Redukovateľné polynómy nad oborom reálnych čísel. Rozšírenie polynómu cez pole racionálnych čísel. Polynómy nad oborom racionálnych čísel

Redukovateľnosť polynómov závisí od poľa, nad ktorým sú uvažované. Polynóm je neredukovateľný (polynóm, ktorý nemožno rozdeliť na faktory nižšieho stupňa) nad poľom Q a je redukovateľný nad poľom R.

Vlastnosti ireducibilných polynómov:

1. Polynóm nultého stupňa je redukovateľný cez akékoľvek pole
2. Ak polynóm f(x) neredukovateľné cez pole R, potom polynóm a f(x) tiež nie je redukovateľný cez pole R.
3. Nech polynómy f (X) A p(x) nad poľom R a p(x) – neredukovateľné cez pole R, potom sú možné prípady

1) polynómy f (X) A p(x) sú relatívne prvotriedne

2) f(x):(úplne) p(x)

Pole F sa považuje za algebraicky uzavreté, ak akýkoľvek polynóm kladného stupňa nad F má koreň v F.

Veta 5.1 (základná veta polynomiálnej algebry). Oblasť komplexných čísel je algebraicky uzavretá.

Dôsledok 5 .1.1. Vyššie S Existujú iba neredukovateľné polynómy prvého stupňa.

Dôsledok 5.1.2. Polynóm n-tý stupeň vyššie S Má n zložité korene.

Veta 5.2. If je komplexný koreň polynómu f s reálnymi koeficientmi je potom aj komplexné konjugované číslo koreňom f.

Dôsledok 5 .2.1. Vyššie R Existujú neredukovateľné polynómy iba prvého alebo druhého stupňa.

Dôsledok 5.2.2. Imaginárne korene polynómu nad R rozkladajú sa na páry komplexných konjugátov.

Príklad 5.1. Faktor do neredukovateľných faktorov nad S a nad R polynóm X 4 + 4.

Riešenie. Máme

X 4 + 4 =X 4 + 4X 2 + 4 – 4X 2 = (X 2 + 2) 2 – 4X 2 = (X 2 – 2X+ 2)(X 2 + 2X+ 2) –

expanzia cez R. Po nájdení komplexných koreňov polynómov druhého stupňa v zátvorkách zvyčajným spôsobom dostaneme expanziu cez S:

X 4 + 4 = (X – 1 – i) (X – 1 + i) (X + 1 – i) (X + 1 + i).

Príklad 5.2. Zostrojte polynóm najmenšieho stupňa s reálnymi koeficientmi s koreňmi 2 a 1 + i.

Riešenie. Podľa záveru 5.2.2 musí mať polynóm korene 2, 1 – i a 1+ i. Jeho koeficienty možno nájsť pomocou Vietových vzorcov:

 1 = 2 + (1 – i) + (1 +i) = 4;

 2 = 2 (1 – i) + 2(1 + i) + (1 – i)(1 + i) = 6;

 3 = 2 (1 – i)(1 + i) = 4.

Odtiaľ f =X 3 – 4X 2 + 6X– 4.

Cvičenia.

5.1. Faktor do neredukovateľných faktorov nad S a nad R polynómy:

A) X 3 – 6X 2 + 11X – 6;

b) X 4 – 10X 2 + 1.

5.2. Zostrojte polynóm najmenšieho stupňa s reálnymi koeficientmi s dvojitým koreňom 1 a jednoduchým koreňom 1 – 2 i.

6. Polynómy nad oborom racionálnych čísel

Veta 6.1 (Ejzenštejnovo kritérium). Nechaj f = a 0 +a 1 x +...+ a n X n– polynóm s celočíselnými koeficientmi. Ak existuje také prvočíslo p, Čo a 0 , a 1 , … , a n-1 je delené p, a n nedeliteľné p,a 0 nie je deliteľné p 2, potom f neredukovateľné cez pole racionálnych čísel.

Cvičenie 6.1. Dokážte neredukovateľnosť Q polynómy:

A) f= 2X 5 + 3X 4 – 9X 3 – 6X+ 3; b) f= 5X 4 + 6X 3 – 18X 2 – 12X + 54.

Veta 6.2. Nechaj – neredukovateľný zlomok, ktorý je koreňom polynómu f = a 0 + a 1 X + … + a n X n s celočíselnými koeficientmi. Potom

a 0  p, a n  q;

f(1)  p–q,f(–1)  p+q.

Táto veta nám umožňuje vyriešiť problém hľadania racionálnych koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi. Na to určíme všetkých deliteľov voľného člena a vedúceho koeficientu a zostrojíme z nich všetky druhy ireducibilných zlomkov. Medzi týmito frakciami sú obsiahnuté všetky racionálne korene. Na ich určenie môžete použiť Hornerovu schému. Aby sme sa v ňom vyhli zbytočným výpočtom, použijeme výrok 2) vety 6.2.

Príklad 6.1. Nájdite racionálne korene polynómu

f = 2X 4 + 7X 3 + 3X 2 – 15X– 18.

Riešenie. Zapisujeme všetky zlomky, ktorých čitatelia p – deliteľmi sú 18 a menovateľmi q- rozdeľovače 2:

1, –1, 2, –2, 3, –3, 6, –6, 9, –9, 18, –18,
,
,
.

Kontrolujeme ich podľa Hornerovej schémy:

Nájdenie koreňa X 1 = –2 a delením polynómu o X+ 2, dostaneme polynóm s novým voľným členom –9 (jeho koeficienty sú podčiarknuté). Čitatelia zostávajúcich koreňov musia byť deliteľmi tohto čísla a zlomky, ktoré nespĺňajú túto podmienku, môžu byť zo zoznamu vylúčené. Zostávajúce celočíselné hodnoty sú vylúčené, pretože nespĺňajú podmienku f(1)p – q alebo f(–1)p + q. Napríklad za 3 máme p = 3, q= 1 a podmienka nie je splnená f(1) = –21p – q(rovnaká ako druhá podmienka).

Podobne nájdenie koreňa X 2 = 3/2, dostali sme polynóm s novým voľným členom 3 a vodiacim koeficientom 1 (keď je koreň zlomkový, koeficienty výsledného polynómu by sa mali znížiť). Žiadne zostávajúce číslo zo zoznamu už nemôže byť jeho koreňom a zoznam racionálnych koreňov je vyčerpaný.

Nájdené korene by sa mali skontrolovať na mnohopočetnosť.

Ak sme v procese riešenia dospeli k polynómu druhého stupňa a zoznam zlomkov ešte nebol vyčerpaný, potom zostávajúce korene nájdeme pomocou obvyklých vzorcov ako korene štvorcového trinomu.

Cvičenie 6.2. Nájdite racionálne korene polynómu

A) X 3 – 6X 2 + 15X– 14;

b) X 5 – 7X 3 – 12X 2 + 6X+ 36;

o 2 X 4 – 11X 3 + 23X 2 – 24X+ 12;

d) 4 X 4 – 7X 2 – 5X– 1.

Polynóm nad kruhom celých čísel sa nazýva primitívny, ak najväčší spoločný deliteľ jeho koeficientov je 1. Polynóm s racionálnymi koeficientmi je jednoznačne reprezentovaný ako súčin kladného racionálneho čísla, tzv. obsahu polynóm a primitívny polynóm. Súčin primitívnych polynómov je primitívny polynóm. Z tohto faktu vyplýva, že ak je polynóm s celočíselnými koeficientmi redukovateľný nad oborom racionálnych čísel, potom je redukovateľný nad okruhom celých čísel. Problém rozkladu polynómu na neredukovateľné faktory v poli racionálnych čísel sa teda redukuje na podobný problém v kruhu celých čísel.

Nech je polynóm s celočíselnými koeficientmi a obsahom 1 a nech je jeho racionálny koreň. Predstavme si koreň polynómu ako neredukovateľný zlomok. Polynóm f(X) je reprezentovaný ako súčin primitívnych polynómov. teda

A. čitateľ je deliteľ,

B. menovateľ – deliteľ

C. pre akékoľvek celé číslo k význam f(k) – celé číslo, ktoré je bezo zvyšku deliteľné ( bk-a).

Uvedené vlastnosti nám umožňujú zredukovať problém hľadania racionálnych koreňov polynómu na konečné hľadanie. Podobný prístup sa používa pri expanzii polynómov f na neredukovateľné faktory nad oborom racionálnych čísel pomocou Kroneckerovej metódy. Ak polynóm f(X) stupne n sú dané, potom jeden z faktorov má stupeň nie vyšší ako n/2. Označme tento faktor pomocou g(X). Pretože všetky koeficienty polynómov sú celé čísla, potom pre akékoľvek celé číslo a význam f(a) je bezo zvyšku deliteľné g(a). Vyberme si m= 1+n/2 odlišné celé čísla a ja, i=1,…,m. Pre čísla g(a i) existuje konečný počet možností (počet deliteľov akéhokoľvek nenulového čísla je konečný), preto existuje konečný počet polynómov, ktoré môžu byť deliteľmi f(X). Po úplnom hľadaní buď ukážeme neredukovateľnosť polynómu, alebo ho rozšírime na súčin dvoch polynómov. Naznačenú schému aplikujeme na každý faktor, kým sa všetky faktory nestanú neredukovateľnými polynómami.

Neredukovateľnosť niektorých polynómov v obore racionálnych čísel môže byť stanovená pomocou jednoduchého Eisensteinovho kritéria.

Nechaj f(X) je polynóm v kruhu celých čísel. Ak je tam prvočíslo p, Čo

I. Všetky koeficienty polynómu f(X), sa okrem koeficientu pre najvyšší stupeň delia na p

II. Koeficient pre najvyšší stupeň nie je deliteľný p

III. Voľný člen sa nedelí na

Potom polynóm f(X) je neredukovateľný v poli racionálnych čísel.

Treba poznamenať, že Eisensteinovo kritérium poskytuje dostatočné podmienky pre neredukovateľnosť polynómov, ale nie nevyhnutné. Polynóm je teda neredukovateľný v poli racionálnych čísel, ale nespĺňa Eisensteinovo kritérium.

Polynóm je podľa Ejzenštejnovho kritéria neredukovateľný. V dôsledku toho nad poľom racionálnych čísel existuje neredukovateľný polynóm stupňa n, Kde n akékoľvek prirodzené číslo väčšie ako 1.

V poli reálnych čísel má každý neredukovateľný polynóm jednej premennej stupeň 1 alebo 2 a polynóm stupňa 2 je neredukovateľný nad poľom R vtedy a len vtedy, ak má záporný diskriminant, napríklad polynóm je neredukovateľný nad poľom R. pole reálnych čísel, pretože jeho diskriminant je záporný.

Eisensteinovo kritérium je testom neredukovateľnosti polynómu pomenovaného po nemeckom matematikovi Ferdinandovi Eisensteinovi. Napriek (tradičnému) názvu je to práve znak, teda dostatočná podmienka – ale vôbec nie nevyhnutná, ako by sa dalo predpokladať na základe matematického významu slova „kritérium“

Veta (Eisensteinovo kritérium). Nech je polynóm nad faktoriálovým kruhom R ( n>0) a pre nejaký neredukovateľný prvok p sú splnené tieto podmienky:

Nedeliteľné p,

Deleno p, pre hocikoho i od 0 predtým n- 1,

Nedeliteľné.

Potom je polynóm neredukovateľný F súkromné ​​kruhové pole R.

Dôsledok. Nad akýmkoľvek poľom algebraických čísel existuje neredukovateľný polynóm akéhokoľvek vopred určeného stupňa; napríklad polynóm kde n>1 a pЇ nejaké prvočíslo.

Uvažujme príklady použitia tohto kritéria, keď R je kruh celých čísel a F je pole racionálnych čísel.

Príklady:

Polynóm je nad Q ireducibilný.

Deliaci polynóm kružnice je neredukovateľný. V skutočnosti, ak je redukovateľný, potom redukujeme aj polynóm, a keďže všetky jeho koeficienty, okrem prvého, sú binomické, to znamená, že sú deliteľné p, a posledný koeficient `amen p a okrem toho nie je deliteľná Ejzenštejnovým kritériom, na rozdiel od predpokladu.

Nasledujúcich päť polynómov demonštruje niektoré elementárne vlastnosti ireducibilných polynómov:

V kruhu Z celých čísel sú prvé dva polynómy redukovateľné, posledné dva sú neredukovateľné. (Tretí nie je polynóm nad celými číslami).

Nad poľom Q racionálnych čísel sú prvé tri polynómy redukovateľné, ďalšie dva sú neredukovateľné.

Nad poľom R reálnych čísel sú prvé štyri polynómy redukovateľné, ale sú neredukovateľné. V obore reálnych čísel sú lineárne polynómy a kvadratické polynómy bez reálnych koreňov neredukovateľné. Napríklad rozšírenie polynómu v obore reálnych čísel má tvar. Oba faktory v tejto expanzii sú neredukovateľné polynómy.

Nad poľom C komplexných čísel je všetkých päť polynómov redukovateľných. V skutočnosti každý nekonštantný polynóm nad C môže byť faktorizovaný do tvaru:

Kde n- stupeň polynómu, a- vodiaci koeficient, - korene polynómu. Preto jediné ireducibilné polynómy nad C sú lineárne polynómy (základná veta algebry).

Neredukovateľný polynóm- mnohočlen, ktorý nemožno rozložiť na netriviálne mnohočleny. Neredukovateľné polynómy sú neredukovateľné prvky polynómového kruhu.

Neredukovateľný polynóm nad poľom je polynóm premenných v poli je jednoduchým prvkom kruhu , to znamená, že nemôže byť reprezentovaný ako súčin , kde a sú polynómy s koeficientmi od , iné ako konštanty.

Polynóm f nad poľom F sa považuje za neredukovateľný (jednoduchý), ak má kladný stupeň a nemá žiadnych netriviálnych deliteľov (t. j. akýkoľvek deliteľ je s ním spojený alebo s jedným)

veta 1

Nechaj R– neredukovateľné a A– ľubovoľný polynóm kruhu F[x]. Potom buď R rozdeľuje A, alebo R A A- obojstranne jednoduché.

veta 2

Nechaj f∈ F[x] a stupeň f = 1, čo znamená, že f je ireducibilný polynóm.

Napríklad: 1. Vezmite polynóm x+1 nad poľom Q. Jeho stupeň je 1, čo znamená, že je neredukovateľný.

2. x2 +1 – neredukovateľné, pretože nemá korene

SLU. Systémové riešenie. Systémy kooperatívne, nespolupracujúce, určité a neurčité. Ekvivalentné systémy

Sústava lineárnych rovníc nad poľom F s premennými x1,...xn je sústava tvaru

A 11 X 1 + … + a 1n X n= b 1

………………………..

a m1 X 1 + … + a mn X n= b m

kde ik, b i∈ F, m je počet rovníc a n je počet neznámych. Stručne, tento systém možno zapísať takto: ai1x1 + … + a v X n= b i (i = 1,...m.)

Tento SLE je podmienkou s n voľnými premennými x 1,...хn.

SLN sa delia na nekompatibilné (nemajú riešenia) a kompatibilné (určité a neurčité). Konzistentný systém určitého typu sa nazýva určitý, ak má jedinečné riešenie; ak má aspoň dve rôzne riešenia, potom sa nazýva neistý.

Napríklad: nad poľom Q

x + y = 2 - nekonzistentný systém

x – y = 0 – spoj určitý (x, y = ½)

2x + 2y = 2 - spoločný neurčitý

Dva systémy l.u sú ekvivalentné, ak sa množiny riešení týchto systémov zhodujú, to znamená, že akékoľvek riešenie jedného systému je súčasne riešením iného systému. Je možné získať ekvivalentný systém:

1. nahradenie jednej z rovníc touto rovnicou vynásobenou ľubovoľným nenulovým číslom.

2. nahradenie jednej z rovníc súčtom tejto rovnice inou rovnicou sústavy.

Riešenie SLE sa uskutočňuje Gaussovou metódou.

45* Elementárne transformácie sústav lineárnych rovníc (slu). Gaussova metóda.

Def.Elementárne transformácie S.L.U n-xia sú nasledujúce transformácie:

1. Násobenie jednej zo sústav rovníc sústavy nenulovým prvkom poľa.

2. Pridanie ďalšej rovnice k jednej z rovníc systému vynásobenej prvkom poľa.

3. Doplnenia do sústavy alebo vylúčenie zo sústavy nenulovej rovnice 0*x1+0*x2+…+0*xn=0

4. Obrátenie rovníc

NávrhNech sa získa systém (**) alebo systém (*) pomocou konečného čísla. Elementárne transformácie. Potom system (**)~ system(*). (Bez dokladu)

námestník Pri písaní sústavy lineárnych rovníc budeme používať maticový zápis.

a11 a12 … a1n b1

a21 a22 ... a2n b2

………………….... …

Am1 am2 ... amn вn

Príklady: 1) 2x1 – x3 = 1 2 0 -1 1

x1 – x2 – x3 = 0 1 -1 -1 0

3x1 + 2x2 + 4x3 = 2 3 2 4 2

2) 101 x 1 = 1

0 1 2 x 2 = 2

3) 1 0 1 2 x1+x3=2 x1=2-x3

0 1 - 1 3 x2-x3=3 x2=3+x3

Gaussova metóda

Návrh Nechajte systém (*) mať

(a) ak sa všetky voľné členy rovnajú 0 všetky vk=0 veľa riešení = F n

(b) k vk=0 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 (žiadne riešenia)

2. nie všetky aij=0

a) ak má systém rovnicu v tvare 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0

b) ak takéto rovnice neexistujú b1. Vylúčme nenulové rovnice. Nájdite najmenší index i1, taký, že nie všetky koeficienty sú na xij=0.

0………0……….. …. Druhý stĺpec s nulami je i1.

0……0…..*=0….. ….

0……0 ...……… …

1.preusporiadaním rovníc dosiahneme, že a1i1 = 0

0 ..... 0… a1i1 = 0 .... .... (1). :=(zadanie) (1) 1/ a1i1 (2). :=(2)-(1)* а2i1

A2i1........... 0…. 0…1…. …. 0…. 0..1…….. ( stupňovaný

0…. 0… а2i1… 0…..0..0… …. Matrix)

0 ........... 0 .... ami1.. ... ……………… …. ………………………… ….

0 ….0 ..ami1 ... 0……0…………0 ….

Po konečnom počte krokov dostaneme buď systém obsahuje rovnicu v tvare 0x1+0x2+…+0xn= vk=0 0alebo

0……0 1………….. L1 “dopredný Gaussov zdvih” 0....0 1...0..0 .....0.......0.... .. „spätný zdvih

0......0 0......1..... L2 0....0 0.....1.........0.... . ....0.... ..Gauss”

0 ........00.......0....1 L2 0....0 0......0.......1... . ......0.......

.............................. .... ............................................ ..

0........0 0 ............0..1 Lk 0....0 0.......0...... ..0....0.......1 ..

Premenné nazveme xi1, ...... xik hlavné, ostatné sú voľné.

k=n => c-a definované

k c-a nedefinované. Voľným premenným je možné priradiť odvodené hodnoty a vypočítať hodnoty hlavných premenných.

2 0 -1 1 8 (-3) 1 -1 -1 0 *(-2) 1 -1 -1 0

1 -1 -1 0 ~ 2 0 -1 1 ~ 0 2 1 1

3 2 4 2 3 2 4 2 0 5 7 2