Kotangento x išvestinė. Trigonometrinių funkcijų dariniai: liestinė, sinusas, kosinusas ir kt. Išvestinės trigonometrinių funkcijų formulės

Išvestinė kintamojo x atžvilgiu iš x kotangento yra lygi minus vienetui, padalytam iš x sinuso kvadrato:
(ctg x)′ =.

Kotangentinės išvestinės formulės išvedimas

Norėdami gauti kotangento išvestinės formulę, naudosime šiuos matematinius faktus:
1) Kotangento išreiškimas kosinusu ir sinusu:
(1) ;
2) Kosinuso išvestinės vertė:
(2) ;
3) Sinuso išvestinės vertė:
(3) ;
4) Dalinio išvestinės formulė:
(4) ;
5) Trigonometrinė formulė:
(5) .

Šias formules ir taisykles taikome kotangento išvestinei.

.

Taigi gavome kotangento išvestinės formulę.

Išvestinės trupmenos formulė (4) galioja toms kintamojo x reikšmėms, kurių funkcijų išvestinės yra ir kurių trupmenos vardiklis neišnyksta:
.
Mūsų atveju
, . Kadangi kosinuso ir sinuso išvestinės yra apibrėžtos visoms kintamojo x reikšmėms, kotangento išvestinės formulė galioja visiems x, išskyrus taškus, kuriuose sinusas yra lygus nuliui. Tai yra, išskyrus taškus
,
kur yra sveikasis skaičius.
Pati funkcija y = ctg x apibrėžta visiems x, išskyrus taškus
.
Štai kodėl kotangento išvestinė apibrėžiama visoje kotangentinės funkcijos apibrėžimo srityje.

Aukštesnės eilės išvestinės priemonės

Paprasta kotangento y = n-osios eilės išvestinės formulė ctg x, Nr. Tačiau aukštesnės eilės išvestinių finansinių priemonių apskaičiavimas gali būti supaprastintas. Pats procesas gali būti sumažintas iki diferencijuojant daugianarį.

Norėdami tai padaryti, kotangento išvestinę išreiškiame per patį kotangentą:
.
Taigi mes radome:
(6) .

Raskime (6) lygties kairiosios ir dešiniosios pusių išvestines ir pritaikykime kompleksinės funkcijos diferencijavimo taisyklę. Mes gauname antros eilės išvestinė:
.
Pakeiskime (6):
(7) .

Raskime trečios eilės išvestinę. Norėdami tai padaryti, diferencijuojame (7) lygtį, taikome sudėtingos funkcijos diferencijavimo taisyklę ir pirmajai išvestinei naudojame išraišką (6):
.

Panašiai randame ketvirtos ir penktos eilės dariniai:

;

.

Apskritai, n-osios eilės išvestinė, kotangentinės funkcijos kintamajame x , gali būti pavaizduotas kaip daugianomas kotangento laipsniais:
.
Šio daugianario koeficientai yra susieti pasikartojimo ryšiu:
,
Kur
; ;
.

Bendroji formulė

Įsivaizduokime diferenciacijos procesą viena formule. Norėdami tai padaryti, atkreipkite dėmesį į tai
.
Tada n-oji kotangento išvestinė turi tokią formą:
,
Kur.

Dažniausiai užduodami klausimai

Ar galima padaryti antspaudą ant dokumento pagal pateiktą pavyzdį? Atsakymas Taip, tai įmanoma. Atsiųskite nuskaitytą kopiją ar geros kokybės nuotrauką mūsų el. pašto adresu ir mes padarysime reikiamą dublikatą.

Kokius mokėjimo tipus sutinkate? Atsakymas Už dokumentą galite atsiskaityti jį gavus kurjeriui, patikrinus diplomo užpildymo teisingumą ir įforminimo kokybę. Tai galima padaryti ir pašto įmonių, siūlančių grynųjų pinigų pristatymo paslaugas, biuruose.
Visos pristatymo ir apmokėjimo už dokumentus sąlygos aprašytos skyriuje „Apmokėjimas ir pristatymas“. Taip pat esame pasirengę išklausyti jūsų pasiūlymus dėl dokumento pristatymo ir apmokėjimo sąlygų.

Ar galiu būti tikras, kad po užsakymo nedingsite su mano pinigais? Atsakymas Turime gana ilgametę patirtį diplomų gamybos srityje. Turime keletą svetainių, kurios nuolat atnaujinamos. Mūsų specialistai dirba įvairiose šalies vietose, per dieną parengdami virš 10 dokumentų. Bėgant metams mūsų dokumentai daugeliui žmonių padėjo išspręsti įsidarbinimo problemas arba pereiti į geriau apmokamą darbą. Užsitarnavome klientų pasitikėjimą ir pripažinimą, todėl nėra jokios priežasties tai daryti. Be to, to padaryti tiesiog neįmanoma fiziškai: už užsakymą sumokate gavę jį į rankas, išankstinio apmokėjimo nėra.

Ar galiu užsisakyti bet kurio universiteto diplomą? Atsakymas Apskritai, taip. Šioje srityje dirbame beveik 12 metų. Per šį laiką buvo suformuota beveik išbaigta beveik visų šalies universitetų išduotų dokumentų, išduotų skirtingais išdavimo metais, duomenų bazė. Tereikia pasirinkti universitetą, specialybę, dokumentą ir užpildyti užsakymo formą.

Ką daryti, jei dokumente radote rašybos klaidų? Atsakymas Gavę dokumentą iš mūsų kurjerio ar pašto įmonės, rekomenduojame atidžiai patikrinti visus duomenis. Pastebėjus rašybos klaidą, klaidą ar netikslumą, turite teisę diplomo neatsiimti, tačiau apie pastebėtus trūkumus turite pranešti asmeniškai kurjeriui arba raštu, atsiųsdami el.
Dokumentą kuo greičiau pataisysime ir iš naujo išsiųsime nurodytu adresu. Žinoma, siuntimą apmokės mūsų įmonė.
Kad išvengtume tokių nesusipratimų, prieš pildydami pirminę formą klientui el. paštu išsiunčiame būsimo dokumento maketą, kad būtų galima patikrinti ir patvirtinti galutinę versiją. Prieš siųsdami dokumentą kurjeriu ar paštu, taip pat padarome papildomas nuotraukas ir vaizdo įrašus (taip pat ir ultravioletinėje šviesoje), kad galėtumėte aiškiai suprasti, ką galiausiai gausite.

Ką daryti norint užsisakyti diplomą iš jūsų įmonės? Atsakymas Norėdami užsisakyti dokumentą (pažymėjimą, diplomą, akademinį pažymėjimą ir pan.), turite užpildyti internetinę užsakymo formą mūsų svetainėje arba pateikti savo el. mums.
Jei nežinote, ką nurodyti kuriame nors užsakymo formos/anketos laukelyje, palikite juos tuščius. Todėl visą trūkstamą informaciją patikslinsime telefonu.

Naujausios apžvalgos

Torywild:

Nusprendžiau nusipirkti diplomą iš jūsų įmonės, kai persikėliau gyventi į kitą miestą ir neradau diplomo tarp savo daiktų. Be jo nebūčiau priimtas į gerą, gerai apmokamą darbą. Jūsų konsultantas patikino, kad ši informacija nėra atskleista, niekas neatskirs dokumento nuo originalo. Abejonių nebuvo, bet turėjau rizikuoti. Man patiko, kad nereikia išankstinio apmokėjimo. Apskritai diplomą gavau laiku ir manęs neapgavo. Ačiū!

Oksana Ivanovna:

Kai pavogė diplomą, siaubingai susierzinau. Juk kaip tik tuo metu buvau atleistas iš darbo, o dabar be aukštojo mokslo diplomo rasti gerą darbą beveik neįmanoma. Laimei, kaimynas pasiūlė susisiekti su jūsų organizacija. Iš pradžių žiūrėjau skeptiškai, bet nusprendžiau surizikuoti. Paskambinau įmonės vadovui ir paaiškinau savo situaciją. Ir man pasisekė! Jie viską padarė operatyviai, o svarbiausia – pažadėjo neatskleisti mano paslapties. Nerimavau, kad vėliau neišaiškės faktas, kad įsigijau diplomą.

Masha Kutenkova:

Ačiū už darbą! Užsisakiau diplomą nuo 1991 m. Pradėjus kelti dokumentus paaiškėjo, kad patirties mažai, reikia ir išsilavinimą patvirtinančio popieriaus. Aš neturėjau, o viršininkė tai žinojo, ir ji pati rekomendavo jūsų įmonę (matyt, aš niekuo nepanašus į darbuotoją). Ant dokumento ji man nurodė smulkmenas – sako, kokiais metais naudoja rašalą ar rašalą, parašo storį ir pan. Ačiū už kruopštumą ir kokybę!

LenOK:

Perskaičiusi istorijas apie gėdingus darbuotojų atleidimus, kurių diplomai buvo atspausdinti spalvotu spausdintuvu, nuėjau kreiptis į universitetą. Deja, nėra biudžeto, nėra pinigų studijoms ir nėra pinigų susimokėti už sesijas, todėl teko rizikuoti. Nors labai džiaugiuosi, kad sutikau jūsų kompaniją. Nors į darbą su tavo diplomu nesu dėl praktinio bloko nesėkmės, tai ne tavo kaltė. Kai tik rasiu naują vietą, nedelsdamas atvyksiu tiesiai pas jus!

Džeris Terry:

Žiūrint su kokia gėda kolega buvo išmesta iš darbo dėl netikro diplomo, buvo baisu pasekti jo pavyzdžiu. Jei ne mano krikšto mama, kuri užsakė pas tave, nebūčiau rizikavusi. Ji patikino, kad čia viskas sklandžiai, o mano vardas bus visur, kur tik reikės. Turėjau 4 dienas viską padaryti. Dėkojame už greitumą – jį atlikome per 3, taip pat sugebėjome kruopščiai išstudijuoti dokumentų klastojimo būdus, tačiau jūsų forma nelaikytina padirbta, vadinasi, ji bus tinkama originalui.

Andrejus:

Niekada nebūčiau pagalvojusi, kad teks nusipirkti diplomą. Po mokyklos dukra išvyko dirbti į Lenkiją, kai grįžo po 5 metų, norėjo įsidarbinti drabužių dizainere vietiniuose mados namuose. Be diplomo niekas nenorėjo jos priimti į darbą. Jis suprato, kad jei negaus šio darbo, vėl išeis. Vakarą praleidau naršydamas internete, o ryte jau buvau biure su dukros dokumentais. Po savaitės jis išsinešė su savimi diplomą, o ji pagaliau liko dirbti savo mieste norimose pareigose. Tu neįsivaizduoji, koks aš tau dėkingas!

Iš geometrijos ir matematikos kursų moksleiviai yra pripratę prie to, kad išvestinės sąvoka jiems perteikiama per figūros plotą, diferencialus, funkcijų ribas, taip pat ribas. Pabandykime pažvelgti į išvestinės sąvoką kitu kampu ir nustatyti, kaip galima susieti išvestinę ir trigonometrines funkcijas.

Taigi, panagrinėkime kokią nors savavališką kreivę, kurią apibūdina abstrakčioji funkcija y = f(x).

Įsivaizduokime, kad tvarkaraštis – turistinio maršruto žemėlapis. Prieaugis ∆x (delta x) paveiksle yra tam tikras kelio atstumas, o ∆y – tako aukščio virš jūros lygio pokytis.
Tada paaiškėja, kad santykis ∆x/∆y apibūdins maršruto sudėtingumą kiekviename maršruto atkarpoje. Sužinoję šią reikšmę, galite drąsiai teigti, ar pakilimas/nusileidimas status, ar prireiks laipiojimo įrangos, ar turistams reikia tam tikro fizinio pasirengimo. Bet šis rodiklis galios tik vienam nedideliam intervalui ∆x.

Jei kelionės organizatorius paims tako pradžios ir pabaigos taškų reikšmes, tai yra, ∆x yra lygus maršruto ilgiui, tada jis negalės gauti objektyvių duomenų apie sunkumo laipsnį. kelionės. Todėl reikia sukonstruoti dar vieną grafiką, kuris charakterizuotų trasos pokyčių greitį ir „kokybę“, kitaip tariant, kiekvienam maršruto „metrui“ nustatys santykį ∆x/∆y.

Šis grafikas bus vaizdinė konkretaus kelio išvestinė ir objektyviai apibūdins jo pokyčius kiekviename dominančiame intervale. Tai labai paprasta patikrinti, o reikšmė ∆x/∆y yra ne kas kita, kaip tam tikros x ir y vertės diferencialas. Diferencijavimą taikykime ne konkrečioms koordinatėms, o visai funkcijai:

Išvestinės ir trigonometrinės funkcijos

Trigonometrinės funkcijos yra neatsiejamai susijusios su išvestinėmis. Tai galima suprasti iš toliau pateikto piešinio. Koordinačių ašies paveiksle pavaizduota funkcija Y = f (x) – mėlyna kreivė.

K (x0; f (x0)) yra savavališkas taškas, x0 + ∆x yra prieaugis išilgai OX ašies, o f (x0 + ∆x) yra prieaugis išilgai OY ašies tam tikrame taške L.

Nubrėžkime tiesę per taškus K ir L ir pastatykime statųjį trikampį KLN. Jei mintyse perkelsite segmentą LN išilgai grafiko Y = f (x), tada taškai L ir N bus linkę į reikšmes K (x0; f (x0)). Pavadinkime šį tašką sąlygine grafiko pradžia – riba, jei funkcija yra begalinė, bent viename iš intervalų ši tendencija taip pat bus begalinė, o jos ribinė reikšmė artima 0.

Šios tendencijos pobūdį galima apibūdinti pasirinkto taško liestine y = kx + b arba pradinės funkcijos dy išvestinės - žalios tiesės - grafiku.

Bet kur čia trigonometrija?! Viskas labai paprasta, apsvarstykite stačią trikampį KLN. Konkretaus taško K diferencialinė vertė yra kampo α arba ∠K liestinė:

Tokiu būdu galime apibūdinti išvestinės geometrinę reikšmę ir jos ryšį su trigonometrinėmis funkcijomis.

Išvestinės trigonometrinių funkcijų formulės

Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento transformacijos nustatant išvestinę turi būti įsimenamos.

Paskutinės dvi formulės nėra klaida, esmė ta, kad yra skirtumas tarp paprasto argumento išvestinės apibrėžimo ir funkcijos tomis pačiomis savybėmis.

Pažiūrėkime į lyginamąją lentelę su sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento išvestinių formulėmis:

Formulės taip pat buvo išvestos arcsinuso, arkosino, arktangento ir arkotangento dariniams, nors jos naudojamos itin retai:

Verta paminėti, kad aukščiau pateiktų formulių aiškiai nepakanka norint sėkmingai išspręsti tipines USE užduotis, kurios bus parodytos sprendžiant konkretų trigonometrinės išraiškos išvestinės radimo pavyzdį.

Pratimas: Būtina rasti funkcijos išvestinę ir rasti jos reikšmę π/4:

Sprendimas: Norint rasti y’, reikia prisiminti pagrindines formules, kaip pirminę funkciją paversti išvestine, būtent.