Reklama portale

Atstumas nuo taško iki plokštumos. Išsami teorija su pavyzdžiais (2020) metodas. Vektorinis metodas

VIENODAUS VALSTYBINIO MATEMATIKOS EGZAMINO UŽDAVINIAI C2 RASTI ATSTUMĄ NUO TAŠKO IKI PLĖKTUMOS

Kulikova Anastasija Jurievna

Matematikos katedros 5 kurso studentė. analizė, algebra ir geometrija EI KFU, Rusijos Federacija, Tatarstano Respublika, Elabuga

Ganeeva Aigul Rifovna

mokslinis vadovas, dr. ped. Mokslai, EI KFU docentas, Rusijos Federacija, Tatarstano Respublika, Elabuga

Pastaraisiais metais matematikos vieningo valstybinio egzamino užduotyse atsirado atstumo nuo taško iki plokštumos skaičiavimo užduotys. Šiame straipsnyje, naudojant vienos problemos pavyzdį, nagrinėjami įvairūs atstumo nuo taško iki plokštumos nustatymo būdai. Įvairioms problemoms spręsti galima taikyti tinkamiausią metodą. Išsprendę problemą vienu metodu, galite patikrinti rezultato teisingumą naudodami kitą metodą.

Apibrėžimas. Atstumas nuo taško iki plokštumos, kurioje šio taško nėra, yra statmenos atkarpos, nubrėžtos iš šio taško į nurodytą plokštumą, ilgis.

Užduotis. Duotas stačiakampis gretasienis ABSUD.A. 1 B 1 C 1 D 1 su šonais AB=2, B.C.=4, A.A. 1 = 6. Raskite atstumą nuo taško Dį lėktuvą ACD 1 .

1 būdas. Naudojant apibrėžimas. Raskite atstumą r( D, ACD 1) iš taško Dį lėktuvą ACD 1 (1 pav.).

1 pav. Pirmasis metodas

Vykdykime D.H.⊥AC, todėl pagal trijų statmenų teoremą D 1 H⊥AC Ir (DD 1 H)⊥AC. Vykdykime tiesioginis D.T. statmenai D 1 H. Tiesiai D.T. guli plokštumoje DD 1 H, vadinasi D.T.⊥A.C.. Vadinasi, D.T.⊥ACD 1.

ADC suraskime hipotenuzę AC ir aukščio D.H.

Iš stačiojo trikampio D 1 D.H. suraskime hipotenuzę D 1 H ir aukščio D.T.

Atsakymas:.

2 metodas.Tūrio metodas (pagalbinės piramidės naudojimas). Tokio tipo problemą galima sumažinti iki piramidės aukščio skaičiavimo, kai piramidės aukštis yra reikiamas atstumas nuo taško iki plokštumos. Įrodykite, kad šis aukštis yra reikiamas atstumas; Raskite šios piramidės tūrį dviem būdais ir išreikškite šį aukštį.

Atkreipkite dėmesį, kad naudojant šį metodą nereikia statyti statmeno iš nurodyto taško į nurodytą plokštumą.

Stačiakampis yra gretasienis, kurio visi veidai yra stačiakampiai.

AB=CD=2, B.C.=REKLAMA=4, A.A. 1 =6.

Reikalingas atstumas bus aukštis h piramidės ACD 1 D, nuleistas iš viršaus D ant pagrindo ACD 1 (2 pav.).

Apskaičiuokime piramidės tūrį ACD 1 D du keliai.

Skaičiuodami pirmuoju būdu bazę imame ∆ ACD 1 tada

Skaičiuodami antruoju būdu, bazę imame ∆ ACD, Tada

Sulyginkime paskutinių dviejų lygybių dešiniąsias puses ir gaukime

2 pav. Antrasis metodas

Iš stačiųjų trikampių ACD, PAPILDYTI 1 , CDD 1 Raskite hipotenuzą naudodami Pitagoro teoremą

ACD

Apskaičiuokite trikampio plotą ACD 1 naudojant Herono formulę

Atsakymas:.

3 būdas. Koordinatės metodas.

Tebūnie duotas taškas M(x 0 ,y 0 ,z 0) ir plokštuma α , pateikta lygtimi kirvis+pateikė+cz+d=0 stačiakampėje Dekarto koordinačių sistemoje. Atstumas nuo taško Mį plokštumą α galima apskaičiuoti naudojant formulę:

Įveskime koordinačių sistemą (3 pav.). Koordinačių pradžia taške IN;

Tiesiai AB- ašis X, tiesus Saulė- ašis y, tiesus BB 1 - ašis z.

3 pav. Trečiasis metodas

B(0,0,0), A(2,0,0), SU(0,4,0), D(2,4,0), D 1 (2,4,6).

Leisti ax+pateikė+ cz+ d=0 – plokštumos lygtis ACD 1 . Į jį pakeičiant taškų koordinates A, C, D 1 gauname:

Plokštumos lygtis ACD 1 įgaus formą

Atsakymas:.

4 būdas. Vektorinis metodas.

Įveskime pagrindą (4 pav.) , .

4 pav. Ketvirtasis metodas

, Konkursas „Pristatymas pamokai“

Klasė: 11

Pamokos pristatymas
















Atgal į priekį

Dėmesio! Skaidrių peržiūros yra skirtos tik informaciniams tikslams ir gali neatspindėti visų pristatymo funkcijų. Jei jus domina šis darbas, atsisiųskite pilną versiją.

Tikslai:

  • mokinių žinių ir įgūdžių apibendrinimas ir sisteminimas;
  • gebėjimų analizuoti, lyginti, daryti išvadas ugdymas.

Įranga:

  • multimedijos projektorius;
  • kompiuteris;
  • lapai su probleminiais tekstais

KLASĖS PAŽANGA

I. Organizacinis momentas

II. Žinių atnaujinimo etapas(2 skaidrė)

Pakartojame, kaip nustatomas atstumas nuo taško iki plokštumos

III. Paskaita(3–15 skaidrės)

Šioje pamokoje apžvelgsime įvairius būdus, kaip rasti atstumą nuo taško iki plokštumos.

Pirmasis metodas: žingsnis po žingsnio skaičiavimas

Atstumas nuo taško M iki plokštumos α:
– lygus atstumui iki plokštumos α nuo savavališko taško P, esančio ant tiesės a, kuri eina per tašką M ir yra lygiagreti plokštumai α;
– lygus atstumui iki plokštumos α nuo savavališko taško P, esančio plokštumoje β, kuris eina per tašką M ir yra lygiagretus plokštumai α.

Išspręsime šias problemas:

№1. Kube A...D 1 raskite atstumą nuo taško C 1 iki plokštumos AB 1 C.

Belieka apskaičiuoti atkarpos ilgio reikšmę O 1 N.

№2. Taisyklingoje šešiakampėje prizmėje A...F 1, kurios visos briaunos lygios 1, raskite atstumą nuo taško A iki plokštumos DEA 1.

Kitas metodas: tūrio metodas.

Jei piramidės ABCM tūris lygus V, tai atstumas nuo taško M iki plokštumos α, kurioje yra ∆ABC, apskaičiuojamas pagal formulę ρ(M; α) = ρ(M; ABC) =
Spręsdami uždavinius, naudojame vienos figūros tūrių lygybę, išreikštą dviem skirtingais būdais.

Išspręskime šią problemą:

№3. Piramidės DABC kraštas AD yra statmenas pagrindinei plokštumai ABC. Raskite atstumą nuo A iki plokštumos, einančios per kraštinių AB, AC ir AD vidurio taškus, jei.

Sprendžiant problemas koordinačių metodas atstumas nuo taško M iki plokštumos α gali būti apskaičiuojamas naudojant formulę ρ(M; α) = , kur M(x 0; y 0; z 0), o plokštuma pateikiama lygtimi ax + by + cz + d = 0

Išspręskime šią problemą:

№4. Vienetiniame kube A...D 1 raskite atstumą nuo taško A 1 iki plokštumos BDC 1.

Įveskime koordinačių sistemą, kurios pradžios taškas A, y ašis eis išilgai kraštinės AB, x ašis išilgai krašto AD, o z ašis išilgai krašto AA 1. Tada taškų B (0; 1; 0) D (1; 0; 0;) C 1 (1; 1; 1) koordinatės
Sukurkime lygtį plokštumai, kertančiai taškus B, D, C 1.

Tada – dx – dy + dz + d = 0 x + y – z – 1= 0. Todėl ρ =

Šis metodas gali būti naudojamas tokio tipo problemoms spręsti paramos problemų metodas.

Šio metodo taikymas susideda iš žinomų pamatinių problemų, kurios suformuluotos kaip teoremos, naudojimas.

Išspręskime šią problemą:

№5. Vienetiniame kube A...D 1 raskite atstumą nuo taško D 1 iki plokštumos AB 1 C.

Apsvarstykime paraišką vektorinis metodas.

№6. Vienetiniame kube A...D 1 raskite atstumą nuo taško A 1 iki plokštumos BDC 1.

Taigi, mes pažvelgėme į įvairius metodus, kurie gali būti naudojami tokio tipo problemoms išspręsti. Vieno ar kito metodo pasirinkimas priklauso nuo konkrečios užduoties ir jūsų pageidavimų.

IV. Grupinis darbas

Pabandykite išspręsti problemą įvairiais būdais.

№1. Kubo A...D 1 briauna lygi . Raskite atstumą nuo viršūnės C iki plokštumos BDC 1.

№2. Įprastame tetraedre ABCD su briauna raskite atstumą nuo taško A iki plokštumos BDC

№3. Taisyklingoje trikampėje prizmėje ABCA 1 B 1 C 1, kurios visos briaunos lygios 1, raskite atstumą nuo A iki plokštumos BCA 1.

№4. Taisyklingoje keturkampėje piramidėje SABCD, kurios visos briaunos lygios 1, raskite atstumą nuo A iki plokštumos SCD.

V. Pamokos santrauka, namų darbai, refleksija

Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.

Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas

Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.

Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.

Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.

Kokią asmeninę informaciją renkame:

  • Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, el. pašto adresą ir kt.

Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:

  • Mūsų renkama asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis dėl unikalių pasiūlymų, akcijų ir kitų renginių bei būsimų renginių.
  • Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
  • Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, pavyzdžiui, atlikti auditą, duomenų analizę ir įvairius tyrimus, siekdami tobulinti teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
  • Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.

Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims

Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.

Išimtys:

  • Prireikus – įstatymų nustatyta tvarka, teismine tvarka, teisminiuose procesuose ir (arba) remiantis viešais prašymais ar valdžios institucijų prašymais Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleisti savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
  • Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.

Asmeninės informacijos apsauga

Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.

Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu

Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.

Panagrinėkime tam tikrą plokštumą π ir savavališką tašką M 0 erdvėje. Išsirinkime lėktuvą vieneto normalusis vektorius n su Pradžia tam tikrame taške M 1 ∈ π, ir tegul p(M 0 ,π) yra atstumas nuo taško M 0 iki plokštumos π. Tada (5.5 pav.)

р(М 0 ,π) = | pr n M 1 M 0 | = |nM 1 M 0 |, (5.8)

nuo |n| = 1.

Jei π plokštuma duota stačiakampė koordinačių sistema su jos bendra lygtimi Ax + By + Cz + D = 0, tada jo normalusis vektorius yra vektorius su koordinatėmis (A; B; C) ir galime pasirinkti

Tegu (x 0 ; y 0 ; z 0) ir (x 1 ; y 1 ; z 1) yra taškų M 0 ir M 1 koordinatės. Tada galioja lygybė Ax 1 + By 1 + Cz 1 + D = 0, nes taškas M 1 priklauso plokštumai, o vektoriaus M 1 M 0 koordinates galima rasti: M 1 M 0 = (x 0 - x 1 y 0 - y 1 ; Įrašymas skaliarinis produktas nM 1 M 0 koordinačių forma ir transformuojant (5.8), gauname


kadangi Ax 1 + By 1 + Cz 1 = - D. Taigi, norėdami apskaičiuoti atstumą nuo taško iki plokštumos, turite pakeisti taško koordinates į bendrą plokštumos lygtį ir padalyti absoliučią rezultatą normalizuojančiu koeficientu, lygiu atitinkamo normalaus vektoriaus ilgiui.