Vytvorte graf funkcie pomocou príkladov modulu. Grafy lineárnej funkcie s modulmi. Prípad premennej na pravej strane
Marina Erdnigoryaeva
Táto práca je výsledkom preštudovania témy ako voliteľného v 8. ročníku. Sú tu znázornené geometrické transformácie grafov a ich aplikácia na konštrukciu grafov s modulmi. Je predstavený koncept modulu a jeho vlastnosti. Ukazuje sa, ako zostavovať grafy s modulmi rôznymi spôsobmi: pomocou transformácií a na základe konceptu modulu Téma projektu je jednou z najťažších v kurze matematiky, týka sa otázok preberaných vo voliteľných predmetoch a je. študoval v triedach s pokročilou matematikou. Takéto úlohy sú však uvedené v druhej časti GIA, v jednotnej štátnej skúške. Táto práca vám pomôže pochopiť, ako vytvárať grafy s modulmi nielen lineárnych, ale aj iných funkcií (kvadratické, nepriamo úmerné atď.). Práca vám pomôže pri príprave na štátnu skúšku a jednotnú štátnu skúšku.
Stiahnuť ▼:
Náhľad:
Ak chcete použiť ukážky prezentácií, vytvorte si účet Google a prihláste sa doň: https://accounts.google.com
Popisy snímok:
Grafy lineárnej funkcie s modulmi Práca Erdnigoryaeva Marina, študentky 8. ročníka MCOU "Kamyshovskaya OOSH" Školiteľka Goryaeva Zoya Erdnigoryaevna, učiteľka matematiky MCOU "Kamyshovskaya OOSH" s. Kamyshevo, 2013
Cieľ projektu: Odpovedať na otázku, ako zostaviť grafy lineárnych funkcií pomocou modulov. Ciele projektu: Preštudovať si literatúru o tejto problematike. Študovať geometrické transformácie grafov a ich aplikáciu na konštrukciu grafov s modulmi. Preštudujte si koncept modulu a jeho vlastnosti. Naučte sa vytvárať grafy pomocou modulov rôznymi spôsobmi.
Priama úmernosť Priama úmernosť je funkcia, ktorá môže byť špecifikovaná vzorcom v tvare y=kx, kde x je nezávislá premenná, k je nenulové číslo.
Nakreslíme funkciu y = x x 0 2 y 0 2
Geometrická transformácia grafov Pravidlo č.1 Graf funkcie y = f (x) + k - lineárna funkcia - získame paralelným prenosom grafu funkcie y = f (x) o + k jednotiek smerom nahor po O os y pre k> 0 alebo |- k| jednotky po osi O y na k
Zostavme grafy y=x+3 y=x-2
Pravidlo č.2 Graf funkcie y=kf(x) získame natiahnutím grafu funkcie y = f (x) pozdĺž osi O y a krát pri a>1 a jeho stlačením pozdĺž osi O y a krát na 0Slide 9
Zostavme graf y=x y= 2 x
Pravidlo č.3 Graf funkcie y = - f (x) získame symetrickým zobrazením grafu y = f (x) vzhľadom na os O x.
Pravidlo č.4 Graf funkcie y = f (- x) získame symetrickým zobrazením grafu funkcie y = f (x) vzhľadom na os O y.
Pravidlo č.5 Graf funkcie y=f(x+c) získame paralelným prenosom grafu funkcie y=f(x) pozdĺž osi O x doprava, ak c 0.
Poďme zostaviť grafy y=f(x) y=f(x+2)
Definícia modulu Modul nezáporného čísla a sa rovná samotnému číslu a; Modul záporného čísla a sa rovná jeho opačnému kladnému číslu -a. Alebo |a|=a, ak a ≥0 |a|=-a, ak a
Grafy lineárnych funkcií s modulmi sú konštruované: pomocou geometrických transformácií rozšírením definície modulu.
Pravidlo č. 6 Graf funkcie y=|f(x)| sa získa takto: časť grafu y=f(x) ležiaca nad osou O x sa zachová; časť ležiaca pod osou O x je zobrazená symetricky vzhľadom na os O x.
Nakreslite graf funkcie y=-2| x-3|+4 Konštrukt y ₁=| x | Zostavíme y₂= |x - 3 | → paralelný posun o +3 jednotky pozdĺž osi Ox (posun doprava) Zostrojíme y ₃ =+2|x-3| → natiahnuť pozdĺž osi O y 2 krát = 2 y₂ Postavíme y ₄ =-2|x-3| → symetria okolo osi x = - y₃ Zostavíme y₅ =-2|x-3|+4 → paralelný posun o +4 jednotky pozdĺž osi O y (posun nahor) = y ₄ +4
Graf funkcie y =-2|x-3|+4
Graf funkcie y= 3|x|+2 y₁=|x| y₂=3|x|= 3 y₁ → natiahnutie 3-krát y₃=3|x| +2= y₄+2 → posun o 2 jednotky nahor
Pravidlo č.7 Graf funkcie y=f(| x |) získame z grafu funkcie y=f(x) takto: Pre x > 0 je graf funkcie zachovaný a to isté časť grafu je zobrazená symetricky vzhľadom na os O y
Nakreslite graf funkcie y = || x-1 | -2 |
Y₁ = |x| y₂=|x-1| y3= y2-2 y4= |y3| Y=||x-1|-2|
Algoritmus na zostavenie grafu funkcie y=│f(│x│)│ zostrojte graf funkcie y=f(│x│) . potom ponechajte nezmenené všetky časti zostrojeného grafu, ktoré ležia nad osou x. časti umiestnené pod osou x sú zobrazené symetricky okolo tejto osi.
Y=|2|x|-3| Konštrukcia: a) y=2x-3 pre x>0, b) y=-2x-3 pre x Snímka 26
Pravidlo č. 8 Graf závislosti | y|=f(x) získame z grafu funkcie y=f(x), ak sú zachované všetky body, pre ktoré f(x) > 0, a sú tiež symetricky prenesené vzhľadom na os x.
Zostrojte množinu bodov v rovine, ktorej kartezánske súradnice x a y spĺňajú rovnicu |y|=||x-1|-1|.
| y|=||x-1| -1| zostavíme dva grafy 1) y=||x-1|-1| a 2) y =-|| x-1|-1| y₁=|x| y₂=| x-1 | → posun pozdĺž osi Ox doprava o 1 jednotku y₃ = | x -1 |- 1= → posun nadol o 1 jednotku y ₄ = || x-1|- 1| → symetria bodov grafu, pre ktoré y₃ 0 vzhľadom na O x
Graf rovnice |y|=||x-1|-1| získame takto: 1) zostrojíme graf funkcie y=f(x) a necháme nezmenenú tú jeho časť, kde y≥0 2) pomocou symetrie okolo osi Ox zostrojíme ďalšiu časť grafu zodpovedajúcu y
Nakreslite graf funkcie y =|x | - | 2 - x | . Riešenie. Tu sa znamienko modulu objavuje v dvoch rôznych výrazoch a musí sa odstrániť. 1) Nájdite korene submodulárnych výrazov: x=0, 2-x=0, x=2 2) Nastavte znamienka na intervaloch:
Graf funkcie
Záver Téma projektu je jednou z najnáročnejších v kurze matematiky, vzťahuje sa na problémy preberané vo voliteľných predmetoch a študuje sa v triedach pre hĺbkové štúdium kurzu matematiky. Napriek tomu sú takéto úlohy uvedené v druhej časti GIA. Táto práca vám pomôže pochopiť, ako vytvárať grafy s modulmi nielen lineárnych funkcií, ale aj iných funkcií (kvadratické, nepriamo úmerné atď.). Práca pomôže pri príprave na štátnu skúšku a jednotnú štátnu skúšku a umožní vám získať vysoké skóre v matematike.
Literatúra Vilenkin N.Ya. , Zhokhov V.I.. Matematika.“ Učebnica 6. ročníka Moskva. Vydavateľstvo “Mnemosyne”, 2010 Vilenkin N.Ya., Vilenkin L.N., Survillo G.S. a ďalšie. 8. ročník: výchovný. Príručka pre študentov a triedy s pokročilým štúdiom matematiky. - Moskva. Osveta, 2009 Gaidukov I.I. "Absolútna hodnota." Moskva. Osvietenstvo, 1968. Gursky I.P. "Funkcie a grafy." Moskva. Osvietenstvo, 1968. Yashchina N.V. Techniky na vytváranie grafov obsahujúcich moduly. Časopis "Matematika v škole", číslo 3, 1994 Detská encyklopédia. Moskva. “Pedagogika”, 1990. Dynkin E.B., Molchanova S.A. Matematické úlohy. M., “Veda”, 1993. Petrakov I.S. Matematické krúžky v ročníkoch 8.-10. M., "Osvietenie", 1987. Galitsky M.L. a iné Zbierka úloh z algebry pre ročníky 8-9: Učebnica pre študentov a triedy s pokročilým štúdiom matematiky. – 12. vyd. – M.: Vzdelávanie, 2006. – 301 s. Makrychev Yu.N., Mindyuk N.G. Algebra: Doplnkové kapitoly pre školskú učebnicu 9. ročníka: Učebnica pre žiakov škôl a tried s hĺbkovým štúdiom matematiky / Spracoval G.V. – M.: Školstvo, 1997. – 224 s. Sadykina N. Konštrukcia grafov a závislostí obsahujúcich znamienko modulu / Matematika. - č. 33. – 2004. – s.19-21 .. Kostrikina N.P. „Problémy so zvýšenou obtiažnosťou v kurze algebry pre ročníky 7-9“... Moskva: Vzdelávanie, 2008.
Prepis
1 Krajská vedecká a praktická konferencia vzdelávacích a výskumných prác žiakov 6.-11. ročníka „Aplikované a základné otázky matematiky“ Metodické aspekty štúdia matematiky Konštrukcia grafov funkcií s obsahom modulu Gabova Angela Yuryevna, 10. ročník, MOBU „Gymnázium 3 “ Kudymkar, Pikuleva Nadezhda Ivanovna, učiteľka matematiky mestskej vzdelávacej inštitúcie „Gymnasium 3“, Kudymkar Perm, 2016
2 Obsah: Úvod...3 strany I. Hlavná časť...6 strán 1.1Historické pozadie..6 strán 2.Základné definície a vlastnosti funkcií strana 2.1 Kvadratická funkcia..7 strán 2.2 Lineárna funkcia.. .8 str. 2.3 Zlomkovo-racionálna funkcia 8 s. 3. Algoritmy na vytváranie grafov s modulom 9 s. 3.2 Algoritmus na vytváranie grafov lineárnych funkcií s modulom...9 s obsahujúci vo „vnorených moduloch“ vzorec.10 str. 3.4 Algoritmus na zostavovanie grafov funkcií tvaru y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b...13 str funkcia s modulom.14 str. 3.6 Algoritmus vykresľujúci zlomkovú racionálnu funkciu s modulom. 15 str. 4. Zmeny v grafe kvadratickej funkcie v závislosti od umiestnenia znamienka absolútnej hodnoty..17p. II. Záver...26 s. III. Zoznam použitej literatúry a prameňov...27 s. IV. Príloha....28 strán. 2
3 Úvod Konštrukcia grafov funkcií je jednou z najzaujímavejších tém školskej matematiky. Najväčší matematik súčasnosti, Israel Moiseevich Gelfand, napísal: „Proces vytvárania grafov je spôsob transformácie vzorcov a opisov na geometrické obrazy. Tento graf je prostriedkom na videnie vzorcov a funkcií a na sledovanie toho, ako sa tieto funkcie menia. Napríklad, ak je napísané y =x 2, potom okamžite vidíte parabolu; ak y = x 2-4, vidíte parabolu zníženú o štyri jednotky; ak y = -(x 2 4), potom vidíte predchádzajúcu parabolu otočenú nadol. Táto schopnosť okamžite vidieť vzorec a jeho geometrickú interpretáciu je dôležitá nielen pre štúdium matematiky, ale aj pre iné predmety. Je to zručnosť, ktorá vám zostane na celý život, ako napríklad jazda na bicykli, písanie alebo riadenie auta.“ Základy riešenia rovníc s modulmi získali v 6.-7. Túto konkrétnu tému som si vybral, pretože si myslím, že si vyžaduje hlbší a dôkladnejší výskum. Chcem získať viac vedomostí o module čísel, rôznych spôsoboch konštrukcie grafov obsahujúcich znamienko absolútnej hodnoty. Keď je znamienko modulu zahrnuté do „štandardných“ rovníc čiar, parabol a hyperbol, ich grafy sa stanú nezvyčajnými a dokonca krásnymi. Aby ste sa naučili zostavovať takéto grafy, musíte ovládať techniky vytvárania základných obrázkov, ako aj pevne poznať a pochopiť definíciu modulu čísla. V kurze školskej matematiky nie sú grafy s modulom rozoberané dostatočne do hĺbky, preto som si chcel rozšíriť vedomosti o tejto téme a urobiť si vlastný výskum. Bez znalosti definície modulu nie je možné zostaviť ani ten najjednoduchší graf obsahujúci absolútnu hodnotu. Charakteristickým znakom funkčných grafov obsahujúcich výrazy so znamienkom modulu je 3
4 je prítomnosť zlomov v tých bodoch, v ktorých výraz pod znamienkom modulu mení znamienko. Cieľ práce: zvážiť konštrukciu grafu lineárnych, kvadratických a zlomkovo racionálnych funkcií obsahujúcich premennú pod znamienkom modulu. Ciele: 1) Preštudovať si literatúru o vlastnostiach absolútnej hodnoty lineárnych, kvadratických a zlomkových racionálnych funkcií. 2) Preskúmajte zmeny vo funkčných grafoch v závislosti od umiestnenia znamienka absolútnej hodnoty. 3) Naučte sa kresliť rovnice. Predmet štúdia: grafy lineárnych, kvadratických a zlomkovo racionálnych funkcií. Predmet výskumu: zmeny v grafe lineárnych, kvadratických a zlomkovo racionálnych funkcií v závislosti od umiestnenia znamienka absolútnej hodnoty. Praktický význam mojej práce spočíva v: 1) využití nadobudnutých vedomostí o tejto téme, ako aj ich prehĺbení a aplikovaní na ďalšie funkcie a rovnice; 2) vo využívaní bádateľských zručností v ďalších vzdelávacích aktivitách. Relevantnosť: Úlohy na vytváranie grafov sú tradične jednou z najťažších tém v matematike. Naši absolventi sa stretávajú s problémom úspešného absolvovania štátnej skúšky a jednotnej štátnej skúšky. Výskumný problém: zostrojenie grafov funkcií obsahujúcich znamienko modulu z druhej časti GIA. Výskumná hypotéza: použitie metodiky riešenia úloh v druhej časti GIA, vyvinutej na základe všeobecných metód na zostavovanie grafov funkcií obsahujúcich znamienko modulu, umožní študentom riešiť tieto úlohy 4
5 na vedomom základe zvoliť najracionálnejší spôsob riešenia, aplikovať rôzne spôsoby riešenia a úspešnejšie absolvovať štátnu skúšku. Metódy výskumu použité v práci: 1. Analýza matematickej literatúry a internetových zdrojov na túto tému. 2. Reprodukčná reprodukcia študovaného materiálu. 3. Kognitívna a vyhľadávacia činnosť. 4.Analýza a porovnávanie údajov pri hľadaní riešení problémov. 5. Stanovenie hypotéz a ich overenie. 6. Porovnanie a zovšeobecnenie matematických faktov. 7. Analýza získaných výsledkov. Pri písaní tejto práce boli použité tieto zdroje: internetové zdroje, testy OGE, matematická literatúra. 5
6 I. Hlavná časť 1.1 Historické pozadie. V prvej polovici 17. storočia sa začala objavovať myšlienka funkcie ako závislosti jednej premennej na druhej. Francúzski matematici Pierre Fermat () a Rene Descartes () si teda predstavovali funkciu ako závislosť ordináty bodu na krivke na jej úsečke. A anglický vedec Isaac Newton () chápal funkciu ako súradnicu pohybujúceho sa bodu meniacu sa v závislosti od času. Pojem „funkcia“ (z latinského „funkcia exekucia, dosiahnutie“) prvýkrát zaviedol nemecký matematik Gottfried Leibniz(). Funkciu spájal s geometrickým obrazom (grafom funkcie). Následne švajčiarsky matematik Johann Bernoulli() a člen Akadémie vied v Petrohrade, slávny matematik 18. storočia Leonard Euler(), považovali funkciu za analytický výraz. Euler tiež vo všeobecnosti chápe funkciu ako závislosť jednej premennej od druhej. Slovo „modul“ pochádza z latinského slova „modulus“, čo znamená „merať“. Ide o polysémantické slovo (homonymum), ktoré má mnoho významov a používa sa nielen v matematike, ale aj v architektúre, fyzike, technike, programovaní a iných exaktných vedách. V architektúre je to počiatočná jednotka merania stanovená pre danú architektonickú štruktúru a používa sa na vyjadrenie viacerých pomerov jej základných prvkov. V technike ide o pojem používaný v rôznych oblastiach techniky, ktorý nemá univerzálny význam a slúži na označenie rôznych koeficientov a veličín, napríklad modul záberu, modul pružnosti atď. 6
7 Objemový modul (vo fyzike) je pomer normálového napätia v materiáli k relatívnemu predĺženiu. 2. Základné definície a vlastnosti funkcií Funkcia je jedným z najdôležitejších matematických pojmov. Funkcia je závislosť premennej y od premennej x tak, že každá hodnota premennej x zodpovedá jedinej hodnote premennej y. Metódy na určenie funkcie: 1) analytická metóda (funkcia je špecifikovaná pomocou matematického vzorca); 2) tabuľková metóda (funkcia je špecifikovaná pomocou tabuľky); 3) deskriptívna metóda (funkcia je špecifikovaná slovným popisom); 4) grafická metóda (funkcia je špecifikovaná pomocou grafu). Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorých úsečky sa rovnajú hodnote argumentu a súradnice sa rovnajú zodpovedajúcim hodnotám funkcie. 2.1 Kvadratická funkcia Funkcia definovaná vzorcom y = ax 2 + v + c, kde x a y sú premenné a parametre a, b a c sú ľubovoľné reálne čísla a a = 0, sa nazýva kvadratická. Graf funkcie y=ax 2 +in+c je parabola; os symetrie paraboly y=ax 2 +in+c je priamka, pre a>0 smerujú „vetvy“ paraboly nahor, pre a<0 вниз. Чтобы построить график квадратичной функции, нужно: 1) найти координаты вершины параболы и отметить её в координатной плоскости; 2) построить ещё несколько точек, принадлежащих параболе; 3) соединить отмеченные точки плавной линией.,. 2.2Линейная функция функция вида 7
8 (pre funkcie jednej premennej). Hlavná vlastnosť lineárnych funkcií: prírastok funkcie je úmerný prírastku argumentu. To znamená, že funkcia je zovšeobecnením priamej úmernosti. Graf lineárnej funkcie je priamka, z čoho pochádza aj jej názov. Ide o reálnu funkciu jednej reálnej premennej. 1) Keď, priamka zviera ostrý uhol s kladným smerom osi x. 2) Keď, priamka tvorí tupý uhol s kladným smerom osi x. 3) je ordinátový ukazovateľ priesečníka priamky s ordinátnou osou. 4) Keď, priamka prechádza počiatkom. , 2.3 Zlomkovo-racionálna funkcia je zlomok, ktorého čitateľ a menovateľ sú polynómy. Má tvar kde, polynómy v ľubovoľnom počte premenných. Špeciálnym prípadom sú racionálne funkcie jednej premennej:, kde a sú polynómy. 1) Akýkoľvek výraz, ktorý možno získať z premenných pomocou štyroch aritmetických operácií, je racionálna funkcia. 8
9 2) Množina racionálnych funkcií je uzavretá aritmetickými operáciami a operáciou skladania. 3) Každá racionálna funkcia môže byť reprezentovaná ako súčet jednoduchých zlomkov - používa sa pri analytickej integrácii. , 3. Algoritmy na zostavovanie grafov s modulom 3.1 Definícia modulu Modul reálneho čísla a je samotné číslo a, ak je nezáporné a číslo oproti a, ak je a záporné. a = 3.2 Algoritmus na zostavenie grafu lineárnej funkcie s modulom Na zostavenie grafov funkcií y = x potrebujete vedieť, že pre kladné x máme x = x. To znamená, že pre kladné hodnoty argumentu sa graf y= x zhoduje s grafom y=x, to znamená, že táto časť grafu je lúč vychádzajúci z počiatku pod uhlom 45 stupňov k osi x. . Pri x< 0 имеем x = -x; значит, для отрицательных x график y= x совпадает с биссектрисой второго координатного угла. Впрочем, вторую половину графика (для отрицательных X) легко получить из первой, если заметить, что функция y= x чётная, так как -a = a. Значит, график функции y= x симметричен относительно оси Oy, и вторую половину графика можно приобрести, отразив относительно оси ординат часть, начерченную для положительных x. Получается график:y= x 9
10 Na zostrojenie berieme body (-2; 2) (-1; 1) (0; 0) (1; 1) (2; 2). Teraz zostrojme graf y= x-1 Ak A je bod na grafe y= x so súradnicami (a; a), potom bude bod na grafe y= x-1 s rovnakou hodnotou y-y. byť bod A1(a+1; a). Tento bod druhého grafu možno získať z bodu A(a; a) prvého grafu posunutím rovnobežne s osou Ox doprava. To znamená, že celý graf funkcie y= x-1 získame z grafu funkcie y= x posunutím rovnobežne s osou Ox doprava o 1. Zostrojme grafy: y= x-1 Zostrojíme , získajte body (-2; 3) (-1; 2) (0; 1) (1; 0) (2; 1). 3.3 Zostrojenie grafov funkcií obsahujúcich „vnorené moduly“ vo vzorci Uvažujme konštrukčný algoritmus na konkrétnom príklade Zostrojte graf funkcie: 10
11 y=i-2-ix+5ii 1. Zostavte graf funkcie. 2. Zobrazíme graf dolnej polroviny smerom nahor symetricky vzhľadom na os OX a získame graf funkcie. jedenásť
12 3. Graf funkcie zobrazíme smerom nadol symetricky vzhľadom na os OX a získame graf funkcie. 4. Zobrazíme graf funkcie smerom nadol symetricky vzhľadom na os OX a získame graf funkcie 5. Zobrazíme graf funkcie vzhľadom na os OX a získame graf. 12
13 6. Výsledkom je, že graf funkcie vyzerá takto 3.4. Algoritmus na zostavenie grafov funkcií tvaru y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b. V predchádzajúcom príklade bolo celkom jednoduché odhaliť znamienka modulu. Ak existuje viac súčtov modulov, potom je problematické zvážiť všetky možné kombinácie znakov submodulárnych výrazov. Ako v tomto prípade zostrojiť graf funkcie? Všimnite si, že graf je prerušovaná čiara s vrcholmi v bodoch s úsečkami -1 a 2. Pri x = -1 a x = 2 sa submodulárne výrazy rovnajú nule. V praxi sme sa priblížili k pravidlu na zostavovanie takýchto grafov: Graf funkcie tvaru y = a 1 x x 1 + a 2 x x a n x x n + ax + b je prerušovaná čiara s nekonečnými krajnými väzbami. Na zostrojenie takejto prerušovanej čiary stačí poznať všetky jej vrcholy (úsečky vrcholov sú nuly submodulárnych výrazov) a jeden riadiaci bod na ľavom a pravom nekonečnom väzbe. 13
14 Problém. Nakreslite graf funkcie y = x + x 1 + x + 1 a nájdite jej najmenšiu hodnotu. Riešenie: 1. Nuly submodulárnych výrazov: 0; -1; Vrcholy lomenej čiary (0; 2); (-13); (1; 3 (do rovnice dosadíme nuly submodulárnych výrazov) 3 Kontrolný bod vpravo (2; 6), vľavo (-2; 6). Zostavíme graf (obr. 7), najmenšia hodnota funkcie je Algoritmus na zostrojenie grafu kvadratickej funkcie s modulom Kresliť algoritmy na prevod grafov funkcií. 1. Zostrojenie grafu funkcie y= f(x). Podľa definície modulu je táto funkcia rozdelená na množinu dvoch funkcií. V dôsledku toho graf funkcie y= f(x) pozostáva z dvoch grafov: y= f(x) v pravej polrovine, y= f(-x) v ľavej polrovine. Na základe toho je možné formulovať pravidlo (algoritmus). Graf funkcie y= f(x) získame z grafu funkcie y= f(x) takto: pri x 0 je graf zachovaný a pri x< 0полученная часть графика отображается симметрично относительно оси ОУ. 2.Построение графика функции y= f(x). а). Строим график функции y= f(x). б). Часть графика y= f(x), лежащая над осью ОХ, сохраняется, часть его, лежащая под осью ОХ, отображается симметрично относительно оси ОХ. 14
15 3. Ak chcete zostaviť graf funkcie y= f(x), musíte najskôr zostaviť graf funkcie y= f(x) pre x> 0, potom pre x< 0 построить изображение, симметричное ему относительно оси ОУ, а затем на интервалах, где f(x) <0,построить изображение, симметричное графику y= f(x) относительно оси ОХ. 4.Для построения графиков вида y = f(x)достаточно построить график функции y= f(x) для тех х из области определения, при которых f(х) 0, и отобразить полученную часть графика симметрично относительно оси абсцисс. Пример Построим график функции у = х 2 6х +5. Сначала построим параболу у= х 2 6х +5. Чтобы получить из неё график функции у = х 2-6х + 5, нужно каждую точку параболы с отрицательной ординатой заменить точкой с той же абсциссой, но с противоположной (положительной) ординатой. Иными словами, часть параболы, расположенную ниже оси Ох, нужно заменить линией, ей симметричной относительно оси Ох (Рис.1). Рис Алгоритм построения графика дробно рациональной функции с модулем 1. Начнем с построения графика В основе его лежит график функции и все мы знаем, как он выглядит: Теперь построим график 15
16 Aby ste získali tento graf, stačí posunúť predtým získaný graf o tri jednotky doprava. Všimnite si, že ak by menovateľ zlomku obsahoval výraz x + 3, posunuli by sme graf doľava: Teraz musíme vynásobiť všetky súradnice dvoma, aby sme dostali graf funkcie dve jednotky: Posledná vec, ktorú musíme urobiť, je zostaviť graf danej funkcie, ak je uzavretá pod znamienkom modulu. Aby sme to dosiahli, odrážame symetricky nahor celú časť grafu, ktorej súradnice sú záporné (tá časť, ktorá leží pod osou x): Obr. 4 16
17 4.Zmeny v grafe kvadratickej funkcie v závislosti od umiestnenia znamienka absolútnej hodnoty. Zostrojte graf funkcie y = x 2 - x -3 1) Keďže x = x pri x 0, požadovaný graf sa zhoduje s parabolou y = 0,25 x 2 - x - 3. Ak x<0, то поскольку х 2 = х 2, х =-х и требуемый график совпадает с параболой у=0,25 х 2 + х) Если рассмотрим график у=0,25 х 2 - х - 3 при х 0 и отобразить его относительно оси ОУ мы получим тот же самый график. (0; - 3) координаты точки пересечения графика функции с осью ОУ. у =0, х 2 -х -3 = 0 х 2-4х -12 = 0 Имеем, х 1 = - 2; х 2 = 6. (-2; 0) и (6; 0) - координаты точки пересечения графика функции с осью ОХ. Если х<0, ордината точки требуемого графика такая же, как и у точки параболы, но с положительной абсциссой, равной х. Такие точки симметричны относительно оси ОУ(например, вершины (2; -4) и -(2; -4). Значит, часть требуемого графика, соответствующая значениям х<0, симметрична относительно оси ОУ его же части, соответствующей значениям х>0. b) Preto dokončím konštrukciu pre x<0 часть графика, симметричную построенной относительно оси ОУ. 17
18 Obr. 4 Graf funkcie y = f (x) sa zhoduje s grafom funkcie y = f (x) na množine nezáporných hodnôt argumentu a je k nemu symetrický vzhľadom na os argumentu. OU na množine záporných hodnôt argumentu. Dôkaz: Ak x 0, potom f (x) = f (x), t.j. na množine nezáporných hodnôt argumentu sa grafy funkcií y = f (x) a y = f (x) zhodujú. Pretože y = f (x) je párna funkcia, jej graf je symetrický vzhľadom na operačný zosilňovač. Graf funkcie y = f (x) teda možno získať z grafu funkcie y = f (x) takto: 1. zostrojte graf funkcie y = f (x) pre x>0; 2. Pre x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Вывод: Для построения графика функции у = f (х) 1. построить график функции у = f(х) для х>0; 2. Pre x<0, симметрично отразить построенную часть относительно оси ОУ. Построить график функции у = х 2-2х Освободимся от знака модуля по определению Если х 2-2х 0, т.е. если х 0 и х 2, то х 2-2х = х 2-2х Если х 2-2х<0, т.е. если 0<х< 2, то х 2-2х =- х 2 + 2х Видим, что на множестве х 0 и х 2 графики функции у = х 2-2х и у = х 2-2х совпадают, а на множестве (0;2) графики функции у = -х 2 + 2х и у = х 2-2х совпадают. Построим их. График функции у = f (х) состоит из части графика функции у = f(х) при у?0 и симметрично отражённой части у = f(х) при у <0 относительно оси ОХ. Построить график функции у = х 2 - х -6 1) Если х 2 - х -6 0, т.е. если х -2 и х 3, то х 2 - х -6 = х 2 - х
19 Ak x 2 - x -6<0, т.е. если -2<х< 3, то х 2 - х -6 = -х 2 + х +6. Построим их. 2) Построим у = х 2 - х -6. Нижнюю часть графика симметрично отбражаем относительно ОХ. Сравнивая 1) и 2), видим что графики одинаковые. Работа на тетрадях. Докажем, что график функции у = f (х) совпадает с графиком функции у = f (х) для f(х) >0 a symetricky odrazená časť y = f(x) na y<0 относительно оси ОХ. Действительно, по определению абсолютной величины, можно данную функцию рассмотреть как совокупность двух линий: у = f(х), если f(х) 0; у = - f(х), если f(х) <0 Для любой функции у = f(х), если f(х) >0, potom f (x) = f (x), čo znamená, že v tejto časti sa graf funkcie y = f (x) zhoduje s grafom samotnej funkcie y = f (x). Ak f(x)<0, то f (х) = - f(х),т.е. точка (х; - f(х)) симметрична точке (х; f (х)) относительно оси ОХ. Поэтому для получения требуемого графика отражаем симметрично относительно оси ОХ "отрицательную" часть графика у = f(х). Вывод: действительно для построения графика функции у = f(х) достаточно: 1.Построить график функции у = f(х) ; 2. На участках, где график расположен в нижней полуплоскости, т.е., где f(х) <0, симметрично отражаем относительно оси абсцисс. (Рис.5) 19
20 Obr.5 Záver: Zostrojenie grafu funkcie y= f(x) 1. Zostrojte graf funkcie y=f(x) ; 2. V oblastiach, kde sa graf nachádza v dolnej polrovine, t.j. kde f(x)<0, строим кривые, симметричные построенным графикам относительно оси абсцисс. (Рис.6, 7.) 20
21 Výskumná práca na zostrojení grafov funkcie y = f (x) Pomocou definície absolútnej hodnoty a predtým diskutovaných príkladov zostrojíme grafy funkcie: y = 2 x - 3 y = x 2-5 x y = x 2 -2 a vyvodiť závery. Na zostavenie grafu funkcie y = f (x) je potrebné: 1. Zostrojiť graf funkcie y = f (x) pre x>0. 2. Zostrojte druhú časť grafu, t.j. odzrkadľujte zostrojený graf symetricky vzhľadom na operačný zosilňovač, pretože Táto funkcia je párna. 3. Preveďte rezy výsledného grafu umiestnené v dolnej polrovine na hornú polrovinu symetricky k osi OX. Zostrojte graf funkcie y = 2 x - 3 (1. spôsob stanovenia modulu) 1. Zostrojte y = 2 x - 3, pre 2 x - 3 > 0, x >1,5 t.j. X< -1,5 и х>1,5 a) y = 2x - 3, pre x>0 b) pre x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. 2. Строим у = -2 х + 3, для 2 х - 3 < 0. т.е. -1,5<х<1,5 а) у = -2х + 3, для х>0 b) pre x<0, симметрично отражаем построенную часть относительно оси ОУ. У = 2 х - 3 1) Строим у = 2х-3, для х>0. 2) Zostrojíme priamku, symetrickú k tej, ktorá je skonštruovaná vzhľadom na os operačného zosilňovača. 3) Zobrazujem výrezy grafu umiestnené v dolnej polrovine symetricky vzhľadom na os OX. Pri porovnaní oboch grafov vidíme, že sú rovnaké. 21
22 Príklady úloh Príklad 1. Uvažujme graf funkcie y = x 2 6x +5. Keďže x je na druhú, bez ohľadu na znamienko čísla x, po umocnení bude kladné. Z toho vyplýva, že graf funkcie y = x 2-6x +5 bude zhodný s grafom funkcie y = x 2-6x +5, t.j. graf funkcie, ktorá neobsahuje znamienko absolútnej hodnoty (obr. 2). Obr.2 Príklad 2. Uvažujme graf funkcie y = x 2 6 x +5. Pomocou definície modulu čísla nahradíme vzorec y = x 2 6 x +5 Teraz máme čo do činenia s nám známym priraďovaním po častiach. Zostavíme graf takto: 1) zostavíme parabolu y = x 2-6x +5 a zakrúžkujeme časť, ktorá je 22
23 zodpovedá nezáporným hodnotám x, t.j. časť umiestnená napravo od osi Oy. 2) v rovnakej rovine súradníc zostrojte parabolu y = x 2 +6x +5 a zakrúžkujte časť, ktorá zodpovedá záporným hodnotám x, t.j. časť umiestnená naľavo od osi Oy. Zakrúžkované časti parabol spolu tvoria graf funkcie y = x 2-6 x +5 (obr. 3). Obr.3 Príklad 3. Uvažujme graf funkcie y = x 2-6 x +5. Pretože graf rovnice y = x 2 6x +5 je rovnaký ako graf funkcie bez znamienka modulu (rozoberané v príklade 2), z toho vyplýva, že graf funkcie y = x 2 6 x +5 je zhodný. ku grafu funkcie y = x 2 6 x +5, uvažovanej v príklade 2 (obr. 3). Príklad 4. Zostrojme graf funkcie y = x 2 6x +5. Aby sme to urobili, zostrojme graf funkcie y = x 2-6x. Aby ste z neho získali graf funkcie y = x 2-6x, musíte nahradiť každý bod paraboly so zápornou ordinátou bodom s rovnakou úsečkou, ale s opačnou (kladnou) ordinátou. Inými slovami, časť paraboly, ktorá sa nachádza pod osou x, musí byť nahradená čiarou, ktorá je k nej symetrická vzhľadom na os x. Pretože potrebujeme zostaviť graf funkcie y = x 2-6x +5, potom graf funkcie, ktorú sme uvažovali y = x 2-6x stačí zdvihnúť pozdĺž osi y o 5 jednotiek nahor (obr. 4 ). 23
24 Obr.4 Príklad 5. Nakreslíme funkciu y = x 2-6x+5. Využijeme na to známu funkciu po častiach. Nájdime nuly funkcie y = 6x +5 6x + 5 = 0 at. Uvažujme dva prípady: 1) Ak, potom rovnica bude mať tvar y = x 2 6x -5. Zostrojme túto parabolu a zakrúžkujme časť kde. 2) Ak, potom rovnica má tvar y = x 2 + 6x +5. Postavme si túto parabolu a zakrúžkujme tú jej časť, ktorá sa nachádza naľavo od bodu so súradnicami (obr. 5). 24
25 Obr.5 Príklad6. Zostrojme graf funkcie y = x 2 6 x +5. Aby sme to urobili, zostavíme graf funkcie y = x 2-6 x +5. Tento graf sme vytvorili v príklade 3. Keďže naša funkcia je úplne pod znamienkom modulu, na zostavenie grafu funkcie y = x 2 6 x +5 potrebujeme každý bod grafu funkcie y = x 2 6 x + 5 so zápornou ordinátou treba nahradiť bodom s rovnakou úsečkou, ale s opačnou (kladnou) ordinátou, t.j. časť paraboly, ktorá sa nachádza pod osou Ox, musí byť nahradená čiarou symetrickou k nej vzhľadom na os Ox (obr. 6). Obr.6 25
26 II. Záver „Matematické informácie sa dajú zručne a užitočne využiť len vtedy, ak sú zvládnuté tvorivo, aby žiak sám videl, ako by k nim mohol prísť sám.“ A.N. Kolmogorov. Tieto problémy veľmi zaujímajú žiakov deviateho ročníka, keďže sú veľmi časté v testoch OGE. Schopnosť zostaviť dátové grafy funkcií vám umožní úspešnejšie zložiť skúšku. Francúzski matematici Pierre Fermat () a Rene Descartes () si predstavovali funkciu ako závislosť ordináty bodu od krivky na jej úsečke. A anglický vedec Isaac Newton () chápal funkciu ako súradnicu pohybujúceho sa bodu meniacu sa v závislosti od času. 26
27 III Zoznam odkazov a zdrojov 1. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Zbierka úloh z algebry pre ročníky 8-9: Učebnica. manuál pre žiakov školy. a pokročilé triedy študoval Matematika 2. vyd. M.: Osvietenie, Dorofeev G.V. Algebra. Funkcie. Analýza dát. 9. ročník: m34 Vzdelávacie. pre všeobecnovzdelávacie štúdium. zriadenie 2. vyd., stereotyp. M.: Drop, Solomonik V.S. Zbierka otázok a problémov z matematiky M.: „Vyššia škola“, Yashchenko I.V. GIA. Matematika: štandardné možnosti skúšok: O možnostiach.m.: “Národné vzdelávanie”, s. 5. Jaščenko I.V. OGE. Matematika: štandardné možnosti skúšky: O možnostiach.m.: “Národné vzdelávanie”, s. 6. Jaščenko I.V. OGE. Matematika: štandardné možnosti skúšky: O opciách.m.: “Národné vzdelávanie”, s
28 Príloha 28
29 Príklad 1. Nakreslite graf funkcie y = x 2 8 x Riešenie. Určme paritu funkcie. Hodnota pre y(-x) je rovnaká ako hodnota pre y(x), takže táto funkcia je párna. Potom je jeho graf symetrický okolo osi Oy. Nakreslíme funkciu y = x 2 8x + 12 pre x 0 a symetricky zobrazíme graf vzhľadom na Oy pre záporné x (obr. 1). Príklad 2. Nasledujúci graf tvaru y = x 2 8x To znamená, že graf funkcie získame nasledovne: zostavte graf funkcie y = x 2 8x + 12, časť grafu ponechajte nad os Ox nezmenená a časť grafu, ktorá leží pod osou x a je symetricky zobrazená vzhľadom na os Ox (obr. 2). Príklad 3. Na vykreslenie grafu funkcie y = x 2 8 x + 12 sa vykoná kombinácia transformácií: y = x 2 8x + 12 y = x 2 8 x + 12 y = x 2 8 x Odpoveď: Obrázok 3. Príklad 4 Výraz pod znamienkom modulu, znamienko zmeny v bode x=2/3. Pri x<2/3 функция запишется так: 29
30 Pre x>2/3 bude funkcia napísaná takto: To znamená, že bod x=2/3 rozdeľuje našu súradnicovú rovinu na dve oblasti, z ktorých v jednej (vpravo) zostavujeme funkciu a v druhej (vľavo) zostavíme graf funkcie: Príklad 5 Ďalej Graf je tiež prerušený, ale má dva body zlomu, pretože obsahuje dva výrazy pod znamienkami modulu: Pozrime sa, v ktorých bodoch menia znamienko submodulárne výrazy: Poďme usporiadať znamienka pre submodulárne výrazy na súradnicovej čiare: 30
31 Moduly rozšírime na prvom intervale: Na druhom intervale: Na treťom intervale: Teda na intervale (- ; 1,5] máme graf zapísaný prvou rovnicou, na intervale graf zapísaný druhou rovnicou a v intervale)
