Diferenciálne rovnice. Metóda sekvenčnej diferenciácie
Obyčajné diferenciálne rovnice sú rovnice, ktoré obsahujú jednu alebo viac derivácií požadovanej funkcie y = y (x)
F (x, y, y 1,…, y (n)) = 0, kde x je nezávislá premenná.
Riešenie diferenciálnej rovnice je funkcia, ktorá ju po dosadení do rovnice premení na triumf.
Niektoré metódy riešenia sú známe z kurzu diferenciálnych rovníc. Pre množstvo rovníc prvého rádu (so separovateľnými premennými, homogénnymi, lineárnymi atď.) je možné analytickými transformáciami získať riešenie vo forme vzorcov.
Vo väčšine prípadov sa na riešenie diferenciálnych rovníc používajú približné metódy, ktoré možno rozdeliť do dvoch skupín:
1) analytické metódy, ktoré poskytujú riešenie vo forme analytického vyjadrenia;
2) numerické metódy, ktoré dávajú približné riešenie vo forme tabuľky.
Uvažujme o uvedených metódach vo forme nasledujúcich príkladov.
8.1 Metóda sekvenčnej diferenciácie.
Zvážte rovnicu:
s počiatočnými podmienkami, kde 
- dané čísla.
Predpokladajme, že požadované riešenie y = f (x) možno vyriešiť v Taylorovom rade v mocninách rozdielu (x-x 0):
2 
n +….
Počiatočné podmienky (8.2) nám dávajú hodnoty y (k) (x 0) pre k = 0,1,2, ..., (n-1). Hodnoty y (n) (x 0) sa získajú z rovnice (8.1), dosadením (x-x 0) a použitím počiatočných podmienok (8.2):
y (n) (x 0) = f (x 0, y 0, y "0, ..., y 0 (n-1))
Hodnoty y (n + 1) (x 0), y (n + 2) (x 0) ... sa postupne určujú diferenciáciou rovnice (8.1) a dosadením x = x 0, y (k) (x 0) = y0k (k - 0,1,2).
PRÍKLAD: Nájdite prvých sedem členov rozšírenia mocninného radu riešenia y = y (x) do rovnice y "" +0,1 (y ") 2 + (1 + 0,1x) y = 0 s počiatočnými podmienkami y (0) = 1; y"(0) = 2.
RIEŠENIE: Hľadáme riešenie rovnice vo forme radu:
y (x) = y (0) + y "(0) x / 1! + y" "(0) x 2 /2!+...+y (n) (0) x n / n! ...
Z počiatočných podmienok máme y (0) = 1, y "(0) = 2. Na určenie y" "(0) riešime túto rovnicu pre y" ":
y "" (0) = - 0,1 (y") 2 - (1 + 0,1x) y (8,3)
Pomocou počiatočných podmienok získame
y "" (0) = -0,1 * 4 - 1 * 1 = -1,4
Diferencovanie vzhľadom na x ľavú a pravú stranu rovnice (8.3)
y "" "= - 0,2 y" y "" - 0,1 (xy "+ y) - y",
y (4) = - 0,2 (y "y" "" + y "" 2) - 0,1 (xy "" + 2 roky ") - y" ",
y (5) = - 0,2 (y "y (4) + 3 y" "y" "") - 0,1 (xy "" "+ 3 r" ") - y" "",
y (6) = - 0,2 (y "y (5) + 4 roky" "y (4) + 3 roky" "" 2) - 0,1 (xy (4) + 4 roky "" "- y (4) )
Dosadením počiatočných podmienok a hodnoty y "" (0) nájdeme y "" "(0) = - 1,54;
y (4) (0) = -1,224; y(5)(0) = 0,1768; y (6) (0) = -0,7308. Požadované približné riešenie teda zapíšeme v tvare: y (x) ≈ 1 + 2x - 0,7x 2 - 0,2567x 3 + 0,051x 4 + 0,00147x 5 - 0,00101x 6.
8.2 Eulerova metóda
Najjednoduchšou z numerických metód riešenia diferenciálnych rovníc je Eulerova metóda, ktorá je založená na nahradení požadovanej funkcie polynómom prvého stupňa, t.j. lineárna extrapolácia. Hovoríme o hľadaní hodnôt funkcie v susedných bodoch argumentu x nie medzi nimi.
Zvoľme krok h malý, aby sa pre všetky x medzi x 0 a x 1 = x 0 + h hodnota funkcie y len málo líšila od lineárnej funkcie. Potom na uvedenom intervale y = y 0 + (x - x 0) y "= y 0 + (x -
Pokračujúc v určovaní hodnôt funkcie rovnakým spôsobom sa ubezpečujeme, že Eulerova metóda je reprezentovaná vo forme postupného vykonávania vzorcov:
∆y k = y "k h
y k + 1 = y k + ∆y k
PRÍKLAD
Riešime Eulerovou metódou rovnice y "= x - y s počiatočnou podmienkou x 0 = 0, y 0 = 0 na úsečke s krokom h = 0,1.
Výpočty sú uvedené v tabuľke.
Prvý riadok v stĺpcoch 1 a 2 je vyplnený počiatočnými údajmi. Potom sa y vypočíta podľa daná rovnica(v stĺpci 4), potom ∆y = y "h - v stĺpci (4).
Stĺpec (5) obsahuje tabuľku hodnôt presného riešenia danej rovnice.
|
|
Z tabuľky je zrejmé, že pre x = 1 je relatívna chyba Eulerovej metódy δ = 0,37 - 0,35 / 0,37 * 100 % ≈ 5,4 % |
RAFINOVANÁ EULEROVA METÓDA
Pri rovnakom množstve výpočtovej práce poskytuje vyššiu presnosť.
Predtým sme považovali integrand za konštantu rovnajúcu sa jeho hodnote f (x k, y k) na ľavom konci segmentu. Presnejšiu hodnotu získame, ak predpokladáme, že f (x, y (x)) sa rovná hodnote v strede grafu. Aby ste to dosiahli, musíte si vziať dvojitú časť (x k-1, x k + 1), ktorá nahradí vzorec
y k + 1 = y k + ∆y k on y k + 1 = y k-1 + 2hy "k (8.5)
Práve tento vzorec vyjadruje rafinovanú Eulerovu metódu. V tomto prípade však musíte dodržiavať nasledujúcu postupnosť akcií:
|
|
PRÍKLAD Pre porovnanie uvažujme rovnakú rovnicu y "= x - y s počiatočnými podmienkami x 0 = 0, y 0 = 0. Spresnená metóda, ako je možné vidieť z tabuľky, dáva vyššiu presnosť relatívnej chyby pri x = 1, y = 0,370 a y 0,368. |
Ak má rovnica tvar Máme rozdiel v Taylorovom rade Skúmajme konvergenciu výsledného radu, do ktorého dosadíme začiatočné podmienky Rad možno použiť na riešenie algebraických rovníc. Vyhliadka. Riešenie takýchto rovníc sa uskutočňuje metódou neurčitého koeficientu a následnej diferenciácie.
51. Periodické funkcie. Trigonometrické. Stanovenie koeficientov Euler-Fourierovou metódou.
Periodická funkcia s periódou 2П, ktorá spĺňa Dirichletove podmienky na intervale (-П, П), môže byť reprezentovaná Fourierovým radom:
Koeficienty ktorých sa dajú nájsť pomocou vzorcov
V bodoch spojitosti funkcie f (x) Fourierov rad konverguje k f () a v bodoch nespojitosti k. Rozšírenie Fourierovho radu periodickej funkcie f (x) s periódou 2l má tvar kde
53 Ortogonálne systémy funkcií. Fourierov rad pre ľubovoľný ortogonálny systém funkcií. Definícia 1. Nekonečný systém funkcií f 1 (x), f 2 (x) .. fn (x) (1) sa nazýva ortogonálny na intervale [a, b], ak pre ľubovoľné n ≠ k platí rovnosť ( x) ϕ k ( x) dx = 0 (2) Tu sa predpokladá, že dx ≠ 0 Nech je funkcia ϕ (x), definovaná na intervale [a, b] taká, že je reprezentovaná radom funkcií ortogonálnej sústavy (1), ktorá konverguje k daným funkciám na [a, b]: f (x) = (x) (6). Definujme koeficienty pomocou p Predpokladajme, že rad získaný po vynásobení radu (6) ľubovoľným ϕ k (x) umožňuje integráciu po členoch. Obe strany rovnosti (6) vynásobíme ϕ k (x) a integrujeme v medziach od a po b. Ak vezmeme do úvahy rovnosti (2), dostaneme (x) ϕ k (x) dx = ck odkiaľ (7) Koeficienty s к vypočítané podľa vzorcov (7) sa nazývajú 5 Fourierových koeficientov funkcie f (х) vzhľadom k systému ortogonálnych funkcií (1). Rad (6) sa v systéme funkcií (1) nazýva Fourierov rad.
54. Dirichletove pomery. Postačujúca podmienka pre reprezentáciu funkcie vo Fourierovom rade. Funkcia f (x) je v určitom rozsahu hodnôt x určitá a spojitá, nazýva sa neklesajúca (nerastúca), ak z podmienky x 2> x 1; f (x 2) ≥f (x 1) - neklesajúci f (x 2) ≤f (x 1) - nerastúci Funkcia f (x) sa nazýva po častiach monotónna na segmente, ak tento segment možno rozdeliť na konečný počet bodov x 1, x 2, x 3 ... .. xn -1 pre intervaly tak, že na každom z intervalov je funkcia monotónna, čiže buď neklesá alebo nerastie, vyplýva z to, že ak je funkcia f (x) po častiach monotónna a je obmedzená na segmenty, potom môže mať body zlomu 1. druhu. x = c = f (c-0) = f (c + 0); f (c-0) f (c + 0). T. Dirikhlet. Ak je funkcia f (x) s periódou 2π po častiach monotónna a ohraničená na uzavretom intervale x [-π; π], potom Fourierov rad postavený na tejto funkcii konverguje vo všetkých bodoch súčet získaných radov S (x) sa rovná hodnote f (x) v bodoch spojitosti táto funkcia, v bodoch nespojitosti funkcie f (x) súčet radu je strednou aritmetickou stranou funkcie f (x) vpravo a vľavo S (c) = (f (c-0) ) + f (c + 0)) / 2. Podmienky tejto vety sa nazývajú Dirichletove podmienky.
55. Rozšírenie párnych / nepárnych funkcií vo Fourierovom rade.
Z definície párnej a nepárnej funkcie vyplýva, že ak ψ (x) je párna funkcia, potom skutočne
Keďže podľa definície párnej funkcie ψ (-x) = ψ (x).
Podobne je možné dokázať, že ak φ (x) je nepárna funkcia, potom Ak nepárna funkcia f (x) expanduje do Fourierovho radu, potom súčin f (x) cos (kx) je tiež nepárna funkcia a f (x) hriech (kx) - párny; teda Fourierov rad nepárnej funkcie obsahuje „iba sínusy“
Ak je párna funkcia rozšírená vo Fourierovom rade, potom súčin f (x) sin (kx) je nepárna funkcia a f (x) cos (kx) je párna, teda
To znamená, že Fourierov rad párnej funkcie obsahuje „len kosínusy.“ Získané vzorce umožňujú zjednodušiť výpočty pri hľadaní Fourierových koeficientov v prípadoch, keď je daná funkcia párna alebo nepárna. Je zrejmé, že nie každá periodická funkcia je párna alebo nepárna.
Izvestija
TOMSKÉHO PORIADKU OKTÓBROVEJ REVOLÚCIE A PORIADKU PRÁCE ČERVENÝ PANER POLYTECHNICKÉHO INŠTITÚTU pomenovaného po S. M. Kirovovi.
APLIKÁCIA SEKVENČNEJ METÓDY
DIFERENCIÁCIA VO VÝPOČTE PRECHODNÝCH PROCESOV ZDROJOV ELEKTRICKÝCH STROJOV
IMPULZY
A. V. LOOS
(Uvádza vedecký seminár katedier elektrických strojov a všeobecnej elektrotechniky)
Prechodové procesy elektrických strojových zdrojov impulzov, napríklad jednofázové generátory rázov, generátory impulzov ventilov a pod., sú popísané sústavami diferenciálnych rovníc s periodickými koeficientmi, ktoré nie je možné eliminovať žiadnymi transformáciami. Výskumy prechodových procesov elektrických strojov vo všeobecnom prípade asymetrie sú založené na použití princípu väzby konštantného toku, použití integrálnych rovníc, približných metód riešenia atď. atď.
V niektorých prípadoch je možné rovnice prechodových procesov elektrických impulzných zdrojov energie zredukovať na rovnice s konštantnými koeficientmi, avšak potreba zvážiť prípad dvoch alebo viacerých vinutých systémov na rotore vyžaduje riešenie kubickej rovnice alebo charakteristických rovníc vyšších stupňa s komplexnými koeficientmi, čo je v algebraickej forme nemožné. ... Potreba brať do úvahy nasýtenie magnetického obvodu a zmeny otáčok rotora ďalej komplikuje riešenie takýchto problémov. V týchto prípadoch je najprijateľnejšie použitie analytických metód na približné riešenie.
Medzi analytickými metódami na približnú integráciu systémov diferenciálnych rovníc je veľmi rozšírená integrácia pomocou mocninných radov metódou sekvenčnej diferenciácie. Táto metóda je použiteľná ako pre riešenie sústav lineárnych diferenciálnych rovníc s konštantnými a premenlivými koeficientmi, tak aj pre riešenie nelineárnych úloh. Hľadané konkrétne riešenie je reprezentované formou rozšírenia v Taylorovom rade. Efektívnosť aplikácie metódy do značnej miery závisí od schopnosti výskumníka využiť a priori informácie o fyzickej povahy problém, ktorý treba vyriešiť.
Ak totiž zostavíme sústavu diferenciálnych rovníc zdroja impulzov elektrického stroja, pričom prúdy berieme ako neznáme funkcie, potom je vopred známe, že riešenia budú predstavovať rýchlo oscilujúce funkcie. Je zrejmé, že na ich znázornenie vo forme Taylorovho radu bude potrebný veľký počet výrazov, t.j. riešenie bude mimoriadne ťažkopádne. Diferenciálne rovnice Je výhodnejšie robiť prechodné procesy nie pre prúdy, ale pre prietokové spojky. Je to spôsobené tým, že sa mení tok vinutia
číslo I v čase je oveľa menšie, keďže ide spravidla o monotónne sa meniace funkcie, na dostatočne presné znázornenie ktorých vo forme expanzie v Taylorovom rade je potrebných len niekoľko členov. Po určení väzieb toku sa prúdy nájdu riešením bežných algebraických rovníc.
Ako príklad zvážte použitie metódy sekvenčnej diferenciácie na výpočet prechodných procesov generátora impulzov ventilu.
Výpočet záťažového prúdu ventilového generátora sa môže uskutočniť podľa obalovej krivky fázových prúdov získaných pri náhlom zapnutí synchrónneho generátora na symetrickú trojfázovú aktívnu záťaž. Hodnota ekvivalentného symetrického aktívneho zaťaženia je určená pomerom R3 - 2 / sRh. Pre výpočet krivky záťažového prúdu a fázových prúdov je teda potrebné vyriešiť kompletný systém diferenciálnych rovníc synchrónneho generátora pri pripojení k symetrickej odporovej záťaži.
Pri určovaní prúdu kotvy je možné pripočítať vonkajší aktívny odpor k aktívnemu odporu statora r = R3 + rc. Rovnice prechodových procesov synchrónneho generátora v osiach d, q sú nasledovné:
pYd = - Ud - (ü ^ q -rld, (1)
р - - Uq + s W6 riq, (2)
P ^ f = Uf - rfif, (3)
P ^ Dd - - rodiDcb (4)
PXVD :( = - rDq ioq, (5)
XfXDd - X2ag | m Xad (XDd-XaH) Tf. xad (Xj - Хпн) w
D "d ri" d Tßd 9
, * _ x ° q w „xaq / 7)
q ~ "Ä7 ™ q q"
XdXDd ~~ x "ad ig xad (xDd" ~ "xad) m Xad (xd Xad) -CG f ^ -D- 1 ~~" - ~ D- d "---- d" * "
XdXf X2ad yep xad (xf ~~ xari) m xad (xd ~ xad) w / n \ iDd = - ~ q- ^ Dd - D- Td --d - M »w)
D - XdXfXDd ^ 2x3ad - x2ad (xd + xr -f X [) d), (11)
A "= XqXDq - X2aq. (12)
Pre sústavu rovníc (1 - 12) neexistuje všeobecné analytické riešenie. Pokus o získanie vypočítaných pomerov pre prúdy synchrónneho generátora za prítomnosti aktívnych odporov v obvode statora sa uskutočnil v r. Autor sa však dopustil chyby fyzikálne súvisiacej s neprípustnosťou predpokladať stálosť väzieb toku pozdĺž pozdĺžnej a priečnej osi v točivom stroji za prítomnosti aktívneho odporu v obvode statora. Na túto chybu bolo poukázané v, kde sa získalo presné riešenie pre prípad jedného systému vinutia na rotore a ukázala sa nemožnosť použitia konvenčných metód riešenia pri uvažovaní dvoch alebo viacerých systémov vinutia na rotore. Preto je tu uvedený príklad veľmi zaujímavý.
Dosadením (6-10) do (1-5) a ak vezmeme do úvahy, že Ud = Uq =: 0, dostaneme rovnice prechodných procesov napísané s ohľadom na tokové väzby v normálnej forme Kosh a:
[(x (x1) c1 - x. ^ H^ - xa (1 (x0 (1 - x ^ H^ _
3 d7 ~ (xOo (H^ x, 1 (]H^)
P^ = bmr - ^ [(xc] x0c1 - x2aa) H* (- Xa (1 (XO (1 - xa)<1№
Ha<1 (хс! - Х^Ч^] ,
P = --- X2a (1) ¥ 141 - hi (x (- x ^ H ^
Hayo (Xs1 - has1) ¥ (],
p CHTs = ^ -¿g (xh Ch ^ - xach Ch ^).
Predpokladajme, že pred zapnutím záťaže synchrónny generátor bežal naprázdno s budiacim prúdom, potom sú počiatočné podmienky 1 = 0.
H^o = * Gox = Mb^H"o = 1 Goxa (b ChTso - O, ¥ C (0 = 0.
S prijatými počiatočnými podmienkami môže byť riešenie pre ^, Ъa, ^, Ьц reprezentované vo forme rozšírenia v Maclaurinovom rade
Podobne pre tokové väzby Ch^, Ch^, Tm, Ch^. Počiatočné hodnoty derivátov tokových väzieb v rovniciach tvaru (18) sa dajú ľahko nájsť za známych počiatočných podmienok postupnou diferenciáciou rovníc (13-17). Po dosadení počiatočných hodnôt tokových väzieb a ich derivátov do rovníc tvaru (18) dostaneme:
(3 = 1 Gohas1
XrX ^ - x ^ \
^ = Cho má 1 N
1 GHop "+2 1 ^ - 4 G --- 7- W X
2 A "(x2ochg + x2achGoch)
X? 1 g (xaH (Hoa - Chlcl)®2
sho ~ 1 gól (1
1__GR (1 xyas1 (x (- xas!) S ° 2
L X2ad Rok
(20) (21) (22) (23)
Konvergenciu riešení pre,,, možno určiť štúdiom zvyšných členov expanzií v Maclaurinovom rade (19-23)
KnNo) = - ^ mt P (n + 1) ^ (H), (24)
kde 0
Podobne pre „Moat, Podľa zistených hodnôt toku
pomocou rovníc (6-10) je ľahké nájsť toky 1r »a. Podľa vzorcov lineárnych transformácií určíme fázové prúdy:
1a = ¡c) coe co 1 - ¡d a co 1 (25) 1b = 1. vzlyk 1 --- 1h e1n ^ -> (26)
"-c = - 1a -> b- (27)
Zaťažovací prúd generátora impulzov ventilu sa zistí ako súčet okamžitých hodnôt fázových prúdov 1a, 1b, ¡z jedného znamienka.
Podľa uvažovanej metódy boli prechodné procesy generátora impulzov ventilu vypočítané s parametrami:
X (1 = = Xos! = Hvch = 1,05; ha (1 = má, = 1; x (= 1,2; rc = g -!! = goa = = 0,02; Yn = 0,05 ...
Na obr. 1 sú znázornené vypočítané krivky fázových prúdov \ b, ¡c a záťažového prúdu ¡c. Porovnanie analytických výpočtov s výsledkami získanými na AVM MN-14 pri skúmaní úplného systému rovníc dáva
Ryža. 1. Návrh kriviek tokos bez generátora a zaťaženia
dobrá konvergencia. Odhad konvergencie riešenia štúdiom zvyšku rozšírenia Maclaurinovho radu (24) tiež ukazuje, že maximálna chyba výpočtu nepresahuje 5 - = - 7 %.
Metódu sekvenčnej diferenciácie možno použiť na analýzu prechodových procesov elektrických strojových zdrojov impulzov, ktorých rovnice obsahujú premenlivé koeficienty. Štúdium prechodných procesov popísaných nelineárnymi diferenciálnymi rovnicami tiež nenaráža pri použití tejto metódy na zásadné ťažkosti, no jej aplikácia v tomto prípade môže viesť k ťažkopádnym výrazom. Pre správnu voľbu tvaru počiatočného systému diferenciálnych rovníc je potrebné vo všetkých prípadoch použiť apriórne informácie o fyzikálnom obraze procesov, čo značne zjednodušuje riešenie.
LITERATÚRA
1. I. I. Treščev. Metódy strojového výskumu striedavý prúd... "Energia", 1969.
2. A. I. V azhio V. Základy teórie prechodných procesov synchrónneho stroja. Gosenergoizdat, 1960.
3. Ch.Konkord a a. Synchrónne stroje. Gosenergoizdat, 1959.
4. E. Ya. Kazovskii. Prechodné procesy v elektrických strojoch na striedavý prúd. Vydavateľstvo Akadémie vied ZSSR, 1962.
5.L.E. Elsgolts. Diferenciálne rovnice a variačný počet. "Veda", 1969.
6. G. A. Sipaylov, A. V. Los a Yu. I. Ryabchikov. Výskum prechodových procesov generátora ventilových impulzov. Izv. TPI. Táto kolekcia.
Veta.
Vzhľadom na to:
Ak pravá strana diaľkového ovládača, t.j. funkciu 
, je analytickou funkciou jeho argumentov v nejakom susedstve bodu 
, potom pre hodnoty dostatočne blízke existuje jedinečné riešenie Cauchyho problému, ktoré možno znázorniť ako mocninný rad (séria Taylor).
Zvážte vyššie uvedený Cauchyho problém. Budeme hľadať riešenie Cauchyho problému pre DE n-tého rádu vo forme Taylorovho radu v mocninách v okolí bodu.
Koeficienty radu sú derivácie funkcie vypočítanej v bode.
Poďme ich nájsť:
1) Z počiatočných podmienok určíme prvých n expanzných koeficientov:
;
2) Hodnota (n + 1) -tého koeficientu sa určí dosadením nasledujúcich hodnôt do DU:
3) Aby sme našli všetky nasledujúce koeficienty, budeme postupne diferencovať ľavú a pravú stranu pôvodného DE a vypočítame hodnoty koeficientov pomocou počiatočných podmienok a všetkých už získaných koeficientov.
Komentujte. Ak sú splnené podmienky vety o existencii a jednoznačnosti riešenia, potom čiastočný súčet získaného Taylorovho radu bude približným riešením nastolenej Cauchyho úlohy.
Algoritmus metódy sekvenčnej diferenciácie
1. Napíšte riešenie y (x) v tvare nekonečného mocninného radu v mocninách:
, kde
2. Určte hodnoty prvých n koeficientov (tu n je poradie pôvodnej rovnice) pomocou počiatočných podmienok.
3. Vyjadrite najvyššiu deriváciu z DE. Vypočítajte jeho hodnotu v počiatočnom bode pomocou počiatočných podmienok. Vypočítajte koeficient.
4. Derivovaním výrazu pre najvyššiu deriváciu z položky 3 vzhľadom na x nájdite deriváciu n + 1 funkcie. Vypočítajte jeho hodnotu v počiatočnom bode pomocou počiatočných podmienok a hodnoty najvyššej derivácie vypočítanej v kroku 3. Vypočítajte koeficient.
5. Ostatné koeficienty sa vypočítajú podobne ako v bode 4.
