Ինչպես սովորել լուծել թվաբանական առաջընթացը: Հանրահաշիվ. թվաբանական և երկրաչափական առաջընթացներ: Թվաբանական առաջընթացի գումարը

Օրինակ, հաջորդականությունը \(2\); \(5\); \(8\); \(տասնմեկ\); \(14\)... թվաբանական պրոգրեսիա է, քանի որ յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը նախորդից տարբերվում է երեքով (նախորդից կարելի է ստանալ երեքը ավելացնելով).

Այս առաջընթացում \(d\) տարբերությունը դրական է (հավասար է \(3\)-ին), և հետևաբար յուրաքանչյուր հաջորդ անդամ ավելի մեծ է, քան նախորդը: Նման առաջընթացները կոչվում են աճող.

Այնուամենայնիվ, \(d\)-ը նույնպես կարող է լինել բացասական թիվ. Օրինակ, թվաբանական առաջընթացում \(16\); \(10\); \(4\); \(-2\); \(-8\)... առաջընթացի տարբերությունը \(d\) հավասար է մինուս վեցի:

Եվ այս դեպքում յուրաքանչյուր հաջորդ տարր ավելի փոքր կլինի, քան նախորդը: Այս առաջընթացները կոչվում են նվազում.

Թվաբանական առաջընթացի նշում

Առաջընթացը նշվում է փոքր լատիներեն տառով:

Այն թվերը, որոնք կազմում են պրոգրեսիա, կոչվում են անդամներ(կամ տարրեր):

Նրանք նշվում են նույն տառով որպես թվաբանական առաջընթաց, բայց թվային ինդեքսով, որը հավասար է տարրի թվին ըստ հերթականության։

Օրինակ, թվաբանական առաջընթացը \(a_n = \left\( 2; 5; 8; 11; 14…\right\)\) բաղկացած է տարրերից \(a_1=2\); \(a_2=5\); \(a_3=8\) և այլն:

Այլ կերպ ասած, առաջընթացի համար \(a_n = \ձախ\(2; 5; 8; 11; 14…\աջ\)\)

Թվաբանական առաջընթացի խնդիրների լուծում

Սկզբունքորեն, վերը ներկայացված տեղեկատվությունը արդեն բավական է թվաբանական պրոգրեսիայի գրեթե ցանկացած խնդիր լուծելու համար (ներառյալ OGE-ում առաջարկվողները):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացտրվում է \(b_1=7; d=4\) պայմաններով: Գտեք \(b_5\):
Լուծում:

Պատասխան. \(b_5=23\)

Օրինակ (OGE): Տրված են թվաբանական առաջընթացի առաջին երեք անդամները՝ \(62; 49; 36…\) Գտե՛ք այս առաջընթացի առաջին բացասական անդամի արժեքը։
Լուծում:

	Մեզ տրված են հաջորդականության առաջին տարրերը և գիտենք, որ դա թվաբանական պրոգրեսիա է։ Այսինքն՝ յուրաքանչյուր տարր իր հարեւանից տարբերվում է նույն թվով։ Պարզենք, թե որն է՝ հանելով նախորդը հաջորդ տարրից՝ \(d=49-62=-13\):
	Այժմ մենք կարող ենք վերականգնել մեր առաջընթացը մեզ անհրաժեշտ (առաջին բացասական) տարրին:
	Պատրաստ. Դուք կարող եք գրել պատասխան.

Պատասխան. \(-3\)

Օրինակ (OGE): Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացի մի քանի հաջորդական տարրեր. \(…5; x; 10; 12.5...\) Գտեք \(x\) տառով նշանակված տարրի արժեքը:
Լուծում:

	\(x\) գտնելու համար մենք պետք է իմանանք, թե հաջորդ տարրը որքանով է տարբերվում նախորդից, այլ կերպ ասած՝ առաջընթացի տարբերությունը։ Գտնենք այն երկու հայտնի հարեւան տարրերից՝ \(d=12.5-10=2.5\):
	Եվ հիմա մենք հեշտությամբ կարող ենք գտնել այն, ինչ փնտրում ենք՝ \(x=5+2.5=7.5\):
	Պատրաստ. Դուք կարող եք գրել պատասխան.

Պատասխան. \(7,5\).

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը սահմանվում է հետևյալ պայմաններով. \(a_1=-11\); \(a_(n+1)=a_n+5\) Գտե՛ք այս պրոգրեսիայի առաջին վեց անդամների գումարը:
Լուծում:

	Մենք պետք է գտնենք առաջընթացի առաջին վեց անդամների գումարը: Բայց մենք չգիտենք դրանց իմաստները, մեզ տրված է միայն առաջին տարրը. Այսպիսով, մենք նախ հաշվարկում ենք արժեքները մեկ առ մեկ՝ օգտագործելով մեզ տրվածը. \(n=1\); \(a_(1+1)=a_1+5=-11+5=-6\) \(n=2\); \(a_(2+1)=a_2+5=-6+5=-1\) \(n=3\); \(a_(3+1)=a_3+5=-1+5=4\) Եվ հաշվելով մեզ անհրաժեշտ վեց տարրերը՝ գտնում ենք դրանց գումարը։
\(S_6=a_1+a_2+a_3+a_4+a_5+a_6=\) \(=(-11)+(-6)+(-1)+4+9+14=9\)	Պահանջվող գումարը գտնվել է.

Պատասխան. \(S_6=9\):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացում \(a_(12)=23\); \(a_(16)=51\): Գտեք այս առաջընթացի տարբերությունը:
Լուծում:

Պատասխան. \(d=7\):

Թվաբանական առաջընթացի կարևոր բանաձևեր

Ինչպես տեսնում եք, թվաբանական առաջընթացի հետ կապված շատ խնդիրներ կարելի է լուծել՝ պարզապես հասկանալով հիմնականը, որ թվաբանական առաջընթացը թվերի շղթա է, և այս շղթայի յուրաքանչյուր հաջորդ տարր ստացվում է՝ ավելացնելով նույն թիվը նախորդին ( առաջընթացի տարբերություն):

Այնուամենայնիվ, երբեմն լինում են իրավիճակներ, երբ շատ անհարմար է «գլխով» որոշելը: Օրինակ, պատկերացրեք, որ հենց առաջին օրինակում մենք պետք է գտնենք ոչ թե հինգերորդ տարրը \(b_5\), այլ երեք հարյուր ութսունվեցերորդ \(b_(386)\): Արդյո՞ք պետք է չորս \(385\) անգամ ավելացնել: Կամ պատկերացրեք, որ նախավերջին օրինակում պետք է գտնել առաջին յոթանասուներեք տարրերի գումարը։ Դուք կհոգնեք հաշվել...

Հետևաբար, նման դեպքերում նրանք «գլխով» չեն լուծում, այլ օգտագործում են թվաբանական առաջընթացի համար ստացված հատուկ բանաձևեր։ Իսկ հիմնականներն են առաջընթացի n-րդ անդամի և \(n\) առաջին անդամների գումարի բանաձևը։

\(n\)-րդ անդամի բանաձևը. \(a_n=a_1+(n-1)d\), որտեղ \(a_1\) առաջընթացի առաջին անդամն է;
\(n\) – պահանջվող տարրի համարը;
\(a_n\) - առաջընթացի ժամկետ \(n\) թվով:

Այս բանաձևը թույլ է տալիս արագ գտնել նույնիսկ երեք հարյուրերորդ կամ միլիոներորդ տարրը՝ իմանալով միայն առաջինը և առաջընթացի տարբերությունը։

Օրինակ. Թվաբանական առաջընթացը որոշվում է հետևյալ պայմաններով. \(b_1=-159\); \(d=8.2\): Գտեք \(b_(246)\):
Լուծում:

Պատասխան. \(բ_(246)=1850\):

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը՝ \(S_n=\frac(a_1+a_n)(2) \cdot n\), որտեղ

\(a_n\) – վերջին ամփոփված ժամկետը;

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը որոշվում է \(a_n=3.4n-0.6\) պայմաններով: Գտեք այս առաջընթացի առաջին \(25\) անդամների գումարը:
Լուծում:

\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25\)		Առաջին քսանհինգ անդամների գումարը հաշվարկելու համար մենք պետք է իմանանք առաջին և քսանհինգերորդ անդամների արժեքը։ Մեր առաջընթացը տրվում է n-րդ անդամի բանաձևով՝ կախված նրա թվից (մանրամասների համար տե՛ս)։ Եկեք հաշվարկենք առաջին տարրը` փոխարինելով \(n\-ով):
\(n=1;\) \(a_1=3.4·1-0.6=2.8\)		Հիմա եկեք գտնենք քսանհինգերորդ անդամը՝ փոխարինելով քսանհինգը՝ \(n\) փոխարեն։
\(n=25;\) \(a_(25)=3.4·25-0.6=84.4\)		Դե, հիմա մենք հեշտությամբ կարող ենք հաշվարկել պահանջվող գումարը։
\(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \(\cdot 25=\) \(=\) \(\frac(2.8+84.4)(2)\) \(\cdot 25 =\)\(1090\)		Պատասխանը պատրաստ է.

Պատասխան. \(S_(25)=1090\):

Առաջին անդամների \(n\) գումարի համար կարող եք ստանալ մեկ այլ բանաձև. պարզապես անհրաժեշտ է \(S_(25)=\)\(\frac(a_1+a_(25))(2)\) \ (\cdot 25\ ) \(a_n\)-ի փոխարեն փոխարինեք դրա բանաձևը \(a_n=a_1+(n-1)d\): Մենք ստանում ենք.

Առաջին n տերմինների գումարի բանաձևը՝ \(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\), որտեղ

\(S_n\) – \(n\) առաջին տարրերի պահանջվող գումարը;
\(a_1\) – առաջին ամփոփված տերմինը;
\(d\) - առաջընթացի տարբերություն;
\(n\) - գումարի տարրերի քանակը:

Օրինակ. Գտե՛ք թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին \(33\)-նախ անդամների գումարը՝ \(17\); \(15.5\); \(14\)…
Լուծում:

Պատասխան. \(S_(33)=-231\):

Ավելի բարդ թվաբանական առաջընթացի խնդիրներ

Այժմ դուք ունեք ամեն ինչ անհրաժեշտ տեղեկատվությունգրեթե ցանկացած թվաբանական առաջընթացի խնդիր լուծելու համար։ Եկեք ավարտենք թեման՝ դիտարկելով խնդիրներ, որոնցում ոչ միայն անհրաժեշտ է կիրառել բանաձևեր, այլև մի փոքր մտածել (մաթեմատիկայի մեջ դա կարող է օգտակար լինել ☺)

Օրինակ (OGE): Գտեք առաջընթացի բոլոր բացասական անդամների գումարը. \(-19.3\); \(-19\); \(-18,7\)…
Լուծում:

\(S_n=\)\(\frac(2a_1+(n-1)d)(2)\) \(\cdot n\)		Առաջադրանքը շատ նման է նախորդին. Մենք սկսում ենք լուծել նույն բանը. նախ գտնում ենք \(d\):
\(d=a_2-a_1=-19-(-19.3)=0.3\)		Այժմ ես կցանկանայի փոխարինել \(d\)-ը գումարի բանաձևով... և այստեղ մի փոքր նրբերանգ է առաջանում. մենք չգիտենք \(n\): Այլ կերպ ասած, մենք չգիտենք, թե քանի տերմին պետք է ավելացվի: Ինչպե՞ս պարզել: Եկեք մտածենք. Մենք կդադարենք ավելացնել տարրերը, երբ հասնենք առաջին դրական տարրին: Այսինքն, դուք պետք է պարզեք այս տարրի թիվը: Ինչպե՞ս: Եկեք գրենք թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկացած տարրի հաշվարկման բանաձևը՝ \(a_n=a_1+(n-1)d\) մեր դեպքի համար։
\(a_n=a_1+(n-1)d\)
\(a_n=-19.3+(n-1)·0.3\)		Մեզ անհրաժեշտ է, որ \(a_n\) դառնա զրոյից մեծ: Եկեք պարզենք, թե ինչ \(n\) կլինի դա:
\(-19.3+(n-1)·0.3>0\)
\((n-1)·0.3>19.3\) \(|:0.3\)		Անհավասարության երկու կողմերը բաժանում ենք \(0.3\) վրա։
\(n-1>\)\(\frac(19.3)(0.3)\)		Մենք փոխանցում ենք մինուս մեկ՝ չմոռանալով փոխել նշանները
\(n>\)\(\frac(19.3)(0.3)\) \(+1\)		Եկեք հաշվարկենք...
\(n>65,333…\)		...և ստացվում է, որ առաջին դրական տարրը կունենա \(66\) թիվը։ Ըստ այդմ, վերջին բացասականն ունի \(n=65\): Ամեն դեպքում, եկեք ստուգենք սա:
\(n=65;\) \(a_(65)=-19.3+(65-1)·0.3=-0.1\) \(n=66;\) \(a_(66)=-19.3+(66-1)·0.3=0.2\)		Այսպիսով, մենք պետք է ավելացնենք առաջին \(65\) տարրերը:
\(S_(65)=\) \(\frac(2 \cdot (-19.3)+(65-1)0.3)(2)\)\(\cdot 65\) \(S_(65)=\)\((-38.6+19.2)(2)\)\(\cdot 65=-630.5\)		Պատասխանը պատրաստ է.

Պատասխան. \(S_(65)=-630.5\):

Օրինակ (OGE): Թվաբանական առաջընթացը որոշվում է հետևյալ պայմաններով. \(a_1=-33\); \(a_(n+1)=a_n+4\): Գտեք գումարը \(26\)րդից մինչև \(42\) տարրը ներառյալ:
Լուծում:

\(a_1=-33;\) \(a_(n+1)=a_n+4\)	Այս խնդրի մեջ պետք է գտնել նաև տարրերի գումարը, բայց սկսած ոչ թե առաջինից, այլ \(26\)րդից։ Նման դեպքի համար մենք բանաձեւ չունենք. Ինչպե՞ս որոշել: Հեշտ է՝ \(26\)-րդից \(42\)-րդ գումարը հասցնելու համար նախ պետք է գտնել \(1\)-րդից մինչև \(42\)-րդի գումարը, այնուհետև հանել. դրանից առաջինից մինչև \(25\)րդ գումարը (տես նկարը):
	Մեր \(a_1=-33\) առաջընթացի և \(d=4\) տարբերության համար (ի վերջո, մենք չորսն ավելացնում ենք նախորդ տարրին՝ հաջորդը գտնելու համար): Իմանալով սա, մենք գտնում ենք առաջին \(42\)-y տարրերի գումարը:
\(S_(42)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(42-1)4)(2)\)\(\cdot 42=\) \(=\)\(\frac(-66+164)(2)\) \(\cdot 42=2058\)	Այժմ առաջին \(25\) տարրերի գումարը:
\(S_(25)=\) \(\frac(2 \cdot (-33)+(25-1)4)(2)\)\(\cdot 25=\) \(=\)\(\frac(-66+96)(2)\) \(\cdot 25=375\)	Եվ վերջապես, մենք հաշվարկում ենք պատասխանը.
\(S=S_(42)-S_(25)=2058-375=1683\)

Պատասխան. \(S=1683\):

Թվաբանական առաջընթացի համար կան ևս մի քանի բանաձևեր, որոնք մենք չենք դիտարկել այս հոդվածում իրենց ցածր գործնական օգտակարության պատճառով: Այնուամենայնիվ, դուք հեշտությամբ կարող եք գտնել դրանք:

Թվային հաջորդականության հասկացությունը ենթադրում է, որ յուրաքանչյուր բնական թիվ համապատասխանում է իրական արժեքի: Թվերի նման շարքը կարող է լինել կամ կամայական կամ ունենալ որոշակի հատկություններ՝ առաջընթաց: Վերջին դեպքում, հաջորդականության յուրաքանչյուր հաջորդ տարրը (անդամը) կարող է հաշվարկվել նախորդի միջոցով:

Թվաբանական առաջընթացը թվային արժեքների հաջորդականություն է, որում նրա հարևան անդամները տարբերվում են միմյանցից նույն թվով (շարքի բոլոր տարրերը, սկսած 2-րդից, ունեն նմանատիպ հատկություն): Այս թիվը՝ նախորդ և հաջորդ տերմինների տարբերությունը, հաստատուն է և կոչվում է առաջընթացի տարբերություն։

Առաջընթացի տարբերություն. սահմանում

Դիտարկենք j արժեքներից բաղկացած հաջորդականություն՝ A = a(1), a(2), a(3), a(4) ... a(j), j պատկանում է բազմությանը: բնական թվեր N. Թվաբանական առաջընթացը, ըստ իր սահմանման, այն հաջորդականությունն է, որտեղ a(3) – a(2) = a(4) – a(3) = a(5) – a(4) = … = a(j) ) – ա(ջ-1) = դ. d արժեքը այս առաջընթացի ցանկալի տարբերությունն է:

d = a(j) – a(j-1).

Ընդգծում.

• Աճող առաջընթաց, որի դեպքում d > 0: Օրինակ՝ 4, 8, 12, 16, 20, ...
• Նվազող պրոգրեսիա, ապա դ< 0. Пример: 18, 13, 8, 3, -2, …

Տարբերության առաջընթացը և դրա կամայական տարրերը

Եթե ​​հայտնի են առաջընթացի 2 կամայական անդամ (i-րդ, k-րդ), ապա տվյալ հաջորդականության տարբերությունը կարող է որոշվել՝ հիմնվելով հարաբերությունների վրա.

a(i) = a(k) + (i – k)*d, ինչը նշանակում է d = (a(i) – a(k))/(i-k):

Առաջընթացի տարբերությունը և դրա առաջին տերմինը

Այս արտահայտությունը կօգնի որոշել անհայտ արժեքը միայն այն դեպքերում, երբ հայտնի է հաջորդականության տարրի թիվը:

Պրոգրեսիայի տարբերությունը և դրա գումարը

Պրոգրեսիայի գումարը նրա անդամների գումարն է: Նրա առաջին j տարրերի ընդհանուր արժեքը հաշվարկելու համար օգտագործեք համապատասխան բանաձևը.

S(j) =((a(1) + a(j))/2)*j, բայց քանի որ a(j) = a(1) + d(j – 1), ապա S(j) = ((a(1) + a(1) + d(j – 1))/2)*j=(( 2a(1) + d(– 1))/2)*j.

Մաթեմատիկան իր գեղեցկությունն ունի, ինչպես նկարչությունն ու պոեզիան։

Ռուս գիտնական, մեխանիկ Ն.Ե. Ժուկովսկին

Շատ տարածված առաջադրանքներ ընդունելության քննություններմաթեմատիկայի մեջ թվաբանական պրոգրեսիա հասկացության հետ կապված խնդիրներ են։ Նման խնդիրները հաջողությամբ լուծելու համար պետք է լավ տիրապետել թվաբանական պրոգրեսիայի հատկություններին և որոշակի հմտություններ ունենալ դրանց կիրառման մեջ։

Նախ հիշենք թվաբանական պրոգրեսիայի հիմնական հատկությունները և ներկայացնենք ամենակարևոր բանաձևերը, կապված այս հայեցակարգի հետ։

Սահմանում. Թվերի հաջորդականություն, որոնցում յուրաքանչյուր հաջորդ տերմինը նույն թվով տարբերվում է նախորդից, կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։ Այս դեպքում համարըկոչվում է առաջընթացի տարբերություն:

Թվաբանական առաջընթացի համար վավեր են հետևյալ բանաձևերը.

, (1)

Որտեղ. Բանաձև (1) կոչվում է թվաբանական առաջընթացի ընդհանուր անդամի բանաձև, իսկ (2) բանաձևը ներկայացնում է թվաբանական առաջընթացի հիմնական հատկությունը. պրոգրեսիայի յուրաքանչյուր անդամ համընկնում է իր հարևան անդամների միջին թվաբանականի հետ և

Նշենք, որ հենց այս հատկության պատճառով է, որ դիտարկվող առաջընթացը կոչվում է «թվաբանություն»:

Վերոնշյալ (1) և (2) բանաձևերը ընդհանրացված են հետևյալ կերպ.

(3)

Գումարը հաշվարկելու համարառաջին թվաբանական պրոգրեսիայի անդամներբանաձևը սովորաբար օգտագործվում է

(5) որտեղ և .

Եթե ​​հաշվի առնենք բանաձևը (1), ապա (5) բանաձևից հետևում է

Եթե ​​նշենք, ապա

Որտեղ. Քանի որ , (7) և (8) բանաձևերը համապատասխան (5) և (6) բանաձևերի ընդհանրացումն են։

Մասնավորապես , բանաձևից (5) հետևում է, Ինչ

Ուսանողների մեծամասնությանը քիչ հայտնի է թվաբանական առաջընթացի հատկությունը, որը ձևակերպված է հետևյալ թեորեմի միջոցով.

Թեորեմ.Եթե, ապա

Ապացույց.Եթե, ապա

Թեորեմն ապացուցված է.

Օրինակ , օգտագործելով թեորեմը, կարելի է ցույց տալ, որ

Անցնենք «Թվաբանական առաջընթաց» թեմայի խնդիրների լուծման բնորոշ օրինակների դիտարկմանը։

Օրինակ 1.Թող այդպես լինի; թող դա լինի. Գտնել.

Լուծում.Կիրառելով բանաձևը (6), մենք ստանում ենք. Քանի որ և , ապա կամ .

Օրինակ 2.Թող լինի երեք անգամ մեծ, և երբ բաժանվում է գործակցի վրա, ստացվում է 2, իսկ մնացորդը՝ 8։ Որոշի՛ր և .

Լուծում.Օրինակի պայմաններից հետևում է հավասարումների համակարգը

Քանի որ , , և , ապա հավասարումների համակարգից (10) ստանում ենք

Այս հավասարումների համակարգի լուծումն է և.

Օրինակ 3.Գտեք եթե և.

Լուծում.Ըստ (5) բանաձևի ունենք կամ. Այնուամենայնիվ, օգտագործելով հատկությունը (9), մենք ստանում ենք.

Քանի որ և , ապա հավասարությունից հետևում է հավասարումըկամ .

Օրինակ 4.Գտեք, եթե.

Լուծում.Ըստ (5) բանաձևի ունենք

Այնուամենայնիվ, օգտագործելով թեորեմը, մենք կարող ենք գրել

Այստեղից և (11) բանաձևից մենք ստանում ենք.

Օրինակ 5. Տրված է. Գտնել.

Լուծում.Այդ ժամանակվանից. Այնուամենայնիվ, հետևաբար.

Օրինակ 6.Թող , և. Գտնել.

Լուծում.Օգտագործելով բանաձևը (9), մենք ստանում ենք. Հետևաբար, եթե , ապա կամ .

Քանի որ և ապա այստեղ մենք ունենք հավասարումների համակարգ

Լուծելով որը, մենք ստանում ենք և .

Հավասարման բնական արմատըէ .

Օրինակ 7.Գտեք եթե և.

Լուծում.Քանի որ համաձայն (3) բանաձևի մենք ունենք դա, ուրեմն խնդրի պայմաններից բխում է հավասարումների համակարգը

Եթե ​​փոխարինենք արտահայտությունըհամակարգի երկրորդ հավասարման մեջ, ապա մենք ստանում ենք կամ .

Արմատներ քառակուսի հավասարումենԵվ .

Դիտարկենք երկու դեպք.

1. Թող , ապա . Այնուհետև և այնուհետև.

Այս դեպքում, համաձայն (6) բանաձևի, ունենք

2. Եթե , ապա , և

Պատասխան. և.

Օրինակ 8.Հայտնի է, որ և. Գտնել.

Լուծում.Հաշվի առնելով (5) բանաձևը և օրինակի պայմանը՝ գրում ենք և.

Սա ենթադրում է հավասարումների համակարգը

Եթե ​​համակարգի առաջին հավասարումը բազմապատկենք 2-ով և այն գումարենք երկրորդ հավասարմանը, կստանանք.

Ըստ (9) բանաձևի ունենք. Այս առումով հետևում է (12)կամ .

Այնուհետև և այնուհետև.

Պատասխան.

Օրինակ 9.Գտեք եթե և.

Լուծում.Քանի որ , և պայմանով , ապա կամ .

Բանաձևից (5) հայտնի է, Ինչ . Այդ ժամանակվանից.

Հետևաբար, այստեղ մենք ունենք գծային հավասարումների համակարգ

Այստեղից մենք ստանում ենք և. Հաշվի առնելով (8) բանաձևը՝ գրում ենք.

Օրինակ 10.Լուծե՛ք հավասարումը.

Լուծում.Սկսած տրված հավասարումըհետևում է դրան. Ենթադրենք, որ , և . Այս դեպքում .

Համաձայն (1) բանաձևի՝ մենք կարող ենք գրել կամ.

Քանի որ , ուրեմն (13) հավասարումը ունի միակ հարմար արմատը:

Օրինակ 11.Գտե՛ք առավելագույն արժեքը՝ պայմանով, որ և .

Լուծում.Քանի որ , ուրեմն դիտարկվող թվաբանական առաջընթացը նվազում է։ Այս առումով արտահայտությունը ստանում է իր առավելագույն արժեքը, երբ այն առաջընթացի նվազագույն դրական անդամի թիվն է։

Եկեք օգտագործենք բանաձևը (1) և փաստը, ինչպես . Հետո մենք ստանում ենք, որ կամ.

Քանի որ, այն ժամանակ կամ . Այնուամենայնիվ, այս անհավասարության մեջամենամեծ բնական թիվը, Ահա թե ինչու .

Եթե ​​և-ի արժեքները փոխարինվում են (6) բանաձևով, ապա մենք ստանում ենք.

Պատասխան.

Օրինակ 12.Որոշե՛ք բոլոր երկնիշ բնական թվերի գումարը, որոնք 6 թվի վրա բաժանելիս թողնում են 5-ի մնացորդ։

Լուծում.Նշենք բոլոր երկնիշ բնական թվերի բազմությամբ, այսինքն. . Այնուհետև մենք կկառուցենք ենթաբազմություն, որը բաղկացած է բազմության այն տարրերից (թվերից), որոնք 6 թվի վրա բաժանելիս ստացվում է 5-ի մնացորդ:

Հեշտ է տեղադրել, Ինչ . Ակնհայտորեն , որ բազմության տարրերըկազմել թվաբանական առաջընթաց, որում և .

Հավաքածուի կարդինալությունը (տարրերի քանակը) հաստատելու համար մենք ենթադրում ենք, որ . Քանի որ և , դա բխում է բանաձևից (1) կամ . Հաշվի առնելով (5) բանաձևը, մենք ստանում ենք.

Խնդիրների լուծման վերը նշված օրինակները ոչ մի կերպ չեն կարող սպառիչ լինել: Այս հոդվածը գրված է վերլուծության հիման վրա ժամանակակից մեթոդներլուծումներ բնորոշ առաջադրանքներտվյալ թեմայի շուրջ։ Թվաբանական առաջընթացի հետ կապված խնդիրների լուծման մեթոդների ավելի խորը ուսումնասիրության համար խորհուրդ է տրվում դիմել առաջարկվող գրականության ցանկին:

1. Մաթեմատիկայի խնդիրների ժողովածու քոլեջների դիմորդների համար / Ed. Մ.Ի. Սկանավի. - Մ.: Խաղաղություն և կրթություն, 2013. – 608 էջ.

2. Սուպրուն Վ.Պ. Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար. լրացուցիչ բաժիններ դպրոցական ծրագիր. – M.: Lenand / URSS, 2014. – 216 էջ.

3. Մեդինսկի Մ.Մ. Տարրական մաթեմատիկայի ամբողջական դասընթաց խնդիրներում և վարժություններում։ Գիրք 2. Թվերի հաջորդականություններ և առաջընթացներ. - Մ.: Էդիտուս, 2015. – 208 էջ.

Դեռ ունե՞ք հարցեր:

Կրկնուսույցից օգնություն ստանալու համար գրանցվեք։

կայքը, նյութը ամբողջությամբ կամ մասնակի պատճենելիս անհրաժեշտ է հղում աղբյուրին:

Թվաբանական առաջընթացի գումարը:

Թվաբանական առաջընթացի գումարը պարզ բան է։ Ե՛վ իմաստով, և՛ բանաձևով։ Բայց այս թեմայի շուրջ կան բոլոր տեսակի առաջադրանքներ: Հիմնականից մինչև բավականին ամուր:

Նախ հասկանանք գումարի իմաստն ու բանաձեւը։ Եվ հետո մենք կորոշենք. Ձեր հաճույքի համար։) Գումարի իմաստը մունրի պես պարզ է։ Թվաբանական առաջընթացի գումարը գտնելու համար պարզապես անհրաժեշտ է ուշադիր ավելացնել դրա բոլոր պայմանները: Եթե ​​այս տերմինները քիչ են, կարող եք ավելացնել առանց որևէ բանաձևի: Բայց եթե շատ է, կամ շատ... ավելացումը նյարդայնացնում է։) Այս դեպքում օգնության է հասնում բանաձեւը։

Գումարի բանաձևը պարզ է.

Եկեք պարզենք, թե ինչպիսի տառեր են ներառված բանաձևում: Սա շատ բան կպարզի:

Ս ն - թվաբանական առաջընթացի գումարը. Ավելացման արդյունք բոլորինանդամներ, հետ առաջինԸստ վերջին.Դա կարեւոր է. Նրանք ճշգրիտ գումարում են Բոլորըանդամներ անընդմեջ՝ առանց բաց թողնելու կամ բաց թողնելու։ Եվ, ճիշտ է, սկսած առաջին.Երրորդ և ութերորդ անդամների գումարը գտնելու կամ հինգերորդից քսաներորդ անդամների գումարը գտնելու նման խնդիրներում բանաձևի ուղղակի կիրառումը կհիասթափեցնի:)

ա 1 - առաջինառաջընթացի անդամ։ Այստեղ ամեն ինչ պարզ է, պարզ է առաջինշարքի համարը.

a n- վերջինառաջընթացի անդամ։ Շարքի վերջին համարը. Շատ ծանոթ անուն չէ, բայց երբ կիրառվում է գումարի վրա, այն շատ հարմար է: Հետո ինքներդ կտեսնեք։

n - վերջին անդամի համարը. Կարևոր է հասկանալ, որ բանաձևում այս թիվը համընկնում է ավելացված տերմինների քանակի հետ։

Եկեք սահմանենք հայեցակարգը վերջինանդամ a n. Բարդ հարց. ո՞ր անդամն է դա անում Վերջինըեթե տրվի անվերջթվաբանական առաջընթաց?)

Վստահ պատասխանելու համար պետք է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի տարրական իմաստը և... ուշադիր կարդալ առաջադրանքը։)

Թվաբանական առաջընթացի գումարը գտնելու առաջադրանքում միշտ հայտնվում է վերջին անդամը (ուղղակի կամ անուղղակի). որը պետք է սահմանափակվի։Հակառակ դեպքում՝ վերջնական, կոնկրետ գումար պարզապես գոյություն չունի:Լուծման համար նշանակություն չունի՝ տրված է առաջընթացը՝ վերջավոր, թե անվերջ։ Կարևոր չէ, թե ինչպես է այն տրված՝ թվերի շարան, թե՞ n-րդ անդամի բանաձև:

Ամենակարևորը հասկանալն է, որ բանաձևը գործում է առաջընթացի առաջին անդամից մինչև թվով տերմին n.Փաստորեն, բանաձևի ամբողջական անվանումն ունի հետևյալ տեսքը. թվաբանական պրոգրեսիայի առաջին n անդամների գումարը։Այս առաջին անդամների թիվը, այսինքն. n, որոշվում է բացառապես առաջադրանքով։ Առաջադրանքում այս ամբողջ արժեքավոր տեղեկատվությունը հաճախ գաղտնագրված է, այո... Բայց դա նորմալ է, ստորև բերված օրինակներում մենք բացահայտում ենք այս գաղտնիքները:)

Թվաբանական առաջընթացի գումարի վերաբերյալ առաջադրանքների օրինակներ:

Նախ եւ առաջ, օգտակար տեղեկատվություն:

Թվաբանական առաջընթացի գումարը ներառող առաջադրանքների հիմնական դժվարությունը բանաձևի տարրերի ճիշտ որոշման մեջ է:

Առաջադրանք գրողները հենց այս տարրերը գաղտնագրում են անսահման երևակայությամբ։) Այստեղ գլխավորը չվախենալն է։ Հասկանալով տարրերի էությունը, բավական է պարզապես վերծանել դրանք։ Եկեք մանրամասն դիտարկենք մի քանի օրինակ: Սկսենք իրական GIA-ի վրա հիմնված առաջադրանքից:

1. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով՝ a n = 2n-3.5: Գտե՛ք նրա առաջին 10 անդամների գումարը:

Լավ աշխատանք. Հեշտ է.) Բանաձևով գումարը որոշելու համար ի՞նչ պետք է իմանանք: Առաջին անդամ ա 1, վերջին ժամկետը a n, այո վերջին անդամի թիվը n.

Որտեղի՞ց կարող եմ ստանալ վերջին անդամի համարը: n? Այո, հենց այնտեղ, պայմանով: Ասում է՝ գտիր գումարը առաջին 10 անդամները.Դե ինչ թվով կլինի։ վերջին,տասներորդ անդամ?) Չեք հավատա, նրա թիվը տասներորդն է։) Հետևաբար, փոխարենը a nմենք կփոխարինենք բանաձևի մեջ ա 10, և փոխարենը n- տասը: Կրկնում եմ՝ վերջին անդամի թիվը համընկնում է անդամների թվի հետ։

Մնում է որոշել ա 1Եվ ա 10. Սա հեշտությամբ հաշվարկվում է՝ օգտագործելով n-րդ անդամի բանաձևը, որը տրված է խնդրի հայտարարության մեջ: Չգիտե՞ք ինչպես դա անել: Մասնակցեք նախորդ դասին, առանց դրա հնարավոր չէ:

ա 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

ա 10=2·10 - 3,5 =16,5

Ս ն = Ս 10.

Մենք պարզել ենք թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևի բոլոր տարրերի նշանակությունը։ Մնում է դրանք փոխարինել և հաշվել.

վերջ։ Պատասխան՝ 75։

Մեկ այլ խնդիր՝ հիմնված GIA-ի վրա. Մի փոքր ավելի բարդ.

2. Տրվում է թվաբանական պրոգրեսիա (a n), որի տարբերությունը 3,7 է; ա 1 = 2,3. Գտե՛ք նրա առաջին 15 անդամների գումարը:

Մենք անմիջապես գրում ենք գումարի բանաձևը.

Այս բանաձևը թույլ է տալիս մեզ գտնել ցանկացած տերմինի արժեքը իր թվով: Մենք փնտրում ենք պարզ փոխարինում.

ա 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Մնում է բոլոր տարրերը փոխարինել թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևով և հաշվարկել պատասխանը.

Պատասխան՝ 423։

Ի դեպ, եթե գումարի բանաձեւում փոխարեն a nՄենք պարզապես փոխարինում ենք n-րդ անդամի բանաձևը և ստանում.

Ներկայացնենք նմանատիպերը և ստանանք թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարի նոր բանաձև.

Ինչպես տեսնում եք, այստեղ դա պարտադիր չէ n-րդ կիսամյակ a n. Որոշ խնդիրների դեպքում այս բանաձեւը շատ է օգնում, այո... Այս բանաձեւը կարող եք հիշել. Կամ կարող եք պարզապես հանել այն ճիշտ ժամանակին, ինչպես այստեղ: Ի վերջո, դուք միշտ պետք է հիշեք գումարի և n-րդ անդամի բանաձևը:)

Այժմ առաջադրանքը կարճ կոդավորման տեսքով).

3. Գտի՛ր բոլոր դրականների գումարը երկնիշ թվեր, երեքի բազմապատիկ։

Վա՜յ։ Ոչ ձեր առաջին անդամը, ոչ ձեր վերջինը, ոչ էլ առաջընթացը ընդհանրապես... Ինչպե՞ս ապրել:

Ստիպված կլինեք գլխով մտածել և պայմանից դուրս հանել թվաբանական առաջընթացի գումարի բոլոր տարրերը։ Մենք գիտենք, թե ինչ են երկնիշ թվերը: Դրանք բաղկացած են երկու թվից։) Ի՞նչ երկնիշ թիվ կլինի առաջին? 10, ենթադրաբար։) Ա վերջին բանըերկնիշ թիվ? 99, իհարկե! Եռանիշները կհետևեն նրան...

Երեքի բազմապատիկները... Հմ... Սրանք թվեր են, որոնք բաժանվում են երեքի, ահա՛։ Տասը չի բաժանվում երեքի, 11-ը չի բաժանվում... 12... բաժանվում է։ Այսպիսով, ինչ-որ բան է առաջանում. Դուք արդեն կարող եք գրել մի շարք՝ ըստ խնդրի պայմանների.

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Արդյո՞ք այս շարքը կլինի թվաբանական առաջընթաց: Անշուշտ։ Յուրաքանչյուր տերմին նախորդից տարբերվում է խիստ երեքով։ Եթե ​​տերմինին ավելացնեք 2 կամ 4, ասեք, արդյունքը, այսինքն. նոր թիվն այլևս չի բաժանվում 3-ի: Դուք կարող եք անմիջապես որոշել թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը. d = 3.Դա օգտակար կլինի!)

Այսպիսով, մենք կարող ենք ապահով կերպով գրել առաջընթացի որոշ պարամետրեր.

Ո՞ր թիվը կլինի: nվերջին անդամը? Ով կարծում է, որ 99-ը չարաչար սխալվում է... Թվերը միշտ իրար հաջորդում են, բայց մեր անդամները երեքի վրայով են ցատկում։ Նրանք չեն համընկնում:

Այստեղ երկու լուծում կա. Ճանապարհներից մեկը գերաշխատասերների համար է: Կարելի է գրել առաջընթացը, թվերի ամբողջ շարքը և մատով հաշվել անդամների թիվը։) Երկրորդ ճանապարհը մտածվածների համար է։ Պետք է հիշել n-րդ անդամի բանաձևը. Եթե ​​մենք կիրառենք բանաձևը մեր խնդրի նկատմամբ, ապա կհայտնաբերենք, որ 99-ը առաջընթացի երեսուներորդ անդամն է: Նրանք. n = 30:

Դիտարկենք թվաբանական առաջընթացի գումարի բանաձևը.

Մենք նայում և ուրախանում ենք:) Խնդրի հայտարարությունից հանեցինք այն ամենը, ինչ անհրաժեշտ էր գումարը հաշվարկելու համար.

ա 1= 12.

ա 30= 99.

Ս ն = S 30.

Մնում է տարրական թվաբանություն։ Մենք թվերը փոխարինում ենք բանաձևով և հաշվարկում.

Պատասխան՝ 1665 թ

Հանրաճանաչ հանելուկների մեկ այլ տեսակ.

4. Հաշվի առնելով թվաբանական առաջընթացը.

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Գտե՛ք քսաներորդից մինչև երեսունչորս անդամների գումարը:

Նայում ենք գումարի բանաձևը և... նեղանում ենք։) Բանաձևը, հիշեցնեմ, հաշվարկում է գումարը։ առաջինիցանդամ. Իսկ խնդրի մեջ պետք է հաշվարկել գումարը քսաներորդից...Բանաձևը չի աշխատի.

Դուք, իհարկե, կարող եք գրել ամբողջ առաջընթացը մի շարքով և ավելացնել տերմիններ 20-ից մինչև 34: Բայց… դա ինչ-որ տեղ հիմարություն է և երկար ժամանակ է պահանջում, չէ՞):

Կա ավելի էլեգանտ լուծում. Եկեք մեր շարքը բաժանենք երկու մասի. Առաջին մասը կլինի առաջին կիսամյակից մինչև տասնիններորդը:Երկրորդ մաս - քսանից մինչև երեսունչորս.Հասկանալի է, որ եթե հաշվարկենք առաջին մասի տերմինների գումարը Ս 1-19, ավելացնենք երկրորդ մասի պայմանների գումարով Ս 20-34, ստանում ենք առաջին անդամից մինչև երեսունչորրորդ առաջընթացի գումարը Ս 1-34. Սրա նման:

Ս 1-19 + Ս 20-34 = Ս 1-34

Այստեղից մենք կարող ենք տեսնել, որ գտնում ենք գումարը Ս 20-34կարելի է անել պարզ հանումով

Ս 20-34 = Ս 1-34 - Ս 1-19

Հաշվի են առնվում աջ կողմի երկու գումարները առաջինիցանդամ, այսինքն. ստանդարտ գումարի բանաձևը բավականին կիրառելի է նրանց համար: Եկեք սկսենք?

Մենք արդյունահանում ենք առաջընթացի պարամետրերը խնդրի հայտարարությունից.

դ = 1,5:

ա 1= -21,5.

Առաջին 19 և առաջին 34 անդամների գումարները հաշվարկելու համար մեզ անհրաժեշտ կլինեն 19-րդ և 34-րդ անդամները։ Մենք դրանք հաշվում ենք՝ օգտագործելով n-րդ անդամի բանաձևը, ինչպես 2-րդ խնդիրում.

ա 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

ա 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Ոչինչ չի մնացել։ 34 անդամների գումարից հանել 19 անդամի գումարը.

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Պատասխան՝ 262.5

Մեկ կարևոր նշում. Այս խնդիրը լուծելու համար շատ օգտակար հնարք կա. Ուղղակի հաշվարկի փոխարեն այն, ինչ ձեզ հարկավոր է (S 20-34),մենք հաշվել ենք մի բան, որը կարծես թե պետք չէ - S 1-19.Եվ հետո որոշեցին Ս 20-34, ամբողջական արդյունքից հեռացնելով ավելորդը։ Այսպիսի «ականջներդ» հաճախ քեզ փրկում են չար խնդիրներից):

Այս դասում մենք նայեցինք խնդիրներ, որոնց համար բավական է հասկանալ թվաբանական առաջընթացի գումարի իմաստը: Դե, դուք պետք է իմանաք մի քանի բանաձև):

Գործնական խորհուրդներ:

Թվաբանական առաջընթացի գումարի հետ կապված ցանկացած խնդիր լուծելիս խորհուրդ եմ տալիս անմիջապես դուրս գրել այս թեմայից երկու հիմնական բանաձևերը:

Բանաձև n-րդ կիսամյակի համար.

Այս բանաձևերը ձեզ անմիջապես կասեն, թե ինչ փնտրել և ինչ ուղղությամբ մտածել խնդիրը լուծելու համար։ Օգնում է.

Իսկ հիմա ինքնուրույն լուծման առաջադրանքները։

5. Գտի՛ր երեքի չբաժանվող բոլոր երկնիշ թվերի գումարը:

Հա՞յլ է:) Հուշումը թաքնված է 4-րդ խնդրի նշումում: Դե, խնդիրը 3-ը կօգնի:

6. Թվաբանական առաջընթացը տրվում է պայմանով՝ a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0.5. Գտե՛ք նրա առաջին 24 անդամների գումարը:

Անսովոր?) Սա կրկնվող բանաձև է: Դրա մասին կարող եք կարդալ նախորդ դասում։ Մի անտեսեք հղումը, նման խնդիրներ հաճախ են հանդիպում ԳԱԱ-ում։

7. Վասյան տոնի համար գումար է կուտակել։ Մինչև 4550 ռուբլի: Եվ ես որոշեցի իմ սիրելի մարդուն (ինքս) մի քանի օր երջանկություն պարգեւել): Ապրիր գեղեցիկ՝ չուրանալով քեզ ոչինչ։ Առաջին օրը ծախսեք 500 ռուբլի, իսկ յուրաքանչյուր հաջորդ օրը ծախսեք 50 ռուբլի ավելի, քան նախորդը: Մինչև փողը վերջանա։ Քանի՞ օր երջանկություն ունեցավ Վասյան:

Դժվա՞ր է) 2-րդ առաջադրանքից լրացուցիչ բանաձեւը կօգնի:

Պատասխաններ (խառնաշփոթ). 7, 3240, 6:

Եթե ​​Ձեզ դուր է գալիս այս կայքը...

Ի դեպ, ես ձեզ համար ևս մի քանի հետաքրքիր կայք ունեմ։)

Դուք կարող եք զբաղվել օրինակներ լուծելով և պարզել ձեր մակարդակը: Փորձարկում ակնթարթային ստուգմամբ: Եկեք սովորենք - հետաքրքրությամբ!)

Կարող եք ծանոթանալ ֆունկցիաներին և ածանցյալներին։

Այսպիսով, եկեք նստենք և սկսենք գրել որոշ թվեր: Օրինակ:
Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և դրանք կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք (մեր դեպքում դրանք կան): Ինչքան էլ թվեր գրենք, միշտ կարող ենք ասել, թե որն է առաջինը, որը երկրորդը և այդպես մինչև վերջինը, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է.

Թվերի հաջորդականություն
Օրինակ, մեր հաջորդականության համար.

Նշանակված համարը հատուկ է հաջորդականության միայն մեկ թվին: Այսինքն՝ հաջորդականության մեջ չկան երեք երկրորդ թվեր։ Երկրորդ թիվը (ինչպես թվին) միշտ նույնն է։
Թվով համարը կոչվում է հաջորդականության րդ անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառով (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ նույն տառն է, որի ինդեքսը հավասար է այս անդամի թվին.

Մեր դեպքում.

Ենթադրենք, մենք ունենք թվային հաջորդականություն, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:
Օրինակ:

և այլն:
Այս թվային հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։
«Պրոգրեսիա» տերմինը ներմուծվել է հռոմեացի հեղինակ Բոեթիուսի կողմից դեռևս 6-րդ դարում և ավելի լայն իմաստով հասկացվել է որպես անսահման թվային հաջորդականություն։ «Թվաբանություն» անվանումը փոխանցվել է շարունակական համամասնությունների տեսությունից, որն ուսումնասիրվել է հին հույների կողմից։

Սա թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նույն թվին ավելացված նախորդին։ Այս թիվը կոչվում է թվաբանական առաջընթացի տարբերություն և նշանակված է։

Փորձեք որոշել, թե որ թվային հաջորդականություններն են թվաբանական առաջընթաց, որոնք՝ ոչ.

ա)
բ)
գ)
դ)

Հասկացա? Եկեք համեմատենք մեր պատասխանները.
Էթվաբանական պրոգրեսիա - բ, գ.
Չէթվաբանական պրոգրեսիա - ա, դ.

Վերադառնանք տրված առաջընթացին () և փորձենք գտնել դրա րդ անդամի արժեքը։ Գոյություն ունի երկուայն գտնելու միջոց:

1. Մեթոդ

Մենք կարող ենք ավելացնել առաջընթացի համարը նախորդ արժեքին, մինչև հասնենք պրոգրեսիայի երրորդ անդամին: Լավ է, որ մենք շատ բան չունենք ամփոփելու՝ ընդամենը երեք արժեք.

Այսպիսով, նկարագրված թվաբանական առաջընթացի տերմինը հավասար է.

2. Մեթոդ

Ի՞նչ կլիներ, եթե մեզ անհրաժեշտ լիներ գտնել առաջընթացի եռամսյակի արժեքը: Գումարը մեզ մեկ ժամից ավելի կխլի, և փաստ չէ, որ թվեր գումարելիս սխալներ թույլ չենք տա։
Իհարկե, մաթեմատիկոսները գտել են մի ձև, որով անհրաժեշտ չէ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացնել նախորդ արժեքին։ Ավելի ուշադիր նայեք գծված նկարին... Անշուշտ դուք արդեն նկատել եք որոշակի օրինաչափություն, այն է՝.

Օրինակ՝ տեսնենք, թե ինչից է բաղկացած այս թվաբանական պրոգրեսիայի րդ անդամի արժեքը.


Այլ կերպ ասած:

Փորձեք ինքներդ այս կերպ գտնել տվյալ թվաբանական առաջընթացի անդամի արժեքը։

Հաշվարկե՞լ եք։ Համեմատեք ձեր գրառումները պատասխանի հետ.

Խնդրում ենք նկատի ունենալ, որ դուք ստացել եք ճիշտ նույն թիվը, ինչ նախորդ մեթոդով, երբ մենք հաջորդաբար ավելացրեցինք թվաբանական առաջընթացի պայմանները նախորդ արժեքին:
Փորձենք «ապանձնավորել» այս բանաձևը. եկեք այն մտցնենք ընդհանուր ձևև մենք ստանում ենք.

Թվաբանական առաջընթացի հավասարում.

Թվաբանական առաջընթացները կարող են աճել կամ նվազել:

Աճող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքն ավելի մեծ է, քան նախորդը:
Օրինակ:

Նվազող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը նախորդից փոքր է:
Օրինակ:

Ստացված բանաձևը օգտագործվում է թվաբանական պրոգրեսիայի և՛ աճող, և՛ նվազող տերմիններով տերմինների հաշվարկման ժամանակ:
Եկեք ստուգենք սա գործնականում:
Մեզ տրված է հետևյալ թվերից բաղկացած թվաբանական պրոգրեսիա. Եկեք ստուգենք, թե որն է այս թվաբանական առաջընթացի րդ թիվը, եթե այն հաշվարկելու համար օգտագործենք մեր բանաձևը.

Այդ ժամանակվանից:

Այսպիսով, մենք համոզված ենք, որ բանաձևը գործում է ինչպես նվազող, այնպես էլ աճող թվաբանական պրոգրեսիայով:
Փորձեք ինքներդ գտնել այս թվաբանական առաջընթացի թվաբանական առաջընթացի երրորդ և երրորդ անդամները:

Եկեք համեմատենք արդյունքները.

Թվաբանական առաջընթացի հատկություն

Եկեք բարդացնենք խնդիրը՝ կբխենք թվաբանական առաջընթացի հատկությունը։
Ենթադրենք, մեզ տրված է հետևյալ պայմանը.
- թվաբանական առաջընթաց, գտեք արժեքը:
Հեշտ, ասում ես և սկսում հաշվել արդեն իմացած բանաձևով.

Թող, այ, ուրեմն.

Բացարձակապես ճիշտ. Ստացվում է, որ մենք նախ գտնում ենք, հետո ավելացնում ենք առաջին թվին ու ստանում այն, ինչ փնտրում ենք։ Եթե ​​պրոգրեսիան ներկայացված է փոքր արժեքներով, ապա դրանում բարդ բան չկա, բայց ի՞նչ, եթե պայմանում մեզ թվեր տրվեն: Համաձայնեք՝ հաշվարկներում սխալվելու հավանականություն կա։
Հիմա մտածեք, թե արդյոք հնարավո՞ր է այս խնդիրը լուծել մեկ քայլով՝ օգտագործելով որևէ բանաձև։ Իհարկե, այո, և դա այն է, ինչ մենք կփորձենք բացահայտել հիմա:

Թվաբանական առաջընթացի պահանջվող տերմինը նշենք այնպես, ինչպես, այն գտնելու բանաձևը մեզ հայտնի է. սա նույն բանաձևն է, որը մենք սկզբում ստացանք.
, Ապա:

• առաջընթացի նախորդ ժամկետն է.
• Առաջընթացի հաջորդ ժամկետն է.

Եկեք ամփոփենք առաջընթացի նախորդ և հաջորդ տերմինները.

Ստացվում է, որ առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների գումարը նրանց միջև գտնվող պրոգրեսիայի անդամի կրկնակի արժեքն է։ Այլ կերպ ասած, առաջընթացի տերմինի արժեքը գտնելու համար հայտնի նախորդ և հաջորդական արժեքներով, անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել:

Ճիշտ է, մենք ստացել ենք նույն թիվը: Եկեք ապահովենք նյութը: Ինքներդ հաշվարկեք առաջընթացի արժեքը, դա ամենևին էլ դժվար չէ:

Լավ արեցիր։ Դուք գիտեք գրեթե ամեն ինչ առաջընթացի մասին: Մնում է պարզել միայն մեկ բանաձև, որը, ըստ լեգենդի, հեշտությամբ իր համար եզրակացրել է բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ «մաթեմատիկոսների արքան»՝ Կարլ Գաուսը...

Երբ Կարլ Գաուսը 9 տարեկան էր, ուսուցիչը, զբաղված լինելով այլ դասարանների աշակերտների աշխատանքը ստուգելով, դասարանում հանձնարարեց հետևյալ առաջադրանքը. Պատկերացրեք ուսուցչի զարմանքը, երբ նրա աշակերտներից մեկը (սա Կառլ Գաուսն էր) մեկ րոպե անց առաջադրանքին տվեց ճիշտ պատասխանը, մինչդեռ համարձակի դասընկերներից շատերը երկար հաշվարկներից հետո սխալ արդյունք ստացան...

Երիտասարդ Կարլ Գաուսը նկատեց որոշակի օրինաչափություն, որը դուք նույնպես հեշտությամբ կարող եք նկատել:
Ենթադրենք, մենք ունենք թվաբանական առաջընթաց, որը բաղկացած է -րդ անդամներից. Մենք պետք է գտնենք թվաբանական առաջընթացի այս անդամների գումարը: Իհարկե, մենք կարող ենք ձեռքով գումարել բոլոր արժեքները, բայց ինչ անել, եթե առաջադրանքը պահանջում է գտնել իր պայմանների գումարը, ինչպես փնտրում էր Գաուսը:

Եկեք պատկերենք մեզ տրված առաջընթացը։ Ուշադիր նայեք ընդգծված թվերին և փորձեք դրանցով կատարել տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ։


Դուք փորձե՞լ եք այն: Ի՞նչ նկատեցիք։ Ճիշտ! Նրանց գումարները հավասար են

Հիմա ասա ինձ, մեզ տրված պրոգրեսիայի մեջ ընդհանուր քանի՞ նման զույգ կա։ Իհարկե, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն.
Ելնելով այն փաստից, որ թվաբանական պրոգրեսիայի երկու անդամների գումարը հավասար է, իսկ նմանատիպ զույգերը հավասար են, մենք ստանում ենք, որ ընդհանուր գումարը հավասար է.
.
Այսպիսով, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի բանաձևը կլինի.

Որոշ խնդիրներում մենք չգիտենք երրորդ տերմինը, բայց գիտենք առաջընթացի տարբերությունը: Փորձեք փոխարինել րդ անդամի բանաձևը գումարի բանաձևով:
Ի՞նչ ստացաք:

Լավ արեցիր։ Հիմա վերադառնանք Կարլ Գաուսին առաջադրված խնդրին. ինքներդ հաշվարկեք, թե ինչին է հավասար th-ից սկսվող թվերի գումարը և th-ից սկսվող թվերի գումարը։

Որքա՞ն եք ստացել:
Գաուսը գտավ, որ տերմինների գումարը հավասար է, և անդամների գումարը: Այդպե՞ս եք որոշել։

Փաստորեն, թվաբանական պրոգրեսիայի պայմանների գումարի բանաձևը ապացուցվել է հին հույն գիտնական Դիոֆանտոսի կողմից դեռ 3-րդ դարում, և այս ընթացքում սրամիտ մարդիկ լիովին օգտագործում էին թվաբանական պրոգրեսիայի հատկությունները:
Օրինակ, պատկերացրեք Հին Եգիպտոսեւ այն ժամանակվա ամենամեծ շինարարական նախագիծը՝ բուրգի կառուցում... Նկարում պատկերված է դրա մի կողմը։

Ո՞ւր է այստեղ առաջընթացը, ասում եք: Ուշադիր նայեք և բուրգի պատի յուրաքանչյուր շարքում ավազի բլոկների քանակով օրինակ գտեք:


Ինչու՞ ոչ թվաբանական առաջընթաց: Հաշվեք, թե քանի բլոկ է անհրաժեշտ մեկ պատի կառուցման համար, եթե հիմքում տեղադրված են բլոկային աղյուսներ: Հուսով եմ, որ դուք չեք հաշվի, երբ ձեր մատը շարժեք մոնիտորի վրայով, հիշում եք վերջին բանաձևը և այն ամենը, ինչ մենք ասացինք թվաբանական առաջընթացի մասին:

Այս դեպքում առաջընթացն ունի հետևյալ տեսքը.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Թվաբանական առաջընթացի անդամների թիվը:
Եկեք փոխարինենք մեր տվյալները վերջին բանաձևերով (հաշվեք բլոկների քանակը 2 եղանակով):

Մեթոդ 1.

Մեթոդ 2.

Եվ այժմ դուք կարող եք հաշվարկել մոնիտորի վրա. համեմատեք ստացված արժեքները մեր բուրգում գտնվող բլոկների քանակի հետ: Հասկացա? Լավ արեցիք, դուք յուրացրել եք թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամների գումարը։
Իհարկե, դուք չեք կարող բուրգ կառուցել հիմքում գտնվող բլոկներից, բայց դրանից: Փորձեք հաշվել, թե քանի ավազի աղյուս է անհրաժեշտ այս պայմանով պատ կառուցելու համար։
Դուք հասցրե՞լ եք:
Ճիշտ պատասխանը բլոկներն են.

Ուսուցում

Առաջադրանքներ.

1. Մաշան ամառային մարզավիճակ է ձեռք բերում. Ամեն օր նա ավելացնում է squats-ի քանակը: Մաշան շաբաթական քանի՞ անգամ կնճռոտ կանի, եթե առաջին մարզման ժամանակ նսեմացներ:
2. Որքա՞ն է պարունակվող բոլոր կենտ թվերի գումարը:
3. Տեղեկամատյանները պահեստավորելիս լոգերը դրանք դնում են այնպես, որ յուրաքանչյուր վերին շերտ պարունակի մեկ գերան պակաս, քան նախորդը: Քանի՞ գերան կա մեկ որմնադրությանը, եթե որմնադրությանը հիմքը գերաններն են:

Պատասխանները:

1. Սահմանենք թվաբանական առաջընթացի պարամետրերը։ Այս դեպքում
   (շաբաթներ = օրեր):

   Պատասխան.Երկու շաբաթվա ընթացքում Մաշան պետք է squats անի օրը մեկ անգամ:

2. Առաջին կենտ թիվ, վերջին համարը.
   Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
   Կենտ թվերի թիվը կեսն է, այնուամենայնիվ, եկեք ստուգենք այս փաստը` օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի տերմինը գտնելու բանաձևը.

   Թվերը պարունակում են կենտ թվեր:
   Եկեք փոխարինենք առկա տվյալները բանաձևով.

   Պատասխան.Ներառված բոլոր կենտ թվերի գումարը հավասար է։

3. Հիշենք բուրգերի մասին խնդիրը. Մեր դեպքում a , քանի որ յուրաքանչյուր վերին շերտը կրճատվում է մեկ գերանով, ապա ընդհանուր առմամբ կան մի քանի շերտեր, այսինքն.
   Տվյալները փոխարինենք բանաձևով.

   Պատասխան.Որմնադրությանը մեջ կան գերաններ։

Եկեք ամփոփենք այն

1. - թվային հաջորդականություն, որում հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը: Այն կարող է աճել կամ նվազել:
2. Բանաձևի որոնումԹվաբանական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը գրվում է բանաձևով - , որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:
3. Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը- - որտեղ է առաջընթացի մեջ գտնվող թվերի թիվը:
4. Թվաբանական առաջընթացի պայմանների գումարըկարելի է գտնել երկու եղանակով.
   
   , որտեղ է արժեքների թիվը:

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Թվերի հաջորդականություն

Եկեք նստենք և սկսենք մի քանի թվեր գրել։ Օրինակ:

Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և դրանք կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք: Բայց մենք միշտ կարող ենք ասել, թե որն է առաջինը, որը երկրորդը և այլն, այսինքն՝ կարող ենք համարել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է։

Թվերի հաջորդականությունթվերի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրին կարելի է վերագրել եզակի համար:

Այլ կերպ ասած, յուրաքանչյուր թիվ կարող է կապված լինել որոշակի բնական թվի հետ, այն էլ՝ եզակի։ Եվ մենք այս համարը չենք վերագրի այս հավաքածուից որևէ այլ համարի:

Թվով համարը կոչվում է հաջորդականության անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառով (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ նույն տառն է, որի ինդեքսը հավասար է այս անդամի թվին.

Շատ հարմար է, եթե հաջորդականության թվով տերմինը կարելի է նշել ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, բանաձեւը

սահմանում է հաջորդականությունը.

Իսկ բանաձևը հետևյալ հաջորդականությունն է.

Օրինակ՝ թվաբանական առաջընթացը հաջորդականություն է (այստեղ առաջին անդամը հավասար է, իսկ տարբերությունը՝): Կամ (, տարբերություն):

Բանաձև n-րդ կիսամյակ

Մենք կոչում ենք կրկնվող բանաձև, որում, որպեսզի պարզես տերմինը, անհրաժեշտ է իմանալ նախորդ կամ մի քանի նախորդները.

Այս բանաձևով, օրինակ, առաջընթացի տերմինը գտնելու համար մենք պետք է հաշվարկենք նախորդ ինը: Օրինակ, թող: Ապա.

Լավ, հիմա պարզ է, թե որն է բանաձեւը։

Յուրաքանչյուր տողում մենք ավելացնում ենք՝ բազմապատկելով ինչ-որ թվով: Որ մեկը? Շատ պարզ. սա ներկայիս անդամի թիվն է՝ հանած.

Հիմա շատ ավելի հարմար է, չէ՞: Մենք ստուգում ենք.

Ինքներդ որոշեք.

Թվաբանական առաջընթացում գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և գտե՛ք հարյուրերորդ անդամը:

Լուծում:

Առաջին տերմինը հավասար է. Որն է տարբերությունը? Ահա թե ինչ.

(Ահա թե ինչու է այն կոչվում տարբերություն, քանի որ այն հավասար է առաջընթացի հաջորդական թվերի տարբերությանը):

Այսպիսով, բանաձևը.

Այդ դեպքում հարյուրերորդ անդամը հավասար է.

Որքա՞ն է բոլոր բնական թվերի գումարը սկսած մինչև:

Ըստ լեգենդի՝ մեծ մաթեմատիկոս Կարլ Գաուսը, որպես 9-ամյա տղա, մի քանի րոպեում հաշվարկել է այս գումարը։ Նա նկատեց, որ առաջին և վերջին թվերի գումարը հավասար է, երկրորդի և նախավերջինի գումարը նույնն է, վերջից երրորդի և 3-րդի գումարը նույնն է և այլն։ Քանի՞ այդպիսի զույգ կա ընդհանուր առմամբ: Ճիշտ է, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն. Այսպիսով,

Ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի ընդհանուր բանաձևը կլինի.

Օրինակ:
Գտե՛ք բոլոր երկնիշ բազմապատիկների գումարը:

Լուծում:

Առաջին նման թիվը սա է. Յուրաքանչյուր հաջորդ թիվ ստացվում է նախորդ թվին գումարելով: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց առաջին անդամով և տարբերությամբ:

Այս առաջընթացի տերմինի բանաձևը.

Քանի՞ տերմին կա առաջընթացում, եթե դրանք բոլորը պետք է լինեն երկնիշ:

Շատ հեշտ: .

Առաջընթացի վերջին ժամկետը հավասար կլինի։ Այնուհետև գումարը.

Պատասխան.

Հիմա որոշեք ինքներդ.

1. Ամեն օր մարզիկը վազում է ավելի շատ մետր, քան նախորդ օրը։ Քանի՞ կիլոմետր ընդհանուր առմամբ նա կվազի մեկ շաբաթում, եթե առաջին օրը վազի կմ մ:
2. Հեծանվորդն ամեն օր ավելի շատ կիլոմետր է անցնում, քան նախորդ օրը: Առաջին օրը նա անցել է կմ. Քանի՞ օր է նրան անհրաժեշտ մեկ կիլոմետր անցնելու համար: Քանի՞ կիլոմետր կանցնի նա իր ճանապարհորդության վերջին օրվա ընթացքում:
3. Խանութում սառնարանի գինը ամեն տարի նույնքան նվազում է։ Որոշեք, թե ամեն տարի որքանով է նվազել սառնարանի գինը, եթե ռուբլով վաճառքի հանվել, վեց տարի անց այն վաճառվել է ռուբլով։

Պատասխանները:

1. Այստեղ ամենակարևորը թվաբանական պրոգրեսիան ճանաչելն ու դրա պարամետրերը որոշելն է։ Այս դեպքում (շաբաթներ = օրեր): Դուք պետք է որոշեք այս առաջընթացի առաջին անդամների գումարը.
   .
   Պատասխան.
2. Այստեղ տրված է՝ , պետք է գտնել։
   Ակնհայտ է, որ դուք պետք է օգտագործեք գումարի նույն բանաձևը, ինչպես նախորդ խնդրին.
   .
   Փոխարինեք արժեքները.

   Արմատն ակնհայտորեն չի տեղավորվում, ուստի պատասխանն է.
   Հաշվարկենք վերջին օրվա ընթացքում անցած ճանապարհը՝ օգտագործելով րդ անդամի բանաձևը.
   (կմ):
   Պատասխան.

3. Տրված է. Գտեք.
   Ավելի պարզ չէր կարող լինել.
   (ռուբ.):
   Պատասխան.

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՀԱՄԱՌՈՏ ԳԼԽԱՎՈՐԻ ՄԱՍԻՆ

Սա թվային հաջորդականություն է, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը:

Թվաբանական առաջընթացը կարող է լինել աճող () և նվազող ():

Օրինակ:

Թվաբանական առաջընթացի n-րդ անդամը գտնելու բանաձևը

գրվում է բանաձևով, որտեղ գտնվում է առաջընթացի մեջ գտնվող թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը

Այն թույլ է տալիս հեշտությամբ գտնել առաջընթացի տերմինը, եթե հայտնի են դրա հարևան տերմինները. որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի պայմանների գումարը

Գումարը գտնելու երկու եղանակ կա.

Որտեղ է արժեքների թիվը:

Որտեղ է արժեքների թիվը:

ՄՆԱՑՎԱԾ 2/3 ՀՈԴՎԱԾՆԵՐԸ ՀԱՍԱՆԵԼԻ ԵՆ ՄԻԱՅՆ YOUCLEVER ՈՒՍԱՆՈՂՆԵՐԻՆ:

Դարձեք YouClever ուսանող,

Պատրաստվեք միասնական պետական ​​քննությանը կամ մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը «ամսական մեկ բաժակ սուրճի» գնով։

Եվ նաև ստացեք անսահմանափակ մուտք դեպի «YouClever» դասագիրք, «100gia» նախապատրաստական ​​ծրագիր (աշխատանքային գրքույկ), անսահմանափակ: փորձնական միասնական պետական ​​քննությունև OGE, 6000 խնդիրներ լուծումների վերլուծության և այլ ծառայությունների YouClever և 100gia: