Variačná metóda pre lineárne rovnice. Riešenie lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc vyšších rádov Lagrangeovou metódou. Sociálne premeny. Štát a Cirkev
Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie nehomogénnych diferenciálne rovnice. Táto lekcia je určená tým žiakom, ktorí sa už v danej téme viac či menej orientujú. Ak sa s diaľkovým ovládačom ešte len začínate zoznamovať, t.j. Ak ste čajník, odporúčam začať prvou lekciou: Diferenciálne rovnice prvého rádu. Príklady riešení. A ak už končíte, zahoďte, prosím, možnú predpojatú predstavu, že metóda je náročná. Pretože je jednoduchý.
V akých prípadoch sa používa metóda variácie ľubovoľných konštánt?
1) Na riešenie možno použiť metódu variácie ľubovoľnej konštanty lineárny nehomogénny DE 1. rádu. Keďže rovnica je prvého rádu, potom konštanta (konštanta) je tiež jedna.
2) Metóda variácie ľubovoľných konštánt sa používa na riešenie niektorých lineárne nehomogénne rovnice druhého rádu. Tu sa menia dve konštanty (konštanty).
Je logické predpokladať, že lekcia bude pozostávať z dvoch odsekov .... Tak som napísal tento návrh a asi 10 minút som bolestne premýšľal, aké ďalšie inteligentné svinstvo pridať pre plynulý prechod k praktickým ukážkam. Ale z nejakého dôvodu po prázdninách nie sú žiadne myšlienky, hoci sa zdá, že som nič nezneužil. Poďme teda rovno na prvý odsek.
Metóda ľubovoľnej konštantnej variácie
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu prvého rádu
Pred zvážením metódy variácie ľubovoľnej konštanty je žiaduce oboznámiť sa s článkom Lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu. Na tej hodine sme cvičili prvý spôsob riešenia nehomogénne DE 1. rádu. Toto prvé riešenie, pripomínam, sa volá náhradná metóda alebo Bernoulliho metóda(nezamieňať s Bernoulliho rovnica!!!)
Teraz zvážime druhý spôsob riešenia– metóda variácie ľubovoľnej konštanty. Uvediem len tri príklady a preberiem ich z vyššie uvedenej lekcie. Prečo tak málo? Pretože v skutočnosti bude riešenie druhým spôsobom veľmi podobné riešeniu prvým spôsobom. Okrem toho sa podľa mojich pozorovaní metóda variácie ľubovoľných konštánt používa menej často ako metóda náhrady.
Príklad 1
(Odlišuje sa od príkladu č. 2 lekcie Lineárne nehomogénne DE 1. rádu)
Riešenie: Táto rovnica je lineárna nehomogénna a má známy tvar: 
Prvým krokom je vyriešiť jednoduchšiu rovnicu: 
To znamená, že hlúpo resetujeme pravú stranu - namiesto toho napíšeme nulu.
Rovnica zavolám pomocná rovnica.
V tomto príklade musíte vyriešiť nasledujúcu pomocnú rovnicu:
Pred nami separovateľná rovnica, ktorého riešenie (dúfam) už pre vás nie je ťažké: 
Touto cestou: 
je všeobecné riešenie pomocnej rovnice .
Na druhom kroku nahradiť stálica niektorých ešte neznáma funkcia, ktorá závisí od "x":
Odtiaľ pochádza názov metódy - variujeme konštantu . Alternatívne môže byť konštanta nejaká funkcia, ktorú teraz musíme nájsť.
V originálny nehomogénna rovnica Poďme nahradiť:
Nahradiť a 
do rovnice :
kontrolný moment - dva výrazy na ľavej strane sa rušia. Ak sa tak nestane, mali by ste hľadať chybu vyššie.
V dôsledku nahradenia sa získa rovnica s oddeliteľnými premennými. Oddeľte premenné a integrujte.
Aké požehnanie, aj exponenty sa zmenšujú:
K nájdenej funkcii pridáme „normálnu“ konštantu:
Na záverečná fáza pamätajte na našu náhradu:
Funkcia práve nájdená!
Takže všeobecné riešenie je: 
odpoveď: spoločné rozhodnutie: 
Ak si vytlačíte dve riešenia, ľahko si všimnete, že v oboch prípadoch sme našli rovnaké integrály. Jediný rozdiel je v algoritme riešenia.
Teraz niečo zložitejšie, vyjadrím sa aj k druhému príkladu:
Príklad 2
Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice 
(Odlišuje sa od príkladu č. 8 lekcie Lineárne nehomogénne DE 1. rádu)
Riešenie: Prinášame rovnicu do formulára :
Nastavte pravú stranu na nulu a vyriešte pomocnú rovnicu:
Všeobecné riešenie pomocnej rovnice:
V nehomogénnej rovnici vykonáme substitúciu:
Podľa pravidla diferenciácie produktov: 
Nahradiť a do pôvodnej nehomogénnej rovnice:
Dva výrazy na ľavej strane sa rušia, čo znamená, že sme na správnej ceste: 
Integrujeme po častiach. Chutné písmeno zo vzorca na integráciu po častiach je už zahrnuté v riešení, takže používame napríklad písmená „a“ a „be“:
Teraz sa pozrime na náhradu:
odpoveď: spoločné rozhodnutie:
A jeden príklad pre vlastné riešenie:
Príklad 3
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke.
,
(Rozdiel z príkladu lekcie 4 Lineárne nehomogénne DE 1. rádu)
Riešenie:
Toto DE je lineárne nehomogénne. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt. Poďme vyriešiť pomocnú rovnicu:
Oddeľujeme premenné a integrujeme: 
Spoločné rozhodnutie: 
V nehomogénnej rovnici vykonáme substitúciu: 
Urobme náhradu: 
Takže všeobecné riešenie je: 
Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce danej počiatočnej podmienke: 
odpoveď: súkromné riešenie:
Riešenie na konci hodiny môže slúžiť ako približný model na dokončenie zadania.
Metóda variácie ľubovoľných konštánt
pre lineárnu nehomogénnu rovnicu druhého rádu
s konštantnými koeficientmi
Často bolo počuť názor, že metóda variácie ľubovoľných konštánt pre rovnicu druhého rádu nie je jednoduchá vec. Ale myslím si, že toto: s najväčšou pravdepodobnosťou sa táto metóda mnohým zdá ťažká, pretože nie je taká bežná. V skutočnosti však neexistujú žiadne zvláštne ťažkosti - priebeh rozhodnutia je jasný, transparentný a zrozumiteľný. A nádherný.
Pre zvládnutie metódy je žiadúce vedieť riešiť nehomogénne rovnice druhého rádu výberom konkrétneho riešenia podľa tvaru pravej strany. Táto metóda je podrobne popísaná v článku. Nehomogénne DE 2. rádu. Pripomíname, že lineárna nehomogénna rovnica druhého rádu s konštantnými koeficientmi má tvar:
Metóda výberu, ktorá bola zvažovaná v predchádzajúcej lekcii, funguje len v obmedzenom počte prípadov, keď sú polynómy, exponenty, sínusy, kosínusy na pravej strane. Čo však robiť, keď je na pravej strane napríklad zlomok, logaritmus, dotyčnica? V takejto situácii prichádza na pomoc metóda variácie konštánt.
Príklad 4
Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice druhého rádu 
Riešenie: Na pravej strane tejto rovnice je zlomok, takže môžeme okamžite povedať, že metóda výberu konkrétneho riešenia nefunguje. Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.
Nič nepredstavuje búrku, začiatok riešenia je celkom obyčajný:
Poďme nájsť spoločné rozhodnutie zodpovedajúce homogénne rovnice: 
Zostavíme a vyriešime charakteristickú rovnicu: 
– získajú sa korene konjugovaného komplexu, takže všeobecné riešenie je:
Venujte pozornosť záznamu všeobecného riešenia - ak existujú zátvorky, otvorte ich.
Teraz urobíme takmer rovnaký trik ako pri rovnici prvého poriadku: meníme konštanty a nahrádzame ich neznámymi funkciami. teda všeobecné riešenie nehomogénneho Budeme hľadať rovnice v tvare:
Kde - ešte neznáme funkcie.
Vyzerá to ako smetisko, ale teraz všetko vytriedime.
Deriváty funkcií pôsobia ako neznáme. Naším cieľom je nájsť derivácie a nájdené derivácie musia spĺňať prvú aj druhú rovnicu systému.
Odkiaľ pochádzajú „hry“? Prináša ich bocian. Pozrieme sa na predtým získané všeobecné riešenie a napíšeme:
Poďme nájsť deriváty:
Zaoberal sa ľavou stranou. Čo je napravo?
je pravá strana pôvodnej rovnice, v tomto prípade:
Koeficient je koeficient pri druhej derivácii:
V praxi takmer vždy a náš príklad nie je výnimkou.
Všetko je vyčistené, teraz môžete vytvoriť systém: 
Systém je zvyčajne vyriešený podľa Cramerových vzorcov pomocou štandardného algoritmu. Jediný rozdiel je v tom, že namiesto čísel máme funkcie.
Nájdite hlavný determinant systému: 
Ak ste zabudli, ako sa odhalí determinant „dva po dvoch“, pozrite si lekciu Ako vypočítať determinant? Odkaz vedie na tabuľu hanby =)
Takže: , takže systém má jedinečné riešenie.
Nájdeme derivát: 
To však nie je všetko, zatiaľ sme našli len derivát.
Samotná funkcia sa obnoví integráciou:
Pozrime sa na druhú funkciu: 
Tu pridáme „normálnu“ konštantu
V záverečnej fáze riešenia si pripomenieme, v akej forme sme hľadali všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice? V takej:
Funkcie, ktoré potrebujete, ste práve našli! 
Zostáva vykonať náhradu a zapísať odpoveď:
odpoveď: spoločné rozhodnutie:
V zásade by odpoveď mohla otvárať zátvorky.
Úplná kontrola odpovede sa vykonáva podľa štandardnej schémy, ktorá bola zohľadnená v lekcii. Nehomogénne DE 2. rádu. Overenie však nebude jednoduché, pretože musíme nájsť dosť ťažké deriváty a vykonať ťažkopádnu substitúciu. Toto je nepríjemná funkcia, keď riešite rozdiely, ako je tento.
Príklad 5
Riešte diferenciálnu rovnicu metódou variácie ľubovoľných konštánt
Toto je príklad „urob si sám“. V skutočnosti je aj pravá strana zlomkom. Pripomíname si trigonometrický vzorec, mimochodom, bude potrebné ho použiť.
Metóda variácie ľubovoľných konštánt je najuniverzálnejšia metóda. Môžu vyriešiť akúkoľvek rovnicu, ktorá sa dá vyriešiť spôsob výberu konkrétneho riešenia podľa tvaru pravej strany. Vynára sa otázka, prečo aj tam nepoužiť metódu variácie ľubovoľných konštánt? Odpoveď je zrejmá: výber konkrétneho riešenia, o ktorom sa v lekcii uvažovalo Nehomogénne rovnice druhého rádu, výrazne urýchľuje riešenie a redukuje zápis - žiadne motanie sa s determinantmi a integrálmi.
Zvážte dva príklady s Cauchy problém.
Príklad 6
Nájdite konkrétne riešenie diferenciálnej rovnice zodpovedajúce daným počiatočným podmienkam
, 
Riešenie: Opäť zlomok a exponent na zaujímavom mieste.
Používame metódu variácie ľubovoľných konštánt.
Poďme nájsť spoločné rozhodnutie zodpovedajúce homogénne rovnice: 
– získajú sa rôzne skutočné korene, takže všeobecné riešenie je:
Všeobecné riešenie nehomogénnych hľadáme rovnice v tvare: , kde - ešte neznáme funkcie.
Vytvorme si systém:
V tomto prípade:
,
Hľadanie derivátov: 
, 
Touto cestou: 
Systém riešime pomocou Cramerových vzorcov:
, takže systém má unikátne riešenie.
Funkciu obnovíme integráciou:
Používa sa tu spôsob uvedenia funkcie pod diferenciálne znamienko.
Obnovíme druhú funkciu integráciou: 
Takýto integrál je vyriešený variabilná substitučná metóda:
Zo samotnej výmeny vyjadrujeme:
Touto cestou: 
Tento integrál možno nájsť metóda výberu plného štvorca, ale v príkladoch s difúrmi preferujem rozšírenie zlomku metóda neurčitých koeficientov:
Našli sa obe funkcie:
Výsledkom je, že všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice je:
Nájdite konkrétne riešenie, ktoré spĺňa počiatočné podmienky .
Technicky sa hľadanie riešenia vykonáva štandardným spôsobom, o ktorom sa hovorilo v článku. Nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu.
Počkajte, teraz nájdeme derivát nájdeného všeobecného riešenia:
Tu je taká hanba. Netreba to zjednodušovať, jednoduchšie je hneď zostaviť sústavu rovníc. Podľa počiatočných podmienok :
Nahraďte nájdené hodnoty konštánt 
do všeobecného riešenia:
V odpovedi môžu byť logaritmy trochu zabalené.
odpoveď: súkromné riešenie: 
Ako vidíte, ťažkosti môžu nastať v integráloch a deriváciách, ale nie v algoritme metódy variácie ľubovoľných konštánt. Nebol som to ja, kto ťa zastrašil, toto všetko je zbierka Kuznecova!
Na uvoľnenie posledný, jednoduchší, samoriešiaci príklad:
Príklad 7
Vyriešte Cauchyho problém
, 
Príklad je jednoduchý, ale kreatívny, keď robíte systém, pred rozhodnutím si ho pozorne pozrite ;-),
V dôsledku toho je všeobecné riešenie:
Nájdite konkrétne riešenie zodpovedajúce počiatočným podmienkam .
Nájdené hodnoty konštánt dosadíme do všeobecného riešenia:
odpoveď: súkromné riešenie:
Zvážte teraz lineárnu nehomogénnu rovnicu
. (2)
Nech y 1 ,y 2 ,.., y n je základná sústava riešení a je všeobecným riešením zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0 . Podobne ako v prípade rovníc prvého rádu budeme hľadať riešenie rovnice (2) v tvare
. (3)
Overme si, že riešenie v tejto forme existuje. Aby sme to dosiahli, dosadíme funkciu do rovnice. Na dosadenie tejto funkcie do rovnice nájdeme jej derivácie. Prvý derivát je 
. (4)
Pri výpočte druhej derivácie sa na pravej strane (4) objavia štyri členy, pri výpočte tretej derivácie osem členov atď. Preto sa pre uľahčenie ďalších výpočtov predpokladá, že prvý člen v (4) sa rovná nule. S ohľadom na to sa druhá derivácia rovná 
. (5)
Z rovnakých dôvodov ako predtým, aj v (5) nastavíme prvý člen rovný nule. Nakoniec je n-tá derivácia 
. (6)
Nahradením získaných hodnôt derivácií do pôvodnej rovnice máme 
. (7)
Druhý člen v (7) sa rovná nule, pretože funkcie y j , j=1,2,..,n sú riešeniami zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0. Kombináciou s predchádzajúcim získame systém algebraických rovníc na nájdenie funkcií C" j (x) 
(8)
Determinant tejto sústavy je Wronského determinant fundamentálnej sústavy riešení y 1 ,y 2 ,..,y n zodpovedajúcej homogénnej rovnice L(y)=0 a preto sa nerovná nule. Preto existuje jedinečné riešenie systému (8). Po jej nájdení dostaneme funkcie C "j (x), j=1,2,…,n, a následne C j (x), j=1,2,…,n nahradením týchto hodnôt do (3) dostaneme riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice.
Opísaná metóda sa nazýva metóda variácie ľubovoľnej konštanty alebo Lagrangeova metóda.
Príklad č. 1. Poďme nájsť všeobecné riešenie rovnice y "" + 4y" + 3y \u003d 9e -3 x. Zvážte zodpovedajúcu homogénnu rovnicu y "" + 4y" + 3y \u003d 0. Korene jej charakteristickej rovnice r 2 + 4r + 3 \u003d 0 sa rovnajú -1 a -3. Preto fundamentálny systém riešení homogénnej rovnice pozostáva z funkcií y 1 = e - x a y 2 = e -3 x. Hľadáme riešenie nehomogénnej rovnice v tvare y \u003d C 1 (x) e - x + C 2 (x) e -3 x. Na nájdenie derivátov C " 1 , C" 2 zostavíme sústavu rovníc (8)
C'1.e-x +C'2.e-3x =0
-C′ 1 e -x -3C′ 2 e -3x =9e -3x
riešenie, ktoré nájdeme , Integráciou získaných funkcií máme 
Konečne sa dostávame
Príklad č. 2. Riešte lineárne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi metódou variácie ľubovoľných konštánt: 
y(0) = 1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Riešenie:
Táto diferenciálna rovnica patrí medzi lineárne diferenciálne rovnice s konštantnými koeficientmi.
Riešenie rovnice budeme hľadať v tvare y = e rx . Na tento účel zostavíme charakteristickú rovnicu lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice s konštantnými koeficientmi:
r2-6 r + 8 = 0
D = (-6)2 - 418 = 4
Korene charakteristickej rovnice: r 1 = 4, r 2 = 2
Základným systémom riešení sú teda funkcie: y 1 =e 4x , y 2 =e 2x
Všeobecné riešenie homogénnej rovnice má tvar: y =C 1 e 4x +C 2 e 2x
Hľadajte konkrétne riešenie metódou variácie ľubovoľnej konštanty.
Aby sme našli deriváty C "i, zostavíme systém rovníc:
C' 1 e 4x + C' 2 e 2x = 0
C′ 1 (4e 4x) + C′ 2 (2e 2x) = 4/(2+e - 2x)
Vyjadrite C" 1 z prvej rovnice:
C" 1 \u003d -c 2 e -2x
a nahradiť v druhom. V dôsledku toho dostaneme:
C" 1 \u003d 2 / (e 2x + 2e 4x)
C" 2 \u003d -2e 2x / (e 2x + 2e 4x)
Integrujeme získané funkcie C" i:
C1 = 2ln(e-2x +2) - e-2x + C*1
C2 = ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2
Pretože y \u003d C 1 e 4x + C 2 e 2x, zapíšeme výsledné výrazy v tvare:
C 1 = (2ln(e -2x +2) - e -2x + C * 1) e 4x = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x
C 2 = (ln(2e 2x +1) – 2x+ C * 2)e 2x = e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
Všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice má teda tvar:
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + C * 1 e 4x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 2 e 2x
alebo
y = 2 e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + C * 1 e 4x + C * 2 e 2x
Konkrétne riešenie nájdeme za podmienky:
y(0) = 1 + 3ln3
y'(0) = 10ln3
Dosadením x = 0 do nájdenej rovnice dostaneme:
y(0) = 2 ln(3) - 1 + ln(3) + C * 1 + C * 2 = 3 ln (3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
Nájdeme prvú deriváciu získaného všeobecného riešenia:
y’ = 2e 2x (2C 1 e 2x + C 2 -2x +4 e 2x ln(e -2x +2)+ ln(2e 2x +1)-2)
Dosadením x = 0 dostaneme:
y'(0) = 2(2C1+C2+4ln(3)+ln(3)-2) = 4C1+2C2+10ln(3)-4 = 10ln3
Dostaneme systém dvoch rovníc:
3 ln(3) - 1 + C * 1 + C * 2 = 1 + 3 ln3
4C 1 + 2C 2 +10ln(3) -4 = 10ln3
alebo
C*1 + C*2 = 2
4C1 + 2C2 = 4
alebo
C*1 + C*2 = 2
2C1 + C2 = 2
Z: C1 = 0, C * 2 = 2
Konkrétne riešenie bude napísané takto:
y = 2e 4x ln(e -2x +2) - e 2x + e 2x ln(2e 2x +1) – 2x e 2x + 2 e 2x
Uvažuje sa o metóde riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc vyšších rádov s konštantnými koeficientmi metódou variácie Lagrangeových konštánt. Lagrangeova metóda je tiež použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc, ak je známy základný systém riešení homogénnej rovnice.
ObsahPozri tiež:
Lagrangeova metóda (variácia konštánt)
Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu s konštantnými koeficientmi ľubovoľného n-tého rádu:
(1)
.
Metóda konštantnej variácie, ktorú sme uvažovali pre rovnicu prvého rádu, je použiteľná aj pre rovnice vyšších rádov.
Riešenie sa uskutočňuje v dvoch etapách. V prvej fáze zahodíme pravú stranu a vyriešime homogénnu rovnicu. Výsledkom je riešenie obsahujúce n ľubovoľných konštánt. V druhom kroku meníme konštanty. To znamená, že uvažujeme, že tieto konštanty sú funkciami nezávislej premennej x a nájdeme tvar týchto funkcií.
Síce tu uvažujeme o rovniciach s konštantnými koeficientmi, ale Lagrangeova metóda je tiež použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc. Na to však musí byť známy základný systém riešení homogénnej rovnice.
Krok 1. Riešenie homogénnej rovnice
Rovnako ako v prípade rovníc prvého rádu, najprv hľadáme všeobecné riešenie homogénnej rovnice, pričom pravú nehomogénnu časť priradíme k nule:
(2)
.
Všeobecné riešenie takejto rovnice má tvar:
(3)
.
Tu sú ľubovoľné konštanty; - n lineárne nezávislých riešení homogénnej rovnice (2), ktoré tvoria základnú sústavu riešení tejto rovnice.
Krok 2. Variácia konštánt - Nahradenie konštánt funkciami
V druhom kroku sa budeme zaoberať variáciou konštánt. Inými slovami, konštanty nahradíme funkciami nezávislej premennej x :
.
To znamená, že hľadáme riešenie pôvodnej rovnice (1) v nasledujúcom tvare:
(4)
.
Ak dosadíme (4) do (1), dostaneme jednu diferenciálnu rovnicu pre n funkcií. V tomto prípade môžeme tieto funkcie spojiť s ďalšími rovnicami. Potom dostanete n rovníc, z ktorých môžete určiť n funkcií. Dodatočné rovnice môžu byť napísané rôznymi spôsobmi. Ale urobíme to tak, aby riešenie malo najjednoduchšiu formu. Aby ste to dosiahli, musíte pri diferencovaní rovnať nule členy obsahujúce deriváty funkcií. Poďme si to ukázať.
Na dosadenie navrhovaného riešenia (4) do pôvodnej rovnice (1) potrebujeme nájsť derivácie prvých n rádov funkcie zapísanej v tvare (4). Diferencujte (4) použitím pravidiel na rozlíšenie sumy a súčinu:
.
Poďme zoskupiť členov. Najprv napíšeme výrazy s derivátmi , a potom výrazy s derivátmi :
.
Na funkcie kladieme prvú podmienku:
(5.1)
.
Potom výraz pre prvú deriváciu vzhľadom na bude mať jednoduchší tvar:
(6.1)
.
Rovnakým spôsobom nájdeme druhú deriváciu:
.
Na funkcie kladieme druhú podmienku:
(5.2)
.
Potom
(6.2)
.
Atď. Za dodatočných podmienok prirovnávame členy obsahujúce deriváty funkcií k nule.
Ak teda pre funkcie zvolíme nasledujúce dodatočné rovnice:
(5.k) ,
potom prvé deriváty vzhľadom na budú mať najjednoduchší tvar:
(6.k) .
Tu .
Nájdeme n-tú deriváciu:
(6.n)
.
Do pôvodnej rovnice (1) dosadíme:
(1)
;
.
Berieme do úvahy, že všetky funkcie spĺňajú rovnicu (2):
.
Potom súčet členov, ktoré obsahujú, dáva nulu. V dôsledku toho dostaneme:
(7)
.
V dôsledku toho sme dostali systém lineárnych rovníc pre derivácie:
(5.1)
;
(5.2)
;
(5.3)
;
. . . . . . .
(5.n-1) ;
(7') .
Pri riešení tohto systému nájdeme výrazy pre derivácie ako funkcie x . Integráciou získame:
.
Tu sú konštanty, ktoré už nezávisia od x. Dosadením do (4) dostaneme všeobecné riešenie pôvodnej rovnice.
Všimnite si, že sme nikdy nepoužili skutočnosť, že koeficienty ai sú konštantné na určenie hodnôt derivácií. Takže Lagrangeova metóda je použiteľná na riešenie akýchkoľvek lineárnych nehomogénnych rovníc, ak je známa základná sústava riešení homogénnej rovnice (2).
Príklady
Riešiť rovnice metódou variácie konštánt (Lagrange).
Riešenie príkladov >> >
Riešenie rovníc vyššieho rádu Bernoulliho metódou
Riešenie lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc vyššieho rádu s konštantnými koeficientmi lineárnou substitúciou
Prednáška 44. Lineárne nehomogénne rovnice 2. rádu. Metóda variácie ľubovoľných konštánt. Lineárne nehomogénne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi. (špeciálna pravá strana).
Sociálne premeny. Štát a Cirkev.
Sociálnu politiku boľševikov do značnej miery diktoval ich triedny prístup. Dekrétom z 10. novembra 1917 bol zrušený stavovský systém, zrušené predrevolučné hodnosti, tituly a vyznamenania. Bola stanovená voľba sudcov; bola vykonaná sekularizácia občianskych štátov. Zavedené bezplatné školstvo a lekárska starostlivosť (výnos z 31. októbra 1918). Ženy boli v právach zrovnoprávnené s mužmi (dekréty zo 16. a 18. decembra 1917). Dekrét o manželstve zaviedol inštitút civilného sobáša.
Dekrétom Rady ľudových komisárov z 20. januára 1918 bola cirkev oddelená od štátu a od školstva. Veľká časť cirkevného majetku bola skonfiškovaná. Patriarcha Moskvy a celej Rusi Tichon (zvolený 5. novembra 1917) anathematizovaný 19. januára 1918 Sovietska moc a vyzval na boj proti boľševikom.
Uvažujme lineárnu nehomogénnu rovnicu druhého rádu
Štruktúra všeobecného riešenia takejto rovnice je určená nasledujúcou vetou:
Veta 1. Všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice (1) je reprezentované ako súčet nejakého konkrétneho riešenia tejto rovnice a všeobecného riešenia zodpovedajúcej homogénnej rovnice
Dôkaz. Musíme dokázať, že súčet
je všeobecné riešenie rovnice (1). Najprv dokážme, že funkcia (3) je riešením rovnice (1).
Dosadenie súčtu do rovnice (1) namiesto pri, bude mať
Keďže existuje riešenie rovnice (2), výraz v prvých zátvorkách je zhodne rovný nule. Keďže existuje riešenie rovnice (1), výraz v druhej zátvorke sa rovná f(x). Preto je rovnosť (4) identita. Prvá časť vety je teda dokázaná.
Dokážme druhé tvrdenie: výraz (3) je všeobecný riešenie rovnice (1). Musíme dokázať, že ľubovoľné konštanty zahrnuté v tomto výraze môžu byť zvolené tak, aby boli splnené počiatočné podmienky:
bez ohľadu na čísla x 0, y 0 a (ak len x 0 bola prevzatá z oblasti, kde funkcie a 1, a 2 a f(x) nepretržité).
Všimnite si, že je možné reprezentovať vo forme . Potom na základe podmienok (5) máme
Poďme vyriešiť tento systém a nájsť Od 1 a Od 2. Prepíšme systém takto:
Všimnite si, že determinantom tohto systému je Wronského determinant funkcií 1 a o 2 v bode x = x 0. Keďže tieto funkcie sú lineárne nezávislé na základe predpokladu, Wronského determinant sa nerovná nule; systém (6) má teda definitívne riešenie Od 1 a Od 2, t.j. sú také hodnoty Od 1 a Od 2, pre ktorý vzorec (3) určuje riešenie rovnice (1), ktoré spĺňa dané počiatočné podmienky. Q.E.D.
Prejdime k všeobecnej metóde hľadania partikulárnych riešení nehomogénnej rovnice.
Napíšme všeobecné riešenie homogénnej rovnice (2)
Hľadáme konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice (1) v tvare (7), berúc do úvahy Od 1 a Od 2 ako niektoré zatiaľ neznáme funkcie z X.
Rozlišujme rovnosť (7):
Vyberieme požadované funkcie Od 1 a Od 2 aby rovnosť
Ak sa vezme do úvahy táto dodatočná podmienka, potom prvá derivácia nadobudne formu
Teraz, keď tento výraz rozlíšime, zistíme:
Dosadením do rovnice (1) dostaneme
Výrazy v prvých dvoch zátvorkách zmiznú, pretože y 1 a y2 sú riešenia homogénnej rovnice. Preto posledná rovnosť nadobúda formu
Funkcia (7) teda bude riešením nehomogénnej rovnice (1), ak funkcie Od 1 a Od 2 splniť rovnice (8) a (9). Zostavme sústavu rovníc z rovníc (8) a (9).
Keďže determinantom tohto systému je Vronského determinant pre lineárne nezávislé riešenia y 1 a y2 rovnica (2), potom sa nerovná nule. Preto pri riešení systému nájdeme obe určité funkcie X:
Riešením tohto systému nájdeme , odkiaľ v dôsledku integrácie získame . Ďalej dosadíme nájdené funkcie do vzorca , dostaneme všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice , kde sú ľubovoľné konštanty.
