Žaidimai

Ypatingas sinuso 0 atvejis. Trigonometrinės lygtys. Pagalbinio kampo įvedimas

Galite užsisakyti išsamų savo problemos sprendimą!!!

Lygybė, kurioje po ženklu yra nežinomasis trigonometrinė funkcija(„sin x, cos x, tan x“ arba „ctg x“) vadinama trigonometrine lygtimi, todėl toliau nagrinėsime jų formules.

Paprasčiausios lygtys yra „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, kur „x“ yra kampas, kurį reikia rasti, „a“ yra bet koks skaičius. Užrašykime kiekvienos iš jų šaknies formules.

1. Lygtis „sin x=a“.

„|a|>1“ sprendimų nėra.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.

Šakninė formulė: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Lygtis „cos x=a“.

Jei `|a|>1` – kaip ir sinuso atveju, sprendiniai tarp realūs skaičiai neturi.

Kai `|a| \leq 1` turi begalinį sprendinių skaičių.

Šakninė formulė: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Specialūs sinuso ir kosinuso atvejai diagramose.

3. Lygtis „tg x=a“.

Turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arctg a + \pi n, n \in Z“.

4. Lygtis „ctg x=a“.

Taip pat turi begalinį bet kokių „a“ reikšmių sprendimų skaičių.

Šakninė formulė: „x=arcctg a + \pi n, n \in Z“.

Lentelėje pateiktų trigonometrinių lygčių šaknų formulės

Dėl sinuso:
Dėl kosinuso:
Tangentui ir kotangentui:
Formulės, skirtos spręsti lygtis, kuriose yra atvirkštinių trigonometrinių funkcijų:

Trigonometrinių lygčių sprendimo būdai

Bet kurios trigonometrinės lygties sprendimas susideda iš dviejų etapų:

paverčiant jį paprasčiausiu;
išspręskite paprasčiausią lygtį, gautą naudodamiesi aukščiau parašytomis šaknies formulėmis ir lentelėmis.

Pažvelkime į pagrindinius sprendimo būdus naudodami pavyzdžius.

Algebrinis metodas.

Šis metodas apima kintamojo pakeitimą ir jo pakeitimą lygybe.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0,

pakeiskite: „cos(x+\frac \pi 6)=y“, tada „2y^2-3y+1=0“,

randame šaknis: `y_1=1, y_2=1/2`, iš kurių seka du atvejai:

1. „cos(x+\frac \pi 6)=1“, „x+\frac \pi 6=2\pi n“, „x_1=-\frac \pi 6+2\pi n“.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Atsakymas: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizavimas.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `sin x+cos x=1`.

Sprendimas. Perkelkime visus lygybės narius į kairę: `sin x+cos x-1=0`. Naudodami , mes transformuojame ir koeficientuojame kairę pusę:

„sin x – 2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0“,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2) = 0“,

„sin x/2 =0“, „x/2 =\pi n“, „x_1=2\pi n“.
„cos x/2-sin x/2=0“, „tg x/2=1“, „x/2=arctg 1+ \pi n“, „x/2=\pi/4+ \pi n“ , „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.

Atsakymas: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcija į homogeninę lygtį

Pirmiausia turite sumažinti šią trigonometrinę lygtį į vieną iš dviejų formų:

„a sin x+b cos x=0“ ( vienalytė lygtis pirmas laipsnis) arba `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogeninė antrojo laipsnio lygtis).

Tada padalykite abi dalis iš „cos x \ne 0“ – pirmuoju atveju ir iš „cos^2 x \ne 0“ – antruoju. Gauname „tg x“ lygtis: „a tg x+b=0“ ir „a tg^2 x + b tg x +c =0“, kurias reikia išspręsti žinomais metodais.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Sprendimas. Užsirašykime dešinioji pusė kaip „1=sin^2 x+cos^2 x“:

„2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` „sin^2 x+cos^2 x“,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

„sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0“.

Tai yra vienalytė antrojo laipsnio trigonometrinė lygtis, jos kairę ir dešinę puses padaliname iš `cos^2 x \ne 0`, gauname:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0

„tg^2 x+tg x – 2=0“. Įveskime pakaitalą „tg x=t“, todėl gauname „t^2 + t - 2=0“. Šios lygties šaknys yra „t_1=-2“ ir „t_2=1“. Tada:

„tg x=-2“, „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“
„tg x=1“, „x=arctg 1+\pi n“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=arctg (-2)+\pi n“, „n \in Z“, „x_2=\pi/4+\pi n“, „n \in Z“.

Perėjimas prie pusės kampo

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: "11 sin x - 2 cos x = 10".

Sprendimas. Taikykime dvigubo kampo formules ir gausime: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

„4 tg^2 x/2 – 11 tg x/2 +6=0“.

Taikant aukščiau pateiktą algebrinis metodas, mes gauname:

„tg x/2=2“, „x_1=2 arctg 2+2\pi n“, „n \in Z“,
„tg x/2=3/4“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Atsakymas. „x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z“, „x_2=arctg 3/4+2\pi n“, „n \in Z“.

Pagalbinio kampo įvedimas

Trigonometrinėje lygtyje „a sin x + b cos x =c“, kur a,b,c yra koeficientai, o x yra kintamasis, padalykite abi puses iš „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))".

Kairėje pusėje esantys koeficientai turi sinuso ir kosinuso savybes, būtent jų kvadratų suma lygi 1, o moduliai ne didesni kaip 1. Pažymime juos taip: `\frac a(sqrt (a^2) +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, tada:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pažvelkime atidžiau į šį pavyzdį:

Pavyzdys. Išspręskite lygtį: `3 sin x+4 cos x=2`.

Sprendimas. Padalinkite abi lygybės puses iš `sqrt (3^2+4^2)', gausime:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))".

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Pažymime `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Kadangi `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, imame `\varphi=arcsin 4/5` kaip pagalbinį kampą. Tada rašome savo lygybę tokia forma:

„cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5“.

Taikydami sinuso kampų sumos formulę, rašome savo lygybę tokia forma:

„sin (x+\varphi)=2/5“,

„x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n“, „n \in Z“,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z.

Atsakymas. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z.

Trupmeninės racionalios trigonometrinės lygtys

Tai lygybės su trupmenomis, kurių skaitikliuose ir vardikliuose yra trigonometrinių funkcijų.

Pavyzdys. Išspręskite lygtį. „\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x“.

Sprendimas. Padauginkite ir padalinkite dešinę lygybės pusę iš „(1+cos x)“. Rezultate gauname:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` \frac (sin^2 x)(1+cos x)=0

„\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0“.

Atsižvelgiant į tai, kad vardiklis negali būti lygus nuliui, gauname `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z.

Prilyginkime trupmenos skaitiklį nuliui: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Tada „sin x=0“ arba „1-sin x=0“.

„sin x=0“, „x=\pi n“, „n \in Z“.
„1-sin x=0“, „sin x=-1“, „x=\pi /2+2\pi n, n \in Z“.

Atsižvelgiant į tai, kad ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z, sprendiniai yra `x=2\pi n, n \in Z` ir `x=\pi /2+2\pi n` , „n \in Z“.

Atsakymas. „x=2\pi n“, „n \in Z“, „x=\pi /2+2\pi n“, „n \in Z“.

Trigonometrija, o ypač trigonometrinės lygtys, naudojamos beveik visose geometrijos, fizikos ir inžinerijos srityse. Mokymasis prasideda 10 klasėje, vieningam valstybiniam egzaminui visada yra užduočių, todėl pasistenkite atsiminti visas trigonometrinių lygčių formules – jos jums tikrai pravers!

Tačiau net nereikia jų įsiminti, svarbiausia suprasti esmę ir mokėti ją išvesti. Tai nėra taip sunku, kaip atrodo. Įsitikinkite patys žiūrėdami vaizdo įrašą.

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Paprasčiausios trigonometrinės lygtys yra lygtys

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Lygtis cos(x) = a

Paaiškinimas ir pagrindimas

Lygties cosx šaknys = a. Kada | a | > 1 lygtis neturi šaknų, nes | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 arba adresu a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Tegul | a |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Intervale funkcija y = cos x sumažėja nuo 1 iki -1. Tačiau mažėjanti funkcija kiekvieną savo reikšmę įgauna tik viename apibrėžimo srities taške, todėl lygtis cos x = a šiame intervale turi tik vieną šaknį, kuri pagal arckosino apibrėžimą yra lygi: x 1 = arccos a (ir šiai šaknei cos x = A).

Kosinusas yra lyginė funkcija, todėl intervale [-n; 0] lygtis cos x = ir taip pat turi tik vieną šaknį - skaičių, priešingą x 1, tai yra

x 2 = -arccos a.

Taigi intervale [-n; p] (ilgis 2p) lygtis cos x = a su | a |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Funkcija y = cos x yra periodinė, kurios periodas yra 2n, todėl visos kitos šaknys skiriasi nuo randamų pagal 2n (n € Z). Gauname tokią lygties cos x = a kada šaknų formulę

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

Ypatingi lygties cosx = a sprendimo atvejai.

Pravartu atsiminti specialius lygties cos x = a kada šaknų žymėjimus

a = 0, a = -1, a = 1, kurį galima lengvai gauti naudojant vienetinį apskritimą kaip atskaitą.

Kadangi kosinusas yra lygus vienetinio apskritimo atitinkamo taško abscisei, gauname, kad cos x = 0 tada ir tik tada, kai atitinkamas vienetinio apskritimo taškas yra taškas A arba taškas B.

Panašiai cos x = 1 tada ir tik tada, kai atitinkamas vienetinio apskritimo taškas yra taškas C, todėl

x = 2πп, k € Z.

Taip pat cos x = -1 tada ir tik tada, kai atitinkamas vienetinio apskritimo taškas yra taškas D, taigi x = n + 2n,

Lygtis sin(x) = a

Paaiškinimas ir pagrindimas

Lygties sinx = a šaknys. Kada | a | > 1 lygtis neturi šaknų, nes | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 arba adresu a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Pagrindiniai trigonometrinių lygčių sprendimo būdai yra: lygčių sumažinimas iki pačių paprasčiausių (naudojant trigonometrines formules), naujų kintamųjų įvedimas ir faktoringa. Pažvelkime į jų naudojimą su pavyzdžiais. Atkreipkite dėmesį į trigonometrinių lygčių sprendimų rašymo formatą.

Būtina sąlyga norint sėkmingai išspręsti trigonometrines lygtis – trigonometrinių formulių išmanymas (6 darbo 13 tema).

Pavyzdžiai.

1. Lygtys sumažintos iki paprasčiausių.

1) Išspręskite lygtį

Sprendimas:

Atsakymas:

2) Raskite lygties šaknis

(sinx + cosx) 2 = 1 – sinxcosx, priklausantis segmentui.

Sprendimas:

Atsakymas:

2. Lygtys, redukuojančios į kvadratines.

1) Išspręskite lygtį 2 sin 2 x – cosx –1 = 0.

Sprendimas: Naudodami formulę sin 2 x = 1 – cos 2 x, gauname

Atsakymas:

2) Išspręskite lygtį cos 2x = 1 + 4 cosx.

Sprendimas: Naudodami formulę cos 2x = 2 cos 2 x – 1, gauname

Atsakymas:

3) Išspręskite lygtį tgx – 2ctgx + 1 = 0

Sprendimas:

Atsakymas:

3. Homogeninės lygtys

1) Išspręskite lygtį 2sinx – 3cosx = 0

Sprendimas: Tegul cosx = 0, tada 2sinx = 0 ir sinx = 0 – prieštaravimas tam, kad sin 2 x + cos 2 x = 1. Tai reiškia, kad cosx ≠ 0 ir lygtį galime padalinti iš cosx. Mes gauname

Atsakymas:

2) Išspręskite lygtį 1 + 7 cos 2 x = 3 sin 2x

Sprendimas:

Mes naudojame formules 1 = sin 2 x + cos 2 x ir sin 2x = 2 sinxcosx, gauname

sin 2 x + cos 2 x + 7cos 2 x = 6sinxcosx
sin 2 x – 6sinxcosx+ 8cos 2 x = 0

Tegu cosx = 0, tada sin 2 x = 0 ir sinx = 0 – prieštaravimas tam, kad sin 2 x + cos 2 x = 1.
Tai reiškia, kad cosx ≠ 0 ir lygtį galime padalyti iš cos 2 x . Mes gauname

tg 2 x – 6 tgx + 8 = 0
Pažymime tgx = y
y 2 – 6 y + 8 = 0
y 1 = 4; y2 = 2
a) tgx = 4, x = arctan4 + 2 k, k
b) tgx = 2, x = arctan2 + 2 k, k .

Atsakymas: arctg4 + 2 k, arctan2 + 2 k, k

4. Formos lygtys a sinx + b cosx = s, s≠ 0.

1) Išspręskite lygtį.

Sprendimas:

Atsakymas:

5. Faktorizacijos būdu išspręstos lygtys.

1) Išspręskite lygtį sin2x – sinx = 0.

Lygties šaknis f (X) = φ ( X) gali būti naudojamas tik kaip skaičius 0. Patikrinkime tai:

cos 0 = 0 + 1 – lygybė yra teisinga.

Skaičius 0 yra vienintelė šios lygties šaknis.

Atsakymas: 0.

Vaizdo kursas „Gaukite A“ apima visas sėkmingam darbui reikalingas temas išlaikęs vieningą valstybinį egzaminą iš matematikos už 60-65 balus. Visiškai visos problemos 1-13 Profilio vieningas valstybinis egzaminas matematika. Taip pat tinka išlaikyti bazinį vieningą valstybinį matematikos egzaminą. Jei norite išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą 90-100 balų, 1 dalį turite išspręsti per 30 minučių ir be klaidų!

Pasirengimo kursas vieningam valstybiniam egzaminui 10-11 klasėms, taip pat mokytojams. Viskas, ko reikia norint išspręsti matematikos vieningo valstybinio egzamino 1 dalį (12 pirmųjų uždavinių) ir 13 uždavinį (trigonometrija). Ir tai yra daugiau nei 70 balų iš vieningo valstybinio egzamino ir be jų neapsieina nei 100 balų studentas, nei humanitarinių mokslų studentas.

Visa reikalinga teorija. Greiti vieningo valstybinio egzamino sprendimai, spąstai ir paslaptys. Išnagrinėtos visos dabartinės FIPI užduočių banko 1 dalies užduotys. Kursas visiškai atitinka Vieningo valstybinio egzamino 2018 reikalavimus.

Kursą sudaro 5 didelės temos, kiekviena po 2,5 val. Kiekviena tema pateikiama nuo nulio, paprastai ir aiškiai.

Šimtai vieningo valstybinio egzamino užduočių. Žodiniai uždaviniai ir tikimybių teorija. Paprasti ir lengvai įsimenami problemų sprendimo algoritmai. Geometrija. Teorija, informacinė medžiaga, visų rūšių vieningo valstybinio egzamino užduočių analizė. Stereometrija. Sudėtingi sprendimai, naudingi cheat sheets, plėtra erdvinė vaizduotė. Trigonometrija nuo nulio iki problemos 13. Supratimas, o ne kimšimas. Vizualus paaiškinimas sudėtingos sąvokos. Algebra. Šaknys, laipsniai ir logaritmai, funkcija ir išvestinė. Sudėtingų Vieningo valstybinio egzamino 2 dalies uždavinių sprendimo pagrindas.