mocninný rad.

Pomocou mocninových radov je možné integrovať diferenciálne rovnice.

Zvážte lineárnu diferenciálnu rovnicu tvaru:

Ak sa všetky koeficienty a pravá strana tejto rovnice rozšíria na konvergentné v určitom intervale mocninný rad, potom existuje riešenie tejto rovnice v nejakom malom okolí nulového bodu, ktoré spĺňa počiatočné podmienky.

Toto riešenie môže byť reprezentované mocninovým radom:

Na nájdenie riešenia zostáva určiť neznáme konštanty c i.

Tento problém sa dá vyriešiť metóda porovnávania neistých koeficientov. Zapísaný výraz za požadovanú funkciu dosadíme do pôvodnej diferenciálnej rovnice, pričom vykonáme všetky potrebné operácie s mocninnými radmi (diferenciácia, sčítanie, odčítanie, násobenie atď.)

Potom vyrovnáme koeficienty v rovnakých stupňoch X na ľavej a pravej strane rovnice. Výsledkom je, že pri zohľadnení počiatočných podmienok získame systém rovníc, z ktorých postupne určujeme koeficienty c i.

Všimnite si, že táto metóda je použiteľná aj pre nelineárne diferenciálne rovnice.

Príklad. Nájdite riešenie rovnice s počiatočnými podmienkami y(0)=1, y'(0)=0.

Budeme hľadať riešenie rovnice vo forme

Výsledné výrazy dosadíme do pôvodnej rovnice:

Odtiaľto dostaneme:

………………

Dostávame sa striedaním počiatočné podmienky na výrazy pre požadovanú funkciu a jej prvú deriváciu:

Nakoniec dostaneme:

Existuje ďalší spôsob riešenia diferenciálnych rovníc pomocou radov. Volá sa metóda sekvenčnej diferenciácie.

Pozrime sa na rovnaký príklad. Budeme hľadať riešenie diferenciálnej rovnice v podobe rozšírenia neznámej funkcie v Maclaurinovom rade.

Ak sú dané počiatočné podmienky y(0)=1, y'(0)=0 dosadíme do pôvodnej diferenciálnej rovnice, dostaneme to

Po dosadení získaných hodnôt dostaneme:

Fourierov rad.

(Jean Baptiste Joseph Fourier (1768 – 1830) – francúzsky matematik)

Trigonometrické série.

Definícia. Trigonometrické série sa nazýva séria formulára:

alebo v skratke

Reálne čísla a i, b i sa nazývajú koeficienty trigonometrického radu.

Ak rad vyššie uvedeného typu konverguje, potom jeho súčet je periodická funkcia s periódou 2p, pretože funkcie hriech nx a cos nx aj periodické funkcie s periódou 2p.

Nech goniometrické rady rovnomerne konvergujú na segmente [-p; p], a teda na ľubovoľnom segmente kvôli periodicite a jeho súčet sa rovná f(x).

Stanovme koeficienty tohto radu.

Na vyriešenie tohto problému používame nasledujúce rovnosti:

Platnosť týchto rovnosti vyplýva z ich aplikácie na integrand trigonometrické vzorce. Ďalšie informácie nájdete v časti Integrácia goniometrických funkcií.

Pretože funkciu f(x) je spojitá na intervale [-p; p], potom existuje integrál

Tento výsledok sa získa v dôsledku skutočnosti, že.

Odtiaľto dostaneme:

Podobne výraz pre radový rozvoj funkcie vynásobíme sin nx a integrovať v rozsahu od -p do p.

Dostaneme:

Výraz pre koeficient 0 je špeciálny prípad na vyjadrenie koeficientov a n.

Ak teda funkcia f(x)– ľubovoľná periodická funkcia periódy 2p, spojitá na intervale [-p; p] alebo majúci konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu na tomto segmente, potom koeficienty

existujú a sú tzv Fourierove koeficienty pre funkciu f(x).

Definícia. Blízko Fouriera pre funkciu f(x) sa nazýva trigonometrický rad, ktorého koeficienty sú Fourierove koeficienty. Ak Fourierov rad funkcie f(x) k nej konverguje vo všetkých jej bodoch kontinuity, potom hovoríme, že funkcia f(x) expanduje do Fourierovho radu.

Dostatočné znaky rozložiteľnosti vo Fourierovom rade.

Veta. (Dirichletova veta) Ak má funkcia f(x) periódu 2p a na segmente

[-p;p] je spojitý alebo má konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu a segmentu

[-p;p] možno rozdeliť na konečný počet segmentov tak, že vo vnútri každého z nich je funkcia f(x) monotónna, potom Fourierov rad pre funkciu f(x) konverguje pre všetky hodnoty x, a v bodoch spojitosti funkcie f(x) sa jej súčet rovná f(x) a v bodoch nespojitosti sa jej súčet rovná , t.j. aritmetický priemer hraničných hodnôt vľavo a vpravo. V tomto prípade Fourierov rad funkcie f(x) konverguje rovnomerne na ľubovoľnom segmente, ktorý patrí do intervalu spojitosti funkcie f(x).

Zavolá sa funkcia f(x), pre ktorú sú splnené podmienky Dirichletovej vety po častiach monotónne na segmente [-p;p].

Veta. Ak má funkcia f(x) periódu 2p, navyše f(x) a jej derivácia f’(x) – spojité funkcie na intervale [-p;p] alebo majú na tomto intervale konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu, potom Fourierov rad funkcie f(x) konverguje pre všetky hodnoty x a v bodoch spojitosti sa jej súčet rovná f(x) av bodoch nespojitosti sa rovná . V tomto prípade Fourierov rad funkcie f(x) konverguje rovnomerne na ľubovoľnom segmente, ktorý patrí do intervalu spojitosti funkcie f(x).

Funkcia, ktorá spĺňa podmienky tejto vety, sa nazýva po častiach – hladká na segmente [-p;p].

Rozšírenie Fourierovho radu neperiodickej funkcie.

Problém rozšírenia neperiodickej funkcie do Fourierovho radu sa v princípe nelíši od rozšírenia periodickej funkcie do Fourierovho radu.

Povedzme funkciu f(x) je daný na intervale a je po častiach monotónny na tomto intervale. Uvažujme ľubovoľnú periodickú po častiach monotónnu funkciu f 1 (x) s bodkou 2T ³ ïb-aï, ktorá sa zhoduje s funkciou f(x) na segmente .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Takže funkcia f(x) bol pridaný. Teraz funkcia f 1 (x) expanduje do Fourierovho radu. Súčet tohto radu vo všetkých bodoch segmentu sa zhoduje s funkciou f(x), tie. môžeme predpokladať, že funkcia f(x) expandoval do Fourierovho radu na segmente .

Ak je teda funkcia f(x) daná na intervale rovnajúcemu sa 2p, nelíši sa od sériovej expanzie periodickej funkcie. Ak je segment, na ktorom je funkcia zadaná, menší ako 2p, potom sa funkcia rozšíri na interval (b, a + 2p), aby boli zachované podmienky pre expanziu do Fourierovho radu.

Všeobecne povedané, v tomto prípade pokračovanie danej funkcie na segment (interval) dĺžky 2p možno vykonať nekonečným množstvom spôsobov, takže súčty výsledných radov budú rôzne, ale budú sa zhodovať s daným funkcia f(x) na segmente.

Fourierove rady pre párne a nepárne funkcie.

Všimnime si nasledujúce vlastnosti párnych a nepárnych funkcií:

2) Súčin dvoch párnych a nepárnych funkcií je párna funkcia.

3) Súčin párnej a nepárnej funkcie je nepárna funkcia.

Platnosť týchto vlastností sa dá ľahko dokázať na základe definície párnych a nepárnych funkcií.

Ak f(x) je párna periodická funkcia s periódou 2p, ktorá spĺňa podmienky expanzie vo Fourierovom rade, potom môžeme napísať:

Pre párnu funkciu je teda Fourierov rad napísaný:

Podobne získame rozšírenie Fourierovho radu pre nepárnu funkciu:

Príklad. Rozviňte do Fourierovho radu periodickú funkciu s periódou T = 2p na intervale [-p;p].

Daná funkcia je nepárna, preto hľadáme Fourierove koeficienty v tvare:

Definícia. Fourierove rady na ortogonálnom systéme funkcií j 1 (x), j 2 (x), …, jn (x) sa nazýva séria tvaru:

ktorých koeficienty sú určené vzorcom:

Kde f(x)= je súčet radu rovnomerne konvergujúcich na segmente pozdĺž ortogonálneho systému funkcií. f(x) – akákoľvek funkcia, ktorá je spojitá alebo má konečný počet bodov nespojitosti prvého druhu na segmente.

V prípade ortonormálneho systému funkcií sa koeficienty určujú:

Pri použití počítačovej verzie „ Vyšší kurz matematiky” je možné spustiť program, ktorý rozšíri ľubovoľnú funkciu do Fourierovho radu.

Taylorova séria. Séria Maclaurin

Nech je funkcia diferencovateľná nekonečne veľakrát v okolí bodu, t.j. má deriváty akéhokoľvek rádu. Taylorov rad funkcie v bode je mocninný rad

V špeciálnom prípade série (1.8) sa nazýva Maclaurinova séria:

Vynára sa otázka: V akých prípadoch sa Taylorov rad pre funkciu derivovanú nekonečne veľakrát v okolí bodu zhoduje s funkciou?

Môžu nastať prípady, keď Taylorov rad funkcie konverguje, ale jeho súčet nie je rovnaký

Uveďme dostatočnú podmienku pre konvergenciu Taylorovho radu funkcie k tejto funkcii.

Veta 1.4: ak má v intervale funkcia derivácie ľubovoľného rádu a všetky sú v absolútnej hodnote obmedzené rovnakým číslom, t.j. potom Taylorov rad tejto funkcie konverguje pre ktorýkoľvek z tohto intervalu, t.j. existuje rovnosť

Na určenie, či táto rovnosť platí na koncoch konvergenčného intervalu, sú potrebné samostatné štúdie.

Treba poznamenať, že ak je funkcia rozšírená na mocninný rad, potom tento rad je Taylorovým (Maclaurinovým) radom tejto funkcie a toto rozšírenie je jedinečné.

Diferenciálne rovnice

Obyčajný Diferenciálnej rovnice n-tý rád pre funkciu argumentu sa nazýva relácia tvaru

kde je daná funkcia jeho argumentov.

V mene tejto triedy matematických rovníc pojem „diferenciál“ zdôrazňuje, že zahŕňajú derivácie (funkcie vytvorené ako výsledok diferenciácie); výraz „obyčajný“ znamená, že požadovaná funkcia závisí len od jedného skutočného argumentu.

Obyčajná diferenciálna rovnica nemusí explicitne obsahovať argument požadovanej funkcie a žiadnej z jej derivácií, ale najvyššia derivácia musí byť zahrnutá v rovnici n-tého rádu.

Napríklad,

A) - rovnica prvého poriadku;

B) - rovnica tretieho rádu.

Pri písaní obyčajných diferenciálnych rovníc sa často používa označenie pre derivácie z hľadiska diferenciálov:

B) - rovnica druhého rádu;

D) - rovnica prvého rádu, ktorá po vydelení ekvivalentným tvarom tvorí nasledujúcu rovnicu:

Funkcia sa nazýva riešením obyčajnej diferenciálnej rovnice, ak sa po dosadení do nej zmení na identitu.

Nájsť takou či onakou metódou, napríklad výberom, jednu funkciu, ktorá vyhovuje rovnici, neznamená jej vyriešenie. Riešenie bežnej diferenciálnej rovnice znamená nájsť všetky funkcie, ktoré tvoria identitu, keď sú dosadené do rovnice. Pre rovnicu (1.10) je skupina takýchto funkcií vytvorená pomocou ľubovoľných konštánt a nazýva sa všeobecné riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice n-tého rádu a počet konštánt sa zhoduje s poradím rovnice: Všeobecné riešenie nemusí byť explicitne vyriešené vzhľadom na V tomto prípade sa riešenie zvyčajne nazýva všeobecný integrál rovnice (1.10).

Priradením niektorých prípustných hodnôt všetkým ľubovoľným konštantám vo všeobecnom riešení alebo vo všeobecnom integráli získame určitú funkciu, ktorá už neobsahuje ľubovoľné konštanty. Táto funkcia sa nazýva parciálne riešenie alebo parciálny integrál rovnice (1.10). Na nájdenie hodnôt ľubovoľných konštánt, a teda konkrétneho riešenia, sa používajú rôzne dodatočné podmienky k rovnici (1.10). Napríklad, takzvané počiatočné podmienky môžu byť špecifikované v:

Na pravej strane počiatočných podmienok (1.11) sú uvedené číselné hodnoty funkcie a derivácie a, celkový počet počiatočných podmienok sa rovná počtu definovaných ľubovoľných konštánt.

Problém hľadania konkrétneho riešenia rovnice (1.10) na základe počiatočných podmienok sa nazýva Cauchyho problém.

Integrácia diferenciálnych rovníc pomocou radov

Vo všeobecnom prípade je nemožné nájsť presné riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice prvého rádu (ODR) jej integráciou. Navyše to nie je možné pre systém ODE. Táto okolnosť viedla k vytvoreniu veľké číslo približné metódy riešenia ODR a ich systémov. Medzi približnými metódami možno rozlíšiť tri skupiny: analytické, grafické a numerické. Samozrejme, takáto klasifikácia je do určitej miery ľubovoľná. Napríklad grafická metóda Eulerových prerušovaných čiar je základom jednej z metód numerického riešenia diferenciálnej rovnice.

Integrácia ODR pomocou mocninových radov je približná analytická metóda, ktorá sa zvyčajne používa na lineárne rovnice aspoň druhého rádu. Pre jednoduchosť sa obmedzíme na uvažovanie o lineárnej homogénnej ODR druhého rádu s premenlivými koeficientmi

Poznámka: Vo formulári môže byť zastúpená pomerne široká trieda funkcií

kde sú nejaké konštanty. Tento výraz sa nazýva mocninný rad.

Predpokladajme, že funkcie možno rozšíriť do radov konvergujúcich v intervale:

Platí nasledujúca veta (po vynechaní dôkazu uvádzame len jej formuláciu).

Veta 1.5: ak funkcie majú tvar (1.13), potom akékoľvek riešenie ODR (1.12) môže byť reprezentované ako mocninný rad konvergujúci v:

Táto veta nielenže umožňuje znázorniť riešenie vo forme mocninného radu, ale čo je najdôležitejšie, odôvodňuje konvergenciu radu (1.14). Pre jednoduchosť vložíme (1.13) a (1.14) a hľadáme riešenie ODR (1.12) v tvare

Dosadením (1.15) do (1.12) dostaneme rovnosť

Na splnenie (1.16) je potrebné, aby koeficient pre každý stupeň bol rovný nule.

Z tejto podmienky získame nekonečný lineárny systém algebraické rovnice

z ktorých sa dá postupne zistiť, či sa nastavujú hodnoty a (v prípade Cauchyho problému pre ODR (1.12) sú zahrnuté v počiatočných podmienkach).

Ak sú funkcie racionálne, t.j.

kde sú polynómy, potom v okolí bodov, v ktorých buď riešenie vo forme mocninového radu nemusí existovať, a ak existuje, môže sa všade rozchádzať okrem bodu. Táto okolnosť bola L. Eulerovi známa. ktorý uvažoval o rovnici prvého rádu

Táto rovnica je splnená mocninným radom

Nie je však ťažké vidieť, že táto séria sa pre kohokoľvek líši

Riešenie ODR vo forme divergentného mocninného radu sa nazýva formálne.

MINISTERSTVO ŠKOLSTVA A VEDY REPUBLIKY KAZACHSTAN

Štátna univerzita v Severnom Kazachstane

ich. M. Kozybaeva

Fakulta informačných technológií

Katedra matematiky

Kurz je chránený

s hodnotením "___________"

"___"___________ rok 2013

hlavu oddelenie_____________

A. Tadžigitov

KURZ práca z matematiky

„INTEGRÁCIA DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC

POUŽÍVANIE VÝKONOVEJ SÉRIE"

VEDÚCI: Valeeva M.B. ___________

Petropavlovsk 2013

ADAPTA

Berilgen kurstyk zhumysta qatarlarmen zhane diferenciály tendemelermen baylanysty theorylyk suraktar karastyrylgan. Diferenciály еңdemенің integrálдауынн мысалDERы zhәne manңағаз қаторлARDың көмімін ка dosťрылған.

ANOTÁCIA

V tomto práca v kurze Uvažuje sa o teoretických otázkach týkajúcich sa sérií a diferenciálnych rovníc. Uvažuje sa o príkladoch integrácie diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov.

dané práce sú považované za teoretické otázky, ktoré súvisia s radmi a diferenciálnymi rovnicami. Uvažuje sa o príkladoch integrácie parciálnych diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov.

ÚVOD

ZÁKLADNÉ POJMY TÝKAJÚCE SA SÉRIOVÝCH A DIFERENCIÁLNYCH ROVNICE

1 riadkov. Základné pojmy. Nevyhnutný znak konvergencie

2 Výkonový rad. Vlastnosti mocninových radov

3 Taylor Row. Séria Maclaurin

4 Diferenciálne rovnice

5 Integrovanie diferenciálnych rovníc pomocou radov

PRÍKLADY POUŽITIA VÝKONOVÉHO RADU PRI INTEGRÁCII DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC

1 Airyho rovnica

2 Besselova rovnica

3 Príklady integrácie

4 Príklady integrácie v Maple

ZÁVER

ÚVOD

Termín „diferenciálna rovnica“ pochádza od Leibniza (1676, publikované 1684). Začiatok výskumu diferenciálnych rovníc sa datuje do čias Leibniza a Newtona, v ktorých prácach sa skúmali prvé problémy vedúce k takýmto rovniciam. Leibniz, Newton, bratia J. a I. Bernoulli vyvinuli metódy na integráciu obyčajných diferenciálnych rovníc. Ako univerzálna metóda boli použité expanzie integrálov diferenciálnych rovníc do mocninných radov.

V súčasnosti rozsiahle zavádzanie výpočtových metód do vedy, spojené s nástupom výkonných výpočtových nástrojov, si vyžaduje prehodnotenie dôležitosti rôznych odvetví matematiky a najmä častí teórie obyčajných diferenciálnych rovníc. V súčasnosti vzrástol význam metód pre kvalitatívny výskum riešení diferenciálnych rovníc, ako aj metód na približné hľadanie riešení.

Riešenia mnohých diferenciálnych rovníc nie sú vyjadrené v elementárnych funkciách alebo kvadratúrach. V týchto prípadoch sa používajú približné metódy integrácie diferenciálnych rovníc. Jednou z takýchto metód je reprezentovať riešenie rovnice ako mocninný rad; súčet konečného počtu členov tohto radu sa bude približne rovnať požadovanému riešeniu. To určuje relevantnosť zvolenej výskumnej témy.

Účel tejto práce: ukázať využitie metódy mocninových radov pri integrácii diferenciálnych rovníc.

Predmetom štúdia je proces integrácie diferenciálnych rovníc metódou mocninných radov.

Predmetom štúdia sú formy, metódy a prostriedky integrácie diferenciálnych rovníc mocninovými radmi.

V súlade s cieľom možno sformulovať hlavné ciele tejto práce:

Zopakujte si základné pojmy týkajúce sa sérií a diferenciálnych rovníc.

Analyzujte metódu integrácie diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov.

Použite metódu mocninných radov na riešenie rôznych problémov.

Štruktúra práce: titulná strana, forma zadania práce, abstrakt, obsah, úvod, hlavná časť, záver, zoznam literatúry.

Hlavnú časť práce tvoria dve kapitoly. Prvá kapitola odhaľuje pojmy rad, mocninný rad, Taylorov rad a diferenciálne rovnice. V druhej kapitole sú uvažované príklady integrácie diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov.

Na štúdium teoretickej časti práce boli použité materiály z náučnej literatúry a periodík uvedených v zozname použitej literatúry.

Objem práce: 26 strán.

1. ZÁKLADNÉ POJMY TÝKAJÚCE SA SÉRIOVÝCH A DIFERENCIÁLNYCH ROVNICE

1.1 Riadky. Základné pojmy. Nevyhnutný znak konvergencie

V matematických aplikáciách, ako aj pri riešení niektorých problémov v ekonómii, štatistike a iných oblastiach sa uvažuje o súčtoch s nekonečným počtom pojmov. Tu uvedieme definíciu toho, čo sa myslí pod takýmito sumami.

Nech je daný nekonečný číselný rad. Číselný rad alebo jednoducho rad je výraz (súčet) tvaru

,(1.1)

čísla sa nazývajú členy radu – spoločné resp n-tý termín riadok.

Na definovanie radu (1.1) stačí špecifikovať funkciu prirodzeného argumentu výpočtu n-tého člena radu jeho číslom

Príklad 1.1. Nechaj . riadok

(1.2)

nazývaný harmonický rad.

Z členov radu (1.1) tvoríme číselná postupnosťčiastkové sumy Kde - súčet prvých členov radu, ktorý sa nazýva n-tý čiastkový súčet, t.j.

(1.3)

Poradie čísel s neobmedzeným nárastom počtu môže:

) majú konečnú hranicu;

) nemajú žiadnu konečnú limitu (limita neexistuje alebo sa rovná nekonečnu).

Rad (1.1) sa nazýva konvergentný, ak postupnosť jeho čiastkových súčtov (1.3) má konečnú limitu, t.j.

V tomto prípade sa číslo nazýva súčet sérií (1.1) a zapisuje sa

Rad (1.1) sa nazýva divergentný, ak postupnosť jeho čiastkových súčtov nemá konečnú limitu. Divergentnému radu nie je priradený žiadny súčet.

Problém nájsť súčet konvergentného radu (1.1) je teda ekvivalentný výpočtu limity postupnosti jeho čiastkových súčtov.

Dôkaz vety vyplýva z toho, že , A keď

S je teda súčet radov (1.1).

Podmienka (1.4) je nevyhnutnou, ale nie postačujúcou podmienkou konvergencie radu. To znamená, že ak má spoločný člen radu tendenciu k nule v , neznamená to, že rad konverguje. Napríklad pre harmonický rad (1.2)

sa však rozchádza.

Dôsledok (Dostatočný znak divergencie radu): ak spoločný člen radu nemá tendenciu k nule, potom tento rad diverguje.

Príklad 1.2. Preskúmajte konvergenciu radu

Pre túto sériu Preto sa táto séria rozchádza.

1.1

1.2 Výkonový rad. Vlastnosti mocninových radov

Výkonové rady sú špeciálnym prípadom funkčných sérií.

Mocninný rad je funkčný rad formulára

tu sú konštantné reálne čísla nazývané koeficienty mocninových radov;

Nejaké konštantné číslo;

Premenná, ktorá preberá hodnoty z množiny reálnych čísel.

Keď mocninový rad (1.5) nadobudne tvar

(1.6)

Mocninný rad (1.5) sa nazýva mocninový rad (1.6) je mocninný rad Ak má premenná ľubovoľnú hodnotu, potom sa mocninný rad (1.5) (alebo (1.6)) zmení na číselný. série, ktoré môžu konvergovať alebo divergovať.

Oblasť konvergencie mocninového radu je množina hodnôt, pri ktorých mocninový rad konverguje.

Veta 1.2 (Abelova veta): ak mocninový rad (1.6) vtedy konverguje, potom absolútne konverguje pre všetky hodnoty spĺňajúce nerovnosť, ale ak rad (1.6) diverguje vtedy, diverguje pre všetky hodnoty, ktoré uspokojujú nerovnosť

Abelova veta dáva jasnú predstavu o štruktúre oblasti konvergencie mocninového radu.

Veta 1.3: oblasť konvergencie mocninového radu (1.6) sa zhoduje s jedným z nasledujúcich intervalov:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

kde je nejaký nezápor Reálne číslo alebo

Číslo sa nazýva polomer konvergencie, interval sa nazýva interval konvergencie mocninového radu (1.6).

Ak potom interval konvergencie predstavuje celú číselnú os

Ak potom interval konvergencie degeneruje do bodu

Poznámka: ak je interval konvergencie pre mocninný rad (1.2), potom - interval konvergencie pre mocninný rad (1.5).

Z vety 1.3 vyplýva, že na praktické nájdenie oblasti konvergencie mocninného radu (1.6) stačí nájsť jeho polomer konvergencie a objasniť otázku konvergencie tohto radu na koncoch intervalu konvergencie, t.j. v a

Polomer konvergencie mocninového radu možno nájsť pomocou jedného z nasledujúcich vzorcov:

d'Alembertov vzorec:

Cauchyho vzorec:

Príklad 1.3. Nájdite polomer konvergencie, interval konvergencie a oblasť konvergencie mocninného radu

Nájdite polomer konvergencie tohto radu pomocou vzorca

V našom prípade

V dôsledku toho má interval konvergencie tohto radu tvar

Pozrime sa na konvergenciu radu na koncoch konvergenčného intervalu.

ktorý sa rozchádza ako harmonický rad.

Keď sa mocninný rad zmení na číselný rad

.

Ide o striedavý rad, ktorého členy klesajú v absolútnej hodnote a

Preto podľa Leibnizovho kritéria tento číselný rad konverguje.

Interval je teda oblasťou konvergencie daného mocninového radu.

Mocninný rad (1.6) je funkcia definovaná v intervale konvergencie, t.j.

Tu sú niektoré vlastnosti funkcie:

Vlastnosť 1. Funkcia je spojitá na ľubovoľnom segmente patriacom do intervalu konvergencie

Vlastnosť 2. Funkcia je diferencovateľná na intervale a jej deriváciu možno nájsť členením radu (1.6), t.j.

pre všetkých

Vlastnosť 3. Neurčitý integrál funkcie pre všetkých možno získať integráciou radu po členoch (1.6), t.j.

pre všetkých

Je potrebné poznamenať, že pri diferenciácii a integrácii mocninového radu po členoch sa jeho polomer konvergencie nemení, ale jeho konvergencia na koncoch intervalu sa môže meniť.

Vyššie uvedené vlastnosti platia aj pre výkonové rady (1.5).

Príklad 1.4. Zvážte mocninovú sériu

Oblasť konvergencie tohto radu, ako je znázornené v príklade 1.3, je interval

Rozlišujme túto sériu termín od termínu:

(1.7)

Pozrime sa na správanie tohto radu na koncoch konvergenčného intervalu.

Tento číselný rad sa rozchádza, pretože nie je splnené potrebné konvergenčné kritérium

ktorá neexistuje.

Keď sa mocninový rad (1.7) zmení na číselný rad

ktorý sa tiež rozchádza, pretože nie je splnené potrebné konvergenčné kritérium.

V dôsledku toho sa oblasť konvergencie mocninového radu získaná deriváciou pôvodných mocninových radov po členoch zmenila a zhoduje sa s intervalom .

1.3 Taylorov rad. Séria Maclaurin

Nech je funkcia diferencovateľná nekonečne veľakrát v okolí bodu, t.j. má deriváty akéhokoľvek rádu. Taylorov rad funkcie v bode je mocninný rad

(1.8)

V špeciálnom prípade série (1.8) sa nazýva Maclaurinova séria:

Vynára sa otázka: V akých prípadoch sa Taylorov rad pre funkciu derivovanú nekonečne veľakrát v okolí bodu zhoduje s funkciou?

Môžu nastať prípady, keď Taylorov rad funkcie konverguje, ale jeho súčet nie je rovnaký

Uveďme dostatočnú podmienku pre konvergenciu Taylorovho radu funkcie k tejto funkcii.

Veta 1.4: ak je v intervale funkcia má derivácie ľubovoľného rádu a všetky sú v absolútnej hodnote obmedzené na rovnaký počet, t.j. potom Taylorov rad tejto funkcie konverguje ku ktorémukoľvek z tohto intervalu tie. existuje rovnosť

Na určenie, či táto rovnosť platí na koncoch konvergenčného intervalu, sú potrebné samostatné štúdie.

Treba poznamenať, že ak je funkcia rozšírená na mocninný rad, potom tento rad je Taylorovým (Maclaurinovým) radom tejto funkcie a toto rozšírenie je jedinečné.

1.4 Diferenciálne rovnice

Obyčajná diferenciálna rovnica n-tého rádu pre argumentovú funkciu je reláciou tvaru

kde je daná funkcia jeho argumentov.

V mene tejto triedy matematických rovníc pojem „diferenciál“ zdôrazňuje, že zahŕňajú derivácie (funkcie vytvorené ako výsledok diferenciácie); výraz „obyčajný“ znamená, že požadovaná funkcia závisí len od jedného skutočného argumentu.

Obyčajná diferenciálna rovnica nemusí explicitne obsahovať argument požadovanej funkcie a žiadnej z jej derivácií, ale najvyššia derivácia musí byť zahrnutá v rovnici n-tého rádu.

Napríklad,

A) - rovnica prvého poriadku;

B) - rovnica tretieho rádu.

Pri písaní obyčajných diferenciálnych rovníc sa často používa označenie pre derivácie z hľadiska diferenciálov:

IN) - rovnica druhého rádu;

G) - rovnica prvého rádu, ktorá po vydelení ekvivalentným tvarom vytvorí túto rovnicu:

Funkcia sa nazýva riešením obyčajnej diferenciálnej rovnice, ak sa po dosadení do nej zmení na identitu.

Nájsť takou či onakou metódou, napríklad výberom, jednu funkciu, ktorá vyhovuje rovnici, neznamená jej vyriešenie. Riešenie bežnej diferenciálnej rovnice znamená nájsť všetky funkcie, ktoré tvoria identitu, keď sú dosadené do rovnice. Pre rovnicu (1.10) je skupina takýchto funkcií vytvorená pomocou ľubovoľných konštánt a nazýva sa všeobecné riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice n-tého rádu a počet konštánt sa zhoduje s poradím rovnice: Všeobecné riešenie nemusí byť explicitne vyriešené vzhľadom na V tomto prípade sa riešenie zvyčajne nazýva všeobecný integrál rovnice (1.10).

Priradením niektorých prípustných hodnôt všetkým ľubovoľným konštantám vo všeobecnom riešení alebo vo všeobecnom integráli získame určitú funkciu, ktorá už neobsahuje ľubovoľné konštanty. Táto funkcia sa nazýva parciálne riešenie alebo parciálny integrál rovnice (1.10). Na nájdenie hodnôt ľubovoľných konštánt, a teda konkrétneho riešenia, sa používajú rôzne dodatočné podmienky k rovnici (1.10). Napríklad, takzvané počiatočné podmienky môžu byť špecifikované v:

Na pravej strane počiatočných podmienok (1.11) sú špecifikované číselné hodnoty funkcie a derivácie a celkový počet počiatočných podmienok sa rovná počtu definovaných ľubovoľných konštánt.

Problém hľadania konkrétneho riešenia rovnice (1.10) na základe počiatočných podmienok sa nazýva Cauchyho problém.

1.5 Integrovanie diferenciálnych rovníc pomocou radov

Vo všeobecnom prípade je nemožné nájsť presné riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice prvého rádu (ODR) jej integráciou. Navyše to nie je možné pre systém ODE. Táto okolnosť viedla k vytvoreniu veľkého množstva približných metód riešenia ODR a ich systémov. Medzi približnými metódami možno rozlíšiť tri skupiny: analytické, grafické a numerické. Samozrejme, takáto klasifikácia je do určitej miery ľubovoľná. Napríklad grafická metóda Eulerových prerušovaných čiar je základom jednej z metód numerického riešenia diferenciálnej rovnice.

Integrácia ODR pomocou mocninových radov je približná analytická metóda, ktorá sa zvyčajne používa na lineárne rovnice aspoň druhého rádu. Pre jednoduchosť sa obmedzíme na uvažovanie o lineárnej homogénnej ODR druhého rádu s premenlivými koeficientmi

(1.12)

Poznámka: Vo formulári môže byť zastúpená pomerne široká trieda funkcií

kde sú nejaké konštanty. Tento výraz sa nazýva mocninný rad.

Predpokladajme, že funkcie možno rozšíriť do radov konvergujúcich v intervale:

Platí nasledujúca veta (po vynechaní dôkazu uvádzame len jej formuláciu).

Veta 1.5: ak funkcie majú tvar (1.13), potom akékoľvek riešenie ODR (1.12) môže byť reprezentované ako mocninný rad konvergujúci v:

(1.14)

Táto veta nielenže umožňuje znázorniť riešenie vo forme mocninného radu, ale čo je najdôležitejšie, odôvodňuje konvergenciu radu (1.14). Pre jednoduchosť vložíme (1.13) a (1.14) a hľadáme riešenie ODR (1.12) v tvare

(1.15)

Dosadením (1.15) do (1.12) dostaneme rovnosť

Na splnenie (1.16) je potrebné, aby koeficient pre každý stupeň bol rovný nule.

Z tejto podmienky získame nekonečný systém lineárnych algebraických rovníc

z ktorých postupne zistíme, či nastavíme hodnoty a (v prípade Cauchyho problému pre ODR (1.12) sú zahrnuté v počiatočných podmienkach ).

Ak sú funkcie racionálne, t.j.

kde sú polynómy, potom v okolí bodov, v ktorých buď riešenie vo forme mocninového radu nemusí existovať, a ak existuje, môže sa všade rozchádzať okrem bodu. Táto okolnosť bola L. Eulerovi známa. ktorý uvažoval o rovnici prvého rádu

Táto rovnica je splnená mocninným radom

Nie je však ťažké vidieť, že táto séria sa pre kohokoľvek líši

Riešenie ODR vo forme divergentného mocninného radu sa nazýva formálne.

2. PRÍKLADY POUŽITIA VÝKONOVÉHO RADU PRI INTEGRÁCII DIFERENCIÁLNYCH ROVNIC

Vzdušná rovnica

Riešenie Airyho rovnice

Budeme hľadať vo forme mocninového radu (1.15). Potom bude mať tvar rovnosť (1.16).

Koeficient pre sa rovná Preto, Z koeficientu rovného nule zistíme, že koeficient pre sa rovná Odtiaľ

Z tohto vzorca dostaneme

Podobne nájdeme

Šance zostávajú neisté. Aby sme našli základný systém riešení, najprv nastavíme a potom naopak. V prvom prípade máme

a v druhom

Na základe vety 1.5 sú tieto rady konvergentné všade na číselnej osi

Funkcie sa nazývajú Airy functions. Pre veľké hodnoty je asymptotické správanie týchto funkcií opísané vzorcami

Grafy týchto funkcií sú znázornené na obrázku 1.

Obrázok 1

Pri neobmedzenom náraste sa nuly ľubovoľného riešenia Airyho rovnice bez obmedzenia približujú k sebe, čo je zrejmé z asymptotického znázornenia týchto riešení, ale nie je to vôbec zrejmé zo znázornenia Airyho funkcií vo forme konvergentnej mocniny. séria. Z toho vyplýva, že metóda hľadania riešenia ODR pomocou série je vo všeobecnosti málo použiteľná pri riešení aplikované problémy a samotná reprezentácia riešenia vo forme radu sťažuje analýzu kvalitatívnych vlastností výsledného riešenia.

2.1 Besselova rovnica

Lineárna diferenciálna rovnica s premenlivými koeficientmi, ktorá má tvar

nazývaná Besselova rovnica.

Riešenie rovnice (2.1) budeme hľadať vo forme zovšeobecneného mocninového radu, t.j. produkty určitého stupňa zo série stepí:

(2.2)

Dosadením zovšeobecneného mocninového radu do rovnice (2.1) a vynulovaním koeficientov pre každú mocninu na ľavej strane rovnice dostaneme systém

Za predpokladu, že z tejto sústavy nájdeme Let Then z druhej rovnice sústavy, ktorú nájdeme a z rovnice s hodnotami 3,5,7,..., usúdime, že pre koeficienty s párnymi číslami dostaneme výrazy

Dosadením nájdených koeficientov do radu (2.2) dostaneme riešenie

kde koeficient zostáva ľubovoľný.

Pre všetky koeficienty sa určujú podobne len v prípade, keď sa nerovná celému číslu. Potom je možné riešenie získať nahradením hodnoty v predchádzajúcom riešení:

Výsledné mocninové rady konvergujú pre všetky hodnoty , čo je ľahko stanovené na základe D'Alembertovho testu. Riešenia a sú lineárne nezávislé, pretože ich pomer nie je konštantný.

Riešenie vynásobené konštantou sa nazýva Besselova funkcia (alebo cylindrická funkcia) rádu prvého druhu a označuje sa symbolom Riešenie sa označuje

Všeobecne akceptovaná voľba konštanty zahŕňa funkciu gama, ktorá je určená nesprávnym integrálom:

teda spoločné rozhodnutie rovnica (2.1), keď sa nerovná celému číslu, má tvar kde a sú ľubovoľné konštanty.

2.2 Príklady integrácie

V prípadoch, keď rovnica vyžaduje riešenie Cauchyho problému za počiatočných podmienok, riešenie možno hľadať pomocou Taylorovho radu:

kde sa nachádzajú ďalšie deriváty postupná diferenciácia pôvodnú rovnicu a dosadenie do výsledku diferenciácie namiesto hodnôt a všetkých ostatných nájdených následných derivácií. Podobne je možné integrovať rovnice vyššieho rádu pomocou Taylorovho radu.

Príklad 2.1. Približne integrujte rovnicu pomocou Taylorovho radu tak, že vezmete prvých šesť nenulových členov expanzie.

Z rovnice počiatočných podmienok zistíme Diferencovaním tejto rovnice postupne získame

Veriť a používať významy dôsledne zistíme, že požadované riešenie má formu

Príklad 2.2. Nájdite prvé štyri (nenulové) členy rozšírenia. A

Nahradením nájdených hodnôt do série (2.3) získame požadované riešenie so zadanou presnosťou:

2.3 Príklady integrácie v Maple

Ak chcete nájsť analytické riešenia diferenciálnych rovníc v Maple, použite príkaz dsolve(eq,var,options), kde eq je diferenciálna rovnica, var sú neznáme funkcie, možnosti sú parametre. Parametre môžu naznačovať spôsob riešenia problému, napríklad štandardne sa hľadá analytické riešenie: typ=presné. Pri skladaní diferenciálnych rovníc sa na označenie derivácie používa príkaz diff, napríklad diferenciálna rovnica sa zapisuje v tvare: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Ak chcete nájsť približné riešenie diferenciálnej rovnice vo forme mocninového radu, v príkaze dsolve zadajte parameter type=series (alebo jednoducho séria) za premenné. Aby bolo možné uviesť poradie rozkladu, t.j. Poradie stupňa, do ktorého sa rozklad vykonáva, by malo predchádzať príkazu dsolve vložením definície poradia pomocou príkazu Order:=n.

Ak sa hľadá všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice vo forme rozšírenia mocninového radu, potom koeficienty pri mocniciach nájdeného rozšírenia budú obsahovať neznáme hodnoty funkcie v nule a jej deriváty atď. Výraz získaný vo výstupnom riadku bude mať formu podobnú expanzii požadovaného riešenia v Maclaurinovom rade, ale s rôznymi koeficientmi pre mocniny. Na izoláciu konkrétneho riešenia musia byť špecifikované počiatočné podmienky atď. a počet týchto počiatočných podmienok sa musí zhodovať s poradím zodpovedajúcej diferenciálnej rovnice.

Rozšírenie do mocninového radu je typu radu, takže pre ďalšiu prácu s týmto radom by sa mal previesť na polynóm pomocou príkazu convert(%,polynom) a potom vybrať pravú stranu výsledného výrazu pomocou rhs( %) príkaz.

> kond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D@@2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs(%):

> dsolve((de,cond),y(x),series);

Poznámka: typ riešenia diferenciálnej rovnice vo forme radu je rad, takže pre ďalšie použitie takéhoto riešenia (výpočty alebo vykresľovanie) je potrebné ho previesť na polynóm pomocou príkazu convert.

rad diferenciálnej rovnice stupeň

> convert(%,polynóm): y2:=rhs(%):

> p1:=graf(y1, x=-3..3, hrúbka=2, farba=čierna):

> p2:=plot(y2, x=-3..3, štýl čiary=3, hrúbka=2, farba=čierna):

> with(plots): display(p1,p2);

Obrázok 2 ukazuje, že najlepšie priblíženie presného riešenia mocninným radom sa dosiahne približne v intervale

Obrázok 2

ZÁVER

Ciele stanovené v práci v kurze boli plne dosiahnuté, boli vyriešené tieto úlohy:

Definujú sa základné pojmy spojené s radovými a diferenciálnymi rovnicami.

Uvažuje sa o metóde integrácie diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov.

Problémy na túto tému boli vyriešené.

V tejto práci na kurze bol materiál preštudovaný a systematizovaný na použitie študentmi samoštúdium metóda integrácie diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov. Zohľadňujú sa koncepty sérií a diferenciálnych rovníc. Približné výpočty sa uskutočnili pomocou sérií.

Dielo je možné využiť ako učebnú pomôcku pre študentov technických a matematických odborov.

Výsledky práce môžu slúžiť ako podklad pre ďalší výskum.

ZOZNAM POUŽITÝCH REFERENCIÍ

1 Tricomi F. Diferenciálne rovnice. Preklad z angličtiny. - M.: Bukinista, 2003. - 352 s.

Vlasova B. A., Zarubin B. S., Kuvyrkin G. N. Približné metódy matematickej fyziky: Učebnica pre vysoké školy. - M.: Vydavateľstvo MSTU im. N. E. Bauman, 2001. - 700 s.

Budak B. M. Fomin S. V. Viacnásobné integrály a rady. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 s.

Demidovich B. P. Zbierka úloh a cvičení v matematická analýza. - M.: Vydavateľstvo Mosk. Univerzita CheRo, 2000. - 624 s.

Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. atď. Celá vyššia matematika: Učebnica. T. 3. - M.: Úvodník vydavateľstva URSS, 2005. - 240 s.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. a ďalší Vyššia matematika: Všeobecný kurz: Učebnica. - M.: Vyššie. škola, 2000.- 351 s.

Malakhov A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Vyššia matematika. - M.: EAOI, 2008. - 315 s.

Markov L. N., Razmyslovič G. P. Vyššia matematika. Časť 2. Základy matematickej analýzy a prvky diferenciálnych rovníc. - M.: Amalfeya, 2003. - 352 s.

Agafonov S. A., German A. D., Muratova T. V. Diferenciálne rovnice. - M.: Vydavateľstvo MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 s.

Coddington E. A., Levinson N. Teória obyčajných diferenciálnych rovníc. - M.: Amalfeya, 2001. - 475 s.

Fikhtengolts G. M. Priebeh diferenciálneho a integrálneho počtu. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 s.

Ako nájsť konkrétne riešenie DE približne pomocou radu?

Pokračujeme v štúdiu praktických aplikácií teórie sérií a uvažujme o ďalšom spoločnom probléme, ktorého názov vidíte v názve. A aby sme sa počas hodiny necítili ako kosačka na trávu, hneď pochopíme podstatu úlohy. Tri otázky a tri odpovede:

Čo potrebujete nájsť? Partikulárne riešenie diferenciálnej rovnice. Náznak medzi riadkami šepká, že teraz je vhodné aspoň pochopiť, čo to je Diferenciálnej rovnice a ake je jeho riesenie.

AKO je toto riešenie potrebné? Približne - pomocou série.

A tretia logická otázka: prečo približne? Túto otázku som už riešil v triede. Metódy Euler a Runge-Kutta, ale opakovanie nezaškodí. Keďže som zástancom špecifík, vrátim sa k tomu najjednoduchšiemu Diferenciálnej rovnice. Počas prvej prednášky o difúzoroch sme našli jeho všeobecné riešenie (množinu exponenciál) a konkrétne riešenie zodpovedajúce počiatočnej podmienke. Graf funkcie je najbežnejšou čiarou, ktorá sa dá ľahko zobraziť na výkrese.

Ale toto je elementárny prípad. V praxi existuje veľké množstvo diferenciálnych rovníc, ktoré nie je možné presne analyticky vyriešiť (aspoň v súčasnosti známymi metódami). Inými slovami, bez ohľadu na to, ako skrútite takúto rovnicu, nebude možné ju integrovať. A háčik je v tom môže existovať všeobecné riešenie (skupina čiar v rovine).. A potom prídu na pomoc metódy výpočtovej matematiky.

Poďme v ústrety našej radosti!

Typická úloha je formulovaný nasledovne:

… , spĺňajúce počiatočnú podmienku, vo forme troch (menej často - štyri alebo päť) nenulové členy Taylorova séria.

Požadované konkrétne riešenie je rozšírené do tejto série podľa známeho vzorca:

Jediná vec je, že namiesto písmena „ef“ sa tu používa „igrek“ (to sa stáva).

Myšlienka a význam sú tiež známe: pre niektoré difúzory a za určitých podmienok (nebudeme zachádzať do teórie) zabudované mocninný rad bude konvergovať na požadované konkrétne riešenie. To znamená, že čím viac členov radu uvažujeme, tým presnejšie bude graf zodpovedajúceho polynómu aproximovať graf funkcie.

Treba poznamenať, že vyššie uvedené platí pre najjednoduchšie prípady. Urobme jednoduchú detskú štúdiu na tom istom nočníku:

Príklad 1

Nájdite približne čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice, ktoré spĺňa počiatočnú podmienku v tvare prvých štyroch nenulových členov Taylorovho radu.

Riešenie: v podmienkach tejto úlohy sa preto všeobecný Taylorov vzorec transformuje na špeciálny prípad Rozšírenie série Maclaurin:

Keď sa pozriem trochu dopredu, poviem, že v praktických úlohách je táto kompaktnejšia séria oveľa bežnejšia.

Zadajte oba pracovné vzorce do svojej referenčnej knihy.

Poďme pochopiť významy. Je vhodné očíslovať fázy riešenia:

0) V kroku nula zapíšeme hodnotu, ktorá je vždy známa z podmienky. V zošite je vhodné zakrúžkovať konečné výsledky bodov, aby boli dobre viditeľné a nestrácali sa v riešení. Z technických dôvodov je pre mňa pohodlnejšie ich zvýrazniť tučným písmom. okrem toho Všimnite si, že táto hodnota nie je nula! Koniec koncov, podmienka vyžaduje nájsť štyri nenulovéčlenovia série.

1) Poďme počítať. Ak to chcete urobiť, nahraďte známu hodnotu na pravú stranu pôvodnej rovnice namiesto „y“:

2) Poďme počítať. Najprv nájdeme druhá derivácia:

Hodnotu zistenú v predchádzajúcom odseku nahradíme na pravú stranu:

Už máme tri nenulové termíny rozšírenia, potrebujeme ešte jeden:

Príklad 2

Nájdite približne čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice , splnenie počiatočnej podmienky v podobe prvých troch nenulových členov Taylorovho radu.

Riešenie začína štandardnou frázou:

V tomto probléme teda:

Teraz postupne nájdeme hodnoty - kým sa nezískajú tri nenulové výsledok. Ak budete mať šťastie, budú sa líšiť od nuly – ide o ideálny prípad s minimálnym množstvom práce.

Zrežme body riešenia:

0) Podľa podmienok. Tu je prvý úspech.

1) Poďme počítať. Najprv vyriešme pôvodnú rovnicu vzhľadom na prvú deriváciu, teda vyjadrime . Dosaďte známe hodnoty na pravú stranu:

Dostali sme volant a to nie je dobré, pretože nás to zaujíma nenulové významy. Avšak nula - rovnaký výsledok, ktoré nezabudneme zakrúžkovať alebo inak zvýrazniť.

2) Nájdite druhú deriváciu a nahraďte známe hodnoty na pravú stranu:

Druhá je „nie nula“.

3) Nájdite deriváciu druhej derivácie:

Vo všeobecnosti úloha trochu pripomína Rozprávku o repe, keď si dedko, babka a vnučka zavolajú na pomoc chrobáčika, mačku a pod. A v skutočnosti je každý nasledujúci derivát vyjadrený prostredníctvom svojich „predchodcov“.

Dosaďte známe hodnoty na pravú stranu:

Tretia nenulová hodnota. Vytiahli repku.

Opatrne a opatrne nahraďte „tučné“ čísla do nášho vzorca:

Odpoveď: požadované približné rozšírenie konkrétneho riešenia:

V uvažovanom príklade bola na druhom mieste iba jedna nula a to nie je také zlé. Vo všeobecnosti sa núl môže vyskytnúť toľko, koľko chcete a kdekoľvek. Opakujem, že je veľmi dôležité ich zvýrazniť spolu s nenulovými výsledkami, aby ste sa v záverečnej fáze neplietli do zámeny.

Tu to máte - bagel je na prvom mieste:

Príklad 3

Nájdite približne čiastočné riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce počiatočnej podmienke v tvare prvých troch nenulových členov Taylorovho radu.

Približný príklad úlohy na konci hodiny. Body algoritmu nemusia byť očíslované (napríklad ponechanie prázdnych riadkov medzi krokmi), ale odporúčam začiatočníkom dodržiavať prísnu šablónu.

Zvažovaná úloha si vyžaduje zvýšenú pozornosť - ak urobíte chybu v ktoromkoľvek kroku, všetko ostatné bude tiež zlé! Vaša čistá hlava by preto mala fungovať ako hodinky. Bohužiaľ, toto nie integrály alebo difúzory, ktoré sa dajú spoľahlivo vyriešiť aj v únave, pretože umožňujú efektívnu kontrolu.

V praxi je to oveľa bežnejšie Rozšírenie série Maclaurin:

Príklad 4

Riešenie: v zásade môžete okamžite písať Maclaurínová expanzia, ale je akademickejšie začať formalizovať problém všeobecným prípadom:

Rozšírenie konkrétneho riešenia diferenciálnej rovnice za počiatočnej podmienky má tvar:

V tomto prípade teda:

0) Podľa podmienok.

No čo sa dá robiť... Dúfajme, že núl bude menej.

1) Poďme počítať. Prvý derivát je už pripravený na použitie. Nahradíme hodnoty:

2) Nájdite druhú deriváciu:

A nahradíme to:

Veci dopadli dobre!

3) Nájdite . Napíšem to veľmi podrobne:

Všimnite si, že pre derivácie platia zvyčajné algebraické pravidlá: prinesenie podobných výrazov v poslednom kroku a napísanie súčinu ako mocniny: (ibid.).

Nahradme vo všetkom, čo sme nadobudli odvrátenou prácou:

Zrodili sa tri nenulové hodnoty.

Do Maclaurinovho vzorca dosadíme „tučné“ čísla, čím získame približné rozšírenie konkrétneho riešenia:

Odpoveď:

Pre nezávislé rozhodnutie:

Príklad 5

Prezentujte približne konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke ako súčet prvých troch nenulových členov mocninového radu.

Vzorový dizajn na konci lekcie.

Ako vidíte, problém s konkrétnou expanziou v Séria Maclaurin sa ukázalo byť ešte ťažšie ako všeobecný prípad. Zložitosť uvažovanej úlohy, ako sme práve videli, nespočíva ani tak v samotnom rozklade, ale v ťažkostiach s diferenciáciou. Navyše niekedy musíte nájsť 5-6 derivátov (alebo aj viac), čo zvyšuje riziko chyby. A na konci lekcie ponúkam niekoľko úloh so zvýšenou zložitosťou:

Príklad 6

Vyriešte diferenciálnu rovnicu približne pomocou rozšírenia konkrétneho riešenia do Maclaurinovho radu, pričom sa obmedzíme na prvé tri nenulové členy radu

Riešenie: máme rozdiel druhého rádu, ale to na veci prakticky nič nemení. Podľa stavu sa nám ihneď žiada použiť sériu Maclaurin, ktorú neminieme. Zapíšme si známu expanziu, pričom pre každý prípad použijeme viac výrazov:

Algoritmus funguje presne rovnako:

0) – podľa podmienok.

1) – podľa stavu.

2) Vyriešme pôvodnú rovnicu vzhľadom na druhú deriváciu: .

A nahradíme:

Prvá nenulová hodnota

Kliknite na deriváty a vykonajte substitúcie:

Nahradíme a:

Nahradíme:

Druhá nenulová hodnota.

5) – po ceste uvádzame podobné deriváty.

Nahradíme:

Nahradíme:

Konečne. Môže to však byť aj horšie.

Približná expanzia požadovaného konkrétneho riešenia je teda:

0

Ministerstvo školstva Bieloruskej republiky

Vzdelávacia inštitúcia

„Mogilevskij Štátna univerzita pomenovaný po A.A. Kuleshovej"

Katedra MAiVT

Konštrukcia riešení diferenciálnych rovníc pomocou radov

Práca na kurze

Vyplnil: žiačka 3. ročníka skupiny B

Fakulta fyziky a matematiky

Juskaeva Alexandra Maratovna

Vedecký poradca:

Morozov Nikolaj Porfirievič

MOGILEV, 2010

Úvod 1. Diferenciálne rovnice vyšších rádov 1.1. Pojem lineárnej diferenciálnej rovnice n-tého rádu 2. Integrácia diferenciálnych rovníc pomocou radu 2.1. Integrácia diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov. 2.2. Integrácia diferenciálnych rovníc pomocou zovšeobecnených mocninových radov. 3. Špeciálne prípady použitia zovšeobecnených mocninových radov pri integrácii diferenciálnych rovníc. 3.1. Besselova rovnica. 3.2. Hypergeometrická rovnica alebo Gaussova rovnica. 4. Aplikácia metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc pomocou radov v praxi. Záver Literatúra

Úvod

Vo všeobecnom prípade je nemožné nájsť presné riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice prvého rádu jej integráciou. Navyše to nie je možné pre systém obyčajných diferenciálnych rovníc. Táto okolnosť viedla k vytvoreniu veľkého množstva približných metód na riešenie obyčajných diferenciálnych rovníc a ich sústav. Medzi približnými metódami možno rozlíšiť tri skupiny: analytické, grafické a numerické. Samozrejme, takáto klasifikácia je do určitej miery ľubovoľná. Napríklad grafická metóda Eulerových prerušovaných čiar je základom jednej z metód numerického riešenia diferenciálnej rovnice.

Integrácia obyčajných diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov je približná analytická metóda, ktorá sa zvyčajne používa na lineárne rovnice aspoň druhého rádu.

Analytické metódy nájdete v predmete o diferenciálnych rovniciach. Pre rovnice prvého rádu (so separovateľnými premennými, homogénne, lineárne atď.), ako aj pre niektoré typy rovníc vyššieho rádu (napríklad lineárne s konštantnými koeficientmi), je možné získať riešenia vo forme vzorcov prostredníctvom analytických transformácií.

Cieľom práce je analyzovať jednu z približných analytických metód, akými sú integrácia obyčajných diferenciálnych rovníc pomocou radov a ich aplikácia pri riešení diferenciálnych rovníc.

1. Diferenciálne rovnice vyššieho rádu

Obyčajná diferenciálna rovnica n-tého rádu je vzťah tvaru

kde F je známa funkcia jej argumentov, definovaná v určitej doméne;

x - nezávislá premenná;

y je funkcia premennej x, ktorá sa má určiť;

y’, y”, …, y (n) - derivácie funkcie y.

V tomto prípade sa predpokladá, že y (n) je skutočne zahrnuté v diferenciálnej rovnici. Žiadny z ostatných argumentov funkcie F sa nemusí explicitne podieľať na tomto vzťahu.

Akákoľvek funkcia, ktorá spĺňa danú diferenciálnu rovnicu, sa nazýva jej riešenie alebo integrál. Riešenie diferenciálnej rovnice znamená nájsť všetky jej riešenia. Ak je možné pre požadovanú funkciu y získať vzorec, ktorý dáva všetky riešenia danej diferenciálnej rovnice a len ich, potom hovoríme, že sme našli jej všeobecné riešenie, čiže všeobecný integrál.

Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice n-tého rádu obsahuje n ľubovoľných konštánt c 1, c 2,..., c n a má tvar.

1.1. Pojem lineárnej diferenciálnej rovnicen- poradie

Diferenciálna rovnica n-tého rádu sa nazýva lineárna, ak je prvého stupňa vzhľadom na množinu veličín y, y’, ..., y (n). Lineárna diferenciálna rovnica n-tého rádu má teda tvar:

kde sú známe spojité funkcie x.

Táto rovnica sa nazýva nehomogénna lineárna rovnica alebo rovnica s pravá strana. Ak sa pravá strana rovnice rovná nule, potom lineárna rovnica sa nazýva homogénna diferenciálna lineárna rovnica a má tvar

Ak sa n rovná 2, získame lineárnu rovnicu druhého rádu, ktorá bude napísaná ako: Rovnako ako lineárna rovnica n-tého rádu, aj rovnica druhého rádu môže byť homogénna () a nehomogénna.

1. Integrácia diferenciálnych rovníc pomocou radu.

Riešenia obyčajnej diferenciálnej rovnice nad prvým rádom s premenlivými koeficientmi nie sú vždy vyjadrené v termínoch elementárnych funkcií a integrácia takejto rovnice sa zriedka redukuje na kvadratúry.

2.1. Integrácia diferenciálnych rovníc pomocou mocninových radov.

Najbežnejšou metódou integrácie týchto rovníc je prezentovať požadované riešenie vo forme mocninového radu. Zvážte rovnice druhého rádu s premenlivými koeficientmi

Poznámka1. Vo formulári môže byť zastúpená pomerne široká trieda funkcií

kde sú nejaké konštanty. Tento výraz sa nazýva mocninný rad. Ak sa jeho hodnoty rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie pre ľubovoľné x z intervalu (x 0 - T; x 0 + T), potom sa takýto rad v tomto intervale nazýva konvergentný.

Predpokladajme, že funkcie a(x), b(x) sú analytickými funkciami rovnice (2.1) na intervale (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, t.j. sú rozšírené do výkonových radov:

Platí nasledujúca veta (po vynechaní dôkazu uvádzame len jej formuláciu).

Veta_1. Ak funkcie a(x), b(x) majú tvar (2.2), potom každé riešenie y(x) obyčajnej diferenciálnej rovnice (2.1) môže byť reprezentované ako konvergujúce ako |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Táto veta nielenže umožňuje znázorniť riešenie vo forme mocninného radu, ale čo je najdôležitejšie, odôvodňuje konvergenciu radu (2.3).

Algoritmus pre takúto reprezentáciu je nasledujúci. Pre pohodlie dajme x 0 = 0 do (2.2) a (2.3) a hľadajme riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice (2.1) v tvare

Dosadením (2.4) do (2.1) dostaneme rovnosť

Na splnenie (2.5) je potrebné, aby koeficient pre každú mocninu x bol rovný nule. Z tejto podmienky získame nekonečný systém lineárnych algebraických rovníc

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Z výsledného nekonečného systému lineárnych algebraických rovníc možno postupne nájsť, ..., ak nastavíme hodnoty a (v prípade Cauchyho úlohy pre obyčajnú diferenciálnu rovnicu (2.1), môžeme zaviesť počiatočné podmienky = , =).

Ak sú funkcie a(x), b(x) racionálne, t.j. , b , kde sú polynómy, potom v okolí bodov, v ktorých alebo, riešenie v tvare mocninového radu nemusí existovať, a ak existuje, môže divergovať všade okrem bodu x = 0. Táto okolnosť bola známa L. Eulerovi, ktorý uvažoval o rovnici prvého poriadku

Táto rovnica je splnená mocninným radom

Nie je však ťažké vidieť, že táto séria sa pre kohokoľvek líši. Riešenie obyčajnej diferenciálnej rovnice vo forme divergentného mocninového radu sa nazýva formálne.

Jedným z najvýraznejších a najzrozumiteľnejších príkladov použitia tejto metódy integrácie sú Airyho rovnice resp

Všetky riešenia tejto rovnice sú celými funkciami x. Potom budeme hľadať riešenie Airyho rovnice vo forme mocninného radu (2.4). Potom nadobudne formu rovnosť (2.5).

Postavme koeficient pri každej mocnine x rovný nule. Máme

……………………………

Koeficient pre nulový stupeň x sa rovná 2y 2. Následne y 2 = 0. Potom z rovnosti koeficientu k nule nájdeme = . Koeficient sa rovná. Odtiaľ.

Z tohto vzorca dostaneme

Šance zostávajú neisté. Aby sme našli základný systém riešení, najprv nastavíme = 1, = 0 a potom naopak. V prvom prípade máme

a v druhom

Na základe vety_1 sú tieto rady konvergentné všade na číselnej osi.

Funkcie a sa nazývajú Airy funkcie. Pre veľké hodnoty x je asymptotické správanie týchto funkcií opísané nasledujúcimi vzorcami a.

Grafy týchto funkcií sú na obr. 2.1. Zistili sme, že pri neobmedzenom náraste x sa nuly akéhokoľvek riešenia Airyho rovnice k sebe neurčito približujú, čo je zrejmé aj z asymptotickej reprezentácie týchto riešení, ale nie je to vôbec zrejmé zo znázornenia Airyho funkcií v tvar konvergentných mocninových radov. Z toho vyplýva, že metóda hľadania riešenia obyčajnej diferenciálnej rovnice pomocou radu je vo všeobecnosti málo použiteľná pri riešení aplikovaných problémov a samotná reprezentácia riešenia vo forme radu sťažuje analýzu kvalitatívne vlastnosti výsledného roztoku.

2.2. Integrácia diferenciálnych rovníc pomocou zovšeobecnených mocninových radov.

Ak sú teda v rovnici (2.1) funkcie a(x), b(x) racionálne, potom body, v ktorých alebo sa nazývajú singulárne body rovnice (2.1).

Pre rovnicu druhého rádu

v ktorých a(x), b(x) sú analytické funkcie v intervale |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

V blízkosti singulárneho bodu x = x 0 nemusia existovať riešenia vo forme mocninného radu, v tomto prípade je potrebné hľadať riešenia vo forme zovšeobecneného mocninného radu:

kde sa majú určiť λ a, …, ().

Veta_2. Aby rovnica (2.6) mala v okolí singulárneho bodu x = x 0 aspoň jedno konkrétne riešenie vo forme zovšeobecneného mocninového radu (2.7), stačí, aby táto rovnica mala tvar

Sú to konvergentné mocninné rady a koeficienty sa zároveň nerovnajú nule, pretože inak bod x = x 0 nie je špeciálny bod a existujú dve lineárne nezávislé riešenia, holomorfné v bode x = x 0 . Navyše, ak rad (2,7”) zahrnutý v koeficientoch rovnice (2,7”) konverguje v oblasti | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Uvažujme rovnicu (2.6) pre x > 0. Dosadením výrazu (2.7) pre x 0 = 0 do tejto rovnice máme

Vyrovnaním koeficientov pri mocninách x k nule dostaneme opakujúci sa systém rovníc:

……..........................……………………………………………. (2.8)

kde je uvedené

Pretože potom λ musí spĺňať rovnicu

ktorá sa nazýva definujúca rovnica. Nech sú korene tejto rovnice. Ak rozdiel nie je celé číslo, potom pre akékoľvek celé číslo k > 0, čo znamená, že pomocou uvedenej metódy je možné zostrojiť dve lineárne nezávislé riešenia rovnice (2.6):

Ak je rozdiel celé číslo, potom pomocou vyššie uvedenej metódy môžete zostaviť jedno riešenie vo forme zovšeobecneného radu. Keď poznáte toto riešenie, pomocou vzorca Liouville-Ostrogradského môžete nájsť druhé lineárne nezávislé riešenie:

Z rovnakého vzorca vyplýva, že riešenie možno hľadať vo forme

(číslo A sa môže rovnať nule).

1. Špeciálne prípady použitia zovšeobecnených mocninových radov pri integrácii diferenciálnych rovníc.

3.1. Besselova rovnica.

Besselova rovnica je jednou z najdôležitejších diferenciálnych rovníc v matematike a jej aplikáciách. Riešenia Besselovej rovnice, ktoré tvoria jej základný systém funkcií, nie sú elementárnymi funkciami. Ale sú rozšírené do mocninových radov, ktorých koeficienty sa počítajú celkom jednoducho.

Zoberme si Besselovu rovnicu vo všeobecnom tvare:

Mnohé problémy matematickej fyziky sú zredukované na túto rovnicu.

Keďže rovnica sa pri nahradení x za -x nemení, stačí zvážiť nezáporné hodnoty x. Jediný singulárny bod je x=0. Definujúca rovnica zodpovedajúca x=0 je, . Ak je 0, potom definujúca rovnica má dva korene: a. Nájdime riešenie tejto rovnice vo forme zovšeobecneného mocninového radu

potom dosadením y, y" a y" do pôvodnej rovnice dostaneme

Preto, zníženie o, máme

Aby táto rovnosť platila identicky, koeficienty musia spĺňať rovnice

Nájdite riešenie zodpovedajúce koreňu definujúcej rovnice λ = n. Dosadením λ = n do posledných rovníc vidíme, že môžeme vziať akékoľvek číslo iné ako nula, číslo = 0 a pre k = 2, 3, ... máme

Preto pre všetky m = 0, 1, 2, ….

Tým sa našli všetky koeficienty, čo znamená, že riešenie rovnice (3.1) bude zapísané v tvare

Predstavme si funkciu

nazývaná Eulerova gama funkcia. Vzhľadom na to, čo a čo pre celé čísla a tiež výber ľubovoľnej konštanty, bude to zapísané vo forme

sa nazýva Besselova funkcia prvého druhu n-tého rádu.

Druhé konkrétne riešenie Besselovej rovnice, lineárne nezávislé, hľadáme vo forme

Rovnice na určenie at majú tvar

Za predpokladu, že nájdeme

Podľa konvencie n nie je celé číslo, takže všetky koeficienty s párnymi číslami sú jednoznačne vyjadrené prostredníctvom:

teda

Za predpokladu, že reprezentujeme y 2 (x) vo forme

sa nazýva Besselova funkcia prvého druhu so záporným indexom.

Ak teda n nie je celé číslo, potom sú ním všetky riešenia pôvodnej Besselovej rovnice lineárne kombinácie Besselove funkcie a: .

3.2. Hypergeometrická rovnica alebo Gaussova rovnica.

Hypergeometrická rovnica (alebo Gaussova rovnica) je rovnica tvaru

kde α, β, γ sú reálne čísla.

Body sú singulárne body rovnice. Obidva sú regulárne, keďže v blízkosti týchto bodov sú koeficienty Gaussovej rovnice zapísané v normálnom tvare

možno znázorniť ako zovšeobecnený mocninný rad.

Presvedčime sa o tom pre bod. Naozaj, všimnúť si to

rovnicu (3.2) možno zapísať ako

Táto rovnica je špeciálnym prípadom rovnice

a tu, takže bod x=0 je pravidelný singulárny bod Gaussovej rovnice.

Zostrojme fundamentálnu sústavu riešení Gaussovej rovnice v blízkosti singulárneho bodu x=0.

Definujúca rovnica zodpovedajúca bodu x=0 má tvar

Jeho korene a ich rozdiel nie je celé číslo.

Preto v blízkosti singulárneho bodu x=0 je možné zostrojiť fundamentálny systém riešení vo forme zovšeobecnených mocninových radov

prvý z nich zodpovedá nulovej odmocnine definujúcej rovnice a je obyčajným mocninným radom, takže riešenie je holomorfné v okolí singulárneho bodu x=0. Druhé riešenie je zjavne neholomorfné v bode x=0. Zostrojme najprv konkrétne riešenie zodpovedajúce nulovému koreňu definujúcej rovnice.

Budeme teda hľadať konkrétne riešenie rovnice (3.2) vo forme

Dosadením (3.3) do (3.2) dostaneme

Prirovnaním voľného termínu k nule dostaneme.

Nechaj to tak, potom to dostaneme.

Keď koeficient rovnáme nule, zistíme:

Požadované konkrétne riešenie má preto tvar:

Rad vpravo sa nazýva hypergeometrický rad, pretože keď α=1, β=γ prechádza do geometrickej postupnosti

Podľa vety_2 séria (3.4) konverguje ako |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Druhé konkrétne riešenie má tvar:

Namiesto hľadania metódy neurčitých koeficientov nahradíme požadovanú funkciu v Gaussovej rovnici pomocou vzorca

Získame Gaussovu rovnicu

v ktorom úlohu parametrov α, β a γ zohrávajú a.

Preto zostrojením parciálneho riešenia tejto rovnice zodpovedajúceho nulovému koreňu definujúcej rovnice a jeho dosadením do (3.6) dostaneme druhé parciálne riešenie tejto Gaussovej rovnice v tvare:

Všeobecné riešenie Gaussovej rovnice (3.2) bude:

Pomocou zostrojeného fundamentálneho systému riešení Gaussovej rovnice v okolí singulárneho bodu x=0 možno ľahko zostrojiť fundamentálny systém riešení tejto rovnice v okolí singulárneho bodu x=1, ktorý je tiež regulárnym singulárny bod.

Za týmto účelom prenesieme singulárny bod x = 1, ktorý nás zaujíma, do bodu t = 0 a spolu s ním singulárny bod x = 0 do bodu t = 1 pomocou lineárneho nahradenia nezávislej premennej x = 1. - t.

Uskutočnením tejto substitúcie v tejto Gaussovej rovnici dostaneme

Toto je Gaussova rovnica s parametrami. Má v susedstve |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Ak sa vrátime k premennej x, t. j. pri nastavení t = 1 - x, dostaneme fundamentálny systém riešení pôvodnej Gaussovej rovnice v blízkosti bodu | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Všeobecné riešenie Gaussovej rovnice (3.2) v oblasti bude

1. Aplikácia metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc pomocou radov v praxi.

Príklad_1. (č. 691) Vypočítajte niekoľko prvých koeficientov série (až do koeficientu pri x 4 vrátane) s počiatočnými podmienkami

Z počiatočných podmienok vyplýva, že teraz nájdime zostávajúce koeficienty:

Príklad_2. (č. 696) Vypočítajte niekoľko prvých koeficientov série (až do koeficientu pri x 4 vrátane) s počiatočnými podmienkami

Riešenie: Budeme hľadať riešenie rovnice v tvare

Výsledné výrazy dosadíme do pôvodnej rovnice:

Znázornením pravej strany vo forme mocninového radu a prirovnaním koeficientov pre rovnaké mocniny x na oboch stranách rovnice dostaneme:

Keďže podľa podmienky je potrebné vypočítať koeficienty radu až po koeficient pri x 4 vrátane, stačí koeficienty vypočítať.

Z počiatočných podmienok vyplýva, že a 2. Teraz nájdime zostávajúce koeficienty:

Následne bude riešenie rovnice zapísané vo forme

Príklad_3. (č. 700) Nájdite lineárne nezávislé riešenia vo forme mocninných radov rovnice. Ak je to možné, vyjadrite súčet výsledného radu pomocou elementárnych funkcií.

Riešenie. Budeme hľadať riešenie rovnice vo forme radu

Máme tento rad dvakrát diferencovať a dosadiť do tejto rovnice

Do výslednej rovnice napíšme niekoľko prvých členov radu:

Prirovnaním koeficientov pri rovnakých mocninách x k nule dostaneme systém rovníc na určenie:

………………………………….

Z týchto rovníc zistíme

Predpokladajme, že potom sa budú od nuly líšiť iba koeficienty. Chápeme to

Jedno riešenie rovnice bolo skonštruované

Druhé riešenie, lineárne nezávislé od nájdeného, ​​získame za predpokladu. Potom sa len koeficienty budú líšiť od nuly:

Rad reprezentujúci a konvergujúci pre akúkoľvek hodnotu x a sú analytickými funkciami. Všetky riešenia pôvodnej rovnice sú teda analytickými funkciami pre všetky hodnoty x. Všetky riešenia sú vyjadrené vzorcom, kde C 1, C 2 sú ľubovoľné konštanty:

Keďže súčet výsledného radu možno ľahko vyjadriť pomocou elementárnych funkcií, zapíšeme ho takto:

Príklad_4. (č. 711) Riešte rovnicu 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0.

Riešenie. Bod x = 0 je pravidelný singulárny bod tejto rovnice. Definujúcu rovnicu zostavíme: Jej korene sú λ 1 = 1/2 a λ 2 = - 1. Riešenie pôvodnej rovnice zodpovedajúcej koreňu λ = λ 1 hľadáme v tvare

Dosadením a do pôvodnej rovnice máme

Odtiaľ, znížením o, dostaneme

Ak dávame rovnítko medzi koeficienty pri rovnakých mocninách x, máme rovnice na určenie:

Zistíme, že nastavenie y 0 = 1

teda

Riešenie pôvodnej rovnice zodpovedajúcej koreňu λ = λ 2 hľadáme v tvare

Dosadením tohto výrazu do pôvodnej rovnice a porovnaním koeficientov s rovnakými mocninami x dostaneme alebo Ak y 0 = 1, zistíme

Všeobecné riešenie pôvodnej rovnice zapíšeme v tvare kde a sú ľubovoľné konštanty.

Záver

Riešenie rovníc obsahujúcich neznáme funkcie a ich derivácie na mocniny vyššie ako prvá alebo nejakým zložitejším spôsobom je často veľmi ťažké.

V posledných rokoch priťahujú takéto diferenciálne rovnice čoraz väčšiu pozornosť. Keďže riešenia rovníc sú často veľmi zložité a ťažko sa dajú znázorniť pomocou jednoduchých vzorcov, značná časť modernej teórie sa venuje kvalitatívnej analýze ich správania, t.j. vývoj metód, ktoré umožňujú bez riešenia rovnice povedať niečo dôležité o povahe riešení ako celku: napríklad, že všetky sú obmedzené, majú periodickú povahu alebo závisia určitým spôsobom od koeficienty.

V rámci kurzu bola vykonaná analýza metódy integrácie diferenciálnych rovníc pomocou mocninových a zovšeobecnených mocninových radov.

Literatúra:

1. Matveev N.V. Metódy integrácie obyčajných diferenciálnych rovníc. Ed. 4., rev. a dodatočné Minsk, „Najvyšší. škola“, 1974. - 768 s. s chorým.
2. Agafonov S.A., nemecký A.D., Muratova T.V. Diferenciálne rovnice: Učebnica. pre univerzity / Ed. B.C. Zárubina, A.P. Kriščenko. - 3. vyd., stereotyp. -M.: Vydavateľstvo MSTU im. N.E. Bauman, 2004. - 352 s.
3. Bugrov Ya S., Nikolsky S. M. Vyššia matematika. T.3: Diferenciálne rovnice. Viacnásobné integrály. Riadky. Funkcie komplexnej premennej: Učebnica. pre univerzity: V 3 zväzkoch / Ya. S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Ed. V. A. Sadovnichy. — 6. vyd., stereotyp. — M.: Drop, 2004. —— 512 s.: chorý.
4. Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Diferenciálne rovnice: príklady a problémy. Učebnica príspevok. - 2. vyd., prepracované. - M.: Vyššie. škola, 1989. - 383 s.: ill.
5. Filippov A.F. Zbierka úloh o diferenciálnych rovniciach. Učebnica manuál pre univerzity. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 s.: ill.

Stiahnuť ▼: Nemáte prístup k sťahovaniu súborov z nášho servera.