Atsitiktinių reiškinių tyrimo praktika rodo, kad nors atskirų stebėjimų, net ir atliktų tomis pačiomis sąlygomis, rezultatai gali labai skirtis, tačiau tuo pačiu metu pakankamai didelio stebėjimų skaičiaus vidutiniai rezultatai yra stabilūs ir silpnai priklauso nuo individualių stebėjimų rezultatai.

Šios nuostabios atsitiktinių reiškinių savybės teorinis pagrindas yra didelių skaičių dėsnis. Pavadinimas „didelių skaičių dėsnis“ jungia grupę teoremų, kurios nustato daugelio atsitiktinių reiškinių vidutinių rezultatų stabilumą ir paaiškina šio stabilumo priežastį.

Paprasčiausia didelių skaičių dėsnio forma ir istoriškai pirmoji šio skyriaus teorema yra Bernulio teorema, kuriame teigiama, kad jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda, tai didėjant bandymų skaičiui, įvykio dažnis linksta į įvykio tikimybę ir nustoja būti atsitiktinis.

Puasono teorema teigia, kad įvykio dažnis nepriklausomų bandymų serijoje yra linkęs į jo tikimybių aritmetinį vidurkį ir nustoja būti atsitiktinis.

Tikimybių teorijos ribinės teoremos, teoremos Moivre-Laplace paaiškinti įvykio pasireiškimo dažnio stabilumo pobūdį. Toks pobūdis slypi tame, kad ribojantis įvykio pasiskirstymas su neribotu bandymų skaičiaus padidėjimu (jei įvykio tikimybė visuose bandymuose yra vienoda) yra normalus skirstinys.

Centrinės ribos teorema paaiškina plačiai paplitusią normalus įstatymas paskirstymus. Teorema teigia, kad kai atsitiktinis dydis susidaro dėl daugybės nepriklausomų atsitiktinių dydžių su baigtinėmis dispersijomis pridėjimo, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasirodo praktiškai normalus pagal įstatymus.

Žemiau pateikta teorema pavadinimu " Didžiųjų skaičių dėsnis“ teigia, kad tam tikromis, gana bendromis sąlygomis, didėjant atsitiktinių dydžių skaičiui, jų aritmetinis vidurkis linksta į matematinių lūkesčių aritmetinį vidurkį ir nustoja būti atsitiktinis.

Lyapunov teorema paaiškina plačiai paplitusią normalus įstatymas pasiskirstymą ir paaiškina jo susidarymo mechanizmą. Teorema leidžia teigti, kad kai atsitiktinis dydis susidaro dėl daugybės nepriklausomų atsitiktinių dydžių pridėjimo, kurių dispersijos yra mažos, palyginti su sumos dispersija, šio atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnis pasisuka. turi būti praktiškai normalus pagal įstatymus. Ir kadangi atsitiktinius dydžius visada generuoja begalinis priežasčių skaičius ir dažniausiai nė vienas iš jų neturi sklaidos, panašios į paties atsitiktinio dydžio sklaidą, daugumai praktikoje pasitaikančių atsitiktinių dydžių galioja normalaus pasiskirstymo dėsnis.

Didžiųjų skaičių dėsnio kokybiniai ir kiekybiniai teiginiai yra pagrįsti Čebyševo nelygybė. Ji nustato viršutinę tikimybės, kad atsitiktinio dydžio vertės nuokrypis nuo jo matematinio lūkesčio yra didesnis už tam tikrą nurodytą skaičių, ribą. Stebėtina, kad Čebyševo nelygybė leidžia įvertinti įvykio tikimybę atsitiktiniam dydžiui, kurio pasiskirstymas nežinomas, žinomi tik jo matematinės lūkesčiai ir dispersija.

Čebyševo nelygybė. Jei atsitiktinis kintamasis x turi dispersiją, tada bet kuriai e > 0 galioja ši nelygybė: , Kur M x ir D x - atsitiktinio dydžio x matematinė lūkestis ir dispersija.

Bernulio teorema. Tegul m n yra sėkmingų n Bernulli bandymų skaičius ir p individualaus bandymo sėkmės tikimybė. Tada bet kuriai e > 0 tai tiesa .

Centrinės ribos teorema. Jei atsitiktiniai dydžiai x 1 , x 2 , …, x n , … yra poromis nepriklausomi, vienodai pasiskirstę ir turi baigtinę dispersiją, tai n ® vienodai x (- ,)

Kokia sėkmingų pardavėjų paslaptis? Jei pastebėsite geriausius pardavėjus bet kurioje įmonėje, pastebėsite, kad jie turi vieną bendrą bruožą. Kiekvienas iš jų susitinka su daugiau žmonių ir rengia daugiau pristatymų nei mažiau sėkmingi pardavėjai. Šie žmonės supranta, kad pardavimas yra skaičių žaidimas ir kuo daugiau žmonių jie papasakos apie savo produktus ar paslaugas, tuo daugiau sandorių sudarys – viskas. Jie supranta, kad jei bendraus ne tik su tais keliais, kurie jiems tikrai pasakys „taip“, bet ir su tais, kurių susidomėjimas jų pasiūlymu nėra toks didelis, tuomet jiems į naudą išeis vidurkių dėsnis.

Jūsų pajamos priklausys nuo pardavimų skaičiaus, tačiau tuo pat metu jos bus tiesiogiai proporcingos jūsų pateiktų pristatymų skaičiui. Kai suprasite ir taikysite vidurkių dėsnį, nerimas, susijęs su naujo verslo pradžia ar darbu naujoje srityje, pradės mažėti. Dėl to pradės augti kontrolės jausmas ir pasitikėjimas savo galimybėmis užsidirbti. Jei tik rengsite pristatymus ir tobulinsite savo įgūdžius, bus pasiūlyti sandoriai.

Užuot galvoję apie sandorių skaičių, geriau galvokite apie pristatymų skaičių. Nėra prasmės atsibusti ryte ar grįžti namo vakare ir galvoti, kas nupirks jūsų produktą. Vietoj to, geriausia planuoti, kiek skambučių reikia atlikti kiekvieną dieną. Ir tada, nesvarbu, ką – skambinkite! Toks požiūris palengvins jūsų darbą – nes tai paprastas ir konkretus tikslas. Jei žinosite, kad turite konkretų ir įgyvendinamą tikslą, jums bus lengviau atlikti suplanuotą skambučių skaičių. Jei šio proceso metu kelis kartus išgirsite „taip“, tuo geriau!

O jei „ne“, tai vakare pajusite, kad sąžiningai padarėte viską, ką galėjote, ir jūsų nekankins mintys, kiek uždirbote pinigų ar kiek kompanionų įsigijote per dieną.

Tarkime, jūsų įmonėje ar versle vidutinis pardavėjas sudaro vieną sandorį per keturis pristatymus. Dabar įsivaizduokite, kad traukiate kortas iš kaladės. Kiekviena trijų kostiumų korta – kastuvai, deimantai ir lazdos – tai pristatymas, kuriame profesionaliai pristatote produktą, paslaugą ar galimybę. Jūs tai darote taip gerai, kaip galite, bet vis tiek nesudarote sandorio. Ir kiekviena širdies korta yra sandoris, leidžiantis gauti pinigų arba įsigyti naują kompanioną.

Ar tokioje situacijoje nenorėtumėte iš kaladės ištraukti kuo daugiau kortų? Tarkime, jums pasiūloma ištraukti tiek kortelių, kiek norite, o jums sumokėjus arba pasiūlant naują kompanioną kiekvieną kartą, kai ištraukiate širdies kortelę. Pradėsite piešti kortas entuziastingai, vos nepastebėdami, kas tinka ką tik ištrauktai kortelei.

Jūs žinote, kad penkiasdešimt dviejų kortų kaladėje yra trylika širdžių. O dviejose kaladėse – dvidešimt šešios širdies kortos ir t.t. Ar nusivilsite piešdami kastuvus, deimantus ar pagalius? Žinoma ne! Tik pamanysite, kad kiekviena tokia „praleidimas“ jus priartina prie ko? Į širdies kortelę!

Bet žinai ką? Toks pasiūlymas jums jau buvo pateiktas. Esate unikalioje padėtyje uždirbti tiek, kiek norite, ir nupiešti tiek širdžių, kiek norite nupiešti savo gyvenime. O jei tiesiog sąžiningai „trauksite kortas“, tobulinsite savo įgūdžius ir šiek tiek pakentėsite kastuvus, deimantus ir lazdas, tapsite puikiu pardavėju ir pasieksite sėkmės.

Vienas iš dalykų, dėl kurių pardavimas yra toks įdomus, yra tai, kad kiekvieną kartą, kai maišote kaladę, kortos maišomos skirtingai. Kartais visos širdelės atsiduria kaladės pradžioje, o po laimės serijos (kai mums atrodo, kad niekada nepralaimėsime!) mūsų laukia ilga eilė skirtingos spalvos kortų. O kitais kartais, norint patekti į pirmąją širdį, teks pereiti begalę kastuvų, pagalių ir deimantų. Ir kartais skirtingų kostiumų kortelės pasirodo griežtai iš eilės. Bet bet kuriuo atveju kiekvienoje penkiasdešimt dviejų kortų kaladėje tam tikra tvarka visada yra trylika širdžių. Tiesiog traukite korteles, kol jas rasite.

Iš: Leylya,  

Žodžiai apie didelius skaičius reiškia testų skaičių - atsižvelgiama į didelį atsitiktinio dydžio verčių skaičių arba į kaupiamąjį daugelio atsitiktinių dydžių poveikį. Šio dėsnio esmė yra tokia: nors neįmanoma nuspėti, kokią reikšmę įgis atskiras atsitiktinis kintamasis viename eksperimente, tačiau bendras daugybės nepriklausomų atsitiktinių dydžių veikimo rezultatas praranda savo atsitiktinumą ir gali gali būti prognozuojamas beveik patikimai (t. y. su didele tikimybe). Pavyzdžiui, neįmanoma nuspėti, į kurią pusę nukris viena moneta. Tačiau jei išmetate 2 tonas monetų, tuomet drąsiai galime teigti, kad su herbu į viršų nukritusių monetų svoris yra lygus 1 tonai.

Didelių skaičių dėsnis visų pirma reiškia vadinamąją Čebyševo nelygybę, kuri vienu testu įvertina tikimybę, kad atsitiktinis dydis priims reikšmę, kuri nukrypsta nuo vidutinės vertės ne daugiau kaip duota verte.

Čebyševo nelygybė. Leisti X- savavališkas atsitiktinis dydis, a=M(X) , A D(X) – jos dispersija. Tada

Pavyzdys. Vardinė (t. y. reikalinga) įjungtos mašinos įvorės skersmens vertė yra lygi 5 mm, ir sklaidos nebėra 0.01 (tai yra mašinos tikslumo tolerancija). Įvertinkite tikimybę, kad gaminant vieną įvorę jos skersmens nuokrypis nuo vardinio bus mažesnis nei 0,5 mm .

Sprendimas. Tegul r.v. X– pagamintos įvorės skersmuo. Pagal sąlygą jo matematinė prognozė yra lygi vardiniam skersmeniui (jei mašinos nustatymuose nėra sistemingo gedimo): a=M(X)=5 , ir dispersija D(X)≤0,01. Taikant Čebyševo nelygybę ties ε = 0,5, mes gauname:

Taigi tokio nuokrypio tikimybė yra gana didelė, todėl galime daryti išvadą, kad gaminant vieną detalę, beveik neabejotina, kad skersmens nuokrypis nuo vardinio neviršys 0,5 mm .

Savo prasme standartinis nuokrypis σ charakterizuoja vidutinis atsitiktinio dydžio nuokrypis nuo jo centro (t. y. nuo jo matematinio lūkesčio). Kadangi šis vidutinis nuokrypis, tada testavimo metu galimi dideli (pabrėžiama o) nuokrypiai. Kokie dideli nukrypimai praktiškai galimi? Tirdami normaliai paskirstytus atsitiktinius kintamuosius, išvedėme „trijų sigmų“ taisyklę: normaliai paskirstytas atsitiktinis kintamasis. X per vieną testą praktiškai nenukrypsta nuo savo vidurkio toliau nei 3σ, Kur σ = σ(X)– r.v standartinis nuokrypis. X. Šią taisyklę išvedėme iš to, kad gavome nelygybę

.

Dabar įvertinkime tikimybę savavališkas atsitiktinis kintamasis X priimti vertę, kuri skiriasi nuo vidurkio ne daugiau kaip tris kartus už standartinį nuokrypį. Taikant Čebyševo nelygybę ties ε = 3σ ir atsižvelgiant į tai D(Х) = σ 2 , mes gauname:

.

Taigi, apskritai mes galime įvertinti tikimybę, kad atsitiktinis dydis nukryps nuo jo vidurkio ne daugiau kaip trimis standartiniais nuokrypiais pagal skaičių 0.89 , o normaliam pasiskirstymui tai gali būti garantuota su tikimybe 0.997 .

Čebyševo nelygybę galima apibendrinti į nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių sistemą.

Apibendrinta Čebyševo nelygybė. Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n M(X i )= a ir dispersijos D(X i )= D, Tai

At n=1 ši nelygybė transformuojasi į aukščiau suformuluotą Čebyševo nelygybę.

Čebyševo nelygybė, turinti savarankišką reikšmę atitinkamų uždavinių sprendimui, naudojama vadinamajai Čebyševo teoremai įrodyti. Pirmiausia pakalbėsime apie šios teoremos esmę, o tada pateiksime jos formalią formuluotę.

Leisti X 1 , X 2 , … , X n– daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių su matematiniais lūkesčiais M(X 1 )=a 1 , … , M(X n )=a n. Nors kiekvienas iš jų dėl eksperimento gali įgyti reikšmę, toli nuo vidurkio (t. y. matematinio lūkesčio), tačiau atsitiktinis kintamasis
, lygus jų aritmetiniam vidurkiui, greičiausiai įgis vertę, artimą fiksuotam skaičiui
(tai yra visų matematinių lūkesčių vidurkis). Tai reiškia, kad. Tegul, kaip testo rezultatas, nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n(jų yra daug!) atitinkamai paėmė vertybes X 1 , X 2 , … , X n atitinkamai. Tada, jei pačios šios reikšmės gali pasirodyti toli nuo atitinkamų atsitiktinių dydžių vidutinių verčių, jų vidutinė vertė
greičiausiai bus artimas skaičiui
. Taigi daugelio atsitiktinių dydžių aritmetinis vidurkis jau praranda savo atsitiktinumą ir gali būti labai tiksliai nuspėjamas. Tai galima paaiškinti tuo, kad atsitiktiniai reikšmių nuokrypiai X i iš a i gali būti skirtingų ženklų, todėl iš viso šie nukrypimai greičiausiai yra kompensuojami.

Terema Čebyševa (didelių skaičių dėsnisČebyševo forma). Leisti X 1 , X 2 , … , X n … – porų nepriklausomų atsitiktinių dydžių, kurių dispersijos ribojamos iki vienodo skaičiaus, seka. Tada, kad ir kokį mažą skaičių ε imtume, nelygybės tikimybė

bus tiek arti vieno, kiek pageidaujama, jei skaičius n paimkite pakankamai didelius atsitiktinius kintamuosius. Formaliai tai reiškia, kad teoremos sąlygomis

Šis konvergencijos tipas vadinamas konvergencija pagal tikimybę ir žymimas:

Taigi, Čebyševo teorema sako, kad jei yra pakankamai daug nepriklausomų atsitiktinių dydžių, tai jų aritmetinis vidurkis viename teste beveik patikimai įgis vertę, artimą jų matematinių lūkesčių vidurkiui.

Dažniausiai Čebyševo teorema taikoma situacijose, kai atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n … turi tą patį skirstinį (t. y. tą patį pasiskirstymo dėsnį arba tą patį tikimybių tankį). Tiesą sakant, tai tiesiog didelis to paties atsitiktinio kintamojo atvejų skaičius.

Pasekmė(apibendrinta Čebyševo nelygybė). Jei nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n … turi tą patį pasiskirstymą su matematiniais lūkesčiais M(X i )= a ir dispersijos D(X i )= D, Tai

, t.y.
.

Įrodymas išplaukia iš apibendrintos Čebyševo nelygybės pereinant prie ribos ties n→∞ .

Dar kartą pažymime, kad aukščiau išrašytos lygybės negarantuoja, kad kiekio vertė
siekia A adresu n→∞. Šis dydis vis dar išlieka atsitiktiniu dydžiu, o jo individualios reikšmės gali būti gana toli A. Tačiau tokio tikimybė (toli nuo A) reikšmės didėja n linkęs į 0.

komentuoti. Išvada akivaizdžiai galioja ir bendresniu atveju, kai nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai X 1 , X 2 , … , X n … turi skirtingus skirstinius, bet tuos pačius matematinius lūkesčius (lygus A) ir bendrai apribotus nuokrypius. Tai leidžia numatyti tam tikro dydžio matavimo tikslumą, net jei šie matavimai buvo atlikti skirtingais prietaisais.

Leiskite mums išsamiau apsvarstyti šios pasekmės taikymą matuojant kiekius. Pasinaudokime kokiu nors įrenginiu n to paties dydžio matavimai, kurių tikroji vertė lygi A ir mes nežinome. Tokių matavimų rezultatai X 1 , X 2 , … , X n gali labai skirtis viena nuo kitos (ir nuo tikrosios vertės A) dėl įvairių atsitiktinių veiksnių (slėgio pokyčių, temperatūros, atsitiktinės vibracijos ir kt.). Apsvarstykite r.v. X– prietaiso rodmenys vienam dydžio matavimui, taip pat r.v rinkinys. X 1 , X 2 , … , X n– prietaiso rodmenys pirmojo, antrojo, ..., paskutinio matavimo metu. Taigi, kiekvienas kiekis X 1 , X 2 , … , X n yra tik vienas iš s.v. X, todėl jie visi turi tokį patį pasiskirstymą kaip ir r.v. X. Kadangi matavimo rezultatai vienas nuo kito nepriklauso, tai r.v. X 1 , X 2 , … , X n gali būti laikomas nepriklausomu. Jei prietaisas nesukuria sisteminės klaidos (pavyzdžiui, skalės nulis nėra „išjungtas“, spyruoklė neįtempta ir pan.), galime manyti, kad matematinis lūkestis M(X) = a, ir todėl M(X 1 ) = ... = M(X n ) = a. Taigi pirmiau nurodytos pasekmės sąlygos yra įvykdytos, taigi, kaip apytikslė kiekio vertė A galime paimti atsitiktinio dydžio „realizaciją“.
mūsų eksperimente (kuris susideda iš serijos n išmatavimai), t.y.

.

Atliekant daugybę matavimų, geras skaičiavimo tikslumas naudojant šią formulę yra praktiškai tikras. Tai yra praktinio principo, kad atliekant daugybę matavimų, aritmetinis vidurkis praktiškai nesiskiria nuo tikrosios išmatuotos vertės reikšmės.

„Atrankos“ metodas, plačiai naudojamas matematinėje statistikoje, yra pagrįstas didelių skaičių dėsniu, leidžiančiu priimtinu tikslumu gauti objektyvias jo charakteristikas iš santykinai mažos atsitiktinio dydžio reikšmių imties. Bet tai bus aptarta kitame skyriuje.

Pavyzdys. Tam tikras dydis matuojamas matavimo prietaisu, kuris nedaro sistemingų iškraipymų A vieną kartą (gautą vertę X 1 ), o tada dar 99 kartus (gautos vertės X 2 , … , X 100 ). Dėl tikrosios matavimo vertės A pirmiausia imamas pirmojo matavimo rezultatas
, o tada visų matavimų aritmetinis vidurkis
. Prietaiso matavimo tikslumas yra toks, kad standartinis matavimo nuokrypis σ būtų ne didesnis kaip 1 (todėl dispersija D=σ 2 taip pat neviršija 1). Kiekvienam matavimo metodui įvertinkite tikimybę, kad matavimo paklaida neviršys 2.

Sprendimas. Tegul r.v. X– prietaiso rodmuo vienam matavimui. Tada pagal sąlygas M(X)=a. Norėdami atsakyti į pateiktus klausimus, taikome apibendrintą Čebyševo nelygybę

ties ε =2 pirmiausia už n=1 ir tada už n=100 . Pirmuoju atveju gauname
, o antrajame. Taigi antrasis atvejis praktiškai garantuoja nurodytą matavimo tikslumą, o pirmasis šia prasme palieka didelių abejonių.

Aukščiau pateiktus teiginius pritaikykime atsitiktiniams dydžiams, atsirandantiems Bernulio schemoje. Prisiminkime šios schemos esmę. Tegul jis gaminamas n nepriklausomi bandymai, kurių kiekviename yra tam tikras įvykis A gali pasirodyti su ta pačia tikimybe R, A q=1–р(reikšme, tai yra priešingo įvykio tikimybė - įvykis neįvyks A) . Išleiskime šiek tiek skaičių n tokie testai. Panagrinėkime atsitiktinius kintamuosius: X 1 – įvykio atvejų skaičius A V 1 - testas,... X n– įvykio atvejų skaičius A V n– testas. Visi įrašyti s.v. gali imti vertybes 0 arba 1 (įvykis A gali būti arba nebūti teste) ir reikšmę 1 pagal sąlygą priimamas kiekviename bandyme su tikimybe p(įvykio tikimybė A kiekviename bandyme) ir vertę 0 su tikimybe q= 1 – p. Todėl šie dydžiai turi tuos pačius pasiskirstymo dėsnius:

X 1

X n

Todėl vidutinės šių dydžių reikšmės ir jų dispersijos taip pat yra vienodos: M(X 1 )=0 ∙ q+1 ∙ p = p, …, M(X n )= p ; D(X 1 )=(0 2 ∙ q+1 2 ∙ p)− p 2 = p∙(1− p)= p ∙ q, … , D(X n )= p ∙ q. Pakeitę šias reikšmes į apibendrintą Čebyševo nelygybę, gauname

.

Akivaizdu, kad r.v. X=X 1 +…+X n yra įvykio atvejų skaičius A iš viso n testai (kaip sakoma - „sėkmių skaičius“. n testai). Įleisk diriguotą n bandomasis renginys A pasirodė k jų. Tada ankstesnė nelygybė gali būti parašyta kaip

.

Bet dydis
, lygus įvykio atvejų skaičiaus santykiui A V n nepriklausomi tyrimai iki bendro bandymų skaičiaus anksčiau buvo vadinami santykiniu įvykių dažniu A V n bandymai. Todėl yra nelygybė

.

Dabar pasukame į ribą ties n→∞, gauname
, t.y.
(pagal tikimybę). Tai sudaro didelių skaičių dėsnio Bernulli forma turinys. Iš to išplaukia, kad atlikus pakankamai daug testų n savavališkai maži santykinio dažnio nuokrypiai
įvykius nuo jos tikimybės R- beveik patikimi įvykiai, o dideli nukrypimai - beveik neįmanomi. Gauta išvada apie tokį santykinių dažnių stabilumą (apie kurį anksčiau kalbėjome kaip eksperimentinis faktas) pateisina anksčiau pateiktą statistinį įvykio tikimybės apibrėžimą kaip skaičių, aplink kurį svyruoja santykinis įvykio dažnis.

Atsižvelgiant į tai, kad išraiška p∙ q= p∙(1− p)= p− p 2 neviršija keitimo intervalo
(tai nesunku patikrinti suradus šios funkcijos minimumą šiame segmente), iš aukščiau pateiktos nelygybės
lengva tai gauti

,

kuris naudojamas sprendžiant aktualias problemas (viena iš jų bus pateikta žemiau).

Pavyzdys. Moneta buvo išmesta 1000 kartų. Įvertinkite tikimybę, kad herbo atsiradimo santykinio dažnio nuokrypis nuo jo tikimybės bus mažesnis nei 0,1.

Sprendimas. Taikant nelygybę
adresu p= q=1/2 , n=1000 , ε=0,1, mes gausime .

Pavyzdys. Įvertinkite tikimybę, kad pagal ankstesnio pavyzdžio sąlygas skaičius k nukritusios emblemos bus diapazone nuo 400 prieš 600 .

Sprendimas. Būklė 400< k<600 reiškia kad 400/1000< k/ n<600/1000 , t.y. 0.4< W n (A)<0.6 arba
. Kaip ką tik matėme iš ankstesnio pavyzdžio, tokio įvykio tikimybė yra ne mažesnė 0.975 .

Pavyzdys. Apskaičiuoti kokio nors įvykio tikimybę A Buvo atlikta 1000 eksperimentų, kurių metu įvykis A pasirodė 300 kartų. Įvertinkite tikimybę, kad santykinis dažnis (lygus 300/1000 = 0,3) skiriasi nuo tikrosios tikimybės R ne daugiau kaip 0,1.

Sprendimas. Taikant minėtą nelygybę
jei n=1000, ε=0,1, gauname .

Atsitiktinių įvykių dažnių stabilizavimosi reiškinys, aptiktas didelėje ir įvairioje medžiagoje, iš pradžių neturėjo jokio pagrindo ir buvo suvokiamas kaip grynai empirinis faktas. Pirmasis teorinis rezultatas šioje srityje buvo garsioji Bernulio teorema, paskelbta 1713 m., kuri padėjo pagrindą didelių skaičių dėsniams.

Bernoulli teorema savo turiniu yra ribinė teorema, ty asimptotinės reikšmės teiginys, nurodantis, kas atsitiks su tikimybiniais parametrais, kai bus atlikta daug stebėjimų. Visų šiuolaikinių daugybės tokio tipo teiginių protėvis yra būtent Bernulio teorema.

Šiandien atrodo, kad matematinis didelių skaičių dėsnis yra tam tikros bendros daugelio realių procesų savybės atspindys.

Turėdamas norą didelių skaičių dėsniui suteikti kuo didesnę apimtį, atitinkančią toli gražu neišnaudotas potencialias šio dėsnio taikymo galimybes, vienas didžiausių mūsų amžiaus matematikų A. N. Kolmogorovas jo esmę suformulavo taip: didelių skaičių dėsnis yra „Bendrasis principas, pagal kurį daugelio atsitiktinių veiksnių visuminė veikla lemia beveik nuo atsitiktinumo nepriklausantį rezultatą“.

Taigi didelių skaičių dėsnis turi du aiškinimus. Vienas iš jų yra matematinis, susijęs su konkrečiais matematiniais modeliais, formuluotėmis, teorijomis, o antrasis yra bendresnis, peržengiantis šiuos rėmus. Antrasis aiškinimas yra susijęs su daugiau ar mažiau nukreipto veiksmo formavimosi reiškiniu, dažnai stebimu praktikoje, atsižvelgiant į daugybę paslėptų ar matomų veikimo veiksnių, kurie išoriškai neturi tokio tęstinumo. Su antruoju aiškinimu susiję pavyzdžiai yra kainodara laisvoje rinkoje ir visuomenės nuomonės formavimas konkrečiu klausimu.

Pastebėję šį bendrą didelių skaičių dėsnio aiškinimą, pereikime prie konkrečių matematinių šio dėsnio formuluočių.

Kaip minėjome aukščiau, pirmoji ir iš esmės svarbiausia tikimybių teorijai yra Bernulio teorema. Šio matematinio fakto, atspindinčio vieną iš svarbiausių supančio pasaulio dėsnių, turinys yra toks.

Apsvarstykite nesusijusių (t. y. nepriklausomų) testų seką, kurių sąlygos nuosekliai atkuriamos nuo testo iki testo. Kiekvieno testo rezultatas – mus dominančio įvykio atsiradimas arba neįvykimas A.

Ši procedūra (Bernoulli schema) akivaizdžiai gali būti laikoma būdinga daugeliui praktinių sričių: „berniukas - mergaitė“ naujagimių eilėje, kasdieniai meteorologiniai stebėjimai („lijo - nelijo“), gaminamos produkcijos srauto kontrolė ( „normalus – su defektu“ ir kt.

Įvykių dažnis A adresu P testai ( t A -

įvykių dažnumas A V P bandymai) turi augimą P tendencija stabilizuoti savo vertę yra empirinis faktas.

Bernulio teorema. Pasirinkime bet kurį savavališkai mažą teigiamą skaičių e. Tada

Pabrėžiame, kad Bernoulli nustatytas matematinis faktas tam tikrame matematiniame modelyje (Bernoulio schemoje) neturėtų būti painiojamas su empiriškai nustatytu dažnio stabilumo dėsningumu. Bernoulli nepasitenkino vien tik formulės (9.1) konstatavimu, bet, atsižvelgdamas į praktikos poreikius, įvertino šioje formulėje esančią nelygybę. Prie šio aiškinimo pereisime toliau.

Bernulio didelių skaičių dėsnį tyrinėjo daugybė matematikų, kurie siekė jį patobulinti. Vieną iš šių patobulinimų gavo anglų matematikas Moivre'as ir šiuo metu jis vadinamas Moivre-Laplace teorema. Bernoulli schemoje apsvarstykite normalizuotų dydžių seką:

Integral Moivre teorema – Laplasas. Pasirinkime bet kuriuos du skaičius X ( Ir x 2.Šiuo atveju x, x 7, tada ties P -» °°

Jei (9.3) formulės dešinėje pusėje kintamasis x x linkę į begalybę, tada gauta riba, priklausanti tik nuo x 2 (šiuo atveju indeksą 2 galima pašalinti), bus skirstymo funkcija, ji vadinama standartinis normalusis pasiskirstymas, arba Gauso dėsnis.

Dešinė formulės (9.3) pusė lygi y = F(x 2) – F(x x). F(x 2)-> 1 val x 2-> °° ir F(x,) -> 0 ties x, -> Dėl pakankamai didelio pasirinkimo

X] > 0 ir X]n yra pakankamai didelis absoliučia reikšme, gauname tokią nelygybę:

Atsižvelgdami į (9.2) formulę, galime išgauti praktiškai patikimus įverčius:

Jei y pasikliovimo lygis = 0,95 (t. y. 0,05 paklaidos tikimybė) kam nors gali pasirodyti nepakankamas, galite „sužaisti“ ir sukurti šiek tiek platesnį pasikliovimo intervalą, naudodami aukščiau paminėtą trijų sigmų taisyklę:

Šis intervalas atitinka labai aukštą pasikliovimo lygį y = 0,997 (žr. normalaus pasiskirstymo lenteles).

Apsvarstykite pavyzdį, susijusį su monetos metimu. Išmeskime monetą n = 100 kartų. Ar gali atsitikti taip, kad dažnis R labai skirsis nuo tikimybės R= 0,5 (darant prielaidą, kad moneta yra simetriška), pavyzdžiui, ar ji bus lygi nuliui? Norėdami tai padaryti, būtina, kad herbas neiškristų net vieną kartą. Toks įvykis teoriškai įmanomas, tačiau jau esame suskaičiavę panašias tikimybes, šiam įvykiui jis bus lygus Ši vertė

labai mažas, jo tvarka yra skaičius su 30 nulių po kablelio. Tokios tikimybės įvykis gali būti laikomas praktiškai neįmanomu. Kokie dažnio nukrypimai nuo tikimybės praktiškai galimi atliekant daug eksperimentų? Naudodamiesi Moivre-Laplace teorema, į šį klausimą atsakome taip: su tikimybe adresu= 0,95 herbo dažnis R atitinka pasitikėjimo intervalą:

Jei 0,05 paklaida atrodo nemaža, reikia padidinti eksperimentų (monetų metimų) skaičių. Kai didėja P pasikliautinojo intervalo plotis mažėja (deja, ne taip greitai, kaip norėtume, bet atvirkščiai proporcingas -Jn). Pavyzdžiui, kada P= 10 000 mes tai gauname R yra pasikliautinajame intervale su pasitikėjimo tikimybe adresu= 0,95: 0,5 ±0,01.

Taigi, kiekybiškai supratome dažnio priartinimo prie tikimybės klausimą.

Dabar suraskime įvykio tikimybę pagal jo dažnį ir įvertinkime šio aproksimavimo paklaidą.

Atlikime daugybę eksperimentų P(meskite monetą), suraskite įvykio dažnumą A ir norime įvertinti jo tikimybę R.

Iš didelių skaičių dėsnio P seka tai:

Dabar įvertinkime praktiškai galimą apytikslės lygybės (9.7) paklaidą. Norėdami tai padaryti, naudojame nelygybę (9.5) tokia forma:

Rasti R Autorius R turime išspręsti nelygybę (9.8), kad tai padarytume, turime ją išlyginti kvadratu ir išspręsti atitinkamą kvadratinę lygtį. Rezultate gauname:

Kur

Apytikriam įvertinimui R Autorius R gali būti formulėje (9.8) R dešinėje pakeiskite į R arba formulėse (9.10), (9.11) manyti, kad

Tada gauname:

Įleisti P= 400 eksperimentų gauta dažnio reikšmė R= 0,25, tada su y = 0,95 patikimumo lygiu randame:

Ką daryti, jei mums reikia tiksliau žinoti tikimybę su, tarkime, ne didesne nei 0,01 paklaida? Norėdami tai padaryti, būtina padidinti eksperimentų skaičių.

Darant prielaidą, kad formulėje (9.12) tikimybė R= 0,25, klaidos reikšmę prilyginame nurodytai reikšmei 0,01 ir gauname lygtį P:

Išspręsdami šią lygtį, gauname n~ 7500.

Dabar panagrinėkime kitą klausimą: ar eksperimentuose gautą dažnio nuokrypį nuo tikimybės galima paaiškinti atsitiktinėmis priežastimis, ar šis nuokrypis rodo, kad tikimybė nėra tokia, kokios tikėjomės? Kitaip tariant, ar patirtis patvirtina priimtą statistinę hipotezę, ar, atvirkščiai, reikalauja ją atmesti?

Pavyzdžiui, tegul mesti monetą P= 800 kartų, gauname herbo atsiradimo dažnumą R= 0,52. Įtarėme, kad moneta asimetriška. Ar šis įtarimas pagrįstas? Norėdami atsakyti į šį klausimą, vadovausimės prielaida, kad moneta yra simetriška (p = 0,5). Raskime pasikliautinąjį intervalą (su pasitikėjimo tikimybe adresu= 0,95) herbo atsiradimo dažnumui. Jei eksperimento metu gauta reikšmė R= 0,52 telpa į šį intervalą – viskas normalu, priimta hipotezė apie monetos simetriją neprieštarauja eksperimentiniams duomenims. Formulė (9.12) val R= 0,5 duoda intervalą 0,5 ± 0,035; gautą vertę p =Į šį intervalą telpa 0,52, o tai reiškia, kad monetą teks „išvalyti“ nuo įtarimų dėl asimetrijos.

Panašūs metodai naudojami sprendžiant, ar įvairūs atsitiktinių reiškinių nukrypimai nuo matematinio lūkesčio yra atsitiktiniai, ar „reikšmingi“. Pavyzdžiui, ar per mažas svoris buvo rastas atsitiktinai keliuose supakuotų prekių pavyzdžiuose, ar tai rodo sistemingą klientų apgaudinėjimą? Ar pacientų, vartojusių naują vaistą, pasveikimo rodiklis padidėjo atsitiktinai, ar taip yra dėl vaisto poveikio?

Normalusis dėsnis vaidina ypač svarbų vaidmenį tikimybių teorijoje ir jos praktikoje. Aukščiau jau matėme, kad atsitiktinis kintamasis – kurio nors įvykio atvejų skaičius Bernulio schemoje – su P-» °° sumažinamas iki normalaus dėsnio. Tačiau yra daug bendresnis rezultatas.

Centrinės ribos teorema. Daugelio nepriklausomų (arba silpnai priklausomų) atsitiktinių dydžių, palyginamų vienas su kitu savo dispersijų tvarka, suma paskirstoma pagal normalųjį dėsnį, neatsižvelgiant į tai, kokie buvo terminų pasiskirstymo dėsniai. Aukščiau pateiktas teiginys yra apytikslė kokybinė centrinės ribos teorijos formuluotė. Ši teorema turi daug formų, kurios skiriasi viena nuo kitos sąlygomis, kurias turi tenkinti atsitiktiniai dydžiai, kad jų suma būtų „normalizuota“ padidėjus terminų skaičiui.

Normalaus pasiskirstymo tankis Dx) išreiškiamas formule:

Kur A - matematinis atsitiktinio dydžio lūkestis X s= V7) yra jo standartinis nuokrypis.

Norint apskaičiuoti tikimybę, kad x pateks į intervalą (x 1? x 2), naudojamas integralas:

Kadangi integralas (9.14) ties tankiu (9.13) neišreiškiamas elementariosiomis funkcijomis ("nepaimamas"), tai apskaičiuoti (9.14) jie naudoja standartinio normaliojo skirstinio integralinio skirstinio funkcijos lenteles, kai a = 0, a = 1 (tokios lentelės yra bet kuriame tikimybių teorijos vadovėlyje):

Tikimybė (9.14) naudojant lygtį (10.15) išreiškiama formule:

Pavyzdys. Raskite tikimybę, kad atsitiktinis kintamasis X, turintys normalųjį skirstinį su parametrais A, a, nuo savo matematinio lūkesčio modulio nukryps ne daugiau kaip 3.

Naudodami (9.16) formulę ir normaliojo dėsnio skirstinio funkcijos lentelę, gauname:

Pavyzdys. Kiekviename iš 700 nepriklausomų eksperimentų įvykis A atsitinka su pastovia tikimybe R= 0,35. Raskite tikimybę, kad įvykis A atsitiks:

• 1) lygiai 270 kartų;
• 2) mažiau kaip 270 ir daugiau kaip 230 kartų;
• 3) daugiau nei 270 kartų.

Matematinės lūkesčių radimas A = ir tt ir standartinis nuokrypis:

atsitiktinis dydis – įvykio pasikartojimų skaičius A:

Centrinės ir normalizuotos vertės radimas X:

Iš normaliojo pasiskirstymo tankio lentelių randame f(x):

Suraskime tai dabar R w (x,> 270) = P 700 (270 F (1,98) = = 1–0,97615 = 0,02385.

Rimtą žingsnį tiriant didelių skaičių problemas 1867 metais žengė P. L. Čebyševas. Jis svarstė labai bendrą atvejį, kai iš nepriklausomų atsitiktinių dydžių nieko nereikia, išskyrus matematinių lūkesčių ir dispersijų egzistavimą.

Čebyševo nelygybė. Savavališkai mažam teigiamam skaičiui e galioja ši nelygybė:

Čebyševo teorema. Jeigu x x, x 2, ..., x p - poromis nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai, kurių kiekvienas turi matematinius lūkesčius E(Xj) = ci ir dispersija D(x,) =), o dispersijos vienodai ribojamos, t.y. 1,2 ..., tada bet kuriam savavališkai mažam teigiamam skaičiui e galioja toks ryšys:

Pasekmė. Jeigu a,= aio, -o 2, t.y= 1,2 ..., tada

Užduotis. Kiek kartų reikia mesti monetą, kad tikimybė būtų ne mažesnė kaip y - 0,997, galima teigti, kad herbo iškritimo dažnis bus intervale (0,499; 0,501)?

Tarkime, kad moneta yra simetriška, p - q - 0.5. Atsitiktiniam dydžiui pritaikykime Čebyševo teoremą formulėje (9.19). X- herbo atsiradimo dažnis P monetų metimai. Mes jau parodėme aukščiau X = X x + X 2 + ... +X„, Kur X t - atsitiktinis dydis, kurio reikšmė yra 1, jei moneta yra galva, ir 0, jei ji yra uodega. Taigi:

Parašykime nelygybę (9.19) įvykiui, priešingam įvykiui, nurodytam po tikimybės ženklu:

Mūsų atveju [e = 0,001, cj 2 = /?-p)]t yra herbo pasikartojimų skaičius m. P metimas. Šiuos dydžius pakeitę paskutine nelygybe ir atsižvelgdami į tai, kad pagal uždavinio sąlygas nelygybė turi būti tenkinama, gauname:

Pateiktas pavyzdys iliustruoja galimybę naudoti Čebyševo nelygybę tam tikrų atsitiktinių dydžių nuokrypių tikimybei įvertinti (taip pat tokias problemas kaip šis pavyzdys, susijusias su šių tikimybių skaičiavimu). Čebyševo nelygybės privalumas yra tas, kad jai nereikia žinoti atsitiktinių dydžių pasiskirstymo dėsnių. Žinoma, jei toks dėsnis žinomas, tai Čebyševo nelygybė pateikia per apytikslius įvertinimus.

Pažiūrėkime į tą patį pavyzdį, bet pasinaudodami tuo, kad monetos metimas yra ypatingas Bernulio schemos atvejis. Sėkmių skaičius (pavyzdyje - herbų skaičius) paklūsta dvinario dėsniui, o su dideliu Pšį dėsnį galima pavaizduoti įprastu dėsniu su matematiniais lūkesčiais dėl Moivre - Laplaso integralinės teoremos a = pr = n? 0,5 ir su standartiniu nuokrypiu a = yfnpq - 25=0,5l/l. Atsitiktinis dydis – herbo iškritimo dažnis – turi matematinį lūkestį = 0,5 ir standartinį nuokrypį

Tada mes turime:

Iš paskutinės nelygybės gauname:

Iš normalaus paskirstymo lentelių randame:

Matome, kad normalioji aproksimacija suteikia monetų metimų skaičių, suteikiantį tam tikrą paklaidą įvertinant herbo tikimybę, kuri yra 37 kartus mažesnė, palyginti su įverčiu, gautu naudojant Čebyševo nelygybę (tačiau Čebyševo nelygybė leidžia padaryti panašūs skaičiavimai tuo atveju, kai neturime informacijos apie tiriamo atsitiktinio dydžio pasiskirstymo dėsnį).

Dabar panagrinėkime taikomąją problemą, išspręsta naudojant (9.16) formulę.

Konkurencijos problema. Dvi konkuruojančios geležinkelio įmonės turi po vieną traukinį tarp Maskvos ir Sankt Peterburgo. Šie traukiniai įrengti maždaug vienodai, išvyksta ir atvyksta maždaug tuo pačiu metu. Apsimeskime tai P= 1000 keleivių savarankiškai ir atsitiktinai pasirenka savo traukinį, todėl kaip matematinį modelį keleiviams pasirenkant traukinį naudojame Bernulli schemą su P iššūkius ir sėkmės tikimybę R= 0,5. Įmonė turi nuspręsti, kiek vietų traukinyje suteikti, atsižvelgdama į dvi viena kitai prieštaraujančias sąlygas: viena vertus, nenorite turėti tuščių vietų, kita vertus, nenorite, kad žmonės būtų nepatenkinti traukiniu. vietų trūkumas (kitą kartą pirmenybę teiks konkuruojančioms įmonėms). Žinoma, jį galima pateikti traukinyje P= 1000 vietų, bet tada akivaizdžiai bus tuščių vietų. Atsitiktinis dydis - keleivių skaičius traukinyje - pagal priimtą matematinį modelį, naudojant Moivre'o integralią teoriją - Laplasas paklūsta normaliam dėsniui su matematiniais lūkesčiais a = pr = p/2 ir dispersija a 2 = npq = p/4 nuosekliai. Tikimybė, kad daugiau nei s keleivių, nustatoma pagal koeficientą:

Nustatykite rizikos lygį A, t.y. tikimybė, kad ateis daugiau s keleiviai:

Iš čia:

Jeigu A yra paskutinės lygties rizikos šaknis, kuri randama iš normaliojo dėsnio pasiskirstymo funkcijos lentelių, tada gauname:

Jei pvz. P = 1000, A= 0,01 (toks rizikos lygis reiškia, kad vietų skaičius s pakaks 99 atvejais iš 100), tada x a ~ 2.33 ir s = 537 vietos. Be to, jei abi įmonės prisiima tą patį rizikos lygį A= 0,01, tada dviejuose traukiniuose iš viso bus 1074 sėdimos vietos, iš kurių 74 bus tuščios. Analogiškai galima skaičiuoti, kad 514 vietų pakaktų 80% visų atvejų, o 549 vietų – 999 iš 1000 atvejų.

Panašūs svarstymai taikomi ir kitoms konkuruojančioms paslaugų problemoms. Pavyzdžiui, jei T kino teatrai varžosi dėl to paties Pžiūrovų, tuomet reikėtų sutikti R= -. Mes gauname,

koks vietų skaičius s kine turėtų būti nustatomas pagal santykį:

Bendras tuščių vietų skaičius yra lygus:

Dėl A = 0,01, P= 1000 ir T= 2, 3, 4, šio skaičiaus reikšmės yra maždaug lygios atitinkamai 74, 126, 147.

Pažvelkime į kitą pavyzdį. Tegul traukinys susideda iš P - 100 vežimų. Kiekvieno automobilio svoris yra atsitiktinis dydis su matematiniais lūkesčiais A - 65 tonos, o vidutinė kvadratinė prognozė o = 9 t.. Lokomotyvas gali vežti traukinį, jei jo svoris neviršija 6600 tonų; kitu atveju turite prijungti antrą lokomotyvą. Turite rasti tikimybę, kad jums nereikės to daryti.

atskirų automobilių svoriai: , turintis tuos pačius matematinius lūkesčius A - 65 ir ta pati dispersija d- o 2 = 81. Pagal matematinių lūkesčių taisyklę: E(x) – 100 * 65 = 6500. Pagal dispersijų pridėjimo taisyklę: D(x) = 100 x 81 = 8100. Ištraukę šaknį randame standartinį nuokrypį. Kad vienas lokomotyvas trauktų traukinį, traukinio svoris turi būti X pasirodė ribojantis, t.y. pateko į intervalą (0; 6600). Atsitiktinis dydis x – 100 narių suma – gali būti laikomas normaliai paskirstytu. Naudodami (9.16) formulę gauname:

Iš to išplaukia, kad lokomotyvas „susitvarkys“ su traukiniu maždaug 0,864 tikimybe. Dabar sumažinkime vagonų skaičių traukinyje dviem, t.y., imkime P= 98. Dabar skaičiuojant tikimybę, kad lokomotyvas „susitvarkys“ su traukiniu, gauname 0,99 eilės reikšmę, t.y., beveik tikras įvykis, nors tam reikėjo išimti tik du vagonus.

Taigi, jei susiduriame su daugybės atsitiktinių dydžių sumomis, galime naudoti įprastą dėsnį. Natūralu, kad kyla klausimas: kiek atsitiktinių dydžių reikia pridėti, kad sumos pasiskirstymo dėsnis jau būtų „normalizuotas“? Tai priklauso nuo to, kokie yra terminų skirstymo dėsniai. Yra tokie sudėtingi dėsniai, kad normalizavimas vyksta tik esant labai daugybei terminų. Tačiau šiuos dėsnius sugalvojo matematikai, gamta, kaip taisyklė, sąmoningai tokių bėdų nekelia. Paprastai praktikoje, kad būtų galima naudoti įprastą dėsnį, pakanka penkių ar šešių terminų.

Greitį, kuriuo „normalizuojasi“ vienodai paskirstytų atsitiktinių dydžių sumos pasiskirstymo dėsnis, galima iliustruoti atsitiktinių dydžių, turinčių vienodą pasiskirstymą intervale (0, 1), pavyzdžiu. Tokio skirstinio kreivė turi stačiakampio formą, kuri nebepanaši į įprastą dėsnį. Pridėkime du tokius nepriklausomus kintamuosius – gauname atsitiktinį dydį, paskirstytą pagal vadinamąjį Simpsono dėsnį, kurio grafinis vaizdas turi lygiašonio trikampio formą. Tai taip pat neatrodo kaip įprastas įstatymas, bet jis yra geresnis. Ir jei sudėsite tris tokius tolygiai paskirstytus atsitiktinius dydžius, gausite kreivę, susidedančią iš trijų parabolių segmentų, labai panašią į įprastą kreivę. Sudėjus šešis tokius atsitiktinius dydžius, gaunama kreivė, kuri nesiskiria nuo įprastos. Tai yra plačiai naudojamo normaliai paskirstyto atsitiktinio dydžio gavimo metodo pagrindas, o visuose šiuolaikiniuose kompiuteriuose yra tolygiai paskirstytų (0, 1) atsitiktinių skaičių jutikliai.

Šis metodas yra rekomenduojamas kaip vienas praktiškas būdas tai patikrinti. Mes sudarome įvykio dažnio pasikliautinąjį intervalą su lygiu adresu= 0,997 pagal trijų sigmų taisyklę:

ir jei abu jo galai neviršija atkarpos (0, 1), tuomet galima naudoti normalųjį dėsnį. Jei kuri nors pasikliautinojo intervalo riba yra už atkarpos (0, 1) ribų, normaliojo dėsnio naudoti negalima. Tačiau esant tam tikroms sąlygoms, kai kurių atsitiktinių įvykių dažnumo dvinario dėsnis, jei jis nėra linkęs į normalųjį, jis gali būti linkęs į kitą dėsnį.

Daugelyje programų Bernoulli schema naudojama kaip matematinis atsitiktinio eksperimento modelis, kuriame bandymų skaičius P yra didelis, atsitiktinis įvykis gana retas, t.y. R = ir tt ne mažas, bet ir nepuikus (svyruoja O -5-20 ribose). Šiuo atveju ribinis ryšys galioja:

Formulė (9.20) vadinama dvinario dėsnio Puasono aproksimacija, nes tikimybių skirstinys dešinėje pusėje vadinamas Puasono dėsniu. Teigiama, kad Puasono skirstinys yra retų įvykių tikimybių skirstinys, nes jis įvyksta, kai įvykdomos ribos: P -»°°, R-»0, bet X = pro oo.

Pavyzdys. Gimtadieniai. Kokia tikimybė Rt (k) kad 500 žmonių visuomenėje Įžmonių gimė Naujųjų metų dieną? Jei šie 500 žmonių atrenkami atsitiktinai, tada Bernoulli schemą galima pritaikyti su sėkmės tikimybe P = 1/365. Tada

Tikimybių skaičiavimai įvairiems Į pateikite šias reikšmes: RU = 0,3484...; R 2 = 0,2388...; R 3 = 0,1089...; P 4 = 0,0372...; R 5 = 0,0101...; R 6= 0,0023... Atitinkami aproksimacijos naudojant Puasono formulę X = 500 1/365 = 1,37

pateikite šias reikšmes: Ru = 0,3481...; R 2 = 0,2385...; P ъ = 0,1089; R 4 = 0,0373...; P 5 = 0,0102...; P 6 = 0,0023... Visos klaidos pateikiamos tik ketvirtuoju skaitmeniu po kablelio.

Čia pateikiami situacijų, kuriose galite naudoti Puasono retų įvykių dėsnį, pavyzdžiai.

Telefono stotyje su maža tikimybe įvyksta neteisingas ryšys R, paprastai R~0,005. Tada Puasono formulė leidžia mums rasti neteisingų jungčių tikimybę tam tikram bendram jungčių skaičiui n~ 1000 kai X = pr =1000 0,005 = 5.

Kepdami bandeles, į tešlą įberkite razinų. Reikėtų tikėtis, kad dėl maišymo razinų bandelių dažnis maždaug atitiks Puasono pasiskirstymą R p (k, X), Kur X- razinų tankis tešloje.

Radioaktyvioji medžiaga išskiria i-daleles. Įvykis, kurį laikui bėgant pasiekia d dalelių skaičius t duotas erdvės plotas, įgauna fiksuotą vertę į, paklūsta Puasono dėsniui.

Gyvų ląstelių su pakitusiomis chromosomomis skaičius, kai yra veikiamas rentgeno spinduliais, atitinka Puasono pasiskirstymą.

Taigi, didelių skaičių dėsniai leidžia išspręsti matematinės statistikos problemą, susijusią su atsitiktinio eksperimento elementarių rezultatų nežinomų tikimybių įvertinimu. Šių žinių dėka tikimybių teorijos metodus darome praktiškai įprasminti ir naudingi. Didelių skaičių dėsniai taip pat leidžia išspręsti informacijos apie nežinomas elementarias tikimybes gavimo problemą kita forma – statistinių hipotezių tikrinimo forma.

Išsamiau panagrinėkime statistinių hipotezių tikrinimo uždavinių formulavimą ir tikimybinį mechanizmą.

Didelių skaičių dėsnis tikimybių teorijoje teigia, kad pakankamai didelės baigtinės imties iš fiksuoto skirstinio empirinis vidurkis (aritmetinis vidurkis) yra artimas šio skirstinio teoriniam vidurkiui (matematiniam lūkesčiui). Priklausomai nuo konvergencijos tipo, skiriamas silpnasis didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija įvyksta tikimybe, ir stiprus didelių skaičių dėsnis, kai konvergencija vyksta beveik visur.

Visada yra ribotas bandymų skaičius, kurių, esant bet kokiai išankstinei tikimybei, yra mažiau 1 santykinis kokio nors įvykio pasireiškimo dažnis kuo mažiau skirsis nuo jo tikimybės.

Bendra didelių skaičių dėsnio prasmė: daugelio vienodų ir nepriklausomų atsitiktinių veiksnių bendras veikimas lemia rezultatą, kuris riboje nepriklauso nuo atsitiktinumo.

Tikimybių įvertinimo metodai, pagrįsti baigtinių imčių analize, yra pagrįsti šia savybe. Ryškus pavyzdys – rinkimų rezultatų prognozė, pagrįsta rinkėjų imties apklausa.

Enciklopedinis „YouTube“.

1 / 5

✪ Didelių skaičių dėsnis

✪ 07 – tikimybių teorija. Didžiųjų skaičių dėsnis

✪ 42 Didžiųjų skaičių dėsnis

✪ 1 - Čebyševo didelių skaičių dėsnis

✪ 11 klasė, 25 pamoka, Gauso kreivė. Didžiųjų skaičių dėsnis

Subtitrai

Pažvelkime į didelių skaičių dėsnį, kuris yra bene intuityviausias matematikos ir tikimybių teorijos dėsnis. Ir kadangi jis taikomas daugeliui dalykų, jis kartais naudojamas ir nesuprantamas. Pirmiausia leiskite apibrėžti tai tikslumui, o tada kalbėsime apie intuiciją. Paimkime atsitiktinį kintamąjį, pavyzdžiui, X. Tarkime, žinome jo matematinį lūkestį arba populiacijos vidurkį. Didžiųjų skaičių dėsnis tiesiog sako, kad jeigu paimtume atsitiktinio dydžio n-ojo stebėjimų skaičiaus pavyzdį ir paimtume visų tų stebėjimų vidurkį... Paimkime kintamąjį. Pavadinkime jį X su apatiniu indeksu n ir juosta viršuje. Tai yra n-ojo mūsų atsitiktinio dydžio stebėjimų skaičiaus aritmetinis vidurkis. Štai mano pirmasis pastebėjimas. Aš vieną kartą atlieku eksperimentą ir atlieku šį stebėjimą, tada darau tai dar kartą ir atlieku šį stebėjimą, darau dar kartą ir gaunu tai. Šį eksperimentą atlieku n-tą kartų, o tada padalinu iš savo stebėjimų skaičiaus. Štai mano pavyzdžio vidurkis. Čia yra visų mano atliktų pastebėjimų vidurkis. Didžiųjų skaičių dėsnis mums sako, kad mano imties vidurkis priartės prie tikėtinos atsitiktinio kintamojo vertės. Arba taip pat galiu parašyti, kad mano imties vidurkis priartės prie populiacijos vidurkio n-tam kiekiui, linkusiam į begalybę. Nedarysiu aiškaus skirtumo tarp „aproksimacijos“ ir „konvergencijos“, bet tikiuosi, kad jūs intuityviai suprantate, kad jei čia paimsiu gana didelę imtį, gausiu numatomą reikšmę visai populiacijai. Manau, kad dauguma iš jūsų intuityviai supranta, kad jei aš atliksiu pakankamai testų su daugybe pavyzdžių, galiausiai testai man duos vertes, kurių tikiuosi, atsižvelgiant į numatomą vertę, tikimybę ir visą tą džiazą. Tačiau manau, kad dažnai neaišku, kodėl taip nutinka. Ir prieš pradėdamas aiškinti, kodėl taip yra, leiskite pateikti konkretų pavyzdį. Didžiųjų skaičių dėsnis mums sako, kad... Tarkime, kad turime atsitiktinį kintamąjį X. Jis lygus galvų skaičiui išmetus 100 sąžiningos monetos. Visų pirma, mes žinome matematinius šio atsitiktinio dydžio lūkesčius. Tai yra monetų išmetimų arba bandymų skaičius, padaugintas iš bet kurio bandymo sėkmės tikimybės. Taigi tai lygu 50. Tai yra, didelių skaičių dėsnis sako, kad jei paimsime pavyzdį arba įvertinsiu šių bandymų vidurkį, aš gausiu. ... būtų X1. Tada vėl pakratau dėžutę ir gaunu skaičių 65. Tada vėl ir gaunu 45. Ir tai darau n kartų, o tada padalinu iš bandymų skaičiaus. Didelių skaičių dėsnis mums sako, kad šis vidurkis (visų mano stebėjimų vidurkis) artėja prie 50, kai n artėja prie begalybės. Dabar norėčiau šiek tiek pakalbėti apie tai, kodėl taip nutinka. Daugelis žmonių mano, kad jei po 100 bandymų mano rezultatas viršija vidutinį, tai pagal tikimybės dėsnius turėčiau gauti daugiau ar mažiau galvų, kad, galima sakyti, kompensuotų skirtumą. Ne visai taip nutiks. Tai dažnai vadinama „lošėjo klaida“. Leiskite man parodyti jums skirtumą. Naudosiu tokį pavyzdį. Leiskite nupiešti grafiką. Pakeiskime spalvą. Tai n, mano x ašis yra n. Tiek testų atliksiu. Ir mano Y ašis bus imties vidurkis. Žinome, kad matematinė šio savavališko kintamojo tikėtis yra 50. Leisk man nupiešti. Tai yra 50. Grįžkime prie mūsų pavyzdžio. Jei n yra... Per pirmąjį testą gavau 55, tai mano vidurkis. Turiu tik vieną duomenų įvesties tašką. Tada po dviejų testų gaunu 65. Taigi mano vidurkis būtų 65+55, padalintas iš 2. Tai yra 60. Ir mano vidurkis šiek tiek pakilo. Tada gavau 45, o tai vėl sumažino mano aritmetinį vidurkį. Aš nesiruošiu brėžti 45. Dabar man reikia viso to vidurkį. Kam lygus 45+65? Leiskite man apskaičiuoti šią vertę, kad būtų parodytas taškas. Tai yra 165, padalintas iš 3. Tai yra 53. Ne, 55. Taigi vidurkis sumažėja iki 55. Galime tęsti šiuos bandymus. Po to, kai atlikome tris bandymus ir gavome tą vidurkį, daugelis žmonių mano, kad tikimybių dievai pasirūpins, kad ateityje gautume mažiau galvų, kad per kelis kitus bandymus bus mažesni balai, kad sumažėtų vidurkis. Tačiau taip būna ne visada. Ateityje tikimybė visada išliks tokia pati. Visada bus 50% tikimybė, kad gausiu galvas. Nėra taip, kad iš pradžių gaunu tam tikrą skaičių galvų, daugiau nei tikiuosi, o paskui staiga turiu gauti uodegas. Tai yra lošėjo klaida. Vien todėl, kad gausite neproporcingai daug galvų, dar nereiškia, kad kažkada jums pradės neproporcingai daug uodegų. Tai nėra visiškai tiesa. Didelių skaičių dėsnis mums sako, kad tai nesvarbu. Tarkime, po tam tikro baigtinio testų skaičiaus jūsų vidurkis... Tikimybė, kad tai bus gana maža, bet, vis dėlto... Tarkime, jūsų vidurkis pasiekė šią ribą – 70. Jūs galvojate: „Oho, mes nutolome nuo laukiamos vertės“. Tačiau didelių skaičių dėsnis sako, kad nesvarbu, kiek bandymų atliekame. Mūsų dar laukia begalė iššūkių. Šio begalinio bandymų skaičiaus matematiniai lūkesčiai, ypač tokioje situacijoje, būtų tokie. Kai priartėsite prie baigtinio skaičiaus, kuris išreiškia kokią nors didelę reikšmę, begalinis skaičius, kuris suartėja su juo, vėl atves į laukiamą reikšmę. Žinoma, tai labai laisva interpretacija, tačiau tai mums sako didelių skaičių dėsnis. Svarbu. Tai nesako mums, kad jei turėsime daug galvų, tai kažkaip padidės tikimybė gauti uodegas, kad kompensuotų. Šis dėsnis mums sako, kad nesvarbu, koks bus baigtinis bandymų skaičius, kol jums dar liko begalinis bandymų skaičius. Ir jei atliksite pakankamai jų, vėl pasieksite tikėtiną vertę. Tai svarbus dalykas. Pagalvok apie tai. Bet tai ne kasdien naudojama praktikoje su loterijomis ir kazino, nors zinoma jei darysi pakankamai testu... Galime net paskaiciuoti...kokia tikimybe, kad rimtai nukrypsim nuo normos? Tačiau kazino ir loterijos kasdien dirba pagal principą, kad jei per trumpą laiką priimsite pakankamai žmonių su maža imtimi, tai keli žmonės pasieks aukso puodą. Tačiau ilgą laiką kazino visada laimės dėl žaidimų, kuriuos kviečia žaisti, parametrų. Tai svarbus tikimybės principas, kuris yra intuityvus. Nors kartais, kai tai formaliai jums paaiškinama atsitiktiniais dydžiais, viskas atrodo šiek tiek painu. Šis dėsnis sako, kad kuo daugiau imčių, tuo labiau aritmetinis tų imčių vidurkis bus linkęs į tikrąjį vidurkį. Tiksliau tariant, jūsų imties aritmetinis vidurkis susilygins su matematiniais atsitiktinio dydžio lūkesčiais. Tai viskas. Iki pasimatymo kitame vaizdo įraše!

Silpnas didelių skaičių dėsnis

Silpnas didelių skaičių dėsnis taip pat vadinamas Bernulio teorema Jokūbo-Bernulio vardu, kuris jį įrodė 1713 m.

Tegul būna begalinė identiškai pasiskirstytų ir nekoreliuojamų atsitiktinių dydžių seka (nuoseklus išvardijimas). Tai yra, jų kovariacija c o v (X i , X j) = 0, ∀ i ≠ j (\displaystyle \mathrm (cov) (X_(i),X_(j))=0,\;\visiems i\not =j). Leisti . Pažymėkime pirmosios imties vidurkiu n (\displaystyle n) nariai:

.

Tada X ¯ n → P μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to ^(\!\!\!\!\!\!\mathbb (P) )\mu ).

Tai yra, už bet kokį teigiamą ε (\displaystyle \varepsilon)

lim n → ∞ Pr (| X ¯ n − μ |< ε) = 1. {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\Pr \!\left(\,|{\bar {X}}_{n}-\mu |<\varepsilon \,\right)=1.}

Sustiprintas didelių skaičių įstatymas

Tegul yra begalinė nepriklausomų identiškai paskirstytų atsitiktinių dydžių seka ( X i ) i = 1 ∞ (\displaystyle \(X_(i)\)_(i=1)^(\infty )), apibrėžtas vienoje tikimybių erdvėje (Ω , F , P) (\displaystyle (\Omega ,(\mathcal (F)),\mathbb (P))). Leisti E X i = μ , ∀ i ∈ N (\displaystyle \mathbb (E) X_(i)=\mu ,\;\forall i\in \mathbb (N) ). Pažymėkime pagal X ¯ n (\displaystyle (\bar (X))_(n)) pirmosios imties vidurkis n (\displaystyle n) nariai:

X ¯ n = 1 n ∑ i = 1 n X i , n ∈ N (\displaystyle (\bar (X))_(n)=(\frac (1)(n))\sum \limits _(i= 1)^(n)X_(i),\;n\in \mathbb (N) ).

Tada X ¯ n → μ (\displaystyle (\bar (X))_(n)\to \mu ) beveik visada.

Pr (lim n → ∞ X ¯ n = μ) = 1. (\displaystyle \Pr \!\left(\lim _(n\to \infty )(\bar (X))_(n)=\mu \ dešinėje) = 1.) .

Kaip ir bet kuris matematinis dėsnis, didelių skaičių dėsnis realiame pasaulyje gali būti taikomas tik laikantis tam tikrų prielaidų, kurias galima įvykdyti tik tam tikru tikslumu. Pavyzdžiui, vienas po kito einančių bandymų sąlygų dažnai negalima išlaikyti neribotą laiką ir absoliučiu tikslumu. Be to, didelių skaičių dėsnis kalba tik apie netikimybė reikšmingas vidutinės reikšmės nuokrypis nuo matematinio lūkesčio.