Parallelepiped- ի տեսակները. Շեղ զուգահեռ. հատկություններ, բանաձևեր և առաջադրանքներ մաթեմատիկայի դասավանդողի համար Ուղիղ զուգահեռ գծանկար

Այս դասին բոլորը կկարողանան ուսումնասիրել «Ուղղանկյուն զուգահեռաբարձ» թեման։ Դասի սկզբում մենք կկրկնենք, թե ինչ են կամայական և ուղիղ զուգահեռականները, հիշեք դրանց հակադիր դեմքերի և զուգահեռականի անկյունագծերի հատկությունները: Այնուհետև մենք կնայենք, թե ինչ է խորանարդը և կքննարկենք նրա հիմնական հատկությունները:

Թեմա՝ Ուղիների և հարթությունների ուղղահայացություն

Դաս՝ խորանարդ

Երկու հավասար ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 և չորս ABV 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 զուգահեռականներից կազմված մակերեսը կոչվում է. parallelepiped(նկ. 1):

Բրինձ. 1 Զուգահեռաբար

Այսինքն՝ մենք ունենք երկու հավասար զուգահեռներ ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 (հիմքեր), դրանք ընկած են զուգահեռ հարթություններում այնպես, որ AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 կողային եզրերը զուգահեռ են։ Այսպիսով, զուգահեռագծից կազմված մակերեսը կոչվում է parallelepiped.

Այսպիսով, զուգահեռ գծի մակերեսը բոլոր զուգահեռականների գումարն է, որոնք կազմում են զուգահեռականի գագաթը։

1. Զուգահեռաբարի հակառակ երեսները զուգահեռ են և հավասար:

(ձևերը հավասար են, այսինքն՝ կարելի է համադրել համընկնելով)

Օրինակ:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (ըստ սահմանման հավասար զուգահեռներ),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (քանի որ AA 1 B 1 B և DD 1 C 1 C զուգահեռականի հակառակ երեսներն են),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (քանի որ AA 1 D 1 D և BB 1 C 1 C զուգահեռականի հակառակ երեսներն են):

2. Զուգահեռագծի անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսվում են այս կետով:

Զուգահեռաբար AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B անկյունագծերը հատվում են մեկ O կետում, և յուրաքանչյուր անկյունագիծ կիսով չափ կիսվում է այս կետով (նկ. 2):

Բրինձ. 2 Զուգահեռ գծի անկյունագծերը հատվում են և կիսով չափ բաժանվում են հատման կետով:

3. Զուգահեռապատիկի հավասար և զուգահեռ եզրերի երեք քառապատիկ կա 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1:

Սահմանում. Զուգահեռակետը կոչվում է ուղիղ, եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին:

Թող AA 1 եզրը ուղղահայաց լինի հիմքին (նկ. 3): Սա նշանակում է, որ AA 1 ուղիղը ուղղահայաց է AD և AB ուղիղ գծերին, որոնք ընկած են հիմքի հարթությունում: Սա նշանակում է, որ կողային երեսները պարունակում են ուղղանկյուններ: Իսկ հիմքերը պարունակում են կամայական զուգահեռներ։ Նշենք ∠BAD = φ, անկյունը φ կարող է լինել ցանկացած:

Բրինձ. 3 Աջ զուգահեռական

Այսպիսով, աջ զուգահեռագիծը զուգահեռական է, որի կողային եզրերը ուղղահայաց են զուգահեռականի հիմքերին:

Սահմանում. Զուգահեռագիծը կոչվում է ուղղանկյուն,եթե նրա կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին. Հիմքերը ուղղանկյուն են։

Զուգահեռապատիկ ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ուղղանկյուն է (նկ. 4), եթե.

1. AA 1 ⊥ ABCD (կողային եզր, որը ուղղահայաց է հիմքի հարթությանը, այսինքն՝ ուղիղ զուգահեռագիծ):

2. ∠BAD = 90°, այսինքն հիմքը ուղղանկյուն է:

Բրինձ. 4 Ուղղանկյուն զուգահեռական

Ուղղանկյուն զուգահեռ գիծն ունի կամայական զուգահեռականի բոլոր հատկությունները:Բայց կան լրացուցիչ հատկություններ, որոնք բխում են խորանարդի սահմանումից:

Այսպիսով, խորանարդաձեւզուգահեռաբարձ է, որի կողային եզրերն ուղղահայաց են հիմքին: Խորանարդի հիմքը ուղղանկյուն է.

1. Ուղղանկյուն զուգահեռ գծում բոլոր վեց դեմքերը ուղղանկյուն են:

ABCD և A 1 B 1 C 1 D 1 ուղղանկյուններ են ըստ սահմանման:

2. Կողային կողիկներն ուղղահայաց են հիմքին. Սա նշանակում է, որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր կողային երեսները ուղղանկյուն են:

3. Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր երկանկյուն անկյունները ուղիղ են:

Դիտարկենք, օրինակ, AB եզրով ուղղանկյուն զուգահեռանիպի երկդրանի անկյունը, այսինքն՝ ABC 1 և ABC հարթությունների միջև երկնիստ անկյունը:

AB-ն եզր է, A 1 կետը գտնվում է մի հարթության վրա՝ ABB 1 հարթության վրա, իսկ D կետը մյուսում՝ A 1 B 1 C 1 D 1 հարթության վրա: Այնուհետև դիտարկվող երկփեղկ անկյունը կարող է նշանակվել նաև հետևյալ կերպ՝ ∠A 1 ABD։

Վերցնենք A կետը AB եզրին: AA 1-ն ուղղահայաց է AB եզրին АВВ-1 հարթությունում, AD-ն ուղղահայաց է AB եզրին ABC հարթությունում: Սա նշանակում է, որ ∠A 1 AD-ը տրված երկփեղկ անկյան գծային անկյունն է։ ∠A 1 AD = 90°, ինչը նշանակում է, որ AB եզրին երկնիստ անկյունը 90° է:

∠(ABB 1, ABC) = ∠(AB) = ∠A 1 ABD= ∠A 1 AD = 90°:

Նմանապես, ապացուցված է, որ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ցանկացած երկանկյուն անկյուն ուղիղ է:

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին:

Նշում. Խորանարդի մեկ գագաթից բխող երեք եզրերի երկարությունները խորանարդի չափերն են: Նրանք երբեմն կոչվում են երկարություն, լայնություն, բարձրություն:

Տրված է` ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - ուղղանկյուն զուգահեռաբարձ (նկ. 5):

Ապացուցել.

Բրինձ. 5 Ուղղանկյուն զուգահեռական

Ապացույց:

Ուղիղ CC 1-ը ուղղահայաց է ABC հարթությանը, հետևաբար՝ AC ուղիղ գծին: Սա նշանակում է, որ CC 1 A եռանկյունը ուղղանկյուն է: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Դիտարկենք ABC ուղղանկյուն եռանկյունը: Պյութագորասի թեորեմի համաձայն.

Բայց BC և AD ուղղանկյան հակառակ կողմերն են: Այսպիսով, մ.թ.ա. = մ.թ. Ապա.

Որովհետեւ , Ա , Դա. Քանի որ CC 1 = AA 1, սա այն է, ինչ պետք էր ապացուցել:

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծերը հավասար են:

Եկեք նշանակենք զուգահեռ ABC-ի չափերը որպես a, b, c (տես նկ. 6), ապա AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

Կամ (համարժեք) մի բազմանիստ, որն ունի վեց դեմք և դրանցից յուրաքանչյուրը. զուգահեռագիծ.

Parallelepiped-ի տեսակները

Զուգահեռաբարձերի մի քանի տեսակներ կան.

• Խորանարդը զուգահեռաբարձ է, որի դեմքերը բոլորն ուղղանկյուն են:
• Ուղղանկյուն զուգահեռագիծը 4 կողային երեսներով, որոնք ուղղանկյուն են:
• Զուգահեռաբար թեքված զուգահեռական է, որի կողային երեսները ուղղահայաց չեն հիմքերին:

Էական տարրեր

Զուգահեռաբարի երկու երեսները, որոնք չունեն ընդհանուր եզր, կոչվում են հակառակ, իսկ ընդհանուր եզր ունեցողները՝ կից: Զուգահեռականի երկու գագաթները, որոնք չեն պատկանում նույն դեմքին, կոչվում են հակադիր: Հակառակ գագաթները միացնող հատվածը կոչվում է զուգահեռականի անկյունագիծ։ Ուղղանկյուն զուգահեռ գագաթի երեք եզրերի երկարությունները, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ, կոչվում են դրա չափեր:

Հատկություններ

• Զուգահեռագիծը սիմետրիկ է իր անկյունագծի կեսին:
• Զուգահեռապատիկի մակերեսին պատկանող և նրա անկյունագծի միջով անցնող ծայրերով ցանկացած հատված կիսով չափ բաժանվում է դրանով. մասնավորապես զուգահեռաբարպիդի բոլոր անկյունագծերը հատվում են մի կետում և կիսվում են դրանով:
• Զուգահեռաբարի հակառակ երեսները զուգահեռ են և հավասար:
• Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծային երկարության քառակուսին հավասար է նրա երեք չափերի քառակուսիների գումարին:

Հիմնական բանաձևեր

Աջ զուգահեռական

Կողմնակի մակերեսը S b =P o *h, որտեղ P o հիմքի պարագիծն է, h-ը բարձրությունն է

Ընդհանուր մակերեսը S p =S b +2S o, որտեղ S o-ը հիմքի տարածքն է

Ծավալը V=S o *h

Ուղղանկյուն զուգահեռական

Կողմնակի մակերեսը S b =2c(a+b), որտեղ a, b-ը հիմքի կողմերն են, c-ն ուղղանկյուն զուգահեռանիստի կողային եզրն է:

Ընդհանուր մակերեսը S p =2 (ab+bc+ac)

Ծավալը V=abc, որտեղ a, b, c ուղղանկյուն զուգահեռանիստի չափերն են:

Cube

Մակերեսը: $S=6a^2$
Ծավալը: $V=a^3$, Որտեղ $ա$- խորանարդի եզր:

Ցանկացած զուգահեռատիպ

Ծավալը և հարաբերակցությունները թեք զուգահեռականում հաճախ որոշվում են վեկտորային հանրահաշիվով: Զուգահեռականի ծավալը հավասար է երեք վեկտորների խառը արտադրյալի բացարձակ արժեքին, որը որոշվում է մեկ գագաթից բխող զուգահեռականի երեք կողմերով։ Զուգահեռի կողմերի երկարությունների և նրանց միջև եղած անկյունների փոխհարաբերությունը տալիս է այն պնդումը, որ նշված երեք վեկտորների Գրամ որոշիչը հավասար է նրանց խառը արտադրյալի քառակուսուն՝ 215։

Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ

IN մաթեմատիկական վերլուծություն n-չափ խորանարդի տակ $Բ$հասկանալ շատ կետեր $x\; =\; (x\_1,\backslash ldots,x\_n)$բարի $B\; =\; \backslash (x|a\_1\backslash leqslant\; x\_1\backslash leqslant\; b\_1,\backslash ldots,a\_n\backslash leqslant\; x\_n\backslash leqslant\; b\_n\backslash )$

Գրեք ակնարկ «Զուգահեռաբար» հոդվածի մասին

Նշումներ

Հղումներ

Ճիշտ է Ճիշտ է ոչ ուռուցիկ Ուռուցիկ Բանաձևեր, թեորեմներ, տեսություններ Այլ

Պարալելեպիպեդը բնութագրող հատված

- On dit que les rivaux se sont reconcilies grace a l "angine... [Ասում են, որ մրցակիցները հաշտվել են այս հիվանդության շնորհիվ։]
Անգինե բառը մեծ հաճույքով կրկնվեց.
– Le vieux comte est touchant a ce qu"on dit. Il a pleure comme un enfant quand le medecin lui a dit que le cas etait dangereux։ [Ծեր կոմսը շատ հուզիչ է, ասում են։ Նա երեխայի պես լաց էր լինում, երբ բժիշկը։ ասաց այդ վտանգավոր դեպքը։]
-Օ՜, ce serait une perte սարսափելի: C "est une femme ravissante: [Օ՜, դա մեծ կորուստ կլիներ: Այսպիսի սիրուն կին:]
— Vous parlez de la pauvre comtesse,— ասաց Աննա Պավլովնան՝ մոտենալով։ «J"ai envoye savoir de ses nouvelles. On m"a dit qu"elle allait un peu mieux. Oh, sans doute, c"est la plus charmante femme du monde",- ասաց Աննա Պավլովնան ժպտալով իր խանդավառությունից: – Nous appartenons a des camps differents, mais cela ne m"empeche pas de l"estimer, comme elle le merite. Elle est bien malheureuse, [Դուք խոսում եք խեղճ կոմսուհու մասին... Ես ուղարկել եմ նրա առողջության մասին իմանալու։ Նրանք ինձ ասացին, որ նա իրեն մի փոքր ավելի լավ է զգում: Օ,, անկասկած, սա աշխարհի ամենասիրուն կինն է: Մենք պատկանում ենք տարբեր ճամբարների, բայց դա ինձ չի խանգարում հարգել նրան իր արժանիքներով: Նա այնքան դժբախտ է:] – ավելացրեց Աննա Պավլովնան:
Կարծելով, որ Աննա Պավլովնան այս խոսքերով թեթևակի բարձրացնում էր կոմսուհու հիվանդության գաղտնիության վարագույրը, մի անզգույշ երիտասարդ իրեն թույլ տվեց զարմանք հայտնել, որ հայտնի բժիշկներ չեն կանչվել, այլ կոմսուհին բուժվում է մի շառլատանի մոտ, որը կարող էր վտանգավոր տալ: միջոցները.
«Vos informations peuvent etre meilleures que les miennes», - հանկարծ Աննա Պավլովնան թունավոր հարձակվեց անփորձ երիտասարդի վրա: – Mais je sais de bonne source que ce medecin est un homme tres savant et tres habile. C"est le medecin intime de la Reine d"Espagne. [Ձեր լուրը կարող է ավելի ճշգրիտ լինել, քան իմը... բայց ես լավ աղբյուրներից գիտեմ, որ այս բժիշկը շատ գիտուն և հմուտ մարդ է։ Սա Իսպանիայի թագուհու կյանքի բժիշկն է:] - Եվ այդպիսով ոչնչացնելով երիտասարդին, Աննա Պավլովնան դիմեց Բիլիբինին, որը մեկ այլ շրջապատում վերցրեց մաշկը և, ըստ երևույթին, պատրաստվում էր թուլացնել այն, որպեսզի ասի un mot, խոսեց. ավստրիացիների մասին.
«Je trouve que c"est charmant! [Ինձ դա հմայիչ է:]», - ասաց նա դիվանագիտական ​​թղթի մասին, որով Վիտգենշտեյնի կողմից վերցրած ավստրիական պաստառներն ուղարկվեցին Վիեննա, le heros de Petropol [Պետրոպոլի հերոսը] (ինչպես նա): կոչվել է Պետերբուրգում):
-Ինչպե՞ս, ինչպե՞ս է սա։ - Աննա Պավլովնան շրջվեց դեպի նա, արթնացնելով լռություն՝ լսելու այն շշուկը, որը նա արդեն գիտեր:
Եվ Բիլիբինը կրկնեց իր կազմած դիվանագիտական ​​առաքելության հետևյալ բնօրինակ խոսքերը.
«L» Empereur renvoie les drapeaux Autrichiens», - ասաց Բիլիբինը, «drapeaux amis et egares qu'il a trouve hors de la route, [Կայսրը ուղարկում է ավստրիական պաստառներ, բարեկամական և կորած պաստառներ, որոնք նա գտել է իրական ճանապարհից դուրս:], «Բիլիբինը ավարտեց՝ թուլացնելով մաշկը:
«Հմայիչ, հմայիչ, [սիրուն, հմայիչ», - ասաց արքայազն Վասիլին:
«C"est la route de Varsovie peut être, [Սա Վարշավայի ճանապարհն է, գուցե:] - բարձր և անսպասելի ասաց արքայազն Իպոլիտը: Բոլորը հետ նայեցին նրան, չհասկանալով, թե ինչ էր ուզում ասել դրանով: Արքայազն Իպոլիտը նույնպես հետ նայեց: Իր շուրջը ուրախ զարմանքով Նա, ինչպես մյուսները, չհասկացավ, թե ինչ են նշանակում իր ասած խոսքերը, մեկ անգամ չէ, որ նկատեց, որ այս կերպ ասված խոսքերը հանկարծակի շատ սրամիտ են ստացվել, և նա ասաց. «Միգուցե դա շատ լավ ստացվի, իսկ եթե չստացվի, նրանք իսկապես կարող են դա կազմակերպել»: Անհարմար լռությունը տիրեց, ներս մտավ այդ անբավարար հայրենասեր դեմքը, և նա, ժպտալով և մատը թափահարելով Իպոլիտի վրա, հրավիրեց արքայազն Վասիլիին և, նվիրելով նրան երկու մոմ և մի ձեռագիր, խնդրեց, որ ամեն ինչ լռի .

Սահմանում

Բազմաթևմենք կանվանենք փակ մակերես, որը կազմված է բազմանկյուններից և սահմանում է տարածության որոշակի մասը։

Այն հատվածները, որոնք այս բազմանկյունների կողմերն են, կոչվում են կողիկներբազմանկյուն, իսկ բազմանկյուններն իրենք են եզրեր. Բազմանկյունների գագաթները կոչվում են բազմանիստ գագաթներ։

Մենք կդիտարկենք միայն ուռուցիկ պոլիէդրները (սա բազմանիստ է, որը գտնվում է իր դեմքը պարունակող յուրաքանչյուր հարթության մի կողմում):

Բազմանկյունները, որոնք կազմում են բազմանկյունը, կազմում են նրա մակերեսը։ Տիեզերքի այն հատվածը, որը սահմանափակված է տրված բազմաեզրով, կոչվում է նրա ինտերիեր։

Սահմանում: պրիզմա

Դիտարկենք երկու հավասար բազմանկյուններ \(A_1A_2A_3...A_n\) և \(B_1B_2B_3...B_n\), որոնք տեղակայված են զուգահեռ հարթություններում այնպես, որ հատվածները \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\)զուգահեռ. Բազմանկյուն, որը ձևավորվում է \(A_1A_2A_3...A_n\) և \(B_1B_2B_3...B_n\) բազմանկյուններից, ինչպես նաև զուգահեռագրություններից: \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), կոչվում է (\(n\)-gonal) պրիզմա.

Բազմանկյունները \(A_1A_2A_3...A_n\) և \(B_1B_2B_3...B_n\) կոչվում են պրիզմայի հիմքեր, զուգահեռականներ \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)- կողային դեմքեր, հատվածներ \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- կողային կողիկներ.
Այսպիսով, պրիզմայի կողային եզրերը զուգահեռ են և հավասար են միմյանց:

Դիտարկենք օրինակ՝ պրիզմա \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), որի հիմքում ընկած է ուռուցիկ հնգանկյուն։

ԲարձրությունՊրիզմաները մի հիմքի ցանկացած կետից մեկ այլ հիմքի հարթության վրա ընկած ուղղահայաց են:

Եթե ​​կողային եզրերը ուղղահայաց չեն հիմքին, ապա այդպիսի պրիզմա կոչվում է հակված(նկ. 1), հակառակ դեպքում – ուղիղ. Ուղիղ պրիզմայում կողային եզրերը բարձրություն են, իսկ կողային երեսները՝ հավասար ուղղանկյուններ։

Եթե ​​ուղիղ պրիզմայի հիմքում ընկած է կանոնավոր բազմանկյուն, ապա կոչվում է պրիզմա ճիշտ.

Սահմանում` ծավալի հասկացություն

Ծավալի չափման միավորը միավոր խորանարդն է (\(1\times1\times1\) միավորներ չափող խորանարդ\(^3\), որտեղ միավորը չափման որոշակի միավոր է):

Կարելի է ասել, որ բազմանկյունի ծավալը այն տարածության քանակն է, որը սահմանափակում է այս բազմանիստը։ Հակառակ դեպքում՝ սա մի մեծություն է, որի թվային արժեքը ցույց է տալիս, թե միավոր խորանարդը և նրա մասերը քանի անգամ են տեղավորվում տրված բազմանկյունի մեջ։

Ծավալն ունի նույն հատկությունները, ինչ տարածքը.

1. Ծավալներ հավասար թվերհավասար են.

2. Եթե բազմանիստը կազմված է մի քանի չհատվող բազմանիստներից, ապա նրա ծավալը հավասար է այս բազմանիստների ծավալների գումարին։

3. Ծավալը ոչ բացասական մեծություն է։

4. Ծավալը չափվում է սմ\(^3\) (խորանարդ սանտիմետր), m\(^3\) (խորանարդ մետր) և այլն:

Թեորեմ

1. Պրիզմայի կողային մակերեսի մակերեսը հավասար է հիմքի պարագծի և պրիզմայի բարձրության արտադրյալին։
Կողային մակերեսի մակերեսը պրիզմայի կողային երեսների մակերեսների գումարն է։

2. Պրիզմայի ծավալը հավասար է հիմքի մակերեսի և պրիզմայի բարձրության արտադրյալին. \

Սահմանում. զուգահեռ

Զուգահեռաբարպրիզմա է, որի հիմքում զուգահեռագիծ է:

Զուգահեռագծի բոլոր երեսները (կան \(6\) : \(4\) կողային երեսներ և \(2\) հիմքեր) զուգահեռականներ են, իսկ հակառակ երեսները (միմյանց զուգահեռ) հավասար զուգահեռներ են (նկ. 2): .

Զուգահեռի շեղանկյունմի հատված է, որը միացնում է զուգահեռաբարձի երկու գագաթները, որոնք չեն գտնվում նույն երեսի վրա (դրանցից կան \(8\). \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\)և այլն):

Ուղղանկյուն զուգահեռականուղղանկյուն ուղղանկյուն է իր հիմքում:
Որովհետեւ Քանի որ սա ուղղաձիգ զուգահեռանիպեդ է, կողային երեսները ուղղանկյուն են: Սա նշանակում է, որ ընդհանուր առմամբ ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր դեմքերը ուղղանկյուն են:

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի բոլոր անկյունագծերը հավասար են (սա բխում է եռանկյունների հավասարությունից \(\եռանկյուն ACC_1=\եռանկյուն AA_1C=\եռանկյուն BDD_1=\եռանկյուն BB_1D\)և այլն):

Մեկնաբանություն

Այսպիսով, զուգահեռաբարձը ունի պրիզմայի բոլոր հատկությունները։

Թեորեմ

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի կողային մակերեսը կազմում է \

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ընդհանուր մակերեսը կազմում է \

Թեորեմ

Խորանարդի ծավալը հավասար է մեկ գագաթից դուրս եկող նրա երեք եզրերի արտադրյալին (խորանարդի երեք չափսերը). \

Ապացույց

Որովհետեւ Ուղղանկյուն զուգահեռականում կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքին, ապա դրանք նաև նրա բարձրություններն են, այսինքն՝ \(h=AA_1=c\) Որովհետև. հիմքը ուղղանկյուն է, ապա \(S_(\text(հիմնական))=AB\cdot AD=ab\). Այստեղից է գալիս այս բանաձեւը։

Թեորեմ

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի \(d\) անկյունագիծը գտնում ենք բանաձևի միջոցով (որտեղ \(a,b,c\) զուգահեռանիթի չափերն են) \

Ապացույց

Եկեք նայենք Նկ. 3. Քանի որ հիմքը ուղղանկյուն է, ապա \(\եռանկյունը ABD\) ուղղանկյուն է, հետևաբար, Պյութագորասի թեորեմով \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Որովհետեւ բոլոր կողային եզրերը ուղղահայաց են հիմքերին, ապա \(BB_1\perp (ABC) \Աջ սլաք BB_1\)այս հարթության ցանկացած ուղիղ գծի ուղղահայաց, այսինքն. \(BB_1\perp BD\) . Սա նշանակում է, որ \(\եռանկյունը BB_1D\) ուղղանկյուն է: Հետո՝ Պյութագորասի թեորեմով \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), րդ.

Սահմանում: խորանարդ

Cubeուղղանկյուն զուգահեռագիծ է, որի բոլոր դեմքերը հավասար քառակուսի են:

Այսպիսով, երեք չափերը հավասար են միմյանց՝ \(a=b=c\) . Այսպիսով, ճիշտ են հետևյալը

Թեորեմներ

1. \(a\) եզրով խորանարդի ծավալը հավասար է \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Խորանարդի անկյունագիծը գտնում ենք \(d=a\sqrt3\) բանաձևով:

3. Խորանարդի ընդհանուր մակերեսը \(S_(\տեքստ (լրիվ խորանարդ))=6a^2\).

Ուղղանկյուն զուգահեռական

Ուղղանկյուն զուգահեռագիծը ուղղանկյուն զուգահեռագիծ է, որի բոլոր երեսները ուղղանկյուն են:

Բավական է նայենք մեր շուրջը, և կտեսնենք, որ մեզ շրջապատող առարկաներն ունեն զուգահեռականի նմանվող ձև։ Նրանք կարող են տարբերվել գույնով, ունեն բազմաթիվ լրացուցիչ մանրամասներ, բայց եթե այս նրբությունները դեն նետվեն, ապա կարելի է ասել, որ, օրինակ, պահարանը, տուփը և այլն, մոտավորապես նույն ձևն ունեն։

Մենք գրեթե ամեն օր հանդիպում ենք ուղղանկյուն զուգահեռականի հայեցակարգին: Նայիր շուրջը և ասա ինձ, թե որտեղ ես տեսնում ուղղանկյուն զուգահեռականներ: Նայեք գիրքը, այն ճիշտ նույն ձևն է: Աղյուսը, լուցկու տուփը, փայտի բլոկը նույն ձևն ունեն, և նույնիսկ հենց հիմա դուք ուղղանկյուն զուգահեռանիստի ներսում եք, քանի որ դասարանը այս երկրաչափական պատկերի ամենավառ մեկնաբանությունն է:

Զորավարժություններ: Parallelepiped-ի ի՞նչ օրինակներ կարող եք նշել:

Եկեք ավելի սերտ նայենք խորանարդին: Իսկ ի՞նչ ենք մենք տեսնում։

Նախ, մենք տեսնում ենք, որ այս պատկերը ձևավորվել է վեց ուղղանկյուններից, որոնք խորանարդի դեմքեր են.

Երկրորդ, խորանարդն ունի ութ գագաթ և տասներկու եզր: Խորանարդի եզրերը նրա երեսների կողմերն են, իսկ խորանարդի գագաթները՝ երեսների գագաթները։

Զորավարժություններ:

1. Ինչպե՞ս է կոչվում ուղղանկյուն զուգահեռանիստի երեսներից յուրաքանչյուրը: 2. Ի՞նչ պարամետրերի շնորհիվ կարելի է չափել զուգահեռագիծը: 3. Սահմանել հակառակ դեմքերը:

Զուգահեռաձիգների տեսակները

Բայց զուգահեռաբարձերը ոչ միայն ուղղանկյուն են, այլ նաև կարող են լինել ուղիղ և թեք, իսկ ուղիղ գծերը բաժանվում են ուղղանկյունի, ոչ ուղղանկյունի և խորանարդի։

Առաջադրանք. Նայեք նկարին և ասեք, թե ինչ զուգահեռականներ են պատկերված դրա վրա: Ինչո՞վ է ուղղանկյուն զուգահեռանիպեդը տարբերվում խորանարդից:

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի հատկությունները

Ուղղանկյուն զուգահեռագիծ ունի մի շարք կարևոր հատկություններ.

Նախ, այս երկրաչափական գործչի անկյունագծի քառակուսին հավասար է նրա երեք հիմնական պարամետրերի քառակուսիների գումարին` բարձրություն, լայնություն և երկարություն:

Երկրորդ, նրա բոլոր չորս անկյունագծերը բացարձակապես նույնական են:

Երրորդ, եթե զուգահեռանիստի բոլոր երեք պարամետրերը նույնն են, այսինքն՝ երկարությունը, լայնությունը և բարձրությունը հավասար են, ապա այդպիսի զուգահեռականագիծը կոչվում է խորանարդ, և նրա բոլոր երեսները հավասար կլինեն նույն քառակուսուն։

Զորավարժություններ

1. Արդյո՞ք ուղղանկյուն զուգահեռանիստի կողմերը հավասար են: Եթե ​​այդպիսիք կան, ապա ցույց տվեք դրանք նկարում: 2. Որոնք: երկրաչափական ձևերՈրո՞նք են ուղղանկյուն զուգահեռանիստի կողմերը: 3. Ինչպիսի՞ն է հավասար եզրերի դասավորությունը միմյանց նկատմամբ: 4. Անվանե՛ք այս պատկերի հավասար երեսների զույգերի թիվը: 5. Գտի՛ր ուղղանկյուն զուգահեռանիստի եզրերը, որոնք ցույց են տալիս նրա երկարությունը, լայնությունը, բարձրությունը: Քանի՞սն եք հաշվել։

Առաջադրանք

Մայրիկի ծննդյան նվերը գեղեցիկ ձևավորելու համար Տանյան վերցրեց ուղղանկյուն զուգահեռանիստի տեսքով տուփ: Տուփի չափսերը՝ 25սմ*35սմ*45սմ։ Այս փաթեթավորումը գեղեցիկ դարձնելու համար Տանյան որոշել է այն ծածկել գեղեցիկ թղթով, որի արժեքը 1 դմ2-ի համար կազմում է 3 գրիվնա։ Որքա՞ն գումար պետք է ծախսել փաթեթավորման թղթի վրա:

Գիտե՞ք, որ հայտնի իլյուզիոնիստ Դեյվիդ Բլեյնը 44 օր անցկացրել է Թեմզայի վրա կախված ապակե զուգահեռականի վրա՝ որպես փորձի մի մաս: Այս 44 օրվա ընթացքում նա չի կերել, այլ միայն ջուր է խմել։ Իր կամավոր բանտում Դավիթը վերցրեց միայն գրելու նյութեր, բարձ ու ներքնակ, թաշկինակներ։

կամ (համարժեք) վեց երեսներով, որոնք զուգահեռականներ են։ Վեցանկյուն.

Զուգահեռագիծը կազմող զուգահեռականներն են եզրերայս զուգահեռականի կողմերն են զուգահեռականի եզրեր, իսկ զուգահեռագծի գագաթներն են գագաթները parallelepiped. Parallelepiped-ում յուրաքանչյուր դեմք է զուգահեռագիծ.

Որպես կանոն, բացահայտվում և կանչվում են ցանկացած 2 հակադիր դեմքեր զուգահեռականի հիմքերըև մնացած դեմքերը - parallelepiped-ի կողային դեմքերը. Հիմքերին չպատկանող զուգահեռականի եզրերն են կողային կողիկներ.

Զուգահեռապատիկի 2 երեսներ, որոնք ունեն ընդհանուր եզր կիցև նրանք, որոնք չունեն ընդհանուր եզրեր, հակառակը.

Այն հատվածը, որը միացնում է 1-ին դեմքին չպատկանող 2 գագաթ զուգահեռականի շեղանկյուն.

Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի եզրերի երկարությունները, որոնք զուգահեռ չեն գծային չափսեր (չափումներ) զուգահեռաբարձ. Ուղղանկյուն զուգահեռագիծ ունի 3 գծային չափսեր։

Parallelepiped-ի տեսակները.

Զուգահեռաբարձերի մի քանի տեսակներ կան.

Ուղիղեզրագծով զուգահեռագիծ է, հարթությանը ուղղահայացհիմքերը.

Ուղղանկյուն զուգահեռագիծ, որի բոլոր 3 չափերը հավասար են խորանարդ. Խորանարդի երեսներից յուրաքանչյուրը հավասար է քառակուսիներ .

Ցանկացած զուգահեռատիպ:Ծավալը և հարաբերակցությունները թեք զուգահեռականում հիմնականում որոշվում են վեկտորային հանրահաշիվով: Զուգահեռականի ծավալը հավասար է 3 վեկտորների խառը արտադրյալի բացարձակ արժեքին, որոնք որոշվում են զուգահեռականի 3 կողմերով (որոնք առաջանում են նույն գագաթից)։ Զուգահեռականի կողմերի երկարությունների և նրանց միջև եղած անկյունների հարաբերությունը ցույց է տալիս այն պնդումը, որ տրված 3 վեկտորների Գրամ որոշիչը հավասար է նրանց խառը արտադրյալի քառակուսուն։

Զուգահեռականի հատկությունները.

• Զուգահեռագիծը սիմետրիկ է իր անկյունագծի կեսին:
• Զուգահեռապատիկի մակերևույթին պատկանող ծայրերով ցանկացած հատված, որն անցնում է նրա անկյունագծի միջով, բաժանվում է երկու հավասար մասերի: Զուգահեռագծի բոլոր անկյունագծերը հատվում են 1-ին կետում և նրանով բաժանվում են երկու հավասար մասերի։
• Զուգահեռականի հակառակ երեսները զուգահեռ են և ունեն հավասար չափեր։
• Ուղղանկյուն զուգահեռանիստի անկյունագծի երկարության քառակուսին հավասար է