bс, normal stress σ v på alla sidor av elementet abcdär noll och skjuvspänningarna är lika
Detta tillstånd av spänning kallas ren klippning. Av ekvation (5.2a) följer att
det vill säga förlängningen av det horisontella elementet är 0 c lika med förkortningen av det vertikala elementet 0 b: εy = -e x.
Vinkel mellan ansikten ab Och före Kristus förändringar och motsvarande skjuvtöjningsvärde γ kan hittas från triangeln 0 bс:
Det följer att
Lagen om proportionalitet mellan förlängningen av en fjäder och den applicerade kraften upptäcktes av den engelske fysikern Robert Hooke (1635-1703)
Hookes vetenskapliga intressen var så breda att han ofta inte hade tid att slutföra sin forskning. Detta gav upphov till heta dispyter om prioritet i upptäckten av vissa lagar med de största vetenskapsmännen (Huygens, Newton, etc.). Hookes lag var dock så övertygande underbyggd av många experiment att Hookes prioritet aldrig ifrågasattes.
Robert Hookes vårteori:
Detta är Hookes lag!
PROBLEMLÖSNING
Bestäm styvheten hos en fjäder som, under inverkan av en kraft på 10 N, förlängs med 5 cm.
Given:
g = 10 N/kg
F=10H
X = 5 cm = 0,05 m
Hitta:
k = ?
Lasten är i balans.
Svar: fjäderstyvhet k = 200N/m.
UPPGIFT FÖR "5"
(lämna in på ett papper).
Förklara varför det är säkert för en akrobat att hoppa på ett studsmattanät från stor höjd? (vi kallar på Robert Hooke för hjälp)
Jag ser fram emot ditt svar!
LITE ERFARENHET
Placera gummislangen vertikalt, på vilken metallringen tidigare satts tätt, och sträck röret. Vad kommer att hända med ringen?
Dynamik - Cool fysik
Hookes lag är formulerad enligt följande: den elastiska kraften som uppstår när en kropp deformeras på grund av applicering av yttre krafter är proportionell mot dess förlängning. Deformation är i sin tur en förändring av ett ämnes interatomära eller intermolekylära avstånd under påverkan av yttre krafter. Den elastiska kraften är den kraft som tenderar att återföra dessa atomer eller molekyler till ett jämviktstillstånd.
Formel 1 - Hookes lag.
F - Elastisk kraft.
k - kroppsstyvhet (Proportionalitetskoefficient, som beror på kroppens material och dess form).
x - Kroppsdeformation (förlängning eller kompression av kroppen).
Denna lag upptäcktes av Robert Hooke 1660. Han genomförde ett experiment, som bestod av följande. En tunn stålsträng fixerades i ena änden och olika krafter applicerades på den andra änden. Enkelt uttryckt hängdes en sträng upp i taket och en belastning med varierande massa applicerades på den.
Figur 1 - Strängsträckning under påverkan av gravitationen.
Som ett resultat av experimentet fick Hooke reda på att i små gångar är beroendet av en kropps sträckning linjärt med avseende på den elastiska kraften. Det vill säga när en kraftenhet appliceras förlängs kroppen med en längdenhet.
Figur 2 - Graf över elastisk krafts beroende av kroppsförlängning.
Noll på grafen är kroppens ursprungliga längd. Allt till höger är en ökning av kroppslängden. I detta fall har den elastiska kraften ett negativt värde. Det vill säga, hon strävar efter att återställa kroppen till sitt ursprungliga tillstånd. Följaktligen är den riktad mot den deformerande kraften. Allt till vänster är kroppskompression. Den elastiska kraften är positiv.
Sträckningen av strängen beror inte bara på den yttre kraften, utan också på strängens tvärsnitt. Ett tunt snöre kommer på något sätt att sträckas på grund av sin låga vikt. Men om du tar ett snöre av samma längd, men med en diameter på till exempel 1 m, är det svårt att föreställa sig hur mycket vikt som kommer att krävas för att sträcka den.
För att bedöma hur en kraft verkar på en kropp med ett visst tvärsnitt introduceras begreppet normal mekanisk påkänning.
Formel 2 - normal mekanisk belastning.
S-Tvärsnittsarea.
Denna stress är ytterst proportionell mot kroppens förlängning. Relativ förlängning är förhållandet mellan ökningen av en kropps längd och dess totala längd. Och proportionalitetskoefficienten kallas Youngs modul. Modulus eftersom värdet av kroppens förlängning tas modulo, utan att ta hänsyn till tecknet. Den tar inte hänsyn till om kroppen är förkortad eller förlängd. Det är viktigt att ändra dess längd.
Formel 3 - Youngs modul.
|e|. - Relativ förlängning av kroppen.
s är normal kroppsspänning.
Koefficienten E i denna formel kallas Youngs modul. Youngs modul beror endast på materialets egenskaper och beror inte på kroppens storlek och form. För olika material varierar Youngs modul kraftigt. För stål, till exempel, E ≈ 2·10 11 N/m 2 , och för gummi E ≈ 2· 10 6 N/m 2 , det vill säga fem storleksordningar mindre.
Hookes lag kan generaliseras till fallet med mer komplexa deformationer. Till exempel när böjningsdeformation den elastiska kraften är proportionell mot avböjningen av stången, vars ändar ligger på två stöd (fig. 1.12.2).
 |
Figur 1.12.2. Böjdeformation.  |
Den elastiska kraften som verkar på kroppen från sidan av stödet (eller upphängningen) kallas markreaktionskraft. När kropparna kommer i kontakt riktas stödreaktionskraften vinkelrät kontaktytor. Det är därför det ofta kallas styrka normalt tryck. Om en kropp ligger på ett horisontellt stationärt bord riktas stödreaktionskraften vertikalt uppåt och balanserar tyngdkraften: Kraften med vilken kroppen verkar på bordet kallas kroppsvikt.
Inom tekniken, spiralformad fjädrar(Fig. 1.12.3). När fjädrar sträcks eller trycks ihop uppstår elastiska krafter som också följer Hookes lag. Koefficienten k kallas fjäderstyvhet. Inom gränserna för tillämpligheten av Hookes lag kan fjädrar kraftigt ändra sin längd. Därför används de ofta för att mäta krafter. En fjäder vars spänning mäts i kraftenheter kallas dynamometer. Man bör komma ihåg att när en fjäder sträcks eller komprimeras, uppstår komplexa vridnings- och böjdeformationer i dess spolar.
 |
| Figur 1.12.3. Fjäderförlängningsdeformation. |
Till skillnad från fjädrar och vissa elastiska material (till exempel gummi), följer drag- eller kompressionsdeformationen av elastiska stänger (eller trådar) Hookes linjära lag inom mycket snäva gränser. För metaller bör den relativa deformationen ε = x / l inte överstiga 1 %. Vid stora deformationer uppstår irreversibla fenomen (fluiditet) och förstörelse av materialet.
§ 10. Elastisk kraft. Hookes lag
Typer av deformationer
Deformation kallas en förändring i kroppens form, storlek eller volym. Deformation kan orsakas av yttre krafter som appliceras på kroppen.
Deformationer som helt försvinner efter att verkan av yttre krafter på kroppen upphör kallas elastisk och deformationer som kvarstår även efter att yttre krafter har upphört att verka på kroppen - plast.
Skilja på dragpåkänning eller kompression(ensidigt eller heltäckande), böjning, torsion Och flytta.
Elastiska krafter
För missbildningar fast dess partiklar (atomer, molekyler, joner), belägna vid noderna i kristallgittret, förskjuts från sina jämviktspositioner. Denna förskjutning motverkas av samverkanskrafterna mellan partiklar i en fast kropp, som håller dessa partiklar på ett visst avstånd från varandra. Därför, med någon typ av elastisk deformation, uppstår inre krafter i kroppen som förhindrar dess deformation.
De krafter som uppstår i en kropp under dess elastiska deformation och som är riktade mot den förskjutningsriktning av kroppens partiklar som orsakas av deformationen kallas elastiska krafter. Elastiska krafter verkar i vilken sektion som helst av en deformerad kropp, såväl som vid kontaktpunkten med kroppen som orsakar deformation. Vid ensidig spänning eller kompression riktas den elastiska kraften längs den räta linje längs vilken den yttre kraften verkar, vilket orsakar deformation av kroppen, motsatt riktningen av denna kraft och vinkelrätt mot kroppens yta. De elastiska krafternas natur är elektriska.
Vi kommer att överväga fallet med förekomsten av elastiska krafter under ensidig spänning och kompression av en solid kropp.
Hookes lag
Sambandet mellan den elastiska kraften och den elastiska deformationen av en kropp (vid små deformationer) etablerades experimentellt av Newtons samtida, den engelske fysikern Hooke. Matematiskt uttryck Hookes lag för ensidig spänning (kompression) deformation har formen
där f är den elastiska kraften; x - förlängning (deformation) av kroppen; k är en proportionalitetskoefficient beroende på kroppens storlek och material, kallad styvhet. SI-enheten för styvhet är newton per meter (N/m).
Hookes lag för ensidig spänning (kompression) formuleras enligt följande: Den elastiska kraften som uppstår under deformation av en kropp är proportionell mot förlängningen av denna kropp.
Låt oss överväga ett experiment som illustrerar Hookes lag. Låt den cylindriska fjäderns symmetriaxel sammanfalla med den räta linjen Axe (Fig. 20, a). Ena änden av fjädern är fixerad i stödet vid punkt A, och den andra är fri och kroppen M är fäst vid den. När fjädern inte är deformerad är dess fria ände placerad i punkt C. Denna punkt kommer att tas som origo för koordinaten x, som bestämmer läget för fjäderns fria ände.
Låt oss sträcka fjädern så att dess fria ände är vid punkt D, vars koordinat är x>0: Vid denna punkt verkar fjädern på kroppen M med en elastisk kraft
Låt oss nu komprimera fjädern så att dess fria ände är i punkt B, vars koordinat är x<0. В этой точке пружина действует на тело М упругой силой
Av figuren framgår att projektionen av fjäderns elastiska kraft på Axe-axeln alltid har ett tecken motsatt x-koordinatens tecken, eftersom den elastiska kraften alltid är riktad mot jämviktsläget C. I fig. 20, b visar en graf över Hookes lag. Värdena på fjäderns förlängning x är avsatta på abskissaxeln, och värdena för elastisk kraft plottas på ordinataaxeln. Beroendet av fx på x är linjärt, så grafen är en rät linje som går genom origo för koordinater.
Låt oss överväga ett annat experiment.
Låt ena änden av en tunn ståltråd fästas i ett fäste och en last hängande från den andra änden, vars vikt är en yttre dragkraft F som verkar på tråden vinkelrätt mot dess tvärsnitt (fig. 21).
Verkan av denna kraft på tråden beror inte bara på kraftmodulen F utan också på trådens S tvärsnittsarea.
Under påverkan av en yttre kraft som appliceras på den deformeras och sträcks tråden. Om sträckningen inte är för stor är denna deformation elastisk. I en elastiskt deformerad tråd uppstår en elastisk kraft f-enhet.
Enligt Newtons tredje lag är den elastiska kraften lika stor och motsatt i riktning mot den yttre kraft som verkar på kroppen, d.v.s.
f upp = -F (2,10)
Tillståndet hos en elastiskt deformerad kropp kännetecknas av värdet s, kallat normal mekanisk belastning(eller kort sagt bara normal spänning). Normal spänning s är lika med förhållandet mellan den elastiska kraftens modul och kroppens tvärsnittsarea:
s=f upp /S (2.11)
Låt den initiala längden på den osträckta tråden vara L 0 . Efter att ha anbringat kraften F sträcktes tråden och dess längd blev lika med L. Värdet DL=L-L 0 kallas absolut trådförlängning. Storlek
kallad relativ kroppsförlängning. För dragtöjning e>0, för trycktöjning e<0.
Observationer visar att för små deformationer är normalspänningen s proportionell mot den relativa förlängningen e:
Formel (2.13) är en av typerna av att skriva Hookes lag för ensidig spänning (kompression). I denna formel tas den relativa förlängningen modulo, eftersom den kan vara både positiv och negativ. Proportionalitetskoefficienten E i Hookes lag kallas longitudinell elasticitetsmodul (Youngs modul).
Låt oss fastställa den fysiska innebörden av Youngs modul. Som framgår av formel (2.12), e=1 och L=2L 0 med DL=L 0 . Av formel (2.13) följer att i detta fall s=E. Följaktligen är Youngs modul numeriskt lika med den normala spänningen som bör uppstå i kroppen om dess längd fördubblas. (om Hookes lag var sann för en så stor deformation). Från formel (2.13) är det också tydligt att Youngs modul i SI uttrycks i pascal (1 Pa = 1 N/m2).
Spänningsdiagram
Med hjälp av formeln (2.13), från de experimentella värdena för den relativa förlängningen e, kan man beräkna motsvarande värden för normalspänningen s som uppstår i den deformerade kroppen och konstruera en graf över beroendet av s på e. Denna graf kallas sträckdiagram. En liknande graf för ett metallprov visas i fig. 22. I avsnitt 0-1 ser grafen ut som en rät linje som går genom origo. Detta innebär att upp till ett visst spänningsvärde är deformationen elastisk och Hookes lag är uppfylld, d.v.s. normalspänningen är proportionell mot den relativa töjningen. Det maximala värdet för normal stress s p, vid vilket Hookes lag fortfarande är uppfylld, kallas proportionalitetsgränsen.
Med en ytterligare ökning av belastningen blir spänningens beroende av relativ töjning olinjär (sektion 1-2), även om kroppens elastiska egenskaper fortfarande bevaras. Det maximala värdet s för normal spänning, vid vilken restdeformation ännu inte inträffar, kallas elastisk gräns. (Elasticitetsgränsen överskrider proportionalitetsgränsen med endast hundradelar av en procent.) Ökning av belastningen över elasticitetsgränsen (avsnitt 2-3) leder till att deformationen blir kvarvarande.
Sedan börjar provet förlängas vid nästan konstant spänning (avsnitt 3-4 i grafen). Detta fenomen kallas materialfluiditet. Normalspänningen s t vid vilken restdeformationen når ett givet värde kallas sträckgräns.
Vid spänningar som överstiger sträckgränsen återställs kroppens elastiska egenskaper i viss utsträckning, och den börjar återigen motstå deformation (avsnitt 4-5 i grafen). Det maximala värdet för normalspänning spr, över vilken provet brister, kallas brottgräns.
Energin hos en elastiskt deformerad kropp
Genom att ersätta värdena för s och e från formlerna (2.11) och (2.12) med formeln (2.13), får vi
f upp /S=E|DL|/L 0 .
därav följer att den elastiska kraften fуn, som uppstår under deformation av kroppen, bestäms av formeln
f upp =ES|DL|/L 0 . (2,14)
Låt oss bestämma arbetet A def som utförs under deformation av kroppen och den potentiella energin W för den elastiskt deformerade kroppen. Enligt lagen om energibevarande,
W=A def. (2,15)
Som framgår av formel (2.14) kan den elastiska kraftens modul förändras. Det ökar i proportion till kroppens deformation. Därför, för att beräkna deformationsarbetet, är det nödvändigt att ta medelvärdet av den elastiska kraften
Bestäms sedan av formeln A def =
A def = ES|DL| 2/2L 0 .
Genom att ersätta detta uttryck med formeln (2.15) finner vi värdet av den potentiella energin hos en elastiskt deformerad kropp:
W=ES|DL| 2/2L 0 . (2,17)
För en elastiskt deformerad fjäder är ES/L 0 =k fjäderstyvheten; x är fjäderns förlängning. Därför kan formel (2.17) skrivas i formen
W=kx 2/2. (2,18)
Formel (2.18) bestämmer den potentiella energin för en elastiskt deformerad fjäder.
Frågor för självkontroll:
Vad är deformation?
Vilken deformation kallas elastisk? plast?
Nämn typerna av deformationer.
Vad är elastisk kraft? Hur är det riktat? Vilken natur har denna kraft?
Hur är Hookes lag formulerad och skriven för ensidig spänning (kompression)?
Vad är stelhet? Vad är SI-enheten för hårdhet?
Rita ett diagram och förklara ett experiment som illustrerar Hookes lag. Rita en graf över denna lag.
Efter att ha gjort en förklarande ritning, beskriv processen att sträcka en metalltråd under belastning.
Vad är normal mekanisk belastning? Vilken formel uttrycker innebörden av detta begrepp?
Vad kallas absolut förlängning? relativ förlängning? Vilka formler uttrycker innebörden av dessa begrepp?
Vilken form har Hookes lag i en post som innehåller normal mekanisk påkänning?
Vad kallas Youngs modul? Vad är dess fysiska betydelse? Vad är SI-enheten för Youngs modul?
Rita och förklara spännings-töjningsdiagrammet för ett metallexemplar.
Vad kallas proportionalitetsgränsen? elasticitet? omsättning? styrka?
Skaffa formler som bestämmer arbetet med deformation och potentiell energi hos en elastiskt deformerad kropp.
