614 uhlopriečok obdĺžnikového lichobežníka. Uhlopriečky lichobežníka. Vlastnosti priamky rovnobežnej so základňami lichobežníka
Opäť Pytagorovský trojuholník :))) Ak je kus veľkej uhlopriečky od veľkej základne po priesečník označený x, potom zo zrejmej podobnosti pravouhlých trojuholníkov s rovnakými uhlami vyplýva, že x / 64 = 36 / x, teda x = 48; 48/64 = 3 /4, preto VŠETKY pravouhlé trojuholníky tvorené základňami, uhlopriečkami a stranou kolmou na základňu sú podobné trojuholníku so stranami 3,4,5. Jedinou výnimkou je trojuholník tvorený kúskami uhlopriečok a šikmou stranou, ale to nás nezaujíma :). (Aby bolo jasné, predmetná podobnosť je len ĎALŠÍmi goniometrickými funkciami uhlov :) už poznáme dotyčnicu uhla medzi veľkou uhlopriečkou a veľkou základňou, je 3/4, čo znamená, že sínus je 3/5. , a kosínus je 4/5 :)) Môžete okamžite písať
Odpovede. Spodná základňa 80 bude 60 a horná 45. (36 * 5/4 = 45, 64 * 5/4 = 80, 100 * 3/5 = 60)
Podobné úlohy:
1. Základ hranola je trojuholník, ktorého jedna strana má 2 cm a ďalšie dve majú 3 cm. Bočný okraj je 4 cm a so základnou rovinou zviera uhol 45. Nájdite hranu rovníka -veľká kocka.
2. Základ šikmého hranola je rovnostranný trojuholník so stranou a; jedna z bočných strán je kolmá na základnú rovinu a je to kosoštvorec s menšou uhlopriečkou rovnajúcou sa c. Nájdite objem hranola.
3. V šikmom hranole je základňou pravouhlý trojuholník, ktorého prepona je c, jeden ostrý uhol je 30, bočný okraj sa rovná k a zviera so základnou rovinou uhol 60. Nájdite objem hranola.
1. Nájdite stranu štvorca, ak je jeho uhlopriečka 10 cm
2. V rovnoramennom lichobežníku je tupý uhol o 135 stupňov menší ako základňa má 4 cm a výška je 2 cm, nájdite oblasť lichobežníka?
3. Výška lichobežníka je 3 -krát väčšia ako jedna zo základní, ale o polovicu menšia ako druhá. Nájsť základňu lichobežníka a výšku, ak je plocha lichobežníka 168 cm na druhú?
4. V trojuholníku ABC uhol A = uhol B = 75 stupňov. Nájdite BC, ak je plocha trojuholníka 36 cm na druhú.
1. V lichobežníku ABCD so stranami AB a CD sa diagonály pretínajú v bode O
a) Porovnajte oblasti trojuholníkov ABD a ACD
b) Porovnajte oblasti trojuholníkov ABO a CDO
c) Dokážte, že OA * OB = OC * OD
2. Základňa rovnoramenného trojuholníka označuje bočnú stranu ako 4: 3 a výška k základni je 30 cm. Nájdite segmenty, na ktoré je táto výška delená úsečkou uhla v základni.
3. Čiara AM -dotyčnica kružnice, AB -akord tohto kruhu. Dokážte, že uhol MAB je meraný polovicou oblúka AB umiestneným vo vnútri uhla MAB.
- Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka je rovný polovici základného rozdielu
- Trojuholníky tvorené základmi lichobežníka a segmentmi uhlopriečok k bodu ich priesečníka sú podobné
- Trojuholníky tvorené segmentmi uhlopriečok lichobežníka, ktorých strany ležia na bočných stranách lichobežníka - rovnaké (majú rovnakú plochu)
- Ak predĺžite bočné strany lichobežníka smerom k menšej základni, potom sa v jednom bode pretnú s priamkou spájajúcou stredy základov.
- Segment spájajúci základne lichobežníka a prechádzajúci bodom priesečníka uhlopriečok lichobežníka je týmto bodom rozdelený v pomere rovnajúcom sa pomeru dĺžok základov lichobežníka
- Segment rovnobežný so základňami lichobežníka a nakreslený priesečníkom uhlopriečok je týmto bodom rozdelený na polovicu a jeho dĺžka sa rovná 2ab / (a+ b), kde a a b sú základy lichobežníka
Vlastnosti úsečky spájajúcej stredy uhlopriečok lichobežníka
Spájame stredy uhlopriečok lichobežníka ABCD, v dôsledku čoho máme segment LM.
Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka, leží na stredovej čiare lichobežníka.
Tento segment rovnobežne so základňou lichobežníka.
Dĺžka segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovičnému rozdielu jeho základní.
LM = (AD - BC) / 2
alebo
LM = (a-b) / 2
Vlastnosti trojuholníkov tvorených uhlopriečkami lichobežníka
Trojuholníky, ktoré sú tvorené základmi lichobežníka a priesečníkom uhlopriečok lichobežníka - sú podobné.
Trojuholníky BOC a AOD sú podobné. Pretože uhly BOC a AOD sú zvislé, sú rovnaké.
Uhly OCB a OAD sú vnútorné priečne s rovnobežnými čiarami AD a BC (základy lichobežníka sú navzájom rovnobežné) a sečnou čiarou AC, preto sú rovnaké.
Uhly OBC a ODA sú z rovnakého dôvodu rovnaké (vnútorné kríženie).
Pretože všetky tri uhly jedného trojuholníka sú rovnaké ako zodpovedajúce uhly druhého trojuholníka, sú tieto trojuholníky podobné.
Čo z toho vyplýva?
Na riešenie problémov v geometrii sa podobnosť trojuholníkov používa nasledovne. Ak poznáme hodnoty dĺžok dvoch zodpovedajúcich prvkov podobných trojuholníkov, tak nájdeme koeficient podobnosti (delíme jeden po druhom). Odtiaľ sa dĺžky všetkých ostatných prvkov vzťahujú k sebe s presne rovnakou hodnotou.
Vlastnosti trojuholníkov ležiacich na boku a uhlopriečky lichobežníka
Uvažujme dva trojuholníky ležiace na bočných stranách lichobežníka AB a CD. Ide o trojuholníky AOB a COD. Napriek tomu, že veľkosti jednotlivých strán týchto trojuholníkov môžu byť úplne odlišné, ale oblasti trojuholníkov tvorených stranami a priesečník uhlopriečok lichobežníka sú, to znamená, že trojuholníky majú rovnakú veľkosť.
Ak predĺžite strany lichobežníka smerom k menšej základni, potom bude priesečníkom strán bod zarovnajte s priamkou, ktorá prechádza stredmi základní.
Akýkoľvek lichobežník je teda možné predĺžiť na trojuholník. Kde:
- Trojuholníky tvorené základmi lichobežníka so spoločným vrcholom v priesečníku predĺžených bočných strán sú podobné
- Priama čiara spájajúca stredové body základov lichobežníka je súčasne mediánom zostrojeného trojuholníka
Vlastnosti čiary spájajúcej lichobežníkové základne
Ak nakreslíte segment, ktorého konce ležia na základoch lichobežníka, ktorý leží v mieste priesečníku uhlopriečok lichobežníka (KN), potom je pomer jeho základných segmentov zo strany základne k priesečník uhlopriečok (KO / ON) sa bude rovnať pomeru základov lichobežníka(BC / AD).
KO / ON = BC / AD
Táto vlastnosť vyplýva z podobnosti zodpovedajúcich trojuholníkov (pozri vyššie).
Vlastnosti priamky rovnobežnej so základňami lichobežníka
Ak nakreslíte segment rovnobežný so základmi lichobežníka a prechádzajúci bodom priesečníka uhlopriečok lichobežníka, bude mať nasledujúce vlastnosti:
- Prednastavená vzdialenosť (KM) rozdeľuje priesečník uhlopriečok lichobežníka na polovicu
- Dĺžka segmentu prechádzajúci bodom priesečníka uhlopriečok lichobežníka a rovnobežných so základňami sa rovná KM = 2ab / (a+ b)
Vzorce na hľadanie uhlopriečok lichobežníka
a, b- základňa lichobežníka
c, d- bočné strany lichobežníka
d1 d2- lichobežníkové uhlopriečky
α β - uhly s väčšou základňou lichobežníka
Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka cez základne, boky a uhly v základni
Prvá skupina vzorcov (1-3) odráža jednu z hlavných vlastností lichobežníkových uhlopriečok:
1. Súčet štvorcov uhlopriečok lichobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín strán plus dvojnásobok súčinu jeho základní. Túto vlastnosť uhlopriečok lichobežníka je možné dokázať ako samostatnú vetu
2 ... Tento vzorec sa získa konverziou predchádzajúceho vzorca. Štvorec druhej uhlopriečky je prehodený znamienkom rovnosti, potom je odmocnina extrahovaná z ľavej a pravej strany výrazu.
3 ... Tento vzorec na nájdenie dĺžky uhlopriečky lichobežníka je podobný predchádzajúcemu s rozdielom, že na ľavej strane výrazu je ponechaná ďalšia uhlopriečka
Ďalšia skupina vzorcov (4-5) má podobný význam a vyjadruje podobný pomer.
Skupina vzorcov (6-7) vám umožní nájsť uhlopriečku lichobežníka, ak je známa väčšia základňa lichobežníka, jedna strana a uhol v základni.
Vzorce na nájdenie uhlopriečok lichobežníka z hľadiska výšky
Úloha.
Uhlopriečky lichobežníka ABCD (AD | | BC) sa pretínajú v bode O. Nájdite dĺžku základne BC lichobežníka, ak je základňa AD = 24 cm, dĺžka AO = 9 cm, dĺžka OC = 6 cm.
Riešenie.
Riešenie tohto problému z hľadiska ideológie je úplne totožné s predchádzajúcimi problémami.
Trojuholníky AOD a BOC sú podobné v troch uhloch - AOD a BOC sú zvislé a ostatné uhly sú v pároch rovnaké, pretože sú vytvorené priesečníkom jednej priamky a dvoch rovnobežných čiar.
Pretože sú trojuholníky podobné, všetky ich geometrické rozmery sú navzájom prepojené, pretože geometrické rozmery segmentov AO a OC sú nám známe z tvrdenia o probléme. To je
AO / OC = AD / BC
9/6 = 24 / pred Kr
BC = 24 * 6/9 = 16
Odpoveď: 16 cm
Úloha.
Pri lichobežníkovom ABCD je známe, že AD = 24, BC = 8, AC = 13, BD = 5√17. Nájdite oblasť lichobežníka. 
Riešenie .
Aby sme zistili výšku lichobežníka z vrcholov menšej základne B a C, znížime dve výšky na väčšiu základňu. Pretože lichobežník je nerovnomerný, označujeme dĺžku AM = a, dĺžku KD = b ( nesmie byť zamieňaný s zápisom vo vzorci nájdenie oblasti lichobežníka). Pretože základy lichobežníka sú rovnobežné a vynechali sme dve výšky kolmé na väčšiu základňu, potom MBCK je obdĺžnik.
Prostriedky
AD = AM + BC + KD
a + 8 + b = 24
a = 16 - b
Trojuholníky DBM a ACK sú obdĺžnikové, takže ich pravé uhly sú tvorené výškami lichobežníka. Označme výšku lichobežníka h. Potom Pythagorovou vetou
H 2 + (24 - a) 2 = (5√17) 2
a
h 2 + (24 - b) 2 = 13 2
Berieme do úvahy, že a = 16 - b, potom v prvej rovnici
h 2 + (24 - 16 + b) 2 = 425
h 2 = 425 - (8 + b) 2
Nahraďme hodnotu štvorca výšky v druhej rovnici získanej Pytagorovou vetou. Dostaneme:
425 - (8 + b) 2 + (24 - b) 2 = 169
- (64 + 16b + b) 2 + (24 - b) 2 = -256
-64 - 16b - b 2 + 576 - 48b + b 2 = -256
-64b = -768
b = 12
Takže KD = 12
Kde
h 2 = 425 - (8 + b) 2 = 425 - (8 + 12) 2 = 25
h = 5
Nájdite oblasť lichobežníka prostredníctvom jeho výšky a polovice súčtu základov
, kde a b je základňa lichobežníka, h je výška lichobežníka
S = (24 + 8) * 5/2 = 80 cm 2
Odpoveď: plocha lichobežníka je 80 cm 2.
Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, pri riešení problému bude užitočný nasledujúci teoretický materiál.
1. Ak sú v rovnoramennom lichobežníku uhlopriečky kolmé, výška lichobežníka sa rovná polovici súčtu základní.
Nakreslite čiaru CF rovnobežnú s BD bodom C a predĺžte čiaru AD k priesečníku s CF.
Štvoruholník BCFD - rovnobežník (BC∥ DF ako základ lichobežníka, BD∥ CF konštrukciou). Preto CF = BD, DF = BC a AF = AD + BC.
Trojuholník ACF je obdĺžnikový (ak je čiara kolmá na jednu z dvoch rovnobežných čiar, potom je kolmá aj na druhú čiaru). Pretože uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku sú rovnaké a CF = BD, potom CF = AC, to znamená, že trojuholník ACF je rovnoramenný so základňou AF. Jeho výška CN je preto tiež mediánom. A pretože medián pravouhlého trojuholníka nakresleného na preponu sa rovná jeho polovici, potom
ktoré vo všeobecnosti možno písať ako
kde h je výška lichobežníka, a a b sú jeho základňou.
2. Ak sú v rovnoramennom lichobežníku uhlopriečky kolmé, potom sa jeho výška rovná stredovej čiare.
Pretože stredná čiara lichobežníka m je rovná polovičnému súčtu báz, potom
3. Ak sú v rovnoramennom lichobežníku uhlopriečky kolmé, potom sa plocha lichobežníka rovná štvorcu výšky lichobežníka (alebo štvorca polovičného súčtu základov alebo štvorca stredovej čiary). ).
Pretože oblasť lichobežníka je stanovená vzorcom
a výška, polovičný súčet základov a stredná čiara rovnoramenného lichobežníka s kolmými uhlopriečkami sú si navzájom rovnaké:
4. Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, potom sa štvorec jeho uhlopriečky rovná polovici štvorca súčtu základní, ako aj dvojnásobku štvorca výšky a dvojnásobku štvorca stredovej čiary.
Pretože oblasť konvexného štvoruholníka možno nájsť cez jeho uhlopriečky a uhol medzi nimi podľa vzorca
