Špeciálne prípady privedenia ľubovoľného priestorového systému síl do centra. Uvedenie sústavy síl do najjednoduchšej formy Stred rovnobežných síl
Ak sa po privedení priestorovej sústavy síl do zvoleného stredu O hlavný vektor a hlavný moment rovnajú nule, t.j.
Systém síl je vyvážený. Pod vplyvom takéhoto systému síl bude pevné teleso v rovnováhe. Je zrejmé, že vo všeobecnom prípade dvom vektorovým rovniciam (4.1) zodpovedá šesť skalárnych rovníc, odrážajúcich nulovú rovnosť priemetov týchto vektorov na osi zvoleného súradnicového systému (napríklad karteziánskeho).
Ak po privedení priestorovej sústavy síl do zvoleného stredu O je hlavný vektor rovný nule, a hlavný moment nie je rovný nule, t.j.
Výsledná dvojica síl pôsobí na teleso a má tendenciu ho otáčať. Všimnite si, že v tomto prípade výber stredu redukcie neovplyvní výsledok.
Ak po privedení priestorového systému síl do zvoleného stredu O sa hlavný vektor nerovná nule a hlavný moment sa rovná nule, t.j.
Na teleso pôsobí výsledný systém síl prechádzajúcich stredom redukcie a smerujúcich k pohybu telesa pozdĺž línie jeho pôsobenia. Je zrejmé, že vzťahy (4.3.) platia pre všetky body pôsobiska výslednice.
Všimnite si, že pôsobenie systému konvergujúcich síl sa zníži na tento prípad, ak sa priesečník línií pôsobenia síl systému považuje za stred redukcie (keďže momenty síl vzhľadom na tento bod sú rovnaké na nulu).
Ak sa po privedení priestorovej sústavy síl do zvoleného stredu O hlavný vektor a hlavný moment nerovnajú nule a ich smery zvierajú pravý uhol, t.j.
potom sa takýto systém síl môže tiež zredukovať na výslednicu, ale prechádzajúcu iným stredom redukcie - bodom. Na vykonanie tejto operácie najprv zvážime ekvivalentné silové systémy znázornené na obr. 4.2.b a obr. 4.1. Je zrejmé, že ak zmeníme zápis (bod B sa nazýva stred O, bod A sa nazýva stred), úloha, ktorá pred nami stojí, vyžaduje vykonanie operácie inverznej k operácii vykonanej v leme o paralelnom prenose sily. Berúc do úvahy vyššie uvedené, bod musí byť po prvé umiestnený v rovine kolmej na vektor hlavného momentu prechádzajúceho stredom O a po druhé musí ležať na priamke rovnobežnej s priamkou pôsobenia hlavného vektora sily a oddelené od neho vo vzdialenosti h rovnajúcej sa
Z dvoch nájdených čiar by ste si mali vybrať tú pre body, v ktorých sa vektor hlavného momentu rovná nule (moment hlavného vektora síl vzhľadom na nový stred by mal mať rovnakú veľkosť a opačný smer ako hlavný moment sústavy síl vzhľadom na bod O).
Vo všeobecnom prípade, po privedení priestorového systému síl do zvoleného stredu O, hlavný vektor a hlavný moment, ktoré sa nerovnajú nule, nezvierajú medzi sebou pravý uhol (obr. 4.5.a).
Ak sa hlavný moment rozloží na dve zložky - pozdĺž hlavného vektora síl a kolmo naň, potom v súlade s (4.5) možno nájsť stred redukcie, pre ktorý sa kolmá zložka hlavného momentu rovná nule, a veľkosti a smery hlavného vektora a prvých zložiek hlavného momentu zostávajú rovnaké (obr. 4.5.b). Kolekcia vektorov sa nazýva silovú skrutku alebo dynamo.
Ďalšie zjednodušenie nie je možné.
Keďže pri takejto zmene stredu redukcie sa zmení len priemet hlavného momentu do smeru kolmého na hlavný vektor sústavy síl, hodnota skalárneho súčinu týchto vektorov zostáva nezmenená, t.j.
Tento výraz sa nazýva druhý invariant
statika.
Príklad 4.1. Na vrcholy pravouhlého rovnobežnostena so stranami a pôsobia sily a (pozri obr. 4.6). Berúc ako stred redukcie silového systému počiatok súradníc kartézskeho súradnicového systému vyznačeného na obrázku, zapíšte si výrazy pre projekcie hlavného vektora a hlavného momentu.
Zapíšme si trigonometrické vzťahy na určenie uhlov:
Teraz môžeme napísať výrazy pre projekcie hlavného vektora a hlavného momentu síl systému:
Poznámka: znalosť vektorových projekcií na súradnicové osi umožní v prípade potreby vypočítať jeho veľkosť a smerové kosínusy.
Rovinný systém síl je tiež redukovaný na silu rovnajúcu sa obom pôsobiacim v ľubovoľne zvolenom strede O a dvojici s momentom
v tomto prípade môže byť vektor určený buď geometricky zostrojením silového mnohouholníka (pozri odsek 4), alebo analyticky. Teda pre rovinnú sústavu síl
R x = F kx , R y = F ky ,
kde všetky momenty v poslednej rovnosti sú algebraické a súčet je tiež algebraický.
Poďme zistiť, na akú najjednoduchšiu formu možno redukovať daný plochý systém síl, ktorý nie je v rovnováhe. Výsledok závisí od hodnôt R a M O.
- 1. Ak pre danú sústavu síl R=0 platí M O ?0, potom sa redukuje na jeden pár s momentom M O, ktorého hodnota nezávisí od voľby stredu O.
- 2. Ak pre danú sústavu síl R?0, potom sa redukuje na jednu silu, t.j. na výslednicu. V tomto prípade sú možné dva prípady:
- a) R20, MO = 0. V tomto prípade je systém, ako je okamžite zrejmé, redukovaný na výslednicu R prechádzajúcu stredom O;
- b) R20, MO20. V tomto prípade môže byť pár s momentom M O reprezentovaný dvoma silami R" a R", pričom R"=R a R"= - R. Navyše, ak d=OC je rameno páru, potom by malo byť Rd=|M O |.
Keď teraz odmietneme sily R a R" ako vyvážené, zistíme, že celý systém síl je nahradený výslednicou R" = R prechádzajúcou bodom C. Poloha bodu C je určená dvoma podmienkami: 1) vzdialenosťou OC = d () musí spĺňať rovnosť Rd = M O |. 2) znamienko momentu vzhľadom k stredu O sily R" pôsobiacej v bode C, t.j. znamienko m O (R") sa musí zhodovať so znamienkom M O.
Privedenie systému síl do stredu
Otázky
Prednáška 6
3. Podmienky rovnováhy pre ľubovoľný systém síl
1. Uvažujme o ľubovoľnom systéme síl. Vyberme si ľubovoľný bod O za stred redukcie a pomocou vety o paralelnom prenose sily prenesieme všetky sily sústavy do daného bodu, pričom pri prenose každej sily nezabudneme pridať pridruženú dvojicu síl.
Nahradme výslednú sústavu zbiehajúcich sa síl jednou silou rovnajúcou sa hlavnému vektoru pôvodnej sústavy síl. Sústava silových dvojíc vzniknutá pri prenose bude nahradená jednou dvojicou s momentom rovným geometrickému súčtu momentov všetkých silových dvojíc (t.j. geometrickému súčtu momentov pôvodnej silovej sústavy vzhľadom na stred O).
Tento moment sa nazýva hlavný moment silového systému vzhľadom na stred O (obr. 1.30).
Ryža. 1.30. Privedenie systému síl do stredu
Takže každý systém síl môže byť vždy nahradený iba dvoma silovými faktormi - hlavný vektor a hlavný moment vo vzťahu k ľubovoľne zvolenému stredu redukcie . Je zrejmé, že hlavný vektor silového systému nezávisí od výberu stredu redukcie (hlavný vektor je vraj invariantný vzhľadom na voľbu stredu redukcie). Je tiež zrejmé, že hlavný moment túto vlastnosť nemá, preto je potrebné vždy uviesť, vzhľadom na ktorý stred je hlavný moment určený.
2. Uvedenie systému síl do jeho najjednoduchšej podoby
Možnosť ďalšieho zjednodušenia ľubovoľných silových sústav závisí od hodnoty ich hlavného vektora a hlavného momentu, ako aj od úspešnej voľby stredu redukcie. Možné sú tieto prípady:
a), . V tomto prípade sa systém redukuje na dvojicu síl s momentom, ktorého hodnota nezávisí od výberu stredu redukcie.
b), . Systém je redukovaný na výslednicu rovnajúcu sa , ktorej akčná línia prechádza stredom O.
c) a sú navzájom kolmé. Systém je redukovaný na výslednicu rovnú, ale neprechádzajúcu stredom O(obr. 1.31).
Ryža. 1.31. Priviesť systém síl k výsledku
Hlavný moment nahraďme dvojicou síl, ako je znázornené na obr. 1.31. Poďme definovať R z podmienky, že M° = Rh. Potom na základe druhej axiómy statiky zamietnime vyvážený systém dvoch síl pôsobiacich v bode O.
d) a paralelné. Systém je poháňaný dynamickou skrutkou s osou prechádzajúcou stredom O(obr. 1.32).
Ryža. 1.32. Dynamická skrutka
e) a nie sú rovné nule a zároveň hlavný vektor a hlavný moment nie sú navzájom rovnobežné a nie sú kolmé. Systém je poháňaný dynamickou skrutkou, ale os neprechádza stredom O(obr. 1.33).
Ryža. 1.33. Najvšeobecnejší prípad redukcie sústavy síl
Prípady redukcie na najjednoduchšiu formu
Uvedenie do páru
Nech sa v dôsledku privedenia síl do stredu O ukáže, že hlavný vektor sa rovná nule a hlavný moment sa líši od nuly: . Potom na základe základnej vety statiky môžeme písať
To znamená, že pôvodný systém síl je v tomto prípade ekvivalentný dvojici síl s momentom.
Okamih páru nezávisí od toho, ktorý bod je zvolený ako stred momentov pri výpočte momentu páru. V dôsledku toho by v tomto prípade hlavný bod nemal závisieť od výberu stredu redukcie. Ale presne k tomuto záveru vedie vzťah
spájajúce hlavné body týkajúce sa dvoch rôznych centier. Keď sa dodatočný člen tiež rovná nule, dostaneme
Redukcia na výsledný
Teraz nech sa hlavný vektor nerovná nule a hlavný moment sa rovná nule: . Na základe základnej vety statiky máme
to znamená, že systém síl sa ukáže ako ekvivalentný jednej sile - hlavnému vektoru. Následne sa v tomto prípade pôvodný systém síl redukuje na výslednicu a táto výslednica sa zhoduje s hlavným vektorom aplikovaným v strede redukcie: .
Sústava síl sa redukuje na výslednicu v prípade, keď hlavný vektor a hlavný moment nie sú rovné nule, ale sú navzájom kolmé: . Dôkaz sa vykonáva pomocou nasledujúcej postupnosti akcií.
Cez stred redukcie O nakreslíme rovinu kolmú na hlavný moment (obr. 50, a). Na obrázku je táto rovina kombinovaná s rovinou kreslenia a nachádza sa v nej hlavný vektor. V tejto rovine zostrojíme dvojicu s momentom a sily dvojice zvolíme tak, aby boli zhodné s veľkosťou hlavného vektora; potom sa pákový efekt páru bude rovnať . Ďalej posúvame dvojicu v jej rovine tak, aby jedna zo síl dvojice pôsobila v strede redukcie O oproti hlavnej; druhá sila dvojice bude pôsobiť v bode C vzdialenom od stredu O v požadovanom smere, určenom smerom, vo vzdialenosti OS rovnajúcej sa ramenu dvojice h (obr. 50, b). Ak teraz zahodíme vyvážené sily R a - pôsobiace v bode O, dostaneme sa k jednej sile pôsobiacej v bode C (obr. 50, c). Bude slúžiť ako výsledok tohto systému síl.
Je vidieť, že reakčná sila sa stále rovná hlavnému vektoru, ale líši sa od hlavného vektora v bode pôsobenia. Ak je hlavný vektor aplikovaný v redukčnom strede O, potom je výslednica v bode C, ktorého poloha vyžaduje špeciálnu definíciu. Geometrický spôsob nájdenia bodu C je viditeľný z konštrukcie vykonanej vyššie.
Pre moment výslednice vzhľadom k stredu redukcie O môžeme písať (pozri obr. 50):
alebo s vynechaním stredných hodnôt:
Ak túto vektorovú rovnosť premietneme na ľubovoľnú os prechádzajúcu bodom O, dostaneme zodpovedajúcu rovnosť v projekciách:
Pamätajúc, že priemet momentu sily vzhľadom na bod na os prechádzajúcu týmto bodom je momentom sily vzhľadom na os, prepíšeme túto rovnosť takto:
Výsledné rovnosti vyjadrujú Varignonovu vetu v jej všeobecnom tvare (v 2. prednáške bola veta formulovaná len pre konvergujúce sily): ak má sústava síl výslednicu, potom moment tejto výslednice (vzhľadom k bodu, vzhľadom na os) sa rovná súčtu momentov všetkých daných síl - zložiek (vzhľadom k tomu istému bodu, tej istej osi). Je jasné, že v prípade bodu je súčet momentov vektorový, v prípade osi algebraický.
Redukcia na dynamiku
Dynamia alebo dynamická skrutka je kombináciou dvojice síl a sily smerujúcej kolmo na rovinu pôsobenia dvojice. Dá sa ukázať, že vo všeobecnom prípade redukcie, keď a nie je kolmá, je pôvodný systém síl ekvivalentný nejakému dynamizmu.
Na tuhé teleso nech súčasne pôsobí niekoľko dvojíc síl s momentmi pôsobiacimi v rôznych rovinách. Je možné tento systém dvojíc zredukovať na jednoduchšiu formu? Ukazuje sa, že je to možné a odpoveď naznačuje nasledujúca veta o sčítaní dvoch párov.
Veta. Dve dvojice síl pôsobiace v rôznych rovinách sú ekvivalentné jednej dvojici síl s momentom rovným geometrickému súčtu momentov daných dvojíc.
Nech sú dvojice definované ich momentmi a (obr. 36,a). Zostrojme dve roviny kolmé na tieto vektory (rovinu pôsobenia dvojíc) a výberom určitého segmentu AB na priesečníku rovín pre rameno spoločné pre obe dvojice zostrojíme zodpovedajúce dvojice: (obr. 36, b).
V súlade s definíciou okamihu páru môžeme písať
V bodoch A a B máme zbiehajúce sa sily. Aplikovaním pravidla rovnobežníka síl (axióma 3) budeme mať:
Dané dvojice sa ukážu ako ekvivalentné dvom silám, ktoré tiež tvoria pár. Prvá časť vety je teda dokázaná. Druhá časť vety je dokázaná priamym výpočtom momentu výslednej dvojice:
Ak existuje niekoľko párov, potom ich pridaním do párov v súlade s touto vetou možno ľubovoľný počet párov zredukovať na jeden pár. V dôsledku toho prichádzame k nasledovnému záveru: množinu (systém) dvojíc síl pôsobiacich na absolútne tuhé teleso možno zredukovať na jednu dvojicu s momentom rovným geometrickému súčtu momentov všetkých daných dvojíc.
Matematicky sa to dá zapísať takto:
Na obr. Obrázok 37 poskytuje geometrické znázornenie výsledného záveru.
Pre rovnováhu silových dvojíc sa vyžaduje, aby moment výslednej dvojice bol rovný nule, čo vedie k rovnosti
Táto podmienka môže byť vyjadrená v geometrickej a analytickej forme. Geometrická podmienka pre rovnováhu dvojíc síl: na to, aby bola sústava dvojíc síl v rovnováhe, je potrebné a postačujúce, aby vektorový mnohouholník zostrojený z momentov všetkých dvojíc bol uzavretý.
Analytická podmienka pre rovnováhu silových dvojíc: na to, aby bola sústava silových dvojíc v rovnováhe, je potrebné a postačujúce, aby algebraické súčty priemetov vektorov momentov všetkých dvojíc na ľubovoľne zvolené súradnicové osi Oxyz boli rovné nule:
Ak všetky dvojice ležia v rovnakej rovine, to znamená, že tvoria plochý systém dvojíc, získa sa iba jedna podmienka analytickej rovnováhy – súčet algebraických momentov dvojíc sa rovná nule.
Samotestovacie otázky
1. Čo je pravidlo silového mnohouholníka? Na čo sa používa silový polygón?
2. Ako analyticky nájsť výslednicu konvergujúcich síl?
3. Aká je geometrická podmienka rovnováhy zbiehajúcich sa síl? Ako je táto istá podmienka formulovaná analyticky?
4. Povedzte vetu o troch silách.
5. Ktoré statické problémy sa nazývajú staticky definované a ktoré sa nazývajú staticky neurčité? Uveďte príklad staticky neurčitého problému.
6. Čo sa nazýva dvojica síl?
7. Ako sa nazýva moment (vektor-moment) dvojice síl? Aký je smer, veľkosť a bod pôsobenia momentu?
8. Čo sa nazýva algebraický moment dvojice?
9. Formulujte pravidlo pre sčítanie dvojíc ľubovoľne umiestnených v priestore.
10. Aké sú vektorové, geometrické a analytické podmienky pre rovnováhu sústavy dvojíc síl?
