2 eilės lygties šaknys. Tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys. Bendrojo tiesinio homogeninio sprendinio konstravimas
Homogeniška linijinė diferencialines lygtis antrosios eilės su pastoviais koeficientais turi formą
kur p ir q yra tikrieji skaičiai. Pažiūrėkime į pavyzdžius, kaip sprendžiamos vienalytės antros eilės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais.
Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygties sprendimas priklauso nuo charakteringos lygties šaknų. Būdinga lygtis yra lygtis k²+pk+q=0.
1) Jei charakteringos lygties šaknys yra skirtingi realieji skaičiai:
tada tiesinės vienalytės antros eilės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais bendras sprendinys turi formą
2) Jei charakteringos lygties šaknys yra lygūs realieji skaičiai
(pavyzdžiui, kai diskriminantas lygus nuliui), tada homogeninės antros eilės diferencialinės lygties bendras sprendimas yra
3) Jei charakteringos lygties šaknys yra kompleksiniai skaičiai
(pavyzdžiui, kai diskriminantas lygus neigiamam skaičiui), tada homogeninės antros eilės diferencialinės lygties bendras sprendinys rašomas forma
Tiesinių vienalyčių antros eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sprendimo pavyzdžiai
Raskite homogeninių antros eilės diferencialinių lygčių bendruosius sprendinius:
Sudarome charakteristikų lygtį: k²-7k+12=0. Jo diskriminantas yra D=b²-4ac=1>0, todėl šaknys yra skirtingi realieji skaičiai.
Vadinasi, bendras šios homogeninės 2 eilės DE sprendimas yra
Sudarykime ir išspręskime charakteristikų lygtį:
Šaknys yra tikros ir skirtingos. Taigi turime bendrą šios homogeninės diferencialinės lygties sprendimą:
Šiuo atveju charakteristikos lygtis
Šaknys skirtingos ir galiojančios. Todėl bendras 2-osios eilės homogeninės diferencialinės lygties sprendimas yra čia
Charakteristinė lygtis
Kadangi šaknys yra tikrosios ir lygios, šios diferencialinės lygties bendrąjį sprendimą rašome kaip
Būdinga lygtis yra čia
Kadangi diskriminantas yra neigiamas skaičius, charakteristikos lygties šaknys yra kompleksiniai skaičiai.
Šios vienalytės antrosios eilės diferencialinės lygties bendras sprendimas turi formą
Charakteristinė lygtis
Iš čia randame bendrą šio skirtumo sprendimą. lygtys:
Savikontrolės pavyzdžiai.
§ 9. Tiesinės vienarūšės antros eilės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais
Antros eilės LODE apibrėžimas su pastoviais koeficientais
Charakteristinė lygtis:
1 atvejis. Diskriminantas didesnis už nulį
2 atvejis. Diskriminantas yra nulis
3 atvejis. Diskriminantas mažesnis už nulį
Algoritmo paieška bendras sprendimas Antros eilės LOD su pastoviais koeficientais
§ 10. Tiesinės nehomogeninės antros eilės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais
Antros eilės LPDE nustatymas su pastoviais koeficientais
Konstantų kitimo metodas
LNDDE sprendimo būdas su specialia dešine puse
LNDE bendrojo sprendinio sandaros teorema
1. Funkcija r (x) – laipsnio daugianario T
2. Funkcija r (x) – skaičiaus sandauga iš eksponentinė funkcija
3. Funkcija r (x) - suma trigonometrinės funkcijos
Algoritmas ieškant bendro LPDE sprendimo su specialia dešine puse
Taikymas
§ 9. Antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygtys su pastoviais koeficientais
Antros eilės diferencialinė lygtis vadinama tiesinė homogeninė diferencialinė lygtis (LODE) su pastoviais koeficientais, jei atrodo taip:
Kur p Ir q
Norint rasti bendrą LODE sprendimą, pakanka rasti du skirtingus dalinius sprendimus ir . Tada bendras LODE sprendimas turės formą
Kur SU 1 ir SU
Leonardas Euleris pasiūlė ieškoti konkrečių LDE sprendimų formoje
Kur k– tam tikras skaičius.
Šios funkcijos diferencijavimas du kartus ir išraiškų pakeitimas adresu, y" Ir y"Į lygtį gauname:
Gauta lygtis vadinama charakteristikos lygtis LODU. Norėdami jį sudaryti, pakanka pakeisti pradinę lygtį y", y" Ir adresu atitinkamai pagal k 2 , k ir 1:
Išsprendę charakteristikų lygtį, t.y. šaknų radimas k 1 ir k 2, taip pat rasime konkrečius originalaus LODE sprendimus.
Būdinga lygtis yra kvadratinė lygtis, jo šaknys randamos per diskriminantą
Šiuo atveju galimi šie trys atvejai.
1 atvejis. Diskriminantas didesnis už nulį , todėl šaknys k 1 ir k 2 galiojantys ir skirtingi:
k 1¹ k 2
Kur SU 1 ir SU 2 – savavališkos nepriklausomos konstantos.
2 atvejis. Diskriminantas yra nulis , todėl šaknys k 1 ir k 2 realūs ir lygūs:
k 1 = k 2 = k
Šiuo atveju bendras LOD sprendimas turi formą
Kur SU 1 ir SU 2 – savavališkos nepriklausomos konstantos.
3 atvejis. Diskriminantas mažesnis už nulį . Šiuo atveju lygtis neturi realių šaknų:
Nėra šaknų.
Šiuo atveju bendras LOD sprendimas turi formą
Kur SU 1 ir SU 2 – savavališkos nepriklausomos konstantos,
Taigi, norint rasti bendrą antros eilės LODE sprendimą su pastoviais koeficientais, reikia rasti charakteringos lygties šaknis ir naudoti formules bendram lygties sprendimui (nenaudojant integralų skaičiavimo).
Antros eilės LODE su pastoviais koeficientais bendro sprendimo paieškos algoritmas:
1. Sumažinkite lygtį iki formos kur p Ir q– kai kurie realūs skaičiai.
2. Sukurkite charakteristikų lygtį.
3. Raskite charakteristikos lygties diskriminantą.
4. Naudodami formules (žr. 1 lentelę), priklausomai nuo diskriminanto ženklo, užrašykite bendrąjį sprendimą.
1 lentelė
Galimų bendrųjų sprendimų lentelė
Šiame straipsnyje išnagrinėsime tiesinių vienalyčių antros eilės diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais, kur p ir q yra savavališki realieji skaičiai, sprendimo principus. Pirmiausia susitelkime ties teorija, tada gautus rezultatus pritaikykime spręsdami pavyzdžius ir uždavinius.
Jei susiduriate su nepažįstamais terminais, skaitykite skyrių apie diferencialinių lygčių teorijos apibrėžimus ir sąvokas.
Suformuluokime teoremą, nurodančią, kokia forma rasti bendrąjį LOD sprendinį.
Teorema.
Bendrasis tiesinės vienalytės diferencialinės lygties su koeficientais, nuolatiniais integravimo intervale X, sprendimas nustatomas tiesine kombinacija 
, Kur 
yra tiesiškai nepriklausomi daliniai LDE sprendiniai X ir yra savavališkos konstantos.
Taigi tiesinės vienalytės antros eilės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais bendras sprendinys turi formą y 0 =C 1 ⋅y 1 +C 2 ⋅y 2, kur y 1 ir y 2 yra daliniai tiesiškai nepriklausomi sprendiniai, o C 1 ir C 2 yra savavališkos konstantos. Belieka išmokti rasti dalinius y 1 ir y 2 sprendimus.
Euleris pasiūlė ieškoti konkrečių sprendimų formoje.
Jei imtume antros eilės LODE dalinį sprendinį su pastoviais koeficientais, tai pakeisdami šį sprendinį į lygtį, turėtume gauti tapatybę: 
Taigi gavome vadinamąjį charakteristikos lygtis tiesinė homogeninė antros eilės diferencialinė lygtis su pastoviais koeficientais. Šios charakteristikos lygties sprendiniai k 1 ir k 2 nustato mūsų antros eilės LODE dalinius sprendinius su pastoviais koeficientais.
Priklausomai nuo koeficientų p ir q, charakteristikų lygties šaknys gali būti:
Pirmuoju atveju tiesiškai nepriklausomi pradinės diferencialinės lygties daliniai sprendiniai yra ir , antros eilės LODE su pastoviais koeficientais bendras sprendinys yra .
Funkcijos ir yra tiesiškai nepriklausomos, nes Vronskio determinantas nėra lygus nuliui bet kokiam realiam x.
Antruoju atveju vienas konkretus sprendimas yra funkcija . Kaip antrą konkretų sprendimą mes priimame . Parodykime, kas iš tikrųjų yra konkretus antros eilės LODE su pastoviais koeficientais sprendimas ir įrodykime linijinė nepriklausomybė y 1 ir y 2.
Kadangi k 1 = k 0 ir k 2 = k 0 yra tos pačios charakteringosios lygties šaknys, ji turi formą . Todėl yra pradinė tiesinė vienalytė diferencialinė lygtis. Pakeiskime ją į ją ir įsitikinkime, kad lygtis tampa tapatybe: 
Taigi tai yra dalinis pradinės lygties sprendinys.
Parodykime funkcijų ir tiesinę nepriklausomybę. Norėdami tai padaryti, apskaičiuokime Wronskio determinantą ir įsitikinkime, kad jis skiriasi nuo nulio. 
Išvada: tiesiškai nepriklausomi antros eilės LODE daliniai sprendiniai su pastoviais koeficientais yra ir , o bendras sprendinys egzistuoja .
Trečiuoju atveju turime porą sudėtingų dalinių LDE ir . Bendras sprendimas bus parašytas kaip 
. Šiuos konkrečius sprendimus galima pakeisti dviem tikromis funkcijomis 
ir , atitinkantys tikrąją ir įsivaizduojamą dalis. Tai galima aiškiai matyti, jei pakeičiame bendrą sprendimą , naudojant formules iš kompleksinio kintamojo funkcijos teorija tipas: 
kur C 3 ir C 4 yra savavališkos konstantos.
Taigi, apibendrinkime teoriją.
Algoritmas ieškant bendrojo sprendinio tiesinei vienalyčiai antros eilės diferencialinei lygčiai su pastoviais koeficientais.
Pažvelkime į kiekvieno atvejo pavyzdžius.
Pavyzdys.
Raskite antros eilės tiesinės vienalytės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais bendrą sprendimą 
.
2 eilės tiesinė diferencialinė lygtis (LDE) turi tokią formą:
kur , , ir yra pateiktos funkcijos, kurios yra nuolatinės intervale, kuriame ieškoma sprendimo. Darydami prielaidą, kad a 0 (x) ≠ 0, padalijame (2.1) iš ir, įvedę naujus koeficientų žymėjimus, rašome lygtį tokia forma:
Priimkime be įrodymų, kad (2.2) tam tikrame intervale turi unikalų sprendinį, kuris tenkina bet kokias pradines sąlygas , , jei nagrinėjamame intervale funkcijos , ir yra tolydžios. Jei , tai lygtis (2.2) vadinama vienalyte, o (2.2) – nehomogeniška kitaip.
Panagrinėkime 2 eilės lodės sprendinių savybes.
Apibrėžimas. Tiesinis funkcijų derinys yra išraiška , kur yra savavališki skaičiai.
Teorema. Jei ir – sprendimas
tada jų tiesinis derinys taip pat bus šios lygties sprendimas.
Įrodymas.
Įdėkime išraišką į (2.3) ir parodykime, kad rezultatas yra tapatybė:
Pertvarkykime terminus:
Kadangi funkcijos yra (2.3) lygties sprendiniai, tai kiekvienas paskutinės lygties skliaustelis yra identiškai lygus nuliui, ką ir reikėjo įrodyti.
1 išvada. Iš įrodytos teoremos išplaukia, kad jei yra (2.3) lygties sprendimas, tai yra ir šios lygties sprendimas.
2 išvada. Darant prielaidą, matome, kad dviejų Lodo sprendinių suma taip pat yra šios lygties sprendimas.
komentuoti. Teoremoje įrodyta sprendinių savybė galioja bet kokios eilės uždaviniams.
§3. Vronskio determinantas.
Apibrėžimas. Sakoma, kad funkcijų sistema tam tikru intervalu yra tiesiškai nepriklausoma, jei nė viena iš šių funkcijų negali būti pavaizduota kaip visų kitų tiesinė kombinacija.
Dviejų funkcijų atveju tai reiškia, kad 
, t.y. 
. Paskutinę sąlygą galima perrašyti kaip arba 
. Šios išraiškos skaitiklio determinantas yra 
vadinamas Vronskio determinantu funkcijoms ir . Taigi dviejų tiesiškai nepriklausomų funkcijų Wronskio determinantas negali būti identiškai lygus nuliui.
Leisti 
yra tiesiškai nepriklausomų sprendinių ir (2.3) lygties Vronskio determinantas. Pakeitimu įsitikinkime, kad funkcija tenkina lygtį. (3.1)
Tikrai,. Kadangi funkcijos ir tenkina (2.3) lygtį, tai, t.y. – (3.1) lygties sprendinys. Raskime šį sprendimą: ; . kur, 
. 
,
, .
Dešinėje šios formulės pusėje turite paimti pliuso ženklą, nes tik tokiu atveju gaunama tapatybė. Taigi,
(3.2)
Ši formulė vadinama Liouville formule. Aukščiau buvo parodyta, kad tiesiškai nepriklausomų funkcijų Wronskio determinantas negali būti identiškai lygus nuliui. Vadinasi, yra taškas, kuriame tiesiškai nepriklausomų (2.3) lygties sprendinių determinantas skiriasi nuo nulio. Tada iš Liouville'io formulės išplaukia, kad funkcija bus ne nulis visoms nagrinėjamo intervalo reikšmėms, nes bet kuriai vertei abu faktoriai dešinėje (3.2) formulės pusėje yra nuliniai.
§4. 2 eilės lodės bendrojo sprendinio sandara.
Teorema. Jei ir yra tiesiškai nepriklausomi (2.3) lygties sprendiniai, tai jų tiesinė kombinacija 
, kur ir yra savavališkos konstantos, bus bendras šios lygties sprendimas.
Įrodymas.
Ką 
yra (2.3) lygties sprendimas, išplaukia iš sprendinių savybių teoremos iki 2 eilės Lodo. Mums tereikia parodyti tą sprendimą 
valios bendras, t.y. būtina parodyti, kad bet kurioms pradinėms sąlygoms galima pasirinkti savavališkas konstantas taip, kad šios sąlygos būtų tenkinamos. Užsirašykime pradines sąlygas kaip:
Konstantos ir iš šios tiesinių algebrinių lygčių sistemos nustatomos vienareikšmiškai, nes šios sistemos determinantas yra tiesiškai nepriklausomų Lodu sprendinių Vronskio determinanto reikšmė:
,
ir toks determinantas, kaip matėme ankstesnėje pastraipoje, yra nulis. Teorema įrodyta.
Pavyzdys.Įrodykite, kad funkcija 
, kur ir yra savavališkos konstantos, yra bendras Lod sprendimas.
Sprendimas.
Pakeitimu nesunku patikrinti, ar funkcijos veikia ir tenkina šią lygtį. Šios funkcijos yra tiesiškai nepriklausomos, nes 
. Todėl pagal bendrojo sprendinio sandaros teoremą 2 eilės lode 
yra bendras šios lygties sprendimas.
2 eilės diferencialinės lygtys
§1. Lygties eilės mažinimo metodai.
2 eilės diferencialinė lygtis turi tokią formą:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="119" height="25 src="> ( arba Diferencialinė" href="/text/category/differentcial/" rel="bookmark">2-osios eilės diferencialinė lygtis). 2-os eilės diferencialinės lygties Cauchy problema (1..gif" width="85" height= "25 src =">.gif" width="85" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.
Tegul 2 eilės diferencialinė lygtis turi tokią formą: https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src=">..gif" width="39" height=" 25 src=">.gif" width="265" height="28 src=">.
Taigi, 2 eilės lygtis https://pandia.ru/text/78/516/images/image015_28.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="118" height =" 25 src=">.gif" width="117" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">. Jį išspręsdami gauname bendrąjį pradinės diferencialinės lygties integralą, priklausomai nuo dviejų savavališkų konstantų: DIV_ADBLOCK219">
1 pavyzdys. Išspręskite diferencialinę lygtį https://pandia.ru/text/78/516/images/image021_18.gif" width="70" height="25 src=">.gif" height="25 src=">.gif " width="39" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src=">.gif" width="112" height="25 src=">.
Tai diferencialinė lygtis su atskiriamais kintamaisiais: https://pandia.ru/text/78/516/images/image026_19.gif" width="99" height="41 src=">, i.e.gif" width= " 96" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="48" height="38 src=">..gif" width=" 99 " height="38 src=">..gif" width="95" height="25 src=">.
2..gif" width="117" height="25 src=">, ty..gif" width="102" height="25 src=">..gif" width="117" height= "25 src =">.gif" width="106" height="25 src=">.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="117" height="25 src=" >.gif" width="111" height="27 src=">
Sprendimas.
IN duota lygtis 2-ajame įsakyme aiškiai nėra reikiamos funkcijos https://pandia.ru/text/78/516/images/image043_16.gif" width="98" height="25 src=">.gif" width="33 " height="25 src=">.gif" width="105" height="36 src=">, kuri yra tiesinė lygtis..gif" width="109" height="36 src=">.. gif" width="144" height="36 src=">.gif" height="25 src="> iš kai kurių funkcijų..gif" width="25" height="25 src=">.gif" plotis = "127" height="25 src=">.gif" width="60" height="25 src="> – lygties tvarka sumažinama.
§2. 2 eilės tiesinė diferencialinė lygtis.
2 eilės tiesinė diferencialinė lygtis (LDE) turi tokią formą:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image059_12.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="42" height="25 src=">. gif" width="42" height="25 src="> ir, įvedę naujus koeficientų žymėjimus, rašome lygtį tokia forma:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image064_12.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="35" height="25 src=">. gif" width="30" height="25 src="> tęstinis..gif" width="165" height="25 src=">.gif" width="95" height="25 src="> – savavališki skaičiai.
Teorema. Jei https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> - sprendimas yra
https://pandia.ru/text/78/516/images/image076_10.gif" width="182" height="25 src="> taip pat bus šios lygties sprendimas.
Įrodymas.
Įdėkime išraišką https://pandia.ru/text/78/516/images/image077_11.gif" width="420" height="25 src=">.
Pertvarkykime terminus:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image073_10.gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="54" height="25 src=">. gif" width="94" height="25 src="> taip pat yra šios lygties sprendimas.
2 išvada. Darant prielaidą, kad https://pandia.ru/text/78/516/images/image083_11.gif" width="58" height="25 src="> taip pat yra šios lygties sprendimas.
komentuoti. Teoremoje įrodyta sprendinių savybė galioja bet kokios eilės uždaviniams.
§3. Vronskio determinantas.
Apibrėžimas. Funkcijų sistema https://pandia.ru/text/78/516/images/image084_10.gif" width="61" height="25 src=">.gif" width="110" height="47 src= " >..gif" width="106" height="42 src=">..gif" width="42" height="25 src=">.gif" width="181" height="47 src= " >.gif" width="42" height="25 src="> lygtys (2.3)..gif" width="182" height="25 src="> (3.1)
Iš tiesų, ..gif" width="18" height="25 src="> atitinka lygtį (2..gif" width="42" height="25 src="> yra (3.1) lygties sprendimas. .gif" width="87" height="28 src=">..gif" width="182" height="34 src=">..gif" width="162" height="42 src="> .gif" width="51" height="25 src="> tapatybė gaunama.
https://pandia.ru/text/78/516/images/image107_7.gif" width="18" height="25 src=">, kuriame yra tiesiškai nepriklausomų lygties sprendinių determinantas (2..gif " width= "42" height="25 src=">.gif" height="25 src="> abu faktoriai dešinėje formulės (3.2) pusėje yra ne nulis.
§4. 2 eilės lodės bendrojo sprendinio sandara.
Teorema. Jei https://pandia.ru/text/78/516/images/image074_11.gif" width="42" height="25 src="> yra tiesiškai nepriklausomi lygties sprendiniai (2..gif" width=" 19" height="25 src=">.gif" width="129" height="25 src=">yra lygties (2.3) sprendimas, išplaukia iš sprendinių savybių teoremos iki 2 eilės lode. gif" width="85 " height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="220" height="47">
Konstantos https://pandia.ru/text/78/516/images/image003_79.gif" width="19" height="25 src="> iš šios tiesinių algebrinių lygčių sistemos yra nustatomos vienareikšmiškai, nes determinantas ši sistema yra https://pandia.ru/text/78/516/images/image006_56.gif" width="51" height="25 src=">:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image116_7.gif" width="138" height="25 src=">.gif" width="19" height="25 src=">. gif" width="69" height="25 src=">.gif" width="235" height="48 src=">..gif" width="143" height="25 src="> (5 ..gif" width="77" height="25 src=">. Pagal ankstesnę pastraipą, bendrasis 2-osios eilės Lod sprendinys yra lengvai nustatomas, jei žinomi du tiesiškai nepriklausomi daliniai šios lygties sprendiniai. Paprastas metodas kad rastume dalinius lygties su pastoviais koeficientais, pasiūlytos L. Eulerio..gif" width="25" height="26 src=">, sprendinius, gauname algebrinė lygtis, kuris vadinamas charakteristika:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image124_5.gif" width="59" height="26 src="> bus (5.1) lygties sprendimas tik toms k reikšmėms kurios yra būdingos lygties (5.2) šaknys..gif" width="49" height="25 src=">..gif" width="76" height="28 src=">.gif" width= "205" height="47 src ="> ir bendras sprendimas (5..gif" width="45" height="25 src=">..gif" width="74" height="26 src=" >..gif" width="83 " height="26 src=">. Patikrinkime, ar ši funkcija atitinka lygtį (5.1)..gif" width="190" height="26 src=">. Pakeičiant šias išraiškas į lygtį (5.1), gauname
https://pandia.ru/text/78/516/images/image141_6.gif" width="328" height="26 src=">, nes..gif" width="137" height="26 src= ">.
Konkretūs sprendimai https://pandia.ru/text/78/516/images/image145_6.gif" width="86" height="28 src="> yra tiesiškai nepriklausomi, nes..gif" width="166" aukštis ="26 src=">.gif" plotis="45" aukštis="25 src=">..gif" width="65" height="33 src=">.gif" plotis="134" aukštis = "25 src=">.gif" width="267" height="25 src=">.gif" width="474" height="25 src=">.
Abu skliaustai kairėje šios lygybės pusėje yra identiški nuliui..gif" width="174" height="25 src=">..gif" width="132" height="25 src="> yra (5.1) lygties sprendimas ..gif" width="129" height="25 src="> atrodys taip:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image162_6.gif" width="179" height="25 src="> f(x) (6.1)
pateikiama kaip bendro sprendimo suma https://pandia.ru/text/78/516/images/image164_6.gif" width="195" height="25 src="> (6.2)
ir bet koks konkretus sprendimas https://pandia.ru/text/78/516/images/image166_6.gif" width="87" height="25 src="> bus (6.1) lygties sprendimas..gif" plotis=" 272" aukštis="25 src="> f(x). Ši lygybė yra tapatybė, nes..gif" width="128" height="25 src="> f(x). Todėl.gif" width="85" height="25 src=">.gif" width ="138" height="25 src=">.gif" width="18" height="25 src="> yra tiesiškai nepriklausomi šios lygties sprendiniai. Taigi:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image173_5.gif" width="289" height="48 src=">
https://pandia.ru/text/78/516/images/image002_107.gif" width="19" height="25 src=">.gif" width="11" height="25 src=">. gif" width="51" height="25 src=">, ir toks determinantas, kaip matėme aukščiau, yra ne nulis..gif" width="19" height="25 src="> iš sistemos lygčių (6 ..gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="76" height="25 src=">.gif" width="140" height="25 src ="> bus sprendžiant lygtį
https://pandia.ru/text/78/516/images/image179_5.gif" width="91" height="25 src="> į (6.5) lygtį, gauname
https://pandia.ru/text/78/516/images/image181_5.gif" width="140" height="25 src=">.gif" width="128" height="25 src="> f (x) (7.1)
kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image185_5.gif" width="34" height="25 src="> lygtis (7.1) tuo atveju, kai dešinioji pusė f(x) ) turi specialią formą. Šis metodas vadinamas neapibrėžtų koeficientų metodu ir susideda iš konkretaus sprendimo pasirinkimo, atsižvelgiant į dešinės pusės f(x) tipą.
1..gif" width="282" height="25 src=">.gif" width="53" height="25 src=">, gali būti nulis. Nurodykime, kokia forma šiuo atveju turi būti priimtas konkretus sprendimas.
a) Jei numeris https://pandia.ru/text/78/516/images/image191_5.gif" width="393" height="25 src=">.gif" width="157" height="25 src =>>.
Sprendimas.
Dėl lygties https://pandia.ru/text/78/516/images/image195_4.gif" width="86" height="25 src=">..gif" width="62" height="25 src = ">..gif" width="101" height="25 src=">.gif" width="153" height="25 src=">.gif" width="383" height="25 src= “ >.
Abi dalis sumažiname iki https://pandia.ru/text/78/516/images/image009_41.gif" height="25 src="> kairėje ir dešinėje lygybės pusėse
https://pandia.ru/text/78/516/images/image206_5.gif" width="111" height="40 src=">
Iš gautos lygčių sistemos randame: https://pandia.ru/text/78/516/images/image208_5.gif" width="189" height="25 src="> ir bendrą sprendimą duota lygtis Yra:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image190_5.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="423" height="25 src=">,
kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image212_5.gif" width="158" height="25 src=">.
Sprendimas.
Atitinkama charakteristikų lygtis turi tokią formą:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image214_6.gif" width="53" height="25 src=">.gif" width="85" height="25 src=">. gif" width="45" height="25 src=">.gif" width="219" height="25 src=">..gif" width="184" height="35 src=">. Galutinis turime tokią bendro sprendimo išraišką:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image223_4.gif" width="170" height="25 src=">.gif" width="13" height="25 src="> puiku nuo nulio. Šiuo atveju nurodykime konkretaus sprendimo tipą.
a) Jei numeris https://pandia.ru/text/78/516/images/image227_5.gif" width="204" height="25 src=">,
kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image226_5.gif" width="16" height="25 src="> yra būdingos lygties (5..gif" lygties šaknis plotis = "229 " aukštis = "25 src=">,
kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image229_5.gif" width="147" height="25 src=">.
Sprendimas.
Lygties charakteristikos lygties šaknys https://pandia.ru/text/78/516/images/image231_4.gif" width="58" height="25 src=">.gif" width="203" height ="25 src=">.
3 pavyzdyje pateiktos lygties dešinioji pusė turi specialią formą: f(x) https://pandia.ru/text/78/516/images/image235_3.gif" width="50" height="25 src= ">.gif " width="55" height="25 src=">.gif" width="229" height="25 src=">.
Norėdami nustatyti https://pandia.ru/text/78/516/images/image240_2.gif" width="11" height="25 src=">.gif" width="43" height="25 src=" > ir pakeiskite jį į pateiktą lygtį:
Cituojant panašius terminus, prilyginant koeficientus adresu https://pandia.ru/text/78/516/images/image245_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="100" height = "25 src=">.
Galutinis bendrasis pateiktos lygties sprendimas yra: https://pandia.ru/text/78/516/images/image249_2.gif" width="281" height="25 src=">.gif" width="47" " height ="25 src=">.gif" width="10" height="25 src=">, o vienas iš šių polinomų gali būti lygus nuliui. Šiuo bendruoju atveju nurodykime konkretaus sprendimo tipą .
a) Jei numeris https://pandia.ru/text/78/516/images/image255_2.gif" width="605" height="51">, (7.2)
kur https://pandia.ru/text/78/516/images/image257_2.gif" width="121" height="25 src=">.
b) Jei skaičius https://pandia.ru/text/78/516/images/image210_5.gif" width="80" height="25 src=">, konkretus sprendimas lndu atrodys taip:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image259_2.gif" width="17" height="25 src=">. Išraiškoje (7..gif" width="121" height= " 25 src=">.
4 pavyzdys. Nurodykite konkretaus lygties sprendimo tipą
https://pandia.ru/text/78/516/images/image262_2.gif" width="129" height="25 src=">..gif" width="95" height="25 src="> . Bendras „Lodu“ sprendimas turi tokią formą:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image266_2.gif" width="183" height="25 src=">..gif" width="42" height="25 src="> ..gif" width="36" height="25 src=">.gif" width="351" height="25 src=">.
Kiti koeficientai https://pandia.ru/text/78/516/images/image273_2.gif" width="34" height="25 src=">.gif" width="42" height="28 src=" > yra konkretus lygties sprendimas su dešine puse f1(x) ir savavališkų konstantų variacijos" href="/text/category/variatciya/" rel="bookmark">variacija (Lagranžo metodas).
Labai sunku tiesiogiai rasti konkretų lygties sprendimą, išskyrus lygtį su pastoviais koeficientais ir specialiomis laisvosiomis sąlygomis. Todėl norint rasti bendrą lygties sprendimą, dažniausiai naudojamas savavališkų konstantų kitimo metodas, kuris visada leidžia rasti bendrą lygties sprendimą kvadratais, jei yra žinoma pagrindinė atitinkamos vienalytės lygties sprendinių sistema. . Šis metodas yra toks.
Remiantis tuo, kas išdėstyta aukščiau, bendras tiesinės vienalytės lygties sprendimas yra:
https://pandia.ru/text/78/516/images/image278_2.gif" width="46" height="25 src=">.gif" width="51" height="25 src="> – ne konstantos, o kai kurios, dar nežinomos, f(x) funkcijos. . turi būti paimtas iš intervalo. Tiesą sakant, šiuo atveju Wronskio determinantas yra ne nulis visuose intervalo taškuose, t. y. visoje erdvėje - kompleksinė charakteristikos lygties šaknis..gif" width="20" height="25 src="> tiesiškai nepriklausomi formos daliniai sprendiniai :
Bendrojoje sprendimo formulėje ši šaknis atitinka formos išraišką.
