amatai

pasikartojantys metodai. Pasikartojimo ryšių bendrieji ir specialieji sprendiniai Apskaičiuokite eilės n determinantus pasikartojimo ryšių metodu

Su dideliu stebėjimo duomenų kiekiu X baigtiniai tikimybės lygties sprendimo metodai sukelia didelių skaičiavimo sunkumų, susijusių su būtinybe atsiminti daugybę pradinių duomenų ir tarpinių skaičiavimų rezultatų. Šiuo atžvilgiu ypač domina pasikartojantys metodai, kai didžiausios tikimybės įvertis skaičiuojamas žingsniais palaipsniui didėjančiu tikslumu, kiekvienas žingsnis yra susijęs su naujų stebėjimo duomenų gavimu, o pasikartojanti procedūra sukonstruota taip, kad būtų saugoma atmintyje kuo mažiau duomenų iš ankstesnių.žingsniai. Papildomas ir labai reikšmingas privalumas praktiniu rekursinių metodų požiūriu yra pasirengimas paskelbti rezultatą bet kuriame tarpiniame žingsnyje.

Dėl to pasikartojančius metodus tikslinga naudoti net tais atvejais, kai baigtiniu metodu galima gauti tikslų didžiausios tikimybės lygties sprendimą, o dar vertingesni, kai neįmanoma rasti tikslios analitinės išraiškos maksimumui įvertinti. tikimybė.

Tegu stebėjimo duomenų aibė yra seka, kurios aprašymui įvedame vektorių . (Kaip visada, kiekvienas jo komponentas savo ruožtu gali būti vektorius, atsitiktinio proceso segmentas ir pan.). Leisti būti tikimybės funkcija ir

jo logaritmas. Pastarąjį visada galima pavaizduoti kaip

Stebėjimo duomenų rinkinio be paskutinės reikšmės logaritminė tikimybė ir

Reikšmės sąlyginės tikimybės tankio logaritmas nurodytoms ir reikšmėms.

Tikimybės funkcijos logaritmo atvaizdavimas (7.5.16) yra pagrindas gauti pasikartojančią didžiausios tikimybės įverčio apskaičiavimo procedūrą. Panagrinėkime įprastą atvejį. Šiuo atveju maksimalios tikimybės įvertį galima rasti kaip lygties sprendimą

kuri skiriasi nuo (7.1.6) tik įvedant indeksą p y tikimybs funkcijos logaritmas.

Pažymime šios lygties sprendimą, taip pabrėždami, kad šis įvertinimas buvo gautas iš stebėjimo duomenų visumos. Panašiai lygties sprendimu pažymėkime didžiausios tikimybės įvertinimą, gautą iš duomenų rinkinio .

Lygtį (7.5.19) galima perrašyti atsižvelgiant į (7.5.16) tokia forma:

Išplėskime kairę (7.5.20) pusę į Teiloro eilutę šalia taško . Kuriame

(7.5.22)

Funkcijos gradiento vektorius taške ; terminas išnyksta dėl to, kad , yra tikimybės lygties sprendimas ankstesnei (P - 1) žingsnis:

Tikimybės funkcijos logaritmo antrųjų išvestinių taške simetrinė matrica, paimta su priešingu ženklu, nerašyti plėtimosi nariai turi kvadratinę ir aukštesnę mažumo eilę skirtumo atžvilgiu. Nepaisydami pastarųjų, gauname tokį apytikslį didžiausios tikimybės lygties sprendimą:

kur yra atvirkštinė matrica.

Šis sprendimas pateikiamas pasikartojimo ryšio forma, kuri nustato kitą įverčio reikšmę per įvertinimą ankstesniame žingsnyje ir pataisą , priklauso nuo turimų stebėjimo duomenų tiesiogiai ir per ankstesnį vertinimą. Pataisa formuojama kaip naujai gautos reikšmės sąlyginės tikimybės tankio logaritmo gradiento sandauga X n taške, lygiame ankstesniam įvertinimui, į svorio matricą . Pastarasis nustatomas pagal išraišką (7.5.23) ir taip pat priklauso nuo įvertinimo ankstesniame žingsnyje, o jo priklausomybę nuo naujų stebėjimo duomenų visiškai lemia sąlyginės tikimybės tankio logaritmo forma.

Ryšio forma (7.5.24) yra labai panaši į (7.5.8), kuri įgyvendina iteracinį didžiausios tikimybės įverčio apskaičiavimo būdą Niutono metodu. Tačiau iš tikrųjų jie labai skiriasi vienas nuo kito. (7.5.8) ankstesnės įverčio vertės pataisa nustatoma pagal visos tikimybės funkcijos logaritmo gradiento dydį, kuris visada priklauso nuo visų turimų stebėjimo duomenų , todėl reikia prisiminti visą populiaciją. Pagal (7.5.24) pataisa į yra nustatoma pagal gradiento dydį, kuris dėl sąlyginės tikimybės tankio savybių iš tikrųjų priklauso tik nuo tų reikšmių (), kurios turi tvirtą statistinį ryšį. su X n. Šis skirtumas atsirado dėl specialaus ankstesnio aproksimavimo pasirinkimo, nes didžiausios tikimybės įvertis, nustatytas iš stebėjimo duomenų rinkinio, sumažintas viena reikšme, ir yra ypač ryškus nepriklausomoms () reikšmėms. Šiuo paskutiniu atveju

dėl kurių priklauso tik nuo ir X n , o gradientas yra tik iš ankstesnės įverčio reikšmės ir naujai gauto P- Stebėjimo duomenų žingsnis. Todėl norint sudaryti nepriklausomas reikšmes, norint sudaryti vektorių, nebūtina saugoti jokios kitos ankstesnio žingsnio informacijos, išskyrus įverčio vertę.

Panašiai ir Markovo stebėjimo duomenų sekos atveju, tai yra, kada

vektorius priklauso tik nuo , dabartinės ir vienos ankstesnės reikšmės . Šiuo atveju skaičiuojant iš ankstesnio žingsnio, be reikšmės , reikia atsiminti tik reikšmę , bet ne visą stebėjimo duomenų rinkinį, kaip iteracinėje procedūroje. Apskritai, skaičiuojant gali tekti išsaugoti didesnį skaičių ankstesnių reikšmių (), tačiau dėl būtinybės atsižvelgti tik į tas reikšmes, kurios statistiškai priklauso nuo , šis skaičius beveik visada yra mažesnis nei bendros stebėjimo duomenų rinkinio apimties. Taigi, jei vektorius apibūdina laiko seką, tai įsimintų šios sekos narių skaičius nustatomas pagal jos koreliacijos laiką, o jų santykinė dalis mažėja atvirkščiai proporcingai n, kaip ir nepriklausomų vertybių atveju.

Dabar panagrinėkime svorio matricos struktūrą, įtrauktą į pasikartojantį ryšį (7.5.24). Pagal apibrėžimą (7.5.23) dėl termino buvimo jis paprastai priklauso nuo visų reikšmių, net ir nepriklausomų reikšmių, o tai atima iš pasikartojimo ryšio (7.5.24) pranašumus, susijusius su galimas duomenų, saugomų nuo ankstesnio veiksmo, kiekio sumažinimas. Yra keletas būdų, kaip apytiksliai nustatyti matricą , kurie ištaiso šį trūkumą.

Pirmasis iš jų yra pagrįstas nuoseklesniu pagrindinės prielaidos, kad skirtumas tarp dviejų nuoseklių įverčio reikšmių ir , naudojimu, kuri yra pagrindas gauti pasikartojimo ryšį (7.5.24). Tai leidžia gauti panašų pasikartojimo ryšį svorio matricai . Iš tiesų, naudojant mažumą iš (7.5.23), turime

Įvedant užrašą

iš (7.5.24) ir (7.5.25) gauname vektoriaus ir svorio matricos pasikartojančių ryšių sistemą

Ši sistema kartu su pradinėmis reikšmėmis visiškai nustato įverčio vertę bet kuriame žingsnyje, todėl kiekviename iš jų reikia apskaičiuoti tik dabartinės stebimos vertės sąlyginės tikimybės tankio logaritmo antrųjų išvestinių gradientą ir matricą. Pradinės reikšmės parenkamos atsižvelgiant į turimus a priori duomenis apie galimas reikšmes ir parametrų diapazoną, o jei šių duomenų nėra, jos laikomos nuliu (,).

Nepriklausomoms reikšmėms pasikartojimo ryšių sistema (7.5.27) akivaizdžiai aprašo daugiamatį (dimensijos ) Markovo atsitiktinį procesą, kurio komponentas konverguoja į tikrąją parametro reikšmę, o komponentas konverguoja į Fišerio informacinę matricą (7.3. 8), kur yra tikroji apskaičiuoto parametro reikšmė ir didėja neribotai kaip P. Sistema (7.5.27) turi panašias konvergencijos savybes bendresnėmis sąlygomis, jei seka yra ergodinė.

Antrasis iš paminėtų metodų yra pagrįstas tikimybės funkcijos logaritmo antrųjų išvestinių matricos pakeitimu jos matematine lūkesčiu - Fišerio informacine matrica, kurią, atsižvelgiant į (7.5.16), galima parašyti taip:

kur panašiai kaip (7.5.26)

Pakeitę (7.5.24) matricą matrica , gauname pasikartojantį ryšį

apytiksliai apskaičiuoti Sakrison siūlomus didžiausios tikimybės įverčius (originale nepriklausomiems identiškai paskirstytiems , kada ir . Šis pasikartojimo ryšys yra paprastesnis nei sistemoje (7.5.27), nes optimali svorio matrica pakeičiama jos matematiniu lūkesčiu , o turimi stebėjimo duomenys nereikalingi, išskyrus tuos, kurie susitelkę įverčio vertėje Tuo pačiu akivaizdu, kad toks pakeitimas reiškia poreikį įvykdyti papildomą reikalavimą, palyginti su (7.5.27). ), kad antrųjų išvestinių matrica būtų artima jos matematiniams lūkesčiams.

Jei tikimybių tankio skirstinys ir matrica keičiasi nuo žingsnio iki žingsnio, norint tiesiogiai rasti kiekvieną žingsnį, gali prireikti per daug skaičiavimų. Tuo pačiu metu dėl papildomo rezultatų tikslumo sumažėjimo, kurį lemia mažų skirtumų nulis nelygybė, galima pereiti prie pakartotinio apytikslės matricos vertės skaičiavimo. Grįžtant prie ankstesnio šios apytikslės reikšmės žymėjimo, gauname kitą pasikartojimo ryšių sistemą

Matricos matematinis lūkestis (Fišerio informacijos matrica vienam stebėjimui), paimta taške . Ši sistema skiriasi nuo (7.5.27) tuo, kad antrasis iš pasikartojimo ryšių (7.5.31) tiesiogiai neapima stebėjimo duomenų.

Bet kuri iš aukščiau nagrinėtų pasikartojimo ryšių sistemų yra visiškai tiksli, jei funkcija kvadratiškai priklauso nuo , o be to, antrųjų išvestinių matrica nepriklauso nuo . Tiesą sakant, tai atitinka nepriklausomų normaliai paskirstytų (nebūtinai vienodai) reikšmių atvejį su nežinomu matematiniu lūkesčiu, kuris yra apskaičiuotas parametras.

Pasikartojimo ryšių sistema (7.5.24) pateikia tikslų didžiausios tikimybės lygties sprendimą daug platesnėmis sąlygomis su vieninteliu reikalavimu, kad funkcija kvadratiškai priklauso nuo . Priklausomybė nuo yra savavališka, kuri atitinka plačią populiacijos tikimybių skirstinių klasę su nepriklausomomis ir priklausomomis reikšmėmis.

Be svarstomų bendrųjų metodų, yra nemažai svorio koeficientų matricos parinkimo pasikartojimo santykyje (7.5.24) metodų, pritaikytų tam tikriems specifiniams apribojimams. Paprasčiausias iš jų yra pasirinkimas įstrižainės matricos forma, kad , ( aš yra tapatumo matrica), kur yra mažėjanti skaitinių koeficientų seka, parinkta neatsižvelgiant į tikimybės funkcijos ypatybes taip pat, kaip ir Robinso-Monroe stochastinės aproksimacijos procedūroje, kuri bus aptarta kituose skyriuose.

Reikėtų pažymėti, kad bet kokios pasikartojančios arba pasikartojančios procedūros, skirtos maksimalios tikimybės įverčiams gauti, paprastai yra apytikslės. Todėl, paprastai kalbant, taikant šias procedūras gautų įverčių nuoseklumas, asimptotinis efektyvumas ir asimptotinis normalumas turi būti įrodinėjami iš naujo. Iteracinėms procedūroms būtinas įverčių savybes garantuoja tai, kad iš esmės tokios procedūros su atitinkamu iteracijų skaičiumi duoda tikimybių lygties sprendimą bet kokiu iš anksto nustatytu tikslumu. Pasikartojančioms procedūroms, tokioms kaip (7.5.27), (7.5.30), (7.5.31) ir kt., yra specialūs įrodymai. Kartu, be reguliarumo reikalavimo, keliami ir keli papildomi reikalavimai:

Apie funkcijos (7.2.2) veikimą esant skirtingoms || reikšmėms, siekiant, naudojant pasikartojančią procedūrą, pasiekti visuotinį šios funkcijos maksimumą taške, atitinkančiame tikrąją parametro reikšmę;

Tikimybės funkcijos logaritmo išvestinių antrųjų momentų augimo tvarka didelėms modulio reikšmėms. Šie reikalavimai yra bendresnių sąlygų, susijusių su Markovo atsitiktinio proceso komponentų ar jų dalies konvergencijos tašku, į kurį veda viena ar kita pasikartojanti procedūra, pasekmė.

Apibendrinant taip pat pažymime, kad tuo atveju, kai yra tikslus didžiausios tikimybės lygties sprendinys, jis beveik visada gali būti pavaizduotas rekursine forma. Pateikiame du paprastus nevienalyčius pavyzdžius. Taigi, elementarus nežinomo matematinio normalaus atsitiktinio kintamojo lūkesčio įvertinimas visumoje n jo imties reikšmės aritmetinio vidurkio forma

yra didžiausios tikimybės įvertinimas ir gali būti pateikiamas rekursine forma:

kuris yra paprasčiausias ypatingas atvejis (7.5.30).

Kitas pavyzdys yra netaisyklingos didžiausios tikimybės įvertinimas parametrui – stačiakampio skirstinio plotis – iš (7.4.2), kurį taip pat galima nustatyti pagal pasikartojimo ryšį

su pradine būkle. Šis pasikartojimo ryšys yra kitokio tipo: jo dešinioji pusė negali būti pavaizduota kaip ankstesnio įverčio ir nedidelės pataisos suma, kuri yra šio pavyzdžio netaisyklingumo pasekmė; tačiau jis turi visus rekursinio metodo privalumus: iš ankstesnio žingsnio reikia atsiminti tik vieną skaičių – įvertinimą – ir drastiškai sumažina išvardijimą iki vieno palyginimo, o ne lyginant visas vertes.

Pateikti pavyzdžiai iliustruoja pasikartojančių metodų privalumus net ir tuo atveju, kai didžiausios tikimybės lygtis leidžia tiksliai išspręsti, nes rezultato analitinio vaizdavimo paprastumas nėra identiškas jo gavimo skaičiavimo paprastumui.

7.5.3. Perėjimas prie nepertraukiamo laiko. Diferencialinės lygtys didžiausios tikimybės įvertinimams

Dabar panagrinėkime ypatingą atvejį, kai turimi stebėjimo duomenys X nėra aprašyti pavyzdinių taškų rinkiniu , bet yra tam tikro proceso įgyvendinimo segmentas , priklausomai nuo parametrų, nurodytų intervale , be to, stebėjimo metu šio intervalo trukmė gali padidėti (laikas t yra kintama).

Statistiniam stebėjimo duomenų apibūdinimui šiuo atveju įvedamas tikimybės santykio funkcinis veiksnys, kuris yra , max verčių aibės tikimybės tankio santykio esant savavališkai nurodytai vertei ir panašiai tikimybei riba. tankis esant tam tikram fiksuotam dydžiui , o kai kuriais atvejais , kai jis priima atvaizdavimą , kur yra atsitiktinis procesas , nepriklausomas nuo , reikšmių rinkinio tikimybės tankis su sąlyga , kad . Tikimybių santykio funkcijos naudojimas leidžia pašalinti formalius sunkumus nustatant tikimybių tankį, kylančius pereinant prie nuolatinio laiko.

Tikimybės santykio funkcinės logaritmas gali būti pavaizduotas kaip

kur yra koks nors procesas, veikiantis intervale . Kai kuriais atvejais funkcija išsigimsta į funkciją, kuri priklauso tik nuo reikšmės. Taigi, jei

kur yra žinoma laiko ir parametrų funkcija ir yra su delta koreliuotas atsitiktinis procesas ("baltasis" triukšmas), kurio spektrinis tankis N o , tada vardikliu pasirenkant tikimybių skirstinio tikimybių santykį X, turėsime

Tegul - parametro didžiausios tikimybės įvertis, pagrįstas proceso įgyvendinimu intervale, tai yra didžiausios tikimybės lygties sprendimas

Diferencijuodami kairiąją šios lygties pusę laiko atžvilgiu, gauname

Pristatome užrašą

ir išsprendę lygtį (7.5.42) atžvilgiu, gauname didžiausios tikimybės įvertinimo diferencialinę lygtį

Matrica , savo ruožtu pagal (7.5.37) nustatoma diferencialine lygtimi

Kaip ir diskrečiu atveju, matricą (7.5.45), (7.5.47) galima pakeisti jos matematiniu lūkesčiu – Fišerio informacijos matrica su reikšme ir diferencialine lygtimi (7.5.46) svorio matricai. - pagal lygtį

kur panašiai kaip ir diskrečiu atveju

Antrųjų išvestinių matricos matematinis lūkestis.

Diferencialinių lygčių aibė (7.5.45), (7.5.46) arba (7.5.45), (7.5.48) kartu su pradinėmis sąlygomis, dėl kurių pasirinkimo viskas, kas pasakyta diskretiesiems atvejams, lieka galioti, visiškai nustato didžiausią tikimybės įvertį bet kuriuo momentu. Šis rinkinys gali būti imituojamas naudojant atitinkamus, paprastai tariant, netiesinius analoginius įrenginius arba, naudojant tinkamą laiko atranką, išspręstas kompiuteriu. Baigdami pažymime vieną iš šių lygčių modifikacijų, leidžiančių išvengti būtinybės apversti matricą .

Pristatome užrašą

, kur aš

ir diferencijuojant santykį laiko atžvilgiu , kur aš yra tapatybės matrica, tai naudodamiesi (7.5.46) gauname diferencialinę lygtį, kuri tiesiogiai nustato matricą :

(ir panašiai, kai pakeičiama ), kuri kartu su (7.5.45) lygtimi

nustato balą , nereikalaujant matricos inversijos. Šiuo atveju Riccati tipo diferencialinės lygties (7.5.51) atžvilgiu vyksta perėjimas nuo paprasčiausios tiesinės diferencialinės lygties (7.5.46) prie netiesinės.

Kombinatoriniai baigtinių aibių skaičiavimai

Įvadas į kombinatoriką

Kombinatorinių algoritmų, dažnai vadinamų kombinatoriniais skaičiavimais, teorijos dalykas yra diskrečiųjų matematinių struktūrų skaičiavimai. Šioje teorijoje daug dėmesio skiriama algoritminiam požiūriui sprendžiant diskrečiosios matematikos uždavinius, optimizuojant variantų surašymą ir mažinant svarstomų sprendimų skaičių.

Kombinatorinių algoritmų sritis apima užduotis, kurioms reikia suskaičiuoti (įvertinti) baigtinės aibės elementų skaičių arba surašyti šiuos elementus specialia tvarka (B priedas). Šiuo atveju plačiai taikoma elementų su grąžinimu parinkimo procedūra ir jos variantai.

Yra dviejų tipų skaičiavimo problemos. Paprastu atveju duodamas konkretus rinkinys ir jo reikia nustatyti tikslų elementų skaičių jame. Bendruoju atveju yra aibių šeima, apibrėžta kokiu nors parametru, o aibės kardinalumas apibrėžiamas kaip parametro funkcija. Tuo pačiu metu tai dažnai pakankamas funkcijos eiliškumo įvertinimas o kartais reikia tik jo augimo tempo įvertinimas. Pavyzdžiui, jei nagrinėjamos aibės galia didėja eksponentiškai pagal kurį nors parametrą, to gali pakakti, kad būtų atsisakyta siūlomo problemos tyrimo metodo, nesigilinant į įvairias detales. Šiam bendresniam problemos tipui taikomos asimptotinės išplėtimo, pasikartojimo ryšių ir generavimo funkcijų procedūros.

Asimptotika

Asimptotas yra speciali linija (dažniausiai tiesi), kuri yra nagrinėjamos kreivės riba.

Asimptotika yra funkcijų augimo tempų įvertinimo ir palyginimo menas. Jie sako, kad val X®¥ funkcija "elgiasi kaip X“, arba „didėja tokiu pat greičiu kaip X“, ir pas X®0 "elgiasi kaip 1/ x Jie sako, kad "rąstą x adresu x®0 ir bet kuris e>0 elgiasi kaip x e , ir ką n®¥ auga ne greičiau nei nžurnalas n". Tokie netikslūs, bet intuityviai aiškūs teiginiai yra naudingi lyginant funkcijas taip pat kaip ir santykiai<, £ и = при сравнивании чисел.

Apibrėžkime tris pagrindinius asimptotinius ryšius.

1 apibrėžimas. Funkcija f(x) yra lygiavertis g(x) adresu X® x0, tada ir tik jei =1.

Šiuo atveju sakoma, kad funkcija yra f(x) yra asimptotiškai lygi funkcijai g(x) ar kas f(x) auga tokiu pat greičiu kaip g(x).

2 apibrėžimas. f(x)=o( g(x)) adresu x® x0, tada ir tik tada, kai =0.

Jie sako, kad val x® x 0 f(x) auga lėčiau nei g(x), ar kas f(x) „yra o-mažas“ iš g(x).

3 apibrėžimas . f(x)=O( g(x)) adresu x® x0, tada ir tik tada, kai egzistuoja tokia konstanta C, kad sup =C.

Šiuo atveju jie taip sako f(x) auga ne greičiau nei g(x), ar koks skirtumas x® x 0 f(x) „yra didelis O“ iš g(x).

Santykis f(x)=g(x)+o(h(x)) adresu x®¥ reiškia, kad f(x)-g(x)=o(h(x)). Panašiai f(x)=g(x)+O(h(x)) reiškia kad f(x)-g(x)=O(h(x)).

Išraiškos O( ) ir o( ) taip pat gali būti naudojamos nelygybėse. Pavyzdžiui, nelygybė x+o(x) £2 x adresu x®0 reiškia, kad bet kuriai funkcijai f(x) toks f(x)=o(x), adresu x®¥ x+f(x) £2 x visoms pakankamai didelėms vertėms X.

Pateiksime keletą naudingų asimptotinių lygybių.

Dauginamas asimptotiškai lygus didžiausiam jo nariui:

adresu x®¥; (4.1)

adresu x®¥; (4.2)

adresu x®¥ ir a k 0 ¹. (4.3)

Sveikųjų skaičių laipsnių sumos tenkina santykį:

adresu n®¥. (4.4)

Todėl ypač turime n®¥

Bendresniu atveju, kai n®¥ ir bet kuriam sveikajam skaičiui k³0

; (4.6)

. (4.7)

Pasikartojantys santykiai

Iliustruojame pasikartojimo santykių sampratą su klasikine problema, kurią Fibonacci iškėlė ir tyrinėjo apie 1200 m.

Savo problemą Fibonacci išdėstė kaip pasakojimą apie triušių populiacijos augimo tempą pagal šias prielaidas. Viskas prasideda nuo vienos triušių poros. Kiekviena triušių pora vaisinga (vaisinga) tampa po mėnesio, po to kiekviena pora kas mėnesį atsiveda po naują triušių porą. Triušiai niekada nemiršta ir jų dauginimasis nesibaigia. Leisti F n- triušių porų skaičius populiacijoje po n mėnesių ir tegul ši populiacija susideda iš N n vados poros ir O n„senos“ poros, t.y. F n = N n + O n. Taigi kitą mėnesį įvyks šie įvykiai:

Seni gyventojai ( n+1)-asis momentas padidės gimdymų skaičiumi tuo metu n, t.y. O n+1 = O n + N n= F n;

Kiekvienas senas tam tikru momentu n pora gamina laiku ( n+1) pora palikuonių, t.y. Nn+1= C n.

Kitą mėnesį šis modelis kartojasi:

O n+2 = O n+1+ Nn+1= Fn+1,

Nn+2=O n+1;

Sujungus šias lygybes, gauname Fibonačio pasikartojimo ryšį:

O n+2 + Nn+2=Fn+1 + O n+1,

Fn+2 = Fn+1 + F n. (4.8)

Fibonačio sekos pradinių sąlygų pasirinkimas nėra svarbus; esmines šios sekos savybes lemia pasikartojantis ryšys (4.8). Paprastai tikima F0=0, F1=1 (kartais F0=F1=1).

Pasikartojimo ryšys (4.8) yra specialus vienalyčių tiesinių pasikartojimo ryšių su pastoviais koeficientais atvejis:

x n = a 1 x n-1 + a 2 x n-2 +…a k x n-k , (4.9)

kur koeficientai a i nepriklauso nuo n ir x 1, x2, …, x k laikomi duotais.

Yra bendras sprendimo būdas (t. y. suradimas x n kaip funkcija n) tiesiniai pasikartojantys ryšiai su pastoviais koeficientais. Panagrinėkime šį metodą naudodami (4.8) ryšį kaip pavyzdį. Formoje randame sprendimą

F n=crn (4.10)

su nuolatiniu Su ir r. Pakeitę šią išraišką į (4.8), gauname

cr + 2 = crn+ 1 + crn,

crn(rn-r-1)=0. (4.11)

Tai reiškia kad F n=crn yra sprendimas, jei kuris nors Su=0 arba r= 0 (taigi F n =0 visiems n), taip pat (ir tai įdomesnis atvejis), jei r 2 - r -1=0, o konstanta Su savavališkas. Tada iš (4.11) seka

r= arba r = . (4.12)

Skaičius „1,618“ žinomas kaip „auksinis“ santykis, nes nuo senų senovės buvo manoma, kad trikampis (stačiakampis), kurio kraštinės yra 1, turi akiai maloniausias proporcijas.

Dviejų homogeninio tiesinio pasikartojimo sprendinių suma akivaizdžiai taip pat yra sprendimas, ir iš tikrųjų galima parodyti, kad bendras Fibonačio sekos sprendimas yra

F n= , (4.13)

kur yra konstantos Su ir Su' nustatomos pradinėmis sąlygomis. Sudėjus F 0 =0 ir F 1 =1, gauname tokią tiesinių lygčių sistemą:

, (4.14)

kurio sprendimas duoda

c = -c" = . (4.15)

Tiesiniai pasikartojantys ryšiai su pastoviais koeficientais. Pagrindiniai pasikartojimo santykių apibrėžimai ir pavyzdžiai Neretai vienos kombinatorinės problemos sprendimas gali būti redukuojamas į panašių mažesnių matmenų uždavinių sprendimą, pasitelkus kokį nors santykį, vadinamą pasikartojimu iš lotyniško žodžio recurrere – grįžti. Taigi sudėtingos problemos sprendimą galima gauti paeiliui ieškant lengvesnių problemų sprendimo ir tada perskaičiuojant pagal pasikartojimo ryšius, kad būtų galima rasti sudėtingos problemos sprendimą. Pasikartojimo ryšys...

Pasidalinkite darbais socialiniuose tinkluose

Jei šis darbas jums netinka, puslapio apačioje yra panašių darbų sąrašas. Taip pat galite naudoti paieškos mygtuką

Aranovas Viktoras Pavlovičius Diskreti matematika. 2 skyrius. Kombinatorikos elementai.

5 paskaita

5 paskaitos. PASIKARTOJANČIŲ SANTYKIŲ METODAS

Paskaitos planas:

Pagrindiniai pasikartojančių santykių apibrėžimai ir pavyzdžiai.
Tiesiniai pasikartojantys ryšiai su pastoviais koeficientais. Formulė

Binet.

Pagrindiniai pasikartojimo santykių apibrėžimai ir pavyzdžiai

Dažnai vienos kombinatorinės problemos sprendimas gali būti redukuojamas į panašių žemesnės dimensijos problemų sprendimą, naudojant kokį nors santykį, vadinamą upe. R nuoma (iš lotynų kalbos žodžio pasikartojantis - grąžinti). Taigi sudėtingos problemos sprendimą galima gauti nuosekliai randant lengvesnių problemų sprendimą, o toliau, n e skaičiuojant pagal pasikartojimo ryšius, rasti sudėtingos problemos sprendimą.

-osios eilės pasikartojimo ryšystarp skaičių sekos elementų vadinama formos formule

(1)

Privatus sprendimaspasikartojimo ryšys yra bet koks įpėdinis b santykis, kuris santykį (1) paverčia tapatybe. Santykis (1) im e yra be galo daug konkrečių sprendimų, nes pirmieji elementai yra nuoseklūs O sti galima nustatyti savavališkai. Pavyzdžiui, seka yra p e pasikartojantis ryšys O sprendimus, nes tapatybė turi.

Vadinamas -tosios eilės pasikartojimo santykio sprendimas bendras, jei jis skirtas a priklauso nuo savavališkų konstantų, o pasirinkę šias konstantas galime gerai bet gauti bet kokį šio santykio sprendimą. Pavyzdžiui, dėl santykio e niya

(2)

bendras sprendimas būtų toks

. (3)

Iš tiesų, nesunku patikrinti, ar seka (3) paverčia ryšį (2) tapatybe. Todėl tereikia parodyti, kad bet koks (2) santykio sprendimas gali gerai bet atstovauja formoje (3). Bet bet koks šio santykio sprendimas yra unikalus. T su vertybėmis ir. Todėl turime įrodyti, kad bet kokiems skaičiams ir yra m a kokios vertybės ir kokios

Kadangi ši sistema turi bet kokių ir verčių sprendimą, sprendimas (3) iš tikrųjų yra bendras santykio (2) sprendimas.

1 pavyzdys. Fibonačio skaičiai.1202 metais garsus italų matematikas Le O nardo iš Pizos, kuris geriau žinomas savo slapyvardžiu Fibonacci ( Fib o nacci – sutrumpintai filius Bonacci t.y. Bonačio sūnus), buvo parašyta knyga „ Liber abacci "(" Knyga ir ha apie abakusą"). Ši knyga mums pasirodė antroji versija, datuojama 1228 m. Panagrinėkime vieną iš daugelio šioje knygoje pateiktų problemų.

Triušių pora kartą per mėnesį atsiveda dviejų triušių (patelės ir patino) palikuonis ir kt. ir nei naujagimių triušių, praėjus dviem mėnesiams po gimimo, jau susilaukia palikuonių. Kiek pasirodys triušių e res metus, jei metų pradžioje buvo viena pora triušių?

Iš problemos būklės matyti, kad po mėnesio bus dvi poros triušių. Po dviejų mėnesių Aš esu tik pirmoji triušių pora duos palikuonių, o jūs gausite 3 poras. A dar po mėnesio palikuonių susilauks ir originali triušių pora, ir prieš du mėnesius pasirodžiusi triušių pora. Todėl iš viso bus 5 poros triušių ir t.t.

Pažymėkite triušių porų skaičiumi praėjus mėnesiams nuo r pradžios O Taip. Tada po kelių mėnesių bus šios poros ir dar daug naujagimių porų. O veidų, kiek jų buvo mėnesio pabaigoje, tai yra daugiau porų. Taigi, yra r e esamas santykis

. (4)

Nuo tada mes nuosekliai randame: ir tt Šie skaičiai sudaro seką

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,…,

paskambino netoli Fibonačio ir jo narių - Fibonačio skaičiai. Jie turi daugybę nuostabių savybių. Fibonačio skaičiai yra susiję su šiuo kombinatoriumi bet sudėtinga užduotis.

Raskite dvejetainių žodžių skaičių, kuriuose nėra dviejų 1 d eilutė.

Pavadinkime šiuos žodžius teisinga ir pažymėkite jų skaičių . Padalinkime šių įprastų žodžių aibę į dvi klases: žodžius, kurie baigiasi nuliu, ir žodžius, kurie baigiasi vienu. Pažymime žodžių skaičių šiose klasėse ir T atsakingas. Pagal papildymo taisyklę

(5)

Akivaizdu, kad žodžio, kuris baigiasi nuliu, pirmieji simboliai sudaro įprasto ilgio žodį, arba, kitaip tariant, yra bijekcijos tarp reguliaraus ilgio žodžių, kurie baigiasi nuliu, ir reguliaraus ilgio žodžių rinkinio, ty.

Jei tinkamo ilgio žodis baigiasi vienu, ankstesnis to žodžio simbolis turi būti nulis, o pirmieji simboliai turi sudaryti tinkamo ilgio žodį. Kaip ir ankstesniu atveju, vėl turime bijekciją tarp įprastų žodžių, kurių ilgis baigiasi vienu, ir įprastų ilgio žodžių rinkinio. Vadinasi. . Iš (5) formulės gauname rekursinį ryšį Apie

. (6)

Norint naudoti pasikartojimo ryšį, būtina atlikti šį skaičiavimą Su visų ankstesnių reikšmių pasikeitimas. Pavyzdžiui, jei mums reikia žinoti taisyklių skaičių b 10 simbolių žodžiai, tada jį galima rasti nuosekliai užpildant šią lentelę b veidas:

1 lentelė

Pirmosios dvi reikšmės randamos tiesiogiai (-žodžiai 0 ir 1; - žodžiai 000, 010, 101), o likusios - pagal (6) formulę.

2 pavyzdys Skliaustų dėjimo į išraišką su neasociatyvia dėžute problema operacija. Tegul „“ žymi tam tikrą dvejetainę operaciją. Apsvarstykite s išraiška, kurioje simbolis žymi tam tikrą dvejetainį nesusiejimą a aktyvi veikla. Kiek čia yra įvairių skliaustų išdėstymo būdų s raz e nii?

Neasociatyvios operacijos pavyzdys yra vektorinė sandauga. Kitas pavyzdys – įprastas sudėjimas ir daugyba, atliekama kompiuteriu. Su ir kad kiekvieno skaičiaus atvaizdavimą kompiuterio atmintyje riboja tam tikras n skaitmenų skaičius, atliekant kiekvieną operaciją, įvyksta klaida ir m Tikėtinas šių klaidų rezultatas priklauso nuo skliaustų išdėstymo. Leisti - mašinos nulis . Tai reiškia kad. Tada kol.

Pažymėkime galimų skliaustų išdėstymo būdų skaičių. Tada

Operaciją sąlyginai vadiname produktu. Savavališkai mes suskirstome visus skliaustų išdėstymo būdus į klases, įskaitant –-oje klasėje būdus, kuriais a chala, pirmojo ir paskutinio operandų sandauga apskaičiuojama tam tikru atstumu a naujus skliaustus, o tada apskaičiuojamas jų sandauga:

(7)

kur.

Pagal apibrėžimą, skliaustų išdėstymo būdų skaičius pirmiesiems operandams apskaičiuoti yra lygus, paskutinių - . Pagal gaminio taisyklę, susitarimų skaičius O (4) išraiškos pusė yra lygi. Pagal papildymo taisyklę

, (8)

Pavyzdžiui, .

Tiesinio pasikartojimo ryšiai su pastoviais koeficientais

Tegul funkcija (1) yra linija th nojus

, (9)

kur yra keletas skaičių. Tokie santykiai vadinami tiesiniai santykiai -osios eilės sprendiniai su pastoviais koeficientais.

Pirmiausia išsamiai išnagrinėkime antrosios eilės ryšius, o tada pereikime prie o b dabartinė proga. Esant , iš (9) formulės gauname

, . (10)

Šių santykių sprendimas grindžiamas šiais lengvai įrodomais teiginiais e niyakh.

1 lema. Leisti būti santykio (10) sprendimas ir bet koks skaičius. Tada seka taip pat išspręsta ir valgyti tokiu santykiu.

2 lema. Tegul ir būna sprendimai O sprendimai (10). Tada seka taip pat yra Aš esu yra šio santykio sprendimas.

Šios dvi paprastos lemos leidžia daryti tokią svarbią išvadą. samtelis P visų įmanomų sekų su ramybės operacijomis egzistavimą R dinatinis sudėjimas ir daugyba iš skaliro sudaro vektorinę erdvę. samtelis P sekų, kurios yra santykio (10) sprendiniai, skaičius reiškia su O kovoti su tos erdvės poerdve. Visų galimų uždara erdvė O sekos yra begalinės, bet tiesinės pasikartojančios sprendinių poerdvė T santykis turi baigtinį matmenį, lygų lygties tvarkai e niya.

3 lema. Pasikartojančio ryšio (10) sprendimo erdvės matmuo yra lygus dviem.

Iš 3 lemos išplaukia, kad norint nustatyti visus (12) lygties sprendinius, reikia rasti du tiesiškai nepriklausomus sprendinius. Bus bet koks kitas sprendimas b yra linijinis šių pagrindinių sprendimų derinys.

Apsvarstykite pirmosios eilės pasikartojimo ryšį

, (11)

kur yra konstanta.

Jei, tai nuo (11) turime

, (12)

tai yra, pirmosios eilės rekursinės lygties sprendimas yra geometrinė progresija.

Antrosios eilės pasikartojimo santykio sprendimo ieškosime ir formoje (12). Tada, pakeitę (12) į (9), gauname

. (13)

=0 turime nulinį sprendimą, kuris nėra įdomus. Atsižvelgiant į tai, paskutinį santykį padaliname iš:

(14)

Taigi geometrinė progresija (12) yra pasikartojimo ryšio (10) sprendimas, jei progresijos vardiklis yra kvadratinės lygties šaknis e niya (14). Ši lygtis vadinamacharakteristikos lygtispasikartojančiam bendradarbiui t nešioti (9).

Pagrindinių sprendinių sudarymas priklauso nuo šaknų ir charakteristikų lygties (14).

(). Šiuo atveju turime du sprendimus ir kurie l ir nežinomas sims. Norėdami tai patikrinti, parodome tai iš formulės

(15)

tinkamai parinkus konstantas, galima gauti bet kokį (10) ryšio sprendimą. Apsvarstykite savavališką sprendimą. Mes pasirenkame konstantas ir taip, kad ir:

(16)

Tiesinės sistemos determinantas (16)

todėl sistema turi unikalų sprendimą, o tai reiškia, kad (15) formulė yra bendroji р e santykis (10).

. Kelių šaknų atveju charakteristikos lygtis (13) turi formą arba. Tada ir santykiui (10) p O gauname lygtį, kuri pateikia du pagrindinius sprendinius ir. Bendras sprendimas pavaizduotas kaip

. (17)

Esant antros eilės ryšiui (9), įvyksta teiginiai, panašūs į tuos, kurie nagrinėjami 2-osios eilės lygtims.

Visų (9) lygties sprendinių aibė yra poerdvė pr O visų sekų erdvė.
Šios erdvės matmuo yra lygus, tai yra, kiekvieną sprendimą vienareikšmiškai lemia pirmosios jo reikšmės.
Nustatyti sprendinių poerdvės pagrindą, charakteristiką e lygtis

. (18)

Polinomas

(19)

paskambino būdingas daugianariorekursinis ryšys (9).

Jei charakteristikos lygtis turi skirtingas šaknis, tai bendras pasikartojančio ryšio (9) sprendinys turi formą

. (20)

Esant nurodytoms pradinėms tirpalo vertėms, konstantos n a išeiti iš sistemos

Jei yra charakteringos daugybos lygties šaknis, tada santykis (9) turi tokius sprendinius

Tegul charakteristikos lygtis (18) turi šaknis: ,…, dauginius su O atsakingai, ..., be to. Tada charakteristikų rinkinys O terminas ir bendras santykio (9) sprendimas vaizduojami kaip

3 pavyzdys. Binet formulė . Iškelkime užduotį gauti h formulę aiškia forma ir sėdėjo Fibonacci. Norėdami tai padaryti, randame pasikartojimo ryšio (4) sprendimą su sąlyga, kad. Sudarome charakteristikų lygtį, randame jos šaknis ir gauname bendrą sprendimą. Konstantos ir apibrėžimai e lim nuo pradinių sąlygų: . Tada arba

, (21)

kur aukso pjūvis. Formulė (21) vadinama Binet formulė . Kuriame. Iš Binet formulės matyti, kad.

Kiti susiję darbai, kurie gali jus sudominti.vshm>
3792.		Įmonės turto rodiklių racionalumas	113,83 KB
	Balansas yra pagrindinė finansinės atskaitomybės forma. Tai apibūdina organizacijos turtinę ir finansinę būklę ataskaitos sudarymo dieną. Balansas atspindi visų apskaitos sąskaitų likučius ataskaitų sudarymo dieną. Šie rodikliai balanse pateikiami tam tikra grupe.
8407.		pastovus metodas	17.82KB
	Sakoma, kad objekto metodas turi nekintamumo (pastovumo) savybę, jei po jo vykdymo objekto būsena nekinta. Jei nekontroliuojate nekintamumo savybės, tai jo teikimas visiškai priklausys nuo to, kuris asmuo turi įgūdžių. programuotojas. Jei nekeičiamas metodas vykdymo metu sukuria pašalinius efektus, rezultatas gali būti pats netikėčiausias, todėl labai sunku derinti ir prižiūrėti tokį kodą.
13457.		Fazinės plokštumos metodas	892.42KB
	Fazinės plokštumos metodą netiesinėms sistemoms tyrinėti pirmą kartą pritaikė prancūzų mokslininkas Henri Puankarė. Pagrindinis šio metodo privalumas – netiesinės sistemos judesių analizės tikslumas ir matomumas. Metodas yra kokybinis
2243.		GALIMI KRYPČIŲ METODAS	113,98 KB
	Galimų MRT krypčių metodo idėja yra ta, kad kiekviename iš eilės taške yra tokia nusileidimo kryptis, kad taško judėjimas šia kryptimi tam tikru atstumu nepažeidžia problemos apribojimų. Kryptis, kurią nustato vektorius, vadinama galima kryptimi taške, jei pakankamai mažas judėjimas iš krypties neiškelia taško už leistino ploto m. Akivaizdu, kad jei yra aibės vidinis taškas, tai bet kuri kryptis šioje vietoje. taškas yra įmanomas. Galima...
12947.		HARMONINĖS LINEARIZAVIMO METODAS	338.05KB
	Kalbant tiesiai apie harmoninio tiesinimo metodą, darysime prielaidą, kad tiriama netiesinė sistema yra sumažinta iki pavaizduotos formos. Netiesinis elementas gali turėti bet kokią charakteristiką, jei jis yra integruojamas be antrojo tipo nutrūkimų. Šio kintamojo transformacija pavyzdyje netiesiniu elementu su negyva zona parodyta fig.
2248.		Grafinis LLP sprendimo metodas	219.13KB
	Taškai, esantys šios srities viduje ir ribose, yra galiojančios plokštumos. Būtent, visi atkarpos AB taškai yra optimalūs uždavinio planai, kuriuose pasiekiama didžiausia tiesinės formos reikšmė. Nuosekliojo plano tobulinimo metodas Metodas pagrįstas tvarkingu probleminių planų rinkinio kampinių taškų išvardijimu tiesinės formos didinimo arba mažinimo kryptimi ir apima tris esminius taškus. Pirma, nurodomas bazinės linijos apskaičiavimo metodas.
7113.		Harmoninio tiesinimo metodas	536,48 KB
	Harmoninio tiesinimo metodas Kadangi šis metodas yra apytikslis, gauti rezultatai bus artimi tiesai tik tada, kai bus įvykdytos tam tikros prielaidos: Netiesinėje sistemoje turi būti tik vienas netiesiškumas; Linijinė sistemos dalis turėtų būti žemųjų dažnių filtras, kuris slopina aukštesnes harmonikas, atsirandančias ribiniame cikle; Metodas taikomas tik autonominėms sistemoms. Mes tiriame laisvą sistemos judėjimą, tai yra judėjimą nulinėmis pradinėmis sąlygomis, kai nėra išorinių poveikių....
10649.		Rodyklės analizės metodas	121.13KB
	individualūs indeksai. Bendrieji suminiai indeksai. Vidutiniai konvertuoti indeksai. Struktūrinių poslinkių kintamos ir pastovios sudėties indeksai.
12914.		Mažiausio kvadrato metodas	308.27KB
	Tegul tai žinome iš teorinių svarstymų. Todėl galime teigti, kad mūsų užduotis yra geriausiu įmanomu būdu nubrėžti tiesią liniją. Mes manysime, kad visa klaida slypi. Iš svarstymų parinksime norimus koeficientus, kad atsitiktinis priedas būtų mažiausias.
9514.		Apskaitos metodas	1002.23KB
	Apskaita rahunki, kad їх pobudova. Vіn sladєtsya z elementіv golovnі z yakikh skaičius: dokumentacija; inventorius; rahunki; porekordas; įvertinimas; skaičiavimas; balansas; tvirtumo. Rahunki apskaita pripažinta dėl turto ir įsipareigojimų atsiradimo. Apskaita rahunki, kad їх pobudova.

PASIKARTOJANTYS SANTYKIAI

(iš lot. recur-rens, genties atvejis recurrentis - grįžtantis) - to paties tipo f-ai, jungiantys tam tikrą seką, einanti viena po kitos (tai gali būti skaičių seka, f-cijas ir pan. ). Priklausomai nuo objektų, susijusių su R. su., pobūdžio, šie santykiai gali būti algebriniai, funkciniai, diferencialiniai, integraliniai ir kt.

Naib. gerai žinomos klasės R. s. yra pasikartojančios funkcijos specialios funkcijos. Taip, už cilindrinės funkcijos Z m (x)P. Su. atrodyti kaip

Jie leidžia pagal funkciją Z m0 (x) rasti funkcijas Z m (x)at T= T 0 b 1, T 0 b 2 ir tt arba, pavyzdžiui, pagal funkcijų reikšmes tam tikru momentu X 0 . 0 rasti (skaitiniais skaičiavimais) bet kurios funkcijos reikšmę

Toje pačioje vietoje (čia m 0 – bet koks tikrasis skaičius).

Dr. svarbi R. s. klasė. Pateikite daugybę nuoseklių aproksimacijų metodų (plg. iteracijos metodas);čia yra metodai teorijos perturbacijos.

Kvantinėje mechanikoje yra dar vienas R. s. tipas, jungiantis vektorius Hilberto būsenų erdvėje. Pavyzdžiui, stacionarios harmonijos, osciliatoriai parametrizuojami neneigiamais sveikaisiais skaičiais. Atitinkami vektoriai, žymimi , kur n- visas, su skirtingais n gali būti gaunami vienas iš kito kūrimo operatorių veiksmais a + ir sunaikinimas a:

Šiuos ryšius galima išspręsti išreiškiant bet kurį vektorių (mažiausios energijos būsena, h = 0):

Šios konstrukcijos apibendrinimas yra vaizdavimas antrasis kvantavimas kvantinėje statistikoje. mechanika ir kvantinio lauko teorija (žr Fockas erdvė).

Tipiškas pavyzdys R. s. statistikoje mechanika - dalinio pasiskirstymo funkcijų, sudarančių Bogolyubovo grandinę, lygtys (žr. Bogolyubovo lygtys);žinios apie tokias f-cijas leidžia rasti visą termodinaminę. sistemos charakteristikos.

Kvantinės lauko teorijos dinamika. yra, pavyzdžiui, Greeno funkcijos. Jų skaičiavimui įvairios aproksimacijos, dažniausiai – perturbacijų teorijos skaičiavimai. Alternatyvus metodas yra pagrįstas integro-diferencialu Dysono lygtys, kurios yra R. s.: dvitaškės Greeno funkcijos lygtyje yra keturtaškis ir tt Kaip ir Bogolyubovo lygtis, ši sistema gali būti išspręsta tik "nutraukiant" grandinę ("pertraukimo" vietą dažniausiai pasirenkamas iš fizinių sumetimų ir lemia gautą ).

Kitas R. s. tipas. kvantinio lauko teorijoje - Tapatybių minia teorijose kalibravimo laukai.Šios tapatybės taip pat reprezentuoja integro-diferencialinių santykių grandinę, jungiančią Greeno funkcijas su dec. išorinių linijų skaičius p yra teorijos matuoklio invariancijos pasekmė. Jie atlieka lemiamą vaidmenį tikrinant kalibravimo simetriją procedūros metu renormalizacija.

Galiausiai, pati savaime taip pat yra pasikartojanti procedūra: kiekviename žingsnyje (kiekvienoje paskesnėje kilpoje) kontraterminai, gautas apskaičiavus diagramas su mažiau kilpų (daugiau informacijos žr R operacija).A. M. Malokostovas.

Fizinė enciklopedija. 5 tomuose. - M.: Tarybinė enciklopedija. Vyriausiasis redaktorius A. M. Prokhorovas. 1988 .

Pažiūrėkite, kas yra „PASIKARTOJANTYS RYŠIAI“ kituose žodynuose:

pasikartojantys santykiai- - [L.G. Sumenko. Anglų rusų informacinių technologijų žodynas. M .: GP TsNIIS, 2003.] Temos informacinės technologijos apskritai EN pasikartojimo ryšiai ... Techninis vertėjo vadovas

- (Vėberio funkcijos) bendrasis specialiųjų funkcijų, kurios yra diferencialinių lygčių sprendiniai, gauti taikant matematinės fizikos lygčių kintamųjų atskyrimo metodą, pvz., Laplaso lygtis, lygtis ... ... Vikipedija

Arba Juozapo rimas yra gerai žinoma matematinė problema su istoriniais atspalviais. Užduotis paremta legenda, kad Jodfato miestą gynusio Juozapo Flavijaus būrys nenorėjo pasiduoti aukštesnėms romėnų jėgoms, užtvėrusioms urvą. ... ... Wikipedia

Pafnuty Lvovich Chebyshev Matematikoje begalinė realiųjų daugianario seka vadinama stačiakampių daugianario seka ... Wikipedia

Šį straipsnį siūloma išbraukti. Priežasčių paaiškinimą ir atitinkamą diskusiją rasite Vikipedijos puslapyje: Ištrinti / 2012 m. lapkričio 22 d. Diskusijos metu ... Vikipedija

Padovano seka yra sveikųjų skaičių seka P(n) su pradinėmis reikšmėmis ir tiesiniu pasikartojimo ryšiu. Pirmosios P(n) reikšmės yra 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 16, 21, 28, 37, 49, 65, 86, 114, 151, 200, 265 ... Vikipedija

Tam tikros formos Hermito daugianariai yra viename realiame kintamajame esančių daugianario seka. Hermito daugianariai atsiranda tikimybių teorijoje, kombinatorikoje ir fizikoje. Šie daugianariai pavadinti Charleso Hermite vardu. Turinys 1 ... ... Vikipedija

- (Beselio funkcijos) Beselio lygties Zv(z) sprendiniai, kur parametras (indeksas) v yra savavališkas realusis arba kompleksinis skaičius. Programose dažnai susiduriama su lygtimi, kuri priklauso nuo keturių parametrų: kurių sprendiniai išreiškiami C... Fizinė enciklopedija

Tiesinės algebrinės sistemos sprendimo būdas. lygtys A x= b su hermitine ne vienaskaita matrica A. Iš tiesioginių metodų ji yra efektyviausia, kai ji įdiegta kompiuteryje. Metodo skaičiavimo schema paprastai yra pagrįsta Hermito faktorizacija ... ... Matematinė enciklopedija

Modifikuotos Besselio funkcijos yra grynai įsivaizduojamo argumento Besselio funkcijos. Jei Beselio diferencialinėje lygtyje pakeisime į, ji įgaus formą Ši lygtis vadinama modifikuota Beselio lygtimi ... Wikipedia

Pasikartojimo santykis turi užsakyti k , jei tai leidžia f(n+k) išreikšti f(n), f(n+1), …, f(n+k-1).

Pavyzdys.

f(n+2)=f(n)f(n+1)-3f 2 (n+1)+1 yra antros eilės pasikartojimo ryšys.

f(n+3)=6f(n)f(n+2)+f(n+1) yra pasikartojantis trečios eilės ryšys.

Jei duotas pasikartojantis k-osios eilės ryšys, tai jį gali patenkinti be galo daug sekų, nes pirmieji k sekos elementų gali būti nustatomi savavališkai – tarp jų nėra ryšių. Bet jei pateikiami pirmieji k terminai, tada visi kiti elementai nustatomi vienareikšmiškai.

Naudojant pasikartojimo ryšį ir pradinius narius, galima po vieną išrašyti sekos sąlygas ir anksčiau ar vėliau gausime bet kurį jos narį. Tačiau jei reikia žinoti tik vieną konkretų sekos narį, tai nėra racionalu skaičiuoti visus ankstesnius. Tokiu atveju patogiau turėti n-ojo nario skaičiavimo formulę.

Pasikartojimo santykio sprendimas iškviečiama bet kokia seka, kuriai duotasis ryšys galioja identiškai.

Pavyzdys. Seka 2, 4, 8, …, 2 n yra ryšio f(n+2)=3∙f(n+1) – 2∙f(n) sprendimas.

Įrodymas. Bendras sekos narys yra f(n)=2 n . Taigi f(n+2)= 2 n+2, f(n+1)= 2n+1 . Bet kuriam n galioja tapatybė 2 n+2 =3∙2 n+1 – 2∙2 n. Todėl pakeitus seką 2 n į formulę f(n+2)=3f(n+1) – 2f(n), ryšys įvykdomas identiškai. Vadinasi, 2 n yra nurodyto ryšio sprendimas.

Pasikartojimo ryšio sprendimas vadinama k-oji tvarka bendras, jei tai priklauso nuo k savavališkų konstantų α 1 , α 2 , … α k ir pasirinkus šias konstantas, galima gauti bet kokį šio ryšio sprendimą.

Pavyzdys. Duotas pasikartojimo ryšys: f(n+2)=5f(n+1)-6f(n). Įrodykime, kad jo bendrasis sprendinys turi tokią formą: f(n)= α 2 n + β3 n .

1. Pirmiausia įrodome, kad seka f(n)=α 2 n + β3 n yra pasikartojimo ryšio sprendimas. Pakeiskite šią seką į pasikartojimo ryšį.

f(n)= α 2 n + β 3 n, taigi f(n+1)= (α 2 n+1 + β 3 n +1), f(n+2)= α 2 n+2 + β 3 n +2, tada

5f(n+1)-6f(n)=5∙(α 2 n+1 + β 3 n +1)-6∙(α 2 n + β 3 n) = α (5 2 n+1 –6 2 n)+ β (5 3 n +1 –6 3 n) = α2 n ∙ (10–6)+ β 3 n ∙ (15 – 6) = α 2 n+2 + β 3 n +2 = f n+2).

Pasikartojimo ryšys galioja, todėl α 2 n + β 3 n yra šio pasikartojimo ryšio sprendimas.

2. Įrodykime, kad bet kurį santykio f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) sprendinį galima parašyti kaip f(n)= α 2 n + β 3 n . Bet bet koks antros eilės pasikartojimo santykio sprendimas yra vienareikšmiškai nulemtas pirmųjų dviejų sekos narių reikšmės. Todėl pakanka parodyti, kad bet kuriam a=f(1) ir b=f(2) yra α ir β tokie, kad 2 α +3 β =a ir 4 α +9 β =b. Nesunku pastebėti, kad lygčių sistema turi bet kokių a ir b verčių sprendimą.

Taigi f(n)= α 2 n + β 3 n yra bendras pasikartojančio ryšio f(n+2)=5f(n+1)–6f(n) sprendinys.

Tiesinio pasikartojimo ryšiai su pastoviais koeficientais

Bendrųjų pasikartojančių ryšių sprendimo taisyklių nėra, tačiau yra dažnai pasitaikanti pasikartojančių ryšių klasė, kuriai žinomas jų sprendimo algoritmas. Tai tiesiniai pasikartojantys ryšiai su pastoviais koeficientais, t.y. tipų santykiai:

f(n+k)=c 1 f(n+k-1)+c 2 f(n+k-2)+…+c k f(n).

Raskime bendro tiesinio pasikartojimo ryšio su pirmos eilės pastoviais koeficientais sprendimą.

Tiesinio pasikartojimo ryšys su pirmos eilės pastoviais koeficientais turi tokią formą: f(n+1)=c f(n).

Tegul f(1)=a, tada f(2)=c∙f(1)=c∙a, f(3)=c∙f(2)=c 2 ∙a, panašiai kaip f(4)=c 3 ∙a ir taip toliau, atkreipkite dėmesį, kad f(n)=cn -1 ∙f(1).

Įrodykime, kad seka c n -1 ∙f(1) yra pirmosios eilės pasikartojimo ryšio sprendimas. f(n)=c n -1 ∙f(1), taigi f(n+1)=c n f(1). Pakeitę šią išraišką į santykį, gauname tapatybę c n f(1)=с∙ c n -1 ∙f(1).

Dabar panagrinėkime išsamiau tiesinio pasikartojimo ryšiai su antros eilės pastoviais koeficientais , tai yra formos santykiai

f(n+2)=C1∙f(n+1)+C2∙f(n). (*).

Atkreipkite dėmesį, kad visi svarstymai galioja ir aukštesnės eilės santykiams.

Sprendimo ypatybės:

1) Jei seka x n yra sprendimas (*), tai seka a∙x n taip pat yra sprendimas.

Įrodymas.

x n yra (*) sprendimas, taigi x n +2 =C 1 x n +1 +C 2 x n . Abi lygybės puses padauginame iš a. Gauname a∙x n +2 =a∙(С 1 ∙x n +1 +С 2 ∙x n)= С 1 ∙a∙x n +1 +С 2 ∙a∙x n . Tai reiškia, kad ax n yra sprendimas (*).

2) Jei sekos x n ir y n yra sprendiniai (*), tai seka x n +y n taip pat yra sprendinys.

Įrodymas.

x n ir y n yra sprendiniai, todėl galioja šios tapatybės:

x n +2 \u003d C 1 x n +1 + C 2 x n.

y n +2 =C 1 y n +1 +C 2 y n .

Pridėkime dvi lygybes pagal terminą:

xn +2 +yn +2 =С 1 ∙xn +1 +С 2 ∙xn + С 1 ∙yn +1 +С 2 ∙yn = С 1 ∙(xn +1 + yn +1) + С 2 ∙ (xn +yn). Tai reiškia, kad x n +y n yra (*) sprendimas.

3) Jei r 1 yra kvadratinės lygties r 2 =С 1 r+С 2 sprendinys, tai seka (r 1) n yra ryšio (*) sprendinys.

r 1 yra kvadratinės lygties r 2 =C 1 r+C 2 sprendinys, taigi (r 1) 2 =C 1 r 1 +C 2 . Padauginkime abi lygybės puses iš (r 1) n . Gauk

r 1 2 r 1 n \u003d (C 1 r 1 + C 2) r n.

r 1 n +2 \u003d C 1 r 1 n +1 + C 2 r 1 n.

Tai reiškia, kad seka (r 1) n yra (*) sprendimas.

Iš šių savybių išplaukia sprendimo būdas tiesinio pasikartojimo ryšiai su pastoviais antros eilės koeficientais:

1. Sudarykite charakteristikų (kvadratinę) lygtį r 2 =C 1 r+C 2 . Raskime jo šaknis r 1, r 2. Jeigu šaknys skirtingos, tai bendras sprendinys f(n)= ar 1 n +βr 2 n .

2. Raskite koeficientus a ir β. Tegu f(0)=a, f(1)=b. Lygčių sistema

turi bet kurio a ir b sprendimą. Šie sprendimai yra

Užduotis . Raskime Fibonačio sekos bendrojo termino formulę.

Sprendimas . Būdingoji lygtis yra x 2 \u003d x + 1 arba x 2 -x-1 \u003d 0, jos šaknys yra skaičiai, o tai reiškia, kad bendrasis sprendimas yra f (n) \u003d . Kaip nesunku suprasti, iš pradinių sąlygų f(0)=0, f(1)=1 išplaukia, kad a=-b=1/Ö5, taigi ir bendras Fibonačio sekos sprendinys turi formą :

Stebėtina, kad ši išraiška visų natūralių n verčių reikšmes naudoja sveikuosius skaičius.