Žaidimai

Sudėtinės funkcijos išvestinė lygi. Sudėtingos funkcijos išvestinė. Laipsninės eksponentinės funkcijos išvestinė

Matematikos fizinių uždavinių ar pavyzdžių sprendimas yra visiškai neįmanomas be išvestinės ir jos skaičiavimo metodų žinių. Išvestinė yra viena iš svarbiausių matematinės analizės sąvokų. Šiandienos straipsnį nusprendėme skirti šiai esminei temai. Kas yra išvestinė, kokia jos fizikinė ir geometrinė reikšmė, kaip apskaičiuoti funkcijos išvestinę? Visus šiuos klausimus galima sujungti į vieną: kaip suprasti išvestinę?

Geometrinė ir fizikinė išvestinės reikšmė

Tegul būna funkcija f(x) , nurodyta tam tikru intervalu (a, b) . Taškai x ir x0 priklauso šiam intervalui. Pasikeitus x, pasikeičia ir pati funkcija. Argumento keitimas – jo vertybių skirtumas x-x0 . Šis skirtumas parašytas kaip delta x ir vadinamas argumentų prieaugiu. Funkcijos pakeitimas arba padidėjimas yra skirtumas tarp funkcijos reikšmių dviejuose taškuose. Išvestinės priemonės apibrėžimas:

Funkcijos išvestinė taške yra funkcijos padidėjimo tam tikrame taške ir argumento prieaugio santykio riba, kai pastarasis linkęs į nulį.

Kitu atveju jis gali būti parašytas taip:

Kokia prasmė rasti tokią ribą? Ir štai kas tai yra:

funkcijos išvestinė taške yra lygi kampo tarp OX ašies ir funkcijos grafiko liestinės liestei duotame taške.

Fizinė išvestinės reikšmė: kelio išvestinė laiko atžvilgiu lygi tiesinio judėjimo greičiui.

Iš tiesų, nuo mokyklos laikų visi žino, kad greitis yra tam tikras kelias x=f(t) ir laikas t . Vidutinis greitis per tam tikrą laikotarpį:

Norėdami sužinoti judėjimo greitį tam tikru momentu t0 reikia apskaičiuoti ribą:

Pirma taisyklė: nustatykite konstantą

Konstantą galima išimti iš išvestinio ženklo. Be to, tai turi būti padaryta. Spręsdami matematikos pavyzdžius, priimkite tai kaip taisyklę - Jei galite supaprastinti išraišką, būtinai ją supaprastinkite .

Pavyzdys. Apskaičiuokime išvestinę:

Antra taisyklė: funkcijų sumos išvestinė

Dviejų funkcijų sumos išvestinė yra lygi šių funkcijų išvestinių sumai. Tas pats pasakytina ir apie funkcijų skirtumo išvestinę.

Mes nepateiksime šios teoremos įrodymo, o apsvarstysime praktinį pavyzdį.

Raskite funkcijos išvestinę:

Trečia taisyklė: funkcijų sandaugos išvestinė

Dviejų diferencijuojamų funkcijų sandaugos išvestinė apskaičiuojama pagal formulę:

Pavyzdys: suraskite funkcijos išvestinę:

Sprendimas:

Čia svarbu kalbėti apie sudėtingų funkcijų išvestinių skaičiavimą. Sudėtingos funkcijos išvestinė yra lygi šios funkcijos išvestinės sandaugai tarpinio argumento ir tarpinio argumento išvestinei nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Aukščiau pateiktame pavyzdyje susiduriame su tokia išraiška:

Šiuo atveju tarpinis argumentas yra 8 kartus didesnis už penktą laipsnį. Norėdami apskaičiuoti tokios išraiškos išvestinę, pirmiausia apskaičiuojame išorinės funkcijos išvestinę tarpinio argumento atžvilgiu, o tada padauginame iš paties tarpinio argumento išvestinės nepriklausomo kintamojo atžvilgiu.

Ketvirta taisyklė: dviejų funkcijų dalinio išvestinė

Dviejų funkcijų dalinio išvestinės nustatymo formulė:

Mes bandėme kalbėti apie išvestinius manekenams nuo nulio. Ši tema nėra tokia paprasta, kaip atrodo, todėl perspėkite: pavyzdžiuose dažnai yra spąstų, todėl būkite atsargūs skaičiuodami išvestines.

Jei turite klausimų šia ir kitomis temomis, galite susisiekti su studentų tarnyba. Per trumpą laiką padėsime išspręsti sunkiausią testą ir suprasti užduotis, net jei dar niekada nedarėte išvestinių skaičiavimų.

Labai lengva prisiminti.

Na, toli nenueikime, iš karto apsvarstykime atvirkštinę funkciją. Kuri funkcija yra atvirkštinė eksponentinei funkcijai? Logaritmas:

Mūsų atveju pagrindas yra skaičius:

Toks logaritmas (ty logaritmas su baze) vadinamas „natūraliu“, o mes jam naudojame specialų žymėjimą: vietoj jo rašome.

Kam jis lygus? Žinoma, .

Natūralaus logaritmo išvestinė taip pat labai paprasta:

Pavyzdžiai:

Raskite funkcijos išvestinę.
Kas yra funkcijos išvestinė?

Atsakymai: Eksponentinis ir natūralusis logaritmas yra unikaliai paprastos funkcijos iš išvestinės perspektyvos. Eksponentinės ir logaritminės funkcijos su bet kuria kita baze turės skirtingą išvestinę, kurią išanalizuosime vėliau, susipažinę su diferenciacijos taisyklėmis.

Diferencijavimo taisyklės

Taisyklės ko? Vėl naujas terminas, vėl?!...

Diferencijavimas yra išvestinės paieškos procesas.

Tai viskas. Kaip dar vienu žodžiu galima pavadinti šį procesą? Ne išvestinė... Matematikai diferencialą vadina tuo pačiu funkcijos prieaugiu ties. Šis terminas kilęs iš lotyniško diferencia – skirtumas. Čia.

Išvesdami visas šias taisykles naudosime dvi funkcijas, pavyzdžiui, ir. Mums taip pat reikės jų padidėjimo formulių:

Iš viso yra 5 taisyklės.

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo.

Jei - koks nors pastovus skaičius (konstanta), tada.

Akivaizdu, kad ši taisyklė galioja ir skirtumui: .

Įrodykime tai. Tebūnie, arba paprasčiau.

Pavyzdžiai.

Raskite funkcijų išvestinius:

taške;
taške;
taške;
taške.

Sprendimai:

(išvestinė visuose taškuose yra vienoda, nes tai tiesinė funkcija, pamenate?);

Produkto darinys

Čia viskas panašiai: pristatykime naują funkciją ir suraskime jos prieaugį:

Išvestinė:

Pavyzdžiai:

Raskite funkcijų ir išvestines;
Raskite funkcijos išvestinę taške.

Sprendimai:

Eksponentinės funkcijos išvestinė

Dabar jūsų žinių pakanka, kad išmoktumėte rasti bet kokios eksponentinės funkcijos išvestinę, o ne tik eksponentus (ar jau pamiršote, kas tai yra?).

Taigi, kur yra koks nors skaičius.

Mes jau žinome funkcijos išvestinę, todėl pabandykime sumažinti savo funkciją į naują bazę:

Norėdami tai padaryti, naudosime paprastą taisyklę: . Tada:

Na, pavyko. Dabar pabandykite rasti išvestinę ir nepamirškite, kad ši funkcija yra sudėtinga.

Įvyko?

Čia patikrinkite save:

Formulė pasirodė labai panaši į eksponento išvestinę: tokia, kokia buvo, išlieka ta pati, atsirado tik veiksnys, kuris yra tik skaičius, bet ne kintamasis.

Pavyzdžiai:
Raskite funkcijų išvestinius:

Atsakymai:

Tai tik skaičius, kurio negalima apskaičiuoti be skaičiuoklės, tai yra, jo negalima užrašyti paprastesne forma. Todėl atsakyme paliekame jį tokia forma.

Atkreipkite dėmesį, kad čia yra dviejų funkcijų koeficientas, todėl taikome atitinkamą diferenciacijos taisyklę:

Šiame pavyzdyje dviejų funkcijų sandauga:

Logaritminės funkcijos išvestinė

Čia panašiai: jūs jau žinote natūraliojo logaritmo išvestinę:

Todėl, norėdami rasti savavališką logaritmą su kita baze, pavyzdžiui:

Turime sumažinti šį logaritmą iki pagrindo. Kaip pakeisti logaritmo bazę? Tikiuosi, kad prisiminsite šią formulę:

Tik dabar vietoj to rašysime:

Vardiklis yra tiesiog konstanta (pastovus skaičius, be kintamojo). Išvestinė gaunama labai paprastai:

Vieningame valstybiniame egzamine eksponentinių ir logaritminių funkcijų išvestinių beveik niekada nerandama, tačiau jas žinoti nebus nereikalinga.

Sudėtingos funkcijos išvestinė.

Kas yra „sudėtinga funkcija“? Ne, tai ne logaritmas ir ne arctangentas. Šias funkcijas gali būti sunku suprasti (nors jei logaritmas jums sunkus, perskaitykite temą „Logaritmai“ ir viskas bus gerai), tačiau matematiniu požiūriu žodis „sudėtingas“ nereiškia „sunkus“.

Įsivaizduokite nedidelį konvejerį: du žmonės sėdi ir atlieka veiksmus su kokiais nors daiktais. Pavyzdžiui, pirmasis įvynioja šokolado plytelę į popierių, o antrasis – perriša juostele. Rezultatas yra sudėtinis objektas: šokolado plytelė, apvyniota ir perrišta kaspinu. Norėdami valgyti šokolado plytelę, turite atlikti atvirkštinius veiksmus atvirkštine tvarka.

Sukurkime panašų matematinį konvejerį: pirmiausia rasime skaičiaus kosinusą, o tada gautą skaičių pakelkime kvadratu. Taigi, mums suteikiamas skaičius (šokoladas), aš surandu jo kosinusą (įvynioklis), o tada tu kvadratuoji tai, ką gavau (susiriši kaspinu). Kas nutiko? Funkcija. Tai yra sudėtingos funkcijos pavyzdys: kai norėdami rasti jos reikšmę, pirmą veiksmą atliekame tiesiogiai su kintamuoju, o po to antrą veiksmą su tuo, kas atsirado dėl pirmojo.

Kitaip tariant, sudėtinga funkcija yra funkcija, kurios argumentas yra kita funkcija: .

Mūsų pavyzdžiu,.

Tuos pačius veiksmus galime nesunkiai atlikti atvirkštine tvarka: pirmiausia pakelkite kvadratą, o tada ieškau gauto skaičiaus kosinuso: . Nesunku atspėti, kad rezultatas beveik visada bus kitoks. Svarbi kompleksinių funkcijų ypatybė: pasikeitus veiksmų tvarkai, keičiasi ir funkcija.

Antras pavyzdys: (tas pats). .

Veiksmas, kurį atliekame paskutiniai, bus vadinamas „išorinė“ funkcija, o pirmiausia atliktas veiksmas – atitinkamai „vidinė“ funkcija(tai neoficialūs pavadinimai, juos naudoju tik medžiagai paaiškinti paprasta kalba).

Pabandykite patys nustatyti, kuri funkcija yra išorinė, o kuri vidinė:

Atsakymai: Vidinių ir išorinių funkcijų atskyrimas labai panašus į kintamųjų keitimą: pavyzdžiui, funkcijoje

Kokį veiksmą atliksime pirmiausia? Pirmiausia apskaičiuokime sinusą, o tik tada supjaustykime kubu. Tai reiškia, kad tai vidinė, bet išorinė funkcija.
O pradinė funkcija yra jų sudėtis: .
Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:.
Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:.
Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:.
Vidinis: ; išorinis: .
Egzaminas:.

Keičiame kintamuosius ir gauname funkciją.

Na, o dabar išgausime savo šokolado plytelę ir ieškosime darinio. Procedūra visada yra atvirkštinė: pirmiausia ieškome išorinės funkcijos išvestinės, tada rezultatą dauginame iš vidinės funkcijos išvestinės. Kalbant apie pradinį pavyzdį, jis atrodo taip:

Kitas pavyzdys:

Taigi, pagaliau suformuluokime oficialią taisyklę:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Atrodo paprasta, tiesa?

Patikrinkime su pavyzdžiais:

Sprendimai:

1) Vidinis: ;

Išorinis: ;

2) Vidinis: ;

(Tik nemėginkite jo iškirpti! Niekas neišnyra iš po kosinuso, pamenate?)

3) Vidinis: ;

Išorinis: ;

Iš karto aišku, kad tai trijų lygių kompleksinė funkcija: juk tai jau pati savaime yra kompleksinė funkcija, iš jos ištraukiame ir šaknį, tai yra, atliekame trečią veiksmą (šokoladą dedame į vyniotinį). ir su kaspinu portfelyje). Tačiau baimintis nėra pagrindo: šią funkciją vis tiek „išpakuosime“ ta pačia tvarka, kaip įprasta: nuo galo.

Tai yra, pirmiausia skiriame šaknį, tada kosinusą ir tik tada išraišką skliausteliuose. Ir tada viską padauginame.

Tokiais atvejais patogu sunumeruoti veiksmus. Tai yra, įsivaizduokime, ką žinome. Kokia tvarka atliksime veiksmus, kad apskaičiuotume šios išraiškos reikšmę? Pažiūrėkime į pavyzdį:

Kuo vėliau veiksmas bus atliktas, tuo „išoriškesnė“ bus atitinkama funkcija. Veiksmų seka yra tokia pati kaip ir anksčiau:

Čia lizdas paprastai yra 4 lygių. Nustatykime veiksmų eigą.

1. Radikali išraiška. .

2. Šaknis. .

3. Sinusas. .

4. Kvadratas. .

5. Viską sudėti:

IŠVEDINĖ. TRUMPAI APIE PAGRINDINIUS DALYKUS

Funkcijos išvestinė- funkcijos padidėjimo ir argumento prieaugio santykis be galo mažam argumento prieaugiui:

Pagrindiniai dariniai:

Atskyrimo taisyklės:

Konstanta išimama iš išvestinio ženklo:

Sumos išvestinė:

Produkto darinys:

Dalinio išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinė:

Sudėtingos funkcijos išvestinės paieškos algoritmas:

Mes apibrėžiame „vidinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
Mes apibrėžiame „išorinę“ funkciją ir randame jos išvestinę.
Pirmo ir antrojo punktų rezultatus padauginame.

Pateikiami išvestinių skaičiavimo, naudojant kompleksinės funkcijos išvestinės formulę, pavyzdžiai.

Turinys

Taip pat žiūrėkite: Sudėtinės funkcijos išvestinės formulės įrodymas

Pagrindinės formulės

Pateikiame šių funkcijų išvestinių skaičiavimo pavyzdžių:
; ; ; ; .

Jei funkcija gali būti pavaizduota kaip sudėtinga funkcija tokia forma:
,
tada jo išvestinė nustatoma pagal formulę:
.
Toliau pateiktuose pavyzdžiuose šią formulę parašysime taip:
.
Kur.
Čia apatiniai indeksai arba , esantys po išvestiniu ženklu, žymi kintamuosius, pagal kuriuos atliekamas diferencijavimas.

Paprastai išvestinių lentelėse pateikiamos funkcijų išvestinės iš kintamojo x. Tačiau x yra formalus parametras. Kintamąjį x galima pakeisti bet kuriuo kitu kintamuoju. Todėl, atskirdami funkciją nuo kintamojo, išvestinių lentelėje kintamąjį x tiesiog pakeičiame į kintamąjį u.

Paprasti pavyzdžiai

1 pavyzdys

Raskite sudėtingos funkcijos išvestinę
.

Parašykime pateiktą funkciją ekvivalentine forma:
.
Darinių lentelėje randame:
;
.

Pagal sudėtingos funkcijos išvestinės formulę turime:
.
čia .

2 pavyzdys

Raskite išvestinę
.

Iš išvestinio ženklo paimame konstantą 5 ir iš išvestinių lentelės randame:
.

.
čia .

3 pavyzdys

Raskite išvestinę
.

Išimame konstantą -1 vedinio ženklui ir iš vedinių lentelės randame:
;
Iš darinių lentelės randame:
.

Taikome sudėtingos funkcijos išvestinės formulę:
.
čia .

Sudėtingesni pavyzdžiai

Sudėtingesniuose pavyzdžiuose sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę taikome kelis kartus. Šiuo atveju išvestinę skaičiuojame nuo galo. Tai yra, suskaidome funkciją į sudedamąsias dalis ir randame paprasčiausių dalių išvestinius darinių lentelė. Mes taip pat naudojame sumų diferencijavimo taisyklės, produktai ir frakcijos. Tada atliekame pakaitalus ir taikome kompleksinės funkcijos išvestinės formulę.

4 pavyzdys

Raskite išvestinę
.

Pasirinkime paprasčiausią formulės dalį ir suraskime jos išvestinę. .

.
Čia mes panaudojome žymėjimą
.

Remdamiesi gautais rezultatais randame kitos pradinės funkcijos dalies išvestinę. Sumos diferencijavimui taikome taisyklę:
.

Dar kartą taikome sudėtingų funkcijų diferencijavimo taisyklę.

.
čia .

5 pavyzdys

Raskite funkcijos išvestinę
.

Pasirinkime paprasčiausią formulės dalį ir iš išvestinių lentelės suraskime jos išvestinę. .

Taikome sudėtingų funkcijų diferenciacijos taisyklę.
.
Čia
.

Išskirkime kitą dalį pagal gautus rezultatus.
.
Čia
.

Išskirkime kitą dalį.

.
Čia
.

Dabar randame norimos funkcijos išvestinę.

.
Čia
.

Taip pat žiūrėkite:

Ši pamoka skirta temai „Sudėtingų funkcijų diferencijavimas. Problema iš pasirengimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui praktikos. Šioje pamokoje nagrinėjama, kaip atskirti sudėtingas funkcijas. Sudaroma sudėtingos funkcijos išvestinių lentelė. Be to, nagrinėjamas problemos sprendimo pavyzdys iš pasirengimo vieningam valstybiniam matematikos egzaminui.

Tema: Darinys

Pamoka: Sudėtingos funkcijos atskyrimas. Praktinė užduotis ruošiantis vieningam valstybiniam matematikos egzaminui

Sudėtingasfunkcija mes jau diferencijavome, bet argumentas buvo tiesinė funkcija, ty mes žinome, kaip atskirti funkciją . Pavyzdžiui, . Dabar lygiai taip pat rasime kompleksinės funkcijos išvestinius, kur vietoj tiesinės funkcijos gali būti kita funkcija.

Pradėkime nuo funkcijos

Taigi, mes radome sinuso išvestinę iš kompleksinės funkcijos, kur sinuso argumentas buvo kvadratinė funkcija.

Jei reikia rasti išvestinės vertę konkrečiame taške, tai šis taškas turi būti pakeistas rasta išvestine.

Taigi, dviejuose pavyzdžiuose pamatėme, kaip taisyklė veikia diferenciacija kompleksas funkcijas.

3. . Leiskite jums tai priminti.

8. .

Taigi šiame etape užbaigsime sudėtingų funkcijų diferenciacijos lentelę. Be to, žinoma, jis bus dar labiau apibendrintas, bet dabar pereikime prie konkrečių išvestinių problemų.

Rengiantis vieningam valstybiniam egzaminui praktikoje siūlomos šios užduotys.

Raskite funkcijos minimumą .

ODZ: .

Raskime išvestinę. Prisiminkime tai, .

Išvestinę prilyginkime nuliui. Taškas įtrauktas į ODZ.

Raskime išvestinės pastovaus ženklo intervalus (funkcijos monotoniškumo intervalus) (žr. 1 pav.).

Ryžiai. 1. Funkcijos monotoniškumo intervalai .

Pažiūrėkime į tašką ir išsiaiškinkime, ar tai kraštutinis taškas. Pakankamas ekstremumo požymis yra tai, kad išvestinė, eidama per tašką, keičia ženklą. Šiuo atveju išvestinė keičia ženklą, o tai reiškia, kad tai yra ekstremumo taškas. Kadangi išvestinė keičia ženklą iš „-“ į „+“, tai yra minimalus taškas. Raskime funkcijos reikšmę minimaliame taške: . Nubraižykime schemą (žr. 2 pav.).

2 pav. Funkcijos ekstremumas .

Ant intervalo - funkcija mažėja, įjungta - funkcija didėja, ekstremumo taškas yra unikalus. Funkcija įgauna mažiausią reikšmę tik taške .

Pamokos metu pažvelgėme į sudėtingų funkcijų diferencijavimą, sudarėme lentelę ir apžvelgėme sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisykles, pateikėme išvestinės panaudojimo pavyzdį iš pasirengimo vieningam valstybiniam egzaminui praktikos.

1. Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Vadovėlis bendrojo ugdymo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra ir analizės pradžia, 10 balas (dviejų dalių). Probleminė knyga švietimo įstaigoms (profilio lygis), red. A. G. Mordkovičius. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N.Ya., Ivashev-Musatov O.S., Shvartsburd S.I. Algebra ir matematinė analizė 10 klasei (vadovėlis mokyklų ir klasių mokiniams, turintiems išplėstinį matematikos mokymąsi - M.: Prosveshchenie, 1996).

4. Galitsky M.L., Moshkovich M.M., Shvartsburd S.I. Išsamus algebros ir matematinės analizės tyrimas.-M.: Prosveshchenie, 1997.

5. Matematikos uždavinių rinkinys stojantiesiems į aukštąsias mokyklas (redagavo M.I. Skanavi - M.: Aukštoji mokykla, 1992).

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebrinis simuliatorius.-K.: A.S.K., 1997 m.

7. Zvavich L.I., Shlyapochnik L.Ya., Chinkina Algebra ir analizės pradžia. 8-11 klasės: Vadovas mokykloms ir klasėms su giluminiu matematikos mokymu (didaktinė medžiaga - M.: Bustard, 2002).

8. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Algebros uždaviniai ir analizės principai (vadovas bendrojo ugdymo įstaigų 10-11 klasių mokiniams - M.: Prosveshchenie, 2003).

9. Karpas A.P. Algebros ir analizės principų uždavinių rinkinys: vadovėlis. priedą už 10-11 klases. su gyliu studijavo Matematika.-M.: Edukacija, 2006 m.

10. Glazer G.I. Matematikos istorija mokykloje. 9-10 klasės (vadovas mokytojams).-M.: Išsilavinimas, 1983 m

Papildomi žiniatinklio ištekliai

2. Gamtos mokslų portalas ().

Pasigaminkite namuose

Nr. 42.2, 42.3 (Algebra ir analizės pradžia, 10 klasė (iš dviejų dalių). Probleminė knyga bendrojo ugdymo įstaigoms (profilio lygis) redagavo A. G. Mordkovich. - M.: Mnemosyne, 2007.)

Jei laikotės apibrėžimo, tada funkcijos išvestinė taške yra funkcijos Δ prieaugio santykio riba. y prie argumento prieaugio Δ x:

Viskas lyg ir aišku. Bet pabandykite naudoti šią formulę, kad apskaičiuotumėte, tarkime, funkcijos išvestinę f(x) = x 2 + (2x+ 3) · e x nuodėmė x. Jei viską darysite pagal apibrėžimą, po poros puslapių skaičiavimų jūs tiesiog užmigsite. Todėl yra paprastesnių ir efektyvesnių būdų.

Pirmiausia pažymime, kad iš visos funkcijų įvairovės galime išskirti vadinamąsias elementarias funkcijas. Tai gana paprasti posakiai, kurių išvestinės jau seniai skaičiuojamos ir pateikiamos lentelėse. Tokias funkcijas gana lengva įsiminti – kartu su jų dariniais.

Elementariųjų funkcijų dariniai

Visos toliau išvardytos pagrindinės funkcijos. Šių funkcijų išvestinius reikia žinoti mintinai. Be to, juos įsiminti visai nesunku - štai kodėl jie elementarūs.

Taigi, elementariųjų funkcijų išvestiniai:

vardas	Funkcija	Darinys
Pastovus	f(x) = C, C ∈ R	0 (taip, nulis!)
Galia su racionaliuoju rodikliu	f(x) = x n	n · x n − 1
Sinusas	f(x) = nuodėmė x	cos x
Kosinusas	f(x) = cos x	− nuodėmė x(minus sinusas)
Tangentas	f(x) = tg x	1/cos 2 x
Kotangentas	f(x) = ctg x	– 1 / nuodėmė 2 x
Natūralus logaritmas	f(x) = žurnalas x	1/x
Savavališkas logaritmas	f(x) = žurnalas a x	1/(x ln a)
Eksponentinė funkcija	f(x) = e x	e x(Niekas nepasikeitė)

Jei elementari funkcija padauginama iš savavališkos konstantos, tada naujos funkcijos išvestinė taip pat lengvai apskaičiuojama:

(C · f)’ = C · f ’.

Apskritai konstantas galima išimti iš išvestinės ženklo. Pavyzdžiui:

(2x 3)' = 2 · ( x 3)' = 2 3 x 2 = 6x 2 .

Akivaizdu, kad elementarias funkcijas galima sudėti viena į kitą, padauginti, padalyti – ir dar daugiau. Taip atsiras naujos funkcijos, nebe itin elementarios, bet ir diferencijuotos pagal tam tikras taisykles. Šios taisyklės aptariamos toliau.

Sumos ir skirtumo išvestinė

Tegul funkcijos pateikiamos f(x) Ir g(x), kurių vediniai mums žinomi. Pavyzdžiui, galite paimti pirmiau aptartas elementarias funkcijas. Tada galite rasti šių funkcijų sumos ir skirtumo išvestinę:

(f + g)’ = f ’ + g ’
(f − g)’ = f ’ − g ’

Taigi dviejų funkcijų sumos (skirtumo) išvestinė yra lygi išvestinių sumai (skirtumui). Gali būti ir daugiau terminų. Pavyzdžiui, ( f + g + h)’ = f ’ + g ’ + h ’.

Griežtai kalbant, algebroje nėra „atimties“ sąvokos. Yra sąvoka „neigiamas elementas“. Todėl skirtumas f − g galima perrašyti į sumą f+ (-1) g, o tada lieka tik viena formulė – sumos išvestinė.

f(x) = x 2 + sin x; g(x) = x 4 + 2x 2 − 3.

Funkcija f(x) yra dviejų elementariųjų funkcijų suma, todėl:

f ’(x) = (x 2 + nuodėmė x)’ = (x 2)' + (nuodėmė x)’ = 2x+ cos x;

Panašiai motyvuojame ir dėl funkcijos g(x). Tik jau yra trys terminai (algebros požiūriu):

g ’(x) = (x 4 + 2x 2 − 3)’ = (x 4 + 2x 2 + (−3))’ = (x 4)’ + (2x 2)’ + (−3)’ = 4x 3 + 4x + 0 = 4x · ( x 2 + 1).

Atsakymas:
f ’(x) = 2x+ cos x;
g ’(x) = 4x · ( x 2 + 1).

Produkto darinys

Matematika yra loginis mokslas, todėl daugelis žmonių mano, kad jei sumos išvestinė yra lygi išvestinių sumai, tai sandaugos išvestinė streikuoti">lygus išvestinių sandaugai. Bet sukiškite! Produkto išvestinė apskaičiuojama naudojant visiškai kitą formulę. Būtent:

(f · g) ’ = f ’ · g + f · g ’

Formulė paprasta, bet dažnai pamirštama. Ir ne tik moksleiviai, bet ir studentai. Rezultatas – neteisingai išspręstos problemos.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = x 3 cos x; g(x) = (x 2 + 7x− 7) · e x .

Funkcija f(x) yra dviejų elementarių funkcijų sandauga, todėl viskas paprasta:

f ’(x) = (x 3 cos x)’ = (x 3)“ cos x + x 3 (kai x)’ = 3x 2 cos x + x 3 (-nuodėmė x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x)

Funkcija g(x) pirmasis daugiklis yra šiek tiek sudėtingesnis, tačiau bendra schema nesikeičia. Akivaizdu, kad pirmasis funkcijos veiksnys g(x) yra daugianario, o jo išvestinė yra sumos išvestinė. Mes turime:

g ’(x) = ((x 2 + 7x− 7) · e x)’ = (x 2 + 7x− 7)“ · e x + (x 2 + 7x− 7) · ( e x)’ = (2x+ 7) · e x + (x 2 + 7x− 7) · e x = e x· (2 x + 7 + x 2 + 7x −7) = (x 2 + 9x) · e x = x(x+ 9) · e x .

Atsakymas:
f ’(x) = x 2 (3 cos x − x nuodėmė x);
g ’(x) = x(x+ 9) · e x .

Atkreipkite dėmesį, kad paskutiniame etape išvestinė yra faktorizuojama. Formaliai to daryti nereikia, tačiau dauguma išvestinių skaičiuojamos ne pačios, o funkcijai ištirti. Tai reiškia, kad toliau išvestinė bus prilyginama nuliui, nustatomi jos ženklai ir pan. Tokiam atvejui išraišką geriau naudoti faktoriais.

Jei yra dvi funkcijos f(x) Ir g(x), ir g(x) ≠ 0 mus dominančioje aibėje, galime apibrėžti naują funkciją h(x) = f(x)/g(x). Tokiai funkcijai taip pat galite rasti išvestinę:

Ne silpna, tiesa? Iš kur atsirado minusas? Kodėl g 2? Ir taip! Tai viena iš sudėtingiausių formulių – be butelio to nesuprasi. Todėl geriau ją ištirti konkrečiais pavyzdžiais.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius:

Kiekvienos trupmenos skaitiklyje ir vardiklyje yra elementarios funkcijos, todėl mums tereikia koeficiento išvestinės formulės:

Pagal tradiciją skaitiklį suskaidykime faktoriais – tai labai supaprastins atsakymą:

Sudėtinga funkcija nebūtinai yra pusės kilometro ilgio formulė. Pavyzdžiui, pakanka paimti funkciją f(x) = nuodėmė x ir pakeiskite kintamąjį x, tarkim, įjungta x 2 + ln x. Tai pavyks f(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x) – tai sudėtinga funkcija. Ji taip pat turi išvestinę, tačiau jos nebus galima rasti naudojant aukščiau aptartas taisykles.

Ką turėčiau daryti? Tokiais atvejais sudėtingos funkcijos išvestinės kintamojo ir formulės pakeitimas padeda:

f ’(x) = f ’(t) · t', jei x pakeičiamas t(x).

Paprastai situacija su šios formulės supratimu yra dar liūdnesnė nei su koeficiento išvestine. Todėl taip pat geriau tai paaiškinti naudojant konkrečius pavyzdžius, išsamiai aprašant kiekvieną veiksmą.

Užduotis. Raskite funkcijų išvestinius: f(x) = e 2x + 3 ; g(x) = nuodėmė ( x 2 + ln x)

Atkreipkite dėmesį, kad jei funkcijoje f(x) vietoj 2 išraiškos x+3 bus lengva x, tada gauname elementariąją funkciją f(x) = e x. Todėl pakeičiame: leiskite 2 x + 3 = t, f(x) = f(t) = e t. Sudėtingos funkcijos išvestinės ieškome naudodami formulę:

f ’(x) = f ’(t) · t ’ = (e t)’ · t ’ = e t · t ’

O dabar – dėmesio! Atliekame atvirkštinį keitimą: t = 2x+ 3. Gauname:

f ’(x) = e t · t ’ = e 2x+ 3 (2 x + 3)’ = e 2x+ 3 2 = 2 e 2x + 3

Dabar pažiūrėkime į funkciją g(x). Akivaizdu, kad jį reikia pakeisti x 2 + ln x = t. Mes turime:

g ’(x) = g ’(t) · t' = (nuodėmė t)’ · t' = cos t · t ’

Atvirkštinis pakeitimas: t = x 2 + ln x. Tada:

g ’(x) = cos ( x 2 + ln x) · ( x 2 + ln x)' = cos ( x 2 + ln x) · (2 x + 1/x).

Tai viskas! Kaip matyti iš paskutinės išraiškos, visa problema buvo sumažinta iki išvestinės sumos apskaičiavimo.

Atsakymas:
f ’(x) = 2 · e 2x + 3 ;
g ’(x) = (2x + 1/x) cos ( x 2 + ln x).

Labai dažnai pamokose vietoj termino „išvestinė“ vartoju žodį „pirminis“. Pavyzdžiui, sumos smūgis yra lygus smūgių sumai. Ar taip aiškiau? Na, tai yra gerai.

Taigi, apskaičiuojant išvestinę sumą, reikia atsikratyti tų pačių smūgių pagal aukščiau aptartas taisykles. Kaip paskutinį pavyzdį, grįžkime prie išvestinės galios su racionaliuoju rodikliu:

(x n)’ = n · x n − 1

Nedaug žmonių tai žino vaidmenyje n gali būti trupmeninis skaičius. Pavyzdžiui, šaknis yra x 0.5. Ką daryti, jei po šaknimi yra kažkas įmantraus? Vėlgi, rezultatas bus sudėtinga funkcija - tokias konstrukcijas jie mėgsta duoti testuose ir egzaminuose.