ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र एक प्रतिअवकलन है। समाकलन परिभाषित करें। किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना कैसे करें। रेखाओं y=f(x) या x=g(y) से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना के उदाहरण

पार्सिंग पर पिछले अनुभाग में ज्यामितीय अर्थनिश्चित अभिन्न, हमें एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए कई सूत्र प्राप्त हुए:

S (G) = ∫ a b f (x) d x एक सतत और गैर-नकारात्मक फलन y = f (x) के लिए अंतराल पर [ a ; बी ] ,

S (G) = - ∫ a b f (x) d x एक सतत और गैर-सकारात्मक फलन y = f (x) के लिए अंतराल पर [ a ; बी ] ।

इन्हें हल करने के लिए ये सूत्र लागू होते हैं सरल कार्य. हकीकत में, हमें अक्सर अधिक जटिल आंकड़ों के साथ काम करना होगा। इस संबंध में, हम इस अनुभाग को स्पष्ट रूप में कार्यों द्वारा सीमित आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के लिए एल्गोरिदम के विश्लेषण के लिए समर्पित करेंगे, अर्थात। जैसे y = f(x) या x = g(y).

प्रमेय

मान लीजिए कि फ़ंक्शन y = f 1 (x) और y = f 2 (x) परिभाषित हैं और अंतराल पर निरंतर हैं [ a ; b ] , और f 1 (x) ≤ f 2 (x) किसी भी मान x के लिए [ a ; बी ] । फिर आकृति G के क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र, रेखाओं द्वारा सीमित x = a, x = b, y = f 1 (x) और y = f 2 (x) का रूप S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x होगा।

एक समान सूत्र y = c, y = d, x = g 1 (y) और x = g 2 (y) रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल के लिए लागू होगा: S (G) = ∫ c d ( जी 2 (वाई) - जी 1 (वाई) डी वाई .

सबूत

आइए तीन मामलों पर नजर डालें जिनके लिए फॉर्मूला मान्य होगा।

पहले मामले में, क्षेत्र की योगात्मकता के गुण को ध्यान में रखते हुए, मूल आकृति G और वक्ररेखीय समलम्बाकार G 1 के क्षेत्रफलों का योग आकृति G 2 के क्षेत्रफल के बराबर है। यह मतलब है कि

इसलिए, S (G) = S (G 2) - S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 (x) - f 1 (x)) डीएक्स.

हम निश्चित समाकलन के तीसरे गुण का उपयोग करके अंतिम परिवर्तन कर सकते हैं।

दूसरे मामले में, समानता सत्य है: S (G) = S (G 2) + S (G 1) = ∫ a b f 2 (x) d x + - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f 2 ( एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स

ग्राफिक चित्रण इस प्रकार दिखेगा:

यदि दोनों फ़ंक्शन गैर-सकारात्मक हैं, तो हमें मिलता है: S (G) = S (G 2) - S (G 1) = - ∫ a b f 2 (x) d x - - ∫ a b f 1 (x) d x = ∫ a b (f) 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स। ग्राफिक चित्रण इस प्रकार दिखेगा:

आइए सामान्य स्थिति पर विचार करें जब y = f 1 (x) और y = f 2 (x) O x अक्ष को प्रतिच्छेद करते हैं।

हम प्रतिच्छेदन बिंदुओं को x i, i = 1, 2, के रूप में निरूपित करते हैं। . . , एन - 1 . ये बिंदु खंड को विभाजित करते हैं [ए; b ] n भागों में x i - 1 ; एक्स मैं, मैं = 1, 2, . . . , n, जहां α = x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

इस तरह,

एस (जी) = ∑ आई = 1 एन एस (जी आई) = ∑ आई = 1 एन ∫ एक्स आई एक्स आई एफ 2 (एक्स) - एफ 1 (एक्स)) डी एक्स = = ∫ एक्स 0 एक्स एन (एफ 2 (एक्स) - एफ ( x)) d x = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x

हम निश्चित समाकलन के पांचवें गुण का उपयोग करके अंतिम परिवर्तन कर सकते हैं।

आइए ग्राफ़ पर सामान्य मामले को चित्रित करें।

सूत्र S (G) = ∫ a b f 2 (x) - f 1 (x) d x को सिद्ध माना जा सकता है।

अब आइए उन आंकड़ों के क्षेत्र की गणना के उदाहरणों का विश्लेषण करने के लिए आगे बढ़ें जो रेखाओं y = f (x) और x = g (y) द्वारा सीमित हैं।

हम किसी भी उदाहरण पर अपना विचार एक ग्राफ़ बनाकर शुरू करेंगे। छवि हमें प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देगी जटिल आंकड़ेसरल आकृतियों के संघ के रूप में। यदि आपके लिए ग्राफ़ और उन पर आकृतियाँ बनाना कठिन है, तो आप बुनियादी प्राथमिक फ़ंक्शंस, फ़ंक्शंस के ग्राफ़ के ज्यामितीय परिवर्तन के साथ-साथ किसी फ़ंक्शन का अध्ययन करते समय ग्राफ़ बनाने पर अनुभाग का अध्ययन कर सकते हैं।

उदाहरण 1

आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करना आवश्यक है, जो परवलय y = - x 2 + 6 x - 5 और सीधी रेखाओं y = - 1 3 x - 1 2, x = 1, x = 4 द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में ग्राफ़ पर रेखाएँ खींचें।

खंड पर [ 1 ; 4 ] परवलय y = - x 2 + 6 x - 5 का ग्राफ सीधी रेखा y = - 1 3 x - 1 2 के ऊपर स्थित है। इस संबंध में, उत्तर प्राप्त करने के लिए हम पहले प्राप्त सूत्र का उपयोग करते हैं, साथ ही न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके निश्चित अभिन्न अंग की गणना करने की विधि का उपयोग करते हैं:

एस (जी) = ∫ 1 4 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 d x = = ∫ 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 d x = - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 = = - 1 3 4 3 + 19 6 4 2 - 9 2 4 - - 1 3 1 3 + 19 6 1 2 - 9 2 1 = = - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 = 13

उत्तर: एस(जी) = 13

आइए एक अधिक जटिल उदाहरण देखें।

उदाहरण 2

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो रेखाओं y = x + 2, y = x, x = 7 द्वारा सीमित है।

समाधान

इस मामले में, हमारे पास x-अक्ष के समानांतर स्थित केवल एक सीधी रेखा है। यह x = 7 है. इसके लिए हमें एकीकरण की दूसरी सीमा स्वयं ढूंढनी होगी।

आइए एक ग्राफ़ बनाएं और उस पर समस्या कथन में दी गई पंक्तियों को आलेखित करें।

ग्राफ को अपनी आंखों के सामने रखते हुए, हम आसानी से यह निर्धारित कर सकते हैं कि एकीकरण की निचली सीमा सीधी रेखा y = x और अर्ध-परवलय y = x + 2 के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज होगा। भुज को खोजने के लिए हम समानता का उपयोग करते हैं:

y = x + 2 O DZ: x ≥ - 2 x 2 = x + 2 2 x 2 - x - 2 = 0 D = (- 1) 2 - 4 1 (- 2) = 9 x 1 = 1 + 9 2 = 2 ∈ O DZ x 2 = 1 - 9 2 = - 1 ∉ O DZ

इससे पता चलता है कि प्रतिच्छेदन बिंदु का भुज x = 2 है।

हम इस तथ्य पर आपका ध्यान आकर्षित करते हैं कि ड्राइंग में सामान्य उदाहरण में, रेखाएं y = x + 2, y = x बिंदु (2; 2) पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए ऐसी विस्तृत गणना अनावश्यक लग सकती है। हमने यहां इतना विस्तृत समाधान केवल इसलिए प्रदान किया है क्योंकि अधिक जटिल मामलों में समाधान इतना स्पष्ट नहीं हो सकता है। इसका मतलब यह है कि विश्लेषणात्मक रूप से रेखाओं के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक की गणना करना हमेशा बेहतर होता है।

अंतराल पर [2 ; 7] फ़ंक्शन y = x का ग्राफ़ फ़ंक्शन y = x + 2 के ग्राफ़ के ऊपर स्थित है। आइए क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र लागू करें:

एस (जी) = ∫ 2 7 (एक्स - एक्स + 2) डी एक्स = एक्स 2 2 - 2 3 · (एक्स + 2) 3 2 2 7 = = 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 + 2 3 2 = = 49 2 - 18 - 2 + 16 3 = 59 6

उत्तर: एस (जी) = 59 6

उदाहरण 3

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो फ़ंक्शन y = 1 x और y = - x 2 + 4 x - 2 के ग्राफ़ द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए ग्राफ़ पर रेखाएँ आलेखित करें।

आइए एकीकरण की सीमाओं को परिभाषित करें। ऐसा करने के लिए, हम अभिव्यक्ति 1 x और - x 2 + 4 x - 2 को बराबर करके रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। बशर्ते कि x शून्य नहीं है, समानता 1 x = - x 2 + 4 x - 2 पूर्णांक गुणांक के साथ तीसरे डिग्री समीकरण - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 = 0 के बराबर हो जाती है। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम की आपकी स्मृति को ताज़ा करने के लिए, हम "घन समीकरणों को हल करना" अनुभाग का संदर्भ ले सकते हैं।

इस समीकरण का मूल x = 1: - 1 3 + 4 1 2 - 2 1 - 1 = 0 है।

व्यंजक - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 को द्विपद x - 1 से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) = 0

हम समीकरण x 2 - 3 x - 1 = 0 से शेष मूल ज्ञात कर सकते हैं:

x 2 - 3 x - 1 = 0 D = (- 3) 2 - 4 · 1 · (- 1) = 13 x 1 = 3 + 13 2 ≈ 3। 3; एक्स 2 = 3 - 13 2 ≈ - 0। 3

हमने अंतराल x ∈ 1 पाया; 3 + 13 2, जिसमें आकृति G नीली रेखा के ऊपर और लाल रेखा के नीचे समाहित है। इससे हमें आकृति का क्षेत्रफल निर्धारित करने में मदद मिलती है:

एस (जी) = ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 x d x = - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - ln x 1 3 + 13 2 = = - 3 + 13 2 3 3 + 2 3 + 13 2 2 - 2 3 + 13 2 - एलएन 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 1 2 - 2 1 - एलएन 1 = 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उत्तर: एस (जी) = 7 + 13 3 - एलएन 3 + 13 2

उदाहरण 4

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो वक्र y = x 3, y = - log 2 x + 1 और भुज अक्ष द्वारा सीमित है।

समाधान

आइए ग्राफ़ पर सभी रेखाएँ आलेखित करें। हम ग्राफ़ y = log 2 x से फ़ंक्शन y = - log 2 x + 1 का ग्राफ़ प्राप्त कर सकते हैं यदि हम इसे x-अक्ष के बारे में सममित रूप से रखते हैं और इसे एक इकाई ऊपर ले जाते हैं। x-अक्ष का समीकरण y = 0 है।

आइए रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, फलन y = x 3 और y = 0 के ग्राफ़ बिंदु (0; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि x = 0 समीकरण x 3 = 0 का एकमात्र वास्तविक मूल है।

x = 2 समीकरण का एकमात्र मूल है - लॉग 2 x + 1 = 0, इसलिए फ़ंक्शन y = - लॉग 2 x + 1 और y = 0 के ग्राफ़ बिंदु (2; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं।

x = 1 समीकरण x 3 = - log 2 x + 1 का एकमात्र मूल है। इस संबंध में, फ़ंक्शन y = x 3 और y = - log 2 x + 1 के ग्राफ़ बिंदु (1; 1) पर प्रतिच्छेद करते हैं। अंतिम कथन स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन समीकरण x 3 = - log 2 x + 1 में एक से अधिक मूल नहीं हो सकते हैं, क्योंकि फ़ंक्शन y = x 3 सख्ती से बढ़ रहा है, और फ़ंक्शन y = - log 2 x + 1 है सख्ती से घट रही है.

आगे के समाधान में कई विकल्प शामिल हैं।

विकल्प 1

हम आकृति G की कल्पना x-अक्ष के ऊपर स्थित दो वक्ररेखीय समलंबों के योग के रूप में कर सकते हैं, जिनमें से पहला खंड x ∈ 0 पर मध्य रेखा के नीचे स्थित है; 1, और दूसरा खंड x ∈ 1 पर लाल रेखा के नीचे है; 2. इसका मतलब है कि क्षेत्रफल S (G) = ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x के बराबर होगा।

विकल्प संख्या 2

चित्र G को दो आकृतियों के अंतर के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिनमें से पहला x-अक्ष के ऊपर और खंड x ∈ 0 पर नीली रेखा के नीचे स्थित है; 2, और खंड x ∈ 1 पर लाल और नीली रेखाओं के बीच दूसरा; 2. यह हमें निम्नानुसार क्षेत्र खोजने की अनुमति देता है:

एस (जी) = ∫ 0 2 एक्स 3 डी एक्स - ∫ 1 2 एक्स 3 - (- लॉग 2 एक्स + 1) डी एक्स

इस मामले में, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए आपको S (G) = ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y रूप के सूत्र का उपयोग करना होगा। वास्तव में, आकृति को बांधने वाली रेखाओं को तर्क y के कार्यों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आइए समीकरण y = x 3 और - x के संबंध में लघुगणक 2 x + 1 को हल करें:

y = x 3 ⇒ x = y 3 y = - लघुगणक 2 x + 1 ⇒ लघुगणक 2 x = 1 - y ⇒ x = 2 1 - y

हमें आवश्यक क्षेत्र मिलता है:

एस (जी) = ∫ 0 1 (2 1 - वाई - वाई 3) डी वाई = - 2 1 - वाई एलएन 2 - वाई 4 4 0 1 = = - 2 1 - 1 एलएन 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 एलएन 2 - 0 4 4 = - 1 एलएन 2 - 1 4 + 2 एलएन 2 = 1 एलएन 2 - 1 4

उत्तर: एस (जी) = 1 एलएन 2 - 1 4

उदाहरण 5

आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना आवश्यक है, जो रेखाओं y = x, y = 2 3 x - 3, y = - 1 2 x + 4 द्वारा सीमित है।

समाधान

लाल रेखा से हम फ़ंक्शन y = x द्वारा परिभाषित रेखा खींचते हैं। हम रेखा y = - 1 2 x + 4 को नीले रंग में और रेखा y = 2 3 x - 3 को काले रंग में खींचते हैं।

आइए प्रतिच्छेदन बिंदुओं को चिह्नित करें।

आइए फ़ंक्शन y = x और y = - 1 2 x + 4 के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

x = - 1 2 x + 4 O DZ: x ≥ 0 x = - 1 2 x + 4 2 ⇒ x = 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 = 0 D = (- 20 ) 2 - 4 1 64 = 144 x 1 = 20 + 144 2 = 16; x 2 = 20 - 144 2 = 4 जांचें: x 1 = 16 = 4, - 1 2 x 1 + 4 = - 1 2 16 + 4 = - 4 ⇒ x 1 = 16 नहीं क्या समीकरण x 2 = का हल है 4 = 2, - 1 2 x 2 + 4 = - 1 2 4 + 4 = 2 ⇒ x 2 = 4 समीकरण का हल है ⇒ (4; 2) प्रतिच्छेदन बिंदु i y = x और y = - 1 2 x +4

आइए फ़ंक्शन y = x और y = 2 3 x - 3 के ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

x = 2 3 x - 3 O DZ: x ≥ 0 x = 2 3 x - 3 2 ⇔ x = 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 = 0 D = (- 45 ) 2 - 4 4 81 = 729 x 1 = 45 + 729 8 = 9, x 2 45 - 729 8 = 9 4 जांचें: x 1 = 9 = 3, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 - 3 = 3 ⇒ x 1 = 9 समीकरण का हल है ⇒ (9 ; 3) बिंदु a s y = x और y = 2 3 x - 3 x 2 = 9 4 = 3 2, 2 3 x 1 - 3 = 2 3 9 4 - 3 = - 3 2 ⇒ x 2 = 9 4 समीकरण का कोई हल नहीं है

आइए रेखाओं y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3 का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:

1 2 x + 4 = 2 3 x - 3 ⇔ - 3 x + 24 = 4 x - 18 ⇔ 7 x = 42 ⇔ x = 6 - 1 2 6 + 4 = 2 3 6 - 3 = 1 ⇒ (6 ; 1 ) प्रतिच्छेदन बिंदु y = - 1 2 x + 4 और y = 2 3 x - 3

विधि संख्या 1

आइए हम वांछित आकृति के क्षेत्रफल की कल्पना व्यक्तिगत आकृतियों के क्षेत्रफलों के योग के रूप में करें।

तब आकृति का क्षेत्रफल है:

एस (जी) = ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 d x + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 d x = = 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 = = 2 3 6 3 2 + 6 2 4 - 4 6 - 2 3 4 3 2 + 4 2 4 - 4 4 + + 2 3 9 3 2 - 9 2 3 + 3 9 - 2 3 6 3 2 - 6 2 3 + 3 6 = = - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 = 11 3

विधि संख्या 2

मूल आकृति का क्षेत्रफल दो अन्य आकृतियों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है।

फिर हम x के सापेक्ष रेखा के समीकरण को हल करते हैं, और उसके बाद ही हम आकृति के क्षेत्रफल की गणना के लिए सूत्र लागू करते हैं।

y = x ⇒ x = y 2 लाल रेखा y = 2 3 x - 3 ⇒ x = 3 2 y + 9 2 काली रेखा y = - 1 2 x + 4 ⇒ x = - 2 y + 8 s i n i a l i n e

तो क्षेत्र है:

एस (जी) = ∫ 1 2 3 2 वाई + 9 2 - - 2 वाई + 8 डी वाई + ∫ 2 3 3 3 2 वाई + 9 2 - वाई 2 डी वाई = = ∫ 1 2 7 2 वाई - 7 2 डी वाई + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 d y = = 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 = 7 4 2 2 - 7 4 2 - 7 4 1 2 - 7 4 1 + + - 3 3 3 + 3 3 2 4 + 9 2 3 - - 2 3 3 + 3 2 2 4 + 9 2 2 = = 7 4 + 23 12 = 11 3

जैसा कि आप देख सकते हैं, मान समान हैं।

उत्तर: एस (जी) = 11 3

परिणाम

किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना जो सीमित है दी गई पंक्तियाँहमें समतल पर रेखाएँ बनाने, उनके प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने और क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए सूत्र लागू करने की आवश्यकता है। इस अनुभाग में, हमने कार्यों के सबसे सामान्य प्रकारों की जांच की।

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हम दोहरे समाकलन की गणना की वास्तविक प्रक्रिया पर विचार करना शुरू करते हैं और इसके ज्यामितीय अर्थ से परिचित होते हैं।

दोहरा समाकलन संख्यात्मक रूप से समतल आकृति के क्षेत्रफल (एकीकरण का क्षेत्र) के बराबर है। यह डबल इंटीग्रल का सबसे सरल रूप है, जब दो चर का कार्य एक के बराबर होता है:।

आइए सबसे पहले समस्या पर विचार करें सामान्य रूप से देखें. अब आप आश्चर्यचकित होंगे कि सब कुछ वास्तव में कितना सरल है! आइए रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें। निश्चितता के लिए, हम मानते हैं कि खंड पर। इस आकृति का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से बराबर है:

आइए चित्र में क्षेत्र को चित्रित करें:

आइए क्षेत्र को पार करने का पहला तरीका चुनें:

इस प्रकार:

और तुरंत एक महत्वपूर्ण तकनीकी तकनीक: पुनरावृत्त अभिन्नों की गणना अलग से की जा सकती है. पहले आंतरिक अभिन्न, फिर बाह्य अभिन्न। मैं इस विषय में शुरुआती लोगों को इस पद्धति की अत्यधिक अनुशंसा करता हूँ।

1) आइए आंतरिक अभिन्न की गणना करें, और एकीकरण चर "y" पर किया जाता है:

यहां अनिश्चितकालीन अभिन्न सबसे सरल है, और फिर सामान्य न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग किया जाता है, एकमात्र अंतर के साथ एकीकरण की सीमाएँ संख्याएँ नहीं, बल्कि कार्य हैं. सबसे पहले, हमने ऊपरी सीमा को "y" (एंटीडेरिवेटिव फ़ंक्शन) में प्रतिस्थापित किया, फिर निचली सीमा को

2) पहले पैराग्राफ में प्राप्त परिणाम को बाहरी अभिन्न अंग में प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए:

संपूर्ण समाधान का अधिक संक्षिप्त प्रतिनिधित्व इस प्रकार दिखता है:

परिणामी सूत्र वास्तव में "साधारण" निश्चित अभिन्न अंग का उपयोग करके एक समतल आकृति के क्षेत्र की गणना के लिए कार्यशील सूत्र है! पाठ देखें एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करना, वह हर कदम पर है!

वह है, दोहरे समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करने की समस्या बहुत अलग नहींएक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या से!वास्तव में, यह वही बात है!

तदनुसार, कोई कठिनाई उत्पन्न नहीं होनी चाहिए! मैं बहुत सारे उदाहरण नहीं देखूंगा, क्योंकि वास्तव में, आपने बार-बार इस कार्य का सामना किया है।

उदाहरण 9

समाधान:आइए चित्र में क्षेत्र को चित्रित करें:

आइए क्षेत्र के भ्रमण का निम्नलिखित क्रम चुनें:

यहां और आगे मैं इस बात पर ध्यान नहीं दूंगा कि क्षेत्र को कैसे पार किया जाए, क्योंकि पहले पैराग्राफ में बहुत विस्तृत विवरण दिए गए थे।

इस प्रकार:

जैसा कि मैंने पहले ही नोट किया है, शुरुआती लोगों के लिए पुनरावृत्त इंटीग्रल्स की अलग से गणना करना बेहतर है, और मैं उसी विधि पर कायम रहूंगा:

1) सबसे पहले, न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करते हुए, हम आंतरिक अभिन्न से निपटते हैं:

2) पहले चरण में प्राप्त परिणाम को बाह्य समाकलन में प्रतिस्थापित किया जाता है:

बिंदु 2 वास्तव में एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

उत्तर:

यह कितना मूर्खतापूर्ण और अनुभवहीन कार्य है।

के लिए एक दिलचस्प उदाहरण स्वतंत्र निर्णय:

उदाहरण 10

दोहरे समाकलन का उपयोग करते हुए, रेखाओं से घिरे एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

पाठ के अंत में अंतिम समाधान का एक अनुमानित उदाहरण।

उदाहरण 9-10 में, क्षेत्र को पार करने की पहली विधि का उपयोग करना अधिक लाभदायक है, जिज्ञासु पाठक, दूसरी विधि का उपयोग करके पारगमन के क्रम को बदल सकते हैं और क्षेत्रों की गणना कर सकते हैं। यदि आप कोई गलती नहीं करते हैं, तो, स्वाभाविक रूप से, आपको वही क्षेत्र मान मिलेंगे।

लेकिन कुछ मामलों में, क्षेत्र को पार करने की दूसरी विधि अधिक प्रभावी होती है, और युवा बेवकूफ़ के पाठ्यक्रम के अंत में, आइए इस विषय पर कुछ और उदाहरण देखें:

उदाहरण 11

दोहरे समाकलन का उपयोग करते हुए, रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें,

समाधान:हम विचित्रता के साथ दो परवलयों की प्रतीक्षा कर रहे हैं जो उनके किनारों पर स्थित हैं। मुस्कुराने की कोई ज़रूरत नहीं है; समान चीजें कई अभिन्नताओं में अक्सर होती हैं।

चित्र बनाने का सबसे आसान तरीका क्या है?

आइए दो कार्यों के रूप में एक परवलय की कल्पना करें:
- ऊपरी शाखा और - निचली शाखा।

इसी प्रकार, ऊपरी और निचली शाखाओं के रूप में एक परवलय की कल्पना करें।

हम सूत्र के अनुसार दोहरे समाकलन का उपयोग करके आकृति के क्षेत्रफल की गणना करते हैं:

यदि हम क्षेत्र को पार करने का पहला तरीका चुनते हैं तो क्या होगा? सबसे पहले इस क्षेत्र को दो हिस्सों में बांटना होगा. और दूसरी बात, हम इस दुखद तस्वीर का अवलोकन करेंगे:। बेशक, इंटीग्रल अति-जटिल स्तर के नहीं हैं, लेकिन... एक पुरानी गणितीय कहावत है: जो लोग अपनी जड़ों के करीब हैं उन्हें परीक्षण की आवश्यकता नहीं है।

इसलिए, स्थिति में दी गई गलतफहमी से, हम व्युत्क्रम कार्यों को व्यक्त करते हैं:

इस उदाहरण में व्युत्क्रम कार्यों का लाभ यह है कि वे बिना किसी पत्ते, बलूत, शाखाओं और जड़ों के एक ही बार में संपूर्ण परवलय को निर्दिष्ट करते हैं।

दूसरी विधि के अनुसार, क्षेत्र ट्रैवर्सल इस प्रकार होगा:

इस प्रकार:

जैसा कि वे कहते हैं, अंतर महसूस करें।

1) हम आंतरिक अभिन्न से निपटते हैं:

हम परिणाम को बाहरी अभिन्न अंग में प्रतिस्थापित करते हैं:

चर "y" पर एकीकरण भ्रमित करने वाला नहीं होना चाहिए; यदि कोई अक्षर "zy" होता, तो उस पर एकीकृत करना बहुत अच्छा होता। हालाँकि पाठ का दूसरा पैराग्राफ किसने पढ़ा परिक्रमण पिंड के आयतन की गणना कैसे करें, वह अब "Y" पद्धति के अनुसार एकीकरण के साथ थोड़ी सी भी अजीबता का अनुभव नहीं करता है।

पहले चरण पर भी ध्यान दें: इंटीग्रैंड सम है, और एकीकरण का अंतराल शून्य के बारे में सममित है। इसलिए, खंड को आधा किया जा सकता है, और परिणाम को दोगुना किया जा सकता है। पाठ में इस तकनीक पर विस्तार से टिप्पणी की गई है। प्रभावी तरीकेएक निश्चित अभिन्न की गणना.

क्या जोड़ें... सभी!

उत्तर:

अपनी एकीकरण तकनीक का परीक्षण करने के लिए, आप गणना करने का प्रयास कर सकते हैं। उत्तर बिल्कुल वैसा ही होना चाहिए.

उदाहरण 12

दोहरे समाकलन का उपयोग करते हुए, रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि आप क्षेत्र को पार करने की पहली विधि का उपयोग करने का प्रयास करते हैं, तो आकृति को अब दो में नहीं, बल्कि तीन भागों में विभाजित करना होगा! और, तदनुसार, हमें दोहराए गए अभिन्नों के तीन जोड़े मिलते हैं। कभी - कभी ऐसा होता है।

मास्टर क्लास समाप्त हो गई है, और ग्रैंडमास्टर स्तर पर आगे बढ़ने का समय आ गया है - डबल इंटीग्रल की गणना कैसे करें? समाधान के उदाहरण. मैं दूसरे लेख में इतना उन्मत्त न होने का प्रयास करूँगा =)

मैं तुम्हारी सफलता की कामना करता हूं!

समाधान और उत्तर:

उदाहरण 2:समाधान: आइए क्षेत्र का चित्रण करें ड्राइंग पर:

आइए क्षेत्र के भ्रमण का निम्नलिखित क्रम चुनें:

इस प्रकार:
आइए व्युत्क्रम कार्यों पर चलते हैं:


इस प्रकार:
उत्तर:

उदाहरण 4:समाधान: आइए प्रत्यक्ष कार्यों पर आगे बढ़ें:


आइए चित्र बनाएं:

आइए क्षेत्र को पार करने का क्रम बदलें:

उत्तर:

क्षेत्र में घूमने का क्रम:

इस प्रकार:

1)
2)

उत्तर:

समाधान के अभिन्न अंग का अनुप्रयोग लागू समस्याएँ

क्षेत्रफल की गणना

एक सतत गैर-ऋणात्मक फलन f(x) का निश्चित समाकलन संख्यात्मक रूप से बराबर होता हैवक्र y = f(x), O x अक्ष और सीधी रेखाओं x = a और x = b से घिरा एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल। इसके अनुसार क्षेत्रफल सूत्र इस प्रकार लिखा जाता है:

आइए समतल आकृतियों के क्षेत्रफल की गणना के कुछ उदाहरण देखें।

कार्य क्रमांक 1. रेखाओं y = x 2 +1, y = 0, x = 0, x = 2 से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

समाधान।आइए एक आकृति बनाएं जिसके क्षेत्रफल की हमें गणना करनी होगी।

y = x 2 + 1 एक परवलय है जिसकी शाखाएँ ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और परवलय O y अक्ष के सापेक्ष एक इकाई द्वारा ऊपर की ओर स्थानांतरित हो जाता है (चित्र 1)।

चित्र 1. फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = x 2 + 1

कार्य संख्या 2. 0 से 1 की सीमा में रेखाओं y = x 2 – 1, y = 0 से घिरे क्षेत्र की गणना करें।

समाधान।इस फ़ंक्शन का ग्राफ ऊपर की ओर निर्देशित शाखाओं का एक परवलय है, और परवलय को O y अक्ष के सापेक्ष एक इकाई नीचे स्थानांतरित किया जाता है (चित्र 2)।

चित्र 2. फ़ंक्शन का ग्राफ़ y = x 2 - 1

कार्य संख्या 3. एक चित्र बनाएं और रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें

y = 8 + 2x – x 2 और y = 2x – 4.

समाधान।इन दो रेखाओं में से पहली एक परवलय है जिसकी शाखाएँ नीचे की ओर निर्देशित हैं, क्योंकि x 2 का गुणांक ऋणात्मक है, और दूसरी रेखा दोनों समन्वय अक्षों को प्रतिच्छेद करने वाली एक सीधी रेखा है।

एक परवलय का निर्माण करने के लिए, हम उसके शीर्ष के निर्देशांक ज्ञात करते हैं: y'=2 – 2x; 2 - 2x = 0, x = 1 - शीर्ष का भुज; y(1) = 8 + 2∙1 – 1 2 = 9 इसकी कोटि है, N(1;9) इसका शीर्ष है।

आइए अब समीकरणों की प्रणाली को हल करके परवलय और सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें:

किसी समीकरण के दाएँ पक्ष को बराबर करना जिसके बाएँ पक्ष बराबर हों।

हमें 8 + 2x - x 2 = 2x - 4 या x 2 - 12 = 0 मिलता है, जहाँ से .

तो, बिंदु एक परवलय और एक सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं (चित्र 1)।

चित्र 3 फ़ंक्शन के ग्राफ़ y = 8 + 2x - x 2 और y = 2x - 4

आइए एक सीधी रेखा y = 2x - 4 बनाएं। यह निर्देशांक अक्षों पर बिंदुओं (0;-4), (2;0) से होकर गुजरती है।

एक परवलय का निर्माण करने के लिए, आप 0x अक्ष के साथ इसके प्रतिच्छेदन बिंदुओं का भी उपयोग कर सकते हैं, अर्थात, समीकरण 8 + 2x – x 2 = 0 या x 2 – 2x – 8 = 0 की जड़ें। विएटा के प्रमेय का उपयोग करना, यह आसान है इसके मूल ज्ञात करने के लिए: x 1 = 2, x 2 = 4।

चित्र 3 इन रेखाओं से घिरा एक चित्र (परवलयिक खंड एम 1 एन एम 2) दिखाता है।

समस्या का दूसरा भाग इस आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है। इसका क्षेत्रफल सूत्र के अनुसार निश्चित समाकलन का उपयोग करके ज्ञात किया जा सकता है .

इस स्थिति के संबंध में, हम अभिन्न प्राप्त करते हैं:

2 घूर्णन पिंड के आयतन की गणना

O x अक्ष के चारों ओर वक्र y = f(x) के घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

O y अक्ष के चारों ओर घूमते समय, सूत्र इस प्रकार दिखता है:

टास्क नंबर 4. O x अक्ष के चारों ओर सीधी रेखाओं x = 0 x = 3 और वक्र y = से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार के घूर्णन से प्राप्त पिंड का आयतन निर्धारित करें।

समाधान।आइए एक चित्र बनाएं (चित्र 4)।

चित्र 4. फ़ंक्शन का ग्राफ़ y =

आवश्यक मात्रा है

टास्क नंबर 5. O y अक्ष के चारों ओर वक्र y = x 2 और सीधी रेखाओं y = 0 और y = 4 से घिरे एक घुमावदार समलम्बाकार के घूमने से प्राप्त पिंड के आयतन की गणना करें।

समाधान।हमारे पास है:

समीक्षा प्रश्न

इस लेख में आप सीखेंगे कि अभिन्न गणना का उपयोग करके रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। पहली बार हम हाई स्कूल में इस तरह की समस्या के सूत्रीकरण का सामना करते हैं, जब हमने निश्चित इंटीग्रल का अध्ययन पूरा कर लिया है और इसे शुरू करने का समय आ गया है ज्यामितीय व्याख्याव्यवहार में ज्ञान प्राप्त किया।

तो, इंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को सफलतापूर्वक हल करने के लिए क्या आवश्यक है:

• सक्षम चित्र बनाने की क्षमता;
• प्रसिद्ध न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके एक निश्चित अभिन्न को हल करने की क्षमता;
• अधिक लाभदायक समाधान विकल्प "देखने" की क्षमता - अर्थात। समझें कि किसी न किसी मामले में एकीकरण करना कैसे अधिक सुविधाजनक होगा? x-अक्ष (OX) के अनुदिश या y-अक्ष (OY) के अनुदिश?
• खैर, सही गणनाओं के बिना हम कहां होंगे?) इसमें यह समझना शामिल है कि अन्य प्रकार के अभिन्नों को कैसे हल किया जाए और संख्यात्मक गणनाओं को सही किया जाए।

रेखाओं से घिरी किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना की समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिदम:

1. हम एक चित्र बना रहे हैं। इसे बड़े पैमाने पर कागज के चेकदार टुकड़े पर करने की सलाह दी जाती है। हम प्रत्येक ग्राफ़ के ऊपर एक पेंसिल से इस फ़ंक्शन के नाम पर हस्ताक्षर करते हैं। ग्राफ़ पर हस्ताक्षर केवल आगे की गणना की सुविधा के लिए किया जाता है। वांछित आंकड़े का एक ग्राफ प्राप्त करने के बाद, ज्यादातर मामलों में यह तुरंत स्पष्ट हो जाएगा कि एकीकरण की कौन सी सीमा का उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार, हम समस्या को ग्राफिक रूप से हल करते हैं। हालाँकि, ऐसा होता है कि सीमाओं के मान भिन्नात्मक या अपरिमेय होते हैं। इसलिए, आप अतिरिक्त गणनाएँ कर सकते हैं, चरण दो पर जाएँ।

2. यदि एकीकरण की सीमाएँ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं हैं, तो हम एक दूसरे के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु पाते हैं और देखते हैं कि क्या हमारा ग्राफिकल समाधान विश्लेषणात्मक समाधान से मेल खाता है।

3. इसके बाद, आपको ड्राइंग का विश्लेषण करने की आवश्यकता है। फ़ंक्शन ग्राफ़ कैसे व्यवस्थित किए जाते हैं, इस पर निर्भर करता है अलग अलग दृष्टिकोणकिसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए. चलो गौर करते हैं विभिन्न उदाहरणइंटीग्रल्स का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने पर।

3.1. समस्या का सबसे क्लासिक और सरल संस्करण तब होता है जब आपको घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता होती है। घुमावदार समलम्बाकार क्या है? यह x-अक्ष द्वारा सीमित एक सपाट आकृति है (य = 0), सीधा एक्स = ए, एक्स = बीऔर से अंतराल पर निरंतर कोई वक्र एपहले बी. इसके अलावा, यह आंकड़ा गैर-नकारात्मक है और x-अक्ष के नीचे स्थित नहीं है। इस मामले में, वक्ररेखीय ट्रेपेज़ॉइड का क्षेत्र संख्यात्मक रूप से एक निश्चित अभिन्न अंग के बराबर है, जिसकी गणना न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके की जाती है:

उदाहरण 1 y = x2 – 3x + 3, x = 1, x = 3, y = 0.

आकृति किन रेखाओं से घिरी हुई है? हमारे पास एक परवलय है y = x2 – 3x + 3, जो अक्ष के ऊपर स्थित है ओह, यह गैर-नकारात्मक है, क्योंकि इस परवलय के सभी बिंदुओं का मान सकारात्मक है। आगे, सीधी रेखाएँ दी गई हैं एक्स = 1और एक्स = 3, जो अक्ष के समानांतर चलती है कहां, बाएँ और दाएँ चित्र की सीमा रेखाएँ हैं। कुंआ आप = 0, यह x-अक्ष भी है, जो नीचे से चित्र को सीमित करता है। परिणामी आकृति छायांकित है, जैसा कि बाईं ओर की आकृति से देखा जा सकता है। इस मामले में, आप तुरंत समस्या का समाधान शुरू कर सकते हैं। हमारे सामने एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड का एक सरल उदाहरण है, जिसे हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके हल करते हैं।

3.2. पिछले पैराग्राफ 3.1 में, हमने उस मामले की जांच की जब एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड एक्स-अक्ष के ऊपर स्थित है। अब उस मामले पर विचार करें जब समस्या की स्थितियाँ समान हों, सिवाय इसके कि फ़ंक्शन x-अक्ष के अंतर्गत है। मानक न्यूटन-लीबनिज सूत्र में एक ऋण जोड़ा जाता है। ऐसी समस्या को कैसे हल किया जाए, इस पर हम नीचे विचार करेंगे।

उदाहरण 2 . रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें y = x2 + 6x + 2, x = -4, x = -1, y = 0.

इस उदाहरण में हमारे पास एक परवलय है y = x2 + 6x + 2, जो अक्ष से उत्पन्न होता है ओह, सीधा एक्स = -4, एक्स = -1, वाई = 0. यहाँ आप = 0ऊपर से वांछित आंकड़े को सीमित करता है। प्रत्यक्ष एक्स = -4और एक्स = -1ये वे सीमाएँ हैं जिनके भीतर निश्चित अभिन्न की गणना की जाएगी। किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की समस्या को हल करने का सिद्धांत लगभग पूरी तरह से उदाहरण संख्या 1 से मेल खाता है। अंतर केवल इतना है कि दिया गया फ़ंक्शन सकारात्मक नहीं है, और अंतराल पर भी निरंतर है [-4; -1] . आपका क्या मतलब है सकारात्मक नहीं? जैसा कि चित्र से देखा जा सकता है, दिए गए x के भीतर मौजूद आंकड़े में विशेष रूप से "नकारात्मक" निर्देशांक हैं, जो कि समस्या को हल करते समय हमें देखने और याद रखने की आवश्यकता है। हम न्यूटन-लीबनिज सूत्र का उपयोग करके आकृति के क्षेत्र की तलाश करते हैं, केवल शुरुआत में एक ऋण चिह्न के साथ।

लेख पूरा नहीं हुआ है.

आइए अभिन्न कलन के अनुप्रयोगों पर विचार करने के लिए आगे बढ़ें। इस पाठ में हम विशिष्ट और सबसे सामान्य कार्य का विश्लेषण करेंगे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करना. अंततः, हर कोई इसमें अर्थ तलाश रहा है उच्च गणित- क्या वे उसे ढूंढ सकते हैं? आप कभी नहीं जानते। वास्तविक जीवन में, आपको प्राथमिक कार्यों का उपयोग करके एक डचा प्लॉट का अनुमान लगाना होगा और एक निश्चित अभिन्न अंग का उपयोग करके इसका क्षेत्रफल ज्ञात करना होगा।

सामग्री में सफलतापूर्वक महारत हासिल करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) कम से कम मध्यवर्ती स्तर पर अनिश्चितकालीन अभिन्न को समझें। इस प्रकार, नौसिखियों को पहले पाठ पढ़ना चाहिए नहीं.

2) न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने और निश्चित अभिन्न की गणना करने में सक्षम हो। आप पृष्ठ पर कुछ अभिन्न अंग के साथ मधुर मैत्रीपूर्ण संबंध स्थापित कर सकते हैं समाकलन परिभाषित करें. समाधान के उदाहरण. कार्य "एक निश्चित अभिन्न का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करें" में हमेशा एक चित्र बनाना शामिल होता है, इसीलिए सामयिक मुद्दाड्राइंग में आपका ज्ञान और कौशल भी रहेगा. कम से कम, आपको एक सीधी रेखा, परवलय और अतिपरवलय का निर्माण करने में सक्षम होना चाहिए।

आइए एक घुमावदार समलम्बाकार से शुरुआत करें। एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरी एक सपाट आकृति है य = एफ(एक्स), एक्सिस बैलऔर पंक्तियाँ एक्स = ए; एक्स = बी.

एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल संख्यात्मक रूप से एक निश्चित समाकलन के बराबर होता है

किसी भी निश्चित अभिन्न अंग (जो अस्तित्व में है) का एक बहुत अच्छा ज्यामितीय अर्थ होता है। सबक पर समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरणहमने कहा कि एक निश्चित अभिन्न एक संख्या है। और अब एक और उपयोगी तथ्य बताने का समय आ गया है। ज्यामिति की दृष्टि से निश्चित समाकलन क्षेत्रफल है. वह है, निश्चित अभिन्न (यदि यह मौजूद है) ज्यामितीय रूप से एक निश्चित आकृति के क्षेत्र से मेल खाता है. निश्चित अभिन्न पर विचार करें

इंटीग्रैंड

समतल पर एक वक्र को परिभाषित करता है (यदि वांछित हो तो इसे खींचा जा सकता है), और निश्चित अभिन्न अंग संख्यात्मक रूप से संबंधित वक्रीय समलम्बाकार क्षेत्र के बराबर होता है।

उदाहरण 1

, , , .

यह एक विशिष्ट असाइनमेंट स्टेटमेंट है. निर्णय में सबसे महत्वपूर्ण बिंदु ड्राइंग का निर्माण है. इसके अलावा, ड्राइंग का निर्माण किया जाना चाहिए सही.

चित्र बनाते समय, मैं निम्नलिखित क्रम की अनुशंसा करता हूँ: सर्वप्रथमसभी सीधी रेखाओं (यदि वे मौजूद हैं) का निर्माण करना बेहतर है और केवल तब– परवलय, अतिपरवलय, अन्य फलनों के ग्राफ़। बिंदु-दर-बिंदु निर्माण तकनीक संदर्भ सामग्री में पाई जा सकती है प्राथमिक कार्यों के रेखांकन और गुण. वहां आप हमारे पाठ के लिए बहुत उपयोगी सामग्री भी पा सकते हैं - कैसे जल्दी से एक परवलय का निर्माण करें।

इस समस्या में, समाधान इस तरह दिख सकता है.

चलिए ड्राइंग बनाते हैं (ध्यान दें कि समीकरण य= 0 अक्ष निर्दिष्ट करता है बैल):

हम घुमावदार समलम्बाकार को छायांकित नहीं करेंगे, यहां यह स्पष्ट है कि हम किस क्षेत्र के बारे में बात कर रहे हैं। समाधान इस प्रकार जारी है:

खंड पर [-2; 1] फ़ंक्शन ग्राफ़ य = एक्स 2 + 2 स्थित है अक्ष के ऊपरबैल, इसीलिए:

उत्तर: .

जिन्हें निश्चित समाकलन की गणना करने तथा न्यूटन-लीबनिज सूत्र को लागू करने में कठिनाई होती है

,

व्याख्यान का संदर्भ लें समाकलन परिभाषित करें। समाधान के उदाहरण. कार्य पूरा होने के बाद, ड्राइंग को देखना और यह पता लगाना हमेशा उपयोगी होता है कि उत्तर वास्तविक है या नहीं। इस मामले में, हम चित्र में कोशिकाओं की संख्या "आंख से" गिनते हैं - ठीक है, लगभग 9 होंगे, जो सच प्रतीत होता है। यह पूरी तरह से स्पष्ट है कि यदि हमें उत्तर मिला, तो कहें: 20 वर्ग इकाइयाँ, तो यह स्पष्ट है कि कहीं न कहीं गलती हुई है - 20 कोशिकाएँ स्पष्ट रूप से प्रश्न में दिए गए आंकड़े में फिट नहीं होती हैं, अधिकतम एक दर्जन। यदि उत्तर नकारात्मक है, तो कार्य भी गलत तरीके से हल किया गया था।

उदाहरण 2

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें xy = 4, एक्स = 2, एक्स= 4 और अक्ष बैल.

यह आपके लिए स्वयं हल करने का एक उदाहरण है। संपूर्ण समाधानऔर पाठ के अंत में उत्तर।

यदि घुमावदार समलम्बाकार स्थित हो तो क्या करें धुरी के नीचेबैल?

उदाहरण 3

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें य = पूर्व, एक्स= 1 और निर्देशांक अक्ष.

समाधान: आइए एक चित्र बनाएं:

यदि एक घुमावदार समलम्बाकार पूरी तरह से धुरी के नीचे स्थित है बैल , तो इसका क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

इस मामले में:

.

ध्यान! दो प्रकार के कार्यों को भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए:

1) यदि आपसे बिना किसी ज्यामितीय अर्थ के केवल एक निश्चित समाकलन को हल करने के लिए कहा जाए, तो यह नकारात्मक हो सकता है।

2) यदि आपसे एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए कहा जाए, तो क्षेत्रफल हमेशा सकारात्मक होता है! यही कारण है कि जिस सूत्र पर अभी चर्चा की गई है उसमें माइनस दिखाई देता है।

व्यवहार में, अक्सर यह आंकड़ा ऊपरी और निचले आधे तल दोनों में स्थित होता है, और इसलिए, सबसे सरल स्कूली समस्याओं से हम अधिक सार्थक उदाहरणों की ओर बढ़ते हैं।

उदाहरण 4

रेखाओं से घिरी एक समतल आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए य = 2एक्स – एक्स 2 , य = -एक्स.

समाधान: सबसे पहले आपको एक चित्र बनाना होगा। क्षेत्र की समस्याओं में एक चित्र बनाते समय, हम रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं में सबसे अधिक रुचि रखते हैं। आइए परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें य = 2एक्स – एक्स 2 और सीधा य = -एक्स. इसे दो तरीकों से किया जा सकता है। पहली विधि विश्लेषणात्मक है. हम समीकरण हल करते हैं:

इसका मतलब है कि एकीकरण की निचली सीमा ए= 0, एकीकरण की ऊपरी सीमा बी= 3. बिंदु दर बिंदु रेखाएँ बनाना अक्सर अधिक लाभदायक और तेज़ होता है, और एकीकरण की सीमाएँ "स्वयं ही" स्पष्ट हो जाती हैं। फिर भी, सीमाएं खोजने की विश्लेषणात्मक विधि का उपयोग अभी भी कभी-कभी करना पड़ता है, उदाहरण के लिए, ग्राफ काफी बड़ा है, या विस्तृत निर्माण एकीकरण की सीमाओं को प्रकट नहीं करता है (वे भिन्नात्मक या तर्कहीन हो सकते हैं)। आइए अपने कार्य पर वापस लौटें: पहले एक सीधी रेखा बनाना और उसके बाद ही एक परवलय बनाना अधिक तर्कसंगत है। आइए चित्र बनाएं:

आइए हम दोहराएँ कि बिंदुवार निर्माण करते समय, एकीकरण की सीमाएँ अक्सर "स्वचालित रूप से" निर्धारित की जाती हैं।

और अब कार्य सूत्र:

यदि खंड पर [ ए; बी] कुछ निरंतर कार्य एफ(एक्स) इससे बड़ा या इसके बराबरकुछ सतत कार्य जी(एक्स), तो संबंधित आकृति का क्षेत्रफल सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है:

यहां अब आपको यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि आकृति कहाँ स्थित है - अक्ष के ऊपर या अक्ष के नीचे, लेकिन यह मायने रखता है कि कौन सा ग्राफ़ अधिक है(दूसरे ग्राफ़ के सापेक्ष), और नीचे कौन सा है.

विचाराधीन उदाहरण में, यह स्पष्ट है कि खंड पर परवलय सीधी रेखा के ऊपर स्थित है, और इसलिए 2 से एक्स – एक्स 2 घटाया जाना चाहिए - एक्स.

पूरा समाधान इस तरह दिख सकता है:

वांछित आंकड़ा एक परवलय द्वारा सीमित है य = 2एक्स – एक्स 2 शीर्ष पर और सीधे य = -एक्सनीचे।

खंड 2 पर एक्स – एक्स 2 ≥ -एक्स. संबंधित सूत्र के अनुसार:

उत्तर: .

वास्तव में, निचले आधे तल में एक घुमावदार ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए स्कूल सूत्र (उदाहरण संख्या 3 देखें) है विशेष मामलासूत्रों

.

क्योंकि धुरी बैलसमीकरण द्वारा दिया गया य= 0, और फ़ंक्शन का ग्राफ़ जी(एक्स) अक्ष के नीचे स्थित है बैल, वह

.

और अब आपके अपने समाधान के लिए कुछ उदाहरण

उदाहरण 5

उदाहरण 6

रेखाओं से घिरी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक निश्चित समाकलन का उपयोग करके क्षेत्रफल की गणना करने से जुड़ी समस्याओं को हल करते समय, कभी-कभी एक अजीब घटना घटती है। ड्राइंग तो सही बनी थी, हिसाब भी सही था, लेकिन लापरवाही के कारण... ग़लत आकृति का क्षेत्रफल पाया गया.

उदाहरण 7

सबसे पहले आइए एक चित्र बनाएं:

वह आकृति जिसका क्षेत्रफल हमें ज्ञात करना है वह नीले रंग से छायांकित है(स्थिति को ध्यान से देखें - यह आंकड़ा कितना सीमित है!)। लेकिन व्यवहार में, असावधानी के कारण, वे अक्सर निर्णय लेते हैं कि उन्हें छायांकित आकृति का क्षेत्र खोजने की आवश्यकता है हरा!

यह उदाहरण इसलिए भी उपयोगी है क्योंकि यह दो निश्चित समाकलनों का उपयोग करके किसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करता है। वास्तव में:

1) खंड पर [-1; 1] अक्ष के ऊपर बैलग्राफ सीधा स्थित है य = एक्स+1;

2) अक्ष के ऊपर एक खंड पर बैलहाइपरबोला का ग्राफ स्थित है य = (2/एक्स).

यह बिल्कुल स्पष्ट है कि क्षेत्रों को जोड़ा जा सकता है (और जोड़ा जाना चाहिए), इसलिए:

उत्तर:

उदाहरण 8

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

आइए समीकरणों को "स्कूल" रूप में प्रस्तुत करें

और बिंदु-दर-बिंदु चित्र बनाएं:

चित्र से यह स्पष्ट है कि हमारी ऊपरी सीमा "अच्छी" है: बी = 1.

लेकिन निचली सीमा क्या है?! यह स्पष्ट है कि यह पूर्णांक नहीं है, लेकिन यह क्या है?

शायद, ए=(-1/3)? लेकिन इस बात की क्या गारंटी है कि चित्र पूर्ण सटीकता के साथ बनाया गया है, यह अच्छी तरह से हो सकता है ए=(-1/4). यदि हमने ग्राफ़ गलत तरीके से बनाया तो क्या होगा?

ऐसे मामलों में, आपको अतिरिक्त समय बिताना होगा और विश्लेषणात्मक रूप से एकीकरण की सीमाओं को स्पष्ट करना होगा।

आइए ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें

ऐसा करने के लिए, हम समीकरण हल करते हैं:

.

इस तरह, ए=(-1/3).

आगे का समाधान तुच्छ है. मुख्य बात यह है कि प्रतिस्थापन और संकेतों में भ्रमित न हों। यहां गणनाएं सबसे सरल नहीं हैं. खंड पर

, ,

उपयुक्त सूत्र के अनुसार:

उत्तर:

पाठ को समाप्त करने के लिए, आइए दो और कठिन कार्यों पर नजर डालें।

उदाहरण 9

रेखाओं से घिरी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करें

समाधान: आइए इस आकृति को चित्र में चित्रित करें।

बिंदु-दर-बिंदु रेखाचित्र बनाने के लिए, आपको साइनसॉइड की उपस्थिति जानने की आवश्यकता है। सामान्य तौर पर, सभी प्रारंभिक कार्यों के ग्राफ़, साथ ही कुछ साइन मानों को जानना उपयोगी होता है। उन्हें मूल्यों की तालिका में पाया जा सकता है त्रिकोणमितीय कार्य . कुछ मामलों में (उदाहरण के लिए, इस मामले में), एक योजनाबद्ध ड्राइंग बनाना संभव है, जिस पर एकीकरण के ग्राफ़ और सीमाएं मौलिक रूप से सही ढंग से प्रदर्शित की जानी चाहिए।

यहां एकीकरण की सीमाओं के साथ कोई समस्या नहीं है, वे सीधे स्थिति से अनुसरण करते हैं:

- "x" शून्य से "pi" में बदल जाता है। आइए आगे का निर्णय लें:

एक खंड पर, एक फ़ंक्शन का ग्राफ़ य= पाप 3 एक्सअक्ष के ऊपर स्थित है बैल, इसीलिए:

(1) आप पाठ में देख सकते हैं कि कैसे साइन और कोसाइन विषम घातों में एकीकृत होते हैं त्रिकोणमितीय फलनों का समाकलन. हम एक साइनस को चुटकी बजाते हैं।

(2) हम फॉर्म में मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करते हैं

(3) आइए वेरिएबल बदलें टी=क्योंकि एक्स, तब: अक्ष के ऊपर स्थित है, इसलिए:

.

.

टिप्पणी:ध्यान दें कि स्पर्शरेखा घन का अभिन्न अंग कैसे लिया जाता है; यहां मूल त्रिकोणमितीय पहचान का परिणाम उपयोग किया जाता है;

.