Ribinio taško teorema. Bolzano-Weierstrasso teorema. Išplėtimas į savavališko matmens erdvės atvejį

Apibrėžimas v.7. Taškas x € R skaičių tiesėje vadinamas sekos (xn) ribiniu tašku, jei bet kuriai U (x) apylinkei ir bet kuriam natūraliajam skaičiui N galima rasti elementą xn, priklausantį šiai kaimynei, kurio skaičius didesnis nei LG, t.y. x 6 R - ribinis taškas, jei. Kitaip tariant, taškas x bus (xn) ribinis taškas, jei kurioje nors jo apylinkėje yra šios sekos elementų su savavališkai dideliais skaičiais, nors galbūt ne visi elementai su skaičiais n > N. Todėl toks teiginys yra gana akivaizdus. . Pareiškimas b.b. Jei lim(xn) = 6 6 R, tai b yra vienintelis sekos (xn) ribinis taškas. Iš tiesų, remiantis 6.3 sekos ribos apibrėžimu, visi jos elementai, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, patenka į bet kurią savavališkai mažą 6 taško apylinkę, todėl elementai su savavališkai dideliu skaičiumi negali patekti į jokio kito taško kaimynystę. . Vadinasi, 6.7 apibrėžimo sąlyga tenkinama tik vienam taškui 6. Tačiau ne kiekvienas sekos ribinis taškas (kartais vadinamas plonu kondensuotu tašku) yra jos riba. Taigi seka (b.b) neturi ribos (žr. 6.5 pavyzdį), bet turi du ribinius taškus x = 1 ir x = - 1. Seka ((-1)pp) turi du begalinius taškus +oo ir kaip ribinius taškus - su išplėstine skaičių eilute, kurios sąjunga žymima vienu simboliu oo. Štai kodėl galime manyti, kad begaliniai ribiniai taškai sutampa, o begalinis taškas oo, pagal (6.29), yra šios sekos riba. Eilės numerio eilutės ribiniai taškai Weierstrass testo ir Koši kriterijaus įrodymas. Tegul seka (jn) yra duota ir skaičiai k sudaro didėjančią teigiamų sveikųjų skaičių seką. Tada seka (Vnb kur yn = xkn> vadinama pradinės sekos poseka. Akivaizdu, kad jei (i„) yra skaičius 6, tai bet kuri jos poseka turi tą pačią ribą, nes pradedant nuo tam tikro skaičiaus visi tiek pradinės sekos, tiek bet kurios jos posekos elementai patenka į bet kurią pasirinktą 6 taško kaimynystę. Tuo pačiu metu bet koks posekos ribinis taškas yra ir sekos ribinis taškas 9 teorema. Iš bet kurios sekos, kuri turi ribinis taškas, galima pasirinkti poseką, kurios ribą turi šis ribinis taškas. Tegul b yra sekos (xn) ribinis taškas, tada pagal 6 apibrėžimą. 7 ribinis taškas, kiekvienam n yra elementas, priklausantis 1/n spindulio taško b kaimynystei U (6, 1/n). Poseka, sudaryta iš taškų ijtj, ...1 ..., kur zjfcn€U(6, 1/n) Vn 6 N, turi ribą taške 6. Iš tiesų, jei e > 0, galima pasirinkti N toks kad. Tada visi posekos elementai, pradedant skaičiumi km, pateks į 6 punkto ^-apylinkę U(6, e), kuri atitinka sekos ribos apibrėžimo 6.3 sąlygą. Taip pat teisinga atvirkštinė teorema. Eilės numerio eilutės ribiniai taškai Weierstrass testo ir Koši kriterijaus įrodymas. 8.10 teorema. Jei kuri nors seka turi poseką su riba 6, tai b yra šios sekos ribinis taškas. Iš sekos ribos apibrėžimo 6.3 seka, kad, pradedant nuo tam tikro skaičiaus, visi posekos elementai su riba b patenka į savavališko spindulio e kaimynystę U(b, ​​e). Kadangi posekos elementai vienu metu yra sekos elementai (xn)> elementai xn patenka į šią apylinkę su tiek daug savavališkai didelių skaičių, ir tai pagal 6.7 apibrėžimą reiškia, kad b yra sekos (n) ribinis taškas. Pastaba 0.2. 6.9 ir 6.10 teoremos galioja ir tuo atveju, kai ribinis taškas yra begalinis, jei, įrodydami U(6, 1 /n) merto kaimynystę, laikysime kaimynystę (ar apylinkes). galima išskirti iš sekos, nustatoma pagal šią teoremą 6.11 teorema (Bolzano – Weierstrass). Kiekvienoje apribotoje sekoje yra poseka, susiliejanti į baigtinę ribą. Tegul visi sekos (an) elementai yra tarp skaičių a ir 6 , t.y. xn € [a, b] Vn € N. Padalinkite atkarpą [a , b] per pusę. Tada bent vienoje iš jos pusių bus begalinis skaičius sekos elementų, nes priešingu atveju visas atkarpas [a, b] b] būtų baigtinis jų skaičius, o tai neįmanoma. Tegul ] yra atkarpos [a , 6] pusių, kuriose yra begalinė sekos (zn) elementų aibė (arba jei abi pusės yra tokios , tada bet kuris iš jų). Panašiai iš atkarpos, kurioje yra begalinis sekos elementų rinkinys ir kt. Tęsdami šį procesą, sukursime įdėtų segmentų sistemą su bn - an = (6- a)/2P. Pagal įdėtųjų segmentų principą yra taškas x, kuris priklauso visiems šiems segmentams. Šis taškas bus sekos (xn) ribinis taškas – Tiesą sakant, bet kurioje e. kaimynystėje U(x, e) = (xx + e) ​​taškas x yra atkarpa C U(x, e) (tai pakanka tik pasirinkti n iš nelygybės (, kurioje yra begalinis sekos elementų skaičius (sn). Pagal 6.7 apibrėžimą x yra šios sekos ribinis taškas. Tada pagal 6.9 teoremą yra seka, konverguojanti į tašką x. Šios teoremos įrodyme naudojamas samprotavimo metodas (jis kartais vadinamas Bolzano-Weyer-Strasso lema) ir siejamas su nuosekliu nagrinėjamų atkarpų padalijimu, yra žinomas kaip Bolzano metodas. Ši teorema labai supaprastina daugelio sudėtingų teoremų įrodymą. Tai leidžia jums įrodyti keletą pagrindinių teoremų kitu (kartais paprastesniu) būdu. 6.2 priedas. Weierstrasso testo ir Koši kriterijaus įrodymas Pirmiausia įrodome 6.1 teiginį (Weierstrass testas ribotos monotoninės sekos konvergencijai). Tarkime, kad seka (jn) yra nemažėjanti. Tada jos reikšmių aibė yra apribota aukščiau ir pagal 2.1 teoremą turi viršukalnę, kurią sup(xn) žymime R. Dėl supremumo savybių (žr. 2.7) sekos ribiniai taškai yra skaičius Weierstrass testo ir Koši kriterijaus įrodymas. Pagal 6.1 apibrėžimą nemažėjančiai sekai turime arba Tada > Ny ir atsižvelgę ​​į (6.34) gauname, kad atitinka 6.3 sekos ribos apibrėžimą, t.y. 31im(sn) ir lim(xn) = 66R. Jeigu seka (xn) yra nedidėjanti, tai įrodinėjimo eiga panaši. Dabar pereikime prie Kochia kriterijaus pakankamumo sekos konvergencijai įrodyti (žr. 6.3 teiginį), nes kriterijaus sąlygos būtinumas išplaukia iš 6.7 teoremos. Tegul seka (jn) yra pagrindinė. Pagal 6.4 apibrėžimą, jei € > 0, galima rasti skaičių N, kurį reiškia m^N ir n^N. Tada, imant m - N, kai Vn > N gauname € £ Kadangi nagrinėjama seka turi baigtinį skaičių elementų, kurių skaičiai neviršija N, iš (6.35) matyti, kad pagrindinė seka yra ribojama (palyginimui žr. 6.2 teoremos apie konvergentinės sekos ribą įrodymas ). Ribotos sekos verčių rinkiniui yra infiminės ir aukščiausios ribos (žr. 2.1 teoremą). Elementų reikšmių rinkiniui n > N pažymime šiuos veidus atitinkamai an = inf xn ir bjy = sup xn. Didėjant N, tikslus infimum nemažėja, o tikslus supremumas nedidėja, t.y. . Ar turiu oro kondicionavimo sistemą? segmentai Pagal įdėtųjų segmentų principą yra bendras taškas, kuris priklauso visiems segmentams. Pažymėkime jį b. Taigi, iš palyginimo (6. 36) ir (6.37) kaip rezultatas, gauname, kad atitinka 6.3 sekos ribos apibrėžimą, t.y. 31im(x„) ir lim(sn) = 6 6 R. Bolzano pradėjo tyrinėti fundamentalias sekas. Tačiau jis neturėjo griežtos realiųjų skaičių teorijos, todėl negalėjo įrodyti pagrindinės sekos konvergencijos. Cauchy tai padarė, laikydamas savaime suprantamu įdėtų segmentų principą, kurį Cantoras vėliau pagrindė. Ne tik sekos konvergencijos kriterijus yra pavadintas Koši, bet pagrindinė seka dažnai vadinama Koši seka, o įdėtųjų segmentų principas pavadintas Kantoro vardu. Klausimai ir užduotys 8.1. Įrodykite, kad: 6.2. Pateikite nekonvergencinių sekų su elementais, priklausančiais aibėms Q ir R\Q, pavyzdžius. 0.3. Kokiomis sąlygomis aritmetinės ir geometrinės progresijos terminai sudaro mažėjančias ir didėjančias sekas? 6.4. Įrodykite iš lentelės pateiktus ryšius. 6.1. 6.5. Sukurkite sekų, nukreiptų į begalinius taškus +oo, -oo, oo, pavyzdžius ir sekos, konverguojančios į tašką, pavyzdį 6 € R. c.v. Ar neapribota seka negali būti b.b.? Jei taip, pateikite pavyzdį. 7 val. Sukurkite divergentinės sekos, susidedančios iš teigiamų elementų, kuri neturi nei baigtinės, nei begalinės ribos, pavyzdį. 6.8. Įrodykite kartojimo formule sn+i = sin(xn/2) pateiktos sekos (jn) konvergenciją esant sąlygai „1 = 1. 6.9. Įrodykite, kad lim(xn)=09, jei sn+i/xn-»g€ .

Padalinkite segmentą [ a 0 ,b 0 ] per pusę į du lygius segmentus. Bent viename iš gautų segmentų yra begalinis skaičius sekos terminų. Pažymėkime tai [ a 1 ,b 1 ] .

Kitame žingsnyje pakartosime procedūrą su segmentu [ a 1 ,b 1 ]: padalinkite jį į du lygius segmentus ir pasirinkite iš jų tą, kuriame yra begalinis skaičius sekos narių. Pažymėkime tai [ a 2 ,b 2 ] .

Tęsdami procesą gauname įdėtų segmentų seką

kuriame kiekvienas paskesnis yra pusė ankstesnio ir turi begalinį skaičių sekos terminų ( x k } .

Segmentų ilgiai linkę į nulį:

Dėl Cauchy-Cantor principo įdėtieji segmentai yra vienas taškas ξ, kuris priklauso visiems segmentams:

Pagal konstrukciją kiekviename segmente [a m ,b m ] sekos narių yra begalinis skaičius. Rinksimės paeiliui

stebint didėjančių skaičių sąlygą:

Tada seka susilieja į tašką ξ. Tai išplaukia iš to, kad atstumas nuo iki ξ neviršija atkarpos, kurioje jie yra, ilgio [a m ,b m ] , kur

Išplėtimas į savavališko matmens erdvės atvejį

Bolzano-Weierstrasso teorema lengvai apibendrinama savavališko matmens erdvės atveju.

Tegu pateikiama taškų seka erdvėje:

(apatinis indeksas yra sekos nario numeris, viršutinis indeksas yra koordinačių skaičius). Jei taškų seka erdvėje yra ribota, tada kiekviena skaitinė koordinačių seka:

taip pat ribotas ( - koordinačių numeris).

Remiantis vienmačiu Bolzano-Weirstrasso teoremos variantu iš sekos ( x k) galime pasirinkti taškų, kurių pirmosios koordinatės sudaro konvergentinę seką, seką. Iš gautos posekos dar kartą pasirenkame seką, kuri susilieja išilgai antrosios koordinatės. Šiuo atveju konvergencija išilgai pirmosios koordinatės bus išsaugota dėl to, kad kiekviena konvergencinės sekos poseka taip pat suartėja. Ir taip toliau.

Po to n gauname tam tikrą veiksmų seką

kuri yra , ir suartėja išilgai kiekvienos koordinatės. Iš to seka, kad ši seka susilieja.

Istorija

Bolzano-Weierstrasso teorema (atvejui n= 1) pirmą kartą įrodė čekų matematikas Bolzano 1817 m. Bolzano darbe jis veikė kaip lema įrodant teoremą apie tarpines tolydžios funkcijos reikšmes, dabar žinomas kaip Bolzano-Cauchy teorema. Tačiau šie ir kiti rezultatai, kuriuos Bolzano įrodė dar gerokai prieš Cauchy ir Weierstrass, liko nepastebėti.

Tik po pusės amžiaus Weierstrassas, nepriklausomai nuo Bolzano, iš naujo atrado ir įrodė šią teoremą. Iš pradžių vadinta Weierstrasso teorema, kol Bolzano darbas tapo žinomas ir priimtas.

Šiandien ši teorema pavadinta Bolzano ir Weierstrass. Ši teorema dažnai vadinama Bolzano-Weierstrass lema, ir kartais ribinio taško lema.

Bolzano-Weierstrasso teorema ir kompaktiškumo samprata

Bolzano-Weierstrasso teorema nustato tokią įdomią apribotos aibės savybę: kiekviena taškų seka M yra konvergentinė poseka.

Įrodinėdami įvairius teiginius analizėje, jie dažnai griebiasi tokios technikos: nustato taškų seką, kuri turi kokią nors norimą savybę, o tada iš jos parenka poseką, kuri taip pat ją turi, bet jau konvergentiška. Pavyzdžiui, taip įrodoma Weierstrasso teorema, kad funkcija, kuri tęsiasi intervale, yra ribojama ir įgauna didžiausią ir mažiausią reikšmes.

Tokios technikos efektyvumas apskritai, taip pat noras išplėsti Weierstrasso teoremą į savavališkas metrines erdves, paskatino prancūzų matematiką Maurice'ą Fréchet 1906 m. kompaktiškumas. Apribotų aibių savybė, nustatyta Bolzano-Weierstrass teorema, vaizdžiai tariant, yra ta, kad aibės taškai yra gana „glaudžiai“ arba „kompaktiškai“: padarę begalinį žingsnių skaičių išilgai šios aibės, mes tikrai priartėkite prie kurio nors erdvės taško, kiek norime.

Frechet pateikia tokį apibrėžimą: rinkinys M paskambino kompaktiška, arba kompaktiška, jei kiekviena jos taškų seka turi poseką, konverguojančią į kurį nors šios aibės tašką. Spėjama, kad filmavimo aikštelėje M metrika yra apibrėžta, tai yra, ji yra

1 apibrėžimas. Begalinės tiesės taškas x vadinamas sekos (x n) ribiniu tašku, jeigu bet kurioje šio taško e-greityje yra be galo daug sekos (x n) elementų.

1 lema. Jei x yra sekos (x k ) ribinis taškas, tai iš šios sekos galime pasirinkti poseką (x n k ), konverguojančią į skaičių x.

komentuoti. Taip pat teisingas ir priešingas teiginys. Jei iš sekos (x k) galima pasirinkti poseką, konverguojančią į skaičių x, tai skaičius x yra sekos (x k) ribinis taškas. Iš tiesų bet kurioje taško x el. kaimynystėje yra be galo daug posekos elementų, taigi ir pačios sekos (x k ).

Iš 1 lemos išplaukia, kad galime pateikti kitą sekos ribinio taško apibrėžimą, lygiavertį 1 apibrėžimui.

2 apibrėžimas. Begalinės tiesės taškas x vadinamas sekos (x k) ribiniu tašku, jeigu iš šios sekos galima pasirinkti poseką, konverguojančią į x.

2 lema. Kiekviena konvergencinė seka turi tik vieną ribinį tašką, kuris sutampa su tos sekos riba.

komentuoti. Jei seka konverguoja, tai pagal 2 lemą ji turi tik vieną ribinį tašką. Tačiau jei (xn) nėra konvergentinis, tada jis gali turėti keletą ribinių taškų (ir apskritai be galo daug ribinių taškų). Pavyzdžiui, parodykime, kad (1+(-1) n ) turi du ribinius taškus.

Iš tiesų, (1+(-1) n )=0,2,0,2,0,2,... turi du ribinius taškus 0 ir 2, nes šios sekos posekos (0)=0,0,0,... ir (2)=2,2,2,... turi atitinkamai skaičių 0 ir 2. Ši seka neturi kitų ribinių taškų. Iš tiesų, tegul x yra bet kuris skaičių ašies taškas, išskyrus taškus 0 ir 2. Tarkime, kad e >0

mažas, kad e - taškų 0, x ir 2 apylinkės nesikirstų. Taškų 0 ir 2 e. kaimynystėje yra visi sekos elementai, todėl taško x e. kaimynystėje negali būti be galo daug elementų (1+(-1) n ) ir todėl nėra šios sekos ribinis taškas.

Teorema. Kiekviena apribota seka turi bent vieną ribinį tašką.

komentuoti. Nė vienas skaičius x neviršija , yra sekos (x n) ribinis taškas, t.y. - didžiausias sekos ribinis taškas (x n).

Tegul x yra bet koks skaičius, didesnis už . Pasirinkime e>0 tokį mažą, kad

ir x 1 О(x), į dešinę nuo x 1 yra baigtinis sekos elementų skaičius (x n) arba jų visai nėra, t.y. x nėra sekos (x n ) ribinis taškas.

Apibrėžimas. Didžiausias sekos ribinis taškas (x n) vadinamas viršutine sekos riba ir žymimas simboliu. Iš pastabos matyti, kad kiekviena apribota seka turi viršutinę ribą.

Panašiai įvedama apatinės ribos sąvoka (kaip mažiausias sekos ribinis taškas (x n )).

Taigi, mes įrodėme šį teiginį. Kiekviena apribota seka turi viršutinę ir apatinę ribas.

Suformuluokime tokią teoremą be įrodymų.

Teorema. Kad seka (x n) būtų konvergentiška, būtina ir pakanka, kad ji būtų ribojama ir kad jos viršutinė ir apatinė ribos sutaptų.

Šios dalies rezultatai veda prie šios pagrindinės Bolzano-Weierstrass teoremos.

Bolzano-Weierstrasso teorema. Iš bet kurios ribotos sekos galima pasirinkti konvergentinę poseką.

Įrodymas. Kadangi seka (x n ) yra ribojama, ji turi bent vieną ribinį tašką x. Tada iš šios sekos galime pasirinkti poseką, konverguojančią į tašką x (seka iš ribinio taško 2 apibrėžimo).

komentuoti. Iš bet kurios ribotos sekos galima išskirti monotoninę konvergentinę seką.