मोंटे कार्लो सूत्रों की स्थैतिक मॉडलिंग विधि। मोंटे कार्लो सिमुलेशन कैसे किया जाता है. "ऑब्जेक्ट-मॉडल" संबंध में कोई अवधारणाएं नहीं हैं

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✪ रूलऑफथंब - मोंटे कार्लो विधि

✪ दिमित्री कज़कोव - क्वार्क्स

✪ [संवाद]: अनुप्रयुक्त अनुसंधान में गणितीय तरीकों की प्रतिभा और गरीबी

✪ व्याख्यान 1: गणना त्रुटियाँ

✪ ऐलेना ब्राउन - द मिथ ऑफ़ रिचर्ड lll

उपशीर्षक

कहानी

पाई निर्धारित करने के लिए बफ़न का एल्गोरिदम

	थ्रो की संख्या	चौराहों की संख्या	सुई की लंबाई	लाइनों के बीच की दूरी	ROTATION	पाई मान	गलती
पहला प्रयास	500	236	3	4	अनुपस्थित	3.1780	+3,6⋅10 -2
दूसरा प्रयास	530	253	3	4	उपस्थित	3.1423	+7,0⋅10 -4
तीसरा प्रयास	590	939	5	2	उपस्थित	3.1416	+4,7⋅10 -5

टिप्पणियाँ:

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं और विभेदक समीकरणों के बीच संबंध

स्टोकेस्टिक विधियों के गणितीय तंत्र का निर्माण 19वीं शताब्दी के अंत में शुरू हुआ। 1899 में, लॉर्ड रेले ने दिखाया कि अनंत जाली पर एक-आयामी यादृच्छिक चलना एक प्रकार के परवलयिक अंतर समीकरण का अनुमानित समाधान दे सकता है। 1931 में आंद्रेई निकोलाइविच कोलमोगोरोव ने विभिन्न गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण के विकास को एक बड़ा प्रोत्साहन दिया, क्योंकि वह यह साबित करने में सक्षम थे कि मार्कोव श्रृंखलाएं कुछ पूर्णांक-अंतर समीकरणों से संबंधित हैं। 1933 में, इवान जॉर्जिएविच पेत्रोव्स्की ने दिखाया कि मार्कोव श्रृंखला बनाने वाला यादृच्छिक चलना अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण के समाधान से असम्बद्ध रूप से संबंधित है। इन खोजों के बाद, यह स्पष्ट हो गया कि स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को अंतर समीकरणों द्वारा वर्णित किया जा सकता है और तदनुसार, उस समय इन समीकरणों को हल करने के लिए अच्छी तरह से विकसित गणितीय तरीकों का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है।

लॉस अलामोस में मोंटे कार्लो पद्धति का जन्म

यह विचार उलम द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने बीमारी से उबरने के दौरान सॉलिटेयर खेलते समय सोचा था कि क्या संभावना है कि सॉलिटेयर गेम काम करेगा। ऐसी समस्याओं के लिए सामान्य कॉम्बिनेटरिक्स विचारों का उपयोग करने के बजाय, उलम ने सुझाव दिया कि कोई भी प्रयोग को बड़ी संख्या में कर सकता है और, सफल परिणामों की संख्या की गणना करके, संभावना का अनुमान लगा सकता है। उन्होंने मोंटे कार्लो गणना के लिए कंप्यूटर का उपयोग करने का भी प्रस्ताव रखा।

पहले इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटरों के आगमन, जो उच्च गति पर छद्म यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न कर सकते थे, ने नाटकीय रूप से समस्याओं की सीमा का विस्तार किया जिसके लिए स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण अन्य गणितीय तरीकों की तुलना में अधिक प्रभावी साबित हुआ। इसके बाद, एक बड़ी सफलता मिली और मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग कई समस्याओं में किया गया, लेकिन दी गई सटीकता के साथ उत्तर प्राप्त करने के लिए आवश्यक बड़ी संख्या में गणनाओं के कारण इसका उपयोग हमेशा उचित नहीं था।

मोंटे कार्लो पद्धति का जन्म वर्ष 1949 माना जाता है, जब मेट्रोपोलिस और उलम का लेख "द मोंटे कार्लो मेथड" प्रकाशित हुआ था। विधि का नाम मोनाको की रियासत में एक कम्यून के नाम से आया है, जो व्यापक रूप से अपने कई कैसीनो के लिए जाना जाता है, क्योंकि रूलेट सबसे व्यापक रूप से ज्ञात यादृच्छिक संख्या जनरेटर में से एक है। स्टैनिस्लाव उलम ने अपनी आत्मकथा, एडवेंचर्स ऑफ अ मैथमेटिशियन में लिखा है कि यह नाम निकोलस मेट्रोपोलिस ने अपने चाचा, जो एक जुआरी थे, के सम्मान में सुझाया था।

आगे का विकास और आधुनिकता

मोंटे कार्लो एकीकरण

मान लीजिए हमें किसी फ़ंक्शन का अभिन्न अंग लेने की आवश्यकता है। आइए अभिन्न के अनौपचारिक ज्यामितीय विवरण का उपयोग करें और इसे इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र के रूप में समझें।

इस क्षेत्र को निर्धारित करने के लिए, आप सामान्य संख्यात्मक एकीकरण विधियों में से एक का उपयोग कर सकते हैं: खंड को उप-खंडों में विभाजित करें, उनमें से प्रत्येक पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के तहत क्षेत्र की गणना करें और जोड़ें। आइए मान लें कि चित्र 2 में प्रस्तुत फ़ंक्शन के लिए, इसे 25 खंडों में विभाजित करना पर्याप्त है और इसलिए, 25 फ़ंक्शन मानों की गणना करें। आइए अब कल्पना करें कि हम किसके साथ काम कर रहे हैं एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)-आयामी कार्य. फिर हमें चाहिए 25 एन (\डिस्प्लेस्टाइल 25^(एन))खंड और फ़ंक्शन मान की समान संख्या में गणना। जब फ़ंक्शन का आयाम 10 से अधिक होता है, तो समस्या बहुत बड़ी हो जाती है। चूंकि उच्च-आयामी स्थान होते हैं, विशेष रूप से, स्ट्रिंग सिद्धांत समस्याओं के साथ-साथ कई अन्य भौतिक समस्याओं में जहां स्वतंत्रता की कई डिग्री वाली प्रणालियां होती हैं, एक समाधान विधि का होना आवश्यक है जिसकी कम्प्यूटेशनल जटिलता इतनी दृढ़ता से निर्भर न हो आयाम। यह ठीक वही गुण है जो मोंटे कार्लो पद्धति में है।

पारंपरिक मोंटे कार्लो एकीकरण एल्गोरिदम

मान लीजिए हमें गणना करने की आवश्यकता है समाकलन परिभाषित करें ∫ a b f (x) d x (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx)

यादृच्छिक चर पर विचार करें यू (\डिस्प्लेस्टाइल यू), एकीकरण अंतराल पर समान रूप से वितरित। तब यह भी एक यादृच्छिक चर होगा, और इसकी गणितीय अपेक्षा इस प्रकार व्यक्त की जाती है
E f (u) = ∫ a b f (x) φ (x) d x (\displaystyle \mathbb (E) f(u)=\int \limits _(a)^(b)f(x)\varphi (x) \,dx), कहाँ φ (x) (\displaystyle \varphi (x))- वितरण घनत्व अनियमित परिवर्तनशील वस्तु यू (\डिस्प्लेस्टाइल यू), बराबर 1 b − a (\displaystyle (\frac (1)(b-a)))स्थान चालू [ ए , बी ] (\डिस्प्लेस्टाइल).

इस प्रकार, आवश्यक अभिन्न को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है
∫ a b f (x) d x = (b − a) E f (u) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx=(b-a)\mathbb (E) f( यू)).

लेकिन एक यादृच्छिक चर की गणितीय अपेक्षा एफ (यू) (\डिस्प्लेस्टाइल एफ(यू))इस यादृच्छिक चर का अनुकरण करके और नमूना माध्य की गणना करके आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है।

तो, चलो छोड़ें एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन)अंक समान रूप से वितरित [ ए , बी ] (\डिस्प्लेस्टाइल), प्रत्येक बिंदु के लिए तुम मैं (\displaystyle u_(i)) calculate f (u i) (\displaystyle f(u_(i))). फिर हम नमूना माध्य की गणना करते हैं: 1 N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle (\frac (1)(N))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i))).

परिणामस्वरूप, हमें अभिन्न का अनुमान प्राप्त होता है: ∫ a b f (x) d x ≈ b − a N ∑ i = 1 N f (u i) (\displaystyle \int \limits _(a)^(b)f(x)\,dx\approx (\frac (b-a) (एन))\sum _(i=1)^(N)f(u_(i)))

अनुमान की सटीकता केवल अंकों की संख्या पर निर्भर करती है एन (\डिस्प्लेस्टाइल एन).

इस विधि की एक ज्यामितीय व्याख्या भी है। यह ऊपर वर्णित नियतात्मक विधि के समान है, इस अंतर के साथ कि एकीकरण क्षेत्र को छोटे अंतरालों में समान रूप से विभाजित करने और परिणामी "कॉलम" के क्षेत्रों को जोड़ने के बजाय, हम एकीकरण क्षेत्र पर यादृच्छिक बिंदु फेंकते हैं, जिनमें से प्रत्येक पर हम उसी "कॉलम" का निर्माण करें, इसकी चौड़ाई कैसे निर्धारित करें b - a N (\displaystyle (\frac (b-a)(N))), और उनके क्षेत्रों का योग करें।

ज्यामितीय मोंटे कार्लो एकीकरण एल्गोरिदम

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र निर्धारित करने के लिए, आप निम्नलिखित स्टोकेस्टिक एल्गोरिदम का उपयोग कर सकते हैं:

एकीकृत फ़ंक्शन के आयामों की एक छोटी संख्या के लिए, मोंटे कार्लो एकीकरण का प्रदर्शन नियतात्मक तरीकों के प्रदर्शन से बहुत कम है। हालाँकि, कुछ मामलों में, जब फ़ंक्शन को अंतर्निहित रूप से निर्दिष्ट किया जाता है, और जटिल असमानताओं के रूप में निर्दिष्ट क्षेत्र को निर्धारित करना आवश्यक होता है, तो स्टोकेस्टिक विधि अधिक बेहतर हो सकती है।

महत्व नमूने का उपयोग करना

समान संख्या में यादृच्छिक बिंदुओं के साथ, वांछित फ़ंक्शन को सीमित करने वाले क्षेत्र को फ़ंक्शन के करीब लाकर गणना की सटीकता को बढ़ाया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, वितरण के साथ यादृच्छिक चर का उपयोग करना आवश्यक है जिसका आकार एकीकृत किए जा रहे फ़ंक्शन के आकार के जितना संभव हो उतना करीब हो। यह मोंटे कार्लो गणना में अभिसरण में सुधार के तरीकों में से एक का आधार है: महत्व नमूनाकरण।

अनुकूलन

अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए मोंटे कार्लो पद्धति की विविधताओं का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सिम्युलेटेड एनीलिंग एल्गोरिदम।

भौतिकी में अनुप्रयोग

कंप्यूटर मॉडलिंग आधुनिक भौतिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है और मोंटे कार्लो पद्धति कई क्षेत्रों में सबसे आम में से एक है क्वांटम भौतिकीठोस अवस्था भौतिकी, प्लाज्मा भौतिकी और खगोल भौतिकी के लिए।

मेट्रोपोलिस एल्गोरिथम

परंपरागत रूप से, मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग थर्मोडायनामिक संतुलन की स्थिति में सिस्टम के विभिन्न भौतिक मापदंडों को निर्धारित करने के लिए किया गया है। आइए मान लें कि एक भौतिक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं का एक सेट है एस (\डिस्प्लेस्टाइल एस). औसत मूल्य निर्धारित करने के लिए ए ¯ (\डिस्प्लेस्टाइल (\ओवरलाइन (ए)))कुछ आकार ए (\डिस्प्लेस्टाइल ए)गणना करने की आवश्यकता है A ¯ = ∑ S A (S) P (S) (\displaystyle (\overline (A))=\sum _(S)A(S)P(S)), जहां सभी राज्यों का योग किया जाता है एस (\डिस्प्लेस्टाइल एस)से डब्ल्यू (एस) (\प्रदर्शन शैली डब्ल्यू(एस)), पी (एस) (\डिस्प्लेस्टाइल पी(एस))- राज्य संभावना एस (\डिस्प्लेस्टाइल एस).

गतिशील (गतिज) सूत्रीकरण

डायरेक्ट मोंटे कार्लो सिमुलेशन

किसी भी भौतिक प्रक्रिया के प्रत्यक्ष मोंटे कार्लो मॉडलिंग में भौतिक प्रणाली के व्यक्तिगत प्राथमिक भागों के व्यवहार का मॉडलिंग शामिल होता है। संक्षेप में, यह प्रत्यक्ष मॉडलिंग पहले सिद्धांतों से समस्या को हल करने के करीब है, लेकिन आमतौर पर, गणना में तेजी लाने के लिए, कुछ भौतिक अनुमानों के उपयोग की अनुमति है। एक उदाहरण आणविक गतिशीलता पद्धति का उपयोग करके विभिन्न प्रक्रियाओं की गणना है: एक ओर, सिस्टम को उसके प्राथमिक घटकों के व्यवहार के माध्यम से वर्णित किया जाता है, दूसरी ओर, उपयोग की जाने वाली इंटरैक्शन क्षमता अक्सर अनुभवजन्य होती है।

प्रत्यक्ष मोंटे कार्लो सिमुलेशन के उदाहरण:

• विकिरण अनुकरण एसएनएफबाइनरी टकराव सन्निकटन में आयन।
• दुर्लभ गैसों का प्रत्यक्ष मोंटे कार्लो अनुकरण।
• अधिकांश गतिज मोंटे कार्लो मॉडल प्रत्यक्ष हैं (विशेष रूप से, आणविक बीम एपिटेक्सी का अध्ययन)।

क्वांटम मोंटे कार्लो विधि

जटिल अणुओं और ठोस पदार्थों का अध्ययन करने के लिए क्वांटम मोंटे कार्लो विधि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह नाम कई अलग-अलग तरीकों को जोड़ता है। उनमें से पहला वैरिएबल मोंटे कार्लो विधि है, जो अनिवार्य रूप से श्रोडिंगर समीकरण को हल करते समय उत्पन्न होने वाले बहुआयामी अभिन्नों का संख्यात्मक एकीकरण है। 1000 इलेक्ट्रॉनों से जुड़ी किसी समस्या को हल करने के लिए 3000-आयामी इंटीग्रल लेने की आवश्यकता होती है, और ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए मोंटे कार्लो पद्धति में अन्य संख्यात्मक एकीकरण विधियों की तुलना में बड़ा प्रदर्शन लाभ होता है। मोंटे कार्लो विधि का एक अन्य रूप प्रसार मोंटे कार्लो विधि है।

व्याख्यान 5.

मोंटे कार्लो विधि

विषय 3. प्रक्रियाओं कतारआर्थिक प्रणालियों में

1. परिचयात्मक टिप्पणियाँ. 1

2. मोंटे कार्लो पद्धति की सामान्य योजना। 2

3. मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके कतार प्रणाली की गणना का एक उदाहरण। 4

परीक्षण प्रश्न...5

1. परिचयात्मक टिप्पणियाँ

कंप्यूटर पर सांख्यिकीय मॉडलिंग की विधि सैद्धांतिक आधार के रूप में संभाव्यता सिद्धांत के सीमा प्रमेयों का उपयोग करके, स्टोकेस्टिक सिस्टम के सिमुलेशन मॉडल का उपयोग करके परिणाम प्राप्त करने की मुख्य विधि है। इसका आधार मोंटे कार्लो सांख्यिकीय परीक्षण पद्धति है।

मोंटे कार्लो विधि को उनके वितरण की विशेषताओं की गणना करने के लिए यादृच्छिक चर का अनुकरण करने की एक विधि के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। एक नियम के रूप में, यह माना जाता है कि मॉडलिंग इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर का उपयोग करके की जाती है, हालांकि कुछ मामलों में टेप माप, पेंसिल और कागज जैसे उपकरणों का उपयोग करके सफलता प्राप्त की जा सकती है।

शब्द "मोंटे कार्लो विधि" (जे. वॉन न्यूमैन द्वारा 1940 के दशक में गढ़ा गया) एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर का उपयोग करके प्रक्रियाओं के अनुकरण को संदर्भित करता है। मोंटे कार्लो (एक शहर जो अपने कैसीनो के लिए व्यापक रूप से जाना जाता है) शब्द इस तथ्य से आया है कि "संख्या की बाधाओं" (मोंटे कार्लो सिमुलेशन तकनीक) का उपयोग पहले के विकास में जटिल समीकरणों के अभिन्न अंग खोजने के उद्देश्य से किया गया था। परमाणु बम(क्वांटम यांत्रिकी के अभिन्न अंग)। उदाहरण के लिए, कई वितरणों से यादृच्छिक संख्याओं के बड़े नमूने उत्पन्न करके, इन (जटिल) वितरणों के अभिन्न अंग (उत्पन्न) डेटा से अनुमानित किए जा सकते हैं।

अनुमानित गणना के क्षेत्र में यादृच्छिक घटनाओं का उपयोग करने के विचार के उद्भव का श्रेय आमतौर पर 1878 को दिया जाता है, जब समानांतर रेखाओं से चिह्नित कागज पर एक सुई को यादृच्छिक रूप से फेंककर संख्या पी निर्धारित करने पर हॉल का काम सामने आया। मामले का सार प्रयोगात्मक रूप से एक घटना को पुन: पेश करना है, जिसकी संभावना संख्या पी के माध्यम से व्यक्त की जाती है, और इस संभावना का लगभग अनुमान लगाना है।

मोंटे कार्लो पद्धति पर घरेलू कार्य वर्षों में सामने आए। दो दशकों में, मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करते हुए एक व्यापक ग्रंथ सूची जमा की गई है, जिसमें 2000 से अधिक शीर्षक शामिल हैं। इसके अलावा, कार्यों के शीर्षकों पर एक त्वरित नज़र भी किसी को समाधान के लिए मोंटे कार्लो पद्धति की प्रयोज्यता के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देती है। लागू समस्याएँसे बड़ी संख्या मेंविज्ञान और प्रौद्योगिकी के क्षेत्र.

प्रारंभ में, मोंटे कार्लो विधि का उपयोग मुख्य रूप से न्यूट्रॉन भौतिकी में समस्याओं को हल करने के लिए किया गया था, जहां पारंपरिक संख्यात्मक विधियां बहुत कम उपयोगी साबित हुईं। इसके अलावा, उनका प्रभाव सांख्यिकीय भौतिकी में समस्याओं के एक विस्तृत वर्ग तक फैल गया, जो सामग्री में बहुत भिन्न थे। विज्ञान की जिन शाखाओं में मोंटे कार्लो पद्धति का तेजी से उपयोग किया जा रहा है उनमें कतार के सिद्धांत की समस्याएं, गेम सिद्धांत और गणितीय अर्थशास्त्र की समस्याएं, हस्तक्षेप की उपस्थिति में संदेश संचरण के सिद्धांत की समस्याएं और कई अन्य शामिल हैं।

मोंटे कार्लो पद्धति ने कम्प्यूटेशनल गणित की पद्धति के विकास (उदाहरण के लिए, संख्यात्मक एकीकरण विधियों का विकास) पर महत्वपूर्ण प्रभाव डाला है और जारी रखा है और, कई समस्याओं को हल करने में, अन्य कम्प्यूटेशनल विधियों के साथ सफलतापूर्वक जोड़ा गया है और उन्हें पूरक बनाया गया है। . इसका उपयोग मुख्य रूप से उन समस्याओं में उचित है जो संभाव्यता-सैद्धांतिक विवरण की अनुमति देते हैं। इसे संभावित सामग्री वाली समस्याओं में एक निश्चित संभावना के साथ उत्तर प्राप्त करने की स्वाभाविकता और समाधान प्रक्रिया के महत्वपूर्ण सरलीकरण दोनों द्वारा समझाया गया है। कंप्यूटर पर किसी विशेष समस्या को हल करने की कठिनाई काफी हद तक उसे मशीन की "भाषा" में अनुवाद करने की कठिनाई से निर्धारित होती है। स्वचालित प्रोग्रामिंग भाषाओं के निर्माण ने इस कार्य के चरणों में से एक को काफी सरल बना दिया है। इसलिए, वर्तमान में सबसे कठिन चरण हैं: अध्ययन के तहत घटना का गणितीय विवरण, समस्या का आवश्यक सरलीकरण, एक उपयुक्त संख्यात्मक विधि का चयन, इसकी त्रुटि का अध्ययन और एल्गोरिदम की रिकॉर्डिंग। ऐसे मामलों में जहां समस्या का संभाव्यता-सैद्धांतिक विवरण है, मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग उल्लिखित मध्यवर्ती चरणों को महत्वपूर्ण रूप से सरल बना सकता है। हालाँकि, जैसा कि निम्नलिखित से पता चलेगा, कई मामलों में मोंटे कार्लो पद्धति का आगे उपयोग करने के लिए एक संभाव्य मॉडल (मूल समस्या को यादृच्छिक बनाना) बनाना कड़ाई से नियतात्मक समस्याओं के लिए भी उपयोगी है।

2. मोंटे कार्लो पद्धति की सामान्य योजना

मान लीजिए कि हमें किसी अज्ञात मात्रा m की गणना करने की आवश्यकता है, और हम इसे एक यादृच्छिक चर पर विचार करके करना चाहते हैं जैसे कि इसकी गणितीय अपेक्षा M, = m है। माना कि इस यादृच्छिक चर का प्रसरण D = b है।

आइए एन यादृच्छिक स्वतंत्र चर पर विचार करें,..., जिनका वितरण विचाराधीन यादृच्छिक चर के वितरण के साथ मेल खाता है ξ..gif" width='247' ऊंचाई='48'>

अंतिम संबंध को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है

परिणामी सूत्र m की गणना करने की एक विधि और इस विधि की त्रुटि का अनुमान देता है।

मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करने का सार एक निश्चित निर्णय लेने के समय प्राप्त आंकड़ों के आधार पर परिणाम निर्धारित करना है।

उदाहरण के लिए।मान लीजिए E1 और E2 किसी यादृच्छिक प्रक्रिया के केवल दो संभावित कार्यान्वयन हैं, और p1 परिणाम E1 की संभावना है, और p2 = 1 - p1 परिणाम E2 की संभावना है। यह निर्धारित करने के लिए कि इस मामले में ई1 या ई2, दोनों में से कौन सी घटना घटित होती है, हम 0 और 1 के बीच के अंतराल में एक यादृच्छिक संख्या लेते हैं, जो अंतराल (0, 1) में समान रूप से वितरित होती है, और एक परीक्षण करते हैं। परिणाम E1 तब घटित होगा यदि, और परिणाम E2 अन्यथा घटित होगा।

इस प्रकार, मोंटे कार्लो विधि का उपयोग करके प्राप्त परिणामों की विश्वसनीयता यादृच्छिक संख्या जनरेटर की गुणवत्ता द्वारा निर्णायक रूप से निर्धारित की जाती है।

कंप्यूटर पर यादृच्छिक संख्याएँ प्राप्त करने के लिए, पीढ़ी के तरीकों का उपयोग किया जाता है, जो आमतौर पर एक निश्चित ऑपरेशन को कई बार दोहराने पर आधारित होते हैं। इस तरह से प्राप्त अनुक्रम को अधिक उचित रूप से छद्म यादृच्छिक संख्या कहा जाता है, क्योंकि उत्पन्न अनुक्रम आवधिक है और, एक निश्चित क्षण से शुरू होकर, संख्याएँ दोहराई जाने लगेंगी। यह इस तथ्य से पता चलता है कि कंप्यूटर कोड में केवल एक सीमित संख्या ही लिखी जा सकती है अलग-अलग नंबर. नतीजतन, अंत में उत्पन्न संख्या γ1 में से एक अनुक्रम γL के पिछले सदस्यों में से एक के साथ मेल खाएगा। और चूंकि पीढ़ी फॉर्म के एक सूत्र के अनुसार की जाती है

γк+1 = एफ(γk),

इस क्षण से, अनुक्रम के शेष सदस्यों को दोहराया जाएगा।

समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याओं का उपयोग मोंटे कार्लो सिमुलेशन का आधार बनता है। हम कह सकते हैं कि यदि मोंटे कार्लो विधि का उपयोग करके एक निश्चित यादृच्छिक चर निर्धारित किया गया था, तो इसकी गणना के लिए समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याओं के अनुक्रम का उपयोग किया गया था।

समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याएँ 0 से 1 तक होती हैं और वितरण फ़ंक्शन के अनुसार यादृच्छिक रूप से चुनी जाती हैं

एफ(एक्स) = Рr(Х< х} = х, .

इस वितरण के साथ, अंतराल (0, 1) में यादृच्छिक चर के किसी भी मान की घटना समान रूप से प्रशंसनीय है। यहां पीआर(एक्स< х} - вероятность того, что случайная величина X примет значение меньше х.

यादृच्छिक संख्याएँ प्राप्त करने की मुख्य विधि उनकी मॉड्यूलो पीढ़ी है। मान लीजिए m, a, c, x0 ऐसे पूर्णांक हैं कि m > x0 और a, c, x0 > 0. अनुक्रम (xi) से छद्म-यादृच्छिक संख्या xi पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करके प्राप्त की जाती है

xi = a xi-1 + c (mod m)।

उत्पन्न संख्याओं की स्टोकेस्टिक विशेषताएँ निर्णायक रूप से एम, ए और सी की पसंद पर निर्भर करती हैं। उनके खराब विकल्प के कारण मोंटे कार्लो सिमुलेशन में गलत परिणाम सामने आते हैं।

संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए अक्सर बड़ी संख्या में यादृच्छिक संख्याओं की आवश्यकता होती है। इसलिए, उत्पन्न यादृच्छिक संख्याओं के अनुक्रम की अवधि, जिसके बाद अनुक्रम दोहराना शुरू होता है, काफी बड़ी होनी चाहिए। यह मॉडलिंग के लिए आवश्यक यादृच्छिक संख्याओं की संख्या से काफी बड़ा होना चाहिए, अन्यथा प्राप्त परिणाम विकृत हो जाएंगे।

अधिकांश कंप्यूटरों और सॉफ़्टवेयर पैकेजों में एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर होता है। हालाँकि, अधिकांश सांख्यिकीय परीक्षण परिणामी यादृच्छिक संख्याओं के बीच सहसंबंध दिखाते हैं।

एक त्वरित परीक्षण है जिसका उपयोग आप प्रत्येक जनरेटर की जांच के लिए कर सकते हैं। एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर की गुणवत्ता को पूरी तरह से डी-आयामी जाली (उदाहरण के लिए, दो- या तीन-आयामी) भरकर प्रदर्शित किया जा सकता है। एक अच्छे जनरेटर को हाइपरक्यूब के पूरे स्थान को भरना चाहिए।

एन यादृच्छिक संख्या xi के वितरण की एकरूपता की जांच करने का एक और अनुमानित तरीका उनकी गणितीय अपेक्षा और भिन्नता की गणना करना है। इस मानदंड के अनुसार, समान वितरण के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा किया जाना चाहिए:

ऐसे कई सांख्यिकीय परीक्षण हैं जिनका उपयोग यह जांचने के लिए किया जा सकता है कि कोई अनुक्रम यादृच्छिक होगा या नहीं। वर्णक्रमीय मानदंड सबसे सटीक माना जाता है। उदाहरण के लिए, एक बहुत ही सामान्य मानदंड जिसे केएस मानदंड, या कोलमोगोरोव-स्मिरनोव मानदंड कहा जाता है। जाँच से पता चलता है कि, उदाहरण के लिए, एक्सेल स्प्रेडशीट में यादृच्छिक संख्या जनरेटर इस मानदंड को पूरा नहीं करता है।

व्यवहार में, मुख्य समस्या एक सरल और विश्वसनीय यादृच्छिक संख्या जनरेटर का निर्माण करना है जिसे आप अपने कार्यक्रमों में उपयोग कर सकते हैं। ऐसा करने के लिए, निम्नलिखित प्रक्रिया का सुझाव दिया गया है.

प्रोग्राम की शुरुआत में, संपूर्ण वेरिएबल X को एक निश्चित मान X0 सौंपा गया है। फिर नियम के अनुसार यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न की जाती हैं

एक्स = (एएक्स + सी) मॉड एम। (1)

मापदंडों का चयन निम्नलिखित बुनियादी सिद्धांतों का उपयोग करके किया जाना चाहिए।

1. प्रारंभिक संख्या X0 को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। यदि प्रोग्राम का उपयोग कई बार किया जाता है और हर बार यादृच्छिक संख्याओं के विभिन्न स्रोतों की आवश्यकता होती है, तो आप, उदाहरण के लिए, पिछले रन में प्राप्त X का मान X0 निर्दिष्ट कर सकते हैं।

2. संख्या m बड़ी होनी चाहिए, उदाहरण के लिए, 230 (क्योंकि यह वह संख्या है जो उत्पन्न छद्म-यादृच्छिक अनुक्रम की अवधि निर्धारित करती है)।

3.यदि m दो की घात है, तो ऐसा चुनें ए mod8 = 5. यदि m दस की घात है, तो ऐसा चुनें ए mod10 = 21. यह विकल्प सुनिश्चित करता है कि यादृच्छिक संख्या जनरेटर दोहराना शुरू करने से पहले सभी संभावित मान उत्पन्न करेगा।

4.गुणक एपसंदीदा विकल्प 0.01 मी और 0.99 मी के बीच है, और इसके बाइनरी या दशमलव अंकों में एक सरल नियमित संरचना नहीं होनी चाहिए। गुणक को वर्णक्रमीय मानदंड और, अधिमानतः, कई अन्य मानदंडों को पारित करना होगा।

5. यदि एएक अच्छा गुणक है, c का मान महत्वपूर्ण नहीं है, सिवाय इसके कि c में m के साथ एक सामान्य गुणक नहीं होना चाहिए यदि m कंप्यूटर शब्द का आकार है। उदाहरण के लिए, आप c = 1 या c = a चुन सकते हैं।

6. आप m/1000 से अधिक यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न नहीं कर सकते। इसके बाद, एक नए सर्किट का उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए एक नया गुणक ए.

सूचीबद्ध नियम मुख्य रूप से मशीन प्रोग्रामिंग भाषा से संबंधित हैं। प्रोग्रामिंग भाषा के लिए उच्च स्तर, उदाहरण के लिए C++, एक अन्य विकल्प (1) का अक्सर उपयोग किया जाता है: एक अभाज्य संख्या m का चयन किया जाता है जो सबसे बड़े आसानी से गणना किए गए पूर्णांक के करीब होता है, a का मान m के प्रतिअवकलन मूल के बराबर सेट किया जाता है, और c को इसके बराबर लिया जाता है शून्य। उदाहरण के तौर पर आप ले सकते हैं ए= 48271 और टी =

3. मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके कतार प्रणाली की गणना का एक उदाहरण

चलो गौर करते हैं सबसे सरल प्रणालीकतारबद्ध सेवा (क्यूएस), जिसमें एन लाइनें शामिल हैं (अन्यथा चैनल या सेवा बिंदु कहा जाता है)। यादृच्छिक समय पर, सिस्टम में अनुरोध प्राप्त होते हैं। प्रत्येक आवेदन लाइन नंबर 1 पर आता है। यदि उपस्थिति टी की प्राप्ति के समय यह लाइन निःशुल्क है, तो आवेदन को समय टी 3 (लाइन व्यस्त समय) पर सेवा प्रदान की जाती है। यदि लाइन व्यस्त है, तो अनुरोध तुरंत लाइन नंबर 2 आदि पर स्थानांतरित कर दिया जाता है। यदि सभी एन लाइनें वर्तमान में व्यस्त हैं, तो सिस्टम एक इनकार जारी करता है।

एक स्वाभाविक कार्य किसी दिए गए सिस्टम की विशेषताओं को निर्धारित करना है जिसके द्वारा इसकी प्रभावशीलता का आकलन किया जा सकता है: सेवा के लिए औसत प्रतीक्षा समय, सिस्टम डाउनटाइम का प्रतिशत, औसत कतार की लंबाई, आदि।

ऐसी प्रणालियों के लिए, व्यावहारिक रूप से एकमात्र गणना पद्धति मोंटे कार्लो पद्धति है।

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कंप्यूटर पर यादृच्छिक संख्याएँ प्राप्त करने के लिए एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है, इसलिए ऐसे अनुक्रम, जो अनिवार्य रूप से नियतात्मक होते हैं, छद्म यादृच्छिक कहलाते हैं। कंप्यूटर n-बिट संख्याओं के साथ संचालित होता है, इसलिए, अंतराल (0,1) की एक समान यादृच्छिक संख्याओं के निरंतर संग्रह के बजाय, कंप्यूटर पर समान अंतराल की 2n यादृच्छिक संख्याओं का एक असतत अनुक्रम उपयोग किया जाता है - का वितरण कानून ऐसे असतत अनुक्रम को अर्ध-समान वितरण कहा जाता है।

एक आदर्श यादृच्छिक संख्या जनरेटर के लिए आवश्यकताएँ:

1. अनुक्रम में अर्ध-समान रूप से वितरित संख्याएँ शामिल होनी चाहिए।

2. संख्याएँ स्वतंत्र होनी चाहिए।

3. यादृच्छिक संख्या अनुक्रम प्रतिलिपि प्रस्तुत करने योग्य होना चाहिए।

4. अनुक्रमों में गैर-दोहराई जाने वाली संख्याएँ होनी चाहिए।

5. न्यूनतम कम्प्यूटेशनल संसाधनों के साथ अनुक्रम प्राप्त किया जाना चाहिए।

छद्म-यादृच्छिक संख्याओं के अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए कंप्यूटर मॉडलिंग अभ्यास में सबसे बड़ा अनुप्रयोग फॉर्म के एल्गोरिदम में पाया जाता है:

जो प्रथम क्रम के आवर्ती संबंध हैं।

उदाहरण के लिए। x0 = 0.2152, (x0)2=0, x1 = 0.6311, (x1)2=0, x2=0.8287, आदि।

ऐसी विधियों का नुकसान अनुक्रम में संख्याओं के बीच सहसंबंध की उपस्थिति है, और कभी-कभी कोई यादृच्छिकता नहीं होती है, उदाहरण के लिए:

x0 = 0.4500, (x0)2=0, x1 = 0.2500, (x1)2=0, x2=0.2500, आदि।

छद्म यादृच्छिक अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए सर्वांगसम प्रक्रियाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा है।

दो पूर्णांक a और b सर्वांगसम (तुलनीय) modulo m हैं, जहां m एक पूर्णांक है, यदि और केवल यदि कोई पूर्णांक k है जैसे कि a-b=km।

1984º4 (मॉड 10), 5008º8 (मॉड 103)।

अधिकांश सर्वांगसम यादृच्छिक संख्या निर्माण प्रक्रियाएँ निम्नलिखित सूत्र पर आधारित हैं:

गैर-ऋणात्मक पूर्णांक कहाँ हैं.

अनुक्रम (Xi) के पूर्णांकों का उपयोग करके, हम अनुक्रम (xi)=(Xi/M) का निर्माण कर सकते हैं भिन्नात्मक संख्याएंइकाई अंतराल (0,1) से.

मॉडलिंग से पहले, उपयोग किए जाने वाले यादृच्छिक संख्या जनरेटर को यादृच्छिक संख्याओं के परिणामी अनुक्रमों की एकरूपता, स्टोकेस्टिसिटी और स्वतंत्रता के लिए पूरी तरह से प्रारंभिक परीक्षण से गुजरना होगा।

यादृच्छिक संख्या अनुक्रमों की गुणवत्ता में सुधार के तरीके:

1. क्रम r के आवर्ती सूत्रों का उपयोग करना:

लेकिन इस पद्धति के उपयोग से संख्याएँ प्राप्त करने के लिए कंप्यूटिंग संसाधनों की लागत में वृद्धि होती है।

2. क्षोभ विधि:

.

5. सिस्टम पर यादृच्छिक प्रभावों की मॉडलिंग करना

1. लागू किया जाना चाहिए यादृच्छिक घटनाए, दी गई प्रायिकता पी के साथ घटित होता है। आइए हम ए को इस घटना के रूप में परिभाषित करें कि अंतराल (0,1) पर समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर का चयनित मान xi असमानता को संतुष्ट करता है:

तब घटना A की प्रायिकता https://pandia.ru/text/78/241/images/image019_31.gif' width='103' ऊँचाई='25'> होगी,

इस मामले में परीक्षण सिमुलेशन प्रक्रिया में एलआर के मूल्यों के साथ यादृच्छिक संख्या xi की क्रमिक तुलना शामिल है। यदि शर्त पूरी हो जाती है, तो परीक्षण का परिणाम घटना Am है।

3. पीए और पीबी के घटित होने की संभावनाओं के साथ स्वतंत्र घटनाओं ए और बी पर विचार करें। इस मामले में संयुक्त परीक्षणों के संभावित परिणाम घटनाएँ AB होंगी, जिनमें संभावनाएँ pArB, (1-pA)pB, pA(1-pB), (1-pA)(1-pB) होंगी। संयुक्त परीक्षणों का अनुकरण करने के लिए, प्रक्रिया के दो प्रकारों का उपयोग किया जा सकता है:

पैराग्राफ 1 में चर्चा की गई प्रक्रिया का लगातार निष्पादन।

एबी के परिणामों में से एक का निर्धारण, संबंधित संभावनाओं के साथ लॉटरी द्वारा, यानी, पैराग्राफ 2 में चर्चा की गई प्रक्रिया।

पहले विकल्प के लिए दो संख्याओं xi और दो तुलनाओं की आवश्यकता होगी। दूसरे विकल्प के साथ, आप एक नंबर xi से काम चला सकते हैं, लेकिन अधिक तुलनाओं की आवश्यकता हो सकती है। मॉडलिंग एल्गोरिदम के निर्माण और संचालन की संख्या और कंप्यूटर मेमोरी को सहेजने की सुविधा के दृष्टिकोण से, पहला विकल्प अधिक बेहतर है।

4. घटनाएँ A और B आश्रित हैं और संभावनाओं pA और pB के साथ घटित होती हैं। आइए हम घटना बी के घटित होने की सशर्त संभावना को पीए(बी) से निरूपित करें, बशर्ते कि घटना ए घटित हुई हो।

प्रश्नों पर नियंत्रण रखें

1) आप मोंटे कार्लो पद्धति को कैसे परिभाषित कर सकते हैं?

2) मोंटे कार्लो पद्धति का व्यावहारिक महत्व।

3) मोंटे कार्लो पद्धति की सामान्य योजना।

4) मोंटे कार्लो विधि का उपयोग करके कतार प्रणाली की गणना का एक उदाहरण।

5) यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करने की विधियाँ।

6) एक आदर्श यादृच्छिक संख्या जनरेटर के लिए क्या आवश्यकताएं हैं?

7) यादृच्छिक संख्या अनुक्रमों की गुणवत्ता में सुधार के तरीके।

हमारे द्वारा लिए गए किसी भी निर्णय का एक अभिन्न अंग है। हमें लगातार अनिश्चितता, अस्पष्टता और परिवर्तनशीलता का सामना करना पड़ता है। और सूचना तक अभूतपूर्व पहुंच के बावजूद, हम भविष्य की सटीक भविष्यवाणी नहीं कर सकते। मोंटे कार्लो सिमुलेशन (जिसे मोंटे कार्लो विधि के रूप में भी जाना जाता है) आपको अपने निर्णयों के सभी संभावित परिणामों पर विचार करने और जोखिम के प्रभाव का मूल्यांकन करने की अनुमति देता है, जिससे आप अनिश्चितता के तहत बेहतर निर्णय ले सकते हैं।

मोंटे कार्लो सिमुलेशन क्या है?
मोंटे कार्लो सिमुलेशन एक स्वचालित गणितीय तकनीक है जिसे मात्रात्मक विश्लेषण और निर्णय लेने की प्रक्रिया में जोखिम को शामिल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इस पद्धति का उपयोग वित्त, परियोजना प्रबंधन, ऊर्जा, विनिर्माण, इंजीनियरिंग, अनुसंधान एवं विकास, बीमा, तेल और गैस, परिवहन और पर्यावरण संरक्षण जैसे विभिन्न क्षेत्रों में पेशेवरों द्वारा किया जाता है।

हर बार आगे की कार्रवाई का रास्ता चुनने की प्रक्रिया में, मोंटे कार्लो सिमुलेशन निर्णय निर्माता को संभावित परिणामों की एक पूरी श्रृंखला पर विचार करने और उनकी घटना की संभावना का आकलन करने की अनुमति देता है। यह विधि उन संभावनाओं को प्रदर्शित करती है जो स्पेक्ट्रम के विपरीत छोर पर हैं (सभी में जाने और सबसे रूढ़िवादी उपाय करने के परिणाम), साथ ही मध्यम निर्णयों के संभावित परिणाम।

इस पद्धति का उपयोग सबसे पहले परमाणु बम के विकास में शामिल वैज्ञानिकों द्वारा किया गया था; इसका नाम मोंटे कार्लो के नाम पर रखा गया था, जो मोनाको में एक रिसॉर्ट है जो अपने कैसीनो के लिए प्रसिद्ध है। द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान व्यापक होने के बाद, मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग सभी प्रकार की भौतिक और सैद्धांतिक प्रणालियों का अनुकरण करने के लिए किया जाने लगा।

समीक्षाएँ देखें
डगलस हब्बार्ड
हबर्ड निर्णय अनुसंधान
समय: 00:35 सेकंड

"अनिश्चितता की स्थिति में महत्वपूर्ण निर्णयों का विश्लेषण करने का एकमात्र तरीका मोंटे कार्लो सिमुलेशन है।"

जॉन झाओ
सनकोर एनर्जी
समय: 02:36 मिनट

"पूंजीगत लागत अनुमान के लिए मोंटे कार्लो सिमुलेशन [सनकोर में] किसी भी बड़ी परियोजना के लिए एक आवश्यकता बन गया है।"

मोंटे कार्लो सिमुलेशन कैसे किया जाता है
मोंटे कार्लो पद्धति के भीतर, संभावित परिणामों के मॉडल का उपयोग करके जोखिम विश्लेषण किया जाता है। ऐसे मॉडल बनाते समय, अनिश्चितता की विशेषता वाले किसी भी कारक को मूल्यों की एक श्रृंखला - एक संभाव्यता वितरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। फिर परिणामों की गणना कई बार की जाती है, हर बार यादृच्छिक संभाव्यता फ़ंक्शन मानों के एक अलग सेट का उपयोग करके। कभी-कभी, एक सिमुलेशन को पूरा करने के लिए, अनिश्चितताओं की संख्या और उनके लिए स्थापित सीमाओं के आधार पर, हजारों या यहां तक ​​कि हजारों पुनर्गणना करना आवश्यक हो सकता है। मोंटे कार्लो सिमुलेशन किसी को संभावित परिणामों के मूल्यों का वितरण प्राप्त करने की अनुमति देता है।

संभाव्यता वितरण का उपयोग करते समय, चर में विभिन्न परिणामों के घटित होने की अलग-अलग संभावनाएँ हो सकती हैं। संभाव्यता वितरण जोखिम विश्लेषण प्रक्रिया में चर की अनिश्चितता का वर्णन करने का एक अधिक यथार्थवादी तरीका है। सबसे आम संभाव्यता वितरण नीचे सूचीबद्ध हैं।

सामान्य वितरण(या "बॉसियन वक्र")।माध्य से विचलन का वर्णन करने के लिए, उपयोगकर्ता माध्य या अपेक्षित मान और मानक विचलन को परिभाषित करता है। औसत के बगल में मध्य में स्थित मान, उच्चतम संभावना की विशेषता रखते हैं। सामान्य वितरण सममित है और कई सामान्य घटनाओं का वर्णन करता है - उदाहरण के लिए, लोगों की ऊंचाई। सामान्य वितरण द्वारा वर्णित चर के उदाहरणों में मुद्रास्फीति दर और ऊर्जा कीमतें शामिल हैं।

लॉगनॉर्मल वितरण.मान सकारात्मक रूप से विषम हैं और, सामान्य वितरण के विपरीत, असममित हैं। इस वितरण का उपयोग उन मात्राओं को प्रतिबिंबित करने के लिए किया जाता है जो शून्य से नीचे नहीं आती हैं, लेकिन असीमित सकारात्मक मान ले सकती हैं। लॉगनॉर्मल वितरण द्वारा वर्णित चर के उदाहरणों में रियल एस्टेट मूल्य, स्टॉक की कीमतें और तेल भंडार शामिल हैं।

वर्दी वितरण।सभी मात्राएँ समान संभावना के साथ एक या दूसरा मान ले सकती हैं; उपयोगकर्ता केवल न्यूनतम और अधिकतम निर्धारित करता है; वेरिएबल के उदाहरण जिनमें एक समान वितरण हो सकता है उनमें उत्पादन लागत या किसी नए उत्पाद की भविष्य की बिक्री से राजस्व शामिल है।

त्रिकोणीय वितरण.उपयोगकर्ता न्यूनतम, सर्वाधिक संभावित और अधिकतम मान परिभाषित करता है। अधिकतम संभाव्यता बिंदु के निकट स्थित मानों की संभाव्यता सबसे अधिक होती है। त्रिकोणीय वितरण द्वारा वर्णित किए जा सकने वाले चर में प्रति यूनिट समय और इन्वेंट्री स्तर पर ऐतिहासिक बिक्री शामिल है।

पीईआरटी वितरण.उपयोगकर्ता न्यूनतम, सबसे संभावित और अधिकतम मान परिभाषित करता है - त्रिकोणीय वितरण के समान। अधिकतम संभाव्यता बिंदु के निकट स्थित मानों की संभाव्यता सबसे अधिक होती है। हालाँकि, त्रिकोणीय वितरण की तुलना में सबसे संभावित और चरम मूल्यों के बीच की सीमा में मान प्रकट होने की अधिक संभावना है, अर्थात, चरम मूल्यों पर कोई जोर नहीं है। पीईआरटी वितरण के उपयोग का एक उदाहरण परियोजना प्रबंधन मॉडल के भीतर किसी कार्य की अवधि का वर्णन करना है।

पृथक वितरण.उपयोगकर्ता संभावित मानों में से विशिष्ट मान निर्धारित करता है, साथ ही उनमें से प्रत्येक को प्राप्त करने की संभावना भी निर्धारित करता है। एक उदाहरण परिणाम होगा परीक्षण: सकारात्मक निर्णय की 20% संभावना, नकारात्मक निर्णय की 30% संभावना, पक्षों के बीच समझौते की 40% संभावना और मुकदमे के रद्द होने की 10% संभावना।

मोंटे कार्लो सिमुलेशन में, मूल्यों को मूल संभाव्यता वितरण से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। मूल्यों के प्रत्येक नमूने को पुनरावृत्ति कहा जाता है; नमूने से प्राप्त परिणाम दर्ज किया जाता है। मॉडलिंग प्रक्रिया के दौरान, यह प्रक्रिया सैकड़ों या हजारों बार की जाती है, और परिणाम संभावित परिणामों का संभाव्यता वितरण होता है। इस प्रकार, मोंटे कार्लो सिमुलेशन संभावित घटनाओं की अधिक संपूर्ण तस्वीर प्रदान करता है। यह आपको न केवल यह आंकने की अनुमति देता है कि क्या हो सकता है, बल्कि यह भी कि ऐसे परिणाम की संभावना क्या है।

नियतात्मक या बिंदु अनुमान विश्लेषण की तुलना में मोंटे कार्लो सिमुलेशन के कई फायदे हैं:

• संभाव्य परिणाम.परिणाम न केवल संभावित घटनाओं को दिखाते हैं, बल्कि उनके घटित होने की संभावना को भी दर्शाते हैं।
• परिणामों का ग्राफ़िक प्रतिनिधित्व.मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके प्राप्त डेटा की प्रकृति विभिन्न परिणामों के ग्राफ़ बनाने के साथ-साथ उनकी घटना की संभावनाओं को भी बनाने की अनुमति देती है। अन्य हितधारकों को परिणाम संप्रेषित करते समय यह महत्वपूर्ण है।
• संवेदनशीलता का विश्लेषण।कुछ अपवादों के साथ, नियतात्मक विश्लेषण यह निर्धारित करना कठिन बना देता है कि कौन से परिवर्तनीय प्रभाव सबसे अधिक परिणाम देते हैं। मोंटे कार्लो सिमुलेशन चलाते समय, यह देखना आसान है कि कौन से इनपुट का अंतिम परिणामों पर सबसे अधिक प्रभाव पड़ता है।
• परिद्रश्य विश्लेषण।नियतात्मक मॉडल में, विभिन्न इनपुट मूल्यों के लिए मात्राओं के विभिन्न संयोजनों का अनुकरण करना बहुत मुश्किल है, और इसलिए वास्तव में विभिन्न परिदृश्यों के प्रभाव का आकलन करना है। मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके, विश्लेषक सटीक रूप से यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन से इनपुट कुछ मूल्यों की ओर ले जाते हैं और कुछ परिणामों की घटना का पता लगाते हैं। आगे के विश्लेषण के लिए यह बहुत महत्वपूर्ण है.
• स्रोत डेटा का सहसंबंध.मोंटे कार्लो विधि आपको इनपुट चर के बीच अन्योन्याश्रित संबंधों को मॉडल करने की अनुमति देती है। विश्वसनीय जानकारी प्राप्त करने के लिए, यह कल्पना करना आवश्यक है कि किन मामलों में, जब कुछ कारक बढ़ते हैं, तो अन्य तदनुसार बढ़ते या घटते हैं।

आप लैटिन हाइपरक्यूब विधि का उपयोग करके नमूनाकरण करके अपने मोंटे कार्लो सिमुलेशन परिणामों में भी सुधार कर सकते हैं, जो वितरण कार्यों की पूरी श्रृंखला से अधिक सटीक रूप से चयन करता है।

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मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करना
पर्सनल कंप्यूटर पर स्प्रेडशीट के साथ काम करने के लिए डिज़ाइन किए गए एप्लिकेशन के उद्भव ने विशेषज्ञों के लिए रोजमर्रा की गतिविधियों में विश्लेषण करते समय मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करने के व्यापक अवसर खोल दिए हैं। माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल सबसे आम स्प्रेडशीट विश्लेषणात्मक उपकरणों में से एक है, और प्रोग्राम एक्सेल के लिए पैलिसेड का मुख्य प्लग-इन है, जो आपको मोंटे कार्लो सिमुलेशन करने की अनुमति देता है। @RISK को पहली बार 1987 में DOS ऑपरेटिंग सिस्टम पर लोटस 1-2-3 के लिए पेश किया गया था और इसने तुरंत अपनी सटीकता, मॉडलिंग लचीलेपन और उपयोग में आसानी के लिए उत्कृष्ट प्रतिष्ठा अर्जित की। माइक्रोसॉफ्ट प्रोजेक्ट के आगमन से मोंटे कार्लो पद्धति को लागू करने के लिए एक और तर्क एप्लिकेशन का निर्माण हुआ। उनका मुख्य कार्य बड़ी परियोजनाओं के प्रबंधन से जुड़ी अनिश्चितताओं और जोखिमों का विश्लेषण करना था।

सांख्यिकीय मॉडलिंग एक बुनियादी मॉडलिंग विधि है जिसमें किसी दिए गए संभाव्यता घनत्व के साथ यादृच्छिक संकेतों के एक सेट के साथ एक मॉडल का परीक्षण करना शामिल है। लक्ष्य है सांख्यिकीय परिभाषाआउटपुट परिणाम. सांख्यिकीय मॉडलिंग पर आधारित है तरीका मोंटे कार्लो. आइए याद रखें कि नकल का उपयोग तब किया जाता है जब अन्य तरीकों का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

मोंटे कार्लो विधि

आइए एक अभिन्न गणना के उदाहरण का उपयोग करके मोंटे कार्लो पद्धति पर विचार करें, जिसका मूल्य विश्लेषणात्मक रूप से नहीं पाया जा सकता है।

कार्य 1. अभिन्न का मान ज्ञात कीजिए:

चित्र में. 1.1 फ़ंक्शन का ग्राफ़ दिखाता है एफ (एक्स). इस फ़ंक्शन के अभिन्न अंग के मान की गणना करने का अर्थ है इस ग्राफ़ के अंतर्गत क्षेत्र का पता लगाना।

चावल। 1.1

हम वक्र को ऊपर से, दाएँ और बाएँ तक सीमित करते हैं। हम खोज आयत में बिंदुओं को बेतरतीब ढंग से वितरित करते हैं। आइए हम इसे निरूपित करें एन 1 परीक्षण के लिए स्वीकृत अंकों की संख्या (अर्थात, एक आयत में गिरने पर, ये बिंदु चित्र 1.1 में लाल और नीले रंग में दिखाए गए हैं), और इसके माध्यम से एन 2 - वक्र के नीचे बिंदुओं की संख्या, यानी, फ़ंक्शन के तहत छायांकित क्षेत्र में आने वाले बिंदुओं की संख्या (ये बिंदु चित्र 1.1 में लाल रंग में दिखाए गए हैं)। तब यह मान लेना स्वाभाविक है कि कुल अंकों के संबंध में वक्र के अंतर्गत आने वाले बिंदुओं की संख्या परीक्षण आयत के क्षेत्र के संबंध में वक्र के नीचे के क्षेत्र (अभिन्न का मान) के समानुपाती होती है। गणितीय रूप से इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

बेशक, ये तर्क सांख्यिकीय हैं और इससे भी अधिक सही हैं बड़ी संख्याहम परीक्षण अंक लेंगे.

ब्लॉक आरेख के रूप में मोंटे कार्लो विधि एल्गोरिथ्म का एक टुकड़ा चित्र में दिखाया गया है। 1.2

चावल। 1.2

मान आर 1 और आरचित्र 2 में 1.2 अंतराल से समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याएं हैं ( एक्स 1 ; एक्स 2) और ( सी 1 ; सी 2) तदनुसार.

मोंटे कार्लो विधि अत्यंत कुशल और सरल है, लेकिन इसके लिए एक "अच्छे" यादृच्छिक संख्या जनरेटर की आवश्यकता होती है। विधि को लागू करने में दूसरी समस्या नमूना आकार का निर्धारण करना है, यानी, दी गई सटीकता के साथ समाधान प्रदान करने के लिए आवश्यक बिंदुओं की संख्या। प्रयोगों से पता चलता है कि सटीकता को 10 गुना बढ़ाने के लिए, नमूना आकार को 100 गुना बढ़ाने की आवश्यकता है; अर्थात्, सटीकता नमूना आकार के वर्गमूल के लगभग समानुपाती होती है:

यादृच्छिक मापदंडों के साथ सिस्टम का अध्ययन करने में मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करने की योजना

यादृच्छिक मापदंडों के साथ एक सिस्टम का एक मॉडल बनाने के बाद, एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर (आरएनजी) से इनपुट सिग्नल इसके इनपुट में आपूर्ति किए जाते हैं, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। 1.3 आरएनजी को इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि यह उत्पादन करता है के बराबर वितरितयादृच्छिक संख्याएँ आरअंतराल से पी.पी. चूँकि कुछ घटनाएँ अधिक संभावित हो सकती हैं, अन्य कम संभावित, जनरेटर से समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याओं को एक यादृच्छिक संख्या कानून कनवर्टर (आरएलसी) में फीड किया जाता है, जो उन्हें परिवर्तित करता है दिया गयासंभाव्यता वितरण कानून का उपयोगकर्ता, उदाहरण के लिए, सामान्य या घातीय कानून। ये परिवर्तित यादृच्छिक संख्याएँ एक्समॉडल इनपुट को फीड किया गया। मॉडल इनपुट सिग्नल को प्रोसेस करता है एक्सकुछ कानून के अनुसार य = टी (एक्स) और आउटपुट सिग्नल प्राप्त करता है य, जो यादृच्छिक भी है.

सांख्यिकीय मॉडलिंग यादृच्छिक चर

चावल। 1.3

सांख्यिकी संचय ब्लॉक (बीएनएसटीएटी) में फ़िल्टर और काउंटर स्थापित किए गए हैं। एक फ़िल्टर (कुछ तार्किक स्थिति) मान द्वारा निर्धारित करता है य, क्या किसी विशिष्ट प्रयोग में एक निश्चित घटना का एहसास हुआ था (शर्त पूरी हुई थी, एफ= 1) या नहीं (शर्त पूरी नहीं हुई, एफ= 0). यदि ईवेंट घटित होता है, तो ईवेंट काउंटर एक से बढ़ जाता है। यदि घटना का एहसास नहीं होता है, तो काउंटर वैल्यू नहीं बदलती है। यदि आपको कई अलग-अलग प्रकार की घटनाओं की निगरानी करने की आवश्यकता है, तो आपको सांख्यिकीय मॉडलिंग के लिए कई फ़िल्टर और काउंटर की आवश्यकता होगी एन मैं. प्रयोगों की संख्या का एक काउंटर हमेशा रखा जाता है - एन.

आगे का संबंध एन मैंको एन, गणना ब्लॉक में गणना की गई सांख्यिकीय विशेषताएँ(बीवीएसएच) मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके संभाव्यता का अनुमान देता है पी मैंकिसी घटना का घटित होना मैं, अर्थात्, श्रृंखला में इसके घटित होने की आवृत्ति को इंगित करता है एनप्रयोग. यह हमें प्रतिरूपित वस्तु के सांख्यिकीय गुणों के बारे में निष्कर्ष निकालने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, घटना ए 50 बार किए गए 200 प्रयोगों के परिणामस्वरूप घटित हुई। इसका मतलब है, मोंटे कार्लो पद्धति के अनुसार, किसी घटना के घटित होने की संभावना है: पीए = 50/200 = 0.25. घटना के घटित न होने की प्रायिकता क्रमशः 1 - 0.25 = 0.75 है।

भुगतान करें ध्यान:जब वे प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त संभाव्यता के बारे में बात करते हैं, तो इसे आवृत्ति कहा जाता है; संभाव्यता शब्द का उपयोग तब किया जाता है जब वे इस बात पर जोर देना चाहते हैं कि हम एक सैद्धांतिक अवधारणा के बारे में बात कर रहे हैं।

बड़ी संख्या में प्रयोगों के साथ एनप्रयोगात्मक रूप से प्राप्त किसी घटना के घटित होने की आवृत्ति, घटना के घटित होने की सैद्धांतिक संभाव्यता के मूल्य की ओर प्रवृत्त होती है।

विश्वसनीयता मूल्यांकन ब्लॉक (आरएबी) में, मॉडल से लिए गए सांख्यिकीय प्रयोगात्मक डेटा की विश्वसनीयता की डिग्री का विश्लेषण किया जाता है (परिणाम की सटीकता को ध्यान में रखते हुए) इ, उपयोगकर्ता द्वारा निर्दिष्ट) और इसके लिए आवश्यक सांख्यिकीय परीक्षणों की संख्या निर्धारित करें। यदि सैद्धांतिक संभाव्यता के सापेक्ष घटनाओं की घटना की आवृत्ति के मूल्यों में उतार-चढ़ाव निर्दिष्ट सटीकता से कम है, तो प्रयोगात्मक आवृत्ति को उत्तर के रूप में लिया जाता है, अन्यथा यादृच्छिक इनपुट प्रभावों की पीढ़ी जारी रहती है, और मॉडलिंग प्रक्रिया होती है दोहराया गया। कम संख्या में परीक्षणों के साथ, परिणाम अविश्वसनीय हो सकता है। लेकिन केंद्रीय सीमा प्रमेय के अनुसार, जितने अधिक परीक्षण होंगे, उत्तर उतना ही अधिक सटीक होगा।

ध्यान दें कि मूल्यांकन सबसे खराब आवृत्ति का उपयोग करके किया जाता है। यह एक ही बार में मॉडल की सभी मापी गई विशेषताओं के लिए विश्वसनीय परिणाम प्रदान करता है।

उदाहरण 1. आइए हल करें सरल कार्य. ऊंचाई से यादृच्छिक रूप से गिराए जाने पर सिक्के के शीर्ष पर गिरने की प्रायिकता क्या है?

आइए एक सिक्का उछालना शुरू करें और प्रत्येक फेंक के परिणाम रिकॉर्ड करें (तालिका 1.1 देखें)।

तालिका 1.1.

सिक्का उछाल परीक्षण के परिणाम

हम शीर्षों की आवृत्ति की गणना शीर्षों के मामलों की संख्या और अवलोकनों की कुल संख्या के अनुपात के रूप में करेंगे। तालिका में देखो. 1.1 मामलों के लिए एन = 1, एन = 2, एन= 3 - प्रथम दृष्टया आवृत्ति मान विश्वसनीय नहीं कहे जा सकते। आइए एक निर्भरता ग्राफ बनाने का प्रयास करें पीओ से एन- और आइए देखें कि किए गए प्रयोगों की संख्या के आधार पर शीर्षों की आवृत्ति कैसे बदलती है। बेशक, अलग-अलग प्रयोग अलग-अलग तालिकाएँ और इसलिए, अलग-अलग ग्राफ़ तैयार करेंगे। चित्र में. 1.4 विकल्पों में से एक दिखाता है।

चावल। 1.4

आइए कुछ निष्कर्ष निकालें.

• 1. यह देखा जा सकता है कि छोटे मूल्यों पर एन, उदाहरण के लिए, एन = 1, एन = 2, एन=3 उत्तर पर बिल्कुल भी भरोसा नहीं किया जा सकता. उदाहरण के लिए, पीओ = 0 पर एन= 1, अर्थात एक बार में चित आने की प्रायिकता शून्य है! हालांकि ये तो सभी अच्छे से जानते हैं कि ऐसा नहीं है. यानी अब तक हमें बेहद रूखा जवाब मिला है. हालाँकि, ग्राफ़ को देखें: प्रगति पर है जमा पूंजीजानकारी, उत्तर धीरे-धीरे लेकिन निश्चित रूप से सही के करीब पहुंच रहा है (इसे एक बिंदीदार रेखा से हाइलाइट किया गया है)। सौभाग्य से, इस विशेष मामले में, हम सही उत्तर जानते हैं: आदर्श रूप से, चित आने की संभावना 0.5 है (अन्य, अधिक जटिल समस्याओं में, उत्तर, निश्चित रूप से, हमारे लिए अज्ञात होगा)। आइए मान लें कि हमें सटीक उत्तर जानने की आवश्यकता है इ= 0.1. चलो दो खर्च करते हैं समानांतर रेखाएं, सही उत्तर 0.5 से 0.1 की दूरी से अलग किया गया है (चित्र 1.4 देखें)। परिणामी गलियारे की चौड़ाई 0.2 के बराबर होगी। जैसे ही वक्र पीहे( एन) इस गलियारे में इस तरह प्रवेश करेगा कि इसे कभी नहीं छोड़ेगा, आप रुक कर देख सकते हैं कि किस कीमत पर एनघटित हुआ। यह वही है तजरबा से गणना गंभीर अर्थप्रयोगों की आवश्यक संख्या एनसटीकता के साथ उत्तर निर्धारित करने के लिए kr e इ = 0.1; इ- हमारे तर्क में पड़ोस एक प्रकार की सटीक ट्यूब की भूमिका निभाता है। कृपया ध्यान दें कि उत्तर पीओ (91), पीओ (92) और इसी तरह अब उनके मूल्यों में ज्यादा बदलाव नहीं होता है (चित्र 1.4 देखें); कम से कम दशमलव बिंदु के बाद का पहला अंक, जिस पर हम समस्या की स्थितियों के अनुसार भरोसा करने के लिए बाध्य हैं, नहीं बदलता है।
• 2. वक्र के इस व्यवहार का कारण क्रिया है केंद्रीय अंतिम प्रमेयों. अभी के लिए, यहां हम इसे सबसे सरल संस्करण में तैयार करेंगे: "यादृच्छिक चर का योग एक गैर-यादृच्छिक मात्रा है।" हमने औसत का उपयोग किया पीओ, जो प्रयोगों के योग के बारे में जानकारी रखता है, और इसलिए धीरे-धीरे यह मान अधिक से अधिक विश्वसनीय हो जाता है।
• 3. यदि आप इस प्रयोग को शुरू से दोबारा करेंगे तो निःसंदेह इसका परिणाम एक अलग प्रकार का यादृच्छिक वक्र होगा। और उत्तर भिन्न होगा, यद्यपि लगभग वही। आइए ऐसे प्रयोगों की एक पूरी श्रृंखला आयोजित करें (चित्र 1.5 देखें)। ऐसी शृंखला को अनुभूतियों का समुच्चय कहा जाता है। आपको अंततः किस उत्तर पर विश्वास करना चाहिए? आख़िरकार, यद्यपि वे करीब हैं, फिर भी वे भिन्न हैं। व्यवहार में, वे अलग तरह से कार्य करते हैं। पहला विकल्प कई कार्यान्वयनों पर प्रतिक्रियाओं के औसत की गणना करना है (तालिका 1.2 देखें)।

चावल। 1.5

हमने कई प्रयोग स्थापित किए और हर बार यह निर्धारित किया कि कितने प्रयोग करने की आवश्यकता है, अर्थात एनकरोड़ ई. 10 प्रयोग किए गए, जिनके परिणामों को तालिका में संक्षेपित किया गया है। 1.2 10 प्रयोगों के परिणामों के आधार पर औसत मूल्य की गणना की गई एनकरोड़ ई.

तालिका 1.2.

सटीकता प्राप्त करने के लिए सिक्का उछालने की आवश्यक संख्या पर प्रायोगिक डेटा इ

इस प्रकार, विभिन्न लंबाई के 10 कार्यान्वयन करने के बाद, हमने निर्धारित किया कि यह पर्याप्त है वी औसत 94 सिक्के उछालने की लंबाई के साथ 1 अहसास करना संभव था।

एक और महत्वपूर्ण तथ्य. चित्र 21.5 में ग्राफ़ को ध्यान से देखें, यह 100 अहसास - 100 लाल रेखाएँ दिखाता है। उस पर फरसा अंकित करें एन= 94 ऊर्ध्वाधर पट्टी. लाल रेखाओं का एक निश्चित प्रतिशत ऐसा है जिसे पार करने का समय नहीं मिला इ-पड़ोस, यानी ( पीऍक्स्प - इ ? पीलिखित? पीऍक्स्प + इ), और ठीक उसी क्षण तक गलियारे में प्रवेश करें एन= 94. कृपया ध्यान दें कि ऐसी 5 लाइनें हैं इसका मतलब है कि 100 में से 95, यानी 95% लाइनें विश्वसनीय रूप से निर्दिष्ट अंतराल में प्रवेश करती हैं।

इस प्रकार, 100 कार्यान्वयन करने के बाद, हमने प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त शीर्षों की संभावना में लगभग 95% विश्वास हासिल किया, इसे 0.1 की सटीकता के साथ निर्धारित किया।

प्राप्त परिणाम की तुलना करने के लिए, आइए सैद्धांतिक मूल्य की गणना करें एनसैद्धांतिक रूप से के.आर.टी. हालाँकि, इसके लिए हमें आत्मविश्वास संभाव्यता की अवधारणा का परिचय देना होगा क्यू एफ, जो दर्शाता है कि हम उत्तर पर विश्वास करने के लिए कितने इच्छुक हैं।

उदाहरण के लिए, जब क्यू एफ= 0.95 हम 100 में से 95% मामलों में उत्तर पर विश्वास करने के लिए तैयार हैं। ऐसा लगता है: एनकरोड़ टी = क (क्यू एफ) · पी· (1 - पी) /इ 2 कहाँ क (क्यू एफ) - लाप्लास गुणांक, पी- सिर मिलने की संभावना, इ- सटीकता (विश्वास अंतराल)। तालिका में 1.3 विभिन्न के लिए आवश्यक प्रयोगों की संख्या के सैद्धांतिक मूल्य का मान दर्शाता है क्यू एफ(सटीकता के लिए इ= 0.1 और संभाव्यता पी = 0.5).

तालिका 1.3.

सटीकता प्राप्त करने के लिए सिक्के उछालने की आवश्यक संख्या की सैद्धांतिक गणना इ= 0.1 शीर्ष की संभावना की गणना करते समय

जैसा कि आप देख सकते हैं, 94 प्रयोगों के बराबर कार्यान्वयन की लंबाई के लिए हमने जो अनुमान प्राप्त किया है, वह 96 के बराबर सैद्धांतिक एक के बहुत करीब है। कुछ विसंगति को इस तथ्य से समझाया गया है कि, जाहिर है, 10 कार्यान्वयन पर्याप्त नहीं हैं एक सटीक गणना एनकरोड़ ई. यदि आप तय करते हैं कि आप ऐसा परिणाम चाहते हैं जिस पर आपको अधिक भरोसा करना चाहिए, तो आत्मविश्वास स्तर का मान बदलें। उदाहरण के लिए, सिद्धांत हमें बताता है कि यदि 167 प्रयोग हैं, तो संयोजन से केवल 1-2 लाइनें प्रस्तावित सटीकता ट्यूब में शामिल नहीं की जाएंगी। लेकिन ध्यान रखें, सटीकता और विश्वसनीयता बढ़ने के साथ प्रयोगों की संख्या बहुत तेज़ी से बढ़ती है।

व्यवहार में उपयोग किया जाने वाला दूसरा विकल्प कार्यान्वयन करना है एककार्यान्वयन और बढ़ोतरी प्राप्त के लिए उसकी एन करोड़ उह वी 2 टाइम्स. इसे उत्तर की सटीकता की एक अच्छी गारंटी माना जाता है (चित्र 1.6 देखें)।

चावल। 1.6. "दो से गुणा करें" नियम का उपयोग करके N cr e के प्रयोगात्मक निर्धारण का चित्रण

अगर आप गौर से देखेंगे कलाकारों की टुकड़ी यादृच्छिक कार्यान्वयन, तो हम पा सकते हैं कि सैद्धांतिक संभाव्यता के मूल्य में आवृत्ति का अभिसरण प्रयोगों की संख्या पर व्युत्क्रम द्विघात निर्भरता के अनुरूप एक वक्र के साथ होता है (चित्र 1.7 देखें)।

चावल। 1.7

यह वास्तव में सिद्धांत रूप में इस तरह से काम करता है। यदि आप निर्दिष्ट सटीकता बदलते हैं इऔर उनमें से प्रत्येक को प्रदान करने के लिए आवश्यक प्रयोगों की संख्या की जांच करें, आपको तालिका मिलेगी। 1.4

तालिका 1.4.

किसी दी गई सटीकता को सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक प्रयोगों की संख्या की सैद्धांतिक निर्भरता क्यू एफ = 0.95

आइए तालिका के अनुसार निर्माण करें। 1.4 निर्भरता ग्राफ एनसीआरटी ( इ) (चित्र 1.8 देखें)।

चावल। 1.8 किसी निश्चित QF पर दी गई सटीकता e प्राप्त करने के लिए आवश्यक प्रयोगों की संख्या की निर्भरता = 0.95

तो, माना गया ग्राफ़ उपरोक्त मूल्यांकन की पुष्टि करता है:

ध्यान दें कि सटीकता के कई अनुमान हो सकते हैं।

उदाहरण 2. मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके किसी आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना। मोंटे कार्लो विधि का उपयोग करके, कोण निर्देशांक (0, 0), (0.10), (5, 20), (10,10), (7, 0) के साथ एक पंचभुज का क्षेत्रफल निर्धारित करें।

आइए दिए गए पंचकोण को द्वि-आयामी निर्देशांक में बनाएं, इसे एक आयत में अंकित करें, जिसका क्षेत्रफल, जैसा कि आप अनुमान लगा सकते हैं, (10 - 0) · (20 - 0) = 200 है (चित्र 1.9 देखें)।

चावल। 1.9

संख्याओं के जोड़े उत्पन्न करने के लिए यादृच्छिक संख्याओं की तालिका का उपयोग करना आर, जी, 0 से 1 तक की सीमा में समान रूप से वितरित। संख्या आर एक्स (0 ? एक्स? 10), इसलिए, एक्स=10 · आर. संख्या जीसमन्वय का अनुकरण करेगा वाई (0 ? वाई? 20), इसलिए, वाई= 20· जी. चलिए 10 नंबर जनरेट करते हैं आरऔर जीऔर 10 अंक प्रदर्शित करें ( एक्स; वाई) चित्र में। 1.9 और तालिका में. 1.5

तालिका 1.5.

मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके समस्या का समाधान करना

सांख्यिकीय परिकल्पना यह है कि आकृति की रूपरेखा में शामिल बिंदुओं की संख्या आकृति के क्षेत्रफल के समानुपाती होती है: 6:10 = एस: 200. अर्थात् मोंटे कार्लो विधि के सूत्र के अनुसार हम क्षेत्रफल ज्ञात करते हैं एसपंचकोण बराबर है: 200 · 6/10 = 120.

आइए देखें कि मूल्य कैसे बदल गया एसअनुभव से अनुभव की ओर (तालिका 1.6 देखें)।

तालिका 1.6.

उत्तर सटीकता का आकलन करना

चूँकि उत्तर में दूसरे अंक का मान अभी भी बदल रहा है, संभावित अशुद्धि अभी भी 10% से अधिक है। गणना की सटीकता को परीक्षणों की बढ़ती संख्या के साथ बढ़ाया जा सकता है (चित्र 1.10 देखें)।

चावल। 1.10 सैद्धांतिक परिणाम के लिए प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित उत्तर के अभिसरण की प्रक्रिया का चित्रण

व्याख्यान 2. यादृच्छिक संख्या जनरेटर

मोंटे कार्लो विधि (व्याख्यान 1 देखें। सांख्यिकीय मॉडलिंग) यादृच्छिक संख्याओं की पीढ़ी पर आधारित है, जिन्हें अंतराल (0;1) में समान रूप से वितरित किया जाना चाहिए।

यदि जनरेटर ऐसी संख्याएँ उत्पन्न करता है जो अंतराल के किसी भाग में स्थानांतरित हो जाती हैं (कुछ संख्याएँ दूसरों की तुलना में अधिक बार दिखाई देती हैं), तो सांख्यिकीय पद्धति द्वारा हल की गई समस्या को हल करने का परिणाम गलत हो सकता है। इसलिए, वास्तव में यादृच्छिक और वास्तव में समान रूप से वितरित संख्याओं के एक अच्छे जनरेटर का उपयोग करने की समस्या बहुत विकट है।

अपेक्षित मूल्य एम आरऔर विचरण डी आरऐसा क्रम जिसमें शामिल है एनयादृच्छिक संख्याएँ आर मैं, इस प्रकार होना चाहिए (यदि ये वास्तव में 0 से 1 तक की सीमा में समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्याएं हैं):

यदि उपयोगकर्ता को एक यादृच्छिक संख्या की आवश्यकता है एक्सअंतराल में था ( ए; बी), (0 से भिन्न;

• 1), आपको सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है एक्स = ए + (बी - ए) · आर, कहाँ आर- अंतराल से यादृच्छिक संख्या (0;
• 1). इस परिवर्तन की वैधता चित्र में प्रदर्शित की गई है। 2.1

चावल। 2.1

1) अंतराल में (ए; बी)

अब एक्स- एक यादृच्छिक संख्या समान रूप से सीमा में वितरित की जाती है एपहले बी.

पीछे यादृच्छिक संख्या जनरेटर मानक(आरएनजी) एक जनरेटर अपनाया जाता है जो उत्पन्न करता है परिणाम कोयादृच्छिक संख्या के साथ वर्दीअंतराल में वितरण कानून (0;

• 1). एक कॉल के लिए, यह जनरेटर एक यादृच्छिक नंबर लौटाता है। यदि ऐसे आरएनजी का अवलोकन करना पर्याप्त है लंबे समय तक, तो यह पता चलता है कि, उदाहरण के लिए, दस अंतरालों में से प्रत्येक में (0; 0.1), (0.1; 0.2), (0.2; 0.3), ..., (0.9;
• 1) यादृच्छिक संख्याओं की संख्या लगभग समान होगी - अर्थात, वे पूरे अंतराल पर समान रूप से वितरित की जाएंगी (0;
• 1). यदि ग्राफ़ पर दिखाया गया है क= 10 अंतराल और आवृत्तियाँ एन मैंउन्हें हिट करें, आपको यादृच्छिक संख्याओं का एक प्रयोगात्मक वितरण घनत्व वक्र मिलेगा (चित्र 2.2 देखें)।

चावल। 2.2

ध्यान दें कि आदर्श रूप से यादृच्छिक संख्या वितरण घनत्व वक्र चित्र में दिखाए अनुसार दिखेगा। 2.3. यानी, आदर्श रूप से, प्रत्येक अंतराल में समान संख्या में अंक होते हैं: एन मैं = एन/क, कहाँ एन - कुल गणनाअंक, क- अंतराल की संख्या, मैं = 1, …, क.

चावल। 2.3

यह याद रखना चाहिए कि एक मनमाना यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने में दो चरण होते हैं:

• · एक सामान्यीकृत यादृच्छिक संख्या का सृजन (अर्थात, 0 से 1 तक समान रूप से वितरित);
• · सामान्यीकृत यादृच्छिक संख्याओं का परिवर्तन आर मैंयादृच्छिक संख्याओं के लिए एक्स मैं, जो उपयोगकर्ता द्वारा आवश्यक (मनमाने) वितरण कानून के अनुसार या आवश्यक अंतराल में वितरित किए जाते हैं।

संख्याएँ प्राप्त करने की विधि के अनुसार यादृच्छिक संख्या जनरेटरों को विभाजित किया गया है:

• · भौतिक;
• · सारणीबद्ध;
• · एल्गोरिथम.

अभी कुछ समय पहले मैंने डगलस हब्बार्ड की एक अद्भुत पुस्तक पढ़ी थी। पुस्तक के संक्षिप्त सारांश में, मैंने वादा किया था कि मैं एक खंड - जोखिम मूल्यांकन: मोंटे कार्लो सिमुलेशन का एक परिचय - के लिए एक अलग नोट समर्पित करूंगा। हाँ, किसी तरह सब कुछ काम नहीं आया। और हाल ही में मैंने मुद्रा जोखिमों के प्रबंधन के तरीकों का अधिक ध्यानपूर्वक अध्ययन करना शुरू किया है। इस विषय पर समर्पित सामग्रियों में, मोंटे कार्लो सिमुलेशन का अक्सर उल्लेख किया जाता है। तो वादा किया गया सामान आपके सामने है.

मैं उन लोगों के लिए मोंटे कार्लो सिमुलेशन का एक सरल उदाहरण दूंगा जिन्होंने पहले कभी इसके साथ काम नहीं किया है, लेकिन एक्सेल स्प्रेडशीट का उपयोग करने की कुछ समझ है।

मान लीजिए कि आप एक नई मशीन किराए पर लेना चाहते हैं। मशीन की वार्षिक किराये की लागत $400,000 है, और अनुबंध पर कई वर्षों के लिए हस्ताक्षर किए जाने चाहिए। इसलिए, भले ही आप नहीं पहुंचे हों, फिर भी आप मशीन को तुरंत वापस नहीं कर पाएंगे। आप एक अनुबंध पर हस्ताक्षर करने जा रहे हैं, यह सोचकर कि आधुनिक उपकरण श्रम लागत और कच्चे माल और आपूर्ति की लागत बचाएंगे, और आप यह भी सोचते हैं कि नई मशीन की रसद और तकनीकी रखरखाव सस्ता होगा।

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आपके अंशांकित अनुमानकर्ताओं ने अपेक्षित बचत और वार्षिक उत्पादन की निम्नलिखित श्रेणियाँ दी हैं:

वार्षिक बचत होगी: (एमएस + एलएस + आरएमएस) x पीएल

बेशक, यह उदाहरण यथार्थवादी होने के लिए बहुत सरल है। उत्पादन की मात्रा हर साल बदलती है, कुछ लागत तब कम हो जाएगी जब श्रमिक अंततः नई मशीन में महारत हासिल कर लेंगे, आदि। लेकिन इस उदाहरण में हमने सरलता के लिए जानबूझकर यथार्थवाद का त्याग कर दिया।

यदि हम प्रत्येक मूल्य अंतराल का माध्य (औसत) लेते हैं, तो हमें वार्षिक बचत मिलती है: (15 + 3 + 6) x 25,000 = 600,000 (डॉलर)

ऐसा लगता है कि हमने न केवल संतुलन बनाया, बल्कि कुछ लाभ भी कमाया, लेकिन याद रखें, अनिश्चितताएं हैं। इन निवेशों के जोखिम का आकलन कैसे करें? आइए पहले परिभाषित करें कि इस संदर्भ में जोखिम क्या है। जोखिम उत्पन्न करने के लिए, हमें भविष्य के परिणामों को उनकी अंतर्निहित अनिश्चितताओं के साथ रेखांकित करना चाहिए, उनमें से कुछ में मात्रात्मक नुकसान होने की संभावना है। जोखिम को देखने का एक तरीका इस संभावना की कल्पना करना है कि हम घाटे में नहीं रहेंगे, यानी कि हमारी बचत मशीन को पट्टे पर देने की वार्षिक लागत से कम होगी। जितना अधिक हम अपनी किराये की लागत को कवर करने में पीछे रह जाएंगे, उतना ही अधिक हम खो देंगे। रकम 600,000 डॉलर. अंतराल का माध्यिका है. मूल्यों की वास्तविक सीमा कैसे निर्धारित करें और उससे इस संभावना की गणना कैसे करें कि हम ब्रेक-ईवन बिंदु तक नहीं पहुंचेंगे?

चूँकि सटीक डेटा उपलब्ध नहीं है, इसलिए इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए सरल गणना नहीं की जा सकती कि क्या हम आवश्यक बचत प्राप्त कर सकते हैं। ऐसी विधियाँ हैं जो, कुछ शर्तों के तहत, किसी को प्रारंभिक डेटा के मूल्यों की सीमाओं से परिणामी पैरामीटर के मूल्यों की सीमा का पता लगाने की अनुमति देती हैं, लेकिन अधिकांश वास्तविक जीवन की समस्याओं के लिए, एक नियम के रूप में, ऐसी स्थितियाँ होती हैं। मौजूद नहीं। एक बार जब हम विभिन्न प्रकार के वितरणों को जोड़ना और गुणा करना शुरू करते हैं, तो समस्या आमतौर पर वह बन जाती है जिसे गणितज्ञ सामान्य रूप से असाध्य या अघुलनशील कहते हैं। गणितीय तरीकेसंकट। इसलिए, इसके बजाय हम संभावित विकल्पों के सीधे चयन की विधि का उपयोग करते हैं, जो कंप्यूटर के आगमन से संभव हो गया है। उपलब्ध अंतरालों से, हम यादृच्छिक रूप से प्रारंभिक मापदंडों के सटीक मानों के एक सेट (हजारों) का चयन करते हैं और वांछित संकेतक के सटीक मानों के सेट की गणना करते हैं।

मोंटे कार्लो सिमुलेशन इस तरह की समस्याओं को हल करने का एक उत्कृष्ट तरीका है। हमें बस निर्दिष्ट अंतरालों में बेतरतीब ढंग से मूल्यों का चयन करना है, वार्षिक बचत की गणना करने और कुल की गणना करने के लिए उन्हें सूत्र में प्रतिस्थापित करना है। कुछ परिणाम हमारे परिकलित औसत $600,000 से ऊपर होंगे, जबकि अन्य नीचे होंगे। कुछ तो सम-लाभ तोड़ने के लिए आवश्यक $400,000 से भी नीचे होंगे।

आप एक्सेल का उपयोग करके आसानी से पर्सनल कंप्यूटर पर मोंटे कार्लो सिमुलेशन चला सकते हैं, लेकिन इसके लिए 90% कॉन्फिडेंस इंटरवल की तुलना में थोड़ी अधिक जानकारी की आवश्यकता होती है। वितरण वक्र का आकार जानना आवश्यक है। विभिन्न मात्राओं के लिए, एक आकार के वक्र दूसरों की तुलना में अधिक उपयुक्त होते हैं। 90% विश्वास अंतराल के मामले में, आमतौर पर एक सामान्य (गाऊसी) वितरण वक्र का उपयोग किया जाता है। यह परिचित घंटी के आकार का वक्र है, जिसमें अधिकांश संभावित परिणाम मान ग्राफ़ के मध्य भाग में क्लस्टर किए जाते हैं और केवल कुछ, कम संभावना वाले, इसके किनारों की ओर टेप करते हुए वितरित किए जाते हैं (चित्र 1)।

सामान्य वितरण इस प्रकार दिखता है:

चित्र .1। सामान्य वितरण। भुज अक्ष सिग्मा की संख्या है।

ख़ासियतें:

• ग्राफ़ के मध्य भाग में स्थित मान इसके किनारों पर स्थित मानों की तुलना में अधिक होने की संभावना है;
• वितरण सममित है; माध्यिका 90% विश्वास अंतराल (सीआई) की ऊपरी और निचली सीमाओं के बिल्कुल बीच में है;
• ग्राफ़ की "पूंछें" अनंत हैं; 90% विश्वास अंतराल के बाहर के मान असंभावित हैं, लेकिन फिर भी संभव हैं।

एक्सेल में एक सामान्य वितरण बनाने के लिए, आप फ़ंक्शन =NORMIDIST(X; Average;standard_deviation; Integral) का उपयोग कर सकते हैं, जहां
एक्स - वह मान जिसके लिए सामान्य वितरण का निर्माण किया जाता है;
माध्य - वितरण का अंकगणितीय माध्य; हमारे मामले में = 0;
मानक_विचलन - वितरण का मानक विचलन; हमारे मामले में = 1;
इंटीग्रल - एक तार्किक मान जो फ़ंक्शन का रूप निर्धारित करता है; यदि संचयी सत्य है, तो NORMDIST संचयी वितरण फ़ंक्शन लौटाता है; यदि यह तर्क गलत है, तो घनत्व फ़ंक्शन वापस आ जाता है; हमारे मामले में = गलत.

सामान्य वितरण के बारे में बोलते हुए, मानक विचलन जैसी संबंधित अवधारणा का उल्लेख करना आवश्यक है। जाहिर है, हर किसी को इसकी सहज समझ नहीं है कि यह क्या है, लेकिन चूंकि मानक विचलन को 90% विश्वास अंतराल (जिसे कई लोग सहज रूप से समझते हैं) से गणना की गई संख्या से बदला जा सकता है, मैं यहां इसके बारे में विस्तार से नहीं बताऊंगा। चित्र 1 से पता चलता है कि एक 90% विश्वास अंतराल में 3.29 मानक विचलन हैं, इसलिए हमें केवल रूपांतरण करने की आवश्यकता होगी।

हमारे मामले में, हमें प्रत्येक मान अंतराल के लिए एक स्प्रेडशीट में एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर बनाना चाहिए। आइए, उदाहरण के लिए, एमएस से शुरू करें - सामग्री और तकनीकी सेवाओं पर बचत। आइए लाभ उठाएं एक्सेल फॉर्मूला: =NORMBR(संभावना, औसत, मानक_विचलन), कहां
संभाव्यता - सामान्य वितरण के अनुरूप संभावना;
माध्य - वितरण का अंकगणितीय माध्य;
मानक_विचलन - वितरण का मानक विचलन।

हमारे मामले में:
माध्य (माध्यिका) = (90% सीआई की ऊपरी सीमा + 90% सीआई की निचली सीमा)/2;
मानक विचलन = (90% सीआई की ऊपरी सीमा - 90% सीआई की निचली सीमा)/3.29।

MS पैरामीटर के लिए, सूत्र का रूप है: =NORMIN(RAND();15,(20-10)/3.29), जहां
RAND - एक फ़ंक्शन जो 0 से 1 तक की सीमा में यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करता है;
15 - एमएस रेंज का अंकगणितीय माध्य;
(20-10)/3.29 = 3.04 - मानक विचलन; मैं आपको याद दिला दूं कि मानक विचलन का अर्थ इस प्रकार है: यादृच्छिक चर (हमारे मामले में एमएस) के सभी मूल्यों का 90% अंतराल 3.29*मानक_विचलन में आते हैं, जो सापेक्ष औसत के सममित रूप से स्थित है।

100 यादृच्छिक सामान्य रूप से वितरित मूल्यों के लिए लॉजिस्टिक्स पर बचत का वितरण:

चावल। 2. मानों की श्रेणियों में एमएस के वितरण की संभावना; पिवट तालिका का उपयोग करके इस तरह के वितरण का निर्माण कैसे करें, इसकी जानकारी के लिए देखें

चूँकि हमने "केवल" 100 यादृच्छिक मानों का उपयोग किया, वितरण उतना सममित नहीं था। हालाँकि, लगभग 90% मान $10 से $20 (सटीक रूप से 91%) की एमएस बचत सीमा के भीतर आते हैं।

आइए पैरामीटर एमएस, एलएस, आरएमएस और पीएल (चित्र 3) के विश्वास अंतराल के आधार पर एक तालिका बनाएं। अंतिम दो कॉलम अन्य कॉलम में डेटा के आधार पर गणना के परिणाम दिखाते हैं। कुल बचत कॉलम प्रत्येक पंक्ति के लिए गणना की गई वार्षिक बचत दिखाता है। उदाहरण के लिए, यदि परिदृश्य 1 लागू किया गया, तो कुल बचत (14.3 + 5.8 + 4.3) x 23,471 = $570,834 होगी। आपको वास्तव में इसकी आवश्यकता नहीं है। मैंने इसे केवल सूचनात्मक उद्देश्यों के लिए शामिल किया है। आइए एक्सेल में 10,000 स्क्रिप्ट लाइनें बनाएं।

चावल। 3. एक्सेल में मोंटे कार्लो पद्धति का उपयोग करके परिदृश्यों की गणना

प्राप्त परिणामों का मूल्यांकन करने के लिए, उदाहरण के लिए, आप एक पिवट तालिका का उपयोग कर सकते हैं जो आपको प्रत्येक 100 हजार रेंज में परिदृश्यों की संख्या की गणना करने की अनुमति देती है। फिर आप गणना परिणामों को प्रदर्शित करने वाला एक ग्राफ़ बनाते हैं (चित्र 4)। यह ग्राफ़ दिखाता है कि किसी दिए गए मूल्य सीमा में 10,000 परिदृश्यों के किस अनुपात में वार्षिक बचत होगी। उदाहरण के लिए, लगभग 3% परिदृश्य $1M से अधिक की वार्षिक बचत प्रदान करेंगे।

चावल। 4. मूल्य श्रेणियों में कुल बचत का वितरण। एक्स-अक्ष बचत की 100-हजारवीं श्रृंखला दिखाता है, और वाई-अक्ष निर्दिष्ट सीमा के भीतर आने वाले परिदृश्यों का हिस्सा दिखाता है।

प्राप्त सभी वार्षिक बचतों में से, लगभग 15% $400K से कम होगी। इसका मतलब है कि नुकसान की 15% संभावना है। यह संख्या एक सार्थक जोखिम मूल्यांकन का प्रतिनिधित्व करती है। लेकिन जोखिम हमेशा नकारात्मक निवेश रिटर्न की संभावना तक सीमित नहीं होता है। किसी वस्तु के आकार का आकलन करते समय हम उसकी ऊंचाई, द्रव्यमान, परिधि आदि निर्धारित करते हैं। इसी तरह, कई उपयोगी जोखिम संकेतक भी हैं। आगे के विश्लेषण से पता चलता है: 4% संभावना है कि संयंत्र को बचत के बजाय सालाना 100K डॉलर का नुकसान होगा। हालाँकि, आय की पूर्ण कमी व्यावहारिक रूप से असंभव है। जोखिम विश्लेषण का यही अर्थ है - हमें विभिन्न पैमानों पर क्षति की संभावनाओं की गणना करने में सक्षम होना चाहिए। यदि आप वास्तव में जोखिम माप रहे हैं, तो आपको यही करना चाहिए।

कुछ स्थितियों में, आप छोटा रास्ता अपना सकते हैं। यदि मूल्यों के सभी वितरण जिनके साथ हम काम कर रहे हैं वे सामान्य हैं और हमें केवल इन मूल्यों के अंतराल को जोड़ने की जरूरत है (उदाहरण के लिए, लागत और लाभ के अंतराल) या उन्हें एक दूसरे से घटाएं, तो हम मोंटे के बिना कर सकते हैं कार्लो अनुकरण. जब हमारे उदाहरण से तीन बचतों को जोड़ने की बात आती है, तो एक सरल गणना करने की आवश्यकता होती है। आप जिस अंतराल की तलाश कर रहे हैं उसे पाने के लिए नीचे सूचीबद्ध छह चरणों का उपयोग करें:

1) प्रत्येक मान अंतराल के औसत मान को उसकी ऊपरी सीमा से घटाएं; लॉजिस्टिक्स पर बचत करने के लिए 20 - 15 = 5 (डॉलर), श्रम लागत पर बचत करने के लिए - 5 डॉलर। और कच्चे माल और सामग्री पर बचत करने के लिए - 3 डॉलर;

2) पहले चरण के परिणामों का वर्ग करें 5 2 = 25 (डॉलर), आदि;

3) दूसरे चरण के परिणामों का योग 25 + 25 + 9 = 59 (डॉलर);

4) परिणामी राशि का वर्गमूल लें: यह 7.7 डॉलर निकला;

5) सभी औसत मान जोड़ें: 15 + 3 + 6 = 24 (डॉलर);

6) चरण 4 के परिणाम को औसत मूल्यों के योग में जोड़ें और सीमा की ऊपरी सीमा प्राप्त करें: 24 + 7.7 = 31.7 डॉलर; चरण 4 के परिणाम को औसत मूल्यों के योग से घटाएं और सीमा 24 - 7.7 = 16.3 डॉलर की निचली सीमा प्राप्त करें।

इस प्रकार, प्रत्येक प्रकार की बचत के लिए तीन 90% विश्वास अंतराल के योग के लिए 90% विश्वास अंतराल $16.3-$31.7 है।

हमने निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग किया: कुल अंतराल की सीमा व्यक्तिगत अंतराल की सीमाओं के वर्गों के योग के वर्गमूल के बराबर है।

कभी-कभी ऊपरी सीमा के सभी "आशावादी" मूल्यों और अंतराल की निचली सीमा के "निराशावादी" मूल्यों को जोड़कर कुछ ऐसा ही किया जाता है। इस मामले में, हमारे तीन 90% विश्वास अंतराल के आधार पर, हमें $11-$37 का कुल अंतराल मिलेगा। यह अंतराल 16.3-31.7 डॉलर से कुछ अधिक व्यापक है। जब दर्जनों चरों के साथ किसी डिज़ाइन को सही ठहराने के लिए ऐसी गणनाएँ की जाती हैं, तो अंतराल का विस्तार इतना अधिक हो जाता है कि उसे नज़रअंदाज़ नहीं किया जा सकता। ऊपरी सीमा के लिए सबसे "आशावादी" मान और निचली सीमा के लिए "निराशावादी" मान लेना सोचने जैसा है: यदि हम कई पासे फेंकते हैं, तो सभी मामलों में हमें केवल "1" या केवल "6" मिलेगा। वास्तव में, निम्न और उच्च मूल्यों का कुछ संयोजन दिखाई देगा। अंतराल का अत्यधिक विस्तार एक सामान्य गलती है, जो निस्संदेह, अक्सर बिना सोचे-समझे निर्णयों की ओर ले जाती है। साथ ही, मेरे द्वारा बताई गई सरल विधि तब बहुत अच्छी काम करती है जब हमारे पास कई 90% विश्वास अंतराल होते हैं जिन्हें सारांशित करने की आवश्यकता होती है।

हालाँकि, हमारा लक्ष्य न केवल अंतरालों का योग करना है, बल्कि उन्हें उत्पादन की मात्रा से गुणा करना भी है, जिसके मान भी एक सीमा के रूप में दिए गए हैं। सरल योग विधि केवल मानों के अंतराल को घटाने या जोड़ने के लिए उपयुक्त है।

मोंटे कार्लो सिमुलेशन की भी आवश्यकता होती है जब सभी वितरण सामान्य नहीं होते हैं। हालाँकि अन्य प्रकार के वितरण इस पुस्तक का विषय नहीं हैं, हम उनमें से दो का उल्लेख करेंगे - एकसमान और द्विआधारी (चित्र 5, 6)।

चावल। 5. समान वितरण (आदर्श नहीं, लेकिन Excel में RAND फ़ंक्शन का उपयोग करके बनाया गया)

ख़ासियतें:

• सभी मानों की प्रायिकता समान है;
• वितरण सममित है, विकृतियों के बिना; माध्यिका अंतराल की ऊपरी और निचली सीमाओं के बिल्कुल बीच में है;
• अंतराल के बाहर मान संभव नहीं हैं।

एक्सेल में इस वितरण के निर्माण के लिए, सूत्र का उपयोग किया गया था: RAND()*(UB - LB) + LB, जहां UB ऊपरी सीमा है; एलबी - निचली सीमा; इसके बाद एक पिवट तालिका का उपयोग करके सभी मानों को श्रेणियों में विभाजित किया जाता है।

चावल। 6. बाइनरी वितरण (बर्नौली वितरण)

ख़ासियतें:

• केवल दो मान संभव हैं;
• एक मान की एकल संभावना है (इस मामले में 60%); दूसरे मान की प्रायिकता पहले मान की प्रायिकता को घटाकर एक के बराबर है

एक्सेल में इस प्रकार का यादृच्छिक वितरण बनाने के लिए, फ़ंक्शन का उपयोग किया गया था: =IF(RAND()<Р;1;0), где Р - вероятность выпадения «1»; вероятность выпадения «0» равна 1–Р; с последующим разбиением всех значений на два значения с помощью сводной таблицы.

इस पद्धति का प्रयोग सबसे पहले गणितज्ञ स्टानिस्लाव उलम (देखें) द्वारा किया गया था।

डगलस हबर्ड ने मोंटे कार्लो सिमुलेशन के लिए डिज़ाइन किए गए कई कार्यक्रमों को सूचीबद्ध किया है। उनमें से डिसीज़नियरिंग, इंक., डेनवर, कोलोराडो से क्रिस्टल बॉल है। अंग्रेजी में किताब 2007 में प्रकाशित हुई थी। अब यह प्रोग्राम Oracle का है। प्रोग्राम का एक डेमो संस्करण कंपनी की वेबसाइट से डाउनलोड करने के लिए उपलब्ध है। हम इसकी क्षमताओं के बारे में बात करेंगे.

डगलस हबर्ड द्वारा उल्लिखित पुस्तक का अध्याय 5 देखें

यहां, डगलस हबर्ड ने सीमा को 90% विश्वास अंतराल की ऊपरी सीमा और इस अंतराल के औसत मूल्य (या औसत मूल्य और निचली सीमा के बीच, क्योंकि वितरण सममित है) के बीच अंतर के रूप में परिभाषित किया है। आमतौर पर, सीमा को ऊपरी और निचली सीमाओं के बीच के अंतर के रूप में समझा जाता है।