Konstruktion av sektioner i en tetraeder. Tetraeder och dess sektion Konstruktion av en tetraedersektion från tre punkter

Lektion om ämnet:

"Konstruktion av sektioner av en tetraeder och parallellepiped"

Lektionens mål

1. Bekanta dig med grunderna för att lösa problem som involverar att konstruera sektioner av en tetraeder och en parallellepiped av ett plan.

2. Identifiera typer av problem för att bygga sektioner.

3. Utveckla färdigheter i att lösa problem som involverar konstruktion av sektioner av en tetraeder och parallellepiped.

4. Bildande av rumslig fantasi.

Under lektionerna.

jag Att organisera tid.

II Kontrollera läxor.

Killar, vilka geometriska kroppar studerade vi på våra senaste lektioner? (tetraeder, parallellepiped).

Vad kallas en tetraeder?

Vad kallas en parallellepiped?

Låt oss nu kontrollera det muntliga läxa.

I läroboken på sidan 31 läser och svarar vi på frågor 14,15.

14. Finns det en tetraeder med fem raka hörn?

(Nej, för i de fyra bildande trianglarna kan det bara finnas fyra räta vinklar, högst en i varje).

15. Finns det en parallellepiped som har:

A) Endast ett ansikte är en rektangel. (Nej, eftersom parallellepipedens motsatta sidor är lika).

b) Endast två intilliggande ansikten är romber. (Nej, endast motsatta ansikten kan vara diamanter).

V) Alla kantvinklar är skarpa. (Nej, ett parallellogram har både spetsiga och trubbiga vinklar, och varje sida är ett parallellogram).

G) Alla vinklar i ansiktet är rätt. (Ja, i en rektangulär parallellepiped).

d) Antalet alla spetsiga vinklar på ett ansikte är inte lika med antalet trubbiga vinklar på ett ansikte. (Nej, det finns lika många spetsiga och trubbiga vinklar på varje sida).

III Förklaring nytt ämne.

Låt oss nu gå vidare till ett nytt ämne. Skriv ner ämnet för lektionen. Målet med dagens lektion:

1. Bekanta dig med grunderna för att lösa problem som involverar att konstruera sektioner av en tetraeder och en parallellepiped av ett plan.

2. Identifiera typer av problem för att bygga sektioner.

3. Utveckla färdigheter i att lösa problem som involverar konstruktion av sektioner av en tetraeder och parallellepiped.

4. Bildande av rumslig fantasi.

Så, för att lösa många geometriska problem associerade med en tetraeder och en parallellepiped är det användbart att kunna rita sina sektioner i olika plan i en ritning.

Vad menar vi med skärplan ? I läroboken på sidan 27 hittar vi svaret på denna fråga.

Skärplan kalla vilket plan som helst på båda sidor av vilka det finns punkter på en given polyeder.

Nästa koncept är sektion. Och återigen vänder vi oss till läroboken för att få hjälp. Titta nu på hur den exakta definitionen av avsnittet ser ut.

v Var finns sidorna av en polygon som är en sektion?

v Var finns hörnen på polygonen som är en sektion?

Låt oss nu svara på frågan. Vad innebär det att konstruera en sektion av en polyeder med ett plan. Således kommer vi i varje yta att konstruera segment längs vilka skärplanet skär ytorna.

För att korrekt konstruera ett tvärsnitt måste du kunna tillämpa olika satser och egenskaper. Låt oss svara på frågan.

Vilka av dessa påståenden kan vara användbara när man konstruerar sektioner?

1. Om två plan har en gemensam punkt, skär de sig längs en rät linje som innehåller denna punkt.

2. Om en rät linje som ligger i ett av de skärande planen skär ett annat plan, så skär den planens skärningslinje.

3. Om två parallella plan skärs av ett tredje, är planens skärningslinjer parallella.

4. Ett sekantplan skär ytan av en polyeder längs en streckad linje.

5. I en sektion av en parallellepiped av ett plan kan det visa sig:

v linjesegmentet

v triangel

v fyrsidig

v femhörning

v sexhörning

v Heptagon

Låt oss nu komma ihåg hur man definierar ett plan:

När du bygger sektioner är det viktigt att veta:

https://pandia.ru/text/78/131/images/image003_53.jpg" width="559" height="288 src=">

https://pandia.ru/text/78/131/images/image005_39.jpg" width="564" height="355 src=">

Nu i läroboken kommer vi att överväga huvuduppgifterna för att konstruera sektioner. Och så, uppgift ett, där det är nödvändigt att konstruera en sektion av en tetraeder med hjälp av tre punkter som hör till ett sekantplan, två av dem ligger i ett plan och den tredje ligger i ett annat plan.
.jpg" width="588" height="359 src=">

Problemlösning. Kontrollera lösningens korrekthet med hjälp av objektglas.

V Sammanfattning av lektionen.

Föreställ dig situationen:

Din klasskamrat blev sjuk och missade lektionerna där de behandlade ämnet "Konstruera sektioner av polyedrar." Du måste förklara detta ämne via telefon. Formulera en steg-för-steg-algoritm.

https://pandia.ru/text/78/131/images/image015_14.jpg" width="600" height="284 src=">

Nu ska jag testa lite. Du måste slutföra tre uppgifter inom tre minuter. Välj och skriv ner antalet ritningar som visar rätt sektioner av en tetraeder och parallellepiped, samt rätt ritning.

VI Läxa . n.14, fråga 16, nr 000,106. Kom på och lös ett problem med att konstruera en sektion av en tetraeder eller parallellepiped.

Idag tittar vi igen på hur konstruera en sektion av en tetraeder med ett plan.
Låt oss överväga det enklaste fallet (obligatorisk nivå), när 2 punkter i sektionsplanet tillhör ett ansikte och den tredje punkten tillhör ett annat ansikte.

Låt oss påminna dig algoritm för att konstruera sektioner av denna typ (fall: 2 punkter tillhör samma ansikte).

1. Vi letar efter ett ansikte som innehåller 2 punkter av snittplanet. Rita en rak linje genom två punkter som ligger på samma ansikte. Vi hittar punkterna för dess skärningspunkt med tetraederns kanter. Den del av den raka linjen som hamnar i ansiktet är sidan av sektionen.

2. Om polygonen kan stängas har sektionen konstruerats. Om det är omöjligt att stänga, så hittar vi skärningspunkten för den konstruerade linjen och planet som innehåller den tredje punkten.

1. Vi ser att punkterna E och F ligger på samma yta (BCD), dra en rät linje EF i planet (BCD).
2. Låt oss hitta skärningspunkten för den räta linjen EF med kanten av tetraedern BD, detta är punkt H.
3. Nu måste du hitta skärningspunkten för den räta linjen EF och planet som innehåller den tredje punkten G, dvs. plan (ADC).
Den räta linjen CD ligger i planen (ADC) och (BDC), vilket betyder att den skär den räta linjen EF, och punkten K är skärningspunkten mellan den räta linjen EF och planet (ADC).
4. Därefter hittar vi ytterligare två punkter som ligger i samma plan. Dessa är punkterna G och K, båda ligger i planet för vänster sida. Vi ritar en linje GK och markerar punkterna där denna linje skär kanterna på tetraedern. Det här är punkterna M och L.
4. Det återstår att "stänga" sektionen, d.v.s. koppla ihop punkterna som ligger på samma yta. Dessa är punkterna M och H, och även L och F. Båda dessa segment är osynliga, vi ritar dem med en prickad linje.

Tvärsnittet visade sig vara en fyrkantig MHFL. Alla dess hörn ligger på kanterna av tetraedern. Låt oss välja det resulterande avsnittet.

Låt oss nu formulera "egenskaper" för en korrekt konstruerad sektion:

1. Alla hörn av en polygon, som är en sektion, ligger på kanterna av en tetraeder (parallelpiped, polygon).

2. Alla sidor av sektionen ligger på polyederns ytor.
3. Varje yta av en polygon får inte innehålla mer än en (en eller ingen!) sida av sektionen

Lektionsutveckling

på ämnet "Konstruktion av sektioner av en tetraeder och parallellepiped" i klass 10 "A"

Syftet med lektionen:

lära ut hur man konstruerar sektioner av en tetraeder och en parallellepiped med ett plan;

utveckla förmågan att analysera, jämföra, generalisera och dra slutsatser;

utveckla elevernas självständiga aktivitetsförmåga och förmåga att arbeta i grupp.

Utrustning: projektor, interaktiv tavla, Handout.

Lektionstyp: lektion att lära sig nytt material.

Metoder och tekniker som används i lektionen: visuella, praktiska, problem-sökning, grupp, delar av forskningsaktivitet.

jag . Att organisera tid.

Läraren tillkännager ämnet och syftet med lektionen (bild nummer 1 ).

II . Uppdaterar kunskap.

Lärare: Medan du gjorde dina läxor var du tvungen att hitta mötespunkterna för raka linjer och plan, spåret av ett skärande plan på planet för en polyeders yta. Kommentera vad som behöver göras för detta.

(Elever kommenterar läxor (bilder nr 2-3 ).

Lärare: För att gå vidare till att studera ett nytt ämne, låt oss granska det teoretiska materialet genom att svara på frågorna:

Det som kallas ett skärplan (bild nummer 4 )? (Eleverna ger en definition.)

Det som kallas en sektion av en polyeder (bild nummer 5 )? (Definitionen är formulerad.)

Vad behöver göras för att konstruera en sektion av en polyeder med ett plan?

Att konstruera en sektion handlar om att konstruera skärningslinjerna för skärplanet och planen för polyederns ytor.)

Är det nödvändigt för ett skärande plan att skära planen för alla ytor på polyedern?

Lärare: Låt oss göra lite forskning och svara på frågan: "Vilken figur kan erhållas i sektionen av en tetraeder eller parallellepiped av ett plan?"

(Elever, som arbetar i grupper, letar efter svaret på den ställda frågan.)

(Efter några minuter formulerar de sina antaganden, och en demonstration börjarbilder 6 – 7 .)

Lärare: Låt oss upprepa reglerna som måste komma ihåg när vi konstruerar sektioner av en polyeder (elever kommer ihåg och formulerar nödvändiga axiom, satser, egenskaper):

Om två punkter hör till skärplanet och planet för någon yta av polyedern, kommer den räta linjen som passerar genom dessa punkter att vara spåret av skärplanet på ytans plan.

Om ett skärplan är parallellt med en linje som ligger i ett visst plan och skär detta plan, så är skärningslinjen för dessa plan parallell med denna linje.

När två parallella plan skärs av ett skärplan erhålls parallella linjer.

Om skärplanet är parallellt med ett visst plan, skär dessa två plan det tredje planet längs raka linjer parallella med varandra.

Om ett skärplan och planen för två skärande ytor har en gemensam punkt, så ligger det på en linje som innehåller en gemensam kant av dessa ytor.

Lärare: Hitta fel i dessa ritningar, motivera ditt påstående (bilder 8-9 ).

Lärare: Så, killar, vi har förberett en teoretisk grund för att lära sig hur man konstruerar sektioner av polyedrar med ett plan, i synnerhet sektioner av en tetraeder och parallellepiped. Du kommer att slutföra de flesta uppgifterna självständigt, arbeta i grupper, så var och en av er har arbetsblad med tomma ritningar av polyedrar som ni kommer att bygga sektioner på. Vid behov kan du söka råd hos en lärare eller en senior i gruppen.

Så vi presenterar för din uppmärksamhetförsta uppgiften : ( bild nummer 10 ) konstruera en sektion av tetraedern med ett plan som går genom de givna punkternaM, N, K. (Tvärsnittet visar sig vara en triangel, kontrollera -bild nummer 11 .)

Lärare: Låt oss övervägaandra uppgiften : Givet en tetraederDABC. Konstruera en sektion av en tetraeder med ett planMNK, OmMDC, NAD, KAB. ( Bild nr 12 )

(Lös problemet med klassen, kommentera konstruktionen.)

( Uppgift nr 3 – självständigt arbete i grupp (rutschkana nr 14 ). Examination -bild nummer 15 .)

Uppgift nr 4 : Konstruera en sektion av en tetraeder med ett planMNK, VarMOchN– mitten av revbenenABOchFÖRE KRISTUS. ( bild nummer 16 ). (Kolla efterrutschkana nr 17 .)

Lärare : Låt oss gå vidare till nästa del av lektionen. Låt oss överväga problemet med att konstruera sektioner av en parallellepiped av ett plan. Vi fick reda på att när en parallellepiped är sektionerad av ett plan, kan det resultera i en triangel, fyrkant, femhörning eller hexagon. Reglerna för att bygga sektioner är desamma. Jag föreslår att du går vidare till nästa problem, som du löser på egen hand.

(Visadrutschkana nr 18 )

Problem #5

Konstruera ett tvärsnitt av en parallellepipedABCDA 1 B 1 C 1 D 1 planMNK, OmMA.A. 1 , NBB 1 , KCC 1 . (Kolla efterbild nummer 19 ).

Problem nr 6 : ( Bild nummer 20 ) Konstruera en sektion av en parallellepipedABCDA 1 B 1 C 1 D 1 planPTO, Om P, T, Otillhöra respektive kanter AA 1, BB 1, SS 1.

(Lösningen diskuteras, eleverna konstruerar ett avsnitt på individuella blad och registrerar byggets framsteg (bild nummer 21 ).)

TO ∩ BC = M

TP ∩ AB = N

NM ∩ AD = L

NM ∩ CD = F

PL, FO

PTOFL– önskat avsnitt.

Uppgift nr 7: (bild nr 22) Konstruera en sektion av en parallellepiped med ett planKMN, OmKA 1 D 1 , N, MAB.

Lösning: (bild nummer 23)

MN∩ AD=Q;

QK∩AA 1 =P;

PM;

NE II PK; KF II MN;

F.E.

MPKFENönskat avsnitt.

Kreativa uppgifter (kort enligt alternativ):

I en vanlig triangulär pyramidSABC genom vertex C ochmitten av revbenetSRita en sektion av pyramiden parallellt medS.B.. En punkt tas på kanten ABFså att AF: FB=3:1. Genom poängenFOchmitten av revbenetSEn rät linje dras från C. Kommer denna linje att varaparallellt med snittplanet?

AB 1 MED -sektion av rektangulär parallellepiped ABCDA 1 I 1 MED 1 D 1. Genom punkterna E,F, K, vilka är respmitten av revbenenDD 1 , A 1 D 1 , D 1 C 1 det andra avsnittet utfördes.Bevisa att trianglarna EFK och AB 1 Cliknande och installeravilka vinklar på dessa trianglar är lika med varandra?

Lektionssammanfattning: Så vi bekantade oss med reglerna för att konstruera sektioner av en tetraeder och parallellepiped, undersökte typerna av sektioner och löste de enklaste problemen för att konstruera sektioner. I nästa lektion kommer vi att fortsätta att studera ämnet och titta på mer komplexa problem.

Låt oss nu sammanfatta lektionen genom att svara på våra traditionella frågor (bild nummer 24 ):

"Jag gillade (ogillade) lektionen eftersom..."

"Idag i klassen lärde jag mig..."

"Jag vill..."

(Betyg för lektionen.)

Läxa: paragraf 14 nr 105, 106. (bild nummer 25 )

Ytterligare uppgift till nr 105 : Hitta förhållandet i vilket planetMNKdelar en kantAB, OmCN : ND = 2:1, B.M. = M.D.och periodK– mitten av medianenALtriangelABC.

(Slutför den kreativa uppgiften.)

Bild 2

Information till lärare. Syftet med att skapa denna presentation är att tydligt demonstrera algoritmerna för att konstruera skärningspunkten för en linje och ett plan, skärningslinjen för plan och sektioner av en tetraeder. Läraren kan använda presentationen när han undervisar i detta ämne, eller rekommendera den för Självstudie för elever som missat att studera det av någon anledning, eller för att de ska upprepa vissa frågor. Eleverna åtföljer sin studie av presentationen genom att fylla i en kort sammanfattning.

Bild 3

Information till studenten. Syftet med att skapa denna presentation är att tydligt demonstrera algoritmer för att lösa problem som involverar konstruktion i rymden. Försök att noggrant och långsamt studera kommentarerna till förklaringarna och jämföra dem med ritningen. Fyll i alla tomrum i sammanfattningen. På oberoende beslut problem måste du först tänka igenom lösningen själv och sedan titta på den som författaren föreslagit. Skriv ner frågor till läraren och ställ dem i klassen.

Bild 4

I. Rakt a skär planet α. Konstruera en skärningspunkt.

α β P m a Svar: I. För att konstruera skärningspunkten mellan den räta linjen a och plan α behöver du: 1) rita (hitta) ett plan β som går genom linjen a och skär plan α längs den räta linjen m 2) konstruera punkt P för skärningspunkten mellan räta linjer a och m. Genom den räta linjen a ritar vi ett plan β som skär planet α längs en rät linje t. Vi skär den räta linjen a med skärningslinjen för planen α och β: den räta linjen t är den gemensamma punkten för rät linje a och plan α, eftersom den räta linjen m ligger i α-planet. Skriv ner algoritmen i en kort sammanfattning.

Bild 5

1) Konstruera skärningspunkten mellan den räta linjen MN och planet BDC.

D B A C M N P (M, N) (ABC) Svar: Planet ABC passerar genom den räta linjen MN och skär planet BDC längs den räta linjen BC. Den räta linjen MN skär den räta linjen BC i punkt P. Den räta linjen BC ligger i planet BDC, vilket betyder att rät linje MN skär plan BDC i punkten P.

Bild 6

2) Konstruera skärningspunkten för den räta linjen MN och plan ABD.

D B A C M N P Svar: Se lösning Den räta linjen MN tillhör planet ВDC, som skär planet АВD längs den räta linjen DB Låt oss skära de räta linjerna MN och DB. Ytterligare

Bild 7

II. Låt den räta linjen AB inte vara parallell med planet α. Konstruera skärningslinjen för planen α och ABC om punkt C tillhör plan α

B C A α β P m Låt oss konstruera skärningspunkten för den räta linjen AB med planet α. Genom tillstånd och konstruktion är punkterna C och P gemensamma för planen ABC och α. Genom tillstånd och konstruktion är punkterna C och P gemensamma för planen ABC och α. Detta betyder att den räta linjen CP är den önskade räta skärningslinjen mellan planen ABC och α. II För att konstruera skärningslinjen för planet α och planet ABC (C α, (A, B) α, AB || α), behöver du: konstruera skärningspunkten för den räta linjen AB och planet. a - punkt P; 2) punkt P och C är gemensamma punkter för planen (ABC) och α, vilket betyder (ABC) α = CP Skriv algoritmen i en kort sammanfattning.

Bild 8

3). Konstruera den raka skärningslinjen mellan MNP- och ADB-planen.

Konstruera skärningspunkten mellan MNP-planet och ADB-ytan. M D B A C N P X Q R Svar: Låt oss konstruera skärningspunkten för den räta linjen MR med planet ADB (punkt X). Den räta linjen MR ligger i planet ADC, som skär planet ADB längs den räta linjen AD. Den räta linjen MR ligger i planet ADC, som skär planet ADB längs den räta linjen AD. Punkterna X och N är gemensamma punkter för ADB- och MNP-planen. Detta betyder att de skär längs den räta linjen XN. Anteckna byggförloppet i en kort sammanfattning.

Bild 9

Sektion av en tetraeder.

C D B A M N P α En polygon som består av segment längs vilka skärplanet skär polyederns ytor kallas en sektion av polyedern. De segment som utgör sektionen kallas spår av skärplanet på ytorna. ∆ MNP – avsnitt. Låt planet skära tetraedern, då kallas det ett skärande plan. Planet skär tetraederns kanter poäng M,N,P, och ytorna - längs segmenten MN, MP, NP... Triangeln MNP kallas sektionen av tetraedern av detta plan... Skriv ner det i en kort anteckning.

Bild 10

Tvärsnittet av en tetraeder kan också vara en fyrhörning.

A C D B M N P Q α MNPQ – avsnitt.

Bild 11

En algoritm för att konstruera en sektion av en tetraeder med ett plan som går genom tre givna punkter M, N, P.

MNPQ är det obligatoriska avsnittet. D B A C M N P Q X Konstruera spår av skärplanet i de ytor som har två gemensamma punkter. 3) Rita en rät linje genom de konstruerade punkterna längs vilka skärplanet skär planet för den valda ytan ABC. 4) Markera och ange de punkter där denna linje skär kanterna på ytan ABC och slutför de återstående spåren. 2) Välj ett ansikte som ännu inte har ett spår. Konstruera skärningspunkterna för raka linjer som innehåller redan konstruerade spår med planet för den valda ytan: ABC.

Bild 12

Konstruera en sektion med tetraedriskt plan MNP.2-metoden.

D B A C M N P Q X MNPQ – det obligatoriska avsnittet.

Bild 13

Nr 1. (Lös problemet själv). Konstruera en sektion av tetraedern med hjälp av MNP-planet.

Q D A C M N P X B X Se lösning Andra metoden: Nästa

Bild 14

Nr 2. (Bestämma själv). Konstruera en sektion av tetraedern med hjälp av MNP-planet om P tillhör ytan ADC.

Bild 15

Nr 3. Konstruera en sektion med det tetraedriska planet α, parallellt med kanten CD och passerar genom punkt F, liggande på planet DBC, och punkt M.

3)a (ADB)= MN, a (ABC)=QP. Q D B A M N P F C Givet: α||DC, (M;F) α, F (BDC), M AD. Konstruera en sektion av tetraederns DABC. α||DC, sedan (DBC) α=FP och FP||DC, FP BC=P, FP BD=N. 2) Eftersom α||DC, då (DAC) α=MQ och MQ||DC, MQ AC=Q. DC || NP och NP α, betyder DC||α, därför är MNPQ den önskade sektionen. Fortsätt meningen: Om en given rät linje a är parallell med ett visst plan α, så skär alla plan som passerar genom denna räta linje a och inte parallellt med planet α planet α längs en rät linje b………………… ………………… parallellt med den räta linjen A. Fortsätt... α||DC, sedan skär planet BDC α längs en rät linje parallell med DC och passerar genom punkten F α||DC, sedan skär planet ADC α längs en rät linje parallell med DC och passerar genom punkt M

Bild 16

2)a||DVC, (ADC) (DBC)=CD, (ADC)a=MN MP||CD. P#4. Konstruera ett snitt med ett tetraedriskt plan α parallellt med ytan BDC och som går genom punkten M. B A C M N D Givet: α||DBC, M α, M AD. Konstruera en sektion av tetraederns DABC med plan α α||DВC, (ADB) (DBC)=BD, MN||BD. (ADB)a=MN3)a (ABC)=NP. ∆ MNP är det obligatoriska avsnittet, eftersom………. Fortsätt meningen: Om två parallella plan skärs av ett tredje plan, så är linjerna i deras skärningspunkt……………………… parallella. två skärande linjer MN och MP i planet α är parallella med två skärande linjer DB och DC i planet (DBC), vilket betyder α||(DBC). α||DВC, då skär planen AВ och ADC planen α och (ВДС) längs räta linjer MN och МР, parallella med DB respektive DC, och passerar genom punkt M.

Bild 17

Nästa M R B A C N Nr 5. Lös på egen hand och skriv ner lösningen. Konstruera en sektion av tetraedern genom att planet α går genom punkten M och segmentet PN, om PN||AB och M tillhör planet (ABC). PQD 1)NP||AB NP||(ABC) NPa, a (ABC)=MQ MQ||NP. 2)MQ AC=R. a (ADC)=NR, a (BDC)=PQ. RNPQ-krävs tvärsnitt. Se lösningen NP||(ABC), vilket innebär att planet MNP skär planet ABC längs en rät linje MQ parallell med NP och passerar genom punkten M.

Bild 18

Glöm inte att formulera frågor till läraren om något inte var klart, samt dina rekommendationer för att förbättra denna presentation.

Bild 19

När presentationen skapades användes läroböcker och manualer: 1. L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov och andra Geometri 10-11. M. "Enlightenment" 2008. 2.B.G. Ziv, V.M. Mailer, A.G. Bakhansky Problem i geometri 7-11.M. "Upplysning" 2000

Visa alla bilder

, bilder 1-2)

lära sig att tillämpa stereometrins axiom när man löser problem;

lär dig att hitta positionen för skärningspunkterna för skärplanet med kanterna på tetraedern;

behärska metoder för att konstruera dessa sektioner

att bilda kognitiv aktivitet, förmågan att tänka logiskt;

skapa förutsättningar för självkontroll av kunskaps- och kompetensförsörjning.

Lektionstyp: Bildande av ny kunskap.

Under lektionerna

I. Organisatoriskt ögonblick

II. Uppdatering av elevernas kunskaper

Frontalundersökning. (Stereometrins axiom, egenskaper hos parallella plan)

Lärarens ord

För att lösa många geometriska problem relaterade till tetraedern är det användbart att kunna rita demsektioner olika plan. (bild 3). Låt oss ringaskärplan tetraeder är vilket plan som helst på båda sidor av vilket det finns punkter på den givna tetraedern. Skärplanet skär tetraederns ytor längs segment. En polygon vars sidor är dessa segment kallastvärsnitt av en tetraeder . Eftersom en tetraeder har fyra ytor kan dess sektioner bara vara trianglar och fyrkantar. Observera också att för att konstruera en sektion är det tillräckligt att konstruera skärningspunkterna för skärplanet med kanterna på tetraedern, varefter det återstår att rita segment som förbinder var och en av två konstruerade punkter som ligger på samma yta.

I den här lektionen kommer du att kunna studera sektionerna av en tetraeder i detalj och behärska metoderna för att konstruera dessa sektioner. Du kommer att lära dig fem regler för att konstruera sektioner av polyedrar, lära dig att hitta positionen för skärningspunkterna för skärplanet med kanterna på tetraedern.

Uppdatering av stödjande koncept

Första regeln. Om två punkter tillhör både skärplanet och planet för någon yta av polyedern, så är den räta linjen som går genom dessa två punkter skärningslinjen mellan skärplanet och planet för denna yta (en konsekvens av axiomet på skärningspunkten mellan plan).

Andra regeln . Om skärplanet är parallellt med ett visst plan, skärs dessa två plan med vilken yta som helst längs parallella linjer (egenskapen för två parallella plan som skärs av ett tredje).

Tredje regeln. Om skärplanet är parallellt med en linje som ligger i ett visst plan (till exempel planet för någon yta), så är skärningslinjen för skärplanet med detta plan (yta) parallell med denna linje (egenskapen hos en linje parallell med planet).

Fjärde regeln. Ett skärplan skär parallella ytor längs parallella linjer (egenskapen för parallella plan skärs av en tredjedel).

Femte regeln . Låt två punkter A och B höra till skärplanet och punkterna A 1 och B 1 är parallella projektioner av dessa punkter på någon yta. Om räta linjer AB och A 1 B 1 är parallella, då skär skärplanet denna yta längs en rät linje parallell med A 1 B 1 . Om räta linjer AB och A 1 B 1 skära vid en viss punkt, då hör denna punkt till både skärplanet och planet för denna yta (den första delen av denna sats följer av egenskapen för en linje parallell med planet, och den andra följer av ytterligare egenskaper hos en parallell utsprång).

III. Att lära sig nytt material (kunskapsbildning, färdigheter)

Kollektiv problemlösning med förklaring (bild 4)

Uppgift 1. Konstruera en sektion av tetraederns DABC med ett plan som går genom punkterna K є AD, M є DS, E є BC.

Låt oss titta noga på ritningen. Eftersom punkterna K och M tillhör samma plan, hittar vi skärningen av skärplanet med ADS-ytan - detta är segmentet KM. Punkterna M och E ligger också i samma plan, vilket betyder att skärningspunkten mellan skärplanet och VDS-ytan är segmentet ME. Vi hittar skärningspunkten för räta linjer KM och AC, som ligger i samma plan ADS. Nu ligger punkt X i ytan ABC, då kan den kopplas till punkt E. Vi ritar en rät linje XE, som skär AB i punkt P. Segmentet PE är skärningen av skärplanet med ytan ABC, och segmentet KP är skärningspunkten mellan skärplanet och ytan ABC. Därför är fyrhörningen KMER vår önskade sektion. Spela in lösningen i din anteckningsbok:

Lösning.

KM = α ∩ ADS

ME = α ∩ VDS

X = KM ∩ AC

P = XE ∩ AB

PE = α ∩ ABC

KR = α ∩ ADV

KMER – obligatorisk sektion

Uppgift 2. (bild 5)

Konstruera en sektion av tetraedern DABC med ett plan som går genom punkterna K = ABC, M = VDS, N = AD

Låt oss överväga prognoserna för några två punkter. I en tetraeder återfinns projektionerna av punkter från spetsen till basplanet, d.v.s. M→M 1 N^A. Hitta skärningspunkten mellan linjerna NM och AM 1 punkt X. Denna punkt tillhör skärplanet, eftersom den ligger på den räta linjen NM, tillhör planet ABC, eftersom den ligger på den räta linjen AM 1 . Det betyder att vi nu i ABC-planet har två punkter som kan kopplas samman, vi får den räta linjen KX. Den räta linjen skär sidan BC i punkt L, och sidan AB i punkt H. I ansikte ABC hittar vi skärningslinjen, den passerar genom punkterna H och K - detta är NL. I ABP-ytan är skärningslinjen НN, i VDS-ytan drar vi skärningslinjen genom punkterna L och M - detta är LQ, och i ADS-ytan får vi segmentet NQ. Den fyrsidiga HNQL är den obligatoriska sektionen.

Lösning

M → M 1 N → A

X = NM ∩ AM 1

L = KX ∩ BC

H = KX ∩ AB

НL = α ∩ АВС, К є НL

НN = α ∩ АВД,

LQ = α ∩ VDS, М є LQ

NQ = α ∩ ADS

HNQL – obligatoriskt avsnitt

IV. Konsolidering av kunskap

Löser problemet med efterföljande verifiering

Uppgift 3. (bild 6)

Konstruera en sektion av tetraedern DAWS med ett plan som går genom punkterna K є BC, M є ADV, N є VDS.

Lösning

1. M → M 1 , N → N 1

X = NM ∩ N 1 M 1

R = KX ∩ AB

RL = α ∩ АВД, М є RL

KR = α ∩ VDS, N є KR

LP = α ∩ ADS

RLPK – obligatoriskt avsnitt

V. Självständigt arbete(enligt alternativ)

(bild 7)

Uppgift 4. Konstruera en sektion av tetraedern DABC med ett plan som går genom punkterna M = AB, N = AC, K = AD.

Lösning

KM = α ∩ AVD,

МN = α ∩ АВС,

KN = α ∩ ADS

KMN – obligatoriskt avsnitt

Uppgift 5. Konstruera en sektion av tetraedern DABC med ett plan som går genom punkterna M = AB, K = DS, N = DV.

Lösning

MN = α ∩ AVD

NK = α ∩ VDS

X = NK ∩ BC

P = AC ∩ MX

RK = α ∩ ADS

MNKP – obligatoriskt avsnitt

Uppgift 6. Konstruera en sektion av tetraedern DABC med ett plan som går genom punkterna M = ABC, K = VD, N = DS

Lösning

KN = α ∩ ICE

Х = КN ∩ ВС

T = MX ∩ AVR = TX ∩ AC

RT = α ∩ ABC, M є RT

PN = α ∩ ADS

TP N K – obligatorisk sektion

VI. Lektionssammanfattning.

(bild 8)

Så idag lärde vi oss hur man konstruerar de enklaste problemen på tetraedersektioner. Låt mig påminna dig om att en sektion av en polyeder är en polygon som erhålls som ett resultat av skärningen av en polyeder med ett visst plan. Själva planet kallas ett skärplan. Att konstruera en sektion innebär att bestämma vilka kanter skärplanet skär, typen av den resulterande sektionen och den exakta positionen för skärningspunkterna för skärplanet med dessa kanter. Det vill säga att de mål som sattes upp på lektionen uppnåddes.

VII. Läxa.

(bild 9)

Praktiskt arbete"Konstruera sektioner av en tetraeder" i elektronisk form eller pappersversion. (Var och en fick en individuell uppgift