Kortelės

Sveikas studentas. Kaip apytiksliai naudojant seriją rasti konkretų DE sprendimą? Eilutės. Pagrindinės sąvokos. Būtinas konvergencijos ženklas

galios serija.

Naudojant galios eilutes galima integruoti diferencialines lygtis.

Apsvarstykite formos tiesinę diferencialinę lygtį:

Jei visi koeficientai ir dešinioji šios lygties pusė tam tikru intervalu išplečiami į konvergencinius galios serija, tada yra šios lygties sprendimas tam tikroje mažoje nulinio taško kaimynystėje, kuri tenkina pradines sąlygas.

Šis sprendimas gali būti pavaizduotas galių serija:

Norint rasti sprendimą, belieka nustatyti nežinomas konstantas c i.

Šią problemą galima išspręsti neapibrėžtųjų koeficientų palyginimo metodas. Parašytą norimos funkcijos išraišką pakeičiame į pradinę diferencialinę lygtį, atlikdami visas būtinas operacijas su laipsnių eilėmis (diferencijavimas, sudėjimas, atėmimas, daugyba ir kt.)

Tada sulyginame koeficientus tais pačiais laipsniais X kairėje ir dešinėje lygties pusėse. Dėl to, atsižvelgiant į pradines sąlygas, gauname lygčių sistemą, iš kurios paeiliui nustatome koeficientus c i.

Atkreipkite dėmesį, kad šis metodas taip pat taikomas netiesinėms diferencialinėms lygtims.

Pavyzdys. Raskite lygties sprendimą su pradinėmis sąlygomis y(0)=1, y’(0)=0.

Formoje ieškosime lygties sprendimo

Gautas išraiškas pakeičiame į pradinę lygtį:

Iš čia gauname:

………………

Mes gauname pakeisdami pradines sąlygasį norimos funkcijos ir jos pirmosios išvestinės išraiškas:

Galiausiai gauname:

Yra ir kitas diferencialinių lygčių sprendimo būdas naudojant serijas. Tai vadinama nuoseklaus diferenciacijos metodas.

Pažiūrėkime į tą patį pavyzdį. Ieškosime diferencialinės lygties sprendimo kaip nežinomos funkcijos išplėtimas Maklaurino serijoje.

Jei nurodytos pradinės sąlygos y(0)=1, y’(0)=0 pakeičiant pradinę diferencialinę lygtį, tai gauname

Pakeitę gautas vertes, gauname:

Furjė serija.

(Žanas Baptistas Josephas Fourier (1768–1830) – prancūzų matematikas)

Trigonometrinė serija.

Apibrėžimas. Trigonometrinė serija vadinama formos serija:

arba trumpai tariant,

Realūs skaičiai a i, b i vadinami trigonometrinių eilučių koeficientais.

Jei aukščiau pateikto tipo eilutė suartėja, tada jos suma yra periodinė funkcija su periodu 2p, nes funkcijos nuodėmė nx ir cos nx taip pat periodines funkcijas su periodu 2p.

Tegul trigonometrinės eilutės tolygiai konverguoja atkarpoje [-p; p], taigi bet kuriame atkarpoje dėl periodiškumo, o jo suma lygi f(x).

Nustatykime šios serijos koeficientus.

Norėdami išspręsti šią problemą, naudojame šias lygybes:

Šių lygybių galiojimas išplaukia iš jų taikymo integrandui trigonometrines formules. Norėdami gauti daugiau informacijos, žr. Trigonometrinių funkcijų integravimas.

Nes funkcija f(x) yra tęstinis intervale [-p; p], tada yra integralas

Šis rezultatas gaunamas dėl to, kad.

Iš čia gauname:

Panašiai funkcijos serijos išplėtimo išraišką padauginame iš nuodėmės nx ir integruoti diapazone nuo -p iki p.

Mes gauname:

Koeficiento išraiška a 0 yra ypatingas koeficientų išreiškimo atvejis a n.

Taigi, jei funkcija f(x)– bet kuri periodinė 2p periodo funkcija, ištisinė intervale [-p; p] arba turintis baigtinį skaičių pirmojo tipo nenutrūkstamų taškų šiame atkarpoje, tada koeficientai

egzistuoja ir yra vadinami Furjė koeficientai už funkciją f(x).

Apibrėžimas. Netoli Furjė už funkciją f(x) vadinama trigonometrine eilute, kurios koeficientai yra Furjė koeficientai. Jei funkcijos Furjė serija f(x) suartėja su juo visuose tęstinumo taškuose, tada sakome, kad funkcija f(x) išsiplečia į Furjė seriją.

Pakankami skaidomumo požymiai Furjė serijoje.

Teorema. (Dirichlet teorema) Jei funkcijos f(x) periodas yra 2p ir atkarpoje

[-p;p] yra ištisinis arba turi baigtinį pirmojo tipo nenutrūkstamų taškų skaičių, o atkarpa

[-p;p] galima suskirstyti į baigtinį segmentų skaičių taip, kad kiekvienoje iš jų funkcija f(x) būtų monotoniška, tada funkcijos f(x) Furjė eilutė suartėja visoms x reikšmėms, o funkcijos f(x) tęstinumo taškuose jos suma lygi f(x), o nenutrūkstamumo taškuose suma lygi , t.y. kairėje ir dešinėje esančių ribinių verčių aritmetinis vidurkis. Šiuo atveju funkcijos f(x) Furjė eilutė tolygiai konverguoja į bet kurią atkarpą, kuri priklauso funkcijos f(x) tęstinumo intervalui.

Vadinama funkcija f(x), kuriai tenkinamos Dirichlet teoremos sąlygos fragmentiškai monotoniškas segmente [-p;p].

Teorema. Jei funkcijos f(x) periodas yra 2p, be to, f(x) ir jos išvestinė f’(x) – nuolatinės funkcijos intervale [-p;p] arba turi baigtinį šio intervalo pirmosios rūšies nenutrūkstamų taškų skaičių, tada funkcijos f(x) Furjė serija suartėja visoms x reikšmėms ir taškuose tęstinumas jo suma lygi f(x), o nenutrūkstamumo taškuose lygi . Šiuo atveju funkcijos f(x) Furjė eilutė tolygiai konverguoja į bet kurią atkarpą, priklausančią funkcijos f(x) tęstinumo intervalui.

Funkcija, kuri tenkina šios teoremos sąlygas, vadinama gabalais – lygus segmente [-p;p].

Furjė serijos neperiodinės funkcijos išplėtimas.

Neperiodinės funkcijos išplėtimo į Furjė eilutę problema iš esmės nesiskiria nuo periodinės funkcijos išplėtimo į Furjė eilutę.

Tarkime, funkcija f(x) yra pateiktas segmente ir yra monotoniškas šiame segmente. Apsvarstykite savavališką periodinę monotoninę funkciją f 1 (x) su laikotarpiu 2T ³ ïb-aï, sutampa su funkcija f(x) atkarpoje .

a - 2T a a b a+2T a + 4T x

Taigi funkcija f(x) buvo pridėta. Dabar funkcija f 1 (x) išsiplečia į Furjė seriją. Šios serijos suma visuose atkarpos taškuose sutampa su funkcija f(x), tie. galime manyti, kad funkcija f(x) segmente buvo išplėsta Furjė serija.

Taigi, jei funkcija f(x) pateikta intervale, lygiu 2p, ji niekuo nesiskiria nuo periodinės funkcijos eilės išplėtimo. Jei segmentas, kuriame pateikta funkcija, yra mažesnis nei 2p, tada funkcija išplečiama iki intervalo (b, a + 2p), kad būtų išsaugotos išplėtimo į Furjė eilutę sąlygos.

Paprastai tariant, šiuo atveju duotosios funkcijos tęsimas į 2p ilgio atkarpą (intervalą) gali būti atliktas be galo daug būdų, todėl gautų eilučių sumos bus skirtingos, bet sutaps su duotuoju funkcija f(x) atkarpoje.

Furjė serija, skirta lyginėms ir nelyginėms funkcijoms.

Atkreipkime dėmesį į šias lyginių ir nelyginių funkcijų savybes:

2) Dviejų lyginių ir nelyginių funkcijų sandauga yra lyginė funkcija.

3) Lyginių ir nelyginių funkcijų sandauga yra nelyginė funkcija.

Šių savybių pagrįstumą galima nesunkiai įrodyti remiantis lyginių ir nelyginių funkcijų apibrėžimu.

Jei f(x) yra lyginė periodinė funkcija su periodu 2p, tenkinanti Furjė serijos plėtimosi sąlygas, tada galime parašyti:

Taigi, lygiai funkcijai Furjė eilutė parašyta:

Panašiai gauname Furjė serijos išplėtimą nelyginei funkcijai:

Pavyzdys. Išplėskite į Furjė eilutę periodinę funkciją, kurios periodas T = 2p intervale [-p;p].

Pateikta funkcija yra nelyginė, todėl Furjė koeficientų ieškome tokia forma:

Apibrėžimas. Furjė serija ortogonalioje funkcijų sistemoje j 1 (x), j 2 (x), …, jn (x) vadinama formos serija:

kurių koeficientai nustatomi pagal formulę:

Kur f(x)= yra serijos, tolygiai susiliejančios atkarpoje išilgai stačiakampės funkcijų sistemos, suma. f(x) – bet kuri funkcija, kuri yra ištisinė arba turi baigtinį skaičių pirmos rūšies nutrūkimo taškų atkarpoje.

Ortonormalios funkcijų sistemos atveju nustatomi koeficientai:

Kai naudojate kompiuterio versiją " Aukštasis matematikos kursas“ galima paleisti programą, kuri išplečia savavališką funkciją į Furjė seriją.

Taylor serija. Maclaurin serija

Tegul funkcija, besiskirianti begalinį kartų skaičių taško kaimynystėje, t.y. turi bet kokios eilės išvestinių. Taylor funkcijos taške yra laipsnio eilutė

Ypatingu atveju serija (1.8) vadinama Maclaurin serija:

Kyla klausimas: kokiais atvejais Taylor serija funkcijai, diferencijuotai begalinį skaičių kartų taško kaimynystėje, sutampa su funkcija?

Gali būti atvejų, kai funkcijos Teiloro eilutė suartėja, tačiau jos suma nėra lygi

Pateiksime pakankamą funkcijos Teiloro eilutės konvergencijos sąlygą šiai funkcijai.

1.4 teorema: jei intervale funkcija turi bet kokios eilės išvestines ir visos jos absoliučia reikšme apribotos tuo pačiu skaičiumi, t.y. tada šios funkcijos Taylor serija suartėja į bet kurį iš šio intervalo, t.y. yra lygybė

Norint nustatyti, ar ši lygybė galioja konvergencijos intervalo galuose, reikia atlikti atskirus tyrimus.

Reikėtų pažymėti, kad jei funkcija išplečiama į laipsnio eilutę, tai ši serija yra šios funkcijos Taylor (Maclaurin) serija, ir ši išplėtimas yra unikalus.

Diferencialinės lygtys

Įprastas diferencialinė lygtis n-oji argumentų funkcijos eilė vadinama formos ryšiu

kur yra duotoji jos argumentų funkcija.

Šios matematinių lygčių klasės pavadinime sąvoka „diferencialas“ pabrėžia, kad jos apima išvestines (funkcijas, susidarančias dėl diferenciacijos); terminas „įprastas“ rodo, kad norima funkcija priklauso tik nuo vieno tikrojo argumento.

Įprastoje diferencialinėje lygtyje negali būti aiškiai nurodytos norimos funkcijos argumento ir kurios nors jos išvestinės, tačiau aukščiausia išvestinė turi būti įtraukta į n-osios eilės lygtį.

Pavyzdžiui,

A) - pirmos eilės lygtis;

B) – trečios eilės lygtis.

Rašant įprastas diferencialines lygtis, dažnai naudojamas išvestinių diferencialų žymėjimas:

B) - antros eilės lygtis;

D) - pirmosios eilės lygtis, kurią padalijus iš lygiavertės formos, susidaro tokia lygtis:

Funkcija vadinama įprastos diferencialinės lygties sprendimu, jei ją pakeitus į ją, ji virsta tapatybe.

Vienu ar kitu būdu, pavyzdžiui, atranka, rasti vieną funkciją, kuri tenkina lygtį, nereiškia jos sprendimo. Išspręsti įprastą diferencialinę lygtį reiškia surasti visas funkcijas, kurios sudaro tapatybę, kai jos pakeičiamos į lygtį. Pagal (1.10) lygtį tokių funkcijų šeima sudaroma naudojant savavališkas konstantas ir vadinama bendruoju n-osios eilės įprastos diferencialinės lygties sprendiniu, o konstantų skaičius sutampa su lygties tvarka: Bendrasis sprendimas negali būti turi būti aiškiai išspręstas atsižvelgiant į Šiuo atveju sprendimas paprastai vadinamas bendruoju lygties (1.10) integralu.

Priskirdami tam tikras leistinas reikšmes visoms savavališkoms konstantoms bendrame sprendime arba bendrame integrale, gauname tam tikrą funkciją, kurioje nebėra savavališkų konstantų. Ši funkcija vadinama lygties (1.10) daliniu sprendiniu arba daliniu integralu. Norint rasti savavališkų konstantų reikšmes, taigi ir konkretų sprendimą, naudojamos įvairios papildomos (1.10) lygties sąlygos. Pavyzdžiui, vadinamąsias pradines sąlygas galima nurodyti adresu:

Pradinių sąlygų (1.11) dešinėje pusėje pateiktos funkcijos ir išvestinių skaitinės reikšmės ir iš viso pradinės sąlygos yra lygios apibrėžtų savavališkų konstantų skaičiui.

Problema rasti konkretų (1.10) lygties sprendimą, remiantis pradinėmis sąlygomis, vadinama Koši problema.

Diferencialinių lygčių integravimas naudojant serijas

Bendruoju atveju neįmanoma rasti tikslaus pirmosios eilės įprastos diferencialinės lygties (ODE) sprendimo ją integruojant. Be to, tai neįmanoma ODE sistemoje. Ši aplinkybė paskatino sukurti didelis skaičius apytiksliai ODE ir jų sistemų sprendimo metodai. Tarp apytikslių metodų galima išskirti tris grupes: analitinį, grafinį ir skaitinį. Žinoma, tokia klasifikacija tam tikru mastu yra savavališka. Pavyzdžiui, grafinis Eulerio trūkinių linijų metodas yra vienas iš diferencialinės lygties skaitinio sprendimo metodų.

ODE integravimas naudojant galios eilutes yra apytikslis analitinis metodas, paprastai taikomas bent antros eilės tiesinėms lygtims. Paprastumo dėlei mes apsiribojame tiesiniu vienalyčiu antros eilės ODE su kintamaisiais koeficientais.

Pastaba: formoje gali būti pavaizduota gana plati funkcijų klasė

kur yra kai kurios konstantos. Ši išraiška vadinama galių eilute.

Tarkime, kad funkcijas galima išplėsti į eilutes, konverguojančias intervale:

Galioja sekanti teorema (praleidžiant įrodymą, pateikiame tik jo formuluotę).

1.5 teorema: jei funkcijos turi formą (1.13), tai bet kuris ODE (1.12) sprendimas gali būti pavaizduotas kaip laipsnių eilutė, susiliejanti ties:

Ši teorema ne tik leidžia pavaizduoti sprendinį laipsnių eilutės forma, bet ir, svarbiausia, pateisina eilučių (1.14) konvergenciją. Paprastumo dėlei įdedame (1.13) ir (1.14) ir ieškome ODE (1.12) sprendimo formoje

Pakeitę (1.15) į (1.12), gauname lygybę

Norint įvykdyti (1.16), būtina, kad kiekvieno laipsnio koeficientas būtų lygus nuliui.

Iš šios sąlygos gauname begalinę linijinę sistemą algebrines lygtis

iš kurių galima paeiliui rasti, ar nustatomos reikšmės ir (ODE (1.12) Koši problemos atveju jos įtraukiamos į pradines sąlygas).

Jeigu funkcijos racionalios, t.y.

kur yra daugianariai, tai šalia taškų, kuriuose gali nebūti sprendinio laipsnio eilutės pavidalu, o jei jis egzistuoja, jis gali skirtis visur, išskyrus tašką. Šią aplinkybę žinojo L. Euleris. kurie laikė pirmos eilės lygtį

Šią lygtį tenkina laipsnių eilutė

Tačiau nesunku pastebėti, kad ši serija skiriasi

ODE sprendimas divergentinės laipsnio eilutės forma vadinamas formaliuoju.

KAZACHSTANO RESPUBLIKOS ŠVIETIMO IR MOKSLO MINISTERIJA

Šiaurės Kazachstano valstybinis universitetas

juos. M. Kozybajeva

Informacinių technologijų fakultetas

Matematikos katedra

Kursiniai saugomi

su įvertinimu "___________"

"___"___________ 2013 m

galva skyrius____________

A. Tadžigitovas

KURSINIS darbas matematikoje

„DIFERENCINIŲ LYGČIŲ INTEGRACIJA

NAUDOJANT POWER SERIES"

VADOVAS: Valeeva M.B. ___________

Petropavlovskas 2013 m

ADAPTA

Berilgen kurstyk zhumysta qatarlarmen zhane diferencialai tendemelermen baylanysty theorylyk suraktar karastyrylgan. еңdemенің integralдауынң mysaldars skirtumai zґе ңағаз қаторлARDың көмімін ка pakankamaiрылған.

ANOTACIJA

Šiame kursinis darbas Nagrinėjami teoriniai klausimai, susiję su eilėmis ir diferencialinėmis lygtimis. Nagrinėjami diferencialinių lygčių integravimo, naudojant laipsnių eilutes, pavyzdžiai.

pateiktame darbe nagrinėjami teoriniai klausimai, kurie yra susiję su eilėmis ir diferencialinėmis lygtimis. Nagrinėjami integravimo dalinių diferencialinių lygčių pavyzdžiai naudojant galių eilutes.

ĮVADAS

PAGRINDINĖS SĄVOKOS, SUSIJUSIOS SU SERIJA IR DIFERENCINĖMIS LYGTIMIS

1 eilutės. Pagrindinės sąvokos. Būtinas konvergencijos ženklas

2 Power serija. Galios eilučių savybės

3 Taylor Row. Maclaurin serija

4 Diferencialinės lygtys

5 Diferencialinių lygčių integravimas naudojant serijas

POWER SERIES NAUDOJIMO INTEGRUOJANT DIFERENCIALES LYGTIES PAVYZDŽIAI

1 Airy lygtis

2 Beselio lygtis

3 Integravimo pavyzdžiai

4 „Maple“ integravimo pavyzdžiai

IŠVADA

ĮVADAS

Terminas „diferencialinė lygtis“ kilęs iš Leibnizo (1676 m., paskelbtas 1684 m.). Diferencialinių lygčių tyrimų pradžia siekia Leibnizo ir Niutono laikus, kurių darbuose buvo tiriamos pirmosios problemos, vedančios į tokias lygtis. Leibnicas, Newtonas, broliai J. ir I. Bernoulli sukūrė įprastų diferencialinių lygčių integravimo metodus. Kaip universalus metodas buvo naudojamas diferencialinių lygčių integralų išplėtimas į laipsnių eilutes.

Šiais laikais plačiai paplitęs skaičiavimo metodų diegimas moksle, susijęs su didelės galios skaičiavimo įrankių atsiradimu, reikalauja iš naujo įvertinti įvairių matematikos šakų ir ypač įprastų diferencialinių lygčių teorijos skyrių svarbą. Šiuo metu išaugo diferencialinių lygčių sprendinių kokybinio tyrimo metodų, taip pat apytikslios sprendinių paieškos metodų svarba.

Daugelio diferencialinių lygčių sprendiniai nėra išreikšti elementariomis funkcijomis ar kvadratais. Tokiais atvejais naudojami apytiksliai diferencialinių lygčių integravimo metodai. Vienas iš tokių būdų yra lygties sprendinį pavaizduoti laipsnių eilėmis; šios serijos baigtinio skaičiaus narių suma bus apytiksliai lygi norimam sprendiniui. Tai lemia pasirinktos tyrimo temos aktualumą.

Šio darbo tikslas: parodyti laipsnių eilučių metodo panaudojimą diferencialinių lygčių integravime.

Tyrimo objektas – diferencialinių lygčių integravimo procesas laipsnių eilučių metodu.

Tyrimo objektas – diferencialinių lygčių integravimo laipsnių eilutėmis formos, metodai ir priemonės.

Atsižvelgiant į tikslą, gali būti suformuluoti pagrindiniai šio darbo tikslai:

Peržiūrėkite pagrindines sąvokas, susijusias su serijomis ir diferencialinėmis lygtimis.

Išanalizuoti diferencialinių lygčių integravimo, naudojant laipsnių eilutes, metodą.

Norėdami išspręsti įvairias problemas, taikykite galios serijos metodą.

Darbo struktūra: titulinis lapas, darbo užduoties forma, santrauka, turinys, įvadas, pagrindinė dalis, išvada, literatūros sąrašas.

Pagrindinė darbo dalis susideda iš dviejų skyrių. Pirmas skyrius atskleidžia serijų, laipsnių eilučių, Teiloro eilučių ir diferencialinių lygčių sąvokas. Antrame skyriuje nagrinėjami diferencialinių lygčių integravimo laipsnių eilutėmis pavyzdžiai.

Teorinei darbo daliai studijuoti naudota mokomosios literatūros ir periodinės spaudos medžiaga, nurodyta naudojamos literatūros sąraše.

Darbo apimtis: 26 puslapiai.

1. PAGRINDINĖS SĄVOKOS, SUSIJUSIOS SU SERIJA IR DIFERENCINĖMIS LYGTIMIS

1.1 eilutės. Pagrindinės sąvokos. Būtinas konvergencijos ženklas

Matematiniuose taikymuose, taip pat sprendžiant kai kurias ekonomikos, statistikos ir kitų sričių problemas, nagrinėjamos sumos su begaliniu terminų skaičiumi. Čia pateiksime apibrėžimą, ką reiškia tokios sumos.

Tegu pateikta begalinė skaičių seka. Skaičių serija arba tiesiog eilutė yra formos išraiška (suma).

,(1.1)

skaičiai vadinami serijos nariais – bendraisiais arba n-asis terminas eilė.

Norėdami apibrėžti eilutę (1.1), pakanka nurodyti natūralaus argumento funkciją, skaičiuojant n-ąjį serijos narį pagal jos skaičių

1.1 pavyzdys. Leisti . Eilė

(1.2)

vadinama harmonine serija.

Iš (1.1) serijos sąlygų sudarome skaičių seka dalines sumas Kur - pirmųjų serijos narių suma, kuri vadinama n-ąja daline suma, t.y.

(1.3)

Skaičių seka neribotai padidinus skaičių, jis gali:

) turėti baigtinę ribą;

) neturi baigtinės ribos (riba neegzistuoja arba yra lygi begalybei).

Serija (1.1) vadinama konvergentine, jeigu jos dalinių sumų seka (1.3) turi baigtinę ribą, t.y.

Šiuo atveju skaičius vadinamas serijų suma (1.1) ir rašomas

Serija (1.1) vadinama divergentine, jei jos dalinių sumų seka neturi baigtinės ribos. Divergentinėms serijoms suma nepriskiriama.

Taigi konvergencinės eilutės (1.1) sumos radimo problema yra lygiavertė jos dalinių sumų sekos ribos apskaičiavimui.

Teoremos įrodymas išplaukia iš to, kad , ir jeigu

S yra serijų (1.1) suma

Sąlyga (1.4) yra būtina, bet nepakankama eilutės konvergencijos sąlyga. Tai yra, jei bendras serijos terminas linkęs į nulį ties , tai nereiškia, kad serija susilieja. Pavyzdžiui, harmonikų serijai (1.2)

tačiau skiriasi.

Išvada (Pakankamas serijos skirtumo požymis): jei bendras serijos terminas nėra linkęs į nulį, tada ši eilutė skiriasi.

1.2 pavyzdys. Išnagrinėkite eilutes, ar nėra konvergencijos

Šiai serijai Todėl ši serija skiriasi.

1.1 1.2 Galios serija. Galios eilučių savybės

Galios serijos yra ypatingas funkcinių serijų atvejis.

Galios serija yra funkcinė formos serija

čia yra pastovūs realieji skaičiai, vadinami laipsnio eilučių koeficientais;

Kažkoks pastovus skaičius;

Kintamasis, kuris paima reikšmes iš realiųjų skaičių rinkinio.

Kai laipsnio eilutė (1.5) įgauna formą

(1.6)

Laipsniška eilutė (1.5) vadinama laipsnių eilėmis (1.6) – tai laipsnių eilė. serijos, kurios gali suartėti arba skirtis.

Laipsnių eilutės konvergencijos sritis yra reikšmių rinkinys, prie kurio laipsnių eilutė suartėja.

1.2 teorema (Abelio teorema): jei laipsnių eilutė (1.6) suartėja, tada ji absoliučiai konverguoja visoms nelygybę tenkinančioms vertėms, bet jei eilutė (1.6) skiriasi tuo metu, ji skiriasi visoms nelygybę tenkinančioms reikšmėms

Abelio teorema aiškiai įsivaizduoja laipsnių eilutės konvergencijos srities struktūrą.

1.3 teorema: laipsnių eilučių (1.6) konvergencijos sritis sutampa su vienu iš šių intervalų:

) ; 2) ; 3) ; 4) ,

kur yra koks nors neneigiamas realusis skaičius arba

Skaičius vadinamas konvergencijos spinduliu, intervalas – laipsnių eilučių (1.6) konvergencijos intervalu.

Jei tada konvergencijos intervalas reiškia visą skaičių eilutę

Jei tada konvergencijos intervalas išsigimsta iki taško

Pastaba: jei yra laipsnių eilutės (1.2) konvergencijos intervalas, tada - laipsnių eilučių konvergencijos intervalas (1.5).

Iš 1.3 teoremos seka, kad norint praktiškai rasti laipsnių eilutės (1.6) konvergencijos sritį, pakanka rasti jos konvergencijos spindulį ir išsiaiškinti šios eilutės konvergencijos klausimą konvergencijos intervalo galuose, t.y. ir

Laipsninės eilutės konvergencijos spindulį galima rasti naudojant vieną iš šių formulių:

d'Alemberto formulė:

Koši formulė:

1.3 pavyzdys. Raskite laipsnių eilutės konvergencijos spindulį, konvergencijos intervalą ir konvergencijos sritį

Raskime šios eilutės konvergencijos spindulį naudodami formulę

Mūsų atveju

Vadinasi, šios eilutės konvergencijos intervalas turi formą

Ištirkime eilučių konvergenciją konvergencijos intervalo galuose.

kuri išsiskiria kaip harmoninė serija.

Kai laipsnio serija virsta skaičių seka

Tai kintamoji eilutė, kurios sąlygos mažėja absoliučia verte ir

Todėl pagal Leibnizo kriterijų ši skaičių eilutė suartėja.

Taigi intervalas yra tam tikros laipsnio eilutės konvergencijos sritis.

Laipsninė eilutė (1.6) yra funkcija, apibrėžta konvergencijos intervale, t.y.

Štai keletas funkcijos savybių:

Savybė 1. Funkcija yra ištisinė bet kuriame segmente, priklausančiame konvergencijos intervalui

Savybė 2. Funkcija yra diferencijuojama intervale, o jos išvestinę galima rasti diferencijuojant seriją (1.6) pagal terminą, t.y.

visiems

Savybė 3. Neapibrėžtinis funkcijos integralas visiems gali būti gaunamas integruojant eilutes (1.6) terminas po termino, t.y.

visiems

Pažymėtina, kad diferencijuojant ir integruojant laipsnių eilutę, jos konvergencijos spindulys nekinta, tačiau gali keistis konvergencija intervalo galuose.

Aukščiau pateiktos savybės taip pat galioja galios serijoms (1.5).

1.4 pavyzdys. Apsvarstykite galių serijas

Šios eilutės konvergencijos sritis, kaip parodyta 1.3 pavyzdyje, yra intervalas

Išskirkime šios serijos terminą pagal terminą:

(1.7)

Išnagrinėkime šios eilutės elgesį konvergencijos intervalo galuose.

Ši skaičių eilutė skiriasi, nes nesilaikoma būtino konvergencijos kriterijaus

kurios neegzistuoja.

Kai laipsnio eilutė (1.7) virsta skaičių seka

kuris taip pat skiriasi, nes netenkinamas būtinas konvergencijos kriterijus.

Todėl laipsnių eilučių konvergencijos sritis, gauta diferencijuojant pradinę galių eilutę pagal terminą, pasikeitė ir sutampa su intervalu .

1.3 Taylor serija. Maclaurin serija

Tegul funkcija, besiskirianti begalinį kartų skaičių taško kaimynystėje, t.y. turi bet kokios eilės išvestinių. Taylor funkcijos taške yra laipsnio eilutė

(1.8)

Ypatingu atveju serija (1.8) vadinama Maclaurin serija:

Kyla klausimas: kokiais atvejais Taylor serija funkcijai, diferencijuotai begalinį skaičių kartų taško kaimynystėje, sutampa su funkcija ?

Gali būti atvejų, kai funkcijos Teiloro eilutė suartėja, tačiau jos suma nėra lygi

Pateiksime pakankamą funkcijos Teiloro eilutės konvergencijos sąlygą šiai funkcijai.

1.4 teorema: jei intervale funkcija turi bet kokios eilės išvestines ir visos jos absoliučia reikšme apribotos iki vienodo skaičiaus, t.y. tada šios funkcijos Taylor eilutė suartėja su bet kuriuo iš šių intervalų tie. yra lygybė

Norint nustatyti, ar ši lygybė galioja konvergencijos intervalo galuose, reikia atlikti atskirus tyrimus.

Reikėtų pažymėti, kad jei funkcija išplečiama į laipsnio eilutę, tai ši serija yra šios funkcijos Taylor (Maclaurin) serija, ir ši išplėtimas yra unikalus.

1.4 Diferencialinės lygtys

Įprasta n-osios eilės diferencialinė lygtis argumentų funkcijai yra formos santykis

kur yra duotoji jos argumentų funkcija.

Pavyzdžiui,

A) - pirmos eilės lygtis;

B) - trečios eilės lygtis.

Rašant įprastas diferencialines lygtis, dažnai naudojamas išvestinių diferencialų žymėjimas:

IN) - antros eilės lygtis;

G) - pirmosios eilės lygtis, kurią padalijus iš lygiavertės formos, susidaro tokia lygtis:

Funkcija vadinama įprastos diferencialinės lygties sprendimu, jei ją pakeitus į ją, ji virsta tapatybe.

Dešinėje pradinių sąlygų (1.11) pusėse nurodytos funkcijos ir išvestinių skaitinės reikšmės, o bendras pradinių sąlygų skaičius yra lygus apibrėžtų savavališkų konstantų skaičiui.

Problema rasti konkretų (1.10) lygties sprendimą, remiantis pradinėmis sąlygomis, vadinama Koši problema.

1.5 Diferencialinių lygčių integravimas naudojant serijas

Bendruoju atveju neįmanoma rasti tikslaus pirmosios eilės įprastos diferencialinės lygties (ODE) sprendimo ją integruojant. Be to, tai neįmanoma ODE sistemoje. Dėl šios aplinkybės buvo sukurta daugybė apytikslių ODE ir jų sistemų sprendimo metodų. Tarp apytikslių metodų galima išskirti tris grupes: analitinį, grafinį ir skaitinį. Žinoma, tokia klasifikacija tam tikru mastu yra savavališka. Pavyzdžiui, grafinis Eulerio trūkinių linijų metodas yra vienas iš diferencialinės lygties skaitinio sprendimo metodų.

(1.12)

Pastaba: formoje gali būti pavaizduota gana plati funkcijų klasė

kur yra kai kurios konstantos. Ši išraiška vadinama galių eilute.

Tarkime, kad funkcijas galima išplėsti į eilutes, konverguojančias intervale:

Galioja sekanti teorema (praleidžiant įrodymą, pateikiame tik jo formuluotę).

1.5 teorema: jei funkcijos turi formą (1.13), tai bet kuris ODE (1.12) sprendimas gali būti pavaizduotas kaip laipsnių eilutė, susiliejanti ties:

(1.14)

(1.15)

Pakeitę (1.15) į (1.12), gauname lygybę

Norint įvykdyti (1.16), būtina, kad kiekvieno laipsnio koeficientas būtų lygus nuliui.

Iš šios sąlygos gauname begalinę tiesinių algebrinių lygčių sistemą

iš kurių galima paeiliui rasti, ar nustatomos reikšmės ir (ODE (1.12) Koši problemos atveju) jos įtraukiamos į pradines sąlygas ).

Jeigu funkcijos racionalios, t.y.

Šią lygtį tenkina laipsnių eilutė

Tačiau nesunku pastebėti, kad ši serija skiriasi

ODE sprendimas divergentinės laipsnio eilutės forma vadinamas formaliuoju.

2. MAITINIMO SERIJŲ NAUDOJIMO PAVYZDŽIAI INTEGRUOJANT DIFFERENCINĖS LYGTYS

Erdvi lygtis

Airy lygties sprendimas

Ieškosime laipsnių eilutės (1.15) forma. Tada lygybė (1.16) įgis formą

Koeficientas už yra lygus Todėl, kai koeficientas lygus nuliui, mes nustatome, kad koeficientas už yra lygus Iš čia

Iš šios formulės gauname

Panašiai randame

Šansai išlieka neaiškūs. Norėdami rasti pagrindinę sprendimų sistemą, pirmiausia nustatome ir tada atvirkščiai. Pirmuoju atveju turime

o antrajame

Remiantis 1.5 teorema, šios serijos yra konverguojančios visur skaičių eilutėje

Funkcijos vadinamos Airy funkcijomis. Didelėms reikšmėms šių funkcijų asimptotinė elgsena aprašoma formulėmis

Šių funkcijų grafikai pavaizduoti 1 pav.

1 paveikslas

Neribotai didėjant, bet kurio Airy lygties sprendinio nuliai suartėja be apribojimų, o tai akivaizdu iš asimptotinio šių sprendinių vaizdavimo, bet visai nėra akivaizdu iš Airy funkcijų vaizdavimo konvergencinės galios forma. serija. Iš to išplaukia, kad metodas, kaip rasti ODE sprendimą naudojant seriją, paprastai yra mažai naudingas sprendžiant taikomų problemų, o pats sprendimo vaizdavimas serijos pavidalu apsunkina gauto sprendimo kokybinių savybių analizę.

2.1 Beselio lygtis

Tiesinė diferencialinė lygtis su kintamaisiais koeficientais, turinti formą

vadinama Besselio lygtimi.

(2.1) lygties sprendinio ieškosime apibendrintų laipsnių eilučių pavidalu, t.y. tam tikro laipsnio stepių serijos produktai:

(2.2)

Pakeitę apibendrintą laipsnio eilutę į (2.1) lygtį ir prilyginę nuliui kiekvienos galios koeficientus kairėje lygties pusėje, gauname sistemą

Darant prielaidą, kad iš šios sistemos randame Tegul tada iš antrosios sistemos lygties randame ir iš lygties, suteikiančios reikšmes 3,5,7,..., darome išvadą, kad koeficientams su lyginiais skaičiais gauname išraiškas

Rastus koeficientus pakeitę eilėmis (2.2), gauname sprendinį

kur koeficientas lieka savavališkas.

Visi koeficientai nustatomi panašiai tik tuo atveju, kai jis nėra lygus sveikajam skaičiui. Tada sprendimą galima gauti pakeičiant ankstesnio sprendimo reikšmę į:

Gautos galios eilutės susilieja visoms vertėms, kurias lengva nustatyti remiantis D'Alemberto kriterijumi. Sprendimai ir yra tiesiškai nepriklausomi, nes jų santykis nėra pastovus.

Sprendimas padaugintas iš konstantos vadinama pirmos eilės Beselio funkcija (arba cilindrine funkcija) ir žymima simboliu Sprendimas žymimas

Visuotinai priimtas konstantos pasirinkimas apima gama funkciją, kurią lemia netinkamas integralas:

Vadinasi, bendras sprendimas lygtis (2.1), kai nėra lygi sveikajam skaičiui, turi formą kur ir yra savavališkos konstantos.

2.2 Integravimo pavyzdžiai

Tais atvejais, kai lygtis reikalauja išspręsti Koši problemą esant pradinei sąlygai, sprendimo galima ieškoti naudojant Taylor seriją:

kur randami kiti dariniai nuosekli diferenciacija pradinė lygtis ir pakeitimas diferenciacijos rezultatu vietoj reikšmių ir visų kitų rastų vėlesnių išvestinių. Panašiai aukštesnės eilės lygtis galima integruoti naudojant Taylor seriją.

2.1 pavyzdys. Apytiksliai integruokite lygtį naudodami Taylor seriją, imdami pirmuosius šešis nulinius išplėtimo narius.

Iš pradinių sąlygų lygties randame Diferencijuodami šią lygtį, iš eilės gauname

Tikėjimas ir naudojimas prasmėmis nuosekliai randame, kad reikalingas sprendimas turi formą

2.2 pavyzdys. Raskite pirmąsias keturias (ne nulines) išplėtimo sąlygas. Ir

Rastas reikšmes pakeitę serijomis (2.3), gauname norimą sprendimą nurodytu tikslumu:

2.3 „Maple“ integravimo pavyzdžiai

Norėdami rasti analitinius diferencialinių lygčių sprendimus Maple, naudokite komandą dsolve(eq,var,options), kur eq yra diferencialinė lygtis, var yra nežinomos funkcijos, parinktys yra parametrai. Parametrai gali nurodyti problemos sprendimo būdą, pavyzdžiui, pagal nutylėjimą ieškoma analitinio sprendimo: tipas=tikslus. Sudarant diferencialines lygtis, išvestinei žymėti naudojama komanda diff, pvz., diferencialinė lygtis rašoma tokia forma: diff(y(x),x$2)+y(x)=x.

Norėdami rasti apytikslį diferencialinės lygties sprendimą laipsnio eilutės forma, komandoje dsolve po kintamųjų turėtumėte nurodyti parametrą type=series (arba tiesiog serija). Siekiant nurodyti skaidymo tvarką, t.y. Prieš išskaidymo laipsnio eiliškumą turi būti pateiktas tvarkos apibrėžimas naudojant komandą Order:=n.

Jei bendras diferencialinės lygties sprendimas ieškomas laipsnių eilučių plėtimo forma, koeficientai, esantys rastos plėtimosi laipsnuose, turės nežinomas funkcijos, esančios nuliu, ir jos išvestinių verčių ir kt. Išvesties eilutėje gauta išraiška turės formą, panašią į norimo sprendimo išplėtimą Maclaurin serijoje, tačiau su skirtingais galių koeficientais. Norint išskirti konkretų sprendimą, reikia nurodyti pradines sąlygas ir pan., o šių pradinių sąlygų skaičius turi sutapti su atitinkamos diferencialinės lygties tvarka.

Išplėtimas į laipsnių eilutę yra serijos tipo, todėl norint toliau dirbti su šia serija, ją reikia konvertuoti į daugianarį naudojant komandą convert(%,polynom) ir tada pasirinkti gautos išraiškos dešinę pusę su rhs( %) komandą.

> cond:=y(0)=1, D(y)(0)=1, (D2)(y)(0)=1;

> dsolve((de,cond),y(x));

> y1:=rhs (%):

> dsolve((de,cond),y(x),serija);

Pastaba: serijos pavidalo diferencialinės lygties sprendinio tipas yra serija, todėl norint toliau naudoti tokį sprendimą (skaičiuojant ar braižant), jis turi būti konvertuojamas į daugianarį naudojant konvertavimo komandą.

diferencialinės lygties eilės laipsnis

> konvertuoti(%, polinomas): y2:=rhs(%):

> p1:=plot(y1, x=-3..3, storis=2, spalva=juoda):

> p2:=plotas(y2, x=-3..3, linijos stilius=3, storis=2, spalva=juoda):

> with(plots): display(p1,p2);

2 paveiksle parodyta, kad geriausias tikslaus sprendimo aproksimavimas laipsnių eilėmis pasiekiamas apytiksliai intervale

2 pav

IŠVADA

Kursiniame darbe iškelti tikslai buvo visiškai pasiekti, išspręstos šios užduotys:

Apibrėžiamos pagrindinės sąvokos, susijusios su serijomis ir diferencialinėmis lygtimis.

Nagrinėjamas diferencialinių lygčių integravimo, naudojant laipsnių eilutes, metodas.

Problemos šia tema buvo išspręstos.

Šiame kursiniame darbe medžiaga buvo išstuduota ir susisteminta, kad galėtų naudotis studentai savarankiškas mokymasis diferencialinių lygčių integravimo metodas naudojant laipsnių eilutes. Nagrinėjamos serijų ir diferencialinių lygčių sąvokos. Apytiksliai skaičiavimai buvo atlikti naudojant serijas.

Kūrinys gali būti naudojamas kaip mokymo priemonė techninių ir matematikos specialybių studentams.

Darbo rezultatai gali būti tolesnių tyrimų pagrindu.

NAUDOTŲ NUORODOS SĄRAŠAS

1 Tricomi F. Diferencialinės lygtys. Vertimas iš anglų kalbos. - M.: Bukinist, 2003. - 352 p.

Vlasova B. A., Zarubin B. S., Kuvyrkin G. N. Apytikslieji matematinės fizikos metodai: vadovėlis universitetams. - M.: MSTU leidykla im. N. E. Bauman, 2001. - 700 p.

Budak B. M. Fomin S. V. Keli integralai ir serijos. - M.: Fizmatlit, 2002. - 512 p.

Demidovičius B. P. Problemų ir pratimų rinkinys matematinė analizė. - M.: Leidykla Mosk. CheRo universitetas, 2000 m. – 624 s.

Krasnovas M. L., Kiselevas A. I., Makarenko G. I. ir kt. Visa aukštoji matematika: vadovėlis. T. 3. - M.: Leidyklos redakcija URSS, 2005. - 240 p.

Yablonsky A. I., Kuznetsov A. V., Shilkina E. I. ir kt. Aukštoji matematika: Bendrasis kursas: Vadovėlis. - M.: Aukštesnis. mokykla, 2000.- 351 p.

Malakhovas A. N., Maksyukov N. I., Nikishkin V. A. Aukštoji matematika. - M.: EAOI, 2008. - 315 p.

Markovas L. N., Razmyslovich G. P. Aukštoji matematika. 2 dalis. Matematinės analizės pagrindai ir diferencialinių lygčių elementai. - M.: Amalfeja, 2003. - 352 p.

Agafonovas S. A., vokietis A. D., Muratova T. V. Diferencialinės lygtys. - M.: MSTU leidykla im. N.E. Bauman, 2004. - 352 p.

Coddington E. A., Levinson N. Paprastųjų diferencialinių lygčių teorija. - M.: Amalfeja, 2001. - 475 p.

Fikhtengoltsas G. M. Diferencialinio ir integralinio skaičiavimo kursas. T. 2. - M.: Fizmatlit, 2001. - 810 p.

Kaip apytiksliai naudojant seriją rasti konkretų DE sprendimą?

Tęsdami praktinių serijų teorijos pritaikymų studijas, panagrinėkime kitą dažnai pasitaikančią problemą, kurios pavadinimą matote pavadinime. Ir, kad visos pamokos metu nesijaustume žoliapjove, iškart supraskime užduoties esmę. Trys klausimai ir trys atsakymai:

Ką reikia rasti? Ypatingas diferencialinės lygties sprendimas. Užuomina tarp eilučių šnabžda, kad šiuo metu patartina bent jau suprasti, kas tai yra diferencialinė lygtis ir koks jo sprendimas.

KAIP reikalingas šis sprendimas? Apytiksliai – naudojant seriją.

Ir trečias logiškas klausimas: kodėl maždaug?Šį klausimą jau aptariau klasėje. Eulerio ir Runge-Kutta metodai, bet kartojimas nepakenks. Būdamas specifikos šalininkas, grįšiu prie paprasčiausio diferencialinė lygtis. Per pirmąją paskaitą apie difuzorius radome jos bendrą sprendimą (eksponentinių rodiklių rinkinį) ir konkretų sprendimą, atitinkantį pradinę sąlygą. Funkcijos grafikas yra labiausiai paplitusi linija, kurią lengva pavaizduoti brėžinyje.

Bet tai elementarus atvejis. Praktikoje yra labai daug diferencialinių lygčių, kurių neįmanoma tiksliai analitiškai išspręsti (bent jau žinomais metodais). Kitaip tariant, kad ir kaip susuktumėte tokią lygtį, jos integruoti nepavyks. Ir laimikis yra tas gali egzistuoti bendras sprendimas (linijų šeima plokštumoje).. Ir tada į pagalbą ateina skaičiavimo matematikos metodai.

Susipažinkime su savo džiaugsmu!

Tipiška užduotis yra suformuluotas taip:

… , tenkinantis pradinę sąlygą, trijų pavidalu (rečiau – keturis ar penkis) nenuliniai terminai Taylor serija.

Reikalingas konkretus sprendimas išplečiamas į šią seriją pagal gerai žinomą formulę:

Vienintelis dalykas yra tai, kad vietoj raidės „ef“ čia naudojama „ig“ (kaip atsitinka).

Idėja ir prasmė taip pat žinomos: kai kuriems difuzoriams ir tam tikromis sąlygomis (į teoriją nesigilinsime) pastatytas galios serija susiliesį norimą konkretų sprendimą. Tai yra, kuo daugiau eilutės narių atsižvelgsime, tuo tiksliau atitinkamo daugianario grafikas apytikslis funkcijos grafiką.

Reikėtų pažymėti, kad tai, kas išdėstyta aukščiau, galioja paprasčiausiems atvejams. Atlikime paprastą vaikų tyrimą ant to paties puoduko:

1 pavyzdys

Raskite apytiksliai dalinį diferencialinės lygties sprendinį, kuris tenkina pradinę sąlygą pirmųjų keturių Taylor serijos nulinių dalių pavidalu.

Sprendimas: šios problemos sąlygomis, todėl bendroji Teiloro formulė transformuojama į ypatinga byla Maclaurin serijos išplėtimas:

Žvelgdamas šiek tiek į priekį, pasakysiu, kad praktinėse užduotyse ši kompaktiškesnė serija yra daug labiau paplitusi.

Įveskite abi darbo formules į savo žinyną.

Supraskime reikšmes. Patogu sunumeruoti sprendimo etapus:

0) Nuliniame žingsnyje užrašome reikšmę, kuri visada žinoma iš sąlygos. Sąsiuvinyje patartina apibraukti galutinius taškų rezultatus, kad jie būtų aiškiai matomi ir nepasimestų sprendime. Dėl techninių priežasčių man patogiau juos paryškinti paryškintu šriftu. Be to, atkreipkite dėmesį, kad ši vertė nėra nulis! Juk sąlyga reikalauja surasti keturis ne nulis serialo nariai.

1) Paskaičiuokime. Norėdami tai padaryti, vietoj „y“ pakeiskite žinomą reikšmę dešinėje pradinės lygties pusėje:

2) Paskaičiuokime. Pirmiausia randame antrasis darinys:

Ankstesnėje pastraipoje rastą reikšmę pakeičiame dešinėje pusėje:

Jau turime tris nenulinius išplėtimo terminus, mums reikia dar vieno:

2 pavyzdys

Raskite apytiksliai dalinį diferencialinės lygties sprendinį , tenkinantis pradinę sąlygą pirmųjų trijų Taylor serijos nulinių sąlygų forma.

Sprendimas prasideda standartine fraze:

Todėl šioje problemoje:

Dabar nuosekliai randame reikšmes - kol gauname tris ne nulis rezultatas. Jei jums pasiseks, jie skirsis nuo nulio – tai idealus atvejis su minimaliu darbo kiekiu.

Sumažinkite sprendimo taškus:

0) Pagal sąlygą. Štai pirmoji sėkmė.

1) Paskaičiuokime. Pirmiausia išspręskime pirminę lygtį pirmosios išvestinės atžvilgiu, tai yra, išreiškiame . Dešinėje pusėje pakeiskime žinomas reikšmes:

Gavome vairą ir tai nėra gerai, nes mus domina ne nulis reikšmės. Tačiau nulis - tas pats rezultatas, kurių nepamirštame apibraukti ar kaip nors kitaip paryškinti.

2) Raskite antrąją išvestinę ir pakeiskite žinomas reikšmes dešinėje pusėje:

Antrasis yra „ne nulis“.

3) Raskite antrosios išvestinės išvestinę:

Apskritai užduotis kažkuo primena Ropės pasaką, kai senelis, močiutė ir anūkė kviečia į pagalbą blakę, katę ir pan. Ir iš tikrųjų kiekvienas paskesnis darinys išreiškiamas per savo „pirmtakus“.

Dešinėje pusėje pakeiskime žinomas reikšmes:

Trečioji ne nulinė reikšmė. Jie ištraukė ropę.

Atsargiai ir atsargiai pakeiskite „paryškintus“ skaičius mūsų formulėje:

Atsakymas: norimas apytikslis konkretaus sprendimo išplėtimas:

Nagrinėjamame pavyzdyje antroje vietoje buvo tik vienas nulis, ir tai nėra taip blogai. Apskritai nuliai gali atsirasti tiek, kiek norite, ir bet kur. Pasikartosiu, labai svarbu juos paryškinti kartu su rezultatais, kurie nėra nuliniai, kad nesusipainiotumėte atliekant keitimus paskutiniame etape.

Štai, beigelis yra pirmoje vietoje:

3 pavyzdys

Raskite apytiksliai dalinį diferencialinės lygties sprendinį, atitinkantį pradinę sąlygą pirmųjų trijų nulinių Teiloro serijos narių forma.

Apytikslis užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje. Algoritmo taškai gali būti nenumeruoti (palikdami, pavyzdžiui, tuščias eilutes tarp žingsnių), bet pradedantiesiems rekomenduoju laikytis griežto šablono.

Svarstoma užduotis reikalauja didesnio dėmesio – jei suklysite bet kuriame žingsnyje, visa kita taip pat bus negerai! Todėl jūsų švari galva turėtų veikti kaip laikrodis. Deja, tai ne integralai arba difuzoriai, kurias galima patikimai išspręsti net pavargusioje būsenoje, nes jie leidžia atlikti efektyvų patikrinimą.

Praktikoje tai daug dažniau Maclaurin serijos išplėtimas:

4 pavyzdys

Sprendimas: is principo galima is karto parasyti Maklaurino išsiplėtimas, bet akademiškiau problemą pradėti formalizuoti bendruoju atveju:

Tam tikro diferencialinės lygties sprendinio išplėtimas pradine sąlyga turi tokią formą:

Taigi šiuo atveju:

0) Pagal sąlygą.

Na, ką tu gali padaryti... Tikėkimės, kad nulių bus mažiau.

1) Paskaičiuokime. Pirmasis darinys jau paruoštas naudoti. Pakeiskime reikšmes:

2) Raskime antrąją išvestinę:

Ir pakeisime jį:

Viskas klostėsi gerai!

3) Rasti. Aš parašysiu labai išsamiai:

Atkreipkite dėmesį, kad išvestinėms galioja įprastos algebrinės taisyklės: paskutiniame žingsnyje pateikiami panašūs terminai ir sandauga įrašoma kaip laipsnis: (ten pat).

Pakeiskime viską, kas buvo įgyta per atkaklų darbą:

Gimsta trys nenulinės reikšmės.

„Paryškintus“ skaičius pakeičiame į Maclaurin formulę, taip gaudami apytikslį konkretaus sprendimo išplėtimą:

Atsakymas:

Dėl savarankiškas sprendimas:

5 pavyzdys

Pateikite apytiksliai tam tikrą diferencialinės lygties sprendinį, atitinkantį duotą pradinę sąlygą, kaip laipsnių eilutės pirmųjų trijų nulinių dalių sumą.

Dizaino pavyzdys pamokos pabaigoje.

Kaip matote, problema dėl dalinio išsiplėtimo Maclaurin serija pasirodė net sunkesnis nei bendras atvejis. Nagrinėjamos užduoties sudėtingumas, kaip ką tik matėme, slypi ne tiek pačiame dekompozicijoje, kiek diferenciacijos sunkumuose. Be to, kartais tenka rasti 5-6 išvestinius (ar net daugiau), o tai padidina klaidų riziką. Pamokos pabaigoje siūlau keletą sudėtingesnių užduočių:

6 pavyzdys

Apytiksliai išspręskite diferencialinę lygtį naudodami konkretaus sprendimo išplėtimą į Maclaurin seriją, apsiribodami pirmaisiais trimis nenuliniais serijos nariais

Sprendimas: turime antros eilės difurą, bet tai praktiškai nekeičia reikalo. Pagal būseną iš karto prašome naudoti Maclaurin seriją, kurios neišnaudosime. Užrašykime pažįstamą išplėtimą, tik tuo atveju paimdami daugiau terminų:

Algoritmas veikia lygiai taip pat:

0) – pagal sąlygą.

1) – pagal sąlygą.

2) Išspręskime pradinę lygtį antrosios išvestinės atžvilgiu: .

Ir pakeisime:

Pirmoji nenulinė reikšmė

Spustelėkite išvestines priemones ir atlikite pakeitimus:

Pakeiskime ir:

Pakeiskime:

Antroji nenulinė reikšmė.

5) – pakeliui pateikiame panašius darinius.

Pakeiskime:

Pagaliau. Tačiau gali būti ir blogiau.

Taigi apytikslis norimo konkretaus sprendimo išplėtimas yra:

Baltarusijos Respublikos švietimo ministerija

Švietimo įstaiga

„Mogilevskis Valstijos universitetas pavadintas A.A. Kuleshova“

MAiVT katedra

Diferencialinių lygčių sprendinių konstravimas naudojant serijas

Kursinis darbas

Baigė: 3 kurso B grupės mokinys

Fizikos ir matematikos fakultetas

Yuskaeva Aleksandra Maratovna

Mokslinis patarėjas:

Morozovas Nikolajus Porfirjevičius

MOGILEVAS, 2010 m

Įvadas

1. Aukštesnių laipsnių diferencialinės lygtys

1.1. N-osios eilės tiesinės diferencialinės lygties samprata

2. Diferencialinių lygčių integravimas naudojant eiles

2.1. Diferencialinių lygčių integravimas naudojant galių eilutes.

2.2. Diferencialinių lygčių integravimas naudojant apibendrintas galių eilutes.

3. Ypatingi apibendrintų galių eilučių panaudojimo integruojant diferencialines lygtis atvejai.

3.1. Besselio lygtis.

3.2. Hipergeometrinė lygtis arba Gauso lygtis.

4. Paprastųjų diferencialinių lygčių integravimo naudojant eilutes metodo taikymas praktikoje.

Išvada

Literatūra

Įvadas

Bendruoju atveju neįmanoma rasti tikslaus pirmosios eilės įprastos diferencialinės lygties sprendimo ją integruojant. Be to, tai neįmanoma įprastų diferencialinių lygčių sistemoje. Dėl šios aplinkybės buvo sukurta daugybė apytikslių įprastų diferencialinių lygčių ir jų sistemų sprendimo metodų. Tarp apytikslių metodų galima išskirti tris grupes: analitinį, grafinį ir skaitinį. Žinoma, tokia klasifikacija tam tikru mastu yra savavališka. Pavyzdžiui, grafinis Eulerio trūkinių linijų metodas yra vienas iš diferencialinės lygties skaitinio sprendimo metodų.

Įprastų diferencialinių lygčių integravimas naudojant laipsnių eilutes yra apytikslis analitinis metodas, paprastai taikomas bent antros eilės tiesinėms lygtims.

Analitiniai metodai pateikiami diferencialinių lygčių kurse. Pirmos eilės lygtims (su atskiriamais kintamaisiais, vienarūšėms, tiesinėms ir kt.), taip pat kai kurių tipų aukštesnės eilės lygtims (pavyzdžiui, tiesinėms su pastoviais koeficientais) galima gauti sprendinius formulių pavidalu. per analitines transformacijas.

Darbo tikslas – išanalizuoti vieną iš apytikslių analizės metodų, tokių kaip paprastųjų diferencialinių lygčių integravimas naudojant serijas ir jų taikymas sprendžiant diferencialines lygtis.

Aukštesnės eilės diferencialinės lygtys

Įprasta n-osios eilės diferencialinė lygtis yra formos santykis

kur F yra žinoma jo argumentų funkcija, apibrėžta tam tikroje srityje;

x - nepriklausomas kintamasis;

y yra nustatytino kintamojo x funkcija;

y’, y”, …, y (n) – funkcijos y išvestiniai.

Šiuo atveju daroma prielaida, kad y (n) iš tikrųjų yra įtrauktas į diferencialinę lygtį. Bet kuris kitas funkcijos F argumentas negali aiškiai dalyvauti šiame ryšyje.

Bet kuri funkcija, kuri tenkina duotą diferencialinę lygtį, vadinama jos sprendimu arba integralu. Išspręsti diferencialinę lygtį reiškia rasti visus jos sprendimus. Jei reikiamai funkcijai y galima gauti formulę, kuri pateikia visus duotosios diferencialinės lygties sprendinius ir tik juos, tai sakome, kad radome jos bendrąjį sprendimą, arba bendrąjį integralą.

Bendrasis n-osios eilės diferencialinės lygties sprendimas turi n savavališkų konstantų c 1, c 2,..., c n ir turi formą.

1.1. Tiesinės diferencialinės lygties sampratan– įsakymas

N-osios eilės diferencialinė lygtis vadinama tiesine, jei ji yra pirmojo laipsnio dydžių aibės y, y’, ..., y (n) atžvilgiu. Taigi n-osios eilės tiesinė diferencialinė lygtis turi tokią formą:

kur žinomos tolydžios x funkcijos.

Ši lygtis vadinama nehomogeniška tiesine lygtimi arba lygtimi su dešine puse. Jei dešinioji lygties pusė lygi nuliui, tada tiesinė lygtis vadinama homogenine diferencine tiesine lygtimi ir turi formą

Jei n yra lygus 2, gauname antros eilės tiesinę lygtį, kuri bus parašyta taip: Kaip ir n-osios eilės tiesinė lygtis, antros eilės lygtis gali būti vienalytė () ir nehomogeniška.

Diferencialinių lygčių integravimas naudojant eiles.

Įprastos diferencialinės lygties, aukštesnės nei pirmosios eilės, sprendiniai su kintamaisiais koeficientais ne visada išreiškiami elementariomis funkcijomis, o tokios lygties integravimas retai redukuojamas į kvadratus.

2.1. Diferencialinių lygčių integravimas naudojant galių eilutes.

Labiausiai paplitęs šių lygčių integravimo būdas yra pavaizduoti norimą sprendimą laipsnių eilutės forma. Apsvarstykite antros eilės lygtis su kintamaisiais koeficientais

Pastaba1. Formoje galima pavaizduoti gana plačią funkcijų klasę

kur, yra kai kurios konstantos. Ši išraiška vadinama galių eilute. Jei jo reikšmės yra lygios atitinkamoms funkcijos reikšmėms bet kuriam x iš intervalo (x 0 - T; x 0 + T), tada tokia serija šiame intervale vadinama konvergentine.

Tarkime, kad funkcijos a(x), b(x) yra (2.1) lygties analitinės funkcijos intervale (x 0 - T; x 0 + T), T > 0, t.y. yra išplėstos į galios serijas:

Galioja sekanti teorema (praleidžiant įrodymą, pateikiame tik jo formuluotę).

Teorema_1. Jei funkcijos a(x), b(x) turi formą (2.2), tai bet kuris įprastos diferencialinės lygties (2.1) sprendinys y(x) gali būti pavaizduotas kaip konverguojantis kaip |x - x 0 |< Т степенного ряда:

Ši teorema ne tik leidžia pavaizduoti sprendinį laipsnių eilutės forma, bet ir, svarbiausia, pateisina eilučių (2.3) konvergenciją.

Tokio vaizdavimo algoritmas yra toks. Kad būtų patogiau, įdėkime x 0 = 0 į (2.2) ir (2.3) ir ieškokime įprastos diferencialinės lygties (2.1) sprendimo formoje

Pakeitę (2.4) į (2.1), gauname lygybę

Norint įvykdyti (2.5), būtina, kad kiekvienos galios x koeficientas būtų lygus nuliui. Iš šios sąlygos gauname begalinę tiesinių algebrinių lygčių sistemą

………………………………………….

…………………………………………………………………. .

Iš gautos begalinės tiesinių algebrinių lygčių sistemos galima paeiliui rasti, ..., jei nustatomos reikšmės ir (Koši uždavinio atveju įprastai diferencialinei lygčiai (2.1) galima įvesti pradines sąlygas =, =).

Jeigu funkcijos a(x), b(x) yra racionalios, t.y. , b , kur yra daugianariai, tada šalia taškų, kuriuose arba sprendinys laipsnių eilutės forma gali neegzistuoti, o jei jis egzistuoja, jis gali skirtis visur, išskyrus tašką x = 0. Ši aplinkybė buvo žinomas L. Euleris, nagrinėjęs pirmosios eilės lygtį

Šią lygtį tenkina laipsnių eilutė

Tačiau nesunku pastebėti, kad ši serija skiriasi. Įprastos diferencialinės lygties sprendimas divergentinės laipsnių eilutės forma vadinamas formaliuoju.

Vienas ryškiausių ir suprantamiausių šio integravimo metodo panaudojimo pavyzdžių yra Airy lygtys arba

Visi šios lygties sprendiniai yra visos x funkcijos. Tada ieškosime Airy lygties sprendimo laipsnių eilutės (2.4) pavidalu. Tada lygybė (2.5) įgauna formą

Nustatykime, kad kiekvienos galios x koeficientas būtų lygus nuliui. Mes turime

……………………………

Nulinio x laipsnio koeficientas yra lygus 2y 2. Vadinasi, y 2 = 0. Tada iš koeficiento lygybės nuliui randame = . Koeficientas lygus. Iš čia.

Iš šios formulės gauname

Šansai išlieka neaiškūs. Norėdami rasti pagrindinę sprendinių sistemą, pirmiausia nustatome = 1, = 0, o tada atvirkščiai. Pirmuoju atveju turime

o antrajame

Remiantis Theorem_1, šios serijos yra susiliejančios visur skaičių eilutėje.

Funkcijos ir vadinamos Airy funkcijomis. Esant didelėms x reikšmėms, asimptotinis šių funkcijų elgesys apibūdinamas šiomis formulėmis ir.

Šių funkcijų diagramos parodytos fig. 2.1. Pastebime, kad neribotai padidėjus x, bet kurio Airy lygties sprendinio nuliai suartėja neribotą laiką, o tai taip pat akivaizdu iš šių sprendinių asimptotinio vaizdavimo, bet visiškai nėra akivaizdu iš Airy funkcijų vaizdavimo konvergencinių laipsnių eilučių forma. Iš to išplaukia, kad įprastos diferencialinės lygties sprendimo paieškos naudojant eilutę metodas, paprastai kalbant, mažai naudingas sprendžiant taikomąsias problemas, o pats sprendinio pateikimas serijos pavidalu apsunkina analizę. kokybines gauto tirpalo savybes.

2.2. Diferencialinių lygčių integravimas naudojant apibendrintas galių eilutes.

Taigi, jei (2.1) lygtyje funkcijos a(x), b(x) yra racionalios, tai taškai, kuriuose arba vadinami (2.1) lygties vienatiniais taškais.

Dėl antros eilės lygties

kurioje a(x), b(x) yra analitinės funkcijos intervale |x - x 0 |< а, точка х = 0 является особой точкой, лишь только один из коэффициентов а 0 или b 0 в разложении функций а(х) и b(х) в степенной ряд отличен от нуля. Это пример простейшей особой точки, так называемой регулярной особой точки (или особой точки первого рода).

Netoli vienaskaitos taško x = x 0 laipsnių eilutės formos sprendiniai šiuo atveju gali nebūti, sprendinių reikia ieškoti apibendrintų laipsnių eilučių pavidalu:

kur turi būti nustatyti λ ir …, ().

Teorema_2. Kad (2.6) lygtis turėtų bent vieną konkretų sprendinį apibendrintos laipsnių eilutės (2.7) pavidalu vienaskaitos taško x = x 0 kaimynystėje, pakanka, kad ši lygtis būtų tokios formos

Tai konvergencinės laipsnių eilutės, o koeficientai tuo pačiu metu nėra lygūs nuliui, nes kitu atveju taškas x = x 0 nėra ypatingas taškas ir yra du tiesiškai nepriklausomi sprendiniai, holomorfiniai taške x = x 0 . Be to, jei eilutės (2,7”), įtrauktos į (2,7’) lygties koeficientus, susilieja regione | x - x 0 |< R, то и ряд, входящий в решение (2.7), заведомо сходится в той же области.

Apsvarstykite (2.6) lygtį, kai x > 0. Pakeisdami x 0 = 0 išraišką (2.7) į šią lygtį, turime

Prilyginę koeficientus, kurių laipsniai x laipsniai yra nulis, gauname pasikartojančią lygčių sistemą:

……..........................……………………………………………. (2.8)

kur nurodyta

Kadangi tada λ turi tenkinti lygtį

kuri vadinama apibrėžiamąja lygtimi. Leisti būti šios lygties šaknimis. Jei skirtumas nėra sveikas skaičius, tai bet kuriam sveikajam skaičiui k > 0, o tai reiškia, kad naudojant nurodytą metodą galima sudaryti du tiesiškai nepriklausomus (2.6) lygties sprendinius:

Jei skirtumas yra sveikasis skaičius, tada naudodami aukščiau pateiktą metodą galite sukurti vieną sprendimą apibendrintos serijos pavidalu. Žinodami šį sprendimą, naudodami Liouville-Ostrogradsky formulę, galite rasti antrą tiesiškai nepriklausomą sprendimą:

Iš tos pačios formulės matyti, kad sprendimo galima ieškoti formoje

(skaičius A gali būti lygus nuliui).

Ypatingi apibendrintų galių eilučių panaudojimo atvejai integruojant diferencialines lygtis.

3.1. Besselio lygtis.

Beselio lygtis yra viena iš svarbiausių matematikos ir jos taikymo diferencialinių lygčių. Beselio lygties sprendiniai, sudarantys pagrindinę jos funkcijų sistemą, nėra elementarios funkcijos. Bet jie išplečiami į galių eilutes, kurių koeficientai apskaičiuojami gana paprastai.

Panagrinėkime Beselio lygtį bendra forma:

Daugelis matematinės fizikos problemų yra sumažintos iki šios lygties.

Kadangi lygtis nesikeičia pakeitus x į -x, pakanka atsižvelgti į neneigiamas x reikšmes. Vienintelis vienaskaitos taškas yra x=0. Apibrėžiamoji lygtis, atitinkanti x=0, yra . Jei 0, tai apibrėžiamoji lygtis turi dvi šaknis: ir. Raskime šios lygties sprendimą apibendrintos laipsnių eilutės forma

tada, pakeitę y, y" ir y" į pradinę lygtį, gauname

Vadinasi, sumažinus, turime

Kad ši lygybė galiotų identiška, koeficientai turi atitikti lygtis

Raskime sprendinį, atitinkantį apibrėžiančios lygties λ = n šaknį. Pakeitę λ = n į paskutines lygybes, matome, kad galime paimti bet kokį skaičių, išskyrus nulį, skaičių = 0, o jei k = 2, 3, ... turime

Vadinasi, visiems m = 0, 1, 2, … .

Taigi rasti visi koeficientai, o tai reiškia, kad (3.1) lygties sprendinys bus parašytas forma

Supažindinkime su funkcija

vadinama Eulerio gama funkcija. Atsižvelgiant į tai, kas ir kas yra sveikieji skaičiai, taip pat pasirenkant savavališką konstantą, ji bus parašyta forma

vadinama pirmosios rūšies n-osios eilės Beselio funkcija.

Antrasis konkretus Beselio lygties sprendimas, tiesiškai nepriklausomas, ieškomas formoje

Lygtys, skirtos nustatyti at turi formą

Darant prielaidą, kad rasime

Pagal susitarimą n nėra sveikas skaičius, todėl visi koeficientai su lyginiais skaičiais yra vienareikšmiškai išreiškiami:

Taigi,

Darant prielaidą, kad formoje atstovaujame y 2 (x).

vadinama pirmosios rūšies Beselio funkcija su neigiamu indeksu.

Taigi, jei n nėra sveikasis skaičius, tai visi pradinės Besselio lygties sprendiniai yra tiesiniai Beselio funkcijos ir: .

3.2. Hipergeometrinė lygtis arba Gauso lygtis.

Hipergeometrinė lygtis (arba Gauso lygtis) yra formos lygtis

kur α, β, γ yra realieji skaičiai.

Taškai yra vienaskaitos lygties taškai. Abu jie yra taisyklingi, nes šalia šių taškų Gauso lygties koeficientai parašyti normaliąja forma

gali būti pavaizduota kaip apibendrinta galių eilutė.

Įsitikinkime tuo. Tiesa, tai pastebėjus

lygtį (3.2) galima parašyti kaip

Ši lygtis yra ypatingas lygties atvejis

ir čia, taigi taškas x=0 yra reguliarus Gauso lygties vienaskaitos taškas.

Sukurkime pamatinę Gauso lygties sprendinių sistemą vienaskaitos taško x=0 apylinkėse.

Apibrėžiamoji lygtis, atitinkanti tašką x=0, turi formą

Jo šaknys ir jų skirtumas nėra sveikasis skaičius.

Todėl šalia vienaskaitos taško x=0 galima sukonstruoti fundamentalią sprendinių sistemą apibendrintų laipsnių eilučių pavidalu.

pirmoji iš jų atitinka nulinę apibrėžiančiosios lygties šaknį ir yra įprasta laipsnių eilutė, todėl sprendimas yra holomorfinis vienaskaitos taško x=0 kaimynystėje. Antrasis sprendimas yra akivaizdžiai neholomorfinis taške x=0. Pirmiausia sukurkime tam tikrą sprendimą, atitinkantį apibrėžiančios lygties nulinę šaknį.

Taigi, ieškosime konkretaus (3.2) lygties sprendimo formoje

Pakeitę (3.3) į (3.2), gauname

Laisvąjį terminą prilyginę nuliui, gauname.

Tegul tai būna, tada mes tai gausime.

Koeficientą prilyginę nuliui, randame:

Todėl reikalingas konkretus sprendimas turi tokią formą:

Dešinėje esanti seka vadinama hipergeometrine seka, nes kai α=1, β=γ ji virsta geometrine progresija

Pagal Theorem_2 serija (3.4) susilieja kaip |x|<1, так же как и ряд (3.5), и, следовательно, представляет в этом интервале решение уравнения (3.2).

Antrasis konkretus sprendimas turi tokią formą:

Užuot radę neapibrėžtų koeficientų metodą, gauso lygtyje pakeisime norimą funkciją naudodami formulę

Gauname Gauso lygtį

kuriame parametrų α, β ir γ vaidmenį atlieka ir.

Todėl, sukūrę šios lygties dalinį sprendinį, atitinkantį apibrėžiančios lygties nulinę šaknį, ir pakeitę jį į (3.6), gauname antrąjį dalinį šios Gauso lygties sprendinį tokia forma:

Bendras Gauso lygties (3.2) sprendimas bus toks:

Naudojant sukonstruotą pagrindinę Gauso lygties sprendinių sistemą vienaskaitos taško x=0 kaimynystėje, galima nesunkiai sukurti pamatinę šios lygties sprendinių sistemą vienaskaitos taško x=1 kaimynystėje, kuri taip pat yra reguliari. vienaskaitos taškas.

Šiuo tikslu mus dominantį vienaskaitos tašką x = 1 perkelsime į tašką t = 0 ir kartu su juo vienaskaitos tašką x = 0 į tašką t = 1, tiesiniu nepriklausomo kintamojo x = 1 pakeitimu. - t.

Atlikę šį pakeitimą šioje Gauso lygtyje, gauname

Tai Gauso lygtis su parametrais. Jis turi kaimynystėje |t|<1 особой точки t = 0 фундаментальную систему решений

Grįžtant prie kintamojo x, t.y. nustatant t = 1 - x, gauname pagrindinę pradinės Gauso lygties sprendinių sistemą taško apylinkėse | x - 1|< 1 особой точки х = 1

Gauso lygties (3.2) bendrasis sprendinys regione bus

Paprastųjų diferencialinių lygčių integravimo naudojant eilutes metodo taikymas praktikoje.

Pavyzdys_1. (Nr. 691) Apskaičiuokite kelis pirmuosius serijos koeficientus (iki koeficiento x 4 imtinai) su pradinėmis sąlygomis

Iš pradinių sąlygų išplaukia, kad dabar raskime likusius koeficientus:

Pavyzdys_2. (Nr. 696) Apskaičiuokite kelis pirmuosius serijos koeficientus (iki koeficiento x 4 imtinai) su pradinėmis sąlygomis

Sprendimas: lygties sprendinio ieškosime formoje

Gautas išraiškas pakeičiame į pradinę lygtį:

Pavaizduodami dešinę pusę laipsnių eilutės forma ir sulyginę koeficientus tų pačių x laipsnių abiejose lygties pusėse, gauname:

Kadangi pagal sąlygą reikia skaičiuoti eilučių koeficientus iki koeficiento x 4 imtinai, tai pakanka paskaičiuoti koeficientus.

Iš pradinių sąlygų išplaukia, kad ir 2. Dabar raskime likusius koeficientus:

Todėl lygties sprendimas bus parašytas forma

Pavyzdys_3. (Nr. 700) Raskite tiesiškai nepriklausomus sprendinius lygties laipsnių eilučių pavidalu. Jei įmanoma, gautų eilučių sumą išreikškite naudodami elementariąsias funkcijas.

Sprendimas. Lygties sprendimo ieškosime serijos pavidalu

Du kartus diferencijuodami šią seriją ir pakeitę ją šia lygtimi, turime

Gautoje lygtyje užrašykime keletą pirmųjų serijos narių:

Prilyginę koeficientus, kurių x laipsniai yra lygūs nuliui, gauname lygčių sistemą, skirtą nustatyti:

………………………………….

Iš šių lygčių randame

Tarkime, kad tada tik koeficientai skirsis nuo nulio. Mes tai gauname

Sukurtas vienas lygties sprendinys

Antrąjį sprendimą, tiesiškai nepriklausomą nuo rasto, gauname darydami prielaidą. Tada tik koeficientai skirsis nuo nulio:

Serija, vaizduojanti ir konverguojanti bet kuriai x vertei, yra analitinės funkcijos. Taigi visi pradinės lygties sprendiniai yra analitinės funkcijos visoms x reikšmėms. Visi sprendiniai išreiškiami formule, kur C 1, C 2 yra savavališkos konstantos:

Kadangi gautų eilučių sumą galima lengvai išreikšti naudojant elementariąsias funkcijas, ji bus parašyta taip:

Pavyzdys_4. (Nr. 711) Išspręskite lygtį 2x 2 y" + (3x - 2x 2)y" - (x + 1)y = 0.

Sprendimas. Taškas x = 0 yra reguliarus šios lygties vienaskaitos taškas. Sudarome apibrėžiamąją lygtį: Jos šaknys yra λ 1 = 1/2 ir λ 2 = - 1. Ieškome pradinės lygties sprendinio, atitinkančio šaknį λ = λ 1 formoje

Pakeisdami ir į pradinę lygtį, turime

Iš čia sumažinus, gauname

Sulyginus koeficientus esant toms pačioms x laipsnėms, turime lygtis, skirtas nustatyti:

Nustatę y 0 = 1, randame

Taigi,

Ieškome pradinės lygties sprendinio, atitinkančio šaknį λ = λ 2 formoje

Pakeitę šią išraišką į pradinę lygtį ir sulyginę koeficientus esant tokioms pačioms x laipsnėms, gauname arba sudėję y 0 = 1, rasime

Pradinės lygties bendrąjį sprendimą rašome tokia forma, kur ir yra savavališkos konstantos.

Išvada

Išspręsti lygtis, kuriose yra nežinomų funkcijų ir jų išvestinių laipsnių, didesnių nei pirmoji, arba kokiu nors sudėtingesniu būdu, dažnai yra labai sunku.

Pastaraisiais metais tokios diferencialinės lygtys sulaukė vis didesnio dėmesio. Kadangi lygčių sprendiniai dažnai yra labai sudėtingi ir sunkiai atvaizduojami naudojant paprastas formules, nemaža šiuolaikinės teorijos dalis yra skirta kokybinei jų elgesio analizei, t.y. metodų kūrimas, leidžiantis, neišsprendžiant lygties, pasakyti ką nors reikšmingo apie sprendimų pobūdį kaip visumą: pavyzdžiui, kad jie visi yra riboti, turi periodinį pobūdį arba tam tikru būdu priklauso nuo koeficientus.

Kursinio darbo metu atlikta diferencialinių lygčių integravimo metodo, naudojant galių ir apibendrintų galių eilutes, analizė.

Literatūra:

Matvejevas N.V. Paprastųjų diferencialinių lygčių integravimo metodai. Red. 4-oji, red. ir papildomas Minskas, „Aukščiausias. mokykla“, 1974. - 768 p. su ligoniu.
Agafonov S.A., German A.D., Muratova T.V. Diferencialinės lygtys: Vadovėlis. universitetams / Red. B.C. Zarubina, A.P. Kriščenko. - 3 leidimas, stereotipas. -M.: MSTU leidykla im. N.E. Bauman, 2004. - 352 p.
Bugrovas Ya S., Nikolsky S. M. Aukštoji matematika. T.3: Diferencialinės lygtys. Keli integralai. Eilutės. Sudėtingo kintamojo funkcijos: Vadovėlis. universitetams: 3 tomuose / Ya S. Bugrov, S. M. Nikolsky; Red. V. A. Sadovnichy. — 6 leid., stereotipas. — M.: Bustard, 2004. —— 512 p.: iliustr.
Samoleinko A. M., Krivosheya S. A., Perestyuk N. A. Diferencialinės lygtys: pavyzdžiai ir problemos. Vadovėlis pašalpa. - 2-asis leidimas, pataisytas. - M.: Aukštesnis. mokykla, 1989. - 383 p.: iliustr.
Filippovas A.F. Diferencialinių lygčių uždavinių rinkinys. Vadovėlis vadovas universitetams. - M.: Fizmatizd, 1961. - 100 p.: iliustr.

Parsisiųsti: Jūs neturite prieigos atsisiųsti failus iš mūsų serverio.