Všetky vzorce sú v aritmetickej postupnosti. Aritmetická postupnosť. Ďalší typ číselnej postupnosti je geometrický
Matematika má svoju vlastnú krásu, rovnako ako maľba a poézia.
Ruský vedec, mechanik N.E. Žukovskij
Problémy súvisiace s pojmom aritmetická postupnosť sú veľmi častými problémami pri prijímacích skúškach z matematiky. Na úspešné vyriešenie týchto problémov je potrebné dobre poznať vlastnosti aritmetickej postupnosti a mať určité zručnosti v ich aplikácii.
Najprv si pripomenieme hlavné vlastnosti aritmetickej postupnosti a predstavíme najdôležitejšie vzorce, súvisiace s týmto konceptom.
Definícia. Poradie čísel, v ktorom sa každý nasledujúci výraz líši od predchádzajúceho výrazu rovnakým číslom, sa nazýva aritmetická postupnosť. Navyše číslonazýva sa to rozdiel v progresii.
Pre aritmetickú postupnosť platia nasledujúce vzorce
, (1)
kde . Vzorec (1) sa nazýva vzorec pre všeobecný termín aritmetickej postupnosti a vzorec (2) je hlavnou vlastnosťou aritmetickej postupnosti: každý člen postupnosti sa zhoduje s aritmetickým priemerom susedných pojmov a.
Všimnite si, že práve kvôli tejto vlastnosti sa uvažovaná postupnosť nazýva „aritmetika“.
Vyššie uvedené vzorce (1) a (2) sú zovšeobecnené nasledovne:
(3)
Na výpočet sumy prvý členovia aritmetickej postupnostizvyčajne sa používa vzorec
(5) kde a.
Berúc do úvahy vzorec (1), potom vzorec (5) znamená
Ak označíme, potom
kde . Pretože potom vzorce (7) a (8) sú zovšeobecnením zodpovedajúcich vzorcov (5) a (6).
Najmä vzorec (5) naznačuje, čo
Vlastnosť aritmetickej postupnosti, formulovaná pomocou nasledujúcej vety, patrí medzi málo známu väčšine študentov.
Veta. Ak potom
Dôkaz. Ak potom
Veta je dokázaná.
Napríklad , pomocou vety, to sa dá ukázať
Prejdeme k zváženiu typických príkladov riešenia problémov na tému „Aritmetická postupnosť“.
Príklad 1. Nech a. Nájsť .
Riešenie. Použitím vzorca (6) získame. Od a potom, alebo.
Príklad 2. Nech je to trikrát viac a pri delení podľa kvocientu dostaneme 2 a zvyšok 8. Určte a.
Riešenie. Podmienka príkladu implikuje sústavu rovníc
Pretože ,, a potom zo systému rovníc (10) dostaneme
Riešením tohto systému rovníc je a.
Príklad 3. Zistite, či a.
Riešenie. Podľa vzorca (5) máme alebo. Použitím vlastnosti (9) však získame.
Od a potom z rovnosti nasleduje rovnica alebo.
Príklad 4. Zistite, či.
Riešenie.Podľa vzorca (5) máme
Pomocou vety však možno písať
Z toho a zo vzorca (11) dostaneme.
Príklad 5. Vzhľadom na :. Nájsť .
Riešenie. Odvtedy. Avšak preto.
Príklad 6. Nechaj, a. Nájsť .
Riešenie. Pomocou vzorca (9) získame. Preto ak, potom alebo.
Od a potom tu máme systém rovníc
Riešenie, ktoré dostaneme a.
Prirodzený koreň rovnice je .
Príklad 7. Zistite, či a.
Riešenie. Pretože to máme podľa vzorca (3), potom tvrdenie o probléme znamená systém rovníc
Ak nahradíte výrazomdo druhej rovnice systému, potom dostaneme alebo.
Korene kvadratickej rovnice sú a.
Uvažujme dva prípady.
1. Nechajme teda. Od a potom.
V tomto prípade podľa vzorca (6) máme
2. Ak, potom a
Odpoveď: a.
Príklad 8. Je známe, že a. Nájsť .
Riešenie. Berúc do úvahy vzorec (5) a podmienku príkladu, zapíšeme a.
Preto nasleduje systém rovníc
Ak vynásobíme prvú rovnicu systému 2 a potom ju pridáme k druhej rovnici, dostaneme
Podľa vzorca (9) máme... V tejto súvislosti z (12) vyplýva alebo.
Od a potom.
Odpoveď:.
Príklad 9. Zistite, či a.
Riešenie. Pretože a podľa podmienok, potom alebo.
Zo vzorca (5) je to známe, čo . Odvtedy.
Preto, tu máme sústavu lineárnych rovníc
Preto dostávame a. S prihliadnutím na vzorec (8) píšeme.
Príklad 10. Vyriešte rovnicu.
Riešenie. Z danej rovnice to vyplýva. Predpokladajme, že ,, a. V tomto prípade .
Podľa vzorca (1) môžete písať resp.
Potom má rovnica (13) jediný vhodný koreň.
Príklad 11. Nájdite maximálnu hodnotu za predpokladu, že a.
Riešenie. Pretože uvažovaná aritmetická progresia klesá. V tomto ohľade výraz nadobúda maximálnu hodnotu, ak je číslom minimálneho kladného členu progresie.
Používame vzorec (1) a skutočnosť, ako. Potom dostaneme to alebo.
Odvtedy potom tiež ... Avšak v tejto nerovnostinajväčšie prirodzené číslo, preto.
Ak sú hodnoty, a sú nahradené vo vzorci (6), potom dostaneme.
Odpoveď:.
Príklad 12. Určte súčet všetkých dvojciferných prirodzených čísel, ktoré po delení 6 dajú zvyšok 5.
Riešenie. Označme množinou všetkých dvojciferných prirodzených čísel, t.j. ... Ďalej zostrojíme podmnožinu pozostávajúcu z prvkov (čísel) množiny, ktoré po delení číslom 6 dajú zvyšku 5.
Nie je ťažké to založiť, čo . Očividne že prvky súborutvoria aritmetickú postupnosť, v ktorom a.
Aby sme stanovili mohutnosť (počet prvkov) sady, predpokladáme to. Pretože a potom zo vzorca (1) vyplýva alebo. Ak vezmeme do úvahy vzorec (5), dostaneme.
Vyššie uvedené príklady riešenia problémov v žiadnom prípade nemôžu tvrdiť, že sú vyčerpávajúce. Tento článok je napísaný na základe analýzy moderných metód riešenia typických problémov na danú tému. Na hlbšie štúdium metód riešenia problémov spojených s aritmetickou progresiou je vhodné pozrieť sa na zoznam odporúčanej literatúry.
1. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov na vysoké školy technické / Ed. M.I. Skanavi. - M.: Mier a vzdelanie, 2013- 608 s.
2. Suprun V.P. Matematika pre študentov stredných škôl: dodatočné časti školských osnov. - M.: Lenand / URSS, 2014- 216 s.
3. Medynsky M.M. Kompletný kurz elementárnej matematiky v úlohách a cvičeniach. Kniha 2: Číselné postupnosti a postupnosti. - M.: Edithus, 2015- 208 s.
Stále máte otázky?
Ak chcete získať pomoc od tútora - zaregistrujte sa.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Typ lekcie: učenie sa nového materiálu.
Ciele lekcie:
- rozšírenie a prehĺbenie predstáv študentov o problémoch riešených pomocou aritmetickej postupnosti; organizácia vyhľadávacích aktivít študentov pri odvodzovaní vzorca pre súčet prvých n členov aritmetickej postupnosti;
- rozvoj zručností samostatne získavať nové znalosti, využívať už získané znalosti na dosiahnutie stanovenej úlohy;
- rozvoj túžby a potreby zovšeobecniť získané skutočnosti, rozvoj nezávislosti.
Úlohy:
- zovšeobecniť a systematizovať existujúce znalosti na tému „Aritmetická postupnosť“;
- odvodiť vzorce na výpočet súčtu prvých n termínov aritmetickej postupnosti;
- naučiť sa používať získané vzorce pri riešení rôznych problémov;
- upriamiť pozornosť študentov na poradie akcií pri zisťovaní hodnoty číselného výrazu.
Vybavenie:
- karty so zadaniami pre prácu v skupinách a dvojiciach;
- hodnotiaci dokument;
- prezentácia„Aritmetická postupnosť“.
I. Aktualizácia základných znalostí.
1. Samostatná práca vo dvojiciach.
1. možnosť:
Uveďte definíciu aritmetického postupu. Zapíšte si opakujúci sa vzorec, ktorý definuje aritmetický postup. Dobrý deň, príklad aritmetickej postupnosti a uveďte jej rozdiel.
2. možnosť:
Napíšte vzorec pre n -tý člen aritmetickej postupnosti. Nájdite 100. člen aritmetickej postupnosti ( a n}: 2, 5, 8 …
V tomto čase dvaja študenti na zadnej strane tabule pripravujú odpovede na rovnaké otázky.
Študenti hodnotia prácu partnera proti tabuli. (Listy s odpoveďami sa odovzdávajú).
2. Herný moment.
Cvičenie 1.
Učiteľ. Vymyslel som určitý aritmetický postup. Stačí mi položiť dve otázky, aby ste po odpovediach rýchlo pomenovali 7. termín tejto postupnosti. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15 ...)
Otázky študentov.
- Aký je šiesty člen v progresii a aký je rozdiel?
- Aký je ôsmy člen v progresii a aký je rozdiel?
Ak už nie sú žiadne otázky, učiteľ ich môže stimulovať - „zákaz“ na d (rozdiel), to znamená, že nie je dovolené pýtať sa, aký je rozdiel. Môžete si položiť otázky: aký je 6. termín progresie a aký je 8. termín postupu?
Úloha 2.
Na tabuli je napísaných 20 čísel: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.
Učiteľ stojí chrbtom k tabuli. Študenti zavolajú na číslo čísla a učiteľ okamžite zavolá na samotné číslo. Vysvetlite, ako to robím?
Učiteľ si pamätá vzorec pre n -tý termín a n = 3n - 2 a nahradením daných hodnôt n nájde zodpovedajúce hodnoty a n.
II. Vyhlásenie o probléme vzdelávania.
Navrhujem vyriešiť starodávny problém z 2. tisícročia pred n. L., Ktorý sa nachádza v egyptských papyrusoch.
Úloha:„Nech sa vám hovorí: rozdeľte 10 odmeriek jačmeňa medzi 10 ľudí, rozdiel medzi každou osobou a jej susedom sa rovná 1/8 pomeru.“
- Ako táto úloha súvisí s témou aritmetickej postupnosti? (Každý ďalší dostane o 1/8 miery viac, čo znamená rozdiel d = 1/8, 10 ľudí, čo znamená n = 10.)
- Čo podľa vás znamená číslo 10? (Súčet všetkých členov postupu.)
- Čo ešte potrebujete vedieť, aby bolo rozdelenie jačmeňa jednoduché a jednoduché podľa stavu úlohy? (Prvý termín v postupe.)
Cieľ lekcie- získanie závislosti súčtu členov postupu od ich počtu, prvého členu a rozdielu a kontrola, či bol problém v dávnych dobách vyriešený správne.
Pred vyvodením záveru vzorca sa pozrime, ako problém vyriešili starovekí Egypťania.
A vyriešili to nasledovne:
1) 10 mier: 10 = 1 miera - priemerný podiel;
2) 1 miera ∙ = 2 opatrenia - dvojnásobok priemer zdieľam.
Zdvojnásobil priemer podiel je súčtom podielov 5. a 6. osoby.
3) 2 miery - 1/8 miery = 1 7/8 mier - dvojnásobok podielu piatej osoby.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 - podiel piateho; a tak ďalej, môžete nájsť podiel každej predchádzajúcej a nasledujúcej osoby.
Získame postupnosť:
III. Riešenie problému.
1. Práca v skupinách
Skupina I: Nájdite súčet 20 po sebe nasledujúcich prirodzených čísel: S 20 = (20 + 1) ∙ 10 = 210.
Všeobecne 
II skupina: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 100 (Legenda o malom Gaussovi).
S 100 = (1 + 100) ∙ 50 = 5050
Výkon:
Skupina III: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 21.
Riešenie: 1 + 21 = 2 + 20 = 3 + 19 = 4 + 18 ...
Výkon:
IV skupina: Nájdite súčet prirodzených čísel od 1 do 101.
Výkon:
Táto metóda na riešenie uvažovaných problémov sa nazýva „Gaussova metóda“.
2. Každá skupina predstaví na tabuli riešenie problému.
3. Zovšeobecnenie navrhovaných riešení pre ľubovoľný aritmetický postup:
a 1, a 2, a 3, ..., a n-2, a n-1, a n.
S n = a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +… + a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.
Nájdeme túto sumu uvažovaním podobným spôsobom:
4. Vyriešili sme zadanú úlohu?(Áno.)
IV. Primárne porozumenie a aplikácia získaných vzorcov pri riešení problémov.
1. Kontrola riešenia starého problému pomocou vzorca.
2. Aplikácia vzorca pri riešení rôznych problémov.
3. Cvičenia na formovanie schopnosti aplikovať vzorec pri riešení problémov.
A) č. 613
Vzhľadom na to: ( a n) - aritmetická postupnosť;
(a n): 1, 2, 3, ..., 1500
Nájsť: S 1500
Riešenie: , a 1 = 1, a 1500 = 1500,
B) Vzhľadom na to: ( a n) - aritmetická postupnosť;
(a n): 1, 2, 3, ...
S n = 210
Nájsť: n
Riešenie:
V. Samostatná práca so vzájomným overovaním.
Denis išiel pracovať ako kuriér. V prvom mesiaci bol jeho plat 200 rubľov, v každom nasledujúcom mesiaci sa zvýšil o 30 rubľov. Koľko zarobil za rok?
Vzhľadom na to: ( a n) - aritmetická postupnosť;
a 1 = 200, d = 30, n = 12
Nájsť: S 12
Riešenie:
Odpoveď: Denis dostal za rok 4380 rubľov.
Vi. Briefing domácich úloh.
- s. 4.3 - naučte sa deriváciu vzorca.
- №№ 585, 623 .
- Vytvorte problém, ktorý by bol vyriešený pomocou vzorca pre súčet prvých n výrazov aritmetickej postupnosti.
VII. Zhrnutie lekcie.
1. Hodnotiaci list
2. Pokračujte vo vetách
- Dnes v lekcii, ktorú som sa naučil ...
- Naučené vzorce ...
- Myslím si, že …
3. Nájdete súčet čísel od 1 do 500? Akú metódu použijete na vyriešenie tohto problému?
Bibliografia.
1. Algebra, 9. ročník. Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Vzdelávanie“, 2009.
Áno, áno: aritmetický postup nie je pre teba hračka :) Priatelia, ak čítate tento text, interné dôkazy o kapitáloch mi hovoria, že ešte neviete, čo je to aritmetická postupnosť, ale skutočne (nie, takto: SOOOOO!) Chcete vedieť. Nebudem vás preto mučiť dlhými úvodmi a prejdem rovno k veci.
Začnime s niekoľkými príkladmi. Zvážte niekoľko množín čísel:
- 1; 2; 3; 4; ...
- 15; 20; 25; 30; ...
- $ \ sqrt (2); \ 2 \ sqrt (2); \ 3 \ sqrt (2); ... $
Čo majú všetky tieto sady spoločné? Na prvý pohľad nič. Ale v skutočnosti niečo je. Menovite: každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho rovnakým číslom.
Veď posúďte sami. Prvá sada je jednoducho poradové číslo, každé ďalšie jedno viac ako predchádzajúce. V druhom prípade je rozdiel medzi susednými číslami už rovný piatim, ale tento rozdiel je stále konštantný. V treťom prípade korene vo všeobecnosti. $ 2 \ sqrt (2) = \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $ a $ 3 \ sqrt (2) = 2 \ sqrt (2) + \ sqrt (2) $, t.j. a v tomto prípade sa každý ďalší prvok jednoducho zvýši o $ \ sqrt (2) $ (a nebojte sa, že toto číslo je iracionálne).
Takže: všetky tieto sekvencie sa nazývajú aritmetické postupnosti. Uveďme presnú definíciu:
Definícia. Postupnosť čísel, v ktorých sa každé ďalšie líši od predchádzajúceho presne o rovnakú hodnotu, sa nazýva aritmetická postupnosť. Samotná čiastka, o ktorú sa čísla líšia, sa nazýva rozdiel postupu a najčastejšie sa označuje písmenom $ d $.
Označenie: $ \ left ((((a) _ (n)) \ right) $ - samotný priebeh, $ d $ - jeho rozdiel.
A len pár dôležitých poznámok. Najprv len usporiadaný postupnosť čísel: je dovolené ich čítať striktne v poradí, v akom sú napísané - a nič iné. Nemôžete zmeniť usporiadanie ani zameniť čísla.
Za druhé, samotná sekvencia môže byť konečná alebo nekonečná. Napríklad množina (1; 2; 3) je zrejme konečnou aritmetickou postupnosťou. Ale ak píšete niečo v duchu (1; 2; 3; 4; ...) - to je už nekonečný postup. Elipsa po štvorici akoby naznačovala, že sa stále deje dosť veľa čísel. Napríklad nekonečne veľa. :)
Chcel by som tiež poznamenať, že pokroky sa zvyšujú a znižujú. Rastúcich sme už videli - rovnaká množina (1; 2; 3; 4; ...). A tu sú príklady klesajúcich progresií:
- 49; 41; 33; 25; 17; ...
- 17,5; 12; 6,5; 1; −4,5; −10; ...
- $ \ sqrt (5); \ \ sqrt (5) -1; \ \ sqrt (5) -2; \ \ sqrt (5) -3; ... $
Dobre, dobre: tento posledný príklad sa môže zdať príliš komplikovaný. Ale ostatné, myslím, že chápete. Preto zavedieme nové definície:
Definícia. Aritmetický priebeh sa nazýva:
- zvyšuje sa, ak je každý ďalší prvok väčší ako predchádzajúci;
- klesá, ak je naopak každý nasledujúci prvok menší ako predchádzajúci.
Okrem toho existujú takzvané „stacionárne“ sekvencie - pozostávajú z rovnakého opakujúceho sa čísla. Napríklad (3; 3; 3; ...).
Zostáva iba jedna otázka: ako rozlíšiť rastúci priebeh od klesajúceho? Našťastie všetko závisí od znamienka čísla $ d $, t.j. postupový rozdiel:
- Ak $ d \ gt 0 $, potom sa progresia zvyšuje;
- Ak $ d \ lt 0 $, potom sa progresia evidentne znižuje;
- Nakoniec existuje prípad $ d = 0 $ - v tomto prípade je celý priebeh redukovaný na stacionárnu postupnosť rovnakých čísel: (1; 1; 1; 1; ...) atď.
Skúsme vypočítať rozdiel $ d $ pre tri vyššie uvedené klesajúce postupnosti. Na to stačí vziať akékoľvek dva susedné prvky (napríklad prvý a druhý) a odpočítať číslo vľavo od čísla vpravo. Bude to vyzerať takto:
- 41−49=−8;
- 12−17,5=−5,5;
- $ \ sqrt (5) -1- \ sqrt (5) = - 1 $.
Ako vidíte, vo všetkých troch prípadoch bol rozdiel skutočne negatívny. A teraz, keď sme viac -menej zistili definície, je načase zistiť, ako sú postupnosti popísané a aké sú ich vlastnosti.
Progresívne členy a opakujúci sa vzorec
Pretože prvky našich sekvencií nemožno zamieňať, môžu byť očíslované:
\ [\ left ((((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (((a) _ (1)), \ ((a) _ (2)), ((a) _ (3 )), ... \ správny \) \]
Jednotlivé prvky tejto sady sa nazývajú členovia progresie. Sú označené číslom: prvý termín, druhý termín atď.
Navyše, ako už vieme, susedné členy progresie súvisia podľa vzorca:
\ [((a) _ (n))-((a) _ (n-1)) = d \ Šípka doprava ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d \]
Stručne povedané, aby ste našli $ n $ th termín v postupe, musíte poznať $ n-1 $ th termín a $ d $ rozdiel. Takýto vzorec sa nazýva opakujúci sa, pretože s jeho pomocou môžete nájsť ľubovoľné číslo, pričom poznáte iba predchádzajúce (a v skutočnosti - všetky predchádzajúce). To je veľmi nepohodlné, takže existuje zložitejší vzorec, ktorý redukuje akékoľvek výpočty na prvý termín a rozdiel:
\ [((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ vľavo (n-1 \ vpravo) d \]
S týmto vzorcom ste sa už určite stretli. Milujú ho dávať vo všetkých druhoch príručiek a reshebnikov. A v každej rozumnej učebnici matematiky ide medzi prvými.
Napriek tomu navrhujem, aby sme trochu cvičili.
Problém číslo 1. Napíšte prvé tri termíny aritmetického postupu $ \ left ((((a) _ (n)) \ right) $, ak $ ((a) _ (1)) = 8, d = -5 $.
Riešenie. Takže poznáme prvý výraz $ ((a) _ (1)) = 8 $ a rozdiel v progresii $ d = -5 $. Použime uvedený vzorec a nahraďme $ n = 1 $, $ n = 2 $ a $ n = 3 $:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d; \\ & ((a) _ (1)) = ((a) _ (1)) + \ vľavo (1-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) = 8; \\ & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + \ vľavo (2-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) + d = 8-5 = 3; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + \ vľavo (3-1 \ vpravo) d = ((a) _ (1)) + 2d = 8-10 = -2. \\ \ end (zarovnať) \]
Odpoveď: (8; 3; -2)
To je všetko! Upozorňujeme, že náš postup sa znižuje.
$ N = 1 $ samozrejme nebolo možné nahradiť - prvý termín je nám už známy. Avšak nahradením jedného sme sa presvedčili, že náš vzorec funguje dokonca aj pre prvé volebné obdobie. V ostatných prípadoch sa všetko scvrklo na triviálnu aritmetiku.
Problém číslo 2. Napíšte prvé tri termíny aritmetickej postupnosti, ak je jeho siedmy člen −40 a sedemnásty člen −50.
Riešenie. Poznamenajme si stav problému obvyklými výrazmi:
\ [((a) _ (7)) = - 40; \ quad ((a) _ (17)) = - 50. \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (7)) = ((a) _ (1)) + 6d \\ & ((a) _ (17)) = ((a) _ (1)) + 16d \\ \ end (zarovnať) \ vpravo. \]
\ [\ left \ (\ begin (align) & ((a) _ (1)) + 6d = -40 \\ & ((a) _ (1)) + 16d = -50 \\ \ end (align) \ správny. \]
Dal som znamienko systému, pretože tieto požiadavky musia byť splnené súčasne. A teraz si všimnite, že ak odpočítame prvú od druhej rovnice (máme na to právo, pretože máme systém), dostaneme toto:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (1)) + 16d- \ left (((a) _ (1)) + 6d \ right) =- 50- \ left (-40 \ right); \\ & ((a) _ (1)) + 16d - ((a) _ (1)) - 6d = -50 + 40; \\ & 10d = -10; \\ & d = -1. \\ \ end (zarovnať) \]
Tak ľahko sme zistili rozdiel v progresii! Zostáva nahradiť nájdené číslo do ktorejkoľvek z rovníc systému. Napríklad v prvom:
\ [\ begin (matica) ((a) _ (1)) + 6d = -40; \ quad d = -1 \\ \ Downarrow \\ ((a) _ (1)) -6 = -40; \\ ((a) _ (1)) = - 40 + 6 = -34. \\ \ end (matica) \]
Teraz, keď poznáme prvý termín a rozdiel, zostáva nájsť druhý a tretí výraz:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = -34-1 = -35; \\ & ((a) _ (3)) = ((a) _ (1)) + 2d = -34-2 = -36. \\ \ end (zarovnať) \]
Pripravený! Problém je vyriešený.
Odpoveď: (-34; -35; -36)
Venujte pozornosť zaujímavej vlastnosti postupu, ktorý sme zistili: ak vezmeme termíny $ n $ th a $ m $ th a odčítame ich od seba, dostaneme rozdiel v postupe vynásobený číslom $ n-m $:
\ [((a) _ (n)) - ((a) _ (m)) = d \ cdot \ left (n -m \ right) \]
Jednoduchá, ale veľmi užitočná vlastnosť, ktorú by ste určite mali vedieť - s jej pomocou môžete výrazne urýchliť riešenie mnohých problémov v postupe. Tu je ukážkový príklad:
Problém číslo 3. Piaty člen aritmetickej postupnosti je 8,4 a jeho desiaty člen je 14,4. Nájdite pätnásty termín tohto postupu.
Riešenie. Pretože $ ((a) _ (5)) = 8,4 $, $ ((a) _ (10)) = 14,4 $ a potrebujete nájsť $ ((a) _ (15)) $, potom si všimneme nasledujúce :
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (15)) - ((a) _ (10)) = 5d; \\ & ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 5 dní. \\ \ end (zarovnať) \]
Ale podľa podmienky $ ((a) _ (10)) - ((a) _ (5)) = 14,4-8,4 = 6 dolárov, teda 5d dolárov = 6 dolárov, odkiaľ máme:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (15)) - 14,4 = 6; \\ & ((a) _ (15)) = 6 + 14,4 = 20,4. \\ \ end (zarovnať) \]
Odpoveď: 20.4
To je všetko! Nepotrebovali sme zostaviť niektoré sústavy rovníc a vypočítať prvý člen a rozdiel - všetko bolo vyriešené iba niekoľkými riadkami.
Uvažujme teraz o inom type úloh - nájsť negatívnych a pozitívnych členov postupu. Nie je žiadnym tajomstvom, že ak sa progresia zvyšuje, zatiaľ čo prvý člen je negatívny, potom sa v ňom skôr alebo neskôr objavia pozitívne pojmy. A naopak: členovia klesajúcej progresie sa skôr alebo neskôr stanú negatívnymi.
Zároveň zďaleka nie je vždy možné tápať v tomto momente „hlava-nehlava“, postupne prechádzať živlami. Problémy sú často navrhnuté tak, že bez znalosti vzorcov by výpočty trvali niekoľko hárkov - jednoducho by sme zaspali, kým by sme našli odpoveď. Preto sa pokúsime tieto problémy vyriešiť rýchlejšie.
Problém číslo 4. Koľko negatívnych pojmov je v aritmetickej postupnosti -38,5; -35,8; ...?
Riešenie. Takže $ ((a) _ (1)) = - 38,5 $, $ ((a) _ (2)) = - 35,8 $, odkiaľ okamžite nájdeme rozdiel:
Uvedomte si, že rozdiel je pozitívny, takže sa progresia zvyšuje. Prvý výraz je záporný, takže v určitom bode skutočne narazíme na kladné čísla. Jedinou otázkou je, kedy sa to stane.
Pokúsme sa zistiť: ako dlho (t.j. do akého prirodzeného čísla $ n $) je zachovaná negativita výrazov:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) \ lt 0 \ Rightarrow ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) d \ lt 0; \\ & -38,5+ \ vľavo (n -1 \ vpravo) \ cdot 2,7 \ lt 0; \ quad \ left | \ cdot 10 \ right. \\ & -385 + 27 \ cdot \ vľavo (n -1 \ vpravo) \ lt 0; \\ & -385 + 27n -27 \ lt 0; \\ & 27n \ lt 412; \\ & n \ lt 15 \ frac (7) (27) \ Rightarrow ((n) _ (\ max)) = 15. \\ \ end (zarovnať) \]
Posledný riadok vyžaduje objasnenie. Vieme teda, že $ n \ lt 15 \ frac (7) (27) $. Na druhej strane sa uspokojíme iba s celočíselnými hodnotami čísla (navyše: $ n \ in \ mathbb (N) $), takže najväčšie povolené číslo je presne $ n = 15 $, a v žiadnom prípade je 16.
Problém číslo 5. Pri aritmetickom postupe $ (() _ (5)) = - 150, (() _ (6)) = - 147 $. Nájdite číslo prvého kladného termínu tejto progresie.
Bol by to úplne rovnaký problém ako predchádzajúci, ale nepoznáme $ ((a) _ (1)) $. Ale sú známe susedné výrazy: $ ((a) _ (5)) $ a $ ((a) _ (6)) $, takže môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:
Okrem toho sa pokúsime vyjadriť piaty termín z hľadiska prvého a rozdielu podľa štandardného vzorca:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = ((a) _ (1)) + \ left (n-1 \ right) \ cdot d; \\ & ((a) _ (5)) = ((a) _ (1)) + 4d; \\ & -150 = ((a) _ (1)) + 4 \ cdot 3; \\ & ((a) _ (1)) = -150-12 = -162. \\ \ end (zarovnať) \]
Teraz pokračujeme analogicky k predchádzajúcej úlohe. Zistíme, v ktorom bode našej postupnosti budú kladné čísla:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) = - 162+ \ left (n -1 \ right) \ cdot 3 \ gt 0; \\ & -162 + 3n -3 \ gt 0; \\ & 3n \ gt 165; \\ & n \ gt 55 \ Rightarrow ((n) _ (\ min)) = 56. \\ \ end (zarovnať) \]
Najmenšie celočíselné riešenie tejto nerovnosti je 56.
Vezmite prosím na vedomie: v poslednej úlohe bolo všetko znížené na prísnu nerovnosť, takže možnosť $ n = 55 $ nám nebude vyhovovať.
Teraz, keď sme sa naučili riešiť jednoduché problémy, prejdeme k zložitejším. Najprv však študujme ďalšiu veľmi užitočnú vlastnosť aritmetických postupností, ktorá nám v budúcnosti ušetrí veľa času a nerovných buniek. :)
Aritmetický priemer a rovnaké zarážky
Uvažujme niekoľko po sebe nasledujúcich členov rastúcej aritmetickej postupnosti $ \ left ((((a) _ (n)) \ right) $. Skúsme ich označiť na číselnom riadku:
Členy aritmetického postupu na číselnej osiKonkrétne som zaznamenal ľubovoľné výrazy $ ((a) _ (n-3)), ..., ((a) _ (n + 3)) $, nie žiadne $ ((a) _ (1)), \ ( a) _ (2)), \ (a) _ (3)) $ atď. Pretože pravidlo, o ktorom teraz budem hovoriť, funguje rovnako pre všetky „segmenty“.
A pravidlo je veľmi jednoduché. Zapamätajme si vzorec opakovania a zapíšte si ho pre všetky označené členy:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (n-2)) = ((a) _ (n-3)) + d; \\ & ((a) _ (n-1)) = ((a) _ (n-2)) + d; \\ & ((a) _ (n)) = ((a) _ (n-1)) + d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n + 1)) + d; \\ \ end (zarovnať) \]
Tieto rovnosti je však možné prepísať odlišne:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (n -1)) = ((a) _ (n)) - d; \\ & ((a) _ (n -2)) = ((a) _ (n)) - 2d; \\ & ((a) _ (n -3)) = ((a) _ (n)) - 3d; \\ & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (n + 3)) = ((a) _ (n)) + 3d; \\ \ end (zarovnať) \]
No a čo? A skutočnosť, že pojmy $ ((a) _ (n-1)) $ a $ ((a) _ (n + 1)) $ ležia v rovnakej vzdialenosti od $ ((a) _ (n)) $ . A táto vzdialenosť sa rovná $ d $. To isté sa dá povedať o členoch $ ((a) _ (n -2)) $ a $ ((a) _ (n + 2)) $ - tiež sú odstránení z $ ((a) _ (n) ) $ rovnaká vzdialenosť rovná sa 2d $ $. Môžete pokračovať donekonečna, ale význam je dobre ilustrovaný na obrázku.
Členy postupu ležia v rovnakej vzdialenosti od stredu Čo to pre nás znamená? To znamená, že môžete nájsť $ ((a) _ (n)) $, ak sú známe susedné čísla:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-1)) + ((a) _ (n + 1))) (2) \]
Prišli sme s vynikajúcim tvrdením: každý člen aritmetickej postupnosti sa rovná aritmetickému priemeru susedných pojmov! Navyše: môžeme sa odchýliť od našich $ ((a) _ (n)) $ vľavo a vpravo nie o jeden krok, ale o $ k $ krokov - a vzorec bude stále správny:
\ [((a) _ (n)) = \ frac (((a) _ (n-k)) + ((a) _ (n + k))) (2) \]
Títo. niektoré $ ((a) _ (150)) $ môžeme ľahko nájsť, ak poznáme $ ((a) _ (100)) $ a $ ((a) _ (200)) $, pretože $ ((a) _ (150)) = \ frac (((a) _ (100)) + ((a) _ (200))) (2) $. Na prvý pohľad sa môže zdať, že nám táto skutočnosť neprinesie nič užitočné. V praxi je však veľa problémov špeciálne „zaostrených“ na použitie aritmetického priemeru. Pozri sa:
Problém číslo 6. Nájdite všetky hodnoty $ x $, pre ktoré sú čísla $ -6 ((x) ^ (2)) $, $ x + 1 $ a $ 14 + 4 ((x) ^ (2)) $ za sebou nasledujúcimi členmi aritmetickej postupnosti (v poradí).
Riešenie. Pretože uvedené čísla sú členmi progresie, podmienka aritmetického priemeru je pre nich splnená: centrálny prvok $ x + 1 $ môže byť vyjadrený pomocou susedných prvkov:
\ [\ begin (zarovnanie) & x + 1 = \ frac (-6 ((x) ^ (2)) + 14 + 4 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = \ frac (14-2 ((x) ^ (2))) (2); \\ & x + 1 = 7 - ((x) ^ (2)); \\ & ((x) ^ (2)) + x-6 = 0. \\ \ end (zarovnať) \]
Výsledkom je klasická kvadratická rovnica. Jeho korene: $ x = 2 $ a $ x = -3 $ - to sú odpovede.
Odpoveď: −3; 2.
Problém číslo 7. Nájdite hodnoty $$, pre ktoré čísla $ -1; 4-3; (() ^ (2)) + 1 $ robia aritmetický postup (v uvedenom poradí).
Riešenie. Stredný člen opäť vyjadrujeme aritmetickým priemerom susedných výrazov:
\ [\ begin (zarovnanie) & 4x-3 = \ frac (x-1 + ((x) ^ (2)) + 1) (2); \\ & 4x-3 = \ frac ((((x) ^ (2)) + x) (2); \ quad \ left | \ cdot 2 \ vpravo; \\ & 8x-6 = ((x) ^ (2)) + x; \\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 6 = 0. \\ \ end (zarovnať) \]
Opäť kvadratická rovnica. A opäť existujú dva korene: $ x = 6 $ a $ x = 1 $.
Odpoveď: 1; 6.
Ak v procese riešenia problému získate niekoľko brutálnych čísel alebo si nie ste úplne istí správnosťou nájdených odpovedí, potom existuje úžasná technika, ktorá vám umožňuje skontrolovať: vyriešili sme problém správne?
Napríklad pri probléme č. 6 sme dostali odpovede -3 a 2. Ako skontrolovať, či sú tieto odpovede správne? Pripojme ich do počiatočného stavu a uvidíme, čo sa stane. Pripomeniem, že máme tri čísla ($ -6 (() ^ (2)) $, $ + 1 $ a $ 14 + 4 (() ^ (2)) $), ktoré musia tvoriť aritmetický priebeh. Náhradník $ x = -3 $:
\ [\ begin (align) & x = -3 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = -54; \\ & x + 1 = -2; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 50. \ end (zarovnať) \]
Prijaté čísla -54; −2; 50, ktoré sa líšia o 52, je nepochybne aritmetický postup. To isté sa stane pre $ x = 2 $:
\ [\ begin (align) & x = 2 \ Rightarrow \\ & -6 ((x) ^ (2)) = - 24; \\ & x + 1 = 3; \\ & 14 + 4 ((x) ^ (2)) = 30. \ end (zarovnať) \]
Opäť postup, ale s rozdielom 27. Problém je teda vyriešený správne. Druhý problém si môžu záujemcovia skontrolovať sami, ale hneď poviem: Aj tam je všetko správne.
Vo všeobecnosti sme pri riešení posledných problémov narazili na ďalší zaujímavý fakt, ktorý si tiež treba zapamätať:
Ak sú tri čísla také, že druhé je aritmetickým priemerom prvého a posledného, potom tieto čísla tvoria aritmetický priebeh.
Pochopenie tohto tvrdenia nám v budúcnosti umožní doslova „zostrojiť“ potrebné postupnosti na základe stavu problému. Kým sa však dostaneme k takejto „stavbe“, mali by sme venovať pozornosť ešte jednému faktu, ktorý priamo vyplýva z toho, čo už bolo zvážené.
Zoskupenie a súčet prvkov
Vráťme sa opäť k číselnej osi. Poznamenajme si tam niekoľko členov postupu, medzi ktorými možno. je tu veľa ďalších členov:
Číselný riadok má označených 6 prvkovSkúsme vyjadriť „ľavý chvost“ v zmysle $ ((a) _ (n)) $ a $ d $ a „pravý chvost“ v zmysle $ ((a) _ (k)) $ a $ d $ . Je to veľmi jednoduché:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (n + 1)) = ((a) _ (n)) + d; \\ & ((a) _ (n + 2)) = ((a) _ (n)) + 2d; \\ & ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (k)) - d; \\ & ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (k)) - 2d. \\ \ end (zarovnať) \]
Teraz vezmite na vedomie, že nasledujúce sumy sú rovnaké:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (n)) + ((a) _ (k)) = S; \\ & ((a) _ (n + 1)) + ((a) _ (k -1)) = ((a) _ (n)) + d + ((a) _ (k)) - d = S; \\ & ((a) _ (n + 2)) + ((a) _ (k -2)) = ((a) _ (n)) + 2d + ((a) _ (k)) - 2d = S. \ end (zarovnať) \]
Jednoducho povedané, ak za začiatok považujeme dva prvky progresie, ktoré sa celkovo rovnajú nejakému počtu $ S $, a potom z týchto prvkov začneme kráčať v opačných smeroch (smerom k sebe alebo naopak, aby sme sa vzdialili) potom súčty prvkov, o ktoré zakopneme, budú tiež rovnaké$ S $. Toto možno najjasnejšie znázorniť graficky:
Rovnaké odsadenie dáva rovnaké sumy Pochopenie tejto skutočnosti nám umožní vyriešiť problémy zásadne vyššej úrovne zložitosti, než aké sme uvažovali vyššie. Napríklad také:
Problém číslo 8. Určte rozdiel v aritmetickej postupnosti, v ktorej je prvý člen 66 a súčin druhého a dvanásteho členu je najmenší možný.
Riešenie. Zapisujme si všetko, čo vieme:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (1)) = 66; \\ & d =? \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ min. \ end (zarovnať) \]
Takže nepoznáme rozdiel v progresii $ d $. V skutočnosti bude celé riešenie postavené na rozdiele, pretože produkt $ ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) $ je možné prepísať takto:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (2)) = ((a) _ (1)) + d = 66 + d; \\ & ((a) _ (12)) = ((a) _ (1)) + 11d = 66 + 11d; \\ & ((a) _ (2)) \ cdot ((a) _ (12)) = \ vľavo (66 + d \ vpravo) \ cdot \ vľavo (66 + 11d \ vpravo) = \\ & = 11 \ cdot \ vľavo (d + 66 \ vpravo) \ cdot \ vľavo (d + 6 \ vpravo). \ end (zarovnať) \]
Pre tých v nádrži: Z druhej zátvorky som vybral spoločný faktor 11. Hľadaný produkt je teda kvadratickou funkciou vzhľadom na premennú $ d $. Uvažujme preto funkciu $ f \ left (d \ right) = 11 \ left (d + 66 \ right) \ left (d + 6 \ right) $ - jeho graf bude parabola s vetvami hore, pretože ak rozšírime zátvorky, dostaneme:
\ [\ begin (zarovnanie) & f \ left (d \ right) = 11 \ left ((((d) ^ (2)) + 66d + 6d + 66 \ cdot 6 \ right) = \\ & = 11 ((( d) ^ (2)) + 11 \ cdot 72d + 11 \ cdot 66 \ cdot 6 \ end (align) \]
Ako vidíte, koeficient na začiatku je 11 - to je kladné číslo, takže sa skutočne zaoberáme parabolou s vetvami nahor:
graf kvadratickej funkcie - parabola
Poznámka: táto parabola má svoju minimálnu hodnotu vo svojom vrchole s úsečkou $ ((d) _ (0)) $. Túto os x je samozrejme možné vypočítať podľa štandardnej schémy (existuje aj vzorec $ ((d) _ (0)) = (- b) / (2a) \; $), ale bolo by to oveľa rozumnejšie Všimnite si, že požadovaný vrchol leží na symetrii osi paraboly, takže bod $ ((d) _ (0)) $ je rovnako vzdialený od koreňov rovnice $ f \ left (d \ right) = 0 $:
\ [\ begin (zarovnanie) & f \ left (d \ right) = 0; \\ & 11 \ cdot \ vľavo (d + 66 \ vpravo) \ cdot \ vľavo (d + 6 \ vpravo) = 0; \\ & ((d) _ (1)) = - 66; \ quad ((d) _ (2)) = - 6. \\ \ end (zarovnať) \]
Preto som sa s otváraním zátvoriek neponáhľal: v pôvodnej podobe sa korene hľadali veľmi, veľmi ľahko. Rovnica je preto rovná aritmetickému priemeru čísel −66 a −6:
\ [((d) _ (0)) = \ frac (-66-6) (2) =-36 \]
Čo nám zistené číslo dáva? S ním požadovaný produkt nadobúda najmenšiu hodnotu (mimochodom, nepočítame $ ((y) _ (\ min)) $ - toto nepotrebujeme). Toto číslo je zároveň rozdielom medzi pôvodnou progresiou, t.j. našli sme odpoveď. :)
Odpoveď: −36
Problém číslo 9. Medzi čísla $ - \ frac (1) (2) $ a $ - \ frac (1) (6) $ vložte tri čísla tak, aby spolu s danými číslami tvorili aritmetický priebeh.
Riešenie. V zásade musíme vytvoriť postupnosť piatich čísel, pričom prvé a posledné číslo už sú známe. Označme chýbajúce čísla premennými $ x $, $ y $ a $ z $:
\ [\ left ((((a) _ (n)) \ right) = \ left \ ( - \ frac (1) (2); x; y; z; - \ frac (1) (6) \ right \ ) \]
Všimnite si toho, že číslo $ y $ je „stredom“ našej postupnosti - je rovnako vzdialené od čísel $ x $ a $ z $, ako aj od čísel $ - \ frac (1) (2) $ a $ - \ frac (1) (6) $. A ak v súčasnosti nemôžeme získať $ y $ z čísel $ x $ a $ z $, potom je situácia odlišná s koncami postupu. Pamätajte na aritmetický priemer:
Teraz, keď vieme $ y $, nájdeme zostávajúce čísla. Všimnite si toho, že $ x $ leží medzi číslami $ - \ frac (1) (2) $ a $ y = - \ frac (1) (3) $, ktoré boli práve nájdené. Preto
Podobne uvažujeme so zvyšným počtom:
Pripravený! Našli sme všetky tri čísla. Zapíšeme ich do odpovede v poradí, v akom by mali byť vložené medzi pôvodné čísla.
Odpoveď: $ - \ frac (5) (12); \ - \ frac (1) (3); \ - \ frac (1) (4) $
Problém číslo 10. Medzi čísla 2 a 42 vložte niekoľko čísel, ktoré spolu s týmito číslami tvoria aritmetický postup, ak viete, že súčet prvého, druhého a posledného z vložených čísel je 56.
Riešenie. Ešte ťažšia úloha, ktorá je však vyriešená podľa rovnakej schémy ako predchádzajúce - pomocou aritmetického priemeru. Problém je v tom, že nevieme presne, koľko čísel máme vložiť. Preto pre istotu predpokladajme, že po vložení všetkého budú existovať presne $ n $ čísla a prvé z nich je 2 a posledné 42. V tomto prípade môže byť požadovaná aritmetická postupnosť reprezentovaná ako:
\ [\ left ((((a) _ (n)) \ right) = \ left \ (2; ((a) _ (2)); ((a) _ (3)); ...; (( a) _ (n-1)); 42 \ vpravo \) \]
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56 \]
Všimnite si však, že čísla $ ((a) _ (2)) $ a $ ((a) _ (n-1)) $ sú získané z čísiel 2 a 42 na okrajoch jedným krokom k sebe, tj ... do stredu sekvencie. To znamená, že
\ [((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) = 2 + 42 = 44 \]
Potom však možno vyššie napísaný výraz prepísať takto:
\ [\ begin (align) & (a) _ (2)) + ((a) _ (3)) + ((a) _ (n-1)) = 56; \\ & \ left (((a) _ (2)) + ((a) _ (n-1)) \ right) + ((a) _ (3)) = 56; \\ & 44 + ((a) _ (3)) = 56; \\ & ((a) _ (3)) = 56-44 = 12. \\ \ end (zarovnať) \]
Keď poznáme $ ((a) _ (3)) $ a $ ((a) _ (1)) $, môžeme ľahko nájsť rozdiel v postupe:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = 12 - 2 = 10; \\ & ((a) _ (3)) - ((a) _ (1)) = \ vľavo (3-1 \ vpravo) \ cdot d = 2d; \\ & 2d = 10 \ Šípka doprava d = 5. \\ \ end (zarovnať) \]
Zostáva len nájsť ostatných členov:
\ [\ begin (zarovnanie) & ((a) _ (1)) = 2; \\ & ((a) _ (2)) = 2 + 5 = 7; \\ & ((a) _ (3)) = 12; \\ & ((a) _ (4)) = 2 + 3 \ cdot 5 = 17; \\ & ((a) _ (5)) = 2 + 4 \ cdot 5 = 22; \\ & ((a) _ (6)) = 2 + 5 \ cdot 5 = 27; \\ & ((a) _ (7)) = 2 + 6 \ cdot 5 = 32; \\ & ((a) _ (8)) = 2 + 7 \ cdot 5 = 37; \\ & ((a) _ (9)) = 2 + 8 \ cdot 5 = 42; \\ \ end (zarovnať) \]
Už v 9. kroku teda prídeme na ľavý koniec sekvencie - číslo 42. Celkovo bolo potrebné vložiť iba 7 čísel: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37.
Odpoveď: 7; 12; 17; 22; 27; 32; 37
Slovné problémy s postupmi
Na záver by som chcel zvážiť niekoľko relatívne jednoduchých úloh. Nuž, aké jednoduché: pre väčšinu študentov, ktorí v škole študujú matematiku a neprečítali si, čo je napísané vyššie, sa tieto úlohy môžu zdať ako plechovka. Napriek tomu sú to práve tieto problémy, s ktorými sa stretávate v OGE a USE v matematike, preto vám odporúčam, aby ste sa s nimi oboznámili.
Problém číslo 11. Brigáda v januári vyrobila 62 dielov a v každom nasledujúcom mesiaci vyrobila o 14 dielov viac ako v predchádzajúcom. Koľko častí vytvoril tím v novembri?
Riešenie. Počet dielov naplánovaných podľa mesiacov bude evidentne predstavovať rastúcu aritmetickú progresiu. Navyše:
\ [\ begin (align) & ((a) _ (1)) = 62; \ quad d = 14; \\ & ((a) _ (n)) = 62+ \ vľavo (n-1 \ vpravo) \ cdot 14. \\ \ end (zarovnať) \]
November je 11. mesiac v roku, takže musíme nájsť $ ((a) _ (11)) $:
\ [((a) _ (11)) = 62 + 10 \ cdot 14 = 202 \]
V novembri sa teda vyrobí 202 dielov.
Problém číslo 12. Knihárska dielňa viazala v januári 216 kníh a každý ďalší mesiac zväzovala o 4 knihy viac ako predchádzajúca. Koľko kníh workshop viazal v decembri?
Riešenie. Všetky rovnaké:
$ \ begin (zarovnanie) & ((a) _ (1)) = 216; \ quad d = 4; \\ & ((a) _ (n)) = 216+ \ vľavo (n-1 \ vpravo) \ cdot 4. \\ \ end (zarovnať) $
December je posledný, 12. mesiac v roku, takže hľadáme $ ((a) _ (12)) $:
\ [((a) _ (12)) = 216 + 11 \ cdot 4 = 260 \]
To je odpoveď - v decembri bude viazaných 260 kníh.
Ak ste sa dočítali až sem, ponáhľam sa vám zablahoželať: úspešne ste absolvovali „Kurz mladého bojovníka“ v aritmetických postupoch. Môžete bezpečne prejsť na ďalšiu lekciu, kde budeme študovať vzorec na súčet progresie, ako aj dôležité a veľmi užitočné dôsledky z neho.
Napríklad postupnosť \ (2 \); \ (5 \); \(osem\); \ (jedenásť \); \ (14 \) ... je aritmetický priebeh, pretože každý ďalší prvok sa líši od predchádzajúceho o tri (dá sa získať z predchádzajúceho pridaním tripletu):
Pri tomto postupe je rozdiel \ (d \) kladný (rovný \ (3 \)), a preto je každý nasledujúci výraz väčší ako predchádzajúci. Takýmto postupom sa hovorí zvyšujúce sa.
\ (D \) však môže byť aj záporné. Napríklad, v aritmetickom postupe \ (16 \); \ (desať \); \ (4 \); \ (- 2 \); \ (- 8 \) ... rozdiel v postupe \ (d \) sa rovná mínus šesť.
A v tomto prípade bude každý ďalší prvok menší ako predchádzajúci. Tieto progresie sa nazývajú klesajúci.
Záznam aritmetickej postupnosti
Progresia je označená malým latinským písmenom.
Čísla tvoriace priebeh tomu hovoria členovia(alebo prvky).
Sú označené rovnakým písmenom ako aritmetická postupnosť, ale s číselným indexom rovným číslu prvku v poradí.
Napríklad aritmetický postup \ (a_n = \ vľavo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ vpravo \) \) pozostáva z prvkov \ (a_1 = 2 \); \ (a_2 = 5 \); \ (a_3 = 8 \) a tak ďalej.
Inými slovami, pre postup \ (a_n = \ vľavo \ (2; 5; 8; 11; 14 ... \ vpravo \) \)
Riešenie problémov pre aritmetickú postupnosť
Vyššie uvedené informácie v zásade stačia na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickou postupnosťou (vrátane tých, ktoré ponúka OGE).
Príklad (OGE).
Aritmetický priebeh je určený podmienkami \ (b_1 = 7; d = 4 \). Nájdite \ (b_5 \).
Riešenie:
Odpoveď: \ (b_5 = 23 \)
Príklad (OGE).
Sú uvedené prvé tri termíny aritmetickej postupnosti: \ (62; 49; 36 ... \) Nájdite hodnotu prvého záporného členu tejto postupnosti ..
Riešenie:
|
Dostaneme prvé prvky sekvencie a vieme, že ide o aritmetickú postupnosť. To znamená, že každý prvok sa líši od susedného rovnakým číslom. Zistite, ktorý z nich, odpočítaním predchádzajúceho od nasledujúceho prvku: \ (d = 49-62 = -13 \). |
|
|
Teraz môžeme obnoviť náš postup k (prvému negatívnemu) prvku, ktorý potrebujeme. |
|
|
Pripravený. Môžete napísať odpoveď. |
Odpoveď: \(-3\)
Príklad (OGE).
Je uvedených niekoľko po sebe nasledujúcich prvkov aritmetickej postupnosti: \ (... 5; x; 10; 12,5 ... \) Nájdite hodnotu prvku označeného písmenom \ (x \).
Riešenie:
|
|
Aby sme našli \ (x \), musíme vedieť, ako veľmi sa ďalší prvok líši od predchádzajúceho, inými slovami rozdiel v postupe. Nájdeme to z dvoch známych susedných prvkov: \ (d = 12,5-10 = 2,5 \). |
|
|
A teraz nájdeme požadovaný bez problémov: \ (x = 5 + 2,5 = 7,5 \). |
|
|
Pripravený. Môžete napísať odpoveď. |
Odpoveď: \(7,5\).
Príklad (OGE).
Aritmetický priebeh je určený nasledujúcimi podmienkami: \ (a_1 = -11 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 5 \) Nájdite súčet prvých šiestich termínov tohto postupu.
Riešenie:
|
Musíme nájsť súčet prvých šiestich termínov postupu. Ale nevieme ich významy, je nám daný iba prvý prvok. Preto najskôr vypočítame hodnoty postupne pomocou daných nám: \ (n = 1 \); \ (a_ (1 + 1) = a_1 + 5 = -11 + 5 = -6 \) |
|
|
\ (S_6 = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 = \) |
Suma, ktorú hľadáte, bola nájdená. |
Odpoveď: \ (S_6 = 9 \).
Príklad (OGE).
V aritmetickom postupe \ (a_ (12) = 23 \); \ (a_ (16) = 51 \). Nájdite rozdiel medzi týmto vývojom.
Riešenie:
Odpoveď: \ (d = 7 \).
Dôležité vzorce pre aritmetický postup
Ako vidíte, mnoho problémov s aritmetickou postupnosťou je možné vyriešiť jednoducho pochopením hlavnej veci - že aritmetická postupnosť je reťazec čísel a každý ďalší prvok v tomto reťazci sa získa pridaním rovnakého čísla k predchádzajúcemu (rozdiel priebehu).
Niekedy však existujú situácie, keď je veľmi nepohodlné rozhodnúť sa „hlava nehlava“. Predstavte si napríklad, že v úplne prvom príklade musíme nájsť nie piaty prvok \ (b_5 \), ale tristoosemdesiaty šiesty \ (b_ (386) \). Čo to je, \ (385 \) krát pridáme štyri? Alebo si predstavte, že v predposlednom príklade musíte nájsť súčet prvých sedemdesiatich troch prvkov. Budete mučení, aby ste počítali ...
Preto v takýchto prípadoch neriešia „hlava nehlava“, ale používajú špeciálne vzorce odvodené pre aritmetickú postupnosť. A hlavné sú vzorec pre n -tý termín progresie a vzorec pre súčet \ (n \) prvých pojmov.
Formula \ (n \) - th member: \ (a_n = a_1 + (n -1) d \), kde \ (a_1 \) je prvý termín postupu;
\ (n \) - číslo prvku, ktorý sa hľadá;
\ (a_n \) je člen postupnosti s číslom \ (n \).
Tento vzorec nám umožňuje rýchlo nájsť najmenej tristotinový, dokonca miliónový prvok, pričom poznáme iba prvý a rozdiel v postupe.
Príklad.
Aritmetický priebeh je určený podmienkami: \ (b_1 = -159 \); \ (d = 8,2 \). Nájdite \ (b_ (246) \).
Riešenie:
Odpoveď: \ (b_ (246) = 1850 \).
Vzorec pre súčet prvých n výrazov: \ (S_n = \ frac (a_1 + a_n) (2) \ cdot n \), kde
\ (a_n \) - posledný súčet pojmov;
Príklad (OGE).
Aritmetický priebeh je určený podmienkami \ (a_n = 3,4n-0,6 \). Nájdite súčet prvých \ (25 \) členov tohto postupu.
Riešenie:
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) |
Na výpočet súčtu prvých dvadsiatich piatich prvkov potrebujeme poznať hodnotu prvého a dvadsiateho piateho členu. |
|
|
\ (n = 1; \) \ (a_1 = 3,4 1-0,6 = 2,8 \) |
Teraz nájdeme dvadsiaty piaty člen, ktorý nahradí dvadsaťpäť namiesto \ (n \). |
|
|
\ (n = 25; \) \ (a_ (25) = 3,4 25-0,6 = 84,4 \) |
Teraz môžeme požadovanú sumu vypočítať bez problémov. |
|
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 = \) |
Odpoveď je pripravená. |
Odpoveď: \ (S_ (25) = 1090 \).
Na súčet \ (n \) prvých výrazov môžete získať ďalší vzorec: stačí \ (S_ (25) = \) \ (\ frac (a_1 + a_ (25)) (2) \) \ (\ cdot 25 \) namiesto \ (a_n \) nahraďte vzorec \ (a_n = a_1 + (n-1) d \). Dostaneme:
Vzorec pre súčet prvých n výrazov: \ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \), kde
\ (S_n \) - požadovaný súčet \ (n \) prvých prvkov;
\ (a_1 \) - prvý súhrnný termín;
\ (d \) - rozdiel v postupe;
\ (n \) - počet prvkov v súčte.
Príklad.
Nájdite súčet prvých \ (33 \) - bývalých členov aritmetickej postupnosti: \ (17 \); \ (15,5 \); \ (štrnásť \)…
Riešenie:
Odpoveď: \ (S_ (33) = - 231 \).
Zložitejšie problémy s aritmetickou progresiou
Teraz máte všetky informácie, ktoré potrebujete na vyriešenie takmer akéhokoľvek problému s aritmetickou postupnosťou. Tému ukončujeme zvážením problémov, v ktorých musíte nielen použiť vzorce, ale aj trochu premýšľať (v matematike to môže byť užitočné ☺)
Príklad (OGE).
Nájdite súčet všetkých negatívnych pojmov postupu: \ (- 19,3 \); \ (-19 \); \ (- 18,7 \) ...
Riešenie:
|
\ (S_n = \) \ (\ frac (2a_1 + (n-1) d) (2) \) \ (\ cdot n \) |
Úloha je veľmi podobná predchádzajúcej. Začíname tiež riešiť: najskôr nájdeme \ (d \). |
|
|
\ (d = a_2 -a_1 = -19 - ( - 19,3) = 0,3 \) |
Teraz by som vo vzorci nahradil \ (d \) súčtom ... a tu vzniká malá nuansa - nevieme \ (n \). Inými slovami, nevieme, koľko výrazov bude potrebné pridať. Ako to zistiť? Zamyslime sa. Prestaneme pridávať prvky, keď sa dostaneme k prvému pozitívnemu prvku. To znamená, že musíte zistiť číslo tohto prvku. Ako? Poznačme si vzorec na výpočet ľubovoľného prvku aritmetickej postupnosti: \ (a_n = a_1 + (n-1) d \) pre náš prípad. |
|
|
\ (a_n = a_1 + (n-1) d \) |
||
|
\ (a_n = -19,3 + (n -1) 0,3 \) |
Potrebujeme, aby \ (a_n \) bola väčšia ako nula. Poďme zistiť, v čom \ (n \) sa to stane. |
|
|
\ (- 19,3+ (n-1) 0,3> 0 \) |
||
|
\ ((n-1) 0,3> 19,3 \) \ (|: 0,3 \) |
Obe strany nerovnosti vydelíme \ (0,3 \). |
|
|
\ (n-1> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) |
Pohybujte sa o mínus jeden, pričom pamätajte na zmenu znamienok |
|
|
\ (n> \) \ (\ frac (19,3) (0,3) \) \ (+ 1 \) |
Počítame ... |
|
|
\ (n> 65 333 ... \) |
... a ukazuje sa, že prvý kladný prvok bude mať číslo \ (66 \). Podľa toho má posledný negatív \ (n = 65 \). Skúsme si to pre istotu overiť. |
|
|
\ (n = 65; \) \ (a_ (65) = -19,3+ (65-1) 0,3 = -0,1 \) |
Preto musíme pridať prvé \ (65 \) prvky. |
|
|
\ (S_ (65) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-19,3) + (65-1) 0,3) (2) \)\ (\ cdot 65 \) |
Odpoveď je pripravená. |
Odpoveď: \ (S_ (65) = - 630,5 \).
Príklad (OGE).
Aritmetický priebeh je určený podmienkami: \ (a_1 = -33 \); \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \). Nájdite súčet od \ (26 \) th do \ (42 \) prvku vrátane.
Riešenie:
|
\ (a_1 = -33; \) \ (a_ (n + 1) = a_n + 4 \) |
V tomto probléme musíte tiež nájsť súčet prvkov, ale nie od prvého, ale od \ (26 \) - th. V takom prípade nemáme vzorec. Ako sa rozhodnúť? |
|
|
Pre náš postup \ (a_1 = -33 \) a rozdiel \ (d = 4 \) (koniec koncov, sú to štyri, ktoré pridáme k predchádzajúcemu prvku, aby sme našli ďalší). Keď to vieme, zistíme súčet prvých \ (42 \) - yh prvkov. |
|
\ (S_ (42) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (42-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 42 = \) |
Teraz súčet prvých \ (25 \) - ty prvkov. |
|
\ (S_ (25) = \) \ (\ frac (2 \ cdot (-33) + (25-1) 4) (2) \)\ (\ cdot 25 = \) |
Nakoniec vypočítame odpoveď. |
|
\ (S = S_ (42) -S_ (25) = 2058-375 = 1683 \) |
Odpoveď: \ (S = 1683 \).
Existuje niekoľko ďalších vzorcov pre aritmetickú postupnosť, ktoré sme v tomto článku nezohľadnili kvôli ich nízkej praktickej užitočnosti. Môžete ich však ľahko nájsť.
Niekto si dáva pozor na slovo „progresia“ ako na veľmi zložitý pojem z odborov vyššej matematiky. Medzitým je najjednoduchšou aritmetickou postupnosťou práca taxametra (kde stále zostávajú). A pochopiť podstatu (a v matematike nie je nič dôležitejšie ako „porozumenie podstate“) aritmetickej postupnosti nie je také ťažké, pretože sme analyzovali niekoľko základných pojmov.
Poradie matematických čísel
Je obvyklé pomenovať sériu čísel číselnou postupnosťou, z ktorých každá má svoje vlastné číslo.
a 1 - prvý člen sekvencie;
a 2 je druhý člen sekvencie;
a 7 je siedmy člen sekvencie;
a n je n -tý člen sekvencie;
Nás však nezaujíma žiadna ľubovoľná množina čísel a čísel. Naša pozornosť bude zameraná na číselnú postupnosť, v ktorej je hodnota n -tého členu spojená s jeho radovým číslom závislosťou, ktorú je možné matematicky jasne formulovať. Inými slovami: číselná hodnota n-tého čísla je nejaká funkcia n.
a - hodnota člena numerickej postupnosti;
n je sériové číslo;
f (n) je funkcia, kde radovka v numerickej postupnosti n je argument.
Definícia
Aritmetická postupnosť sa zvyčajne nazýva číselná postupnosť, v ktorej je každý nasledujúci člen o rovnaké číslo väčší (menší) ako predchádzajúci. Vzorec pre n -tý člen aritmetickej postupnosti je nasledujúci:
a n - hodnota aktuálneho člena aritmetickej postupnosti;
a n + 1 - vzorec pre ďalšie číslo;
d - rozdiel (určité číslo).
Je ľahké určiť, že ak je rozdiel kladný (d> 0), potom každý nasledujúci člen uvažovanej série bude väčší ako predchádzajúci a takáto aritmetická postupnosť sa bude zvyšovať.
Na nižšie uvedenom grafe je ľahké pochopiť, prečo sa číselná postupnosť nazýva „vzostupne“.
V prípadoch, keď je rozdiel záporný (d<0), каждый последующий член по понятным причинам будет меньше предыдущего, график прогрессии станет «уходить» вниз, арифметическая прогрессия, соответственно, будет именоваться убывающей.
Hodnota zadaného člena
Niekedy je potrebné určiť hodnotu ľubovoľného člena a n aritmetickej postupnosti. Môžete to urobiť postupným výpočtom hodnôt všetkých členov aritmetickej postupnosti od prvého do požadovaného. Táto cesta však nie je vždy prijateľná, ak je napríklad potrebné nájsť zmysel päťtisícového alebo osemmiliónteho člena. Tradičný výpočet bude trvať dlho. Špecifickú aritmetickú progresiu je však možné skúmať pomocou špecifických vzorcov. Existuje aj vzorec pre n -tý výraz: hodnotu ktoréhokoľvek člena aritmetickej postupnosti možno definovať ako súčet prvého členu postupnosti s rozdielom postupnosti vynásobeným číslom požadovaného výrazu zníženého o jeden.
Vzorec je univerzálny pre zvyšovanie aj znižovanie progresie.
Príklad výpočtu hodnoty daného člena
Vyriešme nasledujúci problém hľadania hodnoty n -tého členu aritmetickej postupnosti.
Podmienka: existuje aritmetický priebeh s parametrami:
Prvý výraz v sekvencii je 3;
Rozdiel v číselnom rade je 1,2.
Zadanie: musíte nájsť hodnotu 214 členov
Riešenie: na určenie hodnoty daného výrazu použijeme vzorec:
a (n) = a1 + d (n-1)
Po nahradení údajov z príkazu problém do výrazu máme:
a (214) = a1 + d (n-1)
a (214) = 3 + 1,2 (214-1) = 258,6
Odpoveď: 214. člen v poradí je 258,6.
Výhody tejto metódy výpočtu sú zrejmé - celé riešenie trvá maximálne 2 riadky.
Súčet daného počtu členov
V danej aritmetickej sérii je veľmi často potrebné určiť súčet hodnôt určitého jej segmentu. To tiež nevyžaduje výpočet hodnôt každého výrazu a následné sčítanie. Táto metóda je použiteľná, ak je počet výrazov, ktoré sa majú nájsť, malý. V iných prípadoch je výhodnejšie použiť nasledujúci vzorec.
Súčet členov aritmetickej postupnosti od 1 do n sa rovná súčtu prvého a n -tého člena, vynásobeného číslom pojmu n a deleného dvoma. Ak je vo vzorci hodnota n -tého výrazu nahradená výrazom z predchádzajúceho odseku článku, dostaneme:
Príklad výpočtu
Vyriešime napríklad problém s nasledujúcimi podmienkami:
Prvý výraz v poradí je nula;
Rozdiel je 0,5.
V probléme musíte určiť súčet členov radu od 56. do 101.
Riešenie. Na určenie súčtu postupu použijeme vzorec:
s (n) = (2 ∙ a1 + d ∙ (n-1)) ∙ n / 2
Najprv určíme súčet hodnôt 101 členov progresie a nahradíme údaje o ich podmienkach nášho problému vzorcom:
s 101 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (101-1)) ∙ 101/2 = 2525
Je zrejmé, že na zistenie súčtu členov postupu od 56. do 101. miesta je potrebné od S 101 odpočítať S 55.
s 55 = (2 ∙ 0 + 0,5 ∙ (55-1)) ∙ 55/2 = 742,5
Súčet aritmetickej postupnosti pre tento príklad:
s 101 - s 55 = 2 255 - 742,5 = 1 782,5
Príklad praktickej aplikácie aritmetickej postupnosti
Na konci článku sa vráťme k príkladu aritmetickej postupnosti uvedenej v prvom odseku - taxameter (taxameter). Uvažujme o príklade.
Nástup na taxík (ktorý zahŕňa 3 km behu) stojí 50 rubľov. Každý nasledujúci kilometer sa platí vo výške 22 rubľov / km. Cestovná vzdialenosť 30 km. Vypočítajte náklady na cestu.
1. Zahoďme prvé 3 km, ktorých cena je zahrnutá v cene pristátia.
30 - 3 = 27 km.
2. Ďalší výpočet nie je nič iné ako analýza aritmetického číselného radu.
Číslo člena - počet najazdených kilometrov (mínus prvé tri).
Členská hodnota je súčet.
Prvý výraz v tomto probléme sa bude rovnať 1 = 50 p.
Rozdiel v progresii d = 22 p.
číslo, ktoré nás zaujíma, je hodnota (27 + 1) -tého členu aritmetickej postupnosti - počítadlo na konci 27. kilometra je 27,999 ... = 28 km.
a 28 = 50 + 22 ∙ (28 - 1) = 644
Výpočty kalendárnych údajov za ľubovoľne dlhé obdobie sú založené na vzorcoch popisujúcich určité číselné postupnosti. V astronómii je dĺžka obežnej dráhy geometricky závislá od vzdialenosti nebeského telesa od svietidla. Okrem toho sa v štatistike a ďalších aplikovaných odvetviach matematiky úspešne používajú rôzne číselné rady.
Ďalší typ číselnej postupnosti je geometrický
Geometrická progresia je charakterizovaná veľkými rýchlosťami zmeny v porovnaní s aritmetickými. Nie je náhoda, že v politike, sociológii, medicíne často hovoria, že sa tento proces vyvíja exponenciálne, aby ukázal vysoký stupeň šírenia javu, napríklad choroby počas epidémie.
N -tý člen geometrického číselného radu sa líši od predchádzajúceho v tom, že je vynásobený nejakým konštantným číslom - menovateľ, napríklad prvý člen je 1, menovateľ je 2, v tomto poradí:
n = 1: 1 ∙ 2 = 2
n = 2: 2 ∙ 2 = 4
n = 3: 4 ∙ 2 = 8
n = 4: 8 ∙ 2 = 16
n = 5: 16 ∙ 2 = 32,
b n - hodnota aktuálneho člena geometrickej postupnosti;
b n + 1 - vzorec nasledujúceho termínu geometrickej postupnosti;
q je menovateľ geometrickej postupnosti (konštantné číslo).
Ak je graf aritmetickej postupnosti priama čiara, potom geometrický nakreslí trochu iný obrázok:
Rovnako ako pre aritmetiku, geometrický priebeh má vzorec pre hodnotu ľubovoľného výrazu. Akýkoľvek n-tý člen geometrickej postupnosti sa rovná súčinu prvého členu v menovateli progresie na mocninu n, zníženého o jednu:
Príklad. Máme geometrickú postupnosť, pričom prvý člen sa rovná 3 a menovateľ postupnosti je 1,5. Nájdite 5. termín progresie
b 5 = b 1 ∙ q (5-1) = 3 ∙ 1,5 4 = 15,1875
Súčet daného počtu členov sa vypočíta rovnakým spôsobom pomocou špeciálneho vzorca. Súčet prvých n pojmov geometrickej postupnosti sa rovná rozdielu medzi súčinom n -tého členu postupnosti a jeho menovateľa a prvého členu postupnosti deleného menovateľom zníženého o jednu:
Ak sa nahradí b n pomocou vyššie uvedeného vzorca, hodnota súčtu prvých n výrazov uvažovaného číselného radu bude mať tvar:
Príklad. Geometrická postupnosť začína prvým pojmom rovným 1. Menovateľ je nastavený na hodnotu 3. Nájdite súčet prvých ôsmich výrazov.
s8 = 1 ∙ (3 8 -1) / (3-1) = 3 280
