Amatai

Kaip operaciniu metodu išspręsti diferencialinių lygčių sistemą? Tiesinių diferencialinių lygčių ir jų sistemų sprendimo operacinis metodas Diferencialinių lygčių sistemų sprendimas Laplaso metodu

Panagrinėkime diferencialinių lygčių sprendimo operatyvinį metodą, naudodami trečiosios eilės lygties pavyzdį.

Tarkime, kad turime rasti konkretų trečios eilės tiesinės diferencialinės lygties su pastoviais koeficientais sprendimą

atitinka pradines sąlygas:

c 0, c 1, c 2 – duoti skaičiai.

Naudodamiesi originalo diferenciacijos savybe, rašome:

(6.4.1) lygtyje pereikime nuo originalų prie vaizdų

Gauta lygtis vadinama operatorius arba lygtis vaizduose. Išspręskite tai, palyginti su Y.

Algebriniai daugianariai kintamajame R.

Lygybė vadinama diferencialinės lygties (6.4.1) operatoriaus sprendiniu.

Originalo radimas y(t), atitinkantį rastą vaizdą, gauname tam tikrą diferencialinės lygties sprendimą.

Pavyzdys: naudodamiesi operatyvinio skaičiavimo metodu raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas

Nuo originalų pereikime prie vaizdų

Parašykime pradinę lygtį vaizdais ir išspręskime Y

Norėdami rasti gauto vaizdo originalą, trupmenos vardiklį suskaidome į faktorius ir gautą trupmeną įrašome kaip paprastųjų trupmenų sumą.

Raskime koeficientus A, B, Ir SU.

Naudodami lentelę įrašome gauto vaizdo originalą

Ypatingas pradinės lygties sprendimas.

Panašiai operacinis metodas taikomas sprendžiant tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sistemas

Nežinomos funkcijos.

Pereikime prie vaizdų

Gauname lygčių vaizdavimo sistemą

Sistemą išsprendžiame Cramerio metodu. Mes randame determinantus:

Vaizdo gavimo sistemos sprendimo paieška X(p), Y(p) , Z(p).

Gavome reikiamą sistemos sprendimą

Naudodami operatyvinį skaičiavimą galite rasti tiesinių diferencialinių lygčių su kintamaisiais koeficientais ir dalinių diferencialinių lygčių sprendimus; skaičiuoti integralus. Tuo pačiu metu problemų sprendimas yra labai supaprastintas. Jis naudojamas sprendžiant matematinės fizikos lygčių uždavinius.

Klausimai savikontrolei.

1. Kuri funkcija vadinama pradine?

2. Kokia funkcija vadinama originalo atvaizdu?

3. Heaviside funkcija ir jos vaizdas.

4. Naudodami vaizdo apibrėžimą, gaukite originalų funkcijų vaizdą: f(t) =t , .

5. Naudodamiesi Laplaso transformacijų savybėmis, gaukite funkcijų atvaizdus.

6. Naudodami vaizdų lentelę raskite originalų funkcijas: ;

7. Naudodami operatyvinio skaičiavimo metodus, raskite konkretų tiesinės diferencialinės lygties sprendimą.

Literatūra: p. 411-439, p. 572-594.

Pavyzdžiai: 305-316 p.

LITERATŪRA

1. Danko P.E. Aukštoji matematika pratimuose ir uždaviniuose. Iš 2 dalių.I dalis: Vadovėlis. vadovas kolegijoms/P.E. Danko, A.G. Popovas, T.Ya. Koževnikova - M.: Aukštasis. mokykla, 1997.– 304 p.

2. Danko P.E. Aukštoji matematika pratimuose ir uždaviniuose. Iš 2 dalių II dalis: Vadovėlis. vadovas kolegijoms./ P.E. Danko, A.G. Popovas, T.Ya. Koževnikova - M.: Aukštasis. mokykla, 1997.– 416 p.

3. Kaplan I.A. Aukštosios matematikos praktiniai užsiėmimai. 4 dalis./ I.A. Kaplan - Charkovo valstybinio universiteto leidykla, 1966, 236 p.

4. Piskunov N.S. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas. 2 tomai, 1 tomas: vadovėlis. vadovas kolegijoms./ N.S. Piskunovas – M.: red. „Mokslas“, 1972. – 456 p.

5. Piskunov N.S. Diferencialinis ir integralinis skaičiavimas kolegijoms. 2 tomuose, 2 tomas: vadovėlis. Vadovas kolegijoms../ N.S. Piskunovas – M.: red. „Mokslas“, 1972. – 456 p.

6. Surašytas D.T. Aukštosios matematikos paskaitų konspektas: baigtas kursas.–4 leid./ D.T. Parašyta – M.: Iris-press, 2006.–608 p. - (Aukštasis išsilavinimas).

7. Slobodskaya V.A. Trumpas aukštosios matematikos kursas. Red. 2-as, perdarytas ir papildomas Vadovėlis vadovas kolegijoms/V.A. Slobodskaja - M.: Aukštasis. mokykla, 1969.– 544 p.

Paskaitų konspektas Aukštoji matematika

6.070104 krypties „Jūrų ir upių transportas“ studentams

specialybė "Laivų elektrinių eksploatavimas"

dieniniai ir neakivaizdiniai kursai 2 kursas

Tiražas______ egzempliorių Pasirašyta publikavimui __________________

įsakymas Nr.__________. Apimtis__2,78__psl.

Leidykla „Kerčo valstybinis jūrų technologijos universitetas“

98309 Kerčė, Ordzhonikidze, 82

Lauke tvankus metas, skraido tuopų pūkai, toks oras palankus poilsiui. Per mokslo metus visi sukaupė nuovargį, tačiau vasaros atostogų/atostogų laukimas turėtų įkvėpti sėkmingai išlaikyti egzaminus ir įskaitas. Beje, dėstytojai irgi sezono metu būna nuobodūs, tad greitai ir aš skirsiu laiko smegenims iškrauti. O dabar kava, ritmingas sistemos bloko ūžesys, keli nugaišę uodai ant palangės ir visiškai veikianti būklė... ...o, po velnių... sušiktas poetas.

Iki taško. Kam rūpi, bet šiandien man yra birželio 1 d., ir mes panagrinėsime dar vieną tipišką kompleksinės analizės problemą - konkretaus diferencialinių lygčių sistemos sprendimo suradimas naudojant operatyvinio skaičiavimo metodą. Ką reikia žinoti ir mokėti, kad išmoktum ją išspręsti? Pirmiausia, labai rekomenduojama kreiptis į pamoką. Prašome perskaityti įvadinę dalį, suprasti bendrą temos teiginį, terminiją, žymėjimą ir bent du ar tris pavyzdžius. Faktas yra tas, kad su difuzoriaus sistemomis viskas bus beveik taip pat ir dar paprasčiau!

Žinoma, jūs turite suprasti, kas tai yra diferencialinių lygčių sistema, o tai reiškia, kad reikia rasti bendrą sistemos sprendimą ir konkretų sistemos sprendimą.

Priminsiu, kad diferencialinių lygčių sistemą galima išspręsti „tradiciniu“ būdu: pašalinimo būdu arba naudojant charakteristikos lygtį. Operatyvinio skaičiavimo metodas, kuris bus aptartas, taikomas nuotolinio valdymo sistemai, kai užduotis suformuluota taip:

Raskite konkretų homogeninės diferencialinių lygčių sistemos sprendimą , atitinkantis pradines sąlygas .

Arba sistema gali būti nevienalytė – su „papildomais svoriais“ funkcijų pavidalu ir dešinėse pusėse:

Tačiau abiem atvejais turite atkreipti dėmesį į du pagrindinius šios būklės dalykus:

1) Tai apie tik apie privatų sprendimą.
2) Pradinių sąlygų skliausteliuose yra griežtai nuliai, ir nieko daugiau.

Bendras kursas ir algoritmas bus labai panašūs į sprendžiant diferencialinę lygtį naudojant operacinį metodą. Iš etaloninių medžiagų jums reikės to paties originalų ir vaizdų lentelė.

1 pavyzdys

, ,

Sprendimas: Pradžia triviali: naudojant Laplaso transformacijos stalai Pereikime nuo originalų prie atitinkamų vaizdų. Jei kyla problemų dėl nuotolinio valdymo sistemų, šis perėjimas paprastai yra paprastas:

Naudodami lentelių formules Nr. 1, 2, atsižvelgdami į pradinę sąlygą, gauname:

Ką daryti su „žaidimais“? Protiškai pakeiskite „X“ lentelėje į „aš“. Naudodami tas pačias transformacijas Nr. 1, 2, atsižvelgdami į pradinę sąlygą, randame:

Pakeiskime rastus vaizdus į pradinę lygtį :

Dabar kairiosiose dalyse reikia surinkti lygtis Visi terminai, kuriuose arba yra. Į dešines dalis lygtys turi būti „formalizuotos“ kitas terminai:

Toliau kiekvienos lygties kairėje pusėje atliekame skliaustus:

Tokiu atveju pirmoje ir antroje pozicijoje turėtų būti:

Gauta lygčių sistema su dviem nežinomaisiais paprastai išsprendžiama pagal Cramerio formules. Apskaičiuokime pagrindinį sistemos determinantą:

Apskaičiavus determinantą, buvo gautas daugianomas.

Svarbi technika!Šis daugianomas yra geresnis Iškart pabandykite į tai atsižvelgti. Šiems tikslams reikėtų pabandyti išspręsti kvadratinę lygtį , tačiau daugelis skaitytojų, turinčių išlavintą antrametę akį, tai pastebės .

Taigi pagrindinis mūsų sistemos veiksnys yra:

Tolesnis sistemos išardymas, ačiū Kramer, yra standartinis:

Kaip rezultatas, mes gauname sistemos operatoriaus sprendimas:

Nagrinėjamos užduoties pranašumas yra tas, kad trupmenos paprastai būna paprastos ir jas spręsti daug lengviau nei su trupmenomis uždaviniuose konkretaus DE sprendimo radimas naudojant operacinį metodą. Jūsų nuojauta jūsų neapgavo – senas geras neapibrėžtųjų koeficientų metodas, kurio pagalba kiekvieną trupmeną išskaidome į elementariąsias trupmenas:

1) Panagrinėkime pirmą trupmeną:

Taigi:

2) Antrąją trupmeną suskaidome pagal panašią schemą, tačiau teisingiau naudoti kitas konstantas (neapibrėžtus koeficientus):

Taigi:

Patariu manekenams suskaidytą operatoriaus sprendimą užrašyti tokia forma:
- tai padarys galutinį etapą aiškesnį - atvirkštinę Laplaso transformaciją.

Dešiniuoju lentelės stulpeliu pereikime nuo vaizdų prie atitinkamų originalų:

Pagal gerų matematinių manierų taisykles šiek tiek pakoreguosime rezultatą:

Atsakymas:

Atsakymas tikrinamas pagal standartinę schemą, kuri išsamiai aptariama pamokoje. Kaip išspręsti diferencialinių lygčių sistemą? Visada stenkitės ją atlikti, kad užduočiai pridėtumėte didelį pliusą.

2 pavyzdys

Naudodami operacinį skaičiavimą, raskite konkretų diferencialinių lygčių sistemos sprendimą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas.
, ,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Apytikslis galutinės uždavinio formos pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Nehomogeniškos diferencialinių lygčių sistemos sprendimas algoritmiškai nesiskiria, išskyrus tai, kad techniškai tai bus šiek tiek sudėtingiau:

3 pavyzdys

Naudodami operacinį skaičiavimą, raskite konkretų diferencialinių lygčių sistemos sprendimą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas.
, ,

Sprendimas: Naudojant Laplaso transformacijos lentelę, atsižvelgiant į pradines sąlygas , pereikime nuo originalų prie atitinkamų vaizdų:

Bet tai dar ne viskas, dešinėje lygčių pusėje yra vienišos konstantos. Ką daryti tais atvejais, kai konstanta yra visiškai viena? Apie tai jau buvo kalbama klasėje. Kaip išspręsti DE naudojant operacinį metodą. Pakartokime: pavienes konstantas reikia mintyse padauginti iš vienetų, o vienetams taikyti tokią Laplaso transformaciją:

Pakeiskime rastus vaizdus į pradinę sistemą:

Perkelkime terminus, kuriuose yra , į kairę, o likusius terminus padėkite į dešinę:

Kairėje pusėje atliksime skliaustus, be to, dešinę antrosios lygties pusę sukelsime į bendrą vardiklį:

Apskaičiuokime pagrindinį sistemos determinantą, nepamirštant, kad patartina iš karto pabandyti koeficientuoti rezultatą:
, o tai reiškia, kad sistema turi unikalų sprendimą.

Eikime toliau:

Taigi sistemos operatoriaus sprendimas yra toks:

Kartais vieną ar net abi frakcijas galima sumažinti, o kartais taip sėkmingai, kad net nereikia nieko plėsti! Ir kai kuriais atvejais jūs gaunate nemokamą dovaną iš karto, beje, toliau pateiktas pamokos pavyzdys bus orientacinis pavyzdys.

Naudodami neapibrėžtųjų koeficientų metodą gauname elementariųjų trupmenų sumas.

Išskaidykime pirmąją trupmeną:

Ir mes pasiekiame antrąjį:

Dėl to operatoriaus sprendimas įgauna mums reikalingą formą:

Naudojant dešinįjį stulpelį originalų ir vaizdų lentelės Atliekame atvirkštinę Laplaso transformaciją:

Pakeiskime gautus vaizdus į sistemos operatoriaus sprendimą:

Atsakymas: privatus sprendimas:

Kaip matote, nevienalytėje sistemoje būtina atlikti daug darbo reikalaujančius skaičiavimus, palyginti su vienalyte sistema. Pažiūrėkime dar keletą pavyzdžių su sinusais ir kosinusais, ir to pakanka, nes bus svarstomi beveik visi problemos tipai ir dauguma sprendimo niuansų.

4 pavyzdys

Naudodami operatyvinio skaičiavimo metodą raskite konkretų diferencialinių lygčių sistemos sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis,

Sprendimas: Pati analizuosiu ir šį pavyzdį, tačiau komentarai bus tik ypatingi momentai. Manau, kad jūs jau gerai išmanote sprendimo algoritmą.

Pereikime nuo originalų prie atitinkamų vaizdų:

Pakeiskime rastus vaizdus į originalią nuotolinio valdymo sistemą:

Išspręskime sistemą naudodami Cramerio formules:
, o tai reiškia, kad sistema turi unikalų sprendimą.

Gautas daugianomas negali būti koeficientas. Ką daryti tokiais atvejais? Visiškai niekas. Tiks ir šis.

Dėl to sistemos operatoriaus sprendimas yra toks:

Štai laimingas bilietas! Visai nereikia naudoti neapibrėžtųjų koeficientų metodo! Vienintelis dalykas yra tai, kad norėdami pritaikyti lentelės transformacijas, sprendimą perrašome tokia forma:

Nuo vaizdų pereikime prie atitinkamų originalų:

Pakeiskime gautus vaizdus į sistemos operatoriaus sprendimą:

Heaviside išplėtimo formulė

Tegul funkcijos vaizdas yra trupmeninė racionali funkcija.

Teorema. Leisti, kur ir yra diferencijuojamos funkcijos. Įveskime abu funkcijos polius, t.y. jo vardiklio šaknis (nulius). Tada, jei gausime Heaviside formulę:

Įrodymą atliekame tuo atveju, kai ir yra laipsnių daugianariai T Ir P atitinkamai, tuo tarpu T P. Tada tai yra tinkama racionali trupmena. Pateiksime ją kaip paprastų trupmenų sumą:

Iš čia randame koeficientus iš tapatybės (17.2), perrašant jį į formą

Padauginkime abi paskutinės lygybės puses iš ir pereikime prie ribos ties. Atsižvelgdami į tai ir gauname

iš kur seka (17.1). Teorema įrodyta.

1 pastaba. Jei daugianario koeficientai yra realūs, tai daugianario kompleksinės šaknys yra poromis konjuguotos. Vadinasi, formulėje (17.1) kompleksiniai konjuguoti dydžiai bus terminai, atitinkantys daugianario kompleksines konjuguotas šaknis, o Heaviside formulė bus tokia forma.

kur pirmoji suma išplečiama iki visų realių daugianario šaknų, antroji – į visas jo kompleksines šaknis su teigiamomis įsivaizduojamomis dalimis.

Užrašas 2. Kiekvienas (17.1) formulės narys reiškia svyravimą, užrašytą sudėtinga forma, kur. Taigi tikrosios šaknys () atitinka aperiodinius svyravimus, sudėtingos šaknys su neigiamomis realiomis dalimis atitinka slopintus virpesius, o grynai įsivaizduojamos šaknys atitinka neslopintus harmoninius virpesius.

Jei vardiklis neturi šaknų su teigiamomis realiosiomis dalimis, tada, esant pakankamai didelėms reikšmėms, gauname pastovią būseną:

Grynai įsivaizduojamos daugianario šaknys su teigiamomis menamomis dalimis.

Virpesiai, atitinkantys šaknis su neigiamomis realiosiomis dalimis, eksponentiškai nyksta ir todėl neįeina į pastovią būseną.

1 pavyzdys. Raskite originalų vaizdą

Sprendimas. Mes turime. Užrašykime daugianario šaknis: .

Pagal formulę (17.1)

Čia, nes skaičiai yra lygties šaknys. Vadinasi,

2 pavyzdys. Raskite originalų vaizdą

Kur A 0; .

Sprendimas. Čia funkcija, be akivaizdžios šaknies, turi be galo daug šaknų, kurios yra funkcijos nuliai. Išspręsdami lygtį, gauname kur

Taigi vardiklio šaknys turi formą ir kur

Naudodami (17.3) formulę randame originalą

Operatoriaus metodas diferencialinėms lygtims spręsti

Diferencialinės lygtys. Apsvarstykite tiesinės diferencialinės lygties Koši uždavinį

(čia) su pradinėmis sąlygomis

Pereinant prie vaizdų (18.1), dėl Laplaso transformacijos tiesiškumo turėsime

Naudodami § 16 3 teoremą ir pradines sąlygas (18.2), išvestinių atvaizdus užrašome forma

Pakeitę (18.4) į (18.3), po paprastų transformacijų gauname operatoriaus lygtį

kur (charakteristinis daugianario); .

Iš (18.5) lygties randame operatoriaus sprendimą

Koši uždavinio (18.1), (18.2) sprendimas yra pirminis operatoriaus sprendimas (18.6):

Koši problemai galime rašyti priimtoje žymoje

Operatoriaus lygtis turi formą

Išskaidykime operatoriaus sprendimą į paprastas trupmenas:

Naudodami 15 punkte gautas formules, gauname originalus:

Taigi Koši problemos sprendimas turės formą

1 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai su pradinėmis sąlygomis, kur.

Sprendimas.

Jo sprendimas turi formą

Naudodami 16 § 2 teoremą, mes nuosekliai nustatome:

2 pavyzdys. Išspręskite Koši uždavinį diferencialinei lygčiai su nulinėmis pradinėmis sąlygomis, kur yra žingsninio impulso funkcija.

Sprendimas. Parašykime operatoriaus lygtį

ir jo sprendimas

Iš § 16 2 teoremos išplaukia

pagal atsilikimo teoremą (§ 15)

Pagaliau,

3 pavyzdys. Per taškinę masę T, pritvirtintas prie spyruoklės standumu Su ir esantis lygioje horizontalioje plokštumoje, veikia periodiškai kintanti jėga. Vienu metu taškas buvo paveiktas smūgio, nešančio impulsą. Nepaisydami pasipriešinimo, raskite taško judėjimo dėsnį, jei pradiniu laiko momentu jis buvo ramybėje koordinačių pradžioje.

Sprendimas. Judėjimo lygtį užrašome formoje

kur yra tamprumo jėga; - Dirac funkcija. Išspręskime operatoriaus lygtį

Jei (rezonanso atvejis), tada

Pagal vėlavimo teoremą

Pagaliau,

Duhamelio integralas (formulė). Panagrinėkime (18.1) lygties Koši uždavinį pradinėmis sąlygomis. Operatoriaus sprendimas šiuo atveju turi formą

Tegul svorio funkcija yra originali. tada pagal 16 § 1 teoremą gauname

Santykis (18.7) vadinamas Duhamelio integralu (formule).

komentuoti. Nenulinėms pradinėms sąlygoms Duhamelio formulė nėra tiesiogiai taikoma. Tokiu atveju pirmiausia reikia paversti pradinę problemą į problemą su vienarūšėmis (nulinėmis) pradinėmis sąlygomis. Norėdami tai padaryti, mes pristatome naują funkciją, darant prielaidą, kad

kur yra pradinės norimo sprendimo reikšmės.

Kaip lengva tai pamatyti, todėl .

Taigi funkcija yra lygties (18.1) sprendimas su dešine puse, gauta pakeitus (18.8) į (18.1), nuliniais pradiniais duomenimis.

Naudodamiesi (18.7), randame ir.

4 pavyzdys. Naudodami Duhamelio integralą raskite Koši problemos sprendimą

su pradinėmis sąlygomis.

Sprendimas. Pradiniai duomenys yra ne nulis. Manome, kad pagal (18.8), . Tada apibrėžimui gauname lygtį su vienarūšėmis pradinėmis sąlygomis.

Nagrinėjamai problemai būdingas daugianomas, svorio funkcija. Pagal Duhamelio formulę

Pagaliau,

Tiesinių diferencialinių lygčių su pastoviais koeficientais sistemos. Koši problema tiesinių diferencialinių lygčių sistemai matricos žymėjime turi formą

kur yra reikalingų funkcijų vektorius; - dešiniųjų pusių vektorius; - koeficientų matrica; - pradinių duomenų vektorius.

Žinoma, jūs turite suprasti, kas tai yra diferencialinių lygčių sistema, o tai reiškia, kad reikia rasti bendrą sistemos sprendimą ir konkretų sistemos sprendimą.

Raskite konkretų homogeninės diferencialinių lygčių sistemos sprendimą , atitinkantis pradines sąlygas .

Arba sistema gali būti nevienalytė – su „papildomais svoriais“ funkcijų pavidalu ir dešinėse pusėse:

Tačiau abiem atvejais turite atkreipti dėmesį į du pagrindinius šios būklės dalykus:

1) Tai apie tik apie privatų sprendimą.
2) Pradinių sąlygų skliausteliuose yra griežtai nuliai, ir nieko daugiau.

1 pavyzdys

, ,

Naudodami lentelių formules Nr. 1, 2, atsižvelgdami į pradinę sąlygą, gauname:

Ką daryti su „žaidimais“? Protiškai pakeiskite „X“ lentelėje į „aš“. Naudodami tas pačias transformacijas Nr. 1, 2, atsižvelgdami į pradinę sąlygą, randame:

Pakeiskime rastus vaizdus į pradinę lygtį :

Dabar kairiosiose dalyse reikia surinkti lygtis Visi terminai, kuriuose arba yra. Į dešines dalis lygtys turi būti „formalizuotos“ kitas terminai:

Toliau kiekvienos lygties kairėje pusėje atliekame skliaustus:

Tokiu atveju pirmoje ir antroje pozicijoje turėtų būti:

Gauta lygčių sistema su dviem nežinomaisiais paprastai išsprendžiama pagal Cramerio formules. Apskaičiuokime pagrindinį sistemos determinantą:

Apskaičiavus determinantą, buvo gautas daugianomas.

Taigi pagrindinis mūsų sistemos veiksnys yra:

Tolesnis sistemos išardymas, ačiū Kramer, yra standartinis:

Kaip rezultatas, mes gauname sistemos operatoriaus sprendimas:

1) Panagrinėkime pirmą trupmeną:

Taigi:

2) Antrąją trupmeną suskaidome pagal panašią schemą, tačiau teisingiau naudoti kitas konstantas (neapibrėžtus koeficientus):

Taigi:

Patariu manekenams suskaidytą operatoriaus sprendimą užrašyti tokia forma:
- tai padarys galutinį etapą aiškesnį - atvirkštinę Laplaso transformaciją.

Dešiniuoju lentelės stulpeliu pereikime nuo vaizdų prie atitinkamų originalų:

Pagal gerų matematinių manierų taisykles šiek tiek pakoreguosime rezultatą:

Atsakymas:

2 pavyzdys

Naudodami operacinį skaičiavimą, raskite konkretų diferencialinių lygčių sistemos sprendimą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas.
, ,

Tai pavyzdys, kurį galite išspręsti patys. Apytikslis galutinės uždavinio formos pavyzdys ir atsakymas pamokos pabaigoje.

Nehomogeniškos diferencialinių lygčių sistemos sprendimas algoritmiškai nesiskiria, išskyrus tai, kad techniškai tai bus šiek tiek sudėtingiau:

3 pavyzdys

Naudodami operacinį skaičiavimą, raskite konkretų diferencialinių lygčių sistemos sprendimą, atitinkantį nurodytas pradines sąlygas.
, ,

Sprendimas: Naudojant Laplaso transformacijos lentelę, atsižvelgiant į pradines sąlygas , pereikime nuo originalų prie atitinkamų vaizdų:

Pakeiskime rastus vaizdus į pradinę sistemą:

Perkelkime terminus, kuriuose yra , į kairę, o likusius terminus padėkite į dešinę:

Kairėje pusėje atliksime skliaustus, be to, dešinę antrosios lygties pusę sukelsime į bendrą vardiklį:

Apskaičiuokime pagrindinį sistemos determinantą, nepamirštant, kad patartina iš karto pabandyti koeficientuoti rezultatą:
, o tai reiškia, kad sistema turi unikalų sprendimą.

Eikime toliau:

Taigi sistemos operatoriaus sprendimas yra toks:

Naudodami neapibrėžtųjų koeficientų metodą gauname elementariųjų trupmenų sumas.

Išskaidykime pirmąją trupmeną:

Ir mes pasiekiame antrąjį:

Dėl to operatoriaus sprendimas įgauna mums reikalingą formą:

Naudojant dešinįjį stulpelį originalų ir vaizdų lentelės Atliekame atvirkštinę Laplaso transformaciją:

Pakeiskime gautus vaizdus į sistemos operatoriaus sprendimą:

Atsakymas: privatus sprendimas:

4 pavyzdys

Naudodami operatyvinio skaičiavimo metodą raskite konkretų diferencialinių lygčių sistemos sprendimą su nurodytomis pradinėmis sąlygomis,

Sprendimas: Pati analizuosiu ir šį pavyzdį, tačiau komentarai bus tik ypatingi momentai. Manau, kad jūs jau gerai išmanote sprendimo algoritmą.

Pereikime nuo originalų prie atitinkamų vaizdų:

Pakeiskime rastus vaizdus į originalią nuotolinio valdymo sistemą:

Išspręskime sistemą naudodami Cramerio formules:
, o tai reiškia, kad sistema turi unikalų sprendimą.

Gautas daugianomas negali būti koeficientas. Ką daryti tokiais atvejais? Visiškai niekas. Tiks ir šis.

Dėl to sistemos operatoriaus sprendimas yra toks:

Nuo vaizdų pereikime prie atitinkamų originalų:

Pakeiskime gautus vaizdus į sistemos operatoriaus sprendimą:

Kaip išspręsti diferencialinę lygtį
operatyvinio skaičiavimo metodas?

Šioje pamokoje bus išsamiai aptarta tipiška ir plačiai paplitusi sudėtingos analizės užduotis - 2-os eilės DE su pastoviais koeficientais konkretaus sprendimo suradimas naudojant operacinio skaičiavimo metodą. Kartą ir vėl atsikratau išankstinės nuomonės, kad medžiaga yra neįsivaizduojamai sudėtinga ir neprieinama. Juokinga, bet norint įvaldyti pavyzdžius, gali nepavykti atskirti, integruoti ir net nežinoti, kas tai yra kompleksiniai skaičiai. Reikalingi taikymo įgūdžiai neapibrėžtųjų koeficientų metodas, kuris išsamiai aptariamas straipsnyje Trupmeninių-racionalių funkcijų integravimas. Tiesą sakant, kertinis užduoties akmuo yra paprastos algebrinės operacijos, ir esu įsitikinęs, kad medžiaga yra prieinama net vidurinės mokyklos mokiniui.

Pirma, glausta teorinė informacija apie nagrinėjamą matematinės analizės skyrių. Pagrindinis dalykas operatyvinis skaičiavimas yra tokia: funkcija galioja kintamasis naudojant vadinamąjį Laplaso transformacija rodomas funkcija visapusiškas kintamasis :

Terminija ir pavadinimai:
funkcija vadinama originalus;
funkcija vadinama vaizdas;
didžioji raidė reiškia Laplaso transformacija.

Paprastai tariant, reali funkcija (originali) pagal tam tikras taisykles turi būti paversta sudėtinga funkcija (vaizdu). Rodyklė tiksliai nurodo šią transformaciją. Ir pačios „tam tikros taisyklės“ yra Laplaso transformacija, kurį svarstysime tik formaliai, o to visiškai pakaks problemoms spręsti.

Atvirkštinė Laplaso transformacija taip pat įmanoma, kai vaizdas paverčiamas originalu:

Kam viso to reikia? Daugelyje aukštesnių matematikos uždavinių gali būti labai naudinga pereiti nuo originalų prie vaizdų, nes tokiu atveju problemos sprendimas yra žymiai supaprastintas (juokauju). Ir mes apsvarstysime tik vieną iš šių problemų. Jei gyvenote, kol pamatėte operatyvinį skaičiavimą, tada formuluotė jums turėtų būti gerai žinoma:

Raskite konkretų antros eilės nehomogeninės lygties sprendimą su pastoviais koeficientais tam tikromis pradinėmis sąlygomis.

Pastaba: kartais diferencialinė lygtis gali būti vienalytė: , jam aukščiau pateiktoje formuluotėje taip pat taikomas operatyvinio skaičiavimo metodas. Tačiau praktiniais pavyzdžiais vienalytė 2 eilės DE yra itin retas, o toliau kalbėsime apie nevienalytes lygtis.

O dabar bus aptariamas trečiasis metodas – diferencialinių lygčių sprendimas operatyviniu skaičiavimu. Dar kartą pabrėžiu faktą, kad mes kalbame apie konkretaus sprendimo paiešką, Be to, pradinės sąlygos griežtai turi formą(„X“ yra lygus nuliams).

Beje, apie „X“. Lygtį galima perrašyti taip:
, kur „x“ yra nepriklausomas kintamasis, o „y“ yra funkcija. Kalbu apie tai neatsitiktinai, nes nagrinėjamoje problemoje dažniausiai naudojamos kitos raidės:

Tai yra, nepriklausomo kintamojo vaidmenį atlieka kintamasis „te“ (vietoj „x“), o funkcijos vaidmenį atlieka kintamasis „x“ (vietoj „y“).

Suprantu, kad tai, žinoma, nepatogu, bet geriau laikytis užrašų, esančių daugumoje probleminių knygų ir mokymo vadovų.

Taigi, mūsų problema su kitomis raidėmis parašyta taip:

Raskite konkretų antros eilės nehomogeninės lygties sprendimą su pastoviais koeficientais tam tikromis pradinėmis sąlygomis .

Užduoties prasmė visiškai nepasikeitė, pasikeitė tik raidės.

Kaip išspręsti šią problemą naudojant operatyvinio skaičiavimo metodą?

Visų pirma, jums reikės originalų ir vaizdų lentelė. Tai yra pagrindinis sprendimo įrankis, ir jūs negalite be jo. Todėl, jei įmanoma, pabandykite atsispausdinti pateiktą informacinę medžiagą. Iš karto paaiškinsiu, ką reiškia raidė „pe“: sudėtingas kintamasis (vietoj įprasto „z“). Nors šis faktas nėra ypač svarbus sprendžiant problemas, „pe“ yra „pe“.

Naudojant lentelę, originalus reikia paversti kai kuriais vaizdais. Toliau pateikiama eilė tipiškų veiksmų ir naudojama atvirkštinė Laplaso transformacija (taip pat lentelėje). Taip bus rastas norimas konkretus sprendimas.

Visos problemos, kas yra puiku, sprendžiamos pagal gana griežtą algoritmą.

1 pavyzdys

, ,

Sprendimas: Pirmuoju žingsniu pereisime nuo originalų prie atitinkamų vaizdų. Mes naudojame kairę pusę.

Pirmiausia pažvelkime į kairę pradinės lygties pusę. Turime Laplaso transformaciją tiesiškumo taisyklės, todėl nepaisome visų konstantų ir dirbame atskirai su funkcija ir jos išvestinėmis.

Naudodami lentelės formulę Nr. 1 transformuojame funkciją:

Pagal formulę Nr.2 , atsižvelgdami į pradinę sąlygą, transformuojame išvestinę:

Naudodami formulę Nr. 3, atsižvelgdami į pradines sąlygas, transformuojame antrąją išvestinę:

Nesusipainiokite dėl ženklų!

Pripažįstu, kad teisingiau sakyti „transformacijos“, o ne „formulės“, bet paprastumo dėlei karts nuo karto lentelės turinį pavadinsiu formulėmis.

Dabar pažiūrėkime į dešinę pusę, kurioje yra daugianomas. Dėl to paties tiesiškumo taisyklės Laplaso transformacija, dirbame su kiekvienu terminu atskirai.

Pažvelkime į pirmąjį terminą: - tai nepriklausomas kintamasis „te“, padaugintas iš konstantos. Nekreipiame dėmesio į konstantą ir, naudodamiesi lentelės tašku Nr. 4, atliekame transformaciją:

Pažvelkime į antrąjį terminą: –5. Kai konstanta randama viena, jos nebegalima praleisti. Su viena konstanta jie tai daro: aiškumo dėlei jis gali būti pavaizduotas kaip sandauga: , o transformaciją galima pritaikyti vienybei:

Taigi, naudojant lentelę, visi diferencialinės lygties elementai (originalai) buvo rasti atitinkami vaizdai:

Pakeiskime rastus vaizdus į pradinę lygtį:

Kita užduotis – išreikšti operatoriaus sprendimas per visa kita, būtent per vieną frakciją. Tokiu atveju patartina laikytis šios procedūros:

Pirmiausia atidarykite skliaustus kairėje pusėje:

Panašius terminus pateikiame kairėje pusėje (jei yra). Tokiu atveju sudedame skaičius –2 ir –3. Labai rekomenduoju, kad arbatinukai nepraleistų šio žingsnio:

Kairėje paliekame terminus, kuriuose yra , o likusius terminus perkeliame į dešinę, pakeisdami ženklą:

Kairėje pusėje iš skliaustų dedame operatoriaus sprendimą, dešinėje išraišką sumažiname iki bendro vardiklio:

Kairėje esantis daugianomas turėtų būti koeficientas (jei įmanoma). Kvadratinės lygties sprendimas:

Taigi:

Iš naujo nustatome dešinės pusės vardiklį:

Tikslas pasiektas – operatoriaus sprendimas išreiškiamas viena trupmena.

Antras veiksmas. Naudojant neapibrėžtųjų koeficientų metodas, lygties operatoriaus sprendimas turėtų būti išplėstas į elementariųjų trupmenų sumą:

Sulyginkime koeficientus prie atitinkamų laipsnių ir išspręskime sistemą:

Jei turite kokių nors problemų su prašau sekti straipsnius Trupmeninės-racionalios funkcijos integravimas Ir Kaip išspręsti lygčių sistemą? Tai labai svarbu, nes trupmenos iš esmės yra svarbiausia problemos dalis.

Taigi, randami koeficientai: , ir operatoriaus sprendimas pasirodo prieš mus išardytu pavidalu:

Atkreipkite dėmesį, kad konstantos nėra rašomos trupmenų skaitikliais. Ši įrašymo forma yra pelningesnė nei . Ir tai yra pelningiau, nes galutinis veiksmas vyks be painiavos ir klaidų:

Paskutinis problemos etapas yra naudoti atvirkštinę Laplaso transformaciją, norint pereiti nuo vaizdų prie atitinkamų originalų. Naudojant dešinįjį stulpelį originalų ir vaizdų lentelės.

Galbūt ne visi supranta atsivertimą. Čia naudojama lentelės punkto Nr.5 formulė: . Išsamiau: . Tiesą sakant, panašiais atvejais formulė gali būti pakeista: . O visas punkto Nr.5 lentelių formules labai lengva perrašyti panašiai.

Po atvirkštinio perėjimo norimas dalinis DE tirpalas gaunamas ant sidabrinės lėkštės:

Buvo:

Tapo:

Atsakymas: privatus sprendimas:

Jei turite laiko, visada patartina atlikti patikrinimą. Patikra atliekama pagal standartinę schemą, kuri jau buvo aptarta klasėje. Nehomogeninės 2-osios eilės diferencialinės lygtys. Pakartokime:

Patikrinkime pradinės sąlygos įvykdymą:
- padaryta.

Raskime pirmąjį išvestinį:

Patikrinkime antrosios pradinės sąlygos įvykdymą:
- padaryta.

Raskime antrąją išvestinę:

Pakeiskime , ir kairėje pradinės lygties pusėje:

Gaunama dešinioji pradinės lygties pusė.

Išvada: užduotis atlikta teisingai.

Mažas pavyzdys jūsų sprendimui:

2 pavyzdys

Naudodami operacinį skaičiavimą suraskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą nurodytomis pradinėmis sąlygomis.

Apytikslis paskutinės užduoties pavyzdys pamokos pabaigoje.

Dažniausias diferencialinių lygčių svečias, kaip daugelis jau seniai pastebėjo, yra eksponentai, todėl panagrinėkime keletą pavyzdžių su jais, jų giminaičiais:

3 pavyzdys

, ,

Sprendimas: Naudodami Laplaso transformacijų lentelę (kairėje lentelės pusėje), pereiname nuo originalų prie atitinkamų vaizdų.

Pirmiausia pažvelkime į kairę lygties pusę. Ten nėra pirmojo darinio. Tai kas? Puiku. Mažiau darbo. Atsižvelgdami į pradines sąlygas, naudodami lentelių formules Nr. 1, 3 randame vaizdus:

Dabar pažiūrėkite į dešinę pusę: – dviejų funkcijų sandauga. Norėdami pasinaudoti tiesiškumo savybės Laplaso transformacija, reikia atidaryti skliaustus: . Kadangi konstantos yra gaminiuose, jas pamirštame ir naudodamiesi lentelių formulių grupe Nr.5 randame vaizdus:

Pakeiskime rastus vaizdus į pradinę lygtį:

Priminsiu, kad kita užduotis – operatoriaus sprendimą išreikšti viena trupmena.

Kairėje pusėje paliekame terminus, kuriuose yra , o likusius terminus perkeliame į dešinę. Tuo pačiu metu dešinėje pusėje pradedame lėtai mažinti trupmenas iki bendro vardiklio:

Kairėje išimame jį iš skliaustų, dešinėje pateikiame išraišką į bendrą vardiklį:

Kairėje pusėje gauname daugianarį, kurio negalima koeficientuoti. Jei daugianario negalima koeficientuoti, vargšą reikia nedelsiant numesti į dešinės pusės apačią, o jo kojas įbetonuoti baseine. O skaitiklyje atidarome skliaustus ir pateikiame panašius terminus:

Atėjo pats kruopščiausias etapas: neapibrėžtų koeficientų metodas Išplėskime lygties operatoriaus sprendimą į elementariųjų trupmenų sumą:

Taigi:

Atkreipkite dėmesį, kaip trupmena suskaidoma: , netrukus paaiškinsiu, kodėl taip yra.

Baigti: pereikime nuo vaizdų prie atitinkamų originalų, naudokite dešinįjį lentelės stulpelį:

Dviejose apatinėse transformacijose buvo naudojamos lentelės formulės Nr. 6 ir 7, o trupmena buvo iš anksto išplėsta, kad tik „pritilptų“ prie lentelės transformacijų.

Dėl to konkretus sprendimas:

Atsakymas: reikalingas konkretus sprendimas:

Panašus „pasidaryk pats“ sprendimo pavyzdys:

4 pavyzdys

Naudodami operatyvinio skaičiavimo metodą, raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą.

Trumpas sprendimas ir atsakymas pamokos pabaigoje.

4 pavyzdyje viena iš pradinių sąlygų yra lygi nuliui. Tai tikrai supaprastina sprendimą, o idealiausias variantas yra tada, kai abi pradinės sąlygos yra nulinės: . Šiuo atveju išvestiniai elementai konvertuojami į vaizdus be uodegų:

Kaip jau minėta, sudėtingiausias techninis problemos aspektas yra trupmenos išplėtimas neapibrėžtų koeficientų metodas, ir aš turiu gana daug darbo reikalaujančių pavyzdžių. Tačiau aš nieko negąsdinsiu monstrais; panagrinėkime dar keletą tipiškų lygties variantų:

5 pavyzdys

Naudodami operatyvinio skaičiavimo metodą, raskite konkretų diferencialinės lygties sprendimą, kuris tenkintų nurodytas pradines sąlygas.
, ,

Sprendimas: Naudodami Laplaso transformacijos lentelę pereiname nuo originalų prie atitinkamų vaizdų. Atsižvelgiant į pradines sąlygas :

Su dešine puse taip pat nėra problemų:

(Atminkite, kad daugiklio konstantos yra ignoruojamos)

Pakeiskime gautus vaizdus į pradinę lygtį ir atlikime standartinius veiksmus, kuriuos, tikiuosi, jau atlikote gerai:

Vardiklio konstantą imame už trupmenos ribų, svarbiausia to nepamiršti vėliau:

Galvojau, ar iš skaitiklio pašalinti papildomus du, tačiau įvertinęs priėjau išvados, kad toks žingsnis tolimesnio sprendimo praktiškai nesupaprastins.

Užduoties ypatumas yra gauta trupmena. Atrodo, kad jo skaidymas bus ilgas ir sunkus, tačiau išvaizda yra apgaulinga. Natūralu, kad yra sunkių dalykų, bet bet kuriuo atveju - pirmyn, be baimės ir abejonių:

Tai, kad kai kurie šansai pasirodė esantys trupmeniniai, neturėtų kelti painiavos; ši situacija nėra neįprasta. Jei tik kompiuterinė technika nesužlugtų. Be to, visada yra galimybė patikrinti atsakymą.

Dėl to operatoriaus sprendimas: