Kako se naučiti reševati aritmetično progresijo.  Algebra: Aritmetične in geometrijske progresije. Vsota aritmetične progresije

Na primer zaporedje \(2\); \(5\); \(8\); \(enajst\); \(14\)... je aritmetična progresija, ker se vsak naslednji element razlikuje od prejšnjega za tri (lahko ga dobimo iz prejšnjega s seštevanjem treh):

V tej progresiji je razlika \(d\) pozitivna (enaka \(3\)), zato je vsak naslednji člen večji od prejšnjega. Takšna napredovanja imenujemo povečevanje.

Lahko pa je tudi \(d\). negativno število. Na primer, v aritmetični progresiji \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... progresijska razlika \(d\) je enaka minus šest.

In v tem primeru bo vsak naslednji element manjši od prejšnjega. Ta napredovanja se imenujejo zmanjševanje.

Zapis aritmetične progresije

Napredovanje je označeno z malo latinično črko.

Števila, ki tvorijo progresijo, imenujemo člani(ali elementi).

Označeni so z isto črko kot aritmetična progresija, vendar z numeričnim indeksom, ki je enak številki elementa v vrstnem redu.

Na primer, aritmetična progresija \(a_n = \levo\( 2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\) je sestavljena iz elementov \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) in tako naprej.

Z drugimi besedami, za progresijo \(a_n = \levo\(2; 5; 8; 11; 14…\desno\)\)

Reševanje nalog aritmetične progresije

Načeloma so zgoraj predstavljene informacije že dovolj za rešitev skoraj vseh problemov aritmetičnega napredovanja (vključno s tistimi, ki jih ponuja OGE).

Primer (OGE). Aritmetična progresija podan s pogoji \(b_1=7; d=4\). Poiščite \(b_5\).
rešitev:

odgovor: \(b_5=23\)

Primer (OGE). Podani so prvi trije členi aritmetične progresije: \(62; 49; 36…\) Poiščite vrednost prvega negativnega člena te progresije..
rešitev:

	Podani so nam prvi elementi zaporedja in vemo, da gre za aritmetično napredovanje. To pomeni, da se vsak element od soseda razlikuje za isto številko. Ugotovimo katerega, tako da od naslednjega elementa odštejemo prejšnjega: \(d=49-62=-13\).
	Zdaj lahko obnovimo naše napredovanje na (prvi negativni) element, ki ga potrebujemo.
	pripravljena Lahko napišete odgovor.

odgovor: \(-3\)

Primer (OGE). Podanih je več zaporednih elementov aritmetičnega napredovanja: \(…5; x; 10; 12,5...\) Poiščite vrednost elementa, označenega s črko \(x\).
rešitev:

	Da bi našli \(x\), moramo vedeti, koliko se naslednji element razlikuje od prejšnjega, z drugimi besedami, razlika napredovanja. Poiščimo ga iz dveh znanih sosednjih elementov: \(d=12,5-10=2,5\).
	In zdaj lahko zlahka najdemo, kar iščemo: \(x=5+2,5=7,5\).
	pripravljena Lahko napišete odgovor.

odgovor: \(7,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je definirana z naslednjimi pogoji: \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Poiščite vsoto prvih šestih členov tega napredovanja.
rešitev:

	Najti moramo vsoto prvih šestih členov napredovanja. Vendar ne poznamo njihovih pomenov; dan nam je le prvi element. Zato najprej izračunamo vrednosti eno za drugo, pri čemer uporabimo tisto, kar nam je dano: \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) In ko izračunamo šest elementov, ki jih potrebujemo, najdemo njihovo vsoto.
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Zahtevani znesek je bil najden.

odgovor: \(S_6=9\).

Primer (OGE). V aritmetični progresiji \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\). Poiščite razliko tega napredovanja.
rešitev:

odgovor: \(d=7\).

Pomembne formule za aritmetično napredovanje

Kot lahko vidite, je veliko težav pri aritmetičnem napredovanju mogoče rešiti preprosto z razumevanjem glavne stvari - da je aritmetično napredovanje veriga števil, vsak naslednji element v tej verigi pa dobimo z dodajanjem istega števila prejšnjemu ( razlika v napredovanju).

Vendar pa včasih pride do situacij, ko je odločitev "na glavo" zelo neprijetna. Na primer, predstavljajte si, da v prvem primeru ne moramo najti petega elementa \(b_5\), temveč tristo šestinosemdesetega \(b_(386)\). Ali naj dodamo štiri \(385\)-krat? Ali pa si predstavljajte, da morate v predzadnjem primeru najti vsoto prvih triinsedemdeset elementov. Utrujeni boste od štetja ...

Zato v takšnih primerih stvari ne rešujejo »na glavo«, ampak uporabljajo posebne formule, izpeljane za aritmetično progresijo. In glavni sta formula za n-ti člen napredovanja in formula za vsoto \(n\) prvih členov.

Formula \(n\)-tega člena: \(a_n=a_1+(n-1)d\), kjer je \(a_1\) prvi člen napredovanja;
\(n\) – številka zahtevanega elementa;
\(a_n\) – člen napredovanja s številko \(n\).

Ta formula nam omogoča, da hitro najdemo tudi tristoti ali milijonti element, pri čemer poznamo samo prvi in ​​razliko progresije.

Primer. Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(b_1=-159\); \(d=8,2\). Poiščite \(b_(246)\).
rešitev:

odgovor: \(b_(246)=1850\).

Formula za vsoto prvih n členov: \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), kjer

\(a_n\) – zadnji seštevani izraz;

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji \(a_n=3,4n-0,6\). Poiščite vsoto prvih \(25\) členov tega napredovanja.
rešitev:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2 )\) \(\cdot 25\)		Za izračun vsote prvih petindvajsetih členov moramo poznati vrednost prvega in petindvajsetega člena. Naše napredovanje je podano s formulo n-tega člena glede na njegovo število (za več podrobnosti glej). Izračunajmo prvi element tako, da \(n\) nadomestimo enega.
\(n=1;\) \(a_1=3,4·1-0,6=2,8\)		Zdaj pa poiščimo petindvajseti člen tako, da zamenjamo petindvajset namesto \(n\).
\(n=25;\) \(a_(25)=3,4·25-0,6=84,4\)		No, zdaj lahko preprosto izračunamo zahtevano količino.
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2,8+84,4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(25)=1090\).

Za vsoto \(n\) prvih členov lahko dobite drugo formulo: samo \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) namesto \(a_n\) nadomestite s formulo \(a_n=a_1+(n-1)d\). Dobimo:

Formula za vsoto prvih n členov: \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), kjer

\(S_n\) – zahtevana vsota \(n\) prvih elementov;
\(a_1\) – prvi seštevek;
\(d\) – razlika napredovanja;
\(n\) – število elementov v vsoti.

Primer. Poiščite vsoto prvih \(33\)-ex členov aritmetične progresije: \(17\); \(15,5\); \(14\)…
rešitev:

odgovor: \(S_(33)=-231\).

Bolj zapleteni problemi aritmetične progresije

Zdaj imaš vse potrebne informacije za reševanje skoraj vseh problemov aritmetičnega napredovanja. Zaključimo temo z obravnavo problemov, pri katerih ne potrebujete samo uporabe formul, ampak tudi malo razmišljati (v matematiki je to lahko koristno ☺)

Primer (OGE). Poiščite vsoto vseh negativnih členov napredovanja: \(-19,3\); \(-19\); \(-18,7\)…
rešitev:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Naloga je zelo podobna prejšnji. Začnemo reševati isto stvar: najprej najdemo \(d\).
\(d=a_2-a_1=-19-(-19,3)=0,3\)		Zdaj bi rad zamenjal \(d\) v formulo za vsoto ... in tukaj se pojavi majhna niansa - ne poznamo \(n\). Z drugimi besedami, ne vemo, koliko izrazov bo treba dodati. Kako ugotoviti? Pomislimo. Elemente bomo prenehali dodajati, ko dosežemo prvi pozitivni element. To pomeni, da morate ugotoviti število tega elementa. kako Zapišimo formulo za izračun poljubnega elementa aritmetične progresije: \(a_n=a_1+(n-1)d\) za naš primer.
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19,3+(n-1)·0,3\)		Potrebujemo, da \(a_n\) postane večji od nič. Ugotovimo, pri katerem \(n\) se bo to zgodilo.
\(-19,3+(n-1)·0,3>0\)
\((n-1)·0,3>19,3\) \(|:0,3\)		Obe strani neenakosti delimo z \(0,3\).
\(n-1>\)\(\frac(19,3)(0,3)\)		Prenesemo minus ena, ne da bi pozabili spremeniti znake
\(n>\)\(\frac(19,3)(0,3)\) \(+1\)		Izračunajmo...
\(n>65.333…\)		...in izkaže se, da bo imel prvi pozitivni element število \(66\). V skladu s tem ima zadnji negativni \(n=65\). Za vsak slučaj, preverimo to.
\(n=65;\) \(a_(65)=-19,3+(65-1)·0,3=-0,1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19,3+(66-1)·0,3=0,2\)		Zato moramo dodati prvih \(65\) elementov.
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19,3)+(65-1)0,3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38,6+19,2)(2)\)\(\cdot 65=-630,5\)		Odgovor je pripravljen.

odgovor: \(S_(65)=-630,5\).

Primer (OGE). Aritmetična progresija je podana s pogoji: \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\). Poiščite vsoto od \(26\) do vključno \(42\) elementa.
rešitev:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	V tej nalogi morate najti tudi vsoto elementov, vendar ne od prvega, ampak od \(26\)th. Za tak primer nimamo formule. Kako se odločiti? Preprosto je – če želite dobiti vsoto od \(26\)-te do \(42\)-te, morate najprej poiskati vsoto od \(1\)-te do \(42\)-te in nato odšteti iz njega vsota od prvega do \(25\)-ega (glej sliko).
	Za naše napredovanje \(a_1=-33\) in razliko \(d=4\) (navsezadnje štiri dodamo prejšnjemu elementu, da najdemo naslednjega). Če to vemo, najdemo vsoto prvih \(42\)-y elementov.
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Sedaj vsota prvih \(25\) elementov.
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	In končno izračunamo odgovor.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

odgovor: \(S=1683\).

Za aritmetično progresijo obstaja več formul, ki jih v tem članku nismo upoštevali zaradi njihove majhne praktične uporabnosti. Vendar jih lahko zlahka najdete.

Koncept številskega zaporedja pomeni, da vsako naravno število ustreza neki realni vrednosti. Takšna vrsta števil je lahko poljubna ali ima določene lastnosti - napredovanje. V slednjem primeru lahko vsak naslednji element (člen) zaporedja izračunamo s prejšnjim.

Aritmetična progresija je zaporedje številskih vrednosti, v katerem se njeni sosednji člani med seboj razlikujejo za isto število (vsi elementi niza, začenši z 2., imajo podobno lastnost). To število - razlika med prejšnjim in naslednjim členom - je konstantno in se imenuje progresijska razlika.

Razlika v napredovanju: definicija

Razmislite o zaporedju, sestavljenem iz j vrednosti ​​A = a (1), a (2), a (3), a (4) ... a (j), j pripada nizu naravna števila N. Aritmetična progresija je po svoji definiciji zaporedje, v katerem je a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j ) – a(j-1) = d. Vrednost d je želena razlika tega napredovanja.

d = a(j) – a(j-1).

Poudarek:

• Naraščajoče napredovanje, v tem primeru je d > 0. Primer: 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Zmanjševanje napredovanja, nato d< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Progresija razlike in njeni poljubni elementi

Če sta znana 2 poljubna člena napredovanja (i-th, k-th), potem lahko razliko za dano zaporedje določimo na podlagi razmerja:

a(i) = a(k) + (i – k)*d, kar pomeni d = (a(i) – a(k))/(i-k).

Razlika v napredovanju in njegovem prvem členu

Ta izraz bo pomagal določiti neznano vrednost samo v primerih, ko je znana številka elementa zaporedja.

Razlika napredovanja in njena vsota

Vsota progresije je vsota njenih členov. Za izračun skupne vrednosti prvih j elementov uporabite ustrezno formulo:

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, ampak ker a(j) = a(1) + d(j – 1), potem je S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Matematika ima svojo lepoto, tako kot slikanje in poezija.

Ruski znanstvenik, mehanik N.E. Žukovski

Zelo pogosta opravila v sprejemni izpiti v matematiki so problemi, povezani s pojmom aritmetične progresije. Za uspešno reševanje takšnih problemov morate dobro poznati lastnosti aritmetične progresije in imeti določene veščine pri njihovi uporabi.

Najprej se spomnimo osnovnih lastnosti aritmetične progresije in predstavimo najpomembnejše formule, povezana s tem konceptom.

Opredelitev. Zaporedje številk, pri katerem se vsak naslednji člen razlikuje od prejšnjega za isto številko, imenujemo aritmetična progresija. V tem primeru številkaimenovana progresijska razlika.

Za aritmetično progresijo veljajo naslednje formule:

, (1)

Kje . Formula (1) se imenuje formula splošnega člena aritmetičnega napredovanja, formula (2) pa predstavlja glavno lastnost aritmetičnega napredovanja: vsak člen napredovanja sovpada z aritmetično sredino sosednjih členov in .

Upoštevajte, da se prav zaradi te lastnosti obravnavana progresija imenuje "aritmetika".

Zgornji formuli (1) in (2) sta posplošeni na naslednji način:

(3)

Za izračun zneska prvi člani aritmetične progresijeobičajno se uporablja formula

(5) kjer je in .

Če upoštevamo formulo (1), potem iz formule (5) sledi

Če označimo , potem

Kje . Ker sta formuli (7) in (8) posplošitvi ustreznih formul (5) in (6).

Še posebej , iz formule (5) sledi, Kaj

Večini študentov je malo znana lastnost aritmetične progresije, formulirana z naslednjim izrekom.

Izrek.Če, potem

Dokaz.Če, potem

Izrek je dokazan.

Na primer, z uporabo izreka, se lahko pokaže, da

Preidimo na tipične primere reševanja problemov na temo "Aritmetična progresija".

Primer 1. Naj bo. Najti .

rešitev. Z uporabo formule (6) dobimo . Ker in , potem ali .

Primer 2. Naj bo trikrat večja in če jo delimo s količnikom, je rezultat 2, ostanek pa 8. Določite in .

rešitev. Iz pogojev primera sledi sistem enačb

Ker , , in , potem iz sistema enačb (10) dobimo

Rešitev tega sistema enačb je in .

Primer 3. Ugotovite, če in .

rešitev. Po formuli (5) imamo oz. Vendar z uporabo lastnosti (9) dobimo .

Ker in , Potem iz enakosti sledi enačba ali .

Primer 4. Poiščite, če.

rešitev.Po formuli (5) imamo

Vendar lahko z uporabo izreka zapišemo

Od tu in iz formule (11) dobimo .

Primer 5. Podano: . Najti .

rešitev. Od takrat. Vendar pa zato.

Primer 6. Naj , in . Najti .

rešitev. Z uporabo formule (9) dobimo . Torej, če , potem ali .

Ker in potem imamo tukaj sistem enačb

Reševanje katerega, dobimo in .

Naravni koren enačbe je .

Primer 7. Ugotovite, če in .

rešitev. Ker imamo po formuli (3) to , potem sistem enačb sledi iz pogojev problema

Če nadomestimo izrazv drugo enačbo sistema, potem dobimo ali .

Korenine kvadratna enačba so In .

Razmislimo o dveh primerih.

1. Naj , nato . Ker in , potem .

V tem primeru imamo po formuli (6).

2. Če , potem , in

Odgovor: in.

Primer 8. Znano je, da in. Najti .

rešitev. Ob upoštevanju formule (5) in pogoja primera zapišemo in .

To pomeni sistem enačb

Če prvo enačbo sistema pomnožimo z 2 in jo nato dodamo drugi enačbi, dobimo

Po formuli (9) imamo. V zvezi s tem izhaja iz (12) ali .

Ker in , potem .

Odgovor: .

Primer 9. Ugotovite, če in .

rešitev. Ker , In po pogoju , potem ali .

Iz formule (5) je znano, Kaj . Od takrat.

torej tukaj imamo sistem linearnih enačb

Od tu dobimo in . Ob upoštevanju formule (8) zapišemo .

Primer 10. Reši enačbo.

rešitev. Od podana enačba temu sledi. Predpostavimo, da , , in . V tem primeru .

Po formuli (1) lahko zapišemo ali .

Ker ima enačba (13) edini primeren koren .

Primer 11. Poiščite največjo vrednost pod pogojem, da in .

rešitev. Ker je , potem je obravnavana aritmetična progresija padajoča. V zvezi s tem izraz dobi največjo vrednost, ko je število najmanjšega pozitivnega člena napredovanja.

Uporabimo formulo (1) in dejstvo, to in . Potem dobimo to oz.

Od , torej oz . Vendar pa v tej neenakostinajvečje naravno število, Zato .

Če vrednosti , in nadomestimo v formulo (6), dobimo .

Odgovor: .

Primer 12. Določi vsoto vseh dvomestnih naravnih števil, ki jim pri deljenju s številom 6 ostane ostanek 5.

rešitev. Označimo z množico vseh dvomestnih naravnih števil, tj. . Nato bomo zgradili podmnožico, sestavljeno iz tistih elementov (števil) množice, ki pri deljenju s številom 6 dajo ostanek 5.

Enostaven za namestitev, Kaj . očitno, da elementi sklopatvorijo aritmetično progresijo, v katerem in .

Za določitev kardinalnosti (števila elementov) množice predpostavimo, da . Ker in , sledi iz formule (1) ali . Ob upoštevanju formule (5) dobimo .

Zgornji primeri reševanja problemov nikakor ne morejo trditi, da so izčrpni. Ta članek je napisan na podlagi analize sodobne metode rešitve tipične naloge na dano temo. Za bolj poglobljeno študijo metod za reševanje problemov, povezanih z aritmetično progresijo, je priporočljivo, da se sklicujete na seznam priporočene literature.

1. Zbirka nalog iz matematike za kandidate na visokih šolah / Ed. M.I. Scanavi. – M.: Mir in izobraževanje, 2013. – 608 str.

2. Suprun V.P. Matematika za srednješolce: dodatni oddelki šolski kurikulum. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 str.

3. Medynsky M.M. Celoten tečaj osnovne matematike v nalogah in vajah. 2. knjiga: Številska zaporedja in napredovanja. – M.: Editus, 2015. – 208 str.

Imate še vprašanja?

Če želite dobiti pomoč mentorja, se registrirajte.

spletne strani, pri kopiranju materiala v celoti ali delno je obvezna povezava do izvirnega vira.

Vsota aritmetične progresije.

Vsota aritmetične progresije je preprosta stvar. Tako po pomenu kot po formuli. Na to temo pa so najrazličnejše naloge. Od osnovnih do čisto solidnih.

Najprej razumemo pomen in formulo zneska. In potem se bomo odločili. Za lastno veselje.) Pomen zneska je preprost kot mukanje. Če želite najti vsoto aritmetične progresije, morate samo skrbno sešteti vse njene člene. Če je teh izrazov malo, lahko dodate brez kakršnih koli formul. Če pa je veliko, ali veliko... dodajanje je moteče.) V tem primeru na pomoč priskoči formula.

Formula za znesek je preprosta:

Ugotovimo, kakšne črke so vključene v formulo. To bo marsikaj razjasnilo.

S n - vsota aritmetične progresije. Rezultat seštevanja vsičlani, z prvi Avtor: zadnji. Je pomembno. Natančno seštejejo Vsečlanov v vrsti, brez preskakovanja oz. In natančno, začenši od prvi. Pri težavah, kot je iskanje vsote tretjega in osmega člena ali vsote petega do dvajsetega člena, bo neposredna uporaba formule razočarala.)

a 1 - prvičlan napredovanja. Tukaj je vse jasno, preprosto prvištevilka vrstice.

a n- zadnjičlan napredovanja. Zadnja številka serije. Ni zelo znano ime, a če ga uporabimo za količino, je zelo primerno. Potem se boste prepričali sami.

n - številko zadnjega člana. Pomembno je razumeti, da je v formuli to število sovpada s številom dodanih izrazov.

Opredelimo pojem zadnjičlan a n. Kočljivo vprašanje: kateri član bo zadnjiče je dano neskončno aritmetična progresija?)

Za samozavesten odgovor morate razumeti osnovni pomen aritmetičnega napredovanja in ... natančno preberite nalogo!)

Pri nalogi iskanja vsote aritmetične progresije se vedno pojavi zadnji člen (posredno ali neposredno), ki jih je treba omejiti. Sicer pa končni, določen znesek preprosto ne obstaja. Za rešitev ni pomembno, ali je podana progresija: končna ali neskončna. Ni pomembno, kako je podano: vrsta števil ali formula za n-ti člen.

Najpomembneje je razumeti, da formula deluje od prvega člena napredovanja do člena s številko n. Pravzaprav je polno ime formule videti takole: vsota prvih n členov aritmetične progresije.Število teh čisto prvih članov, tj. n, določa izključno naloga. V nalogi so vse te dragocene informacije pogosto šifrirane, ja ... Ampak nič hudega, v spodnjih primerih razkrivamo te skrivnosti.)

Primeri nalog o vsoti aritmetične progresije.

Najprej, koristne informacije:

Glavna težava pri nalogah, ki vključujejo vsoto aritmetične progresije, je pravilna določitev elementov formule.

Pisci nalog šifrirajo te elemente z brezmejno domišljijo.) Glavna stvar tukaj je, da se ne bojite. Če razumemo bistvo elementov, je dovolj, da jih preprosto dešifriramo. Oglejmo si nekaj primerov podrobno. Začnimo z nalogo, ki temelji na resničnem GIA.

1. Aritmetična progresija je podana s pogojem: a n = 2n-3,5. Poiščite vsoto njegovih prvih 10 členov.

Dobro opravljeno. Enostavno.) Kaj moramo vedeti za določitev količine s formulo? Prvi član a 1, zadnji rok a n, da številka zadnjega člana n.

Kje lahko dobim številko zadnjega člana? n? Da, tam, pod pogojem! Piše: poišči vsoto prvih 10 članov. No, s katero številko bo? zadnji, deseti član?) Ne boste verjeli, njegovo število je deseti!) Zato namesto a n bomo nadomestili v formulo a 10, in namesto tega n- deset. Ponavljam, število zadnjega člana sovpada s številom članov.

Ostaja še določiti a 1 in a 10. To je enostavno izračunati s formulo za n-ti člen, ki je podana v opisu problema. Ne veste, kako to narediti? Obiščite prejšnjo lekcijo, brez tega ne gre.

a 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

a 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Ugotovili smo pomen vseh elementov formule za vsoto aritmetične progresije. Vse kar ostane je, da jih nadomestimo in preštejemo:

To je to. Odgovor: 75.

Še ena naloga, ki temelji na GIA. Malo bolj zapleteno:

2. Podana je aritmetična progresija (a n), katere razlika je 3,7; a 1 =2,3. Poiščite vsoto njegovih prvih 15 členov.

Takoj zapišemo formulo vsote:

Ta formula nam omogoča, da poiščemo vrednost katerega koli izraza po njegovi številki. Iščemo preprosto zamenjavo:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Vse, kar ostane, je nadomestiti vse elemente v formulo za vsoto aritmetične progresije in izračunati odgovor:

Odgovor: 423.

Mimogrede, če v formuli vsote namesto a n Enostavno zamenjamo formulo za n-ti člen in dobimo:

Predstavimo podobne in dobimo novo formulo za vsoto členov aritmetične progresije:

Kot lahko vidite, to tukaj ni potrebno n-ti izraz a n. Pri nekaterih težavah ta formula zelo pomaga, ja ... Lahko se spomnite te formule. Lahko pa ga preprosto prikažete ob pravem času, kot je tukaj. Navsezadnje si morate vedno zapomniti formulo za vsoto in formulo za n-ti člen.)

Zdaj naloga v obliki kratkega šifriranja):

3. Poiščite vsoto vseh pozitivnih dvomestna števila, večkratniki treh.

Vau! Niti prvi član, niti zadnji, niti napredovanje sploh ... Kako živeti!?

Misliti bo treba s svojo glavo in iz pogoja potegniti vse elemente vsote aritmetične progresije. Vemo, kaj so dvomestna števila. Sestavljeni so iz dveh števil.) Kakšno bo dvomestno število prvi? 10, verjetno.) A zadnja stvar dvomestno število? 99, seveda! Trimestne mu bodo sledile ...

Večkratniki treh ... Hm ... To so števila, ki so deljiva s tri, tukaj! Deset ni deljivo s tri, 11 ni deljivo ... 12 ... je deljivo! Torej, nekaj se pojavlja. Že zdaj lahko zapišete niz glede na pogoje problema:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Bo ta serija aritmetična progresija? Vsekakor! Vsak izraz se od prejšnjega razlikuje za strogo tri. Če izrazu dodate 2 ali 4, recimo rezultat, tj. novo število ni več deljivo s 3. Takoj lahko določite razliko aritmetične progresije: d = 3. Prišlo bo prav!)

Tako lahko varno zapišemo nekaj parametrov napredovanja:

Kakšna bo številka? n zadnji član? Kdor misli, da je 99, se usodno moti... Številke se vedno vrstijo, naši člani pa skačejo čez tri. Ne ujemajo se.

Tukaj sta dve rešitvi. En način je za super pridne. Lahko si zapišeš napredovanje, celotno vrsto števil in s prstom prešteješ število članov.) Drugi način je za premišljene. Zapomniti si morate formulo za n-ti člen. Če uporabimo formulo za naš problem, ugotovimo, da je 99 trideseti člen napredovanja. Tisti. n = 30.

Poglejmo formulo za vsoto aritmetične progresije:

Gledamo in se veselimo.) Iz izjave o problemu smo izvlekli vse, kar je potrebno za izračun zneska:

a 1= 12.

a 30= 99.

S n = S 30.

Vse, kar ostane, je elementarna aritmetika. Številke nadomestimo v formulo in izračunamo:

Odgovor: 1665

Druga vrsta priljubljene uganke:

4. Glede na aritmetično napredovanje:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Poiščite vsoto členov od dvajsetega do štiriintridesetega.

Pogledamo formulo za znesek in ... se razburimo.) Formula, naj vas spomnim, izračuna znesek od prvegačlan. In v nalogi morate izračunati vsoto od dvajsetega ... Formula ne bo delovala.

Seveda lahko celotno napredovanje napišete v seriji in dodate člene od 20 do 34. Ampak ... to je nekako neumno in traja dolgo, kajne?)

Obstaja bolj elegantna rešitev. Razdelimo našo serijo na dva dela. Prvi del bo od prvega mandata do devetnajstega. drugi del - od dvajsetega do štiriintridesetega. Jasno je, da če izračunamo vsoto členov prvega dela S 1-19, seštejmo z vsoto členov drugega dela S 20-34, dobimo vsoto napredovanja od prvega člena do štiriintridesetega S 1-34. Všečkaj to:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Iz tega lahko vidimo, da najdemo vsoto S 20-34 lahko naredite s preprostim odštevanjem

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Upoštevana sta oba zneska na desni strani od prvegačlan, tj. standardna formula za vsoto je povsem uporabna zanje. Začnimo?

Parametre napredovanja izvlečemo iz izjave problema:

d = 1,5.

a 1= -21,5.

Za izračun vsote prvih 19 in prvih 34 členov bomo potrebovali 19. in 34. člen. Izračunamo jih s formulo za n-ti člen, kot v 2. nalogi:

a 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

a 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Nič ni ostalo. Od vsote 34 členov odštej vsoto 19 členov:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Odgovor: 262,5

Ena pomembna opomba! Pri reševanju tega problema obstaja zelo uporaben trik. Namesto neposrednega izračuna kar potrebuješ (S 20-34), smo šteli nekaj, kar se zdi nepotrebno - S 1-19. In potem so določili S 20-34, zavrženje nepotrebnega iz celotnega rezultata. Takšna "finta z ušesi" vas pogosto reši hudih težav.)

V tej lekciji smo si ogledali probleme, za katere je dovolj razumeti pomen vsote aritmetične progresije. No, poznati morate nekaj formul.)

Praktični nasveti:

Pri reševanju katerega koli problema, ki vključuje vsoto aritmetičnega napredovanja, priporočam, da takoj izpišete dve glavni formuli iz te teme.

Formula za n-ti člen:

Te formule vam bodo takoj povedale, kaj iskati in v katero smer razmišljati, da bi rešili problem. Pomaga.

In zdaj naloge za samostojno rešitev.

5. Poišči vsoto vseh dvomestnih števil, ki niso deljiva s tri.

Kul?) Namig je skrit v opombi k 4. problemu. No, 3. problem bo pomagal.

6. Aritmetična progresija je podana s pogojem: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Poiščite vsoto njegovih prvih 24 členov.

Nenavadno?) To je ponavljajoča se formula. O tem si lahko preberete v prejšnji lekciji. Ne prezrite povezave, takšne težave pogosto najdemo v Državni akademiji znanosti.

7. Vasya je prihranil denar za počitnice. Kar 4550 rubljev! In odločila sem se, da svoji najljubši osebi (sebi) podarim nekaj dni sreče). Živite lepo, ne da bi si karkoli odrekali. Prvi dan porabite 500 rubljev, vsak naslednji dan pa 50 rubljev več kot prejšnji! Dokler ne zmanjka denarja. Koliko dni sreče je imel Vasja?

Ali je težko?) Pomagala vam bo dodatna formula iz 2. naloge.

Odgovori (v neredu): 7, 3240, 6.

Če vam je všeč ta stran ...

Mimogrede, za vas imam še nekaj zanimivih spletnih mest.)

Lahko vadite reševanje primerov in ugotovite svojo raven. Testiranje s takojšnjim preverjanjem. Učimo se - z zanimanjem!)

Lahko se seznanite s funkcijami in izpeljankami.

Torej, usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:
Napišete lahko poljubne številke in jih je lahko poljubno (v našem primeru jih je). Ne glede na to, koliko števil napišemo, vedno lahko ugotovimo, katera je prva, katera druga in tako naprej do zadnjega, torej jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja:

Zaporedje številk
Na primer za naše zaporedje:

Dodeljena številka je specifična samo za eno številko v zaporedju. Z drugimi besedami, v zaporedju ni treh drugih številk. Drugo število (tako kot th) je vedno enako.
Število s številom se imenuje th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

V našem primeru:

Recimo, da imamo številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka.
Na primer:

itd.
To številsko zaporedje imenujemo aritmetična progresija.
Izraz »progresija« je uvedel rimski avtor Boecij že v 6. stoletju in ga je razumel v širšem smislu kot neskončno številčno zaporedje. Ime "aritmetika" je bilo preneseno iz teorije zveznih razmerij, ki so jo preučevali stari Grki.

To je številsko zaporedje, katerega vsak člen je enak prejšnjemu, dodanemu istemu številu. To število imenujemo razlika aritmetične progresije in je označeno.

Poskusite ugotoviti, katera številska zaporedja so aritmetična progresija in katera ne:

a)
b)
c)
d)

Razumem? Primerjajmo naše odgovore:
je aritmetična progresija - b, c.
Ni aritmetična progresija - a, d.

Vrnimo se k dani progresiji () in poskusimo najti vrednost njenega th člena. obstaja dva način, kako ga najti.

1. Metoda

Število napredovanja lahko dodajamo prejšnji vrednosti, dokler ne dosežemo th člena napredovanja. Še dobro, da nimamo veliko za povzemati - samo tri vrednosti:

Torej je th člen opisane aritmetične progresije enak.

2. Metoda

Kaj pa, če bi morali najti vrednost th člena napredovanja? Seštevanje bi nam vzelo več kot eno uro in ni dejstvo, da se pri seštevanju številk ne bi zmotili.
Seveda so se matematiki domislili načina, da prejšnji vrednosti ni treba dodajati razlike aritmetične progresije. Pobližje si oglejte narisano sličico ... Zagotovo ste že opazili določen vzorec, in sicer:

Na primer, poglejmo, iz česa je sestavljena vrednost th člena te aritmetične progresije:


Z drugimi besedami:

Poskusite na ta način sami poiskati vrednost člana dane aritmetične progresije.

Ste izračunali? Primerjajte svoje zapiske z odgovorom:

Upoštevajte, da ste dobili popolnoma enako število kot v prejšnji metodi, ko smo prejšnji vrednosti zaporedno dodali člene aritmetičnega napredovanja.
Poskusimo "depersonalizirati" to formulo - vključimo jo splošna oblika in dobimo:

Aritmetična progresijska enačba.

Aritmetične progresije so lahko naraščajoče ali padajoče.

Povečanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov večja od prejšnje.
Na primer:

Sestopanje- progresije, pri katerih je vsaka naslednja vrednost členov manjša od prejšnje.
Na primer:

Izpeljana formula se uporablja pri izračunu členov v naraščajočih in padajočih členih aritmetične progresije.
Preverimo to v praksi.
Dobili smo aritmetično progresijo, sestavljeno iz naslednjih števil: Preverite, kakšno bo th število te aritmetične progresije, če za izračun uporabimo našo formulo:

Od takrat:

Tako smo prepričani, da formula deluje tako v padajoči kot v naraščajoči aritmetični progresiji.
Poskusite sami poiskati th in th člen te aritmetične progresije.

Primerjajmo rezultate:

Lastnost aritmetične progresije

Zakomplicirajmo problem – izpeljali bomo lastnost aritmetične progresije.
Recimo, da imamo naslednji pogoj:
- aritmetična progresija, poiščite vrednost.
Enostavno, rečete in začnete šteti po formuli, ki jo že poznate:

Naj, ah, potem pa:

Popolnoma prav. Izkazalo se je, da najprej najdemo, nato dodamo prvi številki in dobimo, kar iščemo. Če je progresija predstavljena z majhnimi vrednostmi, potem ni nič zapletenega, kaj pa, če so nam v pogoju podane številke? Strinjam se, obstaja možnost napake pri izračunih.
Zdaj pomislite, ali je mogoče ta problem rešiti v enem koraku s katero koli formulo? Seveda da, in to je tisto, kar bomo zdaj poskušali razkriti.

Zahtevani člen aritmetične progresije označimo tako, da nam je formula za iskanje znana - to je ista formula, ki smo jo izpeljali na začetku:
, potem:

• prejšnji izraz napredovanja je:
• naslednji člen napredovanja je:

Povzemimo prejšnje in nadaljnje pogoje napredovanja:

Izkazalo se je, da je vsota prejšnjega in naslednjih členov napredovanja dvojna vrednost člena napredovanja, ki se nahaja med njima. Z drugimi besedami, da bi našli vrednost napredovalnega izraza z znanimi prejšnjimi in zaporednimi vrednostmi, jih morate sešteti in deliti z.

Tako je, dobili smo isto številko. Zavarujmo material. Vrednost za napredovanje izračunajte sami, sploh ni težko.

Dobro opravljeno! O napredovanju veš skoraj vse! Najti je treba samo eno formulo, ki jo je po legendi zlahka izvedel eden največjih matematikov vseh časov, "kralj matematikov" - Karl Gauss ...

Ko je bil Carl Gauss star 9 let, je učitelj, zaposlen s preverjanjem dela učencev v drugih razredih, v razredu dodelil naslednjo nalogo: "Izračunajte vsoto vseh naravnih števil od do (po drugih virih do) vključno." Predstavljajte si učiteljevo presenečenje, ko je eden od njegovih učencev (to je bil Karl Gauss) minuto pozneje dal pravilen odgovor na nalogo, medtem ko je večina pogumnih sošolcev po dolgih izračunih dobila napačen rezultat ...

Mladi Carl Gauss je opazil določen vzorec, ki ga zlahka opazite tudi vi.
Recimo, da imamo aritmetično progresijo, sestavljeno iz -th členov: Najti moramo vsoto teh členov aritmetične progresije. Seveda lahko ročno seštejemo vse vrednosti, a kaj, če naloga zahteva iskanje vsote njegovih členov, kot je iskal Gauss?

Upodabljajmo napredovanje, ki nam je dano. Pozorno si oglejte označena števila in poskusite z njimi izvajati različne matematične operacije.


Ste poskusili? Kaj ste opazili? Prav! Njuni vsoti sta enaki

Zdaj pa mi povejte, koliko je takih parov skupaj v napredovanju, ki nam je dano? Seveda natanko polovica vseh številk, tj.
Na podlagi dejstva, da je vsota dveh členov aritmetične progresije enaka, podobni pari pa so enaki, dobimo, da je skupna vsota enaka:
.
Tako bo formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja:

Pri nekaterih težavah ne poznamo th člena, poznamo pa razliko napredovanja. Poskusite zamenjati formulo th člena v formulo vsote.
Kaj si dobil?

Dobro opravljeno! Zdaj pa se vrnimo k problemu, ki je bil zastavljen Carlu Gaussu: sami izračunajte, čemu je enaka vsota števil, ki se začnejo s th, in vsota števil, ki se začnejo s th.

Koliko si dobil?
Gauss je ugotovil, da je vsota členov enaka in vsota členov. Ste se tako odločili?

Pravzaprav je formulo za vsoto členov aritmetične progresije dokazal starogrški znanstvenik Diofant že v 3. stoletju in ves ta čas so duhoviti ljudje v celoti izkoristili lastnosti aritmetične progresije.
Na primer, predstavljajte si Starodavni Egipt in največji gradbeni podvig tistega časa - gradnja piramide... Slika prikazuje njeno eno stran.

Kje je tu napredek, pravite? Pozorno poglejte in poiščite vzorec v številu peščenih blokov v vsaki vrsti stene piramide.


Zakaj ne aritmetična progresija? Izračunajte, koliko blokov je potrebnih za gradnjo ene stene, če so bloki opeke postavljeni na dno. Upam, da ne boste šteli med premikanjem prsta po monitorju, se spomnite zadnje formule in vsega, kar smo povedali o aritmetični progresiji?

V tem primeru je napredovanje videti takole: .
Razlika aritmetične progresije.
Število členov aritmetične progresije.
Nadomestimo naše podatke v zadnje formule (izračunajte število blokov na 2 načina).

1. metoda.

Metoda 2.

In zdaj lahko izračunate na monitorju: primerjajte dobljene vrednosti s številom blokov, ki so v naši piramidi. Razumem? Bravo, obvladali ste vsoto n-tih členov aritmetičnega napredovanja.
Seveda ne morete zgraditi piramide iz blokov na dnu, ampak iz? Poskusite izračunati, koliko peščenih opek je potrebnih za gradnjo stene s tem pogojem.
Vam je uspelo?
Pravilen odgovor je bloki:

Usposabljanje

Naloge:

1. Maša se pripravlja na poletje. Vsak dan poveča število počepov za. Kolikokrat bo Maša naredila počepe v enem tednu, če je počepe naredila na prvem treningu?
2. Kakšna je vsota vseh lihih števil v.
3. Drvarji pri skladiščenju polen zlagajo tako, da je v vsaki zgornji plasti en polen manj kot v prejšnji. Koliko brun je v enem zidu, če je temelj zidu bruna?

odgovori:

1. Določimo parametre aritmetične progresije. V tem primeru
   (tedni = dnevi).

   odgovor:Čez dva tedna naj Maša dela počepe enkrat na dan.

2. najprej liho število, zadnja številka.
   Razlika aritmetične progresije.
   Število lihih števil je polovica, vendar preverimo to dejstvo s formulo za iskanje th člena aritmetičnega napredovanja:

   Številke vsebujejo liha števila.
   Zamenjajmo razpoložljive podatke v formulo:

   odgovor: Vsota vseh lihih števil v je enaka.

3. Spomnimo se problema o piramidah. Za naš primer je a , ker je vsaka zgornja plast zmanjšana za en dnevnik, potem je skupaj kup plasti, tj.
   Zamenjajmo podatke v formulo:

   odgovor: V zidu so hlodi.

Naj povzamemo

1. - številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi števili enaka in enaka. Lahko se povečuje ali zmanjšuje.
2. Iskanje formule Ti člen aritmetičnega napredovanja je zapisan s formulo - , kjer je število števil v napredovanju.
3. Lastnost članov aritmetične progresije- - kjer je število števil v napredovanju.
4. Vsota členov aritmetične progresije lahko najdete na dva načina:
   
   , kjer je število vrednosti.

ARITMETIČNA PROGRESIJA. POVPREČNA STOPNJA

Zaporedje številk

Usedimo se in začnimo pisati nekaj številk. Na primer:

Napišete lahko poljubne številke in lahko jih je poljubno veliko. Vedno pa lahko rečemo, katera je prva, katera druga in tako naprej, se pravi, da jih lahko oštevilčimo. To je primer številskega zaporedja.

Zaporedje številk je niz številk, od katerih je vsakemu mogoče dodeliti edinstveno številko.

Z drugimi besedami, vsako število je mogoče povezati z določenim naravnim številom in edinstvenim. In te številke ne bomo dodelili nobeni drugi številki iz tega niza.

Število s številko imenujemo th člen zaporedja.

Običajno imenujemo celotno zaporedje z neko črko (na primer,), vsak člen tega zaporedja pa je ista črka z indeksom, ki je enak številu tega člena: .

Zelo priročno je, če lahko th člen zaporedja podamo z neko formulo. Na primer, formula

nastavi zaporedje:

In formula je naslednje zaporedje:

Na primer, aritmetična progresija je zaporedje (prvi člen je enak, razlika pa je). Ali (, razlika).

n-ti člen formula

Formulo imenujemo ponavljajoča se, v kateri morate, da bi ugotovili th člen, poznati prejšnjega ali več prejšnjih:

Da bi našli na primer th člen napredovanja s to formulo, bomo morali izračunati prejšnjih devet. Na primer, pustite. Nato:

No, je zdaj jasno, kakšna je formula?

V vsaki vrstici dodamo, pomnožimo z določeno številko. Kateri? Zelo preprosto: to je številka trenutnega člana minus:

Zdaj je veliko bolj priročno, kajne? Preverjamo:

Odločite se sami:

V aritmetični progresiji poiščite formulo za n-ti člen in poiščite stoti člen.

rešitev:

Prvi izraz je enak. Kakšna je razlika? Evo kaj:

(Zato se imenuje razlika, ker je enaka razliki zaporednih členov napredovanja).

Torej, formula:

Potem je stoti člen enak:

Kolikšna je vsota vseh naravnih števil od do?

Po legendi je veliki matematik Carl Gauss kot 9-letni deček v nekaj minutah izračunal to količino. Opazil je, da sta vsota prvega in zadnjega števila enaka, vsota drugega in predzadnjega je enaka, vsota tretjega in 3. od konca je enaka itd. Koliko je teh parov skupaj? Tako je, točno polovica števila vseh števil, torej. Torej,

Splošna formula za vsoto prvih členov katerega koli aritmetičnega napredovanja bo:

primer:
Poiščite vsoto vseh dvomestnih večkratnikov.

rešitev:

Prva taka številka je ta. Vsako naslednje število dobimo s seštevanjem prejšnjega števila. Tako števila, ki nas zanimajo, tvorijo aritmetično progresijo s prvim členom in razliko.

Formula th člena za to napredovanje:

Koliko členov je v progresiji, če morajo biti vsi dvomestni?

Zelo enostavno: .

Zadnji člen napredovanja bo enak. Nato vsota:

Odgovor: .

Zdaj se odločite sami:

1. Vsak dan športnik preteče več metrov kot prejšnji dan. Koliko skupno kilometrov bo pretekel v tednih, če je prvi dan pretekel km m?
2. Kolesar vsak dan prevozi več kilometrov kot prejšnji dan. Prvi dan je prevozil km. Koliko dni mora potovati, da premaga kilometer? Koliko kilometrov bo prevozil v zadnjem dnevu svojega potovanja?
3. Vsako leto se za toliko zniža cena hladilnika v trgovini. Ugotovite, za koliko se je vsako leto znižala cena hladilnika, če je bil dan v prodajo za rublje šest let pozneje prodan za rublje.

odgovori:

1. Pri tem je najpomembnejše prepoznati aritmetično progresijo in določiti njene parametre. V tem primeru (tedni = dnevi). Določiti morate vsoto prvih členov tega napredovanja:
   .
   odgovor:
2. Tukaj je podano: , je treba najti.
   Očitno morate uporabiti isto formulo vsote kot v prejšnjem problemu:
   .
   Zamenjajte vrednosti:

   Koren očitno ne ustreza, zato je odgovor.
   Izračunajmo pot, prevoženo v zadnjem dnevu, z uporabo formule th člena:
   (km).
   odgovor:

3. Podano: . Najti: .
   Ne more biti bolj preprosto:
   (drgniti).
   odgovor:

ARITMETIČNA PROGRESIJA. NA KRATKO O GLAVNEM

To je številsko zaporedje, v katerem je razlika med sosednjimi številkami enaka in enaka.

Aritmetična progresija je lahko naraščajoča () in padajoča ().

Na primer:

Formula za iskanje n-tega člena aritmetične progresije

se zapiše s formulo, kjer je število števil v progresiji.

Lastnost članov aritmetične progresije

Omogoča vam enostavno iskanje člena progresije, če so njegovi sosednji členi znani - kje je število števil v progresiji.

Vsota členov aritmetične progresije

Znesek lahko najdete na dva načina:

Kje je število vrednosti.

Kje je število vrednosti.

PREOSTALI 2/3 IZDELKOV STA NA VOLJO SAMO ŠTUDENTOM YOUCLEVER!

Postanite študent YouClever,

Pripravite se na enotni državni izpit ali enotni državni izpit iz matematike za ceno "skodelice kave na mesec",

In pridobite tudi neomejen dostop do učbenika "YouClever", Pripravljalni program (delovni zvezek) "100gia", neomejen poskusni enotni državni izpit in OGE, 6000 problemov z analizo rešitev in drugih storitev YouClever in 100gia.