Մաթեմատիկական վերլուծություն.

Սեմինար.

Համալսարանի ուսանողների համար մասնագիտությամբ.

«Պետական ​​և քաղաքային կառավարում».

Թ.Զ. Պավլովա

Կոլպաշևո 2008 թ

Գլուխ 1. Վերլուծության ներածություն

1.1 Գործառույթներ. Ընդհանուր հատկություններ

1.2 Սահմանների տեսություն

1.3 Գործառույթի շարունակականություն

2.1 Ածանցյալի սահմանում

2.4 Գործառույթների ուսումնասիրություն

2.4.1 Ամբողջական գործառույթի ուսումնասիրության պլան

2.4.2 Ֆունկցիայի ուսումնասիրության օրինակներ

2.4.3. Հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը

2.5 L'Hôpital-ի կանոն

3.1 Անորոշ ինտեգրալ

3.1.1 Սահմանումներ և հատկություններ

3.1.2 Ինտեգրալների աղյուսակ

3.1.3 Ինտեգրման հիմնական մեթոդները

3.2 Որոշակի ինտեգրալ

3.2.2 Որոշակի ինտեգրալի հաշվարկման մեթոդներ

Գլուխ 4. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաներ

4.1 Հիմնական հասկացություններ

4.2 Մի քանի փոփոխականների գործառույթների սահմանները և շարունակականությունը

4.3.3 Ընդհանուր դիֆերենցիալ և դրա կիրառումը մոտավոր հաշվարկներում

Գլուխ 5. Օպտիմալացման դասական մեթոդներ

6.1 Կոմունալ գործառույթ:

6.2 Անտարբերության տողեր

6.3 Բյուջետային հավաքածու

Տնային առաջադրանքներ

1.1 Գործառույթներ. Ընդհանուր հատկություններ

Թվային ֆունկցիան սահմանվում է իրական թվերի D բազմության վրա, եթե փոփոխականի յուրաքանչյուր արժեք կապված է y փոփոխականի ինչ-որ լավ սահմանված իրական արժեքի հետ, որտեղ D-ը ֆունկցիայի տիրույթն է։

Գործառույթի վերլուծական ներկայացում.

հստակ :;

անուղղակիորեն:;

պարամետրային ձևով.

սահմանման ոլորտում տարբեր բանաձևեր.

Հատկություններ.

Նույնիսկ գործառույթը. Օրինակ, ֆունկցիան զույգ է, քանի որ ...

Տարօրինակ գործառույթ. ... Օրինակ, ֆունկցիան կենտ է, քանի որ ...

Պարբերական ֆունկցիա. , որտեղ T-ը ֆունկցիայի ժամանակաշրջանն է,. Օրինակ՝ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ։

Միապաղաղ ֆունկցիա. Եթե ​​սահմանման տիրույթից որևէ մեկի համար ֆունկցիան աճում է, - նվազում է: Օրինակ, - աճող, և - նվազում:

Սահմանափակ գործառույթ: Եթե ​​կա M այնպիսի թիվ, որ. Օրինակ, գործառույթները և, քանի որ .

Օրինակ 1. Գտեք ֆունկցիաների սահմանման տիրույթը:

+ 2 – 3 +

1.2 Սահմանների տեսություն

Սահմանում 1... At ֆունկցիայի սահմանը b թիվ է, եթե ցանկացած (- կամայականորեն փոքր դրական թվի համար) կարելի է գտնել փաստարկի այնպիսի արժեք, որից սկսած անհավասարությունը բավարարվում է։

Նշանակում:

Սահմանում 2... Գործառույթի սահմանը b թիվ է, եթե որևէ մեկի համար (կամայականորեն փոքր դրական թիվ է) կա այնպիսի դրական թիվ, որ x-ի բոլոր արժեքների համար, որոնք բավարարում են անհավասարությունը, անհավասարությունը պահպանվում է:

Նշանակում:

Սահմանում 3.Ֆունկցիան կոչվում է անվերջ փոքր՝ կամ, եթե կամ-ի համար։

Հատկություններ.

1. Անվերջ թվով անվերջ փոքր մեծությունների հանրահաշվական գումարը անվերջ փոքր մեծություն է:

2. Անսահման փոքր մեծության արտադրյալը սահմանափակ ֆունկցիայով (հաստատուն, մեկ այլ անսահման փոքր մեծություն) անսահման փոքր մեծություն է։

3. Անսահման փոքր մեծություն բաժանելու գործակիցը, որի սահմանը զրոյից դուրս է, անսահման փոքր մեծություն է:

Սահմանում 4.Ֆունկցիան կոչվում է անսահման մեծ ժամը, եթե.

Հատկություններ.

1. Անսահման մեծ քանակի արտադրյալը ֆունկցիայի կողմից, որի սահմանը զրոյական չէ, անսահման մեծ մեծություն է։

2. Անսահման մեծ արժեքի և սահմանափակված ֆունկցիայի գումարը անսահման մեծ արժեք է:

3. Անսահման մեծ մեծություն սահման ունեցող ֆունկցիայի վրա բաժանելու գործակիցը անսահման մեծ մեծություն է։

Թեորեմ.(Անվերջ փոքր քանակի և անսահման մեծ քանակի միջև կապը:) Եթե ֆունկցիան անվերջ փոքր է ()-ում, ապա ֆունկցիան անսահման մեծ մեծություն է ((-ում): Եվ, հակառակը, եթե ֆունկցիան անսահման մեծ է (), ապա ֆունկցիան անսահման փոքր է ()-ում:

Սահմանային թեորեմներ.

1. Ֆունկցիան չի կարող ունենալ մեկից ավելի սահմանաչափ:

2. Մի քանի ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի սահմանը հավասար է այս ֆունկցիաների սահմանների հանրահաշվական գումարին.

3. Մի քանի ֆունկցիաների արտադրյալի սահմանը հավասար է այս ֆունկցիաների սահմանների արտադրյալին.

4. Աստիճանի սահմանաչափը հավասար է սահմանաչափի աստիճանին.

5. Քաղորդի սահմանը հավասար է սահմանների քանորդին, եթե բաժանարարի սահմանը գոյություն ունի.

.

6. Առաջին ուշագրավ սահմանը.

Հետեւանքները:

7. Երկրորդ ուշագրավ սահմանը.

Հետեւանքները:

Համարժեք անվերջ փոքր արժեքներ՝

Սահմանաչափերի հաշվարկ.

Սահմանները հաշվարկելիս օգտագործվում են սահմանների, շարունակական ֆունկցիաների հատկությունների և այդ թեորեմներից ու հատկություններից բխող հիմնական թեորեմները։

Կանոն 1.Ֆունկցիայի մի կետում սահմանը գտնելու համար, որն այս պահին շարունակական է, անհրաժեշտ է x արգումենտի փոխարեն դրա սահմանային արժեքը փոխարինել սահմանային նշանի տակ գտնվող ֆունկցիայի մեջ:

Օրինակ 2. Գտեք

Կանոն 2.Եթե ​​կոտորակի սահմանը գտնելիս հայտարարի սահմանը զրո է, իսկ համարիչի սահմանը՝ ոչ զրոյական, ապա նման ֆունկցիայի սահմանն է։

Օրինակ 3. Գտեք

Կանոն 3.Եթե ​​կոտորակի սահմանը գտնելիս հայտարարի սահմանը հավասար է, իսկ համարիչի սահմանը տարբերվում է զրոյից, ապա նման ֆունկցիայի սահմանը զրո է։

Օրինակ 4. Գտեք

Հաճախ արգումենտի սահմանային արժեքի փոխարինումը հանգեցնում է չսահմանված արտահայտությունների, ինչպիսիք են

.

Այս դեպքերում ֆունկցիայի սահմանը գտնելը կոչվում է անորոշության բացահայտում: Անորոշությունը բացահայտելու համար անհրաժեշտ է վերափոխել այս արտահայտությունը նախքան սահմանին անցնելը: Անորոշությունները բացահայտելու համար օգտագործվում են տարբեր մեթոդներ:

Կանոն 4... Տիպի անորոշությունը բացահայտվում է ենթահեղուկ ֆունկցիայի փոխակերպմամբ, այսպիսով, համարիչում և հայտարարում ընտրել գործակից, որի սահմանը զրոյական է, և կոտորակը դրանով փոքրացնելով գտնել գործակիցի սահմանը։ Դա անելու համար համարիչն ու հայտարարը կա՛մ բազմապատկվում են, կա՛մ բազմապատկվում են համարիչին և հայտարարին խոնարհված արտահայտություններով:

Կանոն 5.Եթե ​​sublimit արտահայտությունը պարունակում է եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, ապա առաջին ուշագրավ սահմանը օգտագործվում է տեսակների անորոշությունը բացահայտելու համար:

.

Կանոն 6... Ատ-ի ձևի անորոշությունը բացահայտելու համար ենթասահմանային կոտորակի համարիչն ու հայտարարը պետք է բաժանել փաստարկի ամենաբարձր աստիճանի վրա, այնուհետև գտնել գործակիցի սահմանը։

Հնարավոր արդյունքներ.

1) ցանկալի սահմանը հավասար է համարիչի և հայտարարի փաստարկի ամենաբարձր հզորությունների գործակիցների հարաբերակցությանը, եթե այդ աստիճանները նույնն են.

2) սահմանը հավասար է անսահմանության, եթե համարիչի փաստարկի աստիճանը բարձր է հայտարարի փաստարկի աստիճանից.

3) սահմանը զրո է, եթե համարիչի փաստարկի աստիճանը ցածր է հայտարարի փաստարկի աստիճանից.

ա)

քանի որ

Աստիճանները հավասար են, ինչը նշանակում է, որ սահմանը հավասար է ավելի բարձր աստիճանների գործակիցների հարաբերակցությանը, այսինքն. ...

բ)

Համարի աստիճանը, հայտարարը 1 է, ինչը նշանակում է, որ սահմանն է

v)

Համարի աստիճանը 1 է, հայտարարի աստիճանը, ուստի սահմանը 0 է։

Կանոն 7... Ձևի անորոշությունը բացահայտելու համար ենթասահմանային կոտորակի համարիչն ու հայտարարը պետք է բազմապատկվեն խոնարհված արտահայտությամբ։

Օրինակ 10.

Կանոն 8... Երկրորդ ուշագրավ սահմանը և դրա հետևանքները օգտագործվում են տեսակների անորոշությունը բացահայտելու համար:

Դա կարելի է ապացուցել

Օրինակ 11.

Օրինակ 12.

Օրինակ 13.

Կանոն 9... Անորոշությունները բացահայտելիս, որոնց սուբլիմինալ ֆունկցիան պարունակում է անվերջ փոքր, անհրաժեշտ է փոխարինել այդ անսահմանությունների սահմանները։ դրանց համարժեք անվերջ փոքր տարրերի սահմանների վրա։

Օրինակ 14.

Օրինակ 15.

Կանոն 10. L'Hôpital-ի կանոնը (տես 2.6):

1.3 Գործառույթի շարունակականություն

Ֆունկցիան շարունակական է մի կետում, եթե ֆունկցիայի սահմանը, քանի որ արգումենտը հակված է a-ին, գոյություն ունի և հավասար է այս կետի ֆունկցիայի արժեքին:

Համարժեք պայմաններ.

1. ;

3.

Ընդմիջման կետի դասակարգում.

առաջին տեսակի ընդմիջում

Միանգամյա օգտագործման - միակողմանի սահմաններ կան և հավասար են.

Ճակատագրական (ցատկ) - միակողմանի սահմանները հավասար չեն.

երկրորդ տեսակի ընդհատում. ֆունկցիայի սահմանը մի կետում գոյություն չունի:

Օրինակ 16. Սահմանեք ֆունկցիայի անդադարության բնույթը մի կետում կամ ապացուցեք ֆունկցիայի շարունակականությունը այս կետում:

քանի որ ֆունկցիան սահմանված չէ, հետևաբար, այս պահին այն շարունակական չէ: Որովհետեւ և համապատասխանաբար, , ապա առաջին տեսակի շարժական ընդհատման կետն է:

բ)

(ա) առաջադրանքի համեմատ ֆունկցիան ընդլայնվում է մի կետում այնպես, որ , հետևաբար, այս ֆունկցիան այս պահին շարունակական է։

Երբ գործառույթը սահմանված չէ;

.

Որովհետեւ միակողմանի սահմաններից մեկն անսահման է, ապա այն երկրորդ տեսակի ընդմիջման կետ է:

Գլուխ 2. Դիֆերենցիալ հաշվարկ

2.1 Ածանցյալի սահմանում

Ածանցյալ սահմանում

Տվյալ ֆունկցիայի ածանցյալը ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանն է համապատասխան արգումենտի աճին, երբ արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի.

Կամ .

Ածանցյալի մեխանիկական նշանակությունը ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է։ Ածանցյալի երկրաչափական իմաստը ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքության անկյան շոշափումն է.

2.2 Տարբերակման հիմնական կանոններ

Անուն	Գործառույթ	Ածանցյալ
Բազմապատկում հաստատուն գործակցով
Երկու ֆունկցիաների հանրահաշվական գումար
Երկու ֆունկցիաների արտադրանք
Անձնական երկու գործառույթ
Համալիր գործառույթ

Հիմնական տարրական ֆունկցիաների ածանցյալներ

P / p No.	Ֆունկցիայի անվանումը	Ֆունկցիան և դրա ածանցյալը
1	մշտական
2	հզորության գործառույթ հատուկ դեպքեր
3	էքսպոնենցիալ ֆունկցիա հատուկ դեպք
4	լոգարիթմական ֆունկցիա հատուկ դեպք
5	եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ
6	հակադարձ եռանկյունաչափական

բ)

2.3 Բարձրագույն կարգի ածանցյալ գործիքներ

Ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալ

Ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալը.

Օրինակ 18.

ա) Գտե՛ք ֆունկցիայի երկրորդ կարգի ածանցյալը.

Լուծում. Եկեք նախ գտնենք առաջին կարգի ածանցյալը .

Վերցնենք առաջին կարգի ածանցյալի ածանցյալը։

Օրինակ 19. Գտե՛ք ֆունկցիայի երրորդ կարգի ածանցյալը:

2.4 Գործառույթների ուսումնասիրություն

2.4.1 Գործառույթի ամբողջական ուսումնասիրության պլան.

Ամբողջական գործառույթի ուսումնասիրության պլան.

1. Տարրական հետազոտություն.

Գտեք արժեքների տիրույթը և միջակայքը;

Պարզեք ընդհանուր հատկությունները՝ հավասարություն (տարօրինակություն), պարբերականություն;

Գտեք հատման կետերը կոորդինատային առանցքների հետ;

Որոշեք կայունության տարածքները:

2. Ասիմպտոտներ:

Գտեք ուղղահայաց ասիմպտոտներ, եթե;

Գտեք թեք ասիմպտոտներ.

Եթե ​​որևէ թիվ, ապա՝ հորիզոնական ասիմպտոտներ:

3. Հետազոտություն՝ օգտագործելով.

Գտեք կրիտիկական կետերը, դրանք: կետեր, որոնցում կամ գոյություն չունի.

Որոշե՛ք մեծացման, դրանց միջակայքերը։ ինտերվալներ, որոնցում և նվազող գործառույթներ -;

Որոշեք ծայրահեղությունը. այն կետերը, որոնց միջով անցնելիս այն փոխում է նշանը «+»-ից «-»-ի, առավելագույն միավորներն են, «-»-ից «+»-ի նվազագույնը:

4. Հետազոտություն՝ օգտագործելով.

Գտեք կետեր, որոնցում կամ չկան.

Գտեք ուռուցիկության տարածքները, այսինքն. միջակայքերը, որոնցում գտնվում են գոգավորությունները.

Գտեք թեքության կետերը, այսինքն. կետեր, որոնց միջով անցնելիս փոխվում է նշանը:

1. Ուսումնասիրության առանձին տարրերը գծագրվում են գրաֆիկի վրա աստիճանաբար, քանի որ դրանք հայտնաբերված են:

2. Եթե ֆունկցիայի գրաֆիկի կառուցման հետ կապված դժվարություններ կան, ապա ֆունկցիայի արժեքները հայտնաբերվում են որոշ լրացուցիչ կետերում:

3. Ուսումնասիրության նպատակն է նկարագրել ֆունկցիայի վարքագծի բնույթը: Ուստի կառուցվում է ոչ թե ճշգրիտ գրաֆիկ, այլ դրա մոտավորությունը, որի վրա հստակ նշված են հայտնաբերված տարրերը (ծայրահեղություններ, թեքման կետեր, ասիմպտոտներ և այլն)։

4. Պետք չէ խստորեն պահպանել վերը նշված պլանը. Կարևոր է չանտեսել ֆունկցիայի վարքագծի բնորոշ տարրերը:

2.4.2 Ֆունկցիոնալ ուսումնասիրության օրինակներ.

1)

2) Ֆունկցիան կենտ է.

.

3) Ասիմպտոտներ.

- ուղղահայաց ասիմպտոտներ, քանի որ

Շեղ ասիմպտոտ:

5)

- թեքության կետ.

2) Ֆունկցիան կենտ է.

3) Ասիմպտոտներ. ուղղահայաց ասիմպտոտներ չկան:

Թեքված:

- թեք ասիմպտոտներ

4) - ֆունկցիան մեծանում է:

- թեքության կետ.

Այս ֆունկցիայի սխեմատիկ դիագրամ.

2) Ընդհանուր գործառույթ

3) Ասիմպտոտներ

- ոչ թեք ասիմպտոտներ

- հորիզոնական ասիմպտոտ ժամը

- թեքության կետ

Այս ֆունկցիայի սխեմատիկ դիագրամ.

2) Ասիմպտոտներ.

- ուղղահայաց ասիմպտոտ, քանի որ

- ոչ թեք ասիմպտոտներ

, - հորիզոնական ասիմպտոտ

Այս ֆունկցիայի սխեմատիկ դիագրամ.

2) Ասիմպտոտներ

- ուղղահայաց ասիմպտոտ ժամը, քանի որ

- ոչ թեք ասիմպտոտներ

, - հորիզոնական ասիմպտոտ

3) - ֆունկցիան նվազում է յուրաքանչյուր ընդմիջումով:

Այս ֆունկցիայի սխեմատիկ դիագրամ.

Հատվածի վրա ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը գտնելու համար կարող եք օգտագործել դիագրամը.

1. Գտի՛ր ֆունկցիայի ածանցյալը:

2. Գտի՛ր ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը, որոնցում գոյություն ունի կամ չկա:

3. Գտի՛ր ֆունկցիայի արժեքը տվյալ հատվածին պատկանող կրիտիկական կետերում և նրա ծայրերում և ընտրի՛ր դրանցից ամենամեծն ու փոքրը:

Օրինակ. Գտե՛ք տվյալ հատվածի ֆունկցիայի ամենափոքր և ամենամեծ արժեքը:

25. միջեւ

2) - կրիտիկական կետեր

26. արանքում.

Ածանցյալը գոյություն չունի ժամը, բայց 1-ը չի պատկանում այս միջակայքին: Գործառույթը նվազում է միջակայքում, ինչը նշանակում է, որ չկա ամենամեծ արժեք, այլ ամենափոքր արժեք:

2.5 L'Hôpital-ի կանոն

Թեորեմ. Երկու անվերջ փոքր կամ անսահման մեծ ֆունկցիաների հարաբերակցության սահմանը հավասար է դրանց ածանցյալների հարաբերակցության սահմանին (վերջավոր կամ անվերջ), եթե վերջինս գոյություն ունի նշված իմաստով։

Նրանք. տիպի անորոշությունները բացահայտելիս կամ կարող եք օգտագործել բանաձևը.

.

27.

Գլուխ 3. Ինտեգրալ հաշվարկ

3.1 Անորոշ ինտեգրալ

3.1.1 Սահմանումներ և հատկություններ

Սահմանում 1. Եթե ֆունկցիան կոչվում է հակաածանցյալ:

Սահմանում 2. f (x) ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալը այս ֆունկցիայի բոլոր հակաածանցյալների հավաքածուն է:

Նշանակում: , որտեղ c-ն կամայական հաստատուն է:

Անորոշ ինտեգրալ հատկություններ

1. Անորոշ ինտեգրալի ածանցյալ.

2. Անորոշ ինտեգրալի դիֆերենցիալը.

3. Դիֆերենցիալի անորոշ ինտեգրալ.

4. Երկու ֆունկցիաների գումարի (տարբերության) անորոշ ինտեգրալ.

5. Անորոշ ինտեգրալի նշանից այն կողմ հաստատուն գործոնի տեղափոխում.

3.1.2 Ինտեգրալների աղյուսակ

.1.3 Ինտեգրման հիմնական մեթոդները

1. Օգտագործելով անորոշ ինտեգրալի հատկությունները:

Օրինակ 29.

2. Դիֆերենցիալ նշանի տակ բերելը.

Օրինակ 30.

3. Փոփոխական փոխարինման մեթոդ.

ա) փոխարինում ինտեգրալում

որտեղ - ֆունկցիա, որն ավելի հեշտ է ինտեգրվել, քան սկզբնականը. - ֆունկցիայի հակադարձ գործառույթ; ֆունկցիայի հակաածանցյալն է։

Օրինակ 31.

բ) ձևի ինտեգրալում փոխարինում.

Օրինակ 32.

Օրինակ 33.

4. Ինտեգրման մեթոդ ըստ մասերի.

Օրինակ 34.

Օրինակ 35.

Եկեք առանձին վերցնենք ինտեգրալը

Վերադառնանք մեր ինտեգրալին.

3.2 Որոշակի ինտեգրալ

3.2.1 Որոշակի ինտեգրալի հասկացությունը և դրա հատկությունները

Սահմանում.Թող շարունակական ֆունկցիա տրվի որոշակի ընդմիջումով: Եկեք կառուցենք նրա գրաֆիկը:

Վերևում կորով, ձախից և աջից ուղիղ գծերով, իսկ ներքևից a և b կետերի միջև աբսցիսային առանցքի հատվածով սահմանափակված պատկերը կոչվում է կոր trapezoid:

S - տարածք - կոր trapezoid.

Բաժանեք միջակայքը կետերով և ստացեք.

Ինտեգրալ գումար.

Սահմանում. Որոշակի ինտեգրալը ինտեգրալ գումարի սահմանն է։

Որոշակի ինտեգրալ հատկություններ.

1. Ինտեգրալ նշանից կարելի է հանել հաստատուն գործոնը.

2. Երկու ֆունկցիաների հանրահաշվական գումարի ինտեգրալը հավասար է այս ֆունկցիաների ինտեգրալների հանրահաշվական գումարին.

3. Եթե ինտեգրման հատվածը բաժանված է մասերի, ապա ամբողջ հատվածի ինտեգրալը հավասար է առաջացած մասերից յուրաքանչյուրի ինտեգրալների գումարին, այսինքն. ցանկացած a, b, c համար:

4. Եթե հատվածի վրա, ապա

5. Ինտեգրման սահմանները կարող են փոխարկվել, մինչդեռ ինտեգրալի նշանը փոխվում է.

6.

7. Կետում ինտեգրալը հավասար է 0-ի:

8.

9. («միջինի մասին») Թող y = f (x) լինի ինտեգրվող ֆունկցիա: Հետո , որտեղ f (c) f (x)-ի միջին արժեքն է.

10. Նյուտոն-Լայբնից բանաձեւ

,

որտեղ F (x) հակաածանցյալն է f (x):

3.2.2 Որոշակի ինտեգրալի հաշվարկման մեթոդներ.

1. Ուղղակի ինտեգրում

Օրինակ 35.

ա)

բ)

v)

ե)

2. Որոշակի ինտեգրալ նշանի տակ փոփոխականների փոփոխություն .

Օրինակ 36.

2. Մասերի կողմից ինտեգրումը որոշակի ինտեգրալում .

Օրինակ 37.

ա)

բ)

ե)

3.2.3 Որոշակի ինտեգրալի կիրառություններ

Բնութագրական	Ֆունկցիայի տեսակը	Բանաձև
	դեկարտյան կոորդինատներով
կոր հատվածի տարածքը	բևեռային կոորդինատներում
կոր trapezoid տարածքը	պարամետրային ձևով
աղեղի երկարությունը	դեկարտյան կոորդինատներով
աղեղի երկարությունը	բևեռային կոորդինատներում
աղեղի երկարությունը	պարամետրային ձևով
մարմնի ծավալը ռոտացիան	դեկարտյան կոորդինատներով
մարմնի ծավալը տրված լայնակի հետ խաչմերուկ

Օրինակ 38. Հաշվեք գծերով սահմանափակված ձևի մակերեսը. եւ .

Լուծում:Գտնենք այս ֆունկցիաների գրաֆիկների հատման կետերը։ Դա անելու համար մենք հավասարեցնում ենք ֆունկցիաները և լուծում ենք հավասարումը

Այսպիսով, հատման կետերը և.

Մենք գտնում ենք գործչի տարածքը բանաձևով

.

Մեր դեպքում

Պատասխան՝ մակերեսը հավասար է (քառակուսի միավորների):

4.1 Հիմնական հասկացություններ

Սահմանում. Եթե, ըստ որևէ կանոնի, z փոփոխականի մեկ կամ մի քանի արժեք վերագրվում է որոշակի բազմությունից անկախ թվերի յուրաքանչյուր զույգին, ապա z փոփոխականը կոչվում է երկու փոփոխականի ֆունկցիա:

Սահմանում. Z ֆունկցիայի տիրույթը այն զույգերի բազմությունն է, որոնց համար գոյություն ունի z ֆունկցիան։

Երկու փոփոխականների ֆունկցիայի տիրույթը Oxy կոորդինատային հարթության վրա գտնվող կետերի բազմություն է: Z-կոորդինատը կոչվում է կիրառություն, այնուհետև ֆունկցիան ինքնին պատկերվում է որպես որոշ մակերես E 3 տարածության մեջ: Օրինակ:

Օրինակ 39. Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը:

ա)

Աջ կողմի արտահայտությունը իմաստալից է միայն. Սա նշանակում է, որ այս ֆունկցիայի տիրույթը բոլոր կետերի հավաքածուն է, որոնք գտնվում են սկզբնակետում կենտրոնացած R շառավղով շրջանագծի ներսում և սահմանին:

Այս ֆունկցիայի տիրույթը հարթության բոլոր կետերն են, բացառությամբ ուղիղ գծերի կետերի, այսինքն. կոորդինատային առանցքներ.

Սահմանում. Ֆունկցիոնալ մակարդակի գծերը կոորդինատային հարթության կորերի ընտանիք են, որոնք նկարագրված են ձևի հավասարումներով:

Օրինակ 40. Գտեք ֆունկցիայի մակարդակի գծերը .

Լուծում. Տվյալ ֆունկցիայի մակարդակի գծերը հավասարման միջոցով նկարագրված հարթության կորերի ընտանիք են

Վերջին հավասարումը նկարագրում է շրջանակների ընտանիքը, որը կենտրոնացած է շառավղով O 1 (1, 1) կետում: Այս ֆունկցիայով նկարագրված պտույտի մակերեսը (պարաբոլոիդ) առանցքից հեռանալիս դառնում է «ավելի կտրուկ», որը տրված է x = 1, y = 1 հավասարումներով (նկ. 4):

4.2 Մի քանի փոփոխականների գործառույթների սահմանները և շարունակականությունը:

1. Սահմանափակումներ.

Սահմանում. A թիվը կոչվում է ֆունկցիայի սահման, քանի որ կետը հակված է դեպի կետ, եթե յուրաքանչյուր կամայական փոքր թվի համար կա այնպիսի թիվ, որ պայմանը ճշմարիտ է ցանկացած կետի համար, և պայմանը. ... Նրանք գրում են. .

Օրինակ 41. Գտեք սահմանները.

դրանք. սահմանը կախված է, և, հետևաբար, այն գոյություն չունի:

2. Շարունակականություն.

Սահմանում. Թող կետը պատկանում է ֆունկցիայի սահմանման տիրույթին: Այնուհետև ֆունկցիան կոչվում է շարունակական այն կետում, եթե

(1)

ավելին, կետը կամայական կերպով հակված է դեպի կետը։

Եթե ​​որևէ կետում (1) պայմանը բավարարված չէ, ապա այդ կետը կոչվում է ֆունկցիայի դադարման կետ։ Սա կարող է լինել հետևյալ դեպքերում.

1) ֆունկցիան նշված կետում սահմանված չէ:

2) սահմանափակում չկա:

3) Այս սահմանը գոյություն ունի, բայց այն հավասար չէ:

Օրինակ 42. Որոշե՛ք, արդյոք տվյալ ֆունկցիան կետում շարունակական է, եթե.

Դա հասկացա հետևաբար, այս գործառույթը կետում շարունակական է:

սահմանը կախված է k-ից, այսինքն. այն գոյություն չունի տվյալ կետում, ինչը նշանակում է, որ ֆունկցիան այս կետում ունի դադար:

4.3 Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիաների ածանցյալներ և դիֆերենցիալներ

4.3.1 Առաջին կարգի մասնակի ածանցյալներ

Ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը x փաստարկի նկատմամբ x մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի սովորական ածանցյալն է y փոփոխականի ֆիքսված արժեքի համար և նշվում է.

y փաստարկի նկատմամբ ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալը y փոփոխականի y ֆունկցիայի սովորական ածանցյալն է x փոփոխականի ֆիքսված արժեքով և նշվում է.

Օրինակ 43. Գտեք ֆունկցիաների մասնակի ածանցյալներ:

4.3.2 Երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ

Երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները առաջին կարգի մասնակի ածանցյալների մասնակի ածանցյալներն են: Ձևի երկու փոփոխականների ֆունկցիայի համար հնարավոր է երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալների չորս տեսակ.

Երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները, որոնցում տարբերակումը կատարվում է տարբեր փոփոխականների նկատմամբ, կոչվում են խառը ածանցյալներ։ Երկու անգամ դիֆերենցիալ ֆունկցիայի երկրորդ կարգի խառը ածանցյալները հավասար են։

Օրինակ 44. Գտե՛ք երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները:

4.3.3 Ընդհանուր դիֆերենցիալ և դրա կիրառումը մոտավոր հաշվարկներում:

Սահմանում. Երկու փոփոխականների ֆունկցիայի առաջին կարգի դիֆերենցիալը գտնում ենք բանաձևով

.

Օրինակ 45. Գտե՛ք ֆունկցիայի ընդհանուր դիֆերենցիալը:

Լուծում. Գտնենք մասնակի ածանցյալները.

.

x և y արգումենտների փոքր աճի դեպքում ֆունկցիան ստանում է dz-ի մոտավորապես հավասար աճ, այսինքն. ...

Մի կետում ֆունկցիայի մոտավոր արժեքը գտնելու բանաձևը, եթե հայտնի է դրա ճշգրիտ արժեքը մի կետում.

Օրինակ 46. Գտեք .

Լուծում. Թող,

Այնուհետև մենք օգտագործում ենք բանաձևը

Պատասխանել. .

Օրինակ 47. Հաշվիր մոտավորապես.

Լուծում. Դիտարկենք մի ֆունկցիա. Մենք ունենք

Օրինակ 48. Հաշվիր մոտավորապես.

Լուծում. Դիտարկենք գործառույթը ... Մենք ստանում ենք.

Պատասխանել. .

4.3.4 Իմպլիցիտ ֆունկցիայի տարբերակում

Սահմանում. Գործառույթը կոչվում է իմպլիցիտ, եթե այն տրված է z-ի նկատմամբ անլուծելի հավասարմամբ:

Նման ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները հայտնաբերվում են բանաձևերով.

Օրինակ 49. Գտե՛ք հավասարմամբ տրված z ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները .

Լուծում.

Սահմանում. Գործառույթը կոչվում է իմպլիցիտ, եթե այն տրված է y-ի նկատմամբ անլուծելի հավասարմամբ:

Նման ֆունկցիայի ածանցյալը կարելի է գտնել բանաձևով.

.

Օրինակ 50. Գտե՛ք այս ֆունկցիաների ածանցյալները:

5.1 Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի տեղական ծայրահեղություն

Սահմանում 1. Ֆունկցիան ունի առավելագույն կետ եթե

Սահմանում 2. Ֆունկցիան ունի նվազագույն կետ եթե կետին բավական մոտ և դրանից տարբեր բոլոր կետերի համար:

Էքստրեմի համար անհրաժեշտ պայման. Եթե ​​մի կետում ֆունկցիան հասնում է ծայրահեղության, ապա ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները անհետանում են կամ չկան այս պահին:

Այն կետերը, որտեղ մասնակի ածանցյալները անհետանում են կամ գոյություն չունեն, կոչվում են կրիտիկական:

Ծայրահեղության բավարար նշան: Թող ֆունկցիան սահմանվի կրիտիկական կետի ինչ-որ հարևանությամբ և այս կետում ունենա շարունակական երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալներ

1) կետում ունի տեղական առավելագույն, եթե և.

2) կետում ունի տեղական նվազագույն, եթե և.

3) չունի տեղային էքստրեմում այն ​​կետում, եթե.

Երկու փոփոխականի ֆունկցիայի ծայրահեղության հետազոտության սխեման:

1. Գտե՛ք ֆունկցիայի մասնակի ածանցյալները՝ և.

2. Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը և գտե՛ք ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը։

3. Գտեք երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները, հաշվարկեք դրանց արժեքները կրիտիկական կետերում և, օգտագործելով բավարար պայմանը, եզրակացություն արեք ծայրահեղությունների առկայության մասին:

4. Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունը:

Օրինակ 51. Գտեք ֆունկցիայի ծայրահեղությունները .

1) Գտեք մասնակի ածանցյալները.

2) Լուծե՛ք հավասարումների համակարգը

4) Գտեք երկրորդ կարգի մասնակի ածանցյալները և դրանց արժեքները կրիտիկական կետերում. Այն կետում մենք ստանում ենք.

հետևաբար, այդ կետում ծայրահեղություն չկա: Այն կետում մենք ստանում ենք.

հետևաբար, այդ կետում կա նվազագույնը:

5.2 Գլոբալ ծայրահեղություն (ֆունկցիայի ամենաբարձր և ամենացածր արժեքը)

Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները, որոնք շարունակական են որոշ փակ բազմության վրա, ձեռք են բերվում կամ ծայրահեղ կետերում կամ բազմության սահմաններում:

Ամենաբարձր և ամենացածր արժեքները գտնելու սխեման:

1) Գտեք տարածաշրջանի ներսում գտնվող կրիտիկական կետերը, հաշվարկեք ֆունկցիայի արժեքը այս կետերում:

2) ուսումնասիրել տարածքի սահմանի ֆունկցիան. եթե սահմանը բաղկացած է մի քանի տարբեր գծերից, ապա ուսումնասիրությունը պետք է իրականացվի յուրաքանչյուր տեղամասի համար առանձին:

3) Համեմատեք ֆունկցիայի ստացված արժեքները և ընտրեք ամենամեծն ու ամենափոքրը:

Օրինակ 52. Ուղղանկյունում գտե՛ք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքները:

Լուծում. 1) Գտե՛ք ֆունկցիայի կրիտիկական կետերը, դրա համար գտնում ենք մասնակի ածանցյալները և լուծում հավասարումների համակարգը.

Ստացել է կրիտիկական կետը A: Ստացված կետը գտնվում է նշված տարածքում,

Տարածքի սահմանը կազմված է չորս հատվածից՝ և. Գտեք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը յուրաքանչյուր հատվածի վրա:

4) Համեմատե՛ք ստացված արդյունքները և գտե՛ք այն կետերում .

Գլուխ 6. Սպառողների ընտրության մոդելը

Մենք կենթադրենք, որ կան n տարբեր ապրանքներ: Այնուհետև ապրանքների որոշակի խումբ կնշանակվի n-չափական վեկտորով , որտեղ է i-րդ արտադրանքի քանակը։ X ապրանքների բոլոր խմբերի բազմությունը կոչվում է տարածություն:

Անհատ սպառողի ընտրությունը բնութագրվում է նախապատվության հարաբերակցությամբ. ենթադրվում է, որ սպառողը կարող է ասել ցանկացած երկու հավաքածուի մասին, որն ավելի ցանկալի է, կամ նա չի տեսնում դրանց միջև տարբերությունը: Նախապատվության հարաբերությունը անցողիկ է. եթե բազմությունը նախընտրելի է բազմությունից, իսկ բազմությունը նախընտրելի է բազմությունից, ապա բազմությունը նախընտրելի է բազմությունից: Մենք կենթադրենք, որ սպառողի վարքագիծը ամբողջությամբ նկարագրվում է առանձին սպառողի աքսիոմով. յուրաքանչյուր առանձին սպառող որոշում է կայացնում սպառման, գնումների և այլնի վերաբերյալ՝ ելնելով իր նախասիրությունների համակարգից:

6.1 Կոմունալ գործառույթ

X սպառողական հավաքածուների բազմության վրա ֆունկցիան սահմանված է , որի արժեքը սպառողական հավաքածուի վրա հավասար է սպառողի կողմից այս հավաքածուի համար անհատի գնահատականին: Ֆունկցիան կոչվում է սպառողի օգտակար ֆունկցիա կամ սպառողի նախընտրության ֆունկցիա։ Նրանք. յուրաքանչյուր սպառող ունի իր օգտակար գործառույթը: Բայց սպառողների ամբողջ շարքը կարելի է բաժանել սպառողների որոշակի դասերի (ըստ տարիքի, սեփականության կարգավիճակի և այլն) և յուրաքանչյուր դասի կարող է վերագրվել որոշ, հնարավոր է, միջինացված օգտակար գործառույթ:

Այսպիսով, ֆունկցիան սպառողի գնահատումն է կամ անհատի կարիքների բավարարման մակարդակը տվյալ հավաքածու գնելիս: Եթե ​​հավաքածուն նախընտրելի է տվյալ անհատի համար նախատեսված հավաքածուից, ապա.

Կոմունալ ֆունկցիայի հատկությունները.

1.

Օգտակար ֆունկցիայի առաջին մասնակի ածանցյալները կոչվում են արտադրանքի սահմանային օգտակարություն։ Այս հատկությունից հետևում է, որ մեկ ապրանքի սպառման աճը, մինչդեռ մյուս ապրանքների սպառումը մնում է անփոփոխ, հանգեցնում է սպառողների գնահատման աճին: Վեկտոր ֆունկցիայի գրադիենտն է, այն ցույց է տալիս ֆունկցիայի ամենամեծ աճի ուղղությունը։ Ֆունկցիայի համար դրա գրադիենտը արտադրանքի մարգինալ օգտակարության վեկտորն է:

2.

Նրանք. Ցանկացած ապրանքի մարգինալ օգտակարությունը նվազում է սպառման աճով:

3.

Նրանք. յուրաքանչյուր ապրանքի սահմանային օգտակարությունը մեծանում է մյուս ապրանքի քանակի հետ։

Որոշ տեսակի օգտակար գործառույթներ:

1) Նեոկլասիկական.

2) քառակուսի. որտեղ մատրիցը բացասական որոշակի է և համար .

3) Լոգարիթմական ֆունկցիա.

6.2 Անտարբերության տողեր

Սպառողների ընտրության կիրառական խնդիրներում և մոդելներում հաճախ օգտագործվում է երկու ապրանքների հավաքածուի որոշակի դեպք, այսինքն. երբ օգտակար գործառույթը կախված է երկու փոփոխականից: Անտարբերության գիծը մի գիծ է, որը կապում է սպառողական խմբերը, որոնք ունեն անհատի կարիքների բավարարման նույն մակարդակը: Ըստ էության, անտարբերության գծերը ֆունկցիայի մակարդակի գծեր են։ Անտարբերության գծերի հավասարումներ. .

Անտարբերության գծերի հիմնական հատկությունները.

1. Անտարբերության գծերը, որոնք համապատասխանում են կարիքների բավարարման տարբեր մակարդակներին, չեն շոշափվում կամ հատվում:

2. Անտարբերության գծերը նվազում են.

3. Անտարբերության գծերը ուռուցիկ են դեպի վար:

2-րդ հատկությունը ենթադրում է կարևոր մոտավոր հավասարություն։

Այս հարաբերակցությունը ցույց է տալիս, թե անհատը որքանով պետք է ավելացնի (նվազի) երկրորդ ապրանքի սպառումը, մինչդեռ առաջին ապրանքի սպառումը մեկ միավորով նվազեցնի (ավելացնի)՝ չփոխելով իր կարիքների բավարարման մակարդակը։ Հարաբերակցությունը կոչվում է առաջին արդյունքի երկրորդով փոխարինման արագություն, իսկ արժեքը՝ առաջին արտադրանքի երկրորդով փոխարինման սահմանային արագություն։

Օրինակ 53. Եթե առաջին ապրանքի սահմանային օգտակարությունը 6 է, իսկ երկրորդը` 2, ապա առաջին ապրանքի սպառումը մեկ միավորով նվազեցնելու դեպքում անհրաժեշտ է երկրորդ ապրանքի սպառումը ավելացնել 3 միավորով. բավարարվածության նույն մակարդակը:

6.3 Բյուջետային հավաքածու

Թող - n ապրանքատեսակների մի շարք գների վեկտոր; I - անհատի եկամուտ, որը նա պատրաստ է ծախսել մի շարք ապրանքների գնման վրա: Տրված գներով I-ից ոչ ավելի արժեք ունեցող ապրանքների հավաքածուն կոչվում է բյուջետային B բազմություն: Ավելին, I արժողությամբ ապրանքների հավաքածուն կոչվում է B բյուջետային բազմության սահման G: B բազմությունը սահմանափակված է G սահմանով և բնական սահմանափակումներով։

Բյուջեի հավաքածուն նկարագրվում է անհավասարությունների համակարգով.

Երկու ապրանքների հավաքածուի դեպքում բյուջետային բազմությունը B (նկ. 1) կոորդինատային համակարգում եռանկյուն է, որը սահմանափակված է կոորդինատային առանցքներով և ուղիղ գծով:

6.4 Սպառողների պահանջարկի տեսություն

Սպառման տեսության մեջ ենթադրվում է, որ սպառողը միշտ ձգտում է առավելագույնի հասցնել իր օգտակարությունը, և նրա համար միակ սահմանափակումը սահմանափակ եկամուտն է, որը նա կարող է ծախսել մի շարք ապրանքներ գնելու վրա: Ընդհանուր առմամբ, սպառողների ընտրության խնդիրը (շուկայում սպառողների ռացիոնալ վարքագծի խնդիրը) ձևակերպված է հետևյալ կերպ. , որը առավելագույնի է հասցնում իր օգտակար գործառույթը տվյալ բյուջեի սահմանափակման համար: Այս խնդրի մաթեմատիկական մոդելը.

Երկու ապրանքների հավաքածուի դեպքում.

Երկրաչափական առումով այս խնդրի լուծումը բյուջետային G բազմության սահմանի և անտարբերության գծի շփման կետն է։

Այս խնդրի լուծումը կրճատվում է հավասարումների համակարգի լուծմանը.

(1)

Այս համակարգի լուծումը սպառողների ընտրության խնդրի լուծումն է։

Սպառողների ընտրության խնդրի լուծումը կոչվում է պահանջարկի կետ: Այս պահանջարկի կետը կախված է գներից և եկամուտներից I. Այսինքն. պահանջարկի կետը պահանջարկի ֆունկցիա է: Իր հերթին պահանջարկի ֆունկցիան n ֆունկցիաների մի շարք է, որոնցից յուրաքանչյուրը կախված է փաստարկից.

Այս ֆունկցիաները կոչվում են համապատասխան ապրանքների պահանջարկի ֆունկցիաներ։

Օրինակ 54. Շուկայում երկու ապրանքների հավաքածուի համար, դրանց համար հայտնի գները և եկամուտը I, գտե՛ք պահանջարկի ֆունկցիաները, եթե օգտակար ֆունկցիան ունի ձևը. .

Լուծում. Եկեք տարբերակենք օգտակար գործառույթը.

.

Ստացված արտահայտությունները փոխարինի՛ր (1)-ում և ստացի՛ր հավասարումների համակարգը.

Այս դեպքում յուրաքանչյուր ապրանքի համար ծախսը կկազմի սպառողի եկամտի կեսը, իսկ գնված ապրանքի գումարը հավասար է դրա վրա ծախսված գումարին` բաժանված ապրանքի գնի վրա։

Օրինակ 55. Թող օգտակարը գործի առաջին լավի, երկրորդի համար,

առաջին ապրանքի գինը, երկրորդի գինը. Եկամուտ. Որքա՞ն պետք է գնի սպառողը օգտակարությունը առավելագույնի հասցնելու համար:

Լուծում. Եկեք գտնենք օգտակար գործառույթների ածանցյալները, դրանք փոխարինենք համակարգում (1) և լուծենք այն.

Ապրանքների այս փաթեթը սպառողի համար օպտիմալ է օգտակարության առավելագույնի հասցնելու տեսանկյունից:

Փորձարկումը պետք է կատարվի առանձին նոթատետրում գրանցամատյանի համարի վերջին թվանշանով ընտրված տարբերակի համաձայն: Յուրաքանչյուր խնդիր պետք է պարունակի պայման, մանրամասն լուծում և եզրակացություն։

1. Ներածություն հաշվարկին

Առաջադրանք 1. Գտեք ֆունկցիայի տիրույթը:

5.

Խնդիր 2. Գտե՛ք ֆունկցիաների սահմանները:

.

Առաջադրանք 3. Գտե՛ք ֆունկցիայի ընդմիջման կետերը և որոշե՛ք դրանց տեսակը:

1. 2. 3.

Գլուխ 2. Մեկ փոփոխականի ֆունկցիայի դիֆերենցիալ հաշվարկ

Առաջադրանք 4. Գտե՛ք այս ֆունկցիաների ածանցյալները:

1.ա); բ) գ) y =;

դ) y = x 6 + + + 5; ե) y = x tg x + ln sin x + e 3x;

զ) y = 2 x - arcsin x.

2.ա) ; բ) y =; գ) y =; դ) y = x 2 - + 3; ե) y = e cos; զ) y =.

3.ա) y = lnx; բ) y =; գ) y = ln;

4. ա) y =; բ) y = (e 5 x - 1) 6; գ) y =; դ) y =; ե) y = x 8 ++ + 5; զ) y = 3 x - arcsin x.

5.ա) y = 2x 3 - + e x; բ) y =; գ) y =;

դ) y =; ե) y = 2 cos; զ) y =.

6.ա) y = lnx; բ) y =; գ) y = ln;

դ) y =; ե) y = x 7 + + 1; զ) y = 2:

7.ա) ; բ) y =; գ) y =; դ) y = x 2 + xsinx +; ե) y = e cos; զ) y =.

8. ա) y =; բ) y = (3 x - 4) 6; գ) y = sintg;

դ) y = 3x 4 - - 9+ 9; ե) y =;

զ) y = x 2 + arcsin x - x.

9.ա); բ) ; գ) y =; դ) y = 5 մեղք 3 x; ե) y = x 3 - - 6+ 3; զ) y = 4x 4 + ln.

10.ա) բ) y =; գ) y = (3 x - 4) 6; դ) y =; ե) y = x 2 - x; զ) y = e sin 3 x + 2:

Առաջադրանք 5. Հետազոտել ֆունկցիան և կառուցել դրա գրաֆիկը:

1. ա) բ) գ).

2.ա) բ) v) .

3.ա) բ) v) .

4.բ) v)

5.ա) բ) v) .

6.ա) բ) v) .

7. ա) բ) գ).

8. ա) բ) գ).

9.ա) բ) գ).

10. ա) բ) v) .

Առաջադրանք 6. Գտե՛ք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը տվյալ հատվածի վրա:

1. .

3. .

6. .

8. .

9. .

10. .

Գլուխ 3. Ինտեգրալ հաշվարկ

Խնդիր 7. Գտե՛ք անորոշ ինտեգրալներ:

1.ա) բ);

2.ա) բ) գ) դ).

4. է)

5.ա) ; բ); v) ; G):

6.ա) ; բ); v); է)

7.ա) ; բ) ; v) ; է)

8.ա) ; բ); v) ; G) .

9.ա) ; բ) գ); G):

10.ա) բ) v) ; G) .

Խնդիր 8. Հաշվե՛ք որոշակի ինտեգրալներ:

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7. .

8.

9.

10.

Խնդիր 9. Գտեք ոչ պատշաճ ինտեգրալներ կամ ապացուցեք, որ դրանք շեղվում են:

1. .

2. .

3. .

4. .

5. .

6. .

7. .

8. .

9. .

10. .

Խնդիր 10. Գտե՛ք կորերով սահմանափակված տարածքի մակերեսը

1. .2. .

5. 6.

7. , .8..

10. , .

Գլուխ 4. Մի քանի փոփոխականների ֆունկցիայի դիֆերենցիալ հաշվարկ:

Առաջադրանք 11. Գտե՛ք ֆունկցիայի տիրույթը (ցույց տվեք գծագրում):

Խնդիր 12. Հետազոտել ֆունկցիայի շարունակականությունը համար

Խնդիր 13. Գտե՛ք անուղղակիորեն սահմանված ֆունկցիայի ածանցյալը:

Խնդիր 14. Հաշվի՛ր մոտավորապես

1.ա); բ) ; v)

2.ա) ; բ); v) .

3.ա) ; բ) ; v) .

4.ա) ; բ) ; v) .

5. ա); բ) ; v) .

6. ա); բ); v) .

7. ա); բ) ; v) .

8.ա); բ) ; v)

9.ա) ; բ); v) .

10. ա); բ) ; v)

Խնդիր 15. Հետազոտել ֆունկցիան ծայրահեղությունների համար:

7. .

8. .

9. .

10. .

Խնդիր 16. Գտե՛ք ֆունկցիայի ամենամեծ և ամենափոքր արժեքը տրված փակ տարածքում:

1.ուղղանկյան մեջ

2.

3. ուղղանկյունում

4. պարաբոլայով սահմանափակված տարածաշրջանում

Եվ աբսցիսսը:

5.քառակուսի

6. կոորդինատային առանցքներով և ուղիղ գծով սահմանափակված եռանկյան մեջ

7. կոորդինատային առանցքներով և ուղիղ գծով սահմանափակված եռանկյան մեջ

8. եռանկյան մեջ, որը սահմանափակված է կոորդինատային առանցքներով և ուղիղ գծով

9. պարաբոլով սահմանափակված տարածաշրջանում

Եվ աբսցիսսը:

10. պարաբոլով սահմանափակված տարածաշրջանում

Եվ աբսցիսսը:

Գլխավոր հիմնական

1. Մ.Ս. Կրասուսը, Բ.Պ. Չուպրինովը։ Մաթեմատիկայի հիմունքները և դրա կիրառումը տնտեսական կրթության մեջ. Դասագիրք. - 4-րդ հրատ., Իսպ. - Մ.: Դելո, 2003 թ.

2. Մ.Ս. Կրասուսը, Բ.Պ. Չուպրինովը։ Մաթեմատիկա տնտեսագիտական ​​մասնագիտությունների համար. Դասագիրք. - 4-րդ հրատ., Իսպ. - Մ.: Դելո, 2003 թ.

3. Մ.Ս. Կրասուսը, Բ.Պ. Չուպրինովը։ Մաթեմատիկա տնտեսագիտության բակալավրիատի համար: Դասագիրք. - 4-րդ հրատ., Իսպ. - Մ .: Դելո, 2005 թ.

4. Բարձրագույն մաթեմատիկա՝ տնտեսագետների համար. Դասագիրք բուհերի համար / Ն.Շ. Կրեմերը, Բ.Ա. Պուտկոն, Ի.Մ. Տրիշին, Մ.Ն. Ֆրիդման; Էդ. պրոֆ. Ն.Շ. Կրեմեր, - 2-րդ հրատ., Վերանայված: և ավելացնել. - Մ.ՄԻԱՍՆՈՒԹՅՈՒՆ, 2003թ.

5. Kremer N.Sh, Putko BA, Trishin IM, Fridman MN Բարձրագույն մաթեմատիկա տնտեսական մասնագիտությունների համար: Դասագիրք և սեմինար (մաս I և II) / Ed. պրոֆ. Ն.Շ. Կրեմեր, - 2-րդ հրատ., Վերանայված: և ավելացնել. - M: Բարձրագույն կրթություն, 2007. - 893p. - (Գիտությունների հիմունքներ)

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Բարձրագույն մաթեմատիկա վարժություններում և խնդիրներում: Մ. ավագ դպրոց. 1999 թ.

Լրացուցիչ

1. Ի.Ի. Բավրին, Վ.Լ. Նավաստիներ. Բարձրագույն մաթեմատիկա. «Վլադոս մարդասիրական հրատարակչական կենտրոն», 2002 թ.

2. Ի.Ա. Զայցև. Բարձրագույն մաթեմատիկա. «Ավագ դպրոց», 1998 թ.

3. Ա.Ս. Սոլոդովնիկովը, Վ.Ա. Բաբայցև, Ա.Վ. Բրաիլովը, Ի.Գ. Շանդրա. Մաթեմատիկա տնտեսագիտության մեջ / երկու մասով /. M. Ֆինանսներ և վիճակագրություն. 1999 թ.

ուսանողների համար բժշկական, մանկական, ատամնաբուժական

և կանխարգելիչ բժշկության ֆակուլտետները

լաբորատոր աշխատանքին

«Մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացությունները»

1. Թեմայի գիտամեթոդական հիմնավորումը.

Ածանցյալ և դիֆերենցիալ հասկացությունները մաթեմատիկական վերլուծության հիմնական հասկացություններից են։ Ածանցյալների հաշվարկն անհրաժեշտ է ֆիզիկայի և մաթեմատիկայի բազմաթիվ խնդիրներ լուծելիս (արագություն, արագացում, ճնշում և այլն գտնել): Ածանցյալ հասկացության կարևորությունը, մասնավորապես, որոշվում է նրանով, որ ֆունկցիայի ածանցյալը բնութագրում է այս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը, երբ դրա փաստարկը փոխվում է:

Դիֆերենցիալի օգտագործումը հնարավորություն է տալիս կատարել մոտավոր հաշվարկներ, ինչպես նաև գնահատել սխալները։

Դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական խնդիրը կազմում են ֆունկցիաների ածանցյալների և դիֆերենցիալների գտնելու և դրանց կիրառման մեթոդները։ Ածանցյալ հասկացության անհրաժեշտությունն առաջանում է շարժման արագությունը հաշվարկելու և կորի վրա շոշափողի անկյունը գտնելու խնդրի ձևակերպման հետ կապված։ Հնարավոր է նաև հակադարձ խնդիրը՝ որոշել արագությամբ անցած տարածությունը և գտնել համապատասխան ֆունկցիան շոշափողի լանջի շոշափողով։ Այս հակադարձ խնդիրը հանգեցնում է անորոշ ինտեգրալի հասկացության:

Որոշակի ինտեգրալ հասկացությունն օգտագործվում է մի շարք գործնական խնդիրների դեպքում, մասնավորապես հարթ թվերի մակերեսները հաշվարկելու, փոփոխական ուժի կատարած աշխատանքը հաշվելու և ֆունկցիայի միջին արժեքը գտնելու խնդիրներում։

Տարբեր ֆիզիկական, քիմիական, կենսաբանական պրոցեսների և երևույթների մաթեմատիկական նկարագրության մեջ հաճախ օգտագործվում են հավասարումներ, որոնք պարունակում են ոչ միայն ուսումնասիրվող քանակությունները, այլև այդ քանակությունների տարբեր կարգերի դրանց ածանցյալները: Օրինակ՝ բակտերիաների բազմապատկման օրենքի ամենապարզ տարբերակի համաձայն՝ վերարտադրության արագությունը համաչափ է տվյալ պահին բակտերիաների թվին։ Եթե ​​այս մեծությունը նշանակվում է N (t), ապա ածանցյալի ֆիզիկական նշանակության համաձայն, բակտերիաների վերարտադրության արագությունը N (t) ածանցյալն է, և վերը նշված օրենքի հիման վրա կարող ենք գրել. հարաբերակցություն N "(t) = k ∙ N, որտեղ k> 0 - համաչափության գործակից Ստացված հավասարումը հանրահաշվական չէ, քանի որ այն պարունակում է ոչ միայն անհայտ N (t) ֆունկցիան, այլև նրա առաջին կարգի ածանցյալը:

2. Համառոտ տեսություն.

1. Ածանցյալ հասկացությանը տանող խնդիրներ

1. Նյութական կետի v արագությունը գտնելու խնդիրը... Թող որևէ նյութական կետ կատարի ուղղագիծ շարժում: Ժամանակի մի պահ տ 1 կետը գտնվում է դիրքում Մ 1. Ժամանակի մի պահ տ 2 հղի Մ 2 . Նշենք միջակայքը Մ 1 , Մ 2 երկայնքով ΔS; տ 2 - տ 1 = Δt... Արժեքը կոչվում է շարժման միջին արագություն: Դիրքում գտնվող կետի ակնթարթային արագությունը գտնելու համար Մ 1 անհրաժեշտ Δtհակված են զրոյի: Մաթեմատիկորեն սա նշանակում է, որ

, (1)

Այսպիսով, նյութական կետի ակնթարթային արագությունը գտնելու համար անհրաժեշտ է հաշվարկել ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանը. ΔSΔt փաստարկի ավելացմանը պայմանով, որ Δt → 0.

2. Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքության անկյունը գտնելու խնդիրը.

Նկար 1

Դիտարկենք որոշ ֆունկցիայի գրաֆիկը y = f (x):Որքա՞ն է թեքության անկյունը
շոշափող կետում Մ 1 ? Կետում Մ 1 նկարել ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափող: Ընտրեք կամայական կետ գրաֆիկի վրա Մ 2 և նկարիր սեկանտ։ Նա թեքված է դեպի առանցքը Օհանկյան տակ α 1 ... Հաշվի առեք ΔM 1 Մ 2 A:

, (2)

Եթե ​​կետ Մ 1 շտկել և մատնանշել Մ 2 մոտենալ Մ 1 , ապա սեկանտ Մ 1 Մ 2 կգնա կետի ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողին Մ 1 և կարող ես գրել.

, (3)

Այսպիսով, անհրաժեշտ է հաշվարկել ֆունկցիայի աճի հարաբերակցության սահմանը արգումենտի աճին, եթե արգումենտի աճը ձգտում է զրոյի:

y = f (x) ֆունկցիայի Δy աճի հարաբերակցության սահմանը Δx փաստարկի աճին տվյալ x կետում. 0 քանի որ Δx-ը ձգտում է զրոյի, կոչվում է ֆունկցիայի ածանցյալ տվյալ կետում:

Ածանցյալ նշում. y ", f" (x), ... Ըստ սահմանման

, (4)

որտեղ Δx = x 2 -x 1-ը արգումենտի աճն է (փաստարկի երկու հաջորդական բավական մոտ արժեքների տարբերությունը), Δy = y 2 -y 1 ֆունկցիայի աճն է (արժեքների տարբերությունը արգումենտի այս արժեքներին համապատասխանող ֆունկցիա):

Տրված ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելը կոչվում է իր տարբերակում... Հիմնական տարրական գործառույթների տարբերակումն իրականացվում է ըստ պատրաստի բանաձևերի (տես աղյուսակ), ինչպես նաև օգտագործելով. կանոնները:

Հանրահաշվական գումարի ածանցյալ ֆունկցիաները հավասար են այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին.

(u+ υ )"= u" + υ "

2. Երկու ֆունկցիայի արտադրյալի ածանցյալը հավասար է երկրորդ ֆունկցիայի արտադրյալների գումարին առաջինի ածանցյալով, իսկ առաջին ֆունկցիայի՝ երկրորդի ածանցյալով.

(u ∙υ ) «= դու»υ + uυ "

3. ածանցյալի երկու ֆունկցիաները հավասար են կոտորակի, որի համարիչը հայտարարի արտադրյալների տարբերությունն է համարիչի ածանցյալով և համարիչը հայտարարի ածանցյալով, իսկ հայտարարը հայտարարի քառակուսին է.

Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը. (4) և (1)-ի համեմատությունը ենթադրում է, որ նյութական կետի ուղղագիծ շարժման ակնթարթային արագությունը հավասար է դրա կոորդինատի կախվածության ածանցյալին ժամանակից:

Գործառույթի ածանցյալի ընդհանուր իմաստն այն է, որ այն բնութագրում է ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը (արագությունը):տվյալ փաստարկի փոփոխության համար: Ֆիզիկական, քիմիական և այլ պրոցեսների արագությունը, օրինակ՝ մարմնի սառեցման արագությունը, քիմիական ռեակցիայի արագությունը, բակտերիաների վերարտադրության արագությունը և այլն, նույնպես արտահայտվում է ածանցյալի միջոցով։

Ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.Ֆունկցիայի գրաֆիկին գծված շոշափողի թեքության անկյան շոշափողի մեծությունը մաթեմատիկայում կոչվում է. շոշափողի թեքությունը.

Տարբերվող ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությունն ինչ-որ կետում թվայինորեն հավասար է այս կետի ֆունկցիայի ածանցյալին:

Այս հայտարարությունը կոչվում է ածանցյալի երկրաչափական նշանակությունը.

Հոդվածի բովանդակությունը

ՄԱԹԵՄԱՏԻԿԱԿԱՆ ՎԵՐԼՈՒԾՈՒԹՅՈՒՆ,մաթեմատիկայի մի ճյուղ, որն ապահովում է փոփոխությունների տարբեր գործընթացների քանակական ուսումնասիրության մեթոդներ. զբաղվում է փոփոխության արագության ուսումնասիրությամբ (դիֆերենցիալ հաշվարկ) և կորերի երկարությունների, տարածքների և ծավալների որոշմամբ՝ սահմանափակված կոր եզրագծերով և մակերեսներով (ինտեգրալ հաշվարկ)։ Մաթեմատիկական վերլուծության խնդիրների համար հատկանշական է, որ դրանց լուծումը կապված է սահման հասկացության հետ։

Մաթեմատիկական վերլուծությունը նախաձեռնվել է 1665 թվականին Ի.Նյուտոնի և (մոտ 1675թ.) անկախ Գ.Լայբնիցի կողմից, թեև կարևոր նախապատրաստական ​​աշխատանք են կատարել Ի.Կեպլերը (1571–1630), Ֆ.Կավալիերին (1598–1647), Պ.Ֆերման։ (1601– 1665), Ջ.

Ներկայացումն ավելի աշխույժ դարձնելու համար մենք կդիմենք գրաֆիկների լեզվին։ Հետևաբար, ընթերցողին կարող է օգտակար համարել նախքան այս հոդվածը կարդալը ծանոթանալ «ՎԵՐԼՈՒԾԱԿԱՆ ԵՐԿՐԱաչափություն» հոդվածին:

ԴԻՖԵՐԵՆՑԻԱԼ ՀԱՇՎԱՐԿ

Շոշափողներ.

Նկ. 1-ը ցույց է տալիս կորի հատվածը y = 2x – x 2, կնքված միջեւ x= –1 և x= 3. Այս կորի բավական փոքր հատվածները ուղիղ տեսք ունեն: Այլ կերպ ասած, եթե ՌԱյս կորի կամայական կետն է, ուրեմն այս կետով ինչ-որ ուղիղ գիծ է անցնում և հանդիսանում է կորի մոտավոր մոտավոր կետի փոքր հարևանությամբ: Ռ, և որքան փոքր է հարևանությունը, այնքան ավելի լավ կլինի մոտավորությունը: Նման ուղիղ գիծը կոչվում է կետի կորի շոշափող Ռ... Դիֆերենցիալ հաշվարկի հիմնական խնդիրն է կառուցել ընդհանուր մեթոդ, որը թույլ է տալիս գտնել շոշափողի ուղղությունը կորի ցանկացած կետում, որտեղ առկա է շոշափողը: Դժվար չէ պատկերացնել կորը կտրուկ ընդմիջումով (նկ. 2): Եթե Ռ- նման ընդմիջման գագաթը, ապա կարող եք կառուցել մոտավոր ուղիղ գիծ ՊՏ 1 - կետից աջ Ռև ևս մեկ մոտավոր տող RT 2 - կետից ձախ Ռ... Բայց կետով անցնող մեկ ուղիղ գիծ չկա Ռ, որը հավասարապես լավ մոտեցավ կետի մերձակայքում գտնվող կորին Պև՛ աջ, և՛ ձախ, հետևաբար՝ կետի շոշափողը Պգոյություն չունի.

Նկ. 1 շոշափող ԻՑգծված ծագման միջոցով Օ= (0,0): Այս գծի թեքությունը 2 է, այսինքն. երբ աբսցիսան փոխվում է 1-ով, օրդինատը մեծանում է 2-ով. Եթե xև y- կամայական կետի կոորդինատները ԻՑ, ապա, հեռանալով Օհեռավորության վրա Xմիավորները դեպի աջ, մենք հեռանում ենք Օ 2-ին yմիավորներ վեր. Հետևաբար, y/x= 2, կամ y = 2x... Սա շոշափող հավասարումն է ԻՑդեպի կորը y = 2x – x 2 կետում Օ.

Այժմ անհրաժեշտ է բացատրել, թե ինչու՝ կետով անցնող գծերի բազմությունից Օ, ընտրվել է ուղիղ գիծը ԻՑ... Ո՞րն է տարբերությունը 2 թեքությամբ ուղիղ գծի և այլ ուղիղների միջև: Կա մեկ պարզ պատասխան, և մենք դժվարանում ենք դիմակայել շրջանագծին շոշափողի անալոգիան օգտագործելու գայթակղությանը. ԻՑկորի հետ ունի միայն մեկ ընդհանուր կետ, մինչդեռ կետով անցնող ցանկացած այլ ոչ ուղղահայաց ուղիղ գիծ Օ, երկու անգամ հատում է կորը։ Սա կարելի է ստուգել հետևյալ կերպ.

Քանի որ արտահայտությունը y = 2x – x 2-ը կարելի է ստանալ հանելով X 2-ից y = 2x(Ուղիղ գծի հավասարումներ ԻՑ), ապա արժեքները yգրաֆիկի համար ավելի քիչ գիտելիք կա yուղիղ գծի համար բոլոր կետերում, բացառությամբ կետի x= 0. Հետևաբար, գրաֆիկն ամենուր է, բացի կետից Օգտնվում է ստորև ԻՑ, և այս տողը և գրաֆիկը միայն մեկ ընդհանուր կետ ունեն: Ընդ որում, եթե y = mx- կետով անցնող մեկ այլ ուղիղ գծի հավասարումը Օ, ապա անպայման կլինեն երկու հատման կետեր: Իսկապես, mx = 2x – x 2 ոչ միայն համար x= 0, բայց նաև դրա համար x = 2 – մ... Եվ միայն այն ժամանակ, երբ մ= 2 երկու հատման կետերը համընկնում են: Նկ. 3-ը ցույց է տալիս այն դեպքը, երբ մ 2-ից պակաս, ուստի դեպի աջ Օկա երկրորդ հատման կետ.

Ինչ ԻՑ- կետով անցնող միակ ոչ ուղղահայաց ուղիղ գիծը Օև ունենալով միայն մեկ ընդհանուր կետ գրաֆիկի հետ, այլ ոչ նրա ամենակարևոր հատկությունը: Իսկապես, եթե դիմենք այլ գրաֆիկների, շուտով պարզ կդառնա, որ ընդհանուր դեպքում մեր նշած շոշափողի հատկությունը չի կատարվել։ Օրինակ, նկ. 4 երևում է, որ (1,1) կետի մոտ կորի գրաֆիկը y = x 3-ը լավ մոտավոր է ուղիղ գծով RT, որը, սակայն, իր հետ մեկից ավելի ընդհանուր կետ ունի։ Այնուամենայնիվ, մենք կցանկանայինք դիտարկել RTկետում այս գրաֆիկին շոշափող Ռ... Հետևաբար, անհրաժեշտ է գտնել շոշափողն ընդգծելու այլ միջոց, քան առաջին օրինակում մեզ այդքան լավ ծառայելը:

Ենթադրենք, որ կետի միջոցով Օև կամայական կետ Ք = (հ,կ) կորի գրաֆիկի վրա y = 2x – x 2 (նկ. 5) գծված է ուղիղ գիծ (կոչվում է սեկանտ): Կորի հավասարման մեջ փոխարինելով արժեքները x = հև y = կ, մենք դա հասկանում ենք կ = 2հ – հ 2, հետևաբար, հատվածի թեքությունն է

Շատ փոքրի հետ հիմաստը մմոտ 2. Ընդ որում՝ ընտրելով հբավական մոտ 0-ին մենք կարող ենք անել մկամայականորեն մոտ 2. Կարելի է ասել, որ մ«Հակում է սահմանին» հավասար է 2-ի, երբ հհակված է զրոյի կամ ինչ սահմանի մհավասար է 2-ի համար հձգտում է զրոյի: Սա խորհրդանշականորեն գրված է հետևյալ կերպ.

Այնուհետև կետում գտնվող գրաֆիկի շոշափողը Օսահմանվում է որպես կետով անցնող ուղիղ գիծ Օ, այս սահմանին հավասար թեքությամբ։ Շոշափողի այս սահմանումը ընդհանուր առմամբ կիրառելի է:

Եկեք մեկ այլ օրինակով ցույց տանք այս մոտեցման առավելությունները՝ գտե՛ք շոշափողի թեքությունը կորի գրաֆիկին։ y = 2x – x 2 կամայական կետում Պ = (x,y), չսահմանափակվելով ամենապարզ դեպքով, երբ Պ = (0,0).

Թող Ք = (x + հ, y + կ) - աղյուսակի երկրորդ կետը, որը գտնվում է հեռավորության վրա հ-ի աջ կողմում Ռ(նկ. 6): Պահանջվում է թեքությունը գտնելու համար կ/հհատված PQ... Կետ Քհեռավորության վրա է

առանցքից վեր X.

Ընդլայնելով փակագծերը՝ մենք գտնում ենք.

Այս հավասարումից հանելով y = 2x – x 2, մենք գտնում ենք կետից ուղղահայաց հեռավորությունը Ռդեպի կետ Ք:

Հետեւաբար, լանջին մհատված PQհավասար է

Հիմա դա հձգտում է զրոյի, մձգտում է 2 - 2 x; մենք կվերցնենք վերջին արժեքը որպես շոշափողի թեքություն ՊՏ... (Նույն արդյունքը կստացվի, եթե հընդունում է բացասական արժեքներ, որոնք համապատասխանում են կետի ընտրությանը Ք-ի ձախ կողմում Պ.) Նկատի ունեցեք, որ համար x= 0 արդյունքը նույնն է, ինչ նախորդը:

Արտահայտություն 2 - 2 xկոչվում է 2-ի ածանցյալ x – x 2. Հին ժամանակներում ածանցյալը կոչվում էր նաև «դիֆերենցիալ հարաբերակցություն» և «դիֆերենցիալ գործակից»։ Եթե ​​արտահայտություն 2 x – x 2 նշանակել զ(x), այսինքն.

ապա ածանցյալը կարելի է նշել

Ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողի թեքությունը պարզելու համար y = զ(x) ինչ-որ պահի, պետք է փոխարինվի զў ( x) այս կետին համապատասխան արժեքը X... Այսպիսով, լանջը զў (0) = 2 համար X = 0, զў (0) = 0 համար X= 1 և զ• (2) = –2 համար X = 2.

Նշվում է նաև ածանցյալը ժամըў , դի/dx, D x yև Դու.

Այն փաստը, որ կորը y = 2x – xՏրված կետի մոտ 2-ը գործնականում չի տարբերվում իր շոշափողից այս կետում, թույլ է տալիս խոսել շոշափողի թեքության մասին որպես «կորի թեքություն» շոշափման կետում: Այսպիսով, կարող ենք պնդել, որ դիտարկվող կորի թեքությունը (0,0) կետում ունի 2 թեքություն, կարելի է նաև ասել, որ ժ. x= 0 փոփոխության արագություն yհամեմատաբար x 2 է: (2,0) կետում շոշափողի (և կորի) թեքությունը –2 է: (Մինուս նշանը նշանակում է, որ ինչպես xփոփոխական yնվազում է։) (1,1) կետում շոշափողը հորիզոնական է։ Մենք ասում ենք կորը y = 2x – x 2-ն այս պահին ունի անշարժ արժեք:

Բարձր ու ցածր:

Մենք հենց նոր ցույց տվեցինք, որ կորը զ(x) = 2x – x 2-ը անշարժ է (1,1) կետում: Որովհետեւ զў ( x) = 2 – 2x = 2(1 – x), պարզ է, որ համար x 1-ից պակաս, զў ( x) դրական է, և հետևաբար yավելանում է; ժամը x, մեծ 1, զў ( x) բացասական է և հետևաբար yնվազում է. Այսպիսով, Նկ.-ում նշված (1,1) կետի շրջակայքում. 6 նամակ Մ, իմաստ ժամըաճում է մինչև մի կետ Մ, կետում անշարժ Մև կետից հետո նվազում է Մ... Այս կետը կոչվում է «առավելագույն», քանի որ արժեքը ժամըայս պահին գերազանցում է իր արժեքներից որևէ մեկը դրա բավական փոքր հարևանությամբ: Նմանապես, «նվազագույնը» սահմանվում է որպես կետ, որի շրջակայքում բոլոր արժեքները yգերազանցում է ժամըհենց այս պահին: Կարող է պատահել նաև, որ թեև ածանցյալը զ(x) ինչ-որ պահի և անհետանում է, նրա նշանն այս կետի շրջակայքում չի փոխվում։ Նման կետը, որը ոչ առավելագույն է, ոչ էլ նվազագույն, կոչվում է թեքության կետ:

Որպես օրինակ՝ եկեք գտնենք կորի անշարժ կետը

Այս ֆունկցիայի ածանցյալն է

և անհետանում է x = 0, X= 1 և X= -1; դրանք. (0,0), (1, –2/15) և (–1, 2/15) կետերում։ Եթե X-1-ից մի փոքր պակաս, ապա զў ( x) բացասական է; եթե X-1-ից մի փոքր ավելի, ապա զў ( x) դրական է։ Հետևաբար, կետը (–1, 2/15) առավելագույնն է։ Նմանապես, կարելի է ցույց տալ, որ (1, –2/15) կետը նվազագույն է: Բայց ածանցյալը զў ( x) բացասական է ինչպես (0,0) կետից առաջ և հետո: Հետևաբար, (0,0) թեքման կետն է:

Կատարված կորի ձևի ուսումնասիրություն, ինչպես նաև այն փաստը, որ կորը հատում է առանցքը Xժամը զ(x) = 0 (այսինքն, համար X= 0 կամ) թույլ է տալիս ներկայացնել դրա գրաֆիկը մոտավորապես այնպես, ինչպես ցույց է տրված Նկ. 7.

Ընդհանուր առմամբ, եթե բացառենք անսովոր դեպքերը (ուղիղ հատվածներ պարունակող կորեր կամ անսահման թվով թեքություններ), ապա կան չորս տարբերակ կորի հարաբերական դիրքի և շոշափողի շոշափողի մոտակայքում։ Ռ. (Սմ... բրինձ. 8, որտեղ շոշափողն ունի դրական թեքություն։)

1) կետի երկու կողմերում Ռկորը գտնվում է շոշափողից վեր (նկ. 8, ա): Այս դեպքում ասում են, որ կորը կետում Ռուռուցիկ դեպի ներքև կամ գոգավոր:

2) կետի երկու կողմերում Ռկորը գտնվում է շոշափողից ցածր (նկ. 8, բ): Այս դեպքում կորը կոչվում է ուռուցիկ դեպի վեր կամ պարզապես ուռուցիկ:

3) և 4) Կորը գտնվում է կետի մի կողմի շոշափողից վեր Ռիսկ ներքևում` մյուս կողմից: Այս դեպքում Ռ- թեքության կետ.

Արժեքների համեմատություն զў ( x) երկու կողմերում Ռկետում իր արժեքով Ռ, հնարավոր է որոշել, թե այս չորս դեպքերից որն է պետք լուծել կոնկրետ խնդրի դեպքում:

Դիմումներ.

Վերոհիշյալ բոլորը կարևոր կիրառություններ են գտնում տարբեր ոլորտներում: Օրինակ, եթե մարմինը նետվում է ուղղահայաց վերև՝ վայրկյանում 200 ոտնաչափ արագությամբ, ապա բարձրությունը. սորի միջոցով դրանք կտեղակայվեն տվայրկյան համեմատ մեկնարկային կետի կլինի

Գործելով այնպես, ինչպես մեր դիտարկած օրինակներում, մենք գտնում ենք

այս արժեքը անհետանում է ք. Ածանցյալ զў ( x) դրական է մինչև c-ի արժեքը և բացասական է այս ժամանակից հետո: Հետևաբար, սաճում է, հետո դառնում է անշարժ, իսկ հետո նվազում: Սա դեպի վեր նետված մարմնի շարժման ընդհանուր նկարագրությունն է։ Դրանից մենք գիտենք, թե երբ է մարմինը հասնում իր ամենաբարձր կետին: Հետագա, փոխարինող տ= 25/4 դյույմ զ(տ), մենք ստանում ենք 625 ոտք, առավելագույն բարձրացում: Այս առաջադրանքում զў ( տ) ունի ֆիզիկական նշանակություն. Այս ածանցյալը ցույց է տալիս մարմնի շարժման արագությունը ժամանակի պահին տ.

Այժմ դիտարկենք կիրառման մեկ այլ տեսակ (նկ. 9): 75 սմ 2 մակերեսով ստվարաթղթե թերթիկից պահանջվում է քառակուսի հատակով տուփ պատրաստել: Որքա՞ն մեծ պետք է լինի այս տուփը, որպեսզի այն ունենա առավելագույն ծավալ: Եթե X- տուփի հիմքի կողմը և հ- դրա բարձրությունը, ապա տուփի ծավալը Վ = x 2 հ, իսկ մակերեսը 75 = է x 2 + 4խ.հ... Փոխակերպելով հավասարումը, մենք ստանում ենք.

Ստացված է Վստացվում է հավասար

և անհետանում է X= 5. Հետո

և Վ= 125/2: Ֆունկցիայի գրաֆիկ Վ = (75x – x 3) / 4-ը ներկայացված է Նկ. 10 (բացասական արժեքներ Xբաց թողնված, քանի որ այս խնդրի մեջ ֆիզիկական նշանակություն չունի):

Ածանցյալներ.

Դիֆերենցիալ հաշվարկի կարևոր խնդիրն այն մեթոդների ստեղծումն է, որոնք թույլ են տալիս արագ և հարմար գտնել ածանցյալները: Օրինակ, դա հեշտ է հաշվարկել

(Հաստատունի ածանցյալը, իհարկե, զրո է:) Դժվար չէ եզրակացնել ընդհանուր կանոնը.

որտեղ n- ցանկացած ամբողջ թիվ կամ կոտորակ: Օրինակ,

(Այս օրինակը ցույց է տալիս, թե որքան օգտակար են կոտորակային ցուցանիշները:)

Ահա ամենակարևոր բանաձևերից մի քանիսը.

Կան նաև հետևյալ կանոնները. 1) եթե երկու գործառույթներից յուրաքանչյուրը է(x) և զ(x) ունի ածանցյալներ, ապա դրանց գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին, իսկ տարբերության ածանցյալը հավասար է ածանցյալների տարբերությանը, այսինքն.

2) երկու ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

3) երկու ֆունկցիաների հարաբերակցության ածանցյալն ունի ձև

4) հաստատունով բազմապատկած ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալով բազմապատկած հաստատունին, այսինքն.

Հաճախ է պատահում, որ ֆունկցիայի արժեքները պետք է հաշվարկվեն փուլերով: Օրինակ՝ մեղքը հաշվարկելու համար x 2, մենք նախ պետք է գտնենք u = x 2, այնուհետև հաշվարկեք թվի սինուսը u... Մենք գտնում ենք նման բարդ ֆունկցիաների ածանցյալը, օգտագործելով այսպես կոչված «շղթայի կանոնը».

Մեր օրինակում զ(u) = մեղք u, զў ( u) = cos u, հետևաբար,

Այս և նմանատիպ այլ կանոններ թույլ են տալիս անմիջապես դուրս գրել բազմաթիվ ֆունկցիաների ածանցյալները:

Գծային մոտարկումներ.

Այն փաստը, որ իմանալով ածանցյալը, մենք շատ դեպքերում կարող ենք փոխարինել ֆունկցիայի գրաֆիկը նրա շոշափողի ինչ-որ կետի մոտ այս կետում, մեծ նշանակություն ունի, քանի որ ուղիղ գծերի հետ ավելի հեշտ է աշխատել:

Այս գաղափարը անմիջական կիրառություն է գտնում ֆունկցիաների մոտավոր արժեքների հաշվարկման մեջ: Օրինակ, բավականին դժվար է հաշվարկել արժեքը, երբ x= 1.033: Բայց դուք կարող եք օգտվել այն հանգամանքից, որ 1.033 թիվը մոտ է 1-ին և այն. փակել x= 1 մենք կարող ենք փոխարինել շոշափող կորի գրաֆիկը առանց որևէ լուրջ սխալ թույլ տալու: Նման շոշափողի թեքությունը հավասար է ածանցյալի արժեքին ( x 1/3) ў = (1/3) x–2/3 x = 1-ում, այսինքն 1/3. Քանի որ (1,1) կետը գտնվում է կորի վրա, և կորի վրա շոշափողի թեքությունն այս կետում 1/3 է, շոշափողի հավասարումն ունի ձև.

Այս տողում ժամը X = 1,033

Ստացված արժեքը yպետք է շատ մոտ լինի իրական արժեքին y; և, իրոք, այն իրականից ընդամենը 0,00012-ով ավելի է։ Մաթեմատիկական վերլուծության մեջ մշակվել են մեթոդներ՝ բարելավելու այս տեսակի գծային մոտարկման ճշգրտությունը: Այս մեթոդները ապահովում են մեր մոտավոր հաշվարկների հուսալիությունը:

Նոր նկարագրված ընթացակարգը առաջարկում է օգտակար նշում: Թող Պ- ֆունկցիայի գրաֆիկի համապատասխան կետը զփոփոխական Xև թող գործառույթը զ(x) տարբերակելի է։ Փոխարինեք կորի գրաֆիկը կետի մոտ Ռդրան շոշափող՝ գծված այս կետում: Եթե Xփոփոխություն ըստ գումարի հ, ապա շոշափողի օրդինատը մեծությամբ կփոխվի հՀ զ ў ( x): Եթե հշատ փոքր է, ապա վերջին արժեքը լավ մոտարկում է օրդինատի իրական փոփոխությանը yգրաֆիկա։ Եթե ​​փոխարեն հմենք կգրենք խորհրդանիշը dx(սա ապրանք չէ), այլ օրդինատի փոփոխություն yնշանակել դի, ապա մենք ստանում ենք դի = զ ў ( x)dx, կամ դի/dx = զ ў ( x) (սմ... բրինձ. տասնմեկ): Հետեւաբար, փոխարեն Դիկամ զ ў ( x) խորհրդանիշը հաճախ օգտագործվում է ածանցյալը նշելու համար դի/dx... Այս նշման հարմարությունը հիմնականում կախված է շղթայի կանոնի հստակ տեսքից (բարդ ֆունկցիայի տարբերակում); Նոր նշումով այս բանաձևը հետևյալն է.

որտեղ ենթադրվում է, որ ժամըկախված է նրանից u, ա uիր հերթին կախված է X.

Մեծությունը դիկոչվում է դիֆերենցիալ ժամը; իրականում դա կախված է երկուփոփոխականներ, այն է՝ ից Xև ավելացումներ dx... Երբ աճը dxշատ փոքր, մեծություն դիմոտ է արժեքի համապատասխան փոփոխությանը y... Բայց ենթադրել, որ աճը dxքիչ, կարիք չկա:

Ածանցյալ ֆունկցիա y = զ(x) մենք նշել ենք զ ў ( x) կամ դի/dx... Հաճախ կարելի է վերցնել ածանցյալի ածանցյալը։ Արդյունքը կոչվում է երկրորդ ածանցյալ զ (x) և նշվում է զ ўў ( x) կամ դ 2 y/dx 2. Օրինակ, եթե զ(x) = x 3 – 3x 2, ապա զ ў ( x) = 3x 2 – 6xև զ ўў ( x) = 6x- 6. Նմանատիպ նշանակումներն օգտագործվում են ավելի բարձր կարգի ածանցյալների համար: Այնուամենայնիվ, մեծ թվով գծիկներից խուսափելու համար (հավասար է ածանցյալի կարգին), չորրորդ ածանցյալը (օրինակ) կարելի է գրել որպես. զ (4) (x), և ածանցյալը n-րդ կարգը որպես զ (n) (x).

Կարելի է ցույց տալ, որ մի կետում կորը ուռուցիկ է դեպի վար, եթե երկրորդ ածանցյալը դրական է, և ուռուցիկ դեպի վեր, եթե երկրորդ ածանցյալը բացասական է:

Եթե ​​ֆունկցիան ունի երկրորդ ածանցյալ, ապա քանակի փոփոխություն yաճին համապատասխան dxփոփոխական X, կարելի է մոտավորապես հաշվարկել բանաձևով

Այս մոտարկումն ընդհանուր առմամբ ավելի լավ է, քան դիֆերենցիալով տրվածը զў ( x)dx... Այն համապատասխանում է կորի մի մասը պարաբոլով փոխարինելուն, քան ուղիղ գծով։

Եթե ​​ֆունկցիան զ(x) կան ավելի բարձր կարգերի ածանցյալներ, ապա

Մնացածն է

որտեղ x- միջեւ ինչ-որ թիվ xև x + dx... Վերոնշյալ արդյունքը կոչվում է մնացորդային Թեյլորի բանաձև: Եթե զ(x) ունի բոլոր կարգերի ածանցյալները, ապա սովորաբար R n® 0 համար n ® Ґ .

ԻՆՏԵԳՐԱԼ ՀԱՇՎԱՐԿ

Քառակուսիներ.

Կորագիծ հարթության պատկերների տարածքներն ուսումնասիրելիս բացահայտվում են մաթեմատիկական վերլուծության նոր ասպեկտներ։ Նման խնդիրներ էին փորձում լուծել նույնիսկ հին հույները, որոնց համար, օրինակ, շրջանի տարածքի որոշումը ամենադժվար խնդիրներից մեկն էր: Այս խնդրի լուծման գործում մեծ հաջողությունների հասավ Արքիմեդը, ում հաջողվեց գտնել նաև պարաբոլիկ հատվածի տարածքը (նկ. 12): Շատ բարդ պատճառաբանության օգնությամբ Արքիմեդն ապացուցեց, որ պարաբոլիկ հատվածի մակերեսը նկարագրված ուղղանկյան տարածքի 2/3-ն է և, հետևաբար, այս դեպքում հավասար է (2/3) (16) = 32/3: Ինչպես կտեսնենք ավելի ուշ, այս արդյունքը կարելի է հեշտությամբ ստանալ մաթեմատիկական վերլուծության մեթոդներով։

Նյուտոնի և Լայբնիցի նախորդները, հիմնականում՝ Կեպլերը և Կավալիերին, լուծեցին կորագիծ թվերի տարածքները հաշվարկելու խնդիրը՝ օգտագործելով մի մեթոդ, որը դժվար թե կարելի է տրամաբանական անվանել, բայց պարզվեց, որ չափազանց արդյունավետ էր։ Երբ Ուոլիսը 1655 թվականին համատեղեց Կեպլերի և Կավալիերիի մեթոդները Դեկարտի (վերլուծական երկրաչափություն) մեթոդների հետ և օգտագործեց նորածին հանրահաշիվը, Նյուտոնի ի հայտ գալը լիովին պատրաստվեց։

Ուոլիսը նկարը, որի մակերեսը պետք է հաշվարկվեր, բաժանեց շատ նեղ շերտերի, որոնցից յուրաքանչյուրը մոտավորապես համարվում էր ուղղանկյուն: Այնուհետև նա գումարեց մոտավոր ուղղանկյունների մակերեսները և ամենապարզ դեպքերում ստացավ այն արժեքը, որին ուղղանկյունների մակերեսների գումարը ձգտում է, երբ շերտերի թիվը ձգտում է դեպի անսահմանություն։ Նկ. 13-ը ցույց է տալիս ուղղանկյուններ, որոնք համապատասխանում են կորի տակ գտնվող տարածքի շերտերի որոշակի բաժանմանը y = x 2 .

Հիմնական թեորեմա.

Նյուտոնի և Լայբնիցի մեծ հայտնագործությունը հնարավորություն տվեց բացառել տարածքների գումարի սահմանին անցնելու աշխատատար գործընթացը։ Դա արվել է քառակուսի հասկացության նոր հայացքի շնորհիվ: Բանն այն է, որ մենք պետք է պատկերացնենք կորի տակ գտնվող տարածքը, ինչպես ձևավորվում է օրդինատի կողմից ձախից աջ շարժվող և հարցնենք, թե որքան արագ է փոխվում օրդինատների կողմից քշված տարածքը: Այս հարցի պատասխանի բանալին մենք կստանանք, եթե դիտարկենք երկու հատուկ դեպք, որոնցում տարածքը նախապես հայտնի է։

Սկսենք գծային ֆունկցիայի գրաֆիկի տակ գտնվող տարածքից y = 1 + xքանի որ այս դեպքում տարածքը կարելի է հաշվարկել տարրական երկրաչափության միջոցով։

Թող Ա(x) հարթության այն մասն է, որը պարփակված է ուղիղ գծի միջև y = 1 + xև մի հատված OQ(նկ. 14): Վարելիս ՔՊճիշտ տարածք Ա(x) ավելանում է. Որքան արագ? Դժվար չէ պատասխանել այս հարցին, քանի որ մենք գիտենք, որ trapezoid-ի մակերեսը հավասար է նրա բարձրության արտադրյալին իր հիմքերի կես գումարով: Հետևաբար,

Տարածքի փոփոխության տոկոսադրույքը Ա(x) որոշվում է իր ածանցյալով

Մենք դա տեսնում ենք Աў ( x) համընկնում է օրդինատի հետ ժամըմիավորներ Ռ... Սա պատահականությո՞ւն է։ Փորձենք ստուգել նկ. 15. Հրապարակ Ա (x) պարաբոլայի տակ ժամը = X 2-ը 0-ից մինչև միջակայքում Xհավասար է Ա(x) = (1 / 3)(x)(x 2) = x 3/3. Այս տարածքի փոփոխության արագությունը որոշվում է արտահայտությամբ

որը ճշգրտորեն համընկնում է օրդինատի հետ ժամըշարժվող կետ Ռ.

Եթե ​​ենթադրենք, որ այս կանոնը ընդհանուր առմամբ կատարվում է այնպես, որ

ֆունկցիայի գրաֆիկի տակ գտնվող տարածքի փոփոխության արագությունն է y = զ(x), ապա սա կարող է օգտագործվել հաշվարկների և այլ ոլորտների համար: Փաստորեն, հարաբերակցությունը Աў ( x) = զ(x) արտահայտում է հիմնարար թեորեմ, որը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ՝ ածանցյալ կամ տարածքի փոփոխության արագություն՝ որպես ֆունկցիա X, հավասար է ֆունկցիայի արժեքին զ (x) կետում X.

Օրինակ՝ գտնել ֆունկցիայի գրաֆիկի տակ գտնվող տարածքը y = x 3 0-ից մինչև X(նկ. 16), դնում ենք

Հնարավոր պատասխանն է.

քանի որ ածանցյալ X 4/4-ն իսկապես հավասար է X 3. Ավելին, Ա(x) հավասար է զրոյի համար X= 0, ինչպես պետք է լինի, եթե Ա(x) իսկապես տարածք է։

Մաթեմատիկական վերլուծությունը ցույց է տալիս, որ վերը նշված արտահայտությունից բացի մեկ այլ պատասխան Ա(x), գոյություն չունի. Եկեք ցույց տանք, որ այս պնդումը հավանական է, օգտագործելով հետևյալ էվրիստիկ (ոչ խիստ) պատճառաբանությունը. Ենթադրենք, կա ինչ-որ երկրորդ լուծում Վ(x): Եթե Ա(x) և Վ(x) «Սկսել» միաժամանակ զրոյական արժեքից X= 0 և անընդհատ փոխվում է նույն արագությամբ, այնուհետև դրանց արժեքները ոչ Xչի կարող տարբերվել: Նրանք պետք է նույնը լինեն ամենուր. հետևաբար, լուծումը մեկն է.

Ինչպե՞ս կարելի է հիմնավորել հարաբերակցությունը։ Աў ( x) = զ(x) ընդհանուր առմամբ? Այս հարցին կարելի է պատասխանել միայն ուսումնասիրելով տարածքի փոփոխության արագությունը՝ որպես ֆունկցիա Xընդհանուր առմամբ. Թող մ- ֆունկցիայի ամենափոքր արժեքը զ (x) սկսած միջակայքում Xնախքան ( x + հ), ա Մ- այս ֆունկցիայի ամենամեծ արժեքը նույն միջակայքում: Այնուհետև տարածքի ավելացումը՝ սկսած Xդեպի ( x + հ) պետք է փակվի երկու ուղղանկյունների տարածքների միջև (նկ. 17): Երկու ուղղանկյունների հիմքերը հավասար են հ... Ավելի փոքր ուղղանկյունն ունի բարձրություն մև տարածքը մհ, համապատասխանաբար ավելի մեծ, Մև Մհ... Տարածքի հողամասի վրա ընդդեմ X(նկ. 18) երևում է, որ երբ աբսցիսան փոխվում է հ, օրդինատի (այսինքն՝ տարածքի) արժեքը ավելանում է միջև պարփակված գումարով մհև Մհ... Այս գրաֆիկի կտրվածքի թեքությունը միջև է մև Մ... ինչ է տեղի ունենում, երբ հհակված է զրոյի? Եթե ​​ֆունկցիայի գրաֆիկը y = զ(x) շարունակական է (այսինքն՝ չի պարունակում ընդհատումներ), ապա Մ, և մհակված են զ(x): Հետեւաբար, լանջին Աў ( x) տարածքի հողամաս՝ որպես ֆունկցիա Xհավասար է զ(x): Հենց այսպիսի եզրակացության էր պետք գալ։

Լայբնիցը առաջարկել է կորի տակ գտնվող տարածքը y = զ(x) 0-ից մինչև անշանակումը

Խիստ մոտեցմամբ՝ այս, այսպես կոչված, որոշակի ինտեգրալը պետք է սահմանվի որպես Ուոլլիսի ձևով որոշակի գումարների սահման։ Հաշվի առնելով վերը նշված արդյունքը, պարզ է, որ այս ինտեգրալը հաշվարկվում է պայմանով, որ մենք կարող ենք գտնել նման ֆունկցիա Ա(x), որը անհետանում է ժամը X= 0 և ունի ածանցյալ Աў ( x) հավասար է զ (x): Նման ֆունկցիայի հայտնաբերումը սովորաբար կոչվում է ինտեգրացիա, թեև ավելի նպատակահարմար կլինի այս գործողությունն անվանել հակադիֆերենցիացիա, այսինքն՝ այն ինչ-որ իմաստով հակադարձ է տարբերակմանը: Բազմանդամի դեպքում ինտեգրումը պարզ է: Օրինակ, եթե

որը հեշտ է ստուգել՝ տարբերակելով Ա(x).

Տարածքը հաշվարկելու համար Ա 1 կորի տակ y = 1 + x + x 2/2, փակված 0 և 1 օրդինատների միջև, մենք պարզապես գրում ենք

և փոխարինող X= 1, մենք ստանում ենք Ա 1 = 1 + 1/2 + 1/6 = 5/3: Քառակուսի Ա(x) 0-ից 2-ը հավասար է Ա 2 = 2 + 4/2 + 8/6 = 16/3: Ինչպես երևում է Նկ. 19, 1-ին և 2-րդ օրդինատների միջև ընկած տարածքն է Ա 2 – Ա 1 = 11/3: Այն սովորաբար գրվում է որպես որոշակի ինտեգրալ

Ծավալները.

Նմանատիպ պատճառաբանությունը զարմանալիորեն պարզեցնում է հեղափոխության մարմինների ծավալների հաշվարկը: Դա ցույց տանք գնդակի ծավալը հաշվելու օրինակով, մեկ այլ դասական խնդիր, որը հին հույները, օգտագործելով իրենց հայտնի մեթոդները, կարողացան լուծել մեծ դժվարությամբ։

Պտտեցնել հարթության այն մասը, որը պարփակված է շառավղով շրջանագծի քառորդ մասում r, առանցքի շուրջ 360 ° անկյան տակ X... Արդյունքում ստանում ենք կիսագնդ (նկ. 20), որի ծավալը նշում ենք Վ(x): Պահանջվում է որոշել այն արագությունը, որով Վ(x) աճի հետ x... Շարժվելով սկսած XԴեպի X + հ, հեշտ է ստուգել, ​​որ ծավալի ավելացումը ծավալից փոքր է էջ(r 2 – x 2)հշրջանաձև գլանների շառավիղը և բարձրությունը հ, և ավելի քան ծավալ էջ[r 2 – (x + հ) 2 ]հգլանների շառավիղը և բարձրությունը հ... Հետևաբար, ֆունկցիայի գրաֆիկի վրա Վ(x) հատվածի թեքությունը միջև է էջ(r 2 – x 2) և էջ[r 2 – (x + հ) 2]. Երբ հձգտում է զրոյի, թեքությունը՝ դեպի

ժամը x = rմենք ստանում ենք

կիսագնդի ծավալի համար և, հետևաբար, 4 p r 3/3 ամբողջ գնդակի ծավալի համար:

Նմանատիպ մեթոդը թույլ է տալիս գտնել կորերի երկարությունները և կոր մակերեսների տարածքները: Օրինակ, եթե ա(x) - աղեղի երկարությունը PRնկ. 21, ապա մեր խնդիրն է հաշվարկել աў( x): Էվրիստիկական մակարդակում մենք օգտագործում ենք մի հնարք, որը թույլ է տալիս չդիմել սովորական անցմանը մինչև սահմանը, որն անհրաժեշտ է արդյունքի խիստ ապացուցման համար: Ենթադրենք, որ ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը ա(x) կետում Ռնույնն է, ինչ կլիներ, եթե կորը փոխարինվեր իր շոշափողով ՊՏկետում Պ... Բայց թզ. 21-ը կարելի է ուղղակիորեն տեսնել քայլելիս հկետից աջ կամ ձախ Xերկայնքով RTիմաստը ա(x) փոխվում է

Հետևաբար ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը ա(x) է

Գործառույթն ինքնին գտնելու համար ա(x), անհրաժեշտ է միայն ինտեգրել հավասարության աջ կողմի արտահայտությունը։ Պարզվում է, որ ֆունկցիաների մեծ մասը դժվար է ինտեգրվել։ Հետևաբար, ինտեգրալ հաշվարկի մեթոդների մշակումը մաթեմատիկական վերլուծության մեծ մասն է կազմում:

Հակաածանցյալներ.

Յուրաքանչյուր ֆունկցիա, որի ածանցյալը հավասար է տվյալ ֆունկցիայի զ(x), կոչվում է հակաածանցյալ (կամ պարզունակ) համար զ(x): Օրինակ, X 3/3-ը ֆունկցիայի հակաածանցյալն է X 2, քանի որ ( x 3/3) ў = x 2. Իհարկե X 3/3-ը ֆունկցիայի միակ հակաածանցյալը չէ X 2 սկսած x 3 /3 + Գհամար է նաև ածանցյալ X 2 ցանկացած հաստատունի համար ՀԵՏ... Այնուամենայնիվ, հաջորդում մենք կհամաձայնվենք բաց թողնել հավելումների նման հաստատունները: Ընդհանուր առմամբ

որտեղ nԴրական ամբողջ թիվ է, քանի որ ( x n + 1/(n+ 1)) ў = x n... Հարաբերությունը (1) գործում է նույնիսկ ավելի ընդհանուր իմաստով, եթե nփոխարինել ցանկացած ռացիոնալ թվով կբացառությամբ -1-ի:

Տրված ֆունկցիայի կամայական հակաածանցյալ ֆունկցիա զ(x) սովորաբար կոչվում է անորոշ ինտեգրալ զ(x) և այն նշել որպես

Օրինակ, քանի որ (մեղ x) ў = cos x, բանաձևը վավեր է

Շատ դեպքերում, երբ կա տվյալ ֆունկցիայի անորոշ ինտեգրալի բանաձև, այն կարելի է գտնել անորոշ ինտեգրալների բազմաթիվ լայնորեն հրապարակված աղյուսակներում։ Տարրական ֆունկցիաների ինտեգրալները աղյուսակային են (դրանք ներառում են ուժեր, լոգարիթմներ, էքսպոնենցիալ ֆունկցիա, եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, հակադարձ եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ, ինչպես նաև դրանց վերջավոր համակցությունները, որոնք ստացվում են գումարման, հանման, բազմապատկման և բաժանման գործողությունների միջոցով): Օգտագործելով աղյուսակային ինտեգրալներ, դուք կարող եք հաշվարկել ավելի բարդ ֆունկցիաների ինտեգրալներ: Անորոշ ինտեգրալները հաշվարկելու բազմաթիվ եղանակներ կան. Դրանցից ամենատարածվածը փոփոխական փոխարինման կամ փոխարինման մեթոդն է: Այն բաղկացած է նրանից, որ եթե մենք ուզում ենք փոխարինել անորոշ ինտեգրալում (2) xինչ-որ դիֆերենցիալ ֆունկցիայի վրա x = է(u), որպեսզի ինտեգրալը չփոխվի, անհրաժեշտ է xփոխարինվել է էў ( u)դու... Այսինքն՝ հավասարությունը

(փոխարինում 2 x = u, որտեղից 2 dx = դու).

Ահա ևս մեկ ինտեգրման մեթոդ՝ ըստ մասերի ինտեգրման մեթոդ։ Այն հիմնված է արդեն հայտնի բանաձեւի վրա

Ձախ և աջ կողմերը ինտեգրելով և հաշվի առնելով դա

Այս բանաձևը կոչվում է մասերի ինտեգրման բանաձև։

Օրինակ 2. Պահանջվում է գտնել. Քանի որ cos x= (մեղ x) ў, մենք կարող ենք դա գրել

Սկսած (5), կարգավորում u = xև v= մեղք x, ստանում ենք

Եվ քանի որ (–cos x) ў = մեղք xմենք գտնում ենք, որ և

Հարկ է ընդգծել, որ մենք սահմանափակվել ենք միայն մի շատ ընդարձակ թեմայի մի շատ հակիրճ ներածությամբ, որում կուտակվել են բազմաթիվ սրամիտ տեխնիկաներ։

Երկու փոփոխականների ֆունկցիաներ.

կորի շնորհիվ y = զ(x) մենք քննարկել ենք երկու խնդիր.

1) Գտե՛ք տվյալ կետում կորին շոշափողի թեքությունը: Այս խնդիրը լուծվում է ածանցյալի արժեքը հաշվարկելով զў ( x) նշված կետում:

2) Գտեք առանցքի հատվածի վերևում գտնվող կորի տարածքը Xսահմանափակված ուղղահայաց գծերով X = աև X = բ... Այս խնդիրը լուծվում է որոշակի ինտեգրալի հաշվարկով։

Այս խնդիրներից յուրաքանչյուրն ունի իր անալոգը մակերեսի դեպքում զ = զ(x,y).

1) Գտեք տվյալ կետում մակերեսին շոշափող հարթությունը:

2) Գտե՛ք հարթության մասից վեր գտնվող մակերեսի տակ գտնվող ծավալը հուսահմանափակված է կորով ՀԵՏ, իսկ կողքից՝ հարթությանը ուղղահայաց xyանցնելով սահմանային կորի կետերով ՀԵՏ (սմ... բրինձ. 22):

Հետևյալ օրինակները ցույց են տալիս, թե ինչպես են այս առաջադրանքները կատարվում:

Օրինակ 4. Գտե՛ք մակերեսին շոշափող հարթությունը

կետում (0,0,2):

Հարթությունը սահմանվում է, եթե տրված են նրա մեջ ընկած երկու հատվող ուղիղներ: Այս տողերից մեկը ( լ 1) մենք նստում ենք ինքնաթիռ xz (ժամը= 0), երկրորդը ( լ 2) - ինքնաթիռում yz (x = 0) (սմ... բրինձ. 23):

Առաջին հերթին, եթե ժամը= 0, ապա զ = զ(x,0) = 2 – 2x – 3x 2. Ածանցյալի նկատմամբ Xնշվում է զў x(x,0) = –2 – 6x, ժամը X= 0-ն ունի –2 արժեք: Ուղիղ լ 1 տրված է հավասարումներով զ = 2 – 2x, ժամը= 0 - շոշափում է ՀԵՏ 1, մակերեսի հարթության հետ հատման գծերը ժամը= 0. Նմանապես, եթե X= 0, ապա զ(0,y) = 2 – y – y 2, իսկ ածանցյալը նկատմամբ ժամըունի ձևը

Որովհետեւ զў y(0,0) = –1, կոր ՀԵՏ 2 - հարթության հետ մակերեսի հատման գիծ yz- ունի շոշափող լ 2 տրված հավասարումներով զ = 2 – y, X= 0. Ցանկալի շոշափող հարթությունը պարունակում է երկու ուղիղ գծեր լ 1 և լ 2 և գրված է հավասարմամբ

Սա ինքնաթիռի հավասարումն է։ Բացի այդ, մենք ստանում ենք ուղիղ գծեր լ 1 և լ 2, կարգավորումը, համապատասխանաբար, ժամը= 0 և X = 0.

Այն փաստը, որ (7) հավասարումը իսկապես սահմանում է շոշափող հարթությունը, կարող է ստուգվել էվրիստիկ մակարդակում, եթե նկատենք, որ այս հավասարումը պարունակում է առաջին կարգի անդամներ, որոնք ներառված են (6) հավասարման մեջ, և որ երկրորդ կարգի անդամները կարող են ներկայացված լինել ձև -. Քանի որ այս արտահայտությունը բացասական է բոլոր արժեքների համար Xև ժամը, Բացի այդ X = ժամը= 0, մակերեսը (6) գտնվում է հարթությունից (7) ամենուր, բացառությամբ կետի Ռ= (0,0,0). Կարելի է ասել, որ մակերեսը (6) կետում ուռուցիկ է դեպի վեր Ռ.

Օրինակ 5. Գտե՛ք մակերեսին շոշափող հարթությունը զ = զ(x,y) = x 2 – y 2 սկզբնաղբյուրում 0.

Մակերեւույթի վրա ժամը= 0 մենք ունենք. զ = զ(x,0) = x 2 և զў x(x,0) = 2x... Վրա ՀԵՏ 1, հատման գծեր, զ = x 2. Կետում Օթեքությունն է զў x(0,0) = 0. Ինքնաթիռում X= 0 մենք ունենք. զ = զ(0,y) = –y 2 և զў y(0,y) = –2y... Վրա ՀԵՏ 2, հատման գծեր, զ = –y 2. Կետում Օկորի թեքություն ՀԵՏ 2-ը հավասար է զў y(0,0) = 0. Քանի որ շոշափողները դեպի ՀԵՏ 1 և ՀԵՏ 2-ը կացին են Xև ժամը, դրանք պարունակող շոշափող հարթությունը հարթությունն է զ = 0.

Այնուամենայնիվ, ծագման շրջակայքում մեր մակերեսը շոշափող հարթության մի կողմում չէ: Իրոք, կորը ՀԵՏ 1 ամենուր, բացառությամբ 0 կետի, գտնվում է շոշափող հարթության և կորի վերևում ՀԵՏ 2 - համապատասխանաբար դրա տակ: Մակերեւույթը հատում է շոշափող հարթությունը զ= 0 ուղիղ գծերով ժամը = Xև ժամը = –X... Ասում են, որ նման մակերեսը սկզբնամասում ունի թամբի կետ (նկ. 24):

Մասնակի ածանցյալներ.

Նախորդ օրինակներում մենք օգտագործել ենք ածանցյալներ զ (x,y) վրա Xև ըստ ժամը... Այժմ դիտարկենք նման ածանցյալները ավելի ընդհանուր: Եթե ​​մենք ունենք երկու փոփոխականի ֆունկցիա, օրինակ. Ֆ(x,y) = x 2 – xy, այնուհետև մենք կարող ենք յուրաքանչյուր կետում սահմանել նրա «մասնակի ածանցյալներից» երկուսը, մեկը՝ ֆունկցիան տարբերելով Xև ամրագրում ժամը, մյուսը՝ տարբերելով առնչությամբ ժամըև ամրագրում X... Այս ածանցյալներից առաջինը նշվում է որպես զў x(x,y) կամ ¶ զ/¶ x; երկրորդ - ինչպես զզ ў y... Եթե ​​երկուսն էլ խառը ածանցյալները (ըստ Xև ժամը, վրա ժամըև X) շարունակական են, ապա ¶ 2 զ/¶ x¶ y= ¶ 2 զ/¶ y¶ x; մեր օրինակում ¶ 2 զ/¶ x¶ y= ¶ 2 զ/¶ y¶ x = –1.

Մասնակի ածանցյալ զў x(x,y) ցույց է տալիս ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը զկետում ( x,y) մեծացման ուղղությամբ X, ա զў y(x,y) ֆունկցիայի փոփոխության արագությունն է զբարձրացող ուղղություն ժամը... Ֆունկցիայի փոփոխության արագությունը զկետում ( X,ժամը) անկյուն կազմող ուղիղ գծի ուղղությամբ քառանցքի դրական ուղղությամբ X, կոչվում է ֆունկցիայի ածանցյալ զդեպի; դրա արժեքը ֆունկցիայի երկու մասնակի ածանցյալների համակցություն է f շոշափող հարթությունում գրեթե հավասար է (փոքր dxև դի) իրական փոփոխություն զմակերեսի վրա, բայց դիֆերենցիալի հաշվարկը սովորաբար ավելի հեշտ է:

Բանաձևը, որը մենք արդեն դիտարկել ենք փոփոխական փոփոխության մեթոդից, որը հայտնի է որպես բարդ ֆունկցիայի կամ շղթայի կանոնի ածանցյալ, միաչափ դեպքում, երբ ժամըկախված է նրանից X, ա Xկախված է նրանից տ, ունի ձևը.

Երկու փոփոխականների ֆունկցիաների համար նման բանաձևը հետևյալն է.

Հեշտ է ընդհանրացնել մասնակի տարբերակման հասկացություններն ու նշանակումները ավելի բարձր չափերի: Մասնավորապես, եթե մակերեսը անուղղակիորեն տրված է հավասարմամբ զ(x,y,զ) = 0, մակերեսին շոշափող հարթության հավասարմանը կարելի է տալ ավելի սիմետրիկ ձև՝ կետում շոշափող հարթության հավասարումը ( x (x 2/4)], այնուհետև այն ինտեգրված է X 0-ից 1. Վերջնական արդյունքը 3/4 է:

Բանաձևը (10) կարող է մեկնաբանվել նաև որպես այսպես կոչված կրկնակի ինտեգրալ, այսինքն. որպես տարրական «բջիջների» ծավալների գումարի սահման։ Յուրաքանչյուր այդպիսի բջիջ ունի D հիմք xԴ yև ուղղանկյուն հիմքի որոշ կետից վերևի մակերեսի բարձրությանը հավասար բարձրություն ( սմ... բրինձ. 26): Կարելի է ցույց տալ, որ (10) բանաձևի երկու տեսակետներն էլ համարժեք են։ Կրկնակի ինտեգրալները օգտագործվում են մեխանիկայում հայտնաբերված ծանրության կենտրոնները և բազմաթիվ մոմենտները գտնելու համար:

Մաթեմատիկական ապարատի ավելի խիստ հիմնավորում.

Մինչ այժմ մենք ներկայացրել ենք հաշվարկի հասկացություններն ու մեթոդները ինտուիտիվ մակարդակով և չենք վարանել դիմել երկրաչափական ձևերի: Մեզ մնում է համառոտ դիտարկել 19-րդ և 20-րդ դարերում հայտնված ավելի խիստ մեթոդները։

19-րդ դարի սկզբին, երբ ավարտվեց «մաթեմատիկական վերլուծության ստեղծման» հարձակման և գրոհի դարաշրջանը, առաջին պլան եկան դրա հիմնավորման հարցերը։ Աբելի, Կոշիի և մի շարք այլ ականավոր մաթեմատիկոսների աշխատություններում հստակ սահմանվել են «սահման», «շարունակական ֆունկցիա», «համընկնող շարք» հասկացությունները։ Սա անհրաժեշտ էր մաթեմատիկական վերլուծության հիմքում տրամաբանական կարգի բերելու համար, որպեսզի այն դառնա հուսալի հետազոտական ​​գործիք: Մանրակրկիտ հիմնավորման անհրաժեշտությունն էլ ավելի ակնհայտ դարձավ Վայերշտրասի կողմից 1872 թվականին ամենուր շարունակական, բայց ոչ մի տեղ տարբերակվող ֆունկցիաների հայտնաբերումից հետո (այդպիսի ֆունկցիաների գրաֆիկը յուրաքանչյուր կետում ընդմիջում ունի): Այս արդյունքը ճնշող տպավորություն թողեց մաթեմատիկոսների վրա, քանի որ ակնհայտորեն հակասում էր նրանց երկրաչափական ինտուիցիային։ Երկրաչափական ինտուիցիայի անվստահելիության էլ ավելի ցայտուն օրինակ էր Դ.Պեանոյի կառուցած շարունակական կորը, որն ամբողջությամբ լրացնում է որոշակի քառակուսի, այսինքն. անցնելով իր բոլոր կետերով: Այս և այլ հայտնագործություններ են առաջացրել մաթեմատիկայի «թվաբանության» ծրագիրը, այսինքն. դարձնելով այն ավելի հուսալի՝ հիմնավորելով բոլոր մաթեմատիկական հասկացությունները՝ օգտագործելով թիվ հասկացությունը։ Մաթեմատիկայի հիմունքների վերաբերյալ աշխատություններում հստակությունից գրեթե պուրիտանական ձեռնպահ մնալն ուներ իր պատմական հիմնավորումը։

Ըստ տրամաբանական խստության ժամանակակից կանոնների՝ անթույլատրելի է խոսել կորի տակ գտնվող տարածքի մասին։ y = զ(x) և առանցքի հատվածից վեր X, նույնիսկ զ- շարունակական ֆունկցիա՝ նախապես չսահմանելով «տարածք» տերմինի ճշգրիտ նշանակությունը և չհաստատելու, որ այս կերպ որոշված ​​տարածքն իսկապես գոյություն ունի։ Այս խնդիրը հաջողությամբ լուծվել է 1854 թվականին Բ.Ռիմանի կողմից, ով տվել է որոշակի ինտեգրալ հասկացության ճշգրիտ սահմանումը։ Այդ ժամանակից ի վեր, որոշակի ինտեգրալի հասկացության հետևում գտնվող գումարման գաղափարը բազմաթիվ խորը ուսումնասիրությունների և ընդհանրացումների առարկա է դարձել: Արդյունքում այսօր հնարավոր է որոշակի ինտեգրալին իմաստավորել, նույնիսկ եթե ինտեգրանդն ամենուր ընդհատված է։ Ինտեգրման նոր հասկացությունները, որոնց ստեղծման գործում մեծ ներդրում են ունեցել Ա. Լեբեգը (1875–1941) և այլ մաթեմատիկոսներ, մեծացրել են ժամանակակից մաթեմատիկական վերլուծության ուժն ու գեղեցկությունը։

Հազիվ թե տեղին լինի խորանալ այս և այլ հասկացությունների մանրամասների մեջ: Մենք միայն կսահմանափակվենք սահմանի և որոշակի ինտեգրալի խիստ սահմանումներ տալով:

Եզրափակելով ասենք, որ մաթեմատիկական վերլուծությունը, լինելով չափազանց արժեքավոր գործիք գիտնականի և ինժեների ձեռքում, այսօր էլ գրավում է մաթեմատիկոսների ուշադրությունը՝ որպես բեղմնավոր գաղափարների աղբյուր։ Միևնույն ժամանակ, ժամանակակից զարգացումը, թվում է, ցույց է տալիս, որ մաթեմատիկական վերլուծությունը գնալով ավելի է ներծծվում 20-րդ դարում այդպիսի գերիշխող դիրքերի կողմից: Մաթեմատիկայի ճյուղերը, ինչպիսիք են վերացական հանրահաշիվը և տոպոլոգիան:

Բացարձակապես անհնար է մաթեմատիկայի ֆիզիկական խնդիրներ կամ օրինակներ լուծել առանց ածանցյալի և դրա հաշվարկման մեթոդների իմացության։ Ածանցյալը մաթեմատիկական վերլուծության կարևորագույն հասկացություններից է։ Մենք որոշեցինք այսօրվա հոդվածը նվիրել այս հիմնարար թեմային: Ի՞նչ է ածանցյալը, ի՞նչ ֆիզիկական և երկրաչափական նշանակություն ունի, ինչպե՞ս հաշվարկել ֆունկցիայի ածանցյալը։ Այս բոլոր հարցերը կարելի է միավորել մեկի մեջ՝ ինչպե՞ս հասկանալ ածանցյալը:

Ածանցյալի երկրաչափական և ֆիզիկական նշանակությունը

Թող ֆունկցիա լինի f (x) տրված է որոշակի ընդմիջումով (ա, բ) ... Այս միջակայքին են պատկանում х և х0 կետերը: Երբ x-ը փոխվում է, ֆունկցիան ինքնին փոխվում է: Փաստարկի փոփոխություն - դրա արժեքների տարբերությունը x-x0 ... Այս տարբերությունը գրված է այսպես դելտա x և կոչվում է արգումենտի ավելացում։ Ֆունկցիայի փոփոխությունը կամ աճը ֆունկցիայի արժեքների տարբերությունն է երկու կետում: Ածանցյալ սահմանում.

Մի կետում ֆունկցիայի ածանցյալը տվյալ կետում ֆունկցիայի աճի հարաբերության սահմանն է փաստարկի աճին, երբ վերջինս հակված է զրոյի:

Հակառակ դեպքում կարելի է գրել այսպես.

Ի՞նչ իմաստ ունի նման սահման գտնելը: Եվ ահա թե ինչ.

Կետում ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է OX առանցքի անկյան շոշափմանը և այս կետում ֆունկցիայի գրաֆիկին շոշափողին:

Ածանցյալի ֆիզիկական նշանակությունը. ուղու ածանցյալը ժամանակի նկատմամբ հավասար է ուղղագիծ շարժման արագությանը։

Իսկապես, դպրոցական ժամանակներից բոլորը գիտեն, որ արագությունը մասնավոր ճանապարհ է: x = f (t) և ժամանակ տ ... Միջին արագությունը որոշակի ժամանակահատվածում.

Միանգամից շարժման արագությունը պարզելու համար t0 դուք պետք է հաշվարկեք սահմանը.

Կանոն առաջին. հանել հաստատունը

հաստատունը կարող է տեղափոխվել ածանցյալի նշանից դուրս: Ավելին, դա պետք է արվի. Մաթեմատիկայում օրինակներ լուծելիս, որպես կանոն, վերցրեք. եթե դուք կարող եք պարզեցնել արտահայտությունը, անպայման պարզեցրեք .

Օրինակ. Եկեք հաշվարկենք ածանցյալը.

Կանոն երկրորդ՝ ֆունկցիաների գումարի ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների գումարի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիաների ածանցյալների գումարին։ Նույնը վերաբերում է ֆունկցիաների տարբերության ածանցյալին։

Մենք չենք տա այս թեորեմի ապացույցը, այլ ավելի շուտ դիտարկենք գործնական օրինակ:

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Երրորդ կանոն՝ ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալ

Երկու տարբերակելի ֆունկցիաների արտադրյալի ածանցյալը հաշվարկվում է բանաձևով.

Օրինակ՝ գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը.

Լուծում:

Այստեղ կարևոր է ասել բարդ ֆունկցիաների ածանցյալների հաշվարկի մասին։ Կոմպլեքս ֆունկցիայի ածանցյալը հավասար է այս ֆունկցիայի ածանցյալի արտադրյալին միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ միջանկյալ փաստարկի ածանցյալին անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Վերոնշյալ օրինակում մենք հանդիպում ենք արտահայտությանը.

Այս դեպքում միջանկյալ արգումենտը 8x է հինգերորդ հզորությանը: Նման արտահայտության ածանցյալը հաշվարկելու համար նախ հաշվում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը միջանկյալ փաստարկի նկատմամբ, այնուհետև բազմապատկում ենք անմիջական միջանկյալ փաստարկի ածանցյալով անկախ փոփոխականի նկատմամբ։

Չորրորդ կանոն՝ երկու ֆունկցիաների քանորդ ածանցյալ

Երկու ֆունկցիաների քանորդի ածանցյալի որոշման բանաձև.

Մենք փորձեցինք պատմել ձեզ զրոյից ածանցյալների մասին: Այս թեման այնքան էլ պարզ չէ, որքան թվում է, այնպես որ զգուշացե՛ք. օրինակներում հաճախ են որոգայթներ, ուստի զգույշ եղեք ածանցյալները հաշվարկելիս:

Այս և այլ թեմաների վերաբերյալ ցանկացած հարցի համար կարող եք դիմել ուսանողական ծառայությանը: Կարճ ժամանակում մենք կօգնենք ձեզ լուծել ամենադժվար թեստը և լուծել առաջադրանքները, նույնիսկ եթե նախկինում երբեք չեք կատարել ածանցյալների հաշվարկ:

Որի վրա մենք վերլուծեցինք ամենապարզ ածանցյալները, ինչպես նաև ծանոթացանք տարբերակման կանոններին և ածանցյալներ գտնելու որոշ տեխնիկայի: Այսպիսով, եթե դուք այնքան էլ չեք տիրապետում գործառույթների ածանցյալներին, կամ այս հոդվածի որոշ կետեր լիովին պարզ չեն, ապա նախ կարդացեք վերը նշված դասը: Խնդրում եմ, ներդաշնակվեք լուրջ տրամադրության տակ. նյութը հեշտ չէ, բայց ես դեռ կփորձեմ այն ​​ներկայացնել պարզ և մատչելի ձևով:

Գործնականում շատ հաճախ պետք է գործ ունենալ բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի հետ, ես նույնիսկ կասեի, գրեթե միշտ, երբ քեզ առաջադրանքներ են տալիս գտնել ածանցյալներ։

Աղյուսակում մենք նայում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնին (թիվ 5).

Հասկանալով. Նախ ուշադրություն դարձնենք ձայնագրությանը. Այստեղ մենք ունենք երկու ֆունկցիա, և ավելին, ֆունկցիան, պատկերավոր ասած, ներդրված է ֆունկցիայի մեջ։ Այս տեսակի ֆունկցիան (երբ մի ֆունկցիան տեղադրված է մյուսի մեջ) կոչվում է կոմպլեքս ֆունկցիա:

Կկանչեմ ֆունկցիան արտաքին ֆունկցիաև ֆունկցիան - ներքին (կամ բնադրված) ֆունկցիա.

! Այս սահմանումները տեսական չեն և չպետք է հայտնվեն առաջադրանքների վերջնական ձևավորման մեջ: Ես օգտագործում եմ ոչ պաշտոնական արտահայտություններ «արտաքին գործառույթ», «ներքին» գործառույթ միայն այն բանի համար, որ հեշտացնեմ նյութը հասկանալը։

Իրավիճակը պարզաբանելու համար հաշվի առեք.

Օրինակ 1

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Սինուսի տակ մենք ունենք ոչ միայն «X» տառը, այլ ամբողջ թվային արտահայտություն, ուստի աղյուսակից անմիջապես հնարավոր չի լինի գտնել ածանցյալը: Մենք նաև նկատում ենք, որ այստեղ անհնար է կիրառել առաջին չորս կանոնները, կարծես թե տարբերություն կա, բայց փաստն այն է, որ դուք չեք կարող «պոկել» սինուսը.

Այս օրինակում, արդեն իմ բացատրություններից, ինտուիտիվորեն պարզ է դառնում, որ ֆունկցիան բարդ ֆունկցիա է, իսկ բազմանդամը՝ ներքին ֆունկցիա (բնադրում), և արտաքին ֆունկցիա։

Առաջին քայլը, որը պետք է կատարվի բարդ ֆունկցիայի ածանցյալը գտնելիս այն է պարզել, թե որ ֆունկցիան է ներքին և որը արտաքին.

Պարզ օրինակների դեպքում պարզ է թվում, որ սինուսի տակ բազմանդամ է բույն դրված։ Բայց ինչ անել, եթե ամեն ինչ ակնհայտ չէ: Ինչպե՞ս ճիշտ որոշել, թե որ ֆունկցիան է արտաքին և որը ներքին: Դա անելու համար առաջարկում եմ օգտագործել հետևյալ տեխնիկան, որը կարելի է անել մտովի կամ սևագրի վրա։

Պատկերացրեք, որ մենք պետք է հաշվարկենք արտահայտության արժեքը հաշվիչի վրա (մեկի փոխարեն կարող է լինել ցանկացած թիվ):

Ի՞նչ ենք մենք առաջինը հաշվարկելու: Նախ եւ առաջդուք պետք է կատարեք հետևյալ գործողությունը, ուստի բազմանդամը կլինի ներքին ֆունկցիա.

Երկրորդպետք է գտնել, ուստի սինուսը կլինի արտաքին ֆունկցիա.

Մեզնից հետո Հասկացաներքին և արտաքին գործառույթներով, ժամանակն է կիրառել բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը .

Մենք սկսում ենք որոշել. Դասից Ինչպե՞ս գտնել ածանցյալը:մենք հիշում ենք, որ ցանկացած ածանցյալի լուծման ձևավորումը միշտ սկսվում է այսպես.

Առաջինգտե՛ք արտաքին ֆունկցիայի (սինուսի) ածանցյալը, նայե՛ք տարրական ֆունկցիաների ածանցյալների աղյուսակին և նկատե՛ք, որ. Բոլոր աղյուսակային բանաձևերը կիրառելի են նույնիսկ եթե «x»-ը փոխարինվի բարդ արտահայտությամբ, այս դեպքում:

Նշենք, որ ներքին ֆունկցիան չի փոխվել, մենք դրան չենք դիպչում.

Դե, դա միանգամայն ակնհայտ է

Բանաձևի կիրառման արդյունքը վերջնական դիզայնում այն ​​ունի հետևյալ տեսքը.

Արտահայտության սկզբում սովորաբար դրվում է հաստատուն գործոն.

Եթե ​​որևէ շփոթություն կա, գրեք լուծումը և նորից կարդացեք բացատրությունները:

Օրինակ 2

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Օրինակ 3

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Ինչպես միշտ, մենք գրում ենք.

Եկեք պարզենք, թե որտեղ ունենք արտաքին, իսկ որտեղ՝ ներքին: Դա անելու համար փորձեք (մտավոր կամ սևագրի վրա) հաշվարկել արտահայտության արժեքը at: Ի՞նչ պետք է արվի առաջին հերթին: Նախ պետք է հաշվարկել, թե ինչի է հավասար հիմքը, ինչը նշանակում է, որ բազմանդամը ներքին ֆունկցիան է.

Եվ միայն այդ դեպքում է աստիճանավորումը կատարվում, հետևաբար հզորության ֆունկցիան արտաքին ֆունկցիա է.

Ըստ բանաձևի , նախ պետք է գտնել արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, այս դեպքում՝ աստիճանը։ Աղյուսակում փնտրում ենք պահանջվող բանաձևը. Կրկին կրկնում ենք. ցանկացած աղյուսակային բանաձև վավեր է ոչ միայն «x», այլև բարդ արտահայտության համար... Այսպիսով, բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի կիրառման արդյունքը հաջորդը՝

Կրկին շեշտում եմ, որ երբ վերցնում ենք արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը, մեզ մոտ ներքին ֆունկցիան չի փոխվում.

Այժմ մնում է գտնել ներքին ֆունկցիայի շատ պարզ ածանցյալ և արդյունքը մի փոքր «սանրել».

Օրինակ 4

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Սա անկախ լուծման օրինակ է (պատասխանը ձեռնարկի վերջում):

Բարդ ֆունկցիայի ածանցյալի ըմբռնումը համախմբելու համար առանց մեկնաբանության օրինակ կբերեմ, փորձեք ինքնուրույն պարզել այն, ենթադրել, թե որտեղ է արտաքինը և որտեղ է ներքինը, ինչո՞ւ են առաջադրանքները լուծվել այսպես:

Օրինակ 5

ա) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

բ) Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Օրինակ 6

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Այստեղ մենք ունենք արմատ, և արմատը տարբերելու համար այն պետք է ներկայացվի որպես աստիճան։ Այսպիսով, նախ մենք ֆունկցիան բերում ենք տարբերակման համար հարմար ձևի.

Գործառույթը վերլուծելով՝ գալիս ենք այն եզրակացության, որ երեք անդամների գումարը ներքին ֆունկցիա է, իսկ հզորացումը՝ արտաքին: Կիրառում ենք բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնը :

Աստիճանը կրկին ներկայացված է որպես ռադիկալ (արմատ), իսկ ներքին ֆունկցիայի ածանցյալի համար մենք կիրառում ենք գումարը տարբերակելու պարզ կանոն.

Պատրաստ. Կարող եք նաև արտահայտությունը բերել փակագծերում ընդհանուր հայտարարի և ամեն ինչ գրել մեկ կոտորակի մեջ: Լավ է, իհարկե, բայց երբ ձեռք են բերվում ծանրաբեռնված երկար ածանցյալներ, ավելի լավ է դա չանել (հեշտ է շփոթվել, անհարկի սխալ թույլ տալ, և ուսուցչի համար անհարմար կլինի ստուգել):

Օրինակ 7

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Սա անկախ լուծման օրինակ է (պատասխանը ձեռնարկի վերջում):

Հետաքրքիր է նշել, որ երբեմն բարդ ֆունկցիան տարբերելու կանոնի փոխարեն կարելի է օգտագործել գործակիցը տարբերելու կանոնը. , բայց նման լուծումը անսովոր տեսք կունենա որպես այլասերվածություն։ Ահա տիպիկ օրինակ.

Օրինակ 8

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Այստեղ դուք կարող եք օգտագործել գործակիցը տարբերելու կանոնը , բայց շատ ավելի ձեռնտու է գտնել ածանցյալը բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի միջոցով.

Մենք ֆունկցիան պատրաստում ենք տարբերակման համար. մինուսը տեղափոխում ենք ածանցյալի նշանից դուրս և կոսինուսը բարձրացնում ենք համարիչի վրա.

Կոսինուսը ներքին ֆունկցիա է, հզորացումը՝ արտաքին ֆունկցիա։
Մենք օգտագործում ենք մեր կանոնը :

Գտեք ներքին ֆունկցիայի ածանցյալը, զրոյացրեք կոսինուսը ներքև.

Պատրաստ. Դիտարկված օրինակում կարևոր է չշփոթվել նշաններում։ Ի դեպ, փորձեք լուծել այն կանոնով , պատասխանները պետք է համընկնեն։

Օրինակ 9

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Սա անկախ լուծման օրինակ է (պատասխանը ձեռնարկի վերջում):

Մինչ այժմ մենք դիտարկել ենք այն դեպքերը, երբ մենք ունեինք միայն մեկ կցորդ բարդ ֆունկցիայի մեջ: Գործնական առաջադրանքների ժամանակ հաճախ կարելի է գտնել ածանցյալներ, որտեղ, ինչպես բնադրող տիկնիկները, մեկը մյուսի մեջ, միանգամից 3 կամ նույնիսկ 4-5 ֆունկցիաներ են դրված։

Օրինակ 10

Գտե՛ք ֆունկցիայի ածանցյալը

Եկեք հասկանանք այս ֆունկցիայի հավելվածները։ Փորձում ենք գնահատել արտահայտությունը՝ օգտագործելով թեստային արժեքը: Ինչպե՞ս ենք մենք հույսը դնում հաշվիչի վրա:

Նախ պետք է գտնել, ինչը նշանակում է, որ արկսինը ամենախորը բնադրումն է.

Այնուհետև մեկի այս աղեղը պետք է քառակուսի լինի.

Եվ վերջապես, 7-ը բարձրացրեք ուժի մեջ.

Այսինքն՝ այս օրինակում մենք ունենք երեք տարբեր ֆունկցիաներ և երկու կցորդներ, մինչդեռ ամենաներքին ֆունկցիան աղեղն է, իսկ ամենաարտաքինը՝ էքսպոնենցիալ ֆունկցիան։

Մենք սկսում ենք լուծել

Ըստ կանոնի նախ պետք է վերցնել արտաքին ֆունկցիայի ածանցյալը: Մենք նայում ենք ածանցյալների աղյուսակին և գտնում էքսպոնենցիոնալ ֆունկցիայի ածանցյալը. Միակ տարբերությունն այն է, որ «x»-ի փոխարեն ունենք բարդ արտահայտություն, որը չի ժխտում այս բանաձևի վավերականությունը։ Այսպիսով, բարդ ֆունկցիայի տարբերակման կանոնի կիրառման արդյունքը հաջորդ.